1401-บทที่ 7 การวัดการกระจายของข้อมูล

เอกสารประกอบการเรยี น 77 หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี การวัดการกระจายของข้อมลู (Measures of Dispersion) ผูส้ อน จิตรเมธี สายส่มุ วิทยาลัยเทคนคิ ลพบรุ ี

บทที่ 7 การวดั การกระจายของขอ้ มูล Measures of Dispersion สาระการเรยี นรู้ 1. การวดั การกระจายสัมบรู ณ์ (Absolution Dispersion) 1.1 พิสัย (Range) 1.2 สว่ นเบย่ี งเบนควอรไ์ ทล์ (Quartile Deviation) 1.3 สว่ นเบี่ยงเบนเฉลีย่ (Mean Deviation หรอื Average Deviation) 1.4 สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) 2. การวดั การกระจายสัมพัทธ์ (Relative Dispersion) 2.1 สัมประสทิ ธข์ิ องพสิ ยั (Coefficient of Range) 2.2 สมั ประสทิ ธ์ขิ องส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทล์ (Coefficient of Quartile Deviation) 2.3 สัมประสทิ ธ์ขิ องส่วนเบย่ี งเบนเฉลีย่ (Coefficient of Average Deviation) 2.4 สมั ประสทิ ธ์ิของความแปรผนั (Coefficient of Variation) จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 1. หาค่าพสิ ัยได้ 2. หาค่าส่วนเบย่ี งเบนควอร์ไทล์ได้ 3. หาค่าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยได้ 4. หาคา่ ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานได้ 5. หาค่าสมั ประสิทธิ์ของพสิ ัยได้ 6. หาคา่ สัมประสิทธ์ิของส่วนเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์ได้ 7. หาค่าสมั ประสิทธิ์ของสว่ นเบ่ียงเบนเฉลย่ี ได้ 8. หาคา่ สมั ประสทิ ธ์ิของความแปรผันได้ สถติ ิเพือ่ การวิจยั เบอ้ื งตน้ 112

7.1 ความหมายของการวดั การกระจาย (Definition of Measures of Dispersion) การวัดการกระจาย (Measures of Dispersion) เป็นสถิติประเภทหน่ึง ที่คํานวณออกมาเป็นตัวเลข เพื่อใช้อธิบายลักษณะการกระจายของข้อมูล การท่ี ข้อมูลชุดหนึ่ง ๆ ประกอบด้วยคะแนนที่มีค่าต่าง ๆ กันเราเรียกว่า เป็นข้อมูลที่มีการ กระจาย ถ้าขอ้ มลู ชุดนน้ั ประกอบดว้ ยคะแนนท่ีมีค่าต่างกนั มาก เรยี กวา่ เป็นขอ้ มลู ที่มี กระจายมาก ถ้าข้อมูลชุดนั้นประกอบด้วยคะแนนที่มีค่าต่างกันน้อย เรียกว่า เป็น ขอ้ มูลท่มี กี ารกระจายนอ้ ย และถ้าข้อมลู ชุดนนั้ ประกอบด้วยคะแนนท่ีมีค่าเท่ากันหมด เรยี กว่า เป็นข้อมูลทีไ่ มม่ กี ารกระจาย ดงั ตัวอยา่ ง ตาราง 7.1 แสดงขอ้ มูลซง่ึ มกี ารกระจายตา่ งกัน ขอ้ มูลชุดที่ คะแนนในชุดข้อมลู ลักษณะการกระจาย 1 2 7 10 35 70 100 มกี ารกระจายมาก 3 50 58 60 61 67 มีการกระจายน้อย 30 30 30 30 30 ไม่มีการกระจาย การวัดการกระจายนิยมใช้ควบคู่กับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลาง เพราะจะ ช่วยอธิบายลักษณะของข้อมูลได้ชัดเจนขึ้น ทั้งนี้เนื่องจากการวัดแนวโน้มเข้าสู่กลางเปน็ เพียงการบอกคา่ กลางของขอ้ มลู ชุดนน้ั แต่เรากย็ งั ไมท่ ราบชดั เจนถึงลกั ษณะการกระจาย ของข้อมูลวา่ ขอ้ มลู ต่าง ๆ ในชดุ ขอ้ มลู นนั้ มีค่าใกลเ้ คยี งกัน หรือแตกตา่ งกัน ถา้ เรามีทงั้ คา่ แนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางและค่าการกระจายก็จะทำให้เข้าใจลักษณะข้อมูลนั้นได้ ชัดเจนขน้ึ มากกวา่ มีแต่ค่าแนวโนม้ เข้าส่สู ่วนกลางเพียงอย่างเดยี ว ตัวอย่างเช่น นักศึกษา 2 กลุ่ม ได้รับการทดสอบก่อนเรียนในวิชาเดียวกัน ด้วย ข้อสอบชุดเดียวกัน ผลปรากฏว่าคะแนนทดสอบของทั้ง 2 กลุ่มมีค่าเฉลี่ย (Mean) 40 คะแนนเท่ากันถ้าผู้สอนทราบเพียงว่า นักศึกษา 2 กลุ่มทำแบบทดสอบก่อนเรียน ได้ สถิตเิ พ่อื การวจิ ยั เบือ้ งต้น 113

ค่าเฉลี่ยเท่ากัน คือ 40 คะแนน ก็จะเข้าใจเพียงว่านักศึกษา 2 กลุ่มนี้มีความรู้พื้นฐาน พอๆ กัน แตจ่ ะไมท่ ราบวา่ การกระจายของคะแนนหรอื ความรพู้ น้ื ฐานของนักศึกษาแตล่ ะ กลุ่มเป็นอย่างไร นักศึกษาแต่ละกลุ่มมีความรู้พื้นฐานแตกต่างกันมากน้อยเพียงไรลอง พิจารณาขอ้ มลู คะแนนในแตล่ ะกลมุ่ ดังต่อไปน้ี กล่มุ ก 45 31 60 54 21 28 41 (Mean = 40) กล่มุ ข 39 45 30 41 32 50 43 (Mean = 40) เมอ่ื พจิ ารณาอยา่ งคร่าว ๆ จะพบวา่ ในกลมุ่ ก คะแนนแตกต่างกนั มากกว่ากลมุ่ ข น่ันคือ นักศึกษาในกลุ่ม ก มีความรู้พื้นฐานแตกต่างกันมากกว่ากลุ่ม ข ช่วยให้ผู้สอนเข้าใจถึงความ แตกต่างของความรูพ้ ื้นฐานของนักศึกษาในแต่ละกลุม่ ว่าต่างกัน กลุ่ม ก นักศึกษามีความรู้พื้นฐาน แตกต่างกนั มากกวา่ ในกลุ่ม ข ซ่งึ จะเป็นประโยชนใ์ นการจัดการเรยี นการสอนตอ่ ไป จะเห็นได้ว่า การทราบเพียงค่าแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางเพียงอย่างเดียวก็อาจอธิบาย ลักษณะของขอ้ มูลได้ไม่สมบูรณ์ ถา้ ทราบลักษณะการกระจายด้วยก็จะชว่ ยใหเ้ ข้าใจเกีย่ วกับข้อมูล ละเอียดขึน้ และเปน็ ประโยชนม์ าก 7.2 วธิ วี ดั การวัดการกระจายของขอ้ มูล (Method of Measures of Dispersion) วิธวี ดั การวัดการกระจายของขอ้ มลู แบง่ ได้เปน็ 2 วิธี ดังน้ี 1. การวัดการกระจายสมั บูรณ์ (Absolute Variation) เปน็ การวดั การกระจาย ของข้อมูลเพียงชุดเดียว เพื่อดูว่าข้อมูลชุดนั้นแต่ละค่ามีความแตกต่างกันมากหรือน้อย เพียงไร มวี ธิ ีการวัด 4 วิธี ดงั น้ี  พสิ ยั (range)  ส่วนเบ่ียงเบนควอรไ์ ทล์ (Quartile Deviation)  ส่วนเบี่ยงเบนเฉล่ยี (Mean Deviation หรอื Average Deviation)  สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) สถิตเิ พ่อื การวิจยั เบือ้ งตน้ 114

2. การวัดการกระจายสัมพัทธ์ (Relative Variation) คือการวัดการกระจาย ของข้อมูลท่ีมากกว่าหนึ่งชุด โดยใช้อัตราส่วนของค่าที่ได้จากการวัดการกระจายสัมบูรณ์ กับค่ากลางของข้อมูลนั้น ๆ เพื่อใช้ในการเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลเหล่านั้น มี วิธกี ารวดั 4 วธิ ีดงั น้ี  สมั ประสทิ ธิ์ของพสิ ัย (Coefficient of Range)  สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Coefficient of Quartile Deviation)  สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Coefficient of Average Deviation)  สัมประสิทธ์ขิ องความแปรผนั (Coefficient of Variation) 7.3 การวัดการกระจายสมั บรู ณ์ (Absolute Variation) 7.3.1 พสิ ัย (Range) พิสัย (Range) เป็นคา่ ที่ใช้วัดการกระจายของขอ้ มลู โดยการหาความแตกต่าง ระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุดของข้อมูลชุดใดชุดหนึ่ง ซึ่งอาจอยู่ในรูปของค่าผลต่าง ระหว่างค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุดหรืออยู่ในรูปช่วงคะแนนจากค่าต่ำสุดถึงค่าสูงสุด นับเป็น วิธีการกระจายอย่างคร่าว ๆ และง่ายที่สุด เนื่องจากใช้คะแนนเพียง 2 ค่าเท่านั้นในการ คํานวณ ได้แก่ค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด คะแนนค่าอื่น ๆ ไม่ได้นําเอามาใช้เลย ถ้าพิสัยมีค่า มากแสดงว่ามีการกระจายมาก ถ้าพิสัยมีค่าน้อยแสดงว่ามีการกระจายน้อย การวัดการ กระจายด้วยค่าพิสัย มักใช้ควบคู่กับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางด้วยค่าฐานนิยม (Mode) หรืออาจใช้ควบคู่กับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางวิธีอื่น ๆ ในกรณีที่มีข้อมูล จำนวนนอ้ ยหรือเมอ่ื ตอ้ งการทราบการกระจายอย่างคร่าว ๆ โดยรวดเร็ว สถติ ิเพื่อการวจิ ัยเบ้ืองต้น 115

การหาคา่ พิสยั ของขอ้ มลู ท่ไี มไ่ ด้แจกแจงความถี่ การหาคา่ พิสัยของขอ้ มลู ที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ ใชส้ ูตรดังน้ี พิสัย = ค่าสูงสุด − ค่าตำ่ สดุ คา่ สูงสดุ หรอื Range = ������������������������ − ������������������������ ค่าตำ่ สดุ ตัวอยา่ ง 7.2 จงหาพสิ ยั ของขอ้ มูลคะแนนทดสอบความรู้พืน้ ฐานก่อนเรียนวชิ าสถติ ิ ของนักเรียน 2 กลมุ่ ดังต่อไปน้ี กลมุ่ ก 45 31 60 54 21 28 41 กลุ่ม ข 39 45 30 41 32 50 43 วธิ ีทำ จากสูตร พิสยั = ค่าสงู สดุ − คา่ ตำ่ สดุ ก) พสิ ยั = 60 – 21 = 39 ข) พสิ ยั = 50 – 30 = 20 ตอบ สถิติเพ่ือการวจิ ยั เบ้ืองตน้ 116

การหาค่าพสิ ัยของข้อมลู ทแ่ี จกแจงความถี่ การหาค่าพิสัยของข้อมลู ทแี่ จกแจงความถี่ ใช้สูตรดงั น้ี พสิ ัย = ขอบบนของอันตรภาคช้ันสูงสุด − ขอบลา่ งของอันตรภาคชน้ั ต่ำสุด ถ้าขอ้ มลู มีการแจกแจงความถี่แบบอันตรภาคชนั้ เปิดจำไม่สามารถหาพิสยั ได้ ตัวอย่าง 7.3 จงหาพิสยั ของข้อมูลต่อไปน้ี ขอบล่าง ช้นั ตำ่ สุด คะแนน จำนวนนกั ศกึ ษา ขอบชัน้ 30 – 39 8 29.5 – 39.5 ขอบบน 40 – 49 10 39.5 – 49.5 ชน้ั สงู สุด 50 – 59 12 49.5 – 59.5 60 – 69 45 59.5 – 69.5 70 – 79 50 69.5 – 79.5 80 – 89 20 79.5 – 89.5 90 – 99 5 89.5 – 99.5 วธิ ที ำ จากสูตร พสิ ัย = ขอบบนของชน้ั สูงสุด - ขอบล่างของชั้นตำ่ สุด = 99.5 – 29.5 = 70 ตอบ สถติ เิ พอื่ การวจิ ัยเบอ้ื งต้น 117

7.3.2 สว่ นเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Quartile Deviation) ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ (Quartile Deviation : Q.D.) เป็นค่าที่ใช้วัดการ กระจายข้อข้อมูลรอบ ๆ ค่ามัธยฐาน (Median) ซึ่งมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลต่าง ระหว่างควอไทล์ที่ 3 กับควอไทล์ที่ 1 ถ้าส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์มีค่ามากแสดงว่ามีการ กระจายมาก ถ้าส่วนเบยี่ งเบนควอไทล์มคี า่ น้อยแสดงว่ามีการกระจายนอ้ ย การหาคา่ สว่ นเบีย่ งเบนควอร์ไทล์ การหาคา่ ส่วนเบ่ียงเบนควอร์ไทลข์ องข้อมูลที่ไม่ได้แจกแจงความถ่ีและข้อมูลที่ แจกแจงความถ่ี ใชส้ ูตรดงั น้ี ������. ������. = ������3−������1 2 จากสูตรจะเห็นได้ว่าค่า ������. ������. แสดงถึงการกระจายของคะแนนว่าห่างจาก มัธยฐาน (Median) ซึ่งเป็นค่าตำแหน่งกึ่งกลางของชุดข้อมูลมากน้อยเพียงไร จึงมัก ใช้ควบคู่กันกับการวัดแนวโนม้ เขา้ สู่สว่ นกลางด้วยค่ามัธยฐาน ตัวอย่าง 7.4 จงหาค่าสว่ นเบีย่ งเบนควอไทล์กรณขี ้อมูลไมไ่ ดแ้ จกแจงความถ่ี ดงั นี้ 60 31 25 80 77 52 39 45 68 74 วิธีทำ เรียงข้อมูลจากนอ้ ยไปมาก 25 31 39 45 52 60 68 74 77 80 หาคา่ ������3 และ ������1 จากสูตร ������. ������. = ������3−������1 จะได้ 2 ������3 = ������3(������+1) = ������3(10+1) = ������8.25 = 74 44 ������1 = ������1(������+1) = ������1(10+1) = ������2.75 = 39 44 = 74−39 ดงั นั้น ������. ������. 2 ส่วนเบ่ียงเบนควอไทล์ = 17.5 ตอบ สถิตเิ พ่ือการวจิ ยั เบื้องต้น 118

ตวั อย่าง 7.5 จงหาคา่ สว่ นเบ่ียงเบนควอไทลข์ องข้อมูลต่อไปน้ี ชั้นคะแนน ความถ่ี ขอบเขต ความถ่ีสะสม ***������3 93 – 97 8 92.5 – 97.5 50 ***������1 88 – 92 9 87.5 – 92.5 42 83 – 87 7 82.5 – 87.5 33 78 – 82 4 77.5 – 82.5 26 73 – 77 7 72.5 – 77.5 22 68 – 72 5 67.5 – 72.5 15 63 – 67 4 62.5 – 67.5 10 58 – 62 2 57.5 – 62.5 6 53 – 57 2 52.5 – 57.5 4 48 – 52 2 47.5 – 52.5 2 ������ = 50 วิธีทำ หาช้นั ของ ������3 และ ������1 โดยการ หาคา่ ������������ ดใู นช่องความถ่สี ะสม จะพบวา่ 37.5 อยใู่ นช้นั ที่ 3(50) 4 = 37.5 มีความถีส่ ะสม 42 เรียกชัน้ ������3 4 1(50) = 12.5 ดูในช่องความถีส่ ะสม จะพบว่า 12.5 อยูใ่ นช้นั ท่ี 4 ������ + ������ [������4������−������] มีความถีส่ ะสม 15 เรยี กช้ัน ������1 หาค่า������3 และ ������1 จากสูตร ������������ = ������������ แทนค่าจะได้ ������1 = 67.5 + 5 [1(450)−10] 5 = 67.5 + 5[0.5] = 70 แทนคา่ จะได้ ������3 = 87.5 + 5 [3(540)−33] 9 = 87.5 + 5[0.5] = 90 หาคา่ ������. ������. จากสูตร ������. ������. = ������3−������1 = 90−70 = 20 ดังน้ัน สว่ นเบี่ยงเบนควอไทล์(������. ������.) 2 22 = 10 ตอบ สถิติเพอ่ื การวจิ ัยเบ้อื งตน้ 119

7.3.3 ส่วนเบยี่ งเบนเฉล่ยี (Mean Deviation : M.D.) ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Mean Deviation : M.D.) เป็นค่าที่ใช้วัดการกระจายของข้อมูล รอบ ๆ ค่าเฉลี่ย (Mean) โดยการหาค่าเฉลี่ยของผลรวมของผลต่างระหว่างคะแนนแต่ละตัวกับ ค่าเฉลี่ย ถ้าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยมีค่ามากแสดงว่ามีการกระจายมาก ถ้าส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ยมีค่าน้อย แสดงวา่ มกี ารกระจายน้อย การหาคา่ สว่ นเบ่ยี งเบนเฉล่ียของขอ้ มูลท่ไี ม่ได้แจกแจงความถ่ี การหาคา่ สว่ นเบี่ยงเบนเฉลยี่ ของขอ้ มูลทไ่ี มไ่ ดแ้ จกแจงความถี่ ใช้สตู รดังนี้ ������. ������. = ∑|������−������̅| ������ ตวั อยา่ ง 7.6 จงหาคา่ ส่วนเบย่ี งเบนเฉลยี่ ของขอ้ มูลดังต่อไปน้ี 4 12 7 6 11 วิธที ำ นำขอ้ มลู เรียงในตารางเพอื่ ความสะดวกในการคำนวณดังนี้ ข้อมลู |������ − ������̅| 44 62 71 11 3 12 4 ∑ ������ = 40 ∑|������ − ������̅| = 14 1) หาค่า ���̅��� จากสูตร ���̅��� = ∑ ������ = 40 = 8 ������ 5 2) หาค่า |������ − ������̅| และ ∑|������ − ������̅| แล้วนำไปแทนคา่ ในสูตร หา ������. ������. จากสูตร ������. ������. = ∑|������−������̅| ตอบ ส่วนเบ่ยี งเบนเฉลยี่ ������ = 14 5 = 2.8 สถิติเพื่อการวจิ ัยเบ้ืองต้น 120

การหาคา่ สว่ นเบีย่ งเบนเฉลย่ี ของขอ้ มลู ที่แจกแจงความถี่ การหาคา่ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลย่ี ของขอ้ มลู ทีไ่ มไ่ ด้แจกแจงความถ่ี ใช้สตู รดงั น้ี ������. ������. = ∑ ������|������−������̅| ชอ่ งน้ใี ชส้ ัญลกั ษณ์ | | เรียกวา่ ������ คา่ สัมบรู ณ์หมายถึงมีค่าเปน็ บวก ตวั อยา่ ง 7.7 จงหาคา่ สว่ นเบ่ยี งเบนเฉล่ยี ของขอ้ มลู ต่อไปนี้ เสมอ ถงึ แม้ |������ − ���̅���| จะมคี า่ เป็นลบ แตก่ ค็ ดิ เป็นค่าบวก ข้อมลู ความถี่ (f ) จดุ ก่งึ กลาง (x ) fx |������ − ���̅���| f|������ − ���̅���| 93 – 97 8 95 760 16 128 88 – 92 9 90 810 11 99 83 – 87 7 85 595 6 42 78 – 82 4 80 320 1 4 73 – 77 7 75 525 4 28 68 – 72 5 70 350 9 45 63 – 67 4 65 260 14 56 58 – 62 2 60 120 19 38 53 – 57 2 55 110 24 48 48 – 52 2 50 100 29 58 n = 50 fx =3,950 f|������ − ���̅���|= 546 วิธีทำ มขี ั้นตอนดังน้ี 1. หาจุดกึ่งกลางชน้ั จากสูตร จุดกึง่ กลางชนั้ = ค่าต่ำสุด+คา่ สงู สดุ 2 2. หาค่า fx โดยนำความถ่คี ณู กับจุดกงึ่ กลางชน้ั แลว้ หาคา่ fx =3,950 3. หาคา่ ������̅ จากสตู ร ������̅ = ∑ ������������ = 3,950 = 79 ������ 50 4. หาค่า |������ − ���̅���| ทุกแถวในตาราง 5. หาคา่ f|������ − ���̅���| เสร็จแลว้ หาคา่ f|������ − ���̅���|= 546 6. หาค่า M.D.จากสตู ร M.D. = ∑ ������|������−������̅| คะแนน ตอบ ������ = ดงั นนั้ ส่วนเบี่ยงเบนเฉลยี่ = 546 50 10.92 สถิตเิ พื่อการวิจัยเบือ้ งต้น 121

เนื่องจากการหาค่า M.D. ไม่คำนึงถึงเครื่องหมายของผลต่างระหว่างคะแนน แต่ละตัวกับค่าเฉลี่ย แต่เป็นค่าสัมบูรณ์ (Absolute value) ซึ่งไม่เหมาะกับการ วิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ต่อไป จึงไม่เป็นที่นิยมใช้และมีผู้คิดวิธีวัดการกระจายท่ี เหมาะสมกว่า เรยี กวา่ “ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน” ซง่ึ จะได้กล่าวถึงในหวั ข้อตอ่ ไป 7.3.4 สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : S.D.) ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation : S.D.) เป็นการวัดการกระจายของ ข้อมูลรอบ ๆ คา่ เฉลี่ย (Mean) คลา้ ย ๆ กับส่วนเบ่ยี งเบนเฉลย่ี แต่แกป้ ัญหาคา่ สัมบูรณ์โดยใช้ วิธียกกําลังสอง ค่าผลต่างระหว่างคะแนนแต่ละตัวกับค่าเฉลี่ย ทำให้เครื่องหมายลบหมดไปเมอื่ หาคา่ เฉลย่ี ของผลรวม การหาคา่ สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลทไ่ี มไ่ ดแ้ จกแจงความถี่ การหาคา่ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของขอ้ มูลทไ่ี มไ่ ด้แจกแจงความถ่ีใชส้ ูตรดงั นี้ คา่ ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐานของประชากรแทนด้วย ������ คา่ สว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐานของกลุม่ ตวั อยา่ งแทนดว้ ย ������ ������ = √∑(������−������)2 ������ = √∑(������−������̅)2 ������ ������−1 สถิติเพื่อการวิจยั เบ้ืองต้น 122

ตวั อยา่ ง 7.8 จงหาคา่ สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานของคะแนนผลสัมฤทธทิ์ างการเรยี น วิชาสถิตเิ พ่อื การวิจยั ของนักศกึ ษากลมุ่ ตวั อย่างจำนวน 10 คน ซง่ึ มีคา่ ดังต่อไปนี้ 87 61 75 77 85 92 83 73 65 58 วิธที ำ 1) นำขอ้ มลู ไปเรียงในรูปตาราง คะแนน ������ − ������̅ (������ − ������̅)2 58 - 17.6 309.76 61 - 14.6 213.16 65 - 10.6 112.36 73 - 2.6 6.76 75 - 0.6 0.36 77 1.4 1.96 83 7.4 54.76 85 9.4 88.36 87 11.4 129.96 92 16.4 268.96 ∑ ������ =756 ∑(������ − ������̅)2=1186.40 2) หาคา่ ������̅ จากสตู ร ������̅ = ∑ ������ = 756 = 75.6 ������ 10 3) หาค่า ������ − ������̅ และ (������ − ������̅)2 ทุกแถว 4) หาคา่ ∑(������ − ������̅)2 โดยบวกทกุ แถวในชอ่ ง(������ − ������̅)2 5) หาคา่ ������จากสตู ร ������ = √∑(������−������̅)2 = √1,186.40 ������−1 10−1 = √1,186.40 = √131.82 ตอบ 9 คะแนน คะแนน ∴ ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน = 11.48 ∴ ความแปรปรวน = 131.82 สถติ เิ พอื่ การวจิ ยั เบ้อื งต้น 123

การหาค่าสว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูลที่แจกแจงความถี่ การหาคา่ สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมลู ท่แี จกแจงความถี่ใชส้ ูตรดังนี้ ค่าสว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐานของประชากร ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างแทน แทนดว้ ย ������ ดว้ ย ������ ������ = √∑ ������(������−������)2 ������ = √∑ ������(������−������̅)2 ������ ������−1 ตวั อยา่ ง 7.9 จากขอ้ มูลต่อไปนี้จงคํานวณหาสว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐานของข้อมูล ข้อมูล ความถ่ี จดุ ก่งึ กลาง fx (������ − ������̅) (������ − ������̅)2 ������(������ − ������̅)2 ( f ) (x) 79 – 81 76 – 78 2 80 160 11.36 129 258.10 73 – 75 70 – 72 3 77 231 8.36 69.89 209.67 67 – 69 64 – 66 4 74 296 5.36 28.73 114.92 61 – 63 7 71 497 2.36 5.57 38.99 รวม 5 68 340 - 0.64 0.41 2.05 2 65 130 - 3.64 13.25 26.50 1 62 62 - 6.64 44.09 44.09 ∑ ������������ = 1716 ∑ ������(������ − ������̅)2 =694.32 วิธที ำ มีขั้นตอนดังน้ี 1. หาจดุ ก่งึ กลางชนั้ จากสูตร จุดกง่ึ กลางช้นั = คา่ ตำ่ สุด+ค่าสูงสดุ 2 2. หาคา่ fx โดยนำความถคี่ ณู กับจุดกงึ่ กลางชั้น แล้วหาค่า fx =1716 3. หาค่า ������̅ จากสูตร ������̅ = ∑ ������������ = 1716 = 68.64 4. หาคา่ ������ − ������̅ ทุกแถวในตาราง ������ 25 5. หาค่า (������ − ������̅)2 ทุกแถวในตาราง 6. หาคา่ f(������ − ������̅)2 เสรจ็ แลว้ หาค่า  f(������ − ������̅)2 = 649.32 7. หาค่า s จากสตู ร s = √∑ ������(������−������̅)2 = √694.32 = √694.32 = √28.93 ������−1 25−1 24 ตอบ ∴ ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐาน = 5.38 ∴ ความแปรปรวน = 28.93 สถิตเิ พ่ือการวจิ ัยเบือ้ งตน้ 124

7.3.5 ความแปรปรวน (Variance) ความแปรปรวน (Variance: ������2หรือ ������2) หมายถึง กำลังสองของส่วน เบ่ยี งเบนมาตรฐาน = คา่ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน2 ความแปรปรวน หรือ ค่าสว่ นเบยี่ งเบนมาตรฐาน = √ความแปรปรวน เขยี นเปน็ สตู รในรูปสัญลักษณไ์ ด้ดังน้ี ค่าความแปรปรวนของประชากรแทนด้วย ������2 ค่าความแปรปรวนของกลมุ่ ตัวอยา่ งแทนดว้ ย ������2 โดยท่ี ������ = √������2 โดยท่ี ������ = √������2 สรุปสูตรในการคํานวณหาค่าความแปรปรวนและค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน ซ่ึง เปน็ สตู รท่ีอย่ใู นรปู คะแนนเบีย่ งเบน (ผลตา่ ง) ดงั นี้ ข้อมลู ไม่แจกแจงความถ่ี ความแปรปรวน ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน • สตู รในรูปคะแนนเบี่ยงเบน ������2 = ∑(������−������)2 ������ = √∑(������−������)2 • สตู รในรูปคะแนนดบิ ������ ������ ขอ้ มลู แจกแจงความถี่ ������2 = ∑ ������2 − ������2 • สตู รในรปู คะแนนเบีย่ งเบน ������ = √∑ ������2 − ������2 ������ • สตู รในรปู คะแนนดิบ ������ ความแปรปรวน ������2 = ∑ ������(������−������)2 สว่ นเบย่ี งเบนมาตรฐาน ������ ������ = √∑ ������(������−������)2 ������2 = ∑ ������������2 − ������2 ������ ������ ������ = √∑ ������������2 − ������2 ������ หมายเหตุ ในตารางเปน็ กรณีขอ้ มลู เปน็ กลมุ่ ประชากร ถา้ เปน็ กลมุ่ ตัวอย่าง จะแทนสัญลักษณ์ ������������ ดว้ ย ������������ และแทนสัญลกั ษณ์ ������ ดว้ ย ���̅��� สถติ ิเพ่อื การวจิ ัยเบือ้ งตน้ 125

ตัวอย่าง 7.10 จากข้อมลู 10 , 12 , 11 , 15 , 8 ,16 , 14 , 13 , 15 , 16 จงหาค่า ส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานและคา่ ความแปรปรวน วธิ ีทำ 1) นำข้อมูลไปเรียงในตาราง คะแนน ������ − ������̅ (������ − ������̅)2 8 -5 25 10 -3 9 11 -2 4 12 -1 1 13 0 0 14 1 1 15 2 4 15 2 4 16 3 9 16 3 9 ∑ ������ = 130 ∑(������ − ������̅)2= 66 2) หาค่า ������̅ จากสูตร ������̅ = ∑ ������ = 130 = 13 ������ 10 3) หาคา่ ������ − ������̅ และ (������ − ������̅)2 ทกุ แถว 4) หาผลบวกทกุ แถวในชอ่ ง (������ − ������̅)2จะได้คา่ ∑(������ − ������̅)2 = 66 5) หาคา่ ������จากสตู ร ������ = √∑(������−������̅)2 = √ 66 ������−1 10−1 = √66 = √7.33 = 2.71 9 66 = 7.33 ������2 = ∑(������−������̅)2 = 9 ������−1 ∴ ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน = 2.71 คะแนน คะแนน ∴ ความแปรปรวน = 7.33 ตอบ สถิติเพอ่ื การวิจัยเบอ้ื งต้น 126

ตวั อย่าง 7.11 ข้อมลู ตอ่ ไปน้ีเป็นนำ้ หนักของพนกั งานบริษทั แหง่ หนึ่ง จงหาความแปรปรวน นำ้ หนกั ความถ่ี จดุ กึ่งกลาง fx (x - ������̅) (x - ������̅)2 f(x - ������̅)2 (f) (x) 40 – 44 5 42 210 -12.88 165.89 829.45 45 – 49 7 47 329 -7.88 62.09 434.63 50 – 54 6 52 312 -2.88 8.29 49.74 55 – 59 9 57 513 2.12 4.49 40.41 60 – 64 8 62 496 7.12 50.69 405.52 65 – 69 5 67 335 12.12 146.89 734.45 n = 40 2,195 2,494.20 วิธีทำ มขี ้นั ตอนดังนี้ 1. หาจุดกงึ่ กลางช้ันจากสตู ร จดุ ก่งึ กลางชนั้ = ค่าต่ำสุด+คา่ สงู สุด 2 2. หาคา่ fx โดยนำความถค่ี ณู กบั จุดกึ่งกลางชัน้ แล้วหาค่า fx =2195 3. หาคา่ ������̅ จากสตู ร ������̅ = ∑ ������������ = 2195 = 54.88 ������ 40 4. หาคา่ ������ − ������̅ ทุกแถวในตาราง 5. หาค่า (������ − ������̅)2 ทุกแถวในตาราง 6. หาคา่ f(������ − ������̅)2 เสรจ็ แลว้ หาคา่  f(������ − ������̅)2 = 2494.20 7. หาคา่ s จากสตู ร s = √∑ ������(������−������̅)2 = √2494.2 = √62.355 = 7.897 ������−1 39 ������2 = ∑������(������−������̅)2= 2,494.2 = 62.355 ������−1 39 ∴ สว่ นเบีย่ งเบนมาตรฐาน = 7.897 ∴ ความแปรปรวน = 62.355 ตอบ สถติ เิ พ่ือการวิจัยเบ้อื งต้น 127

7.3.7 สมบตั ิท่ีสำคญั ของส่วนเบีย่ งเบนมาตรฐาน 1. สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานมีคา่ เป็นบวกเสมอ 2. ถ้าคํานวณหาส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยใช้ค่ากลางของค่าเฉลี่ยของ ข้อมูลชนิดอื่น ๆ ที่ไม่ใช่ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่ได้จะมีค่ามากกว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานท่ีคำนวณจากค่าเฉลย่ี เลขคณติ เสมอ ดงั นัน้ √∑ ������(������−������)2 >√∑ ������(������−µ)2 ������ ������ อสมการนี้เป็นจริงเสมอ เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใด ๆ ที่ไม่เท่ากับค่าเฉลี่ย เลขคณติ 3. ถา้ มีข้อมูล 2 ชุด ประกอบดว้ ยข้อมูล N1 และ N2 จำนวน มีคา่ เฉลย่ี เลข คณิตเท่ากัน แต่มีความแปรปรวนเป็น ������12 และ ������22สำหรับข้อมูลชุดที่ 1 และ 2 ตามลำดับ ความแปรปรวนของข้อมูลทั้งสองชุดจะเท่ากับ ������1������12+������2������22 เรียกว่า ������1+������2 ความแปรปรวนรวม ตวั อยา่ ง 7.12 ขอ้ มูล 2 ชุด ชุดแรกมี 5 จำนวน มคี วามแปรปรวน 18 ชดุ หลงั มี 3 จำนวน มีความแปรปรวน 24 ข้อมลู ท้งั สองชดุ มีค่าเฉลยี่ เลขคณิต เทา่ กนั จงหาค่าความแปรปรวนรวมของขอ้ มลู ท้งั สองชุด วิธีทำ จากสูตร ความแปรปรวนรวม = ������1������12+������2������22 ������1+������2 แทนค่า ������1 = 5, ������2 = 3, ������12 = 18, ������22 = 24 ดงั นัน้ ความแปรปรวนรวม = 5(18)+3(24) 5+3 = 90+72 8 = 20.25 ตอบ สถติ เิ พ่ือการวิจยั เบอื้ งตน้ 128

7.3.8 ขอ้ สังเกตเก่ยี วกับค่าการวัดการกระจาย ค่าพิสยั 1. พิสัยเปน็ การวดั การกระจายโดยใช้คะแนนเพยี ง 2 ตัว ไมไ่ ด้นาํ คะแนนทกุ ตัวมา ใชใ้ นการคํานวณจึงเป็นวธิ กี ารกระจายอย่างหยาบ ๆ 2. พิสัยเหมาะสำหรับวัดการกระจายอย่างคร่าว ๆ เมื่อต้องการทราบค่าการ กระจายอย่างรวดเรว็ เพราะใช้เวลานอ้ ยในการคํานวณ 3. พสิ ยั เหมาะกบั ชุดขอ้ มลู ขนาดเลก็ มากกว่าขนาดใหญ่ถา้ ข้อมูลใหญ่มแี นวโนม้ ค่า พิสัยสงู 4. ไม่ควรใช้พิสัยในการเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลที่มีขนาดไม่เท่ากัน ถ้า เปน็ ข้อมูลกลุ่มใหญม่ แี นวโน้มท่คี า่ พิสยั จะสูง ค่าสว่ นเบยี่ งเบนควอไทล์ 1. ส่วนเบี่ยงเบนควอไทล์ เป็นการวัดการกระจายที่ดีกว่าการวัดด้วยค่าพสิ ยั แต่ก็ ยงั ใชเ้ พียงบางคา่ ไมไ่ ดใ้ ชข้ ้อมูลทกุ คา่ ในการคาํ นวณ 2. สว่ นเบี่ยงเบนควอไทล์ เหมาะสำหรับใช้วดั การกระจายกรณีมคี ะแนนบางค่าสูง หรือตำ่ กว่าคะแนนตัวอ่นื ๆ ในชดุ มาก 3. ส่วนเบีย่ งเบนควอไทลเ์ หมาะสำหรับใช้คู่กับการวัดแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางด้วย คา่ มัธยฐาน สถิตเิ พ่อื การวจิ ยั เบอื้ งตน้ 129

ค่าสว่ นเบีย่ งเบนเฉลย่ี 1. ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย เป็นการวัดการกระจายที่ละเอียดกว่าการวัดด้วยค่าพิสัย และส่วนเบ่ยี งเบน ควอไทล์เพราะไดใ้ ช้คะแนนทกุ ๆ ตัวในการคาํ นวณ 2. การคาํ นวณค่าส่วนเบย่ี งเบนเฉล่ยี ไม่ได้คำนึงถึงเครื่องหมายของผลต่างระหว่าง คะแนนแต่ละตวั กับค่าเฉลี่ย ซง่ึ ขดั ตอ่ หลักคณติ ศาสตร์ จึงไมเ่ ป็นทน่ี ยิ มใช้ คา่ สว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐาน 1. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นการวัดการกระจายของข้อมูลที่ใช้คะแนนทุกตัว ในการ คํานวณ จึงเป็นการวัดการกระจายที่ละเอียดกว่าการหาโดยพิสัย พิสัยควอไทล์ และส่วน เบย่ี งเบนควอไทล์ 2. ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นการวัดการกระจายของข้อมูลที่นิยมใช้มากที่สุดโดยเฉพาะ อยา่ งย่งิ ในการวิจยั 3. ค่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นค่าการกระจายที่มีหน่วยเช่นเดียวกับหน่วยของข้อมูลท่ี เก็บรวบรวมมา ส่วนค่าความแปรปรวน ซึ่งมีค่าเป็นกําลังสองของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นค่า การกระจายทีม่ หี น่วยเป็นกําลังสองของหนว่ ยของข้อมูลที่เกบ็ รวบรวมมา สถติ ิเพ่ือการวิจัยเบ้อื งต้น 130

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ่ี 7.1 จดุ ประสงค์ 1. นกั ศกึ ษาสามารถวัดการกระจายสมบรู ณ์ของข้อมูลได้ได้  จงหาพสิ ยั และสว่ นเบ่ียงเบนควอไทล์ของขอ้ มลู ดงั น้ี 9 14 6 8 5 12 8 6 8 11 9 วธิ ที ำ 2. จงหาพสิ ัยและส่วนเบย่ี งเบนควอไทล์ ของขอ้ มูลตอ่ ไปนี้ ขอ้ มลู จำนวน (f) ความถีส่ ะสม 10 – 14 2 15 – 24 3 25 – 34 6 35 – 44 5 45 – 54 4 รวม 20 วธิ ีทำ สถิตเิ พื่อการวจิ ัยเบอ้ื งตน้ 131

 จงหาสว่ นเบ่ยี งเบนเฉลี่ยและส่วนเบ่ยี งเบนมาตรฐานของกลุ่มประชากร ต่อไปน้ี 9 14 6 8 5 12 8 6 8 11 9 f(x-������̅)2 วิธที ำ ขอ้ มูล จำนวน fx |x-������̅| f|x-������̅| (x-������̅)2 (x) (f) 51 62 83 92 11 1 12 1 14 1 รวม n=11  จงหาส่วนเบ่ียงเบนเฉลี่ยและสว่ นเบ่ยี งเบนมาตรฐานขอของขอ้ มูลตอ่ ไปนี้ ข้อมูล จำนวน จุดกง่ึ กลางชน้ั fx |x-������̅| f|x-������̅| (x-������̅)2 f(x-������̅)2 (f) (x) 10 – 14 2 15 – 24 3 25 – 34 6 35 – 44 5 45 – 54 4 รวม 20 วธิ ีทำ สถติ เิ พ่ือการวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 132

7.4 การวดั การกระจายสมั พทั ธ์ (Relative Variation) ในกรณีที่ต้องการเปรียบเทียบการกระจายของข้อมูลต่างกลุ่ม (ต่างชุด) ถ้า ข้อมูลแต่ละชุดเป็นคะแนน ที่มีหน่วยวัดหน่วยเดียวกัน คะแนนเต็มเท่ากัน ขนาด เท่ากัน และค่าแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางเท่ากันก็สามารถนําค่าการกระจายมา เปรียบเทยี บกันไดเ้ ลย ตัวอย่างเช่น คะแนนสอบวิชาสถิติเพื่อการวิจัยของนักศึกษา 2 ห้อง ซึ่งมีจำนวน นักศึกษาเท่ากัน สอบด้วยข้อสอบชุดเดียวกัน มีคะแนนเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบน มาตรฐาน ดังนี้ หอ้ ง ค่าเฉลยี่ ส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน 1 60 10 2 60 12 กรณีนส้ี ามารถบอกได้ว่า คะแนนสอบวชิ าสถิตเิ พื่อการวิจัยของนักศึกษาห้อง 2 มี การกระจายมากกว่าห้อง 1 แต่ถ้าเป็นกรณีที่ข้อมูลแต่ละชุด เป็นคะแนนที่มีหน่วยวัดต่างกันหรือมีคะแนน เต็มไม่เท่ากันหรือขนาดไม่เท่ากัน หรือค่าแนวโน้มเข้าสู่ส่วนกลางไม่เท่ากัน จะไม่ สามารถนําค่าการกระจายมาเปรียบเทียบกันได้ทันที แต่ต้องคํานวณหาค่า สัมประสิทธก์ิ ารกระจาย (Coefficient of Dispersion) ของคะแนนแตล่ ะชุดแล้วจึง นําค่าสัมประสิทธิ์การกระจายนั้นมาเปรียบเทียบกัน ตัวอย่างเช่น คะแนนสอบวิชา ภาษาไทยกบั คณิตศาสตรข์ องนักศึกษาหอ้ งหนงึ่ มีคา่ ดงั นี้ วิชา คะแนนเต็ม คา่ เฉลี่ย สว่ นเบี่ยงเบนมาตรฐาน ภาษาไทย 100 60 10 คณติ ศาสตร์ 150 90 12 กรณีนี้ไม่สามารถบอกได้ว่าคะแนนสอบวิชาใดมีการกระจายมากกว่ากัน แม้ว่า ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของคะแนนวิชาคณิตศาสตร์จะมคี ่ามากกวา่ ก็ตาม กรณีนี้จะต้อง หาค่าสัมประสิทธกิ์ ารกระจายเพอื่ นํามาเปรียบเทียบกนั สถติ ิเพ่ือการวิจัยเบอ้ื งต้น 133

การหาค่าสัมประสิทธิ์การกระจายมีหลายชนิด แล้วแต่ชนิดของสถิติท่ีใช้วัดการ กระจายดงั ตอ่ ไปน้ี 7.4.1 สัมประสิทธิ์ของพสิ ัย (Coefficient of Range : C.R.) จะใช้สัมประสิทธิ์ของพิสัย (Coefficient of Range : C.R.) เพื่อเปรียบเทียบการ กระจายของขอ้ มูลกรณีท่ีวดั การกระจายดว้ ยพิสัย โดยใชส้ ตู รดงั น้ี C.R. = ������������������������−������������������������ ������������������������+������������������������ ตวั อย่าง 7.13 นักศกึ ษาปริญญาตรี 2 กลมุ่ มอี ายดุ งั น้ี กลมุ่ ท่ี 1 30 34 38 28 35 27 42 35 37 39 กลมุ่ ท่ี 2 28 35 24 33 44 26 33 37 40 29 จงเปรียบเทียบการกระจายของอายุของนกั ศึกษา 2 กลุ่มน้ี เมื่อวัดค่า การกระจายดว้ ยพสิ ัย วธิ ีทำ จากสูตร C.R. = ������������������������−������������������������ ������������������������+������������������������ C.R.1 = 42−27 = 15 = 0.217 42+27 69 C.R.2 = 44−24 = 20 = 0.294 44+24 68 ∴ C.R.1 < C.R.2 ดังนั้น อายุของนักศกึ ษาปรญิ ญาโทกลุ่มท่ี 1 มีการกระจายน้อยกว่ากลมุ่ ท่ี 2 ตอบ สถติ ิเพ่ือการวิจยั เบื้องต้น 134

7.4.2 สมั ประสิทธขิ์ องสว่ นเบยี่ งเบนควอรไ์ ทล์ (Coefficient of Quartile Deviation: C.Q.) จะใช้สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนควอร์ไทล์ (Coefficient of Quartile Deviation: C.Q.) เพ่ือเปรียบเทียบการกระจายของขอ้ มลู กรณีที่วดั การกระจายด้วยส่วน เบีย่ งเบนควอร์ไทล์ โดยใช้สตู รดงั นี้ C.Q. = ������3−������1 ������3+������1 ตัวอยา่ ง 7.14 จงเปรยี บเทยี บการกระจายของข้อมลู 2 ชุดตอ่ ไปน้ี ขอ้ มลู ชุดท่ี 1 มธั ยฐาน ������3 ������1 ข้อมูลชุดที่ 2 25 40 15 30 50 10 วธิ ที ำ จากสตู ร C.Q. = ������3−������1 = 25 = 0.45 = 0.67 ������3+������1 55 ตอบ C.Q.1 = 40−15 = 40 40+15 60 C.Q.2 = 50−10 50+10 ∴ C.Q.1 < C.Q.2 ดังน้ัน ขอ้ มูลชุดท่ี 1 มีการกระจายน้อยกวา่ ข้อมูลชดุ ท่ี 2 สถิติเพือ่ การวิจยั เบอ้ื งตน้ 135

7.4.3 สัมประสิทธ์ขิ องสว่ นเบ่ียงเบนเฉลีย่ (Coefficient of Average Deviation: C.A.) จะใช้สัมประสิทธิ์ของส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (Coefficient of Average Deviation: C.A.) เพื่อเปรียบเทียบ การกระจายของข้อมูลกรณีที่วัดการกระจายด้วยส่วนเบี่ยงเบน เฉลยี่ โดยใชส้ ตู รดังนี้ C.A. = ������.������. หรอื ������.������. ������ ������̅ ตวั อยา่ ง 7.15 นําวตั ถุ 2 ชนิดไปชั่งบนเคร่ืองชงั่ 5 อนั ไดผ้ ลดงั ตาราง จงหาสมั ประสิทธิ์ สว่ นเบีย่ งเบนเฉลี่ยของวตั ถทุ ง้ั สองชนดิ น้ำหนัก (กรัม) ������̅ ������. ������. วัตถุชนดิ ที่ 1 6 7 9 8 12 8.4 1.68 วตั ถุชนิดท่ี 2 50 52 49 55 44 50 2.80 วธิ ีทำ จากสตู ร ������. ������. = ������.������. ������̅ ������.������.1 = 1.68 = 0.2 ������. ������.1 = ������̅1 8.4 ������. ������.2 = ������.������.2 = 2.80 = 0.056 ������̅2 50 ∴ ������. ������.1 > ������. ������.2 ดังน้ัน น้ำหนกั วตั ถชุ นิดท่ี 1 มกี ารกระจายมากกว่า นำ้ หนกั วตั ถชุ นดิ ท่ี 2 ตอบ สถิตเิ พื่อการวิจัยเบอื้ งต้น 136

7.4.4 สมั ประสทิ ธ์ขิ องความแปรผัน (Coefficient of Variation: C.V.) จะใช้สัมประสิทธิ์ของความแปรผัน (Coefficient of Variation: C.V.) เพ่ือ เปรียบเทียบ การกระจายของข้อมูลกรณีท่ีวัดการกระจายด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน โดยใช้สูตรดังนี้ C.V. = ������ หรอื ������ ������ ������̅ ตวั อย่าง 7.16 จงเปรยี บเทยี บการกระจายของข้อมลู คะแนนสอบ 3 วิชา ของนักศกึ ษา กลุ่มหน่งึ ซ่ึงมีคา่ ดงั นี้ วิชา คะแนนเต็ม ������̅ s ภาษาไทย 100 60 10 คณิตศาสตร์ 150 90 12 วิทยาศาสตร์ 200 110 16 วิธที ำ จากสตู ร ������. ������. = ������ ������̅ ������1 = 10 = 0.17 ������. ������.1 = ������̅1 60 ������. ������.2 = ������2 = 12 = 0.13 ������̅2 90 ������. ������.3 = ������3 = 16 = 0.15 ������̅3 110 ∴ ������. ������.2 < ������. ������.3 < ������. ������.1 ดงั นน้ั คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ มกี ารกระจายนอ้ ยกว่า วิชาวิทยาศาสตร์ คะแนนสอบวิชาวิทยาศาสตร์ มีการกระจายนอ้ ยกว่า วิชาภาษาไทย ตอบ สถติ เิ พ่อื การวจิ ัยเบือ้ งตน้ 137

7.5 ความสมั พันธ์ระหว่างการแจกแจงความถี่ ค่ากลาง และการกระจาย จากข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่ ถ้านําข้อมูลเหล่านี้มาเขียนให้เป็นเส้นโค้งของ ความถ่ี จะไดเ้ ส้นโคง้ ของความถ่ี 3 ลักษณะดงั น้ี 1. เส้นโค้งปกติ หรือเส้นโค้งรูประฆังคว่ำ (Normal Curve or Bell-Shaped Curve) 2. เส้นโค้งเบ้ขวา หรอื เสน้ โคง้ เบ้ทางบวก (Positively Curve) 3. เสน้ โค้งเบ้ซา้ ย หรอื เสน้ โค้งเบ้ทางลบ (Negatively Curve) ลักษณะของโคง้ เป็นดังน้ี เสน้ โค้งของความถี่ของข้อมลู มีความสมั พันธก์ ับค่ากลางของขอ้ มูล ดังนี้ 1. โค้งปกติ จะพบวา่ ค่าเฉลีย่ เลขคณติ = มัธยฐาน = ฐานนิยม 2. เส้นโคง้ เบข้ วา จะพบว่า ฐานนยิ ม < มธั ยฐาน < คา่ เฉลี่ยเลขคณิต 3. เส้นโคง้ เบซ้ า้ ย จะพบวา่ คา่ เฉลี่ยเลขคณิต < มัธยฐาน < ฐานนยิ ม เส้นโค้งของความถี่ที่พบเสมอๆ ไม่ว่าจะเป็นข้อมูลทางด้านประชากร เกษตร สังคม เศรษฐกิจ หรือวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่มักเป็นข้อมูลที่เกิดขึ้นหรือเป็นไปตาม ธรรมชาติ และจะมีเส้นโค้งความถี่เป็นรูปเส้นโค้งปกติ เช่น ข้อมูลเกี่ยวกับความสูง นำ้ หนกั ราคา ผลผลิตทางการเกษตร มักมรี ปู เปน็ เส้นโค้งปกติ สถิตเิ พื่อการวิจัยเบ้ืองต้น 138

ลักษณะของเส้นโค้งปกติ เส้นโค้งปกติมีความโด่งมากหรือน้อยขึ้นอยู่กับการกระจายของข้อมูล ถ้าข้อมูลมี การกระจายมากเส้นโค้งปกติจะโด่งน้อย หรือค่อนข้างแบน แต่ถ้าข้อมูลมีการกระจาย นอ้ ย เส้นโคง้ ปกตจิ ะโด่งมากหรอื ค่อนขา้ งสูง ดงั รูป ลักษณะของเสน้ โคง้ ปกติกับการกระจายของข้อมลู ลกั ษณะของเสน้ โค้งปกติ บทสรุป • ������1 = ������2 • ������1 > ������2 • ข้อมลู ชุดที่ 1 กระจายมากกวา่ ชดุ 2 • ������1 < ������2 • ������1 = ������2 • ข้อมูลชดุ ที่ 1 กระจายมากกวา่ ชดุ 2 เพราะ ������1 > ������2 ������1 ������2 • ������1 < ������2 • ������1 < ������2 • ยงั สรปุ ไมไ่ ด้ จนกวา่ จะทราบ ������ และ ������ ของข้อมลู ทง้ั สองชุด สถติ เิ พื่อการวิจยั เบื้องตน้ 139

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ี่ 7.2 จดุ ประสงค์ 1. นักศึกษาสามารถวดั การกระจายสมั พัทธข์ องข้อมูลได้  ถา้ คะแนนสอบวชิ าคณติ ศาสตร์และวชิ าสถิติของนกั ศกึ ษาเปน็ ดังตาราง จงหาสมั ประสิทธิ์ของการแปรผนั ระหว่างคะแนนวชิ าสถติ ิ และคะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ คะแนนวชิ าสถติ ิ 65421 คะแนนวชิ าคณิตศาสตร์ 9 6 5 3 2 วิธที ำ  บริษทั ผลิตหลอดไฟฟา้ แหง่ หนึง่ ผลิตหลอดไฟออกจำหนา่ ย 2 ชนิด ชนดิ แรกอายุการใชง้ านเฉลย่ี 1,495 ชัว่ โมง ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน 280 ชว่ั โมง ชนดิ ทีส่ อง อายุการใชง้ านเฉล่ยี 1,875 ช่ัวโมง สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 310 ช่ัวโมง จงพจิ ารณาว่าหลอดไฟชนดิ ใดมีการกระจายมากกวา่ กันและหลอดไฟใดคุณภาพดีกว่ากัน วิธที ำ สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้ืองต้น 140

 ถา้ ท่านเปน็ นาย ก. จะต้องตดั สินใจเลอื กซอื้ หุน้ บริษทั ใดบริษทั หนึ่ง จากท่ีมใี ห้เลือก 3 บริษัทท่มี อี ัตรา เงนิ ปนั ผลดังตอ่ ไปนี้ ทา่ นจะตดั สินใจเลอื กลงทนุ ซื้อหนุ้ ของบรษิ ทั ใด บริษัท A เงินปนั ผลเฉล่ยี 15.6 ตอ่ ปี และค่าส่วนเบย่ี งเบนมาตรฐาน 3.7 บริษทั B เงนิ ปันผลเฉลีย่ 13.7 ตอ่ ปี และคา่ ส่วนเบยี่ งเบนมาตรฐาน 2.5 บรษิ ัท C เงนิ ปันผลเฉลย่ี 18.9 ต่อปี และคา่ สว่ นเบ่ียงเบนมาตรฐาน 5.8 วิธที ำ  จงพจิ ารณาว่าขอ้ ความต่อไปนีถ้ ูกหรอื ผิด ถ้าถูกใสเ่ คร่อื งหมายหน้าขอ้ ความ ถา้ ผิด ใสเ่ คร่อื งหมาย  หน้าข้อความ ..................1) พสิ ัยของข้อมูลใด ๆ จะต้องมคี ่าเป็นบวกเสมอ ..................2) สัมประสิทธิ์ของพสิ ยั ของข้อมูลอาจเป็นจำนวนลบได้ ..................3) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานและความแปรปรวนของขอ้ มลุ ชดุ เดียวกนั ต้องมีคา่ ต่างกนั ..................4) คา่ เบี่ยงเบนเฉลยี่ และค่าเบ่ียงเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชุดเดยี วกนั อาจมีคา่ เทา่ กันได้ ..................5) ถ้าในข้อมูลชุดหนึ่ง มีค่าของข้อมูลทุกตัวเท่ากัน พิสัย ค่าเบี่ยงเบนควอรไ์ ทล์ ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย คา่ เบีย่ งเบนมาตรฐาน จะเท่ากันหมด ..................6) ถา้ ขอ้ มลู ชุดท่ี 1 มีคา่ เบย่ี งเบนมาตรฐานมากกวา่ ขอ้ มลู ชดุ ที่ 2 แสดงว่าข้อมลู ชุดที่ 1 มีการกระจายมากกว่าขอ้ มลู ชดุ ท่ี 2 ..................7) ถ้าข้อมูลชุดที่ 1 มีคา่ เบี่ยงเบนเฉลี่ยน้อยกว่าขอ้ มลู ชุดที่ 2 แสดงว่าขอ้ มูลชดุ ที่ 1 มีการกระจาย น้อยกว่าขอ้ มูลชุดที่ 2 ..................8) ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน และสมั ประสิทธิ์ของค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมุลชุดเดียวกันจะไม่เท่ากนั ..................9) ค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ย และสมั ประสิทธิ์ของค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยของข้อมุลชุดเดียวกันจะไม่เท่ากัน ..................10) สัมประสิทธิ์ของความแปรผันของข้อมูลชดุ หน่งึ จะมีคา่ มากกวา่ สัมประสทิ ธิ์ของค่า เบ่ยี งเบนเฉลี่ยของขอ้ มูลชดุ น้ันเสมอ สถติ เิ พ่อื การวิจยั เบื้องต้น 141

..................11) ความแปรปรวนของขอ้ มูลชุดหน่ึงจะมากกว่าหรือเทา่ กบั คา่ เบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมลุ ชดุ น้ัน ..................12) ถ้าความแปรปรวนของข้อมูลชุดหนึ่งมีค่า 0 แสดงวา่ ค่าของข้อมูลทุกค่าจะเท่ากันหมด ..................13) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณติ ต่างกัน จะต้องมีค่าเบย่ี งเบนมาตรฐานต่างกนั ด้วย ..................14) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณติ ต่างกัน จะต้องมีค่าเบี่ยงเบนเฉลยี่ ต่างกันด้วย ..................15) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณติ ต่างกัน จะต้องมีพิสยั ต่างกันด้วย ..................16) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณติ เทา่ กนั การแจกแจงของข้อมลู จะต้องเหมือนกัน ..................17) ถ้าพิสัยของข้อมูลเท่ากับ 0 คา่ เบี่ยงเบนมาตรฐาน และค่าเบี่ยงเบนเฉลี่ยจะต้องเท่ากัน 0 ด้วย ..................18) ข้อมูล 2 ชุดมีค่าเฉลี่ยเลขคณติ เท่ากัน เส้นโค้งความถจี่ ะต้องโด่งเท่ากัน ..................19) สัมประสิทธิ์ของพสิ ัยของข้อมูลชุดหนึ่งเท่ากับ 1 คา่ เฉลี่ยเลขคณติ จะต้องมากกว่า 0 ..................20) กำหนดเส้นโค้งความถี่ดังรูป คา่ เบย่ี งเบนมาตรฐานของขอ้ มลู ชดุ 1 มากกว่าขอ้ มลู ชดุ 2 ..................21) จากขอ้ 20 ค่าเบย่ี งเบนเฉลย่ี ของขอ้ ชดุ 1 น้อยกวา่ ขอ้ มลู ชดุ 2 ..................22) ถา้ คา่ มากทส่ี ุดของขอ้ มลู มคี า่ เทา่ กบั คา่ เฉลย่ี เลขคณิต ค่าเบย่ี งเบนมาตรฐานจะเท่ากบั 0 ..................23) ถา้ คา่ ต่าทส่ี ุดของขอ้ มลู มคี า่ เทา่ กบั คา่ เฉลย่ี เลขคณิต ค่าเบย่ี งเบนมาตรฐานจะเท่ากบั 0 ..................24) ถา้ สมั ประสทิ ธขิ์ องสว่ นเบย่ี งเบนควอรไ์ ทลเ์ ท่ากบั 0 แลว้ คา่ ทกุ ค่าจะเท่ากนั หมด ..................25) ถา้ สมั ประสทิ ธขิ์ องพสิ ยั ของขอ้ มลู มคี า่ 0 แลว้ คา่ ทุกคา่ จะเท่ากนั หมด สถิตเิ พ่อื การวจิ ัยเบือ้ งตน้ 142