1404-Intran1

เอกสารประกอบการเรยี น 55 หนว่ ยการเรียนรู้ท่ี อนิ ทกิ รลั ฟงั ก์ชันอดิศยั (INTEGRATION OF TRANSCENDENTAL FUNCTIONS) ผู้สอน ครจู ติ รเมธี สายสมุ่

5 5หน่วยการเรียนร้ทู ี่ อินทกิ รลั ฟังก์ชันอดิศัย (Integration of Transcendental Functions) หัวข้อเรอ่ื ง 1. การหาอนิ ทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 2. การหาอินทกิ รลั ของฟงั ก์ชันตรีโกณมิติผกผัน 3. การหาอินทิกรัลของฟังกช์ ันลอการิทมึ 4. การหาอนิ ทิกรัลของฟังก์ชนั เลขช้กี ำลงั 1 แคลคลู ัส 1

จุดประสงคท์ ่ัวไป 1. เพื่อให้มคี วามรูค้ วามเขา้ ใจเรือ่ งการหาอนิ ทกิ รัลของฟังก์ชัน อดิศยั 2. เพื่อใหม้ คี วามร้คู วามเขา้ ใจและมเี จตคติที่ดที ่ีจะนำความรู้ เรอ่ื งอินทิกรัลของฟงั ก์ชนั อดศิ ยั ไปใชใ้ นวชิ าชพี และเป็นพืน้ ฐาน ในการศึกษาแคลคลู ัสช้ันสงู ต่อไป จดุ ประสงค์เชงิ พฤตกิ รรม เมอื่ ศึกษาหน่วยนแี้ ล้วนกั ศึกษาสามารถ 1. บอกสตู รสำหรับใช้หาอนิ ทิกรลั ของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิได้ 2. หาอินทกิ รัลของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ไิ ด้ 3. บอกสตู รสำหรบั ใชห้ าอนิ ทกิ รัลของฟงั ก์ชนั ตรีโกณมติ ิผกผนั ได้ 4. หาอนิ ทกิ รัลของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิผกผนั ได้ 5. บอกสูตรสำหรบั ใชห้ าอนิ ทกิ รลั ของฟงั ก์ชนั ลอการทิ ึมได้ 6. หาอินทิกรลั ของฟงั กช์ ันลอการทิ ึมได้ 7. บอกสูตรสำหรับใชห้ าอินทกิ รัลของฟังกช์ นั เลขชก้ี ำลงั ได้ 8. หาอนิ ทกิ รลั ของฟงั กช์ นั เลขชีก้ ำลังได้ แคลคูลสั 1 2

5.1 การหาอนิ ทิกรลั ของฟังก์ชนั ตรโี กณมิติ (Integration of Trigonometric Functions) การหาอินทิกรัลของฟังก์ชันตรีโกณมิติ ทำได้โดยใช้สูตรเอกลักษณ์ ของฟังก์ชันตรีโกณมิติช่วยเปลี่ยนรูปฟังก์ชันให้เป็นรูปที่สามารถหาอินทิกรัลได้ งา่ ยข้นึ 5.1.1 สูตรเอกลกั ษณ์พื้นฐานตรโี กณมิติ (Basic Trigonometric Identities)  csc =   sin  + cos =   sec =  cot = sin  =sec  − tan    tan =  cot =   =csc  − cot   cos  tsainn ccooss sin 3 แคลคลู สั 1

5.1.2 เอกลกั ษณฟ์ ังก์ชันตรโี กณมติ ิของผลบวกและผลต่าง ของมุม (Sums and Differences)  sin( + ) = sincos +cossin  sin( − )  cos( +  ) = sincos −cossin  cos( −  )  tan( + ) = coscos −sinsin  tan( − ) = coscos +sinsin = tan + tan , tan tan  − tan tan tan − tan = + tan tan , tan tan − 5.1.3 เอกลักษณ์ฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิของมุมสองเทา่ และมุม ครง่ึ เทา่ (Double and Half Angles)  sin = sin cos  tan = tan  cos = cos −sin  − tan  cos = cos −  sin   cos = − sin   =   − cos   cos  =  + cos  แคลคูลสั 1 4

5.1.4 สตู รอินทกิ รลั ฟงั ก์ชันตรีโกณมติ ิ ให้ u เปน็ ฟังก์ชนั ของ x และ c เป็นค่าคงตัว 1. sinudu = − cosu + c 2. cosudu = sinu + c 3. tanudu = ln sec u + c 4. cotudu = ln sin u + c 5. secudu = ln sec u + tanu + c 6. cscudu = ln csc u − cot u + c 7. sec2 udu = tanu + c 8. csc2 udu = − cotu + c 9. secutanudu = secu+ c 10. cscucotudu = − cscu + c สตู รอนิ ทกิ รลั ฟังกช์ ันตรีโกณมติ ิท้ัง 10 ขอ้ นีพ้ ัฒนามาจากสตู รอนพุ นั ธ์ ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิตโิ ดยใชน้ ยิ ามของอนิ ทกิ รลั 5 แคลคลู สั 1

ตวั อยา่ ง 5.1 จงหาคา่ sin 2xdx 1 วธิ ที ำ 2 sin 2xdx =  sin 2xd(2x) = − cosx + c ตอบ  ตอบ ตอบ ตวั อย่าง 5.2 จงหาคา่ cos(6x −3)dx ตอบ 1 วิธที ำ cos(6x −3)dx = 6  cos(6x − 3)d(6x − 3) = 16sin(6x − 3) + c ตวั อย่าง 5.3 จงหาคา่  tan3xdx 1 3 วธิ ที ำ  tan3xdx =  tan3xd3x = 1 lnsec3x + c 3 ตัวอย่าง 5.4 จงหาคา่  sec2xdx 1 2 วธิ ีทำ  sec2xdx =  sec2xd2x = 1 ln sec2x + tan2x +c 2 แคลคูลสั 1 6

ตวั อย่าง 5.5 จงหาคา่ sec(1−2x)tan(1−2x)dx วธิ ีทำ sec(1−2x)tan(1−2x)dx = sec(1−2x)tan(1−2x)d(1−−22x) 1 = − 2 sec(1− 2 x )tan(1− 2 x )d (1− 2 x) = −12sec(1−2x)+c ตอบ ตวั อย่าง 5.6 จงหาค่า  x2 tan(x3 −1)dx x3 วธิ ที ำ 3x  x2 tan(x3 −1)dx =  x 2 tan(x 3 − 1) d ( − 1) 2 = 1  x 2 tan(x3 −1)d ( x3 −1) 3 = ( ) ln sec x − + c ตอบ  ตัวอยา่ ง 5.7 จงหาค่า  sec2 x dx x sec 2 x sec2 x x วธิ ีทำ  dx =  x d 1 x 2x = 2sec2 xd x = 2tan x + c ตอบ 7 แคลคลู สั 1

แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ่ี 5.1 จุดประสงค์ นักศกึ ษาสามารถหาค่าอินทิกรลั ของฟังกช์ ันตรโี กณมติ ิได้ จงหาอนิ ทิกรลั ของฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติต่อไปน้ี 1. sin 2xdx= 2. cos3xdx= 3. tan(3x −1)dx = แคลคูลสั 1 8

4.  sec( 2x +1)dx = 5.  sec xdx 6. csc2 xdx = 7.  cos x dx= x 9 แคลคลู สั 1

8.  x=1dx cos 9. (3sin x + 5cosx)dx = 10. (7sec2 x −secx tan x)dx= 11. (cscx +1)2dx = แคลคูลสั 1 10

12. = x(sec x − tanx )dx 13.  1− sin2 xdx = 14. = 4x tan 2x2 − 3 dx 2x2 − 3 15.   x dx = cos 11 แคลคลู สั 1

16.  sin xcosxdx = 17. = sin− x cosxdx 18. = tan x sec xdx แคลคูลสั 1 12

5.2 อนิ ทกิ รลั ของฟงั กช์ ันตรีโกณมติ ิผกผัน (Integration of Inverse Trigonometric Function) สูตร อนิ ทิกรัลฟงั กช์ ันตรีโกณมิติผกผนั ให้ u เป็นฟงั ก์ชนั ที่หาอนุพันธ์ได้ a และc เป็นค่าคงตัว 1.  =du sin−1 u + c เม่อื u2  a2 และ a  0 a2 − u2 a 2.  du = เม่ือ1tan −1u + c a0 a2 + u2 a a 3. = du  sec − u + c เม่ือ u2  a2และ a0 u u2 − a2 a a สูตรอินทิกรัลฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันทั้ง 3 ข้อนี้ พัฒนามาจากสูตร อนุพนั ธ์ของฟังก์ชนั ตรโี กณมิตผิ กผันโดยใช้นยิ ามของอินทกิ รัล 3 ตัวอยา่ ง 5.8 จงหาค่า  1− x2 dx วิธีทำ  3 x2 dx = 3 1 x2 dx 1− 1− = 3sin −1 x+c ตอบ 13 แคลคลู ัส 1

ตวั อย่าง 5.9 จงหาค่า  3 x2 dx 4− วิธีทำ จัดให้อยู่ในรปู du จะได้  a2 − u2 3 3  4− x2 dx =  22 − x2 dx = 3 1 x2 dx 22 − = sin − x + c ตอบ  ตอบ ตอบ ตวั อย่าง 5.10 จงหาค่า 4 5 dx + 16x2 วิธีทำ จดั ให้อยใู่ นรูป  du จะได้ a + u 5 d(4x)  =4 5 dx  22 + (4x)2 4 + 16x2 =    d(x)  + (x) =5  1 tan −1 4x  + c 4  2 2  =5 tan −1 2x + c 8 dx ตัวอยา่ ง 5.11 จงหาคา่  3x 9x2 − 5 วิธที ำ จดั ให้อยู่ในรูป  du จะได้ u u2 − a2 dx 1 d(3x)  3x 9x2 − 5 =  3x (3x)2 − ( 5)2 3 = 1  3x 1 5)2 d(3x) 3 (3x)2 − ( = 1  1 sec −1 3 x  + c 3  5 5  = 1 sec−1 3x +c 35 5 แคลคูลสั 1 14

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ี่ 5.2 จุดประสงค์ นกั ศกึ ษาสามารถหาค่าอนิ ทกิ รลั ของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ผิ กผนั ได้ จงหาคา่ อนิ ทกิ รัลของฟังก์ชันตรีโกณมติ ผิ กผนั ต่อไปน้ี dx 1.  1−4x2 = 2.  dx = 36 − x2 3.  9 dx 1 = x2 + 15 แคลคลู สั 1

4.  dx = 9x2 +16 5. = 4 x 2 25 dx 2+ 6.  x dx = x4 −3 แคลคูลสั 1 16

7.  2x dx = 4x2 − 9 8.  =xdx 36− 9x4 9.  dx = 4 − (x + 1)2 10.  x dx = x− 17 แคลคลู สั 1

5.3 การหาอินทิกรัลของฟังก์ชนั เลขช้กี ำลงั (Integration of Exponential Function) สตู ร อินทิกรัลของฟังกช์ ันเลขชี้กำลัง ให้ u เป็นฟงั กช์ ันท่ีหาอนุพนั ธไ์ ด้ a และ c เป็นคา่ คงตวั ใด ๆ 1. audu = +au c เมอ่ื a >0 ,a  1 2. eudu ln a = eu + c เลขช้ีกำลกงั าทรี่มเลฐี าือนกเใปช็น้สูตeรทใัง้ หใ้2ช้สขตู อ้ รนขใี้้อห้พ2ิจารถณา้ ฐาาทน่ฟี ไงัมก่ใชช์ ้ันeถา้ใฟห้ใงั ชก้ส์ชูตนั รเปข้อน็ ฟ1ังก์ชนั ตัวอยา่ ง 5.12 จงหาค่า  24x dx 41  24xd(4x) วธิ ที ำ  24x dx = = 1  24x  + c = 4 ln2 24x + c ตอบ 4 ln 2 แคลคูลสั 1 18

ตัวอย่าง 5.13 จงหาค่า  x5−x2+1dx วิธที ำ  x5−x2+1dx =  x5−x2+1 d(−−x22x+1) = − 12 5−x2+1d(−x2 +1) 5−x 2 +1 = − 1 ln 5 + c 2 = − 5−x2+1 2 ln 5 + c ตอบ ตัวอยา่ ง 5.14 จงหาค่า  x2ex3+4dx วธิ ีทำ  x2ex3+4dx =  xex+ d(x + ) x  =  ex+d(x + )  =  ex+ + c ตอบ  ตวั อย่าง 5.15 จงหาคา่  esinx cos xdx วิธที ำ  esinx cos xdx =  esinx cos x d sin x cos x =  esinxd sin x = esinx + c ตอบ ตวั อยา่ ง 5.16 จงหาค่า  (ex )+ 1 2 dx วธิ ที ำ  (ex )+1 2 dx =  ( )e2x + 2ex +1 dx =   e2xdx + 2 exdx + dx =1  e2xd(2x) + 2 exdx +  dx 2 =1 e2x + 2e x + x + c ตอบ 2 19 แคลคลู สั 1

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ี่ 5.3 จดุ ประสงค์ นักศึกษาสามารถหาค่าอนิ ทิกรัลของฟังกช์ ันเลขช้ีกำลงั ได้ จงหาคา่ อนิ ทกิ รัลของฟังก์ชันเลขชี้กำลงั ตอ่ ไปนี้ 1. = x− dx 2. = xx− dx 3.  =exdx แคลคูลสั 1 20

4. = xex +dx 5. ( ) = x+x x + dx 6. = xex +dx 21 แคลคลู สั 1

7. = ex  ex dx 8.  =(x +) ex+x−dx 9. = etan x sec xdx แคลคูลสั 1 22

10. = esinx cosxdx 11.  =e ln xdx x 12.  e =x  dx x 23 แคลคลู สั 1

5.4 การหาอินทิกรัลของฟงั ก์ชนั ลอการทิ มึ (Integration of Logarithmic Function) สูตร อนิ ทิกรัลของฟงั กช์ นั ลอการิทึม ให้ u เปน็ ฟงั ก์ชนั ทห่ี าอนพุ นั ธไ์ ด้ c เปน็ คา่ คงตัว จะได้ 1u du = lnu + c เม่ือ u  0 เนื่องจาก 1udu ก็คือ u−1du ดังนั้น สูตรนี้จึงใช้สำหรับการหา อินทกิ รัลของฟงั ก์ชนั ทีอ่ ยู่ในรูป u−1เท่าน้นั ถา้ ฟังก์ชนั อยู่ในรูป un และ n  −1 จะหาอินทิกรลั ไดโ้ ดยใช้สูตรundu = u n+1 + c n +1 ตวั อยา่ ง 5.17 จงหาค่า  1 2 dx 5x − 1 = 1 1 วิธที ำ  5 x− 2 dx 5  5x − 2 d (5x − 2) = 15 ln 5x − 2 + c ตอบ แคลคูลสั 1 24

ตัวอย่าง 5.18 จงหาคา่  3x 2 dx 5x2 − 3x 1305x325xx−212−d2(5d1x(025xx−22−) 2) วิธีทำ  5x2 − 2 dx = = =3 ln 5x2 − 2 + c ตอบ 10 3x2 ตัวอยา่ ง 5.19 จงหาคา่  x3 + 4 dx วิธที ำ  3x2 dx =  3x2 d(x33x2+ 4) x3 + 4  x31+ 4 = x3 + 4 d(x3 + 4) = ln x3 + 4 + c ตอบ x +2 ตัวอยา่ ง 5.20 จงหาคา่  x2 4x − 5 dx + d(x(22+x วิธีทำ  x2 x +2 5 dx =  x2 x +2 5 +4x4)− 5) 4x − 4x − + + 5 d(x22(+x − 5 d(x2 =  x +2 +4x2)− 5) = x2 + 4x1− + 4x − 5) 1 + 4x 2  x2 =1 ln x2 + 4x − 5 + c ตอบ 2 sin 3x ตวั อย่าง 5.21 จงหาค่า  2 + cos3x dx วธิ ที ำ  2 sin 3x dx =  2 sin 3x d((−23+scino3sx3)x) + cos3x + cos3x = − 13  2 + c1os3x d(2 + cos3x) = − 13 ln 2 + cos3x + c ตอบ 25 แคลคลู สั 1

แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ี่ 5.4 จุดประสงค์ นกั ศึกษาสามารถหาค่าอินทกิ รลั ของฟังกช์ นั ลอการทิ มึ ได้ จงหาค่าอนิ ทกิ รลั ของฟงั กช์ ันลอการิทมึ ตอ่ ไปน้ี 1. = dx 1 + 3x 2. = ( )3x dx 3x2 + 1 3.  =2xx 4 dx 2− แคลคูลสั 1 26

dx4. = 2x + 2 x2 + 2x 5. = 1 sin3x dx + cos3x 6. = sec x tan xdx  − sec x 27 แคลคลู ัส 1

7. = xx + +  dx + x 8.  =dx 2x ln x2 แคลคูลสั 1 28

คำช้แี จง จงเลอื กคำตอบท่ถี ูกต้องทีส่ ุดเพยี งคำตอบเดยี วแล้วทำเครอื่ งหมาย ลงในกระดาษคำตอบ  sin(x + )dx มคี ่าเทา่ ใด ก. −  sin(x + ) + c  ข. −  cos(x + ) + c  ค. −  cos(x + ) + c  ง. − sin(x + )+ c จ. −  cos(x + ) + c แนวคิด (x +)cos(x +) dx มีคา่ เทา่ ใด ก. x cos(x + ) + c ข. (x +)cos(x +) + c ค.  cos(x + ) + c ง. sin(x + ) + c จ.  sin(x + ) + c  แนวคิด 29 แคลคลู สั 1

 x tanxdx มีค่าเท่าใด ก.  x ln sec x + c  ข.  ln sec x + c  ค. x sec x + c ง. x sec x + c จ. x tan x + c แนวคิด   dx มคี ่าเทา่ ใด  − x ก. sin − x + c  ข. sin − x + c  ค.  tan− x + c  ง.  sec− x + c  จ.  sec− x + c  แนวคิด แคลคูลสั 1 30

 x  dx มคี ่าเท่าใด x −  ก. sin − x + c  ข.  tan− x + c  ค.  tan− x + c  ง.  sec− x + c  จ.  sec− x + c  แนวคดิ  sin x dx มคี ่าเท่าใด (+ cos x) ก. − tan−(cos x) + c ข. ln sec( + cos x) + c ค. − ln+ cosx + c ง. − sec −(cosx) + c จ. − sin −(cos x) + c แนวคิด 31 แคลคลู ัส 1

 exex dx มีค่าเทา่ ใด ก. ex + c ข. ex + c ln  ค. ex + c ง. ex + c ln  จ. ex + c แนวคดิ  cotx csc xdx มคี า่ เท่าใด ก. − cotx +c ln  ข. cotx +c ln  ค. csc x +c ln  ง. csc x + c จ. csc x + c แนวคดิ แคลคูลสั 1 32

 ex−dx มคี า่ เทา่ ใด ก. ex− + c ข. ex− + c ค.  ex− + c  ง.  ex− + c  จ. ex− + c แนวคดิ ( ) e−x − e−x dx มีคา่ เท่าใด ก. − e−x + c ข. ex − e−x + c ค. e−x − e−x + c ง. −  ex + ex + c  จ. −  e−x + e−x + c  แนวคิด 33 แคลคลู สั 1

แคลคูลสั 1 34

35 แคลคลู สั 1