1401-บทที่ 5 การวัดค่ากลางของข้อมูล

เอกสารประกอบการเรียน 55 หน่วยการเรยี นร้ทู ่ี การวัดค่ากลางของข้อมลู (Measures of Central Value) ผูส้ อน จิตรเมธี สายส่มุ วิทยาลัยเทคนิคลพบรุ ี

บทท่ี 5 การวดั คา่ กลางของขอ้ มลู Measures of Central Value สาระการเรยี นรู้ 1. ค่าเฉลย่ี เลขคณิต (Arithmetic Mean) 1.1 การหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมลู ทไ่ี มไ่ ด้แจกแจงความถี่ 1.1.1 การหาคา่ เฉลยี่ เลขคณติ ถว่ งนำ้ หนัก (Weight Arithmetic Mean) 1.1.2 การหาคา่ เฉล่ยี เลขคณิตรวม (Combined Arithmetic Mean) 1.2 การหาค่าเฉล่ยี เลขคณติ ของขอ้ มูลทีแ่ จกแจงความถี่ 2. มัธยฐาน (Median) 2.1 การหาคา่ มธั ยฐานของขอ้ มูลที่ไม่ได้แจกแจงความถี่ 2.2 การหาค่ามัธยฐานของขอ้ มลู ทแ่ี จกแจงความถ่ี 3. ฐานนิยม (Mode) 3.1 การหาคา่ ฐานนยิ มของขอ้ มูลที่ไมไ่ ด้แจกแจงความถ่ี 3.2 การหาคา่ ฐานนิยมของข้อมลู ทแี่ จกแจงความถี่ จุดประสงค์การเรยี นรู้ 1. หาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของข้อมูลท่ไี มไ่ ด้แจกแจงความถ่ีได้ 2. หาคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ถว่ งนำ้ หนกั ได้ 3. หาคา่ เฉลี่ยเลขคณติ รวมได้ 4. หาคา่ เฉลี่ยเลขคณิตของขอ้ มูลทีแ่ จกแจงความถี่ได้ 5. หาคา่ มธั ยฐานของข้อมูลท่ีไมไ่ ด้แจกแจงความถ่ีได้ 6. หาคา่ มธั ยฐานของขอ้ มูลทแ่ี จกแจงความถไี่ ด้ 7. หาคา่ ฐานนิยมของขอ้ มูลท่ีไม่ได้แจกแจงความถี่ได้ 8. หาค่าฐานนิยมของข้อมูลท่แี จกแจงความถีไ่ ด้ 69 สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้อื งต้น

5.1 ความหมายของค่ากลาง (Central Value) ทบทวนความจำ การหาค่ากลางของข้อมูลเพื่อหาค่าสถิติ หรือค่าพารามิเตอร์แล้วนำผลท่ีได้มาสรุปและ •ป ร ะ ช า ก ร ( Population) ตีความหมายของข้อมูลใช้เป็นตัวแทนของ หมายถึง กลุ่มของสมาชิกทุก ข้อมูลทั้งหมดเพ่ือความสะดวกในการสรุป หนว่ ยทเ่ี ราตอ้ งการศึกษา เรื่องราวเกี่ยวกับข้อมูลน้ัน ๆ จะช่วยทำให้เกิด การวเิ คราะห์ขอ้ มลู ถกู ตอ้ งดขี ้นึ •พ า ร า มิ เ ต อ ร์ (Parameter) หมายถึงตัวเลขท่ีแสดงคุณสมบัติ การหาค่ากลางของข้อมูลมีวิธีหาหลาย บางประการของประชากร เช่น วิธีแต่ละวิธี มีข้อดีและข้อเสียและมีความ ,, 2 เปน็ ตน้ เหมาะสมในการนำไปใช้ไม่เหมือนกันขน้ึ อยู่กับ ลักษณะของข้อมูลและวัตถุประสงค์ของผู้ใช้ •ตัวอ ย่ าง (Sample) ห ม าย ถึ ง ข้อมลู นั้น ๆ บางส่วนของประชากรที่เลือกมา เพ่ือศกึ ษา ค่ากลางท่ีเป็นตัวแทนของข้อมูลที่นิยม ใช้มีอยู่ 3 ค่าได้แก่ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต ค่ามัธย •ค่าสถิติ(Statistic) หมายถึง ตัว ฐาน และ ค่าฐานนยิ ม เลขที่คำนวณจากกลุ่มตัวอย่าง เช่น x,s,s2 5.2 คา่ เฉลย่ี เลขคณิต (Arithmetic Mean) คา่ เฉลี่ยเลขคณิต (Arithmetic mean) คือค่าของผลรวมของค่าสงั เกตของข้อมูล ทั้งหมดหารด้วยจำนวนของข้อมูลท้ังหมด เรียกสั้นๆ ว่า ค่าเฉล่ีย ค่าเฉลี่ยเลขคณิต เหมาะท่จี ะนำมาเปน็ คา่ กลางของข้อมลู เมอ่ื ขอ้ มลู นั้นไมม่ ีคา่ ใดค่าหนึ่งสูงหรือต่ำผิดปกติ สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งต้น 70

5.2.1 การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของขอ้ มูลไมแ่ จกแจงความถ่ี การหาค่าเฉลีย่ เลขคณิตของข้อมูลทไี่ มไ่ ด้แจกแจงความถี่มสี ตู รดงั น้ี สตู ร คา่ เฉลี่ยของประชากร สูตร คา่ เฉลีย่ ของกลุม่ ตวั อยา่ ง (Population mean) (Sample mean)  = x x = x N n ตวั อยา่ งที่ 5.1 คะแนนผลสัมฤทธิ์ทางการเรียนวชิ าสถติ ิของนกั ศกึ ษากลุ่มตวั อยา่ ง จำนวน 10 คนมีคา่ ดังนี้ 87 61 75 85 73 65 58 66 78 95 จงหาคา่ เฉล่ยี เลขคณิตของคะแนนผลสมั ฤทธ์ิทางการเรยี นของนกั ศกึ ษากลุ่มน้ี วธิ ที ำ จากสูตร x= x (Note: ให้นักศึกษาเขยี นสตู ร ก่อนเสมอ) n จะได้ x = 87+61+75+85+73+65+58+66+78+95 10 = 743 10 คา่ เฉลีย่ เลขคณติ ของคะแนนผลสมั ฤทธ์ิ = 74.3 คะแนน ตอบ 71 สถติ ิเพอื่ การวิจัยเบ้ืองต้น

ตวั อยา่ งที่ 5.2 ในการสอบวชิ าสถิตขิ องนกั ศึกษาห้องหนงึ่ คา่ เฉลี่ยเลขคณิตของคะแนน เทา่ กบั 53 คะแนนแตจ่ ากการตรวจสอบพบวา่ มขี อ้ สอบของนกั เรียน 2 คนท่ยี ังไม่ไดต้ รวจเมอื่ ตรวจเสรจ็ คำนวณคา่ เฉลยี่ ใหมไ่ ด้ 55 คะแนน และผลรวมของคะแนนสอบเพิ่มขึ้นอกี 180 คะแนนจำนวนนกั ศกึ ษา ในห้องนม้ี เี ทา่ ใด (เราสนใจคะแนนสถติ ขิ องนักศึกษาหอ้ งนี้ ดงั น้นั ประชากรคือนักศกึ ษาในห้องน้ี) วิธีทำ จากสูตร  = x (Note: ใหน้ กั ศึกษาเขียนสูตรก่อนเสมอ) n 53 = x ........ N −2 55 = x +180 ........ N จาก  53(N-2) = x x = 53N-106 ……. แทนคา่ x จากใน  จะได้ 55 = 53N −106 +180 N 55N = 53N + 74 2N = 74 N = 37 มนี กั ศึกษาท้ังหมด = 37 คน ตอบ สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 72

ตวั อยา่ งท่ี 5.3 นักศึกษากลุ่มตวั อยา่ งมี 10 คน มีคะแนนเฉลย่ี วชิ าคณติ ศาสตร์ 45 คะแนน ต่อมาทราบวา่ คิดคะแนนผดิ ไป 2 คนคือ จาก 48 และ 50 คะแนน คดิ เป็น 43 และ 60 คะแนนจงหา คะแนนเฉลยี่ ทถี่ ูกตอ้ ง วิธที ำ จากสูตร x = x (Note: ให้นักศกึ ษาเขยี นสูตรก่อนเสมอ) n 45 = x 10 4510 = x x = 450 คะแนนรวมท่ีถกู ตอ้ ง = 450 – 5 = 445 445 ตอบ คะแนนเฉลยี่ ทถ่ี กู ต้อง = 10 = 44.5 คะแนน ตัวอยา่ งที่ 5.4 ถ้าผูส้ อนจะใหเ้ กรด 4 แกน่ ักศกึ ษาทีไ่ ดค้ ะแนนไมต่ ำ่ กวา่ 75 คะแนน จากการสอบท้งั 6 ครั้งถ้าคะแนนเฉลยี่ ของการสอบยอ่ ย 5 คร้ังของนาย บอลเทา่ กับ 71 คะแนนจงหาวา่ คร้งั ท่ี 6 นายบอลตอ้ งสอบไดก้ ี่คะแนน จงึ จะไดเ้ กรด 4 วิธีทำ จากสูตร  = x (Note: ให้นักศึกษาเขยี นสูตรกอ่ นเสมอ) n 75 = 5(71) + x 66 75(6) = 355+ x 450 −355 = x ตอบ นายบอลต้องสอบครงั้ ท่ี 6 ใหไ้ ด้ = 95 คะแนน จึงจะไดเ้ กรด 4 73 สถิติเพอ่ื การวิจัยเบ้อื งต้น

5.2.2 การหาคา่ เฉลีย่ เลขคณติ แบบถ่วงน้ำหนัก (Weight Arithmetic Mean) คา่ เฉลีย่ เลขคณิตแบบถ่วงนำ้ หนัก (Weight Arithmetic Mean) จะใช้ในกรณีที่ ข้อมลู มคี วามสำคัญไม่เท่ากัน เช่น การหาผลการเรียนเฉลี่ยเน่อื งจากแต่ละวชิ ามีจำนวน หนว่ ยกิตไมเ่ ท่ากัน จึงจำเปน็ ต้องถว่ งนำ้ หนกั ถ้าให้w1,w2,...,wn เป็นน้ำหนักถ่วงของค่าสังเกตค่าเฉล่ียเลขคณิตถ่วงน้ำหนักมี สตู รดังน้ี ค่าเฉล่ยี เลขคณติ ถว่ งนำ้ หนกั คา่ เฉลยี่ เลขคณติ ถ่วงนำ้ หนกั ของประชากร (Population Weight ของกลมุ่ ตัวอยา่ ง (Sample Weight Arithmetic Mean) Arithmetic Mean)  = wx x = wx w w ตวั อยา่ งท่ี 5.5 จงคำนวณหาผลการเรยี นเฉลี่ยของนกั ศึกษาคนหน่ึงซ่ึงมผี ลการเรยี นดังนี้ ชื่อวชิ า คณติ ศาสตร์ วิทยาศาสตร์ ภาษาอังกฤษ ภาษาไทย สังคมศกึ ษา หน่วยกิต (w ) 3 3 2 2 1 เกรด ( x ) 4 3 3 42 วธิ ที ำ จากสูตร  = wx w  3(4) + 3(3) + 2(3) + 2(4) +1(2) = 3+3+2+2+1 12 + 9 + 6 +8 + 2 = 11 = 37/11 ผลการเรยี นเฉลยี่ = 3.36 ตอบ สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งต้น 74

ตวั อย่างที่ 5.6 กำหนดให้ x เป็นตัวแปรหน่งึ ถ้าค่าทส่ี งั เกตไดพ้ รอ้ มกบั ร้อยละของ ความถ่ีสะสมมีคา่ ดงั ตาราง จงหาคา่ เฉล่ยี เลขคณิตของขอ้ มลู คา่ สงั เกต( x ) –4 –3 1 2 3 ความถส่ี ะสม 30 ความถ่ี (w ) 30 50 60 80 100 20 10 20 20 วธิ ีทำ จากสูตร x = wx w = 30(−4)+20(−3)+10(1)+20(2)+20(3) = = 30+20+10+20+20 ค่าเฉลี่ยเลขคณิต −120+(−60)+10+40+60 100 ตอบ − 70 100 = - 0.7 5.2.3 การหาค่าเฉลยี่ เลขคณติ รวม (Combined Arithmetic Mean) ในการวิเคราะหข์ อ้ มลู หลายๆชุดท่ีหาค่าเฉลี่ยไว้แลว้ หากตอ้ งการหาคา่ เฉล่ียเลขคณิต ของขอ้ มลู ทง้ั หมดโดยนับรวมเป็นชุดเดยี วต้องใช้การคำนวณโดยค่าเฉลยี่ เลขคณิตรวม ถ้า x1,x2,x3,...,xk เป็นค่าเฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มลู ชุดท่ี 1,2,3,...,k และ n1,n2,n3,...,nk เป็นจำนวนคา่ จากการสังเกตในขอ้ มลู ชดุ ท่ี 1,2,3,...,k ค่าเฉลย่ี เลขคณติ รวมของประชากร ค่าเฉล่ยี เลขคณติ รวมของกลุม่ ตวั อย่าง k k ni xi i =1 ni xi = k = i =1 ni i =1 xk ni i =1 75 สถิติเพอ่ื การวิจัยเบ้ืองต้น

ตัวอยา่ งที่ 5.7 นักศึกษาหอ้ งหนึง่ มีนักศกึ ษาชาย 13 คนหญิง 11 คน นกั ศึกษาชาย มคี วามสงู เฉล่ยี 168 เซนตเิ มตรนักศึกษาหญิงมีความสงู เฉลย่ี 155 เซนตเิ มตรจงหาค่าเฉลี่ยความสงู ของนักศกึ ษาท้ังห้อง วิธีทำ จากสูตร x = k = ni xi i =1 k ni i =1 13(168)+11(155) 13+11 = 2184+1705 24 = 3889 24 ความสูงเฉลย่ี ทั้งหอ้ ง = 162.04 เซนตเิ มตร ตอบ 5.2.4 การหาคา่ เฉลย่ี เลขคณิตของข้อมูลแจกแจงความถ่ี การคำนวณหาค่าเฉล่ียเลขคณิตของข้อมูลแจกแจงความถ่ี ใช้สูตรทำนอง เดียวกบั การหาค่าเฉล่ียโดยวิธีถ่วงน้ำหนักโดยท่ีน้ำหนักในที่นี้คือความถ่ีของค่าจากการ สังเกตแตล่ ะคา่ หรอื คา่ ที่เป็นตัวแทนของแต่ละอันตรภาคช้นั ซึง่ เรยี กว่า จุดก่ึงกลางของ อนั ตรภาคช้นั (Midpoint) กลุม่ ประชากร กลุ่มตวั อยา่ ง  =  fx x =  fx N n สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งต้น 76

ตวั อย่างที่ 5.8 จากตารางแจกแจงความถจี่ งหาคา่ เฉลี่ยเลขคณติ ของขอ้ มลู กลุม่ ตวั อยา่ งตอ่ ไปน้ี คะแนน ความถี่( f ) จดุ ก่ึงกลางชนั้ (x) fx 0 – 4 3 (0+4)/2=2 (3x2)=6 28 5 – 9 4 (5+9)/2=7 120 34 10 – 14 10 12 22 15 – 19 2 17  fx = 210 20 – 24 1 22 ตอบ รวม n =20 วิธีทำ จากสูตร x =  fx n = 210 20 ค่าเฉลย่ี เลขคณติ = 10.5 ตัวอย่างที่ 5.9 จากตารางแจกแจงความถแ่ี สดงเงนิ เดือนของพนักงานจงหาค่าเฉล่ยี เลข คณติ ของขอ้ มูลประชากรกลุ่มน้ี เงนิ เดือน จำนวน ( f ) จดุ ก่ึงกลาง(x) fx 6500 – 6999 10 6749.50 7000 – 7499 15 7240.50 67,495.00 7500 – 7999 20 7749.50 108,742.50 8000 – 8499 15 8249.50 154,990.00 8500 – 8999 10 8749.50 123,742.50 9000 – 9499 3 9249.50 87,495.00 9500 – 9999 2 9749.50 27,748.50 19,499.00 รวม n =75 =  fx N  fixi =589,712.50 วิธที ำ จากสูตร  = 589712.50 ตอบ เงินเดอื นเฉล่ีย 75 = 7862.83 บาท 77 สถิติเพอื่ การวิจัยเบ้อื งต้น

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ี่ 4.1 จุดประสงค์ 1. นกั ศกึ ษาสามารถหาค่าเฉลี่ยเลขคณติ ได้  คะแนนสอบของนกั เรียน 20 คน ซง่ึ มีคะแนนเต็ม 10 คะแนน เปน็ ดงั นี้ 5, 3, 1, 10, 5, 8, 9, 6, 7, 3, 9, 6, 6, 8, 7, 6, 6, 5, 5, 3 ถ้าเกณฑ์ของคนท่ีสอบผ่านต้องได้คะแนนมากกว่า คา่ เฉล่ียเลขคณติ ของคะแนนสอบ จะมผี ้สู อบผ่านกค่ี น  อายุเฉลยี่ ของนักศกึ ษากลุม่ หน่งึ เท่ากับ 21.6 ถ้าอายขุ องนกั ศึกษากลมุ่ น้ี เปน็ ดงั นี้ 19, 22, b, b, 27, b จงหา b  ข้อมูลชดุ หนึง่ มี 7 จำนวน และมีค่าเฉล่ยี เลขคณิตเท่ากับ 15 ถ้าข้อมูล 6 จำนวนแรกเป็น 15 , 14 , 16 , 17 , 15 และ 14 ตามลำดับ จงหาค่าของขอ้ มูลลำดบั ท่ี 7 สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 78

 ในการสอบวชิ าคณติ ศาสตร์ 5 คร้ัง แต่ละคร้งั มคี ะแนนเตม็ 60 คะแนน ถ้าในการสอบ 4 คร้ังแรก ศตวรรษสอบไดค้ ะแนน 25 , 31 , 42 และ 30 คะแนน จงหาว่าเขาจะตอ้ งสอบครั้งสดุ ท้ายให้ไดค้ ะแนนเท่าไร จึงจะมคี ะแนนเฉลี่ยเท่ากับ 60% ของคะแนนเต็ม  นกั ศกึ ษาหอ้ งหน่ึงมี 50 คน ในการสอบวิชาสถิติ ปรากฏว่า ไดเ้ กรด 4 จำนวน 7 คน ได้เกรด 3 จำนวน 12 คน ไดเ้ กรด 2 จำนวน 20 คน ได้เกรด 1 จำนวน 8 คน นอกน้ันไดเ้ กรด 0 จงหาเกรดเฉล่ียของนักศึกษาทั้งหอ้ ง  โรงพยาบาลแห่งหนึ่งมีพนักงานหญงิ 400 คน พนักงานชาย 600 คน เมื่อนำมาทดสอบระดบั IQ พบวา่ คะแนน เฉล่ียของท้ังหมดเปน็ 115 และคะแนนเฉล่ียของพนักงานหญิงเปน็ 117 อยากทราบว่าคะแนนเฉล่ียของ พนักงานชายเปน็ เท่าไร 79 สถิติเพอื่ การวิจัยเบ้ืองต้น

 จากตารางแจกแจงความถี่ของของอายุหลอดไฟฟ้าจำนวน 40 ดวง จงหาคา่ เฉล่ียเลขคณติ ของหลอดไฟฟ้า อายุหลอดไฟ จำนวน ( f ) จดุ กง่ึ กลางช้ัน (x ) fx 118 – 122 2 123 – 127 8 128 – 132 15 133 – 137 11 138 – 142 3 143 – 147 1 รวม 40 วิธที ำ x=  fx n  จากตารางแสดงคะแนนสอบปลายภาคเรียน ถ้า x =18.3คะแนน แล้ว a มคี ่าเท่าใด คะแนน จำนวน ( f ) จุดก่งึ กลางช้นั (x ) fx 30 – 26 8 25 – 21 10 20 – 16 15 15 – 11 10 – 6 a รวม 6 39+ a วธิ ีทำ x =  fx n สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งต้น 80

5.3 ค่ามัธยฐาน (Median) ค่ามัธยฐาน (Median : Med) คือค่าที่อยู่ตำแหน่งกึ่งกลางของข้อมูลท้ังชุดเมื่อมี การจัดเรียงคะแนนตามความมากนอ้ ยแบ่งขอ้ มูลท่ีเรียงลำดบั แลว้ ออกเป็น 2 สว่ นเทา่ ๆ กันใช้กับข้อมูลเชิงปริมาณเท่านน้ั เหมาะท่ีจะนำมาใช้เป็นคา่ กลางเม่ือข้อมูลนนั้ มีคา่ หนึ่ง คา่ ใดสงู หรือตำ่ ผดิ ปกติ 5.3.1 การหาค่ามัธยฐานของข้อมลู ไม่แจกแจงความถ่ี ข้ันตอนการหาค่ามธั ยฐานของข้อมลู ไมแ่ จกแจงความถี่มดี ังนี้ 1. จดั เรยี งขอ้ มลู จากมากไปนอ้ ยหรือจากน้อยไปมาก 2. หาตำแหน่งกง่ึ กลางของชดุ ขอ้ มลู โดยใชส้ ูตร ตำแหน่งของคะแนนก่ึงกลาง = N +1 เม่อื N แทนจำนวนคะแนนในชดุ 2 ข้อมูล 3. ค่ามัธยฐาน คือ ข้อมลู ณ ตำแหนง่ ทคี่ ำนวณได้ในข้นั ท่ี 2 ดังน้ัน Med = x N +1 2 ตวั อยา่ งที่ 5.10 จงหาคา่ มธั ยฐานของข้อมูลตอ่ ไปน้ี ก. 2 5 1 4 6 7 9 ข. 2 5 1 4 6 7 9 10 ค. 2 5 1 4 6 7 9 10 8 วธิ ที ำ ก. 1 2 4 5 6 7 9 มัธยฐาน = 5 ตอบ ข. 1 2 4 5 6 7 9 10 มธั ยฐาน = 5+6 = 5.5 ตอบ 2 ค. 1 2 4 5 6 7 8 9 10 มัธยฐาน = 6 ตอบ 81 สถิติเพอื่ การวิจัยเบ้ืองต้น

ตัวอย่างท่ี 5.11 จงหาคา่ มธั ยฐานของจำนวนเงินฝากในรอบ 8 ปีของธนาคารแหง่ หนึง่ พ.ศ. จำนวนเงนิ ฝาก (ล้านลา้ นบาท) 2547 2.43 2548 2.76 2549 3.25 2550 3.68 2551 4.31 2552 4.96 2553 4.67 2554 3.97 วิธที ำ เรียงข้อมลู 2.43 , 2.76 , 3.25 , 3.68 , 3.97 , 4.31 , 4.67 , 4.96 มัธยฐาน = 3.68 + 3.97 ตอบ 2 = 3.83 5.3.2 การหาค่ามธั ยฐานของข้อมลู แจกแจงความถี่ การหาคา่ มธั ยฐาน (Median : Med ) ของข้อมลู แจกแจงความถ่สี ามารถหา ได้ โดยใช้สตู รดงั นี้ Med = L + I  N −F  2 fm เม่อื L คือ คา่ ขอบเขตล่างของช้ันทีม่ ธั ยฐานอยู่ I คือ คา่ ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้ันของชั้นทีม่ ธั ยฐานอยู่ F คือ ค่าความถส่ี ะสมของช้นั ทอี่ ยกู่ ่อนช้ันมธั ยฐาน fm คือ คา่ ความถข่ี องชนั้ มัธยฐาน สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 82

ตัวอย่างที่ 5.12 จงหาคา่ มธั ยฐานจากขอ้ มลู ตอ่ ไปน้ี คะแนน จำนวน ขอบเขตชน้ั ความถ่สี ะสม นักศกึ ษา 30 – 39 29.5 – 39.5 8 40 – 49 8 50 – 59 10 39.5 – 49.5 18 N/2 =160/2 =80 60 – 69 12 49.5 – 59.5 30 70 – 79 45 80 – 89 50 59.5 – 69.5 75 90 – 99 20 15 69.5 – 79.5 125 ***ชน้ั มธั ยฐานเพราะขอ้ มูล 79.5 – 89.5 145 ตวั ท่ี 80 อยู่ช้นั น้ี 89.5 – 99.5 160 วิธีทำ จากสูตร Med =L + I  N −F  2 fm แทนคา่ L = 69.5, I =10, N = 80, F = 75, fm = 50 2  Med = 69.5 +10 80 − 75  50  = 69.5 +10 5  50  = 69.5+10(0.1) = 69.5+1 ดงั น้ัน มัธยฐาน = 70.5 คะแนน ตอบ 83 สถติ ิเพอื่ การวิจัยเบ้ืองต้น

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ่ี 4.2 จุดประสงค์ 1. นกั ศึกษาสามารถหาค่ามธั ยฐานได้  จากข้อมลู แสดงการสง่ ออกขา้ วของบริษัทหงส์ไทย ตัง้ แต่ ปี 2546 – 2554 จงหาคา่ มัธยฐาน  ข้อมลู เมอ่ื เรียงจากน้อยไปหามากได้ดังนี้ 2 3 4 7 x 12 14 17 ถ้าคา่ มธั ยฐานของข้อมลู ชุดนี้ เทา่ กบั 9 แล้วค่าของ x เปน็ เทา่ ใด สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบ้อื งต้น 84

 คะแนนสอบวชิ าสถติ ิของนักศกึ ษากลุม่ หน่ึงเป็นดังตาราง จงหามธั ยฐาน คะแนน ความถี่ ความถีส่ ะสม 45 – 49 40 – 44 10 35 – 39 30 – 34 11 25 – 29 20 – 24 24 วิธีทำ จากสูตร Med 8 5 2 n= = L + I  N −F  2 fm 85 สถติ ิเพอื่ การวิจัยเบ้อื งต้น

5.4 คา่ ฐานนิยม (Mode) คา่ ฐานนิยม (Mode : ������������������������) หมายถึง ค่าสังเกตทเ่ี กดิ ซำ้ กันมากทีส่ ดุ หรอื มี ความถี่สูงสุดจะใช้กับข้อมูลเชิงคุณภาพมากกว่าข้อมูลเชิงปริมาณ เช่น ขนาดรองเท้า อายุ ความสูง ถ้าข้อมูลไม่ซ้ำกันเลยถือว่าไม่มีฐานนิยม ข้อมูลชุดหนึ่งอาจมีฐานนิยม มากกวา่ หน่ึงคา่ ก็ได้กรณีทีข่ ้อมูลใดมีฐานนิยมมากกว่า 2 คา่ อาจถือไดว้ ่าข้อมลู ชุดนั้น ไม่มฐี านนยิ มเลยกไ็ ด้ 5.4.1 การหาค่าฐานนิยมของข้อมลู ไม่แจกแจงความถี่ สำหรับข้อมูลทไ่ี ม่แจกแจงความถี่ ฐานนยิ ม คือ ขอ้ มูลตวั ท่ซี ้ำกนั มากท่สี ุด ตัวอย่างท่ี 5.13 ผลการสอบของนักเรียน 10 คนเปน็ ดงั นี้ 15 20 15 9 18 14 12 15 7 6 จงหาคา่ ฐานนยิ มของผลการสอบ วธิ ีทำ จากขอ้ มูล 15 20 15 9 18 14 12 15 7 6 ฐานนิยม = ขอ้ มูลตวั ท่ซี ำ้ กันมากทส่ี ุด = 15 ตอบ สถติ เิพอ่ื การวจิ ยั เบ้อื งตน้ 86

ตัวอยา่ งที่ 5.14 คะแนนสอบวชิ าสถติ แิ ละวิชาภาษาไทยของนกั ศกึ ษาหอ้ งหนึง่ เปน็ ดงั แผนภาพตน้ ใบโดยแต่ละวชิ ามีคะแนนเต็ม 100 คะแนน จงหาฐานนยิ มของคะแนนสอบวชิ าสถิติและวิชาภาษาไทย ใบ (วชิ าสถิต)ิ ต้น ใบ (วชิ าภาษาไทย) 62 67 7538045557 732221918 10 0 วิธีทำ ฐานนยิ ม = ขอ้ มูลตัวทซ่ี ้ำกนั มากที่สดุ ฐานนยิ มวชิ าสถติ ิ = 92 คะแนน ฐานนยิ มวชิ าภาษาไทย = 85 คะแนน ตอบ ตวั อย่างที่ 5.15 จากผลการสำรวจการนับถอื ศาสนาของนกั ศึกษาจำนวน 100 คน จงหาฐานนิยมของ ศาสนา จำนวน พทุ ธ 56 ครสิ ต์ 12 อสิ ลาม 28 อื่น ๆ 4 100 รวม วิธีทำ ฐานนิยม = ข้อมูลตัวท่ซี ้ำกนั มากท่สี ุด = พทุ ธ ตอบ 87 สถติ ิเพอ่ื การวิจัยเบ้ืองต้น

5.4.2 การหาคา่ ฐานนิยมของข้อมลู แจกแจงความถี่ สำหรบั ขอ้ มูลทแ่ี จกแจงความถ่ี สามารถหาฐานนยิ มไดด้ ังนี้ 1. ใชจ้ ดุ ก่งึ กลางช้ันทมี่ คี วามถ่สี ูงสุดเปน็ คา่ ประมาณของฐานนิยม 2. หาจากสตู ร ดงั นี้ Mode = L + I  d1  d1 + d2 เมอื่ L เปน็ คา่ ขอบลา่ งของชั้นทีฐ่ านนยิ มอยู่ เปน็ ค่าความกว้างของอันตรภาคชนั้ ทีฐ่ านนยิ มอยู่ I เป็น คา่ ผลต่างระหว่างความถีข่ องชน้ั ฐานนิยมกบั ความถี่ช้ันตำ่ กวา่ d1 เปน็ คา่ ผลต่างระหวา่ งความถ่ขี องช้นั ฐานนยิ มกับความถชี่ นั้ สูงกวา่ d2 พิสูจน์ กำหนดให้Modeคอื คา่ ฐานนิยม จากรูปจะได้ Mode = LO + LM ความถี่ ฐานนิยมอยใู่ นรูปสเี่ หลย่ี มผนื ผา้ น้ี B E C D A O L MN คะแนน ให้ AB = d1, CD =d2 และ I คือ ความกว้างของอนั ตรภาคช้ันทฐี่ านนยิ มอยู่ จะได้ MN = I − LM สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 88

จากสามเหลย่ี มABEคล้ายกบั CDEจะได้ AB = LM แทนค่า CD MN จะได้ LM d1 = I − LM d2 d1(I − LM) LM = d2 LM = d1 I − d1 LM d2 d2 LM + d1 LM = d1 I d2 d2 (1+ d1 )LM = d1 I d2 d2 =(d 2+ d1 d1 I d2 )LM d2 LM = (dd12 I )(d1d+2d2 ) LM = (d1 d1 )I จาก Mode = +d 2 LO + LM เมอื่ LO เป็นค่าขอบเขตลา่ งของช้ันท่ฐี านนยิ มอยแู่ ทนดว้ ย L ดังน้ัน จะได้ Mode = L + I  d1 d1  +d 2 89 สถติ ิเพอื่ การวิจัยเบ้ืองต้น

ตวั อย่างที่ 5.16 จากตารางแจกแจงความถ่ีต่อไปน้ี จงหาฐานนิยม คะแนน จำนวน 10 – 19 3 20 – 29 8 30 – 39 9 ***ชั้นฐานนิยม 40 – 49 5 50 – 59 2 วิธที ำ จากสตู ร Mode = L + I  d1 d1  +d 2 แทนค่า L = 29.5,I =10,d1 = 9 −8 =1,d2 = 9 −5 = 4  Mod = 29.5 +10 1 4  1+  ดงั นั้น ฐานนิยม = 29.5+10(0.2) = 29.5+ 2 = 31.5 คะแนน ตอบ ตัวอยา่ งท่ี 5.17 จากตารางแจกแจงความถ่ีต่อไปนี้ จงหาฐานนยิ ม คะแนน จำนวน 10 – 19 3 20 – 29 8 30 – 39 12 ***ชั้นฐานนิยม วธิ ที ำ จากสูตร =Mode L + I  d1  d1 + d 2 แทนคา่ L = 29.5,I =10,d1 =12 −8 = 4,d2 =12 −0 =12  Mod = 29.5 +10  4 4   +12  ดงั นั้น ฐานนยิ ม = 29.5+10(0.25) = 29.5+ 2.5 = 32 คะแนน ตอบ สถติ เิพอื่ การวจิ ยั เบอ้ื งตน้ 90

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ี่ 4.3 จดุ ประสงค์ 1. นักศกึ ษาสามารถหาคา่ ฐานนยิ มได้  จงหาคา่ ฐานนยิ มจากขอ้ มูลแสดงจำนวนผู้ใชร้ ะยนต์ญ่ีปุน่ วธิ ที ำ  ขอ้ มลู ชดุ หนึง่ เป็นดงั นี้ 5 9 x x −1 x x +1 5 ฐานนิยมของขอ้ มูลชุดนี้เปน็ เทา่ ใด วธิ ที ำ  คะแนนสอบวิชาสถิติของนกั ศึกษากล่มุ หน่ึงเปน็ ดังตาราง จงหาค่าฐานนิยม คะแนน ความถ่ี ความถี่สะสม 45 – 49 10 40 – 44 11 35 – 39 24 30 – 34 8 25 – 29 5 20 – 24 2 n= วธิ ีทำ จากสูตร Mode = L + I  d1 d1  +d 2 91 สถิติเพอื่ การวิจัยเบ้ืองต้น