1404-Difftran1

เอกสารประกอบการเรียน 33 หนว่ ยการเรยี นรูท้ ี่ อนพุ นั ธข์ องฟังกช์ ันอดศิ ัย (DIFFERENTIATION OF TRANSCENDENTAL FUNCTIONS) ผู้สอน ครจู ิตรเมธี สายสมุ่

3 3หน่วยการเรยี นรู้ท่ี อนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั อดศิ ัย (DIFFERENTIATION OF TRANSCENDENTAL FUNCTIONS) หวั ข้อเรอื่ ง 1. การหาอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั ตรีโกณมิติ 2. การหาอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิผกผัน 3. การหาอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ ันเลขช้กี ำลังและฟงั กช์ นั ลอการทิ มึ 4. การหาอนพุ นั ธ์เชงิ ลอการทิ ึม 1 แคลคลู ัส 1

จุดประสงคท์ ่วั ไป 1. เพอื่ ใหม้ คี วามรู้ความเข้าใจเร่อื งอนุพันธ์ของฟังกช์ ันอดศิ ัย 2. เพอื่ ให้มคี วามรคู้ วามเขา้ ใจและมีทักษะในการคำนวณหา อนุพันธข์ องฟังก์ชันอดศิ ัย 3. เพื่อให้มีความรู้ความเข้าใจและมเี จตคตทิ ด่ี ีท่จี ะนำความรู้ เร่ืองอนุพนั ธข์ องฟงั ก์ชนั อดศิ ัยไปใช้ในวชิ าชพี และเปน็ พ้นื ฐาน ในการศกึ ษาแคลคูลัสช้ันสงู ต่อไป จุดประสงคเ์ ชิงพฤตกิ รรม เม่อื ศึกษาหนว่ ยนีแ้ ล้วนกั ศกึ ษาสามารถ 1. บอกลกั ษณะของฟงั ก์ชันอดิศัยชนดิ ตา่ ง ๆได้ 2. บอกสูตรสำหรบั คำนวณหาอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ันอดศิ ยั ได้ 3. คำนวณหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ ันอดิศัยได้ 4. นำความรเู้ รือ่ งอนุพันธ์ของฟงั กช์ นั อดิศยั ไปใชแ้ กโ้ จทย์ปญั หาได้ แคลคูลสั 1 2

ฟงั ก์ชันอดิศยั (Transcendental Functions) หมายถึง ฟังก์ชนั ท่ไี ม่ใช่ ฟังก์ชันพีชคณิต เช่น ฟังก์ชันตรีโกณมิติ ฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน ฟังก์ชัน ลอการทิ ึม และฟังกช์ ันเลขชี้กำลัง เป็นตน้ 3.1 การหาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชันตรโี กณมติ ิ (Differentiation of Trigonometric Functions) สูตร อนุพนั ธข์ องฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิ ให้ u เปน็ ฟงั กช์ นั ของ x ทห่ี าอนพุ นั ธ์ได้ 1. d (sin u) = cosu du dx dx 2. d (cosu) = − sin u du dx dx 3. d (tan u) = sec2 u du dx dx 4. d (cotu) = − csc2 u du dx dx 5. d (secu) = secu tan u du dx dx 6. d (cscu) = − cscu cotu du dx dx 3 แคลคลู ัส 1

สูตรทั้ง 6 สูตรนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้ความสัมพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ คุณสมบัติ limsin x = 1 กฎสี่ขั้นของอนุพันธ์ และกฎลูกโซ่ ซึ่งในที่นี้จะแสดงการ x→0 x พิสูจน์เฉพาะสูตรที่ 1 ส่วนสูตรอื่น ๆ จะพิสูจน์ทำนองเดียวกัน ซึ่งนักศึกษาสามารถ พิสจู น์ไดด้ ว้ ยตนเอง หรอื หาอ่านไดจ้ ากหนงั สือแคลคูลสั ทัว่ ไป พิสูจน์สูตรที่ 1 =d (sinu) (cosu) du dx dx ให้ y = sinu จากนิยาม dy = lim f (u + u) − f (u) x→0 u du = lim sin(u + u) − sinu x→0 u จาก =sin A − sin B 2cos A + B sin A − B จะได้ 22 =dy lim 1 2 cos (u + u +u ) − sin u sin cu + u − u  u 2 2  du u →0 = lim 1 2 cos (u + u) sin u  u →0 u 2  2 = lim 2 cos (u + u ) sin u  u →0 u 2 2  = =cosu + u sin u  2 2 lim cos (u + u ) sin u lim u 2 2 u →0 u →0 u 2 2 (u ) sin u 2 u = =lim + u  u→0 2 cos lim (cosu)(1) u→0 2  dy = cosu จากกฎลูกโซ่ dy  du du du dx dy = dx  =d sinu cosu du dx dx แคลคูลสั 1 4

ตวั อย่าง 3.1 จงหาอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ ัน y = sin2x วิธีทำ จาก y = sin2x ดังนนั้ dy = d (sin x) dx dx = cos x d (x) dx  =dy  cos x ตอบ dx ตัวอยา่ ง 3.2 จงหาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชัน y = 5 cos3x วิธีทำ จาก ตอบ y = 5cos3x ดังนั้น d dy = 5 dx (cos3x)  dx = (− sin x d (x) dx = (−sin x)() =dy (−sin x) dx ตัวอยา่ ง 3.3 จงหาอนพุ นั ธข์ องฟงั กช์ ัน y = tan(x +) วิธีทำ จาก y = tan(x +) ดังนั้น dy sddexc(t(anx(+x+)ddx))(x +) = dx = dy dx  dy = sec (x +) ตอบ dx 5 แคลคลู สั 1

ตวั อยา่ ง 3.4 จงหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชนั y = cot(x +) วธิ ีทำ จาก y = cot(x + ) ดังนั้น dy =d cot(x  + ) dx dx = ( )dy d dx dx − csc (x + ) x  +  dy = − x csc(x + ) ตอบ dx ตัวอยา่ ง 3.5 จงหาอนุพันธ์ของฟงั ก์ชนั y = sec(x + ) วิธที ำ จาก y = sec(x  + ) ดงั นัน้ dy =d sec(x  + ) dx dx = ( )dy d dx dx sec(x + ) tan(x  + ) x +   dy = x sec(x + ) tan(x + ) ตอบ dx ตวั อยา่ ง 3.6 จงหาอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ นั y = +sin x cosx วิธที ำ จาก = +y sin x cosx ดงั นนั้ dy =d ( sin x +  cos x) dx dx ใช้สตู ร d (u + v) = du + dv จะได้ dx dx dx =dy d (sin x) + d ( cos x) dx dx dx = cos x d (x ) + (− sin x) d (x ) dx dx  dy = cosx − sin x ตอบ dx แคลคูลสั 1 6

ตวั อยา่ ง 3.7 จงหาอนุพนั ธข์ องฟังก์ชนั y = xtan3x วิธีทำ จาก =y x tan 3x ดงั นัน้ dy = d (x tan 3x) dx dx ใช้สูตร จะได้d(uv )=u dv + v du dx dx dx dy = x d (tan 3x) + tan 3x dx dx dx dx = x sec2 3x d (3x) + tan 3x dx  = ตอบdy dx 3xsec2 3x + tan 3x ตวั อย่าง 3.8 จงหาอนุพันธ์ของฟงั กช์ นั y = cot(x2 +1) x วธิ ที ำ dy = d  cot(x 2 + 1)  dx x dx ใชส้ ูตร จะได้du = 1  vdu − udv dxv v2  dx dx  = ( ) ( )dy 1 x d dx x2 dx dx  dx cot(x 2 + 1) − x2 +1 = ( ) ( ) ( )1 d x2 dx x − csc2 x2 +1 x2 + 1  − x2 + 1       = ( ) ( ) ตอบdy  dx x − x csc x + − x + 7 แคลคลู สั 1

แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ่ี 3.1 จุดประสงค์ นกั ศึกษาสามารถหาอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ นั ตรโี กณมิติได้ จงหาอนพุ ันธข์ องฟงั ก์ชนั ตรีโกณมิติต่อไปน้ี 1. y = sinx 2. y = cos(x + ) แคลคูลสั 1 8

3. y = tan(x  − ) 4. y = cot(x + ) 5. =y sec(x + ) 9 แคลคลู ัส 1

6. y = csc(x ) 7. =y cot(1− 2x2 ) 8. = 2y tan x2 แคลคูลสั 1 10

9. =y 3sin3x + 2cos2x 10. y = tanx − cot x 11. y = secx − cscx 11 แคลคลู สั 1

12. y = cot x 13. y = csc2x 14. =y sin2(3x − 2) แคลคูลสั 1 12

15. y = x2 sinx 16. y = tan x sinx 17. y = (sec2x − 1)3 18. y = cosx x 13 แคลคลู สั 1

3.2 การหาอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิผกผนั (Differentiation of Inverse Trigonometric Functions) ฟังก์ชันตรีโกณมติ ิเป็นฟังก์ชันชนดิ ที่เป็นคาบ (Periodic Function ) โดยที่กราฟของฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ โคเซแคนต์ และเซแคนต์ มีคาบเท่ากับ 2 ส่วนกราฟของฟังกช์ ัน แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ มีคาบเทา่ กับ  ดังนั้น ฟังก์ชันตรีโกณมิติจึงไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (One-to- One Function) ซึ่งมผี ลทำใหฟ้ งั ก์ชนั ตรีโกณมติ ไิ ม่มกี ารผกผนั (Inversion) แต่ ถ้าจำกัดโดเมนของฟังก์ชันให้แคบลงจนเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งแล้ว ฟังก์ชัน ตรโี กณมิติจะมฟี งั ก์ชันผกผันดังรปู 3.1 ซงึ่ เรียกวา่ ฟงั กช์ นั ตรีโกณมติ ิผกผนั แคลคูลสั 1 14

ฟงั ก์ชนั ตรโี กณมิติผกผนั มี 6 ฟังก์ชนั ดงั นี้ y= arcsin x หรอื y = ,sin−1 x −  y   y= 22 arccosx หรอื y = ,cos−1 x 0  y   y= arctanx หรอื y = ,tan−1 x −  y   y= 22 หรอื = ,arccotx y cot−1 x 0  y   y= หรอื = , และarcsecx y= y sec−1 x −   y  −  0  y   22 หรือ = , และarccscx y csc−1 x −   y  −  0 y 22 สูตร อนุพันธ์ของฟังกช์ นั ตรโี กณมติ ผิ กผัน ให้ u เป็นฟงั กช์ ันของ x ทห่ี าอนพุ นั ธไ์ ด้  du 1. =d (sin−1 u) −u dx dx − du −u dx 2. =d (cos−1 u) dx 3. d (tan −1 u) = 1 du dx = = 1+ u2 dx 4. d (cot−1 u) −1 du dx 1+ u2 dx 5. d (sec−1 u) 1 du dx u u2 −1 dx 6. =d (csc−1 u) −1 du dx u u2 −1 dx 15 แคลคลู สั 1

การพิสูจน์สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน จะพิสูจน์ได้โดยใช้ สูตรอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรโี กณมิติ และเอกลักษณ์ของฟังก์ชนั ตรโี กณมิติ ในที่นี้ จะแสดงการพิสูจน์เพียง 1 สูตร แล้วจะยกตัวอย่างการนำไปใช้ส่วนการพิสูจน์ สตู รทเ่ี หลือ หากนกั ศึกษาสนใจอาจหาอา่ นได้จากหนังสือแคลคูลสั ทวั่ ไป พสิ ูจน์สตู ร 1 ให้ y = sin−1 u จะได้ sin y = u d (sin y) = du dx dx cosy dy = du dx dx =dy 1  du cos y dx dx  d (sin−1 u) = 1 du dx = 1 − sin2 y dx 1 du 1 − u2 dx ตวั อย่าง 3.9 จงหาอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ ัน y = sin−1 2x วธิ ที ำ จาก y = sin−1 2x =dy d (sin−1 2x) dx dx = 1 d (2x) 1− (2x)2 dx  dy =2 ตอบ dx 1− 4x2 แคลคูลสั 1 16

ตวั อย่าง 3.10 จงหาอนพุ ันธข์ องฟงั กช์ ัน y = tan−1(x −1) วิธีทำ จาก y = tan−1(x −1) ตัวอย่าง วิธีทำ = ( )dy d dx dx tan−1(x −1) =1 d (x − 1) dx 1 + (x − 1)2 = 1+ x 2 1 2x + 1 (1) −  dy =1 ตอบ dx x2 − 2x + 2 3.11 จงหาอนพุ ันธ์ของฟังก์ชัน y = sec− x = ( )dy d dx dx sec − x =   d (x)   dx  x (x) −  = x x −  dy =  ตอบ dx x x − ตวั อยา่ ง 3.12 จงหาอนุพันธข์ องฟงั ก์ชัน y = x2 sec−1 2x วธิ ีทำ จาก y = x2 sec−1 2x = ( )dy d x2 sec−1 2x dx dx = x2 d (sec−1 2x) + sec−1 2x d (x2 ) dx dx = 1  d (2x) x2   2x (2x)2 −1 dx = 2x2 2x 4x2 −1  dy =x ตอบ dx 4x2 −1 17 แคลคลู ัส 1

แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ี่ 3.2 จุดประสงค์ นักศึกษาสามารถหาอนุพันธ์ของฟังกช์ ันตรีโกณมิตผิ กผันได้ จงหาอนพุ นั ธข์ องฟังกช์ นั ตรโี กณมิติผกผันต่อไปนี้ 1. y = sin−x 2. y = cos−1 x2 3. y = tan −1 3x2 แคลคูลสั 1 18

4. =y cot−(x −) 5. y = sec−1 3x 6. =y csc−(x +) 19 แคลคลู สั 1

7. =y sin− x + sec− x 8. y = x tan− x 9. y = tan− x +  แคลคูลสั 1 20

10. y = cot−1 x 2 11. =y sin− x + sec− x 12. y = x csc−1 x 21 แคลคลู สั 1

3.3 การหาอนุพนั ธ์ของฟังกช์ ันเลขชีก้ ำลัง (Differentiation of Exponential Functions) บทนยิ าม ฟังกช์ นั เลขชก้ี ำลงั ฐานa คือฟังกช์ ันท่ีอยใู่ นรปู y = ax โดยที่ a เปน็ จำนวนจรงิ บวกใด ๆ และ x เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ ฟังกช์ ันเลขชี้กำลังฐานe คือฟงั กช์ ันท่ีอยใู่ นรปู y = ex โดยท่ีe  2.718 และ x เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ สมบตั ิของเลขช้ีกำลัง ให้ a,b เป็นเลขจำนวนจริงบวก และm, n เปน็ จำนวนจรงิ ใด ๆ 1. aman = a m+n 2. am = a m−n an anbn 3. (ab)n = a4. =  n an b   bn 5. (am )n = a mn 6. a−n = 1 7. a0 = an 1 แคลคูลสั 1 22

สตู รอนุพนั ธข์ องฟังก์ชันเลขชกี้ ำลงั ให้ u และ v เป็นฟงั ก์ชันของ x ที่หาอนพุ ันธไ์ ด้ 1. d (au ) = , > 0au ln a du a dx dx 2. d (eu ) = eu du dx dx พสิ ูจน์สูตร 3 ddx(au ) = au ln a du ให้ dx y =  = au ln y = = ln au ln y d (ln y) = nln a dx 1 dy = d (u ln a) y dx dx dy = dx ln a du d (au ) dx dx y ln a du dx au ln a du dx ตวั อย่าง 3.13 ให้ y = x จงหาอนพุ ันธข์ อง y วธิ ีทำ dy = ( )d x dx = dx  dy = dx = x ln  d (x) dx ( )x ln () ( ) x ln ตอบ 23 แคลคลู สั 1

ตวั อย่าง 3.14 ให้ y = x+ จงหาอนพุ ันธข์ อง y วิธที ำ dy =d  x +  dx dx  dy = ( )x + ln  d x  + dx dx =  x+ ln (x) = x x+ ln  ตอบ ตัวอยา่ ง 3.15 จงหาอนุพันธข์ องฟงั กช์ นั y = ex วิธีทำ =dy d ex ตอบ dx dx = ex d (x) dx  dy = ex dx ตวั อย่าง 3.16 จงหาอนพุ ันธข์ องฟังกช์ นั y = ex วิธีทำ =dy d ex ตอบ dx dx = ( )ex d x dx  dy = xex dx แคลคูลสั 1 24

แบบฝกึ ปฏบิ ตั ทิ ี่ 3.3 จดุ ประสงค์ นกั ศกึ ษาสามารถหาอนพุ นั ธข์ องฟงั ก์ชนั เลขช้กี ำลงั ได้ จงหาอนุพันธข์ องฟังกช์ ันเลขชกี้ ำลงั ตอ่ ไปน้ี 1. y = x 2. =y x+ 25 แคลคลู สั 1

3. y = −x 4. =y ex+ 5. y = ex แคลคูลสั 1 26

6. =y esinx 7. y = ex  x 8. =y x  x 27 แคลคลู สั 1

9. y = exx 10. =y e−x sin x แคลคูลสั 1 28

3.4 การหาอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ันลอการิทมึ (Differentiation of Logarithmic Functions) บทนยิ าม ถ้า x = a y เป็นฟังก์ชันเลขชี้กำลังฐาน a โดยที่ a > 0 และ a  1 แล้วฟังก์ชัน ลอการิทมึ ฐาน a จะแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ y = loga x ถ้า x = e y เปน็ ฟงั กช์ ันเลขช้กี ำลังฐาน e โดยท่ี e  2.718 แล้วฟังก์ชนั ลอการิทึม ฐาน e หรือ ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural Logarithm) จะแทนด้วยสญั ลกั ษณ์ y = loge x หรือ y = ln x เมื่อ e = lim 1 + 1 h หรือ 1 h→+ h  lim(1+ k) k k →0 และสามารถพสิ ูจน์ได้วา่ e = 1 + 1 + 1+1+ 1 + 1 + ... + 1 + ... 2! 3! n!  2.718281828… สมบตั ิของลอการทิ ึม ให้ a > 0 และ a  1 , b > 0 และ b  1 ฐาน a ฐาน e 1. loga xy = loga x + loga y 1. ln xy = ln x + ln y 2. loga x = loga x − loga y 2. ln x = ln x − ln y y y n loga x nln x 3. loga xn = 3. ln xn = 4. loga 1 = 0 0 5. loga a = 1 4. ln1 = 1 logb x 5. lne = log x logb a log e 6. loga x = x 6. ln x = x 7. =aloga x 7. eln x = 29 แคลคลู ัส 1

การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันลอการิทึม ทำได้โดยใช้สูตรและสมบัติของ ลอการิทึมช่วยเปลี่ยนรูปฟังก์ชันให้เป็นรูปที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ง่ายขึ้นโดยใช้ สตู รต่อไปนี้ สตู รอนุพันธข์ องฟังก์ชันลอการทิ ึม ให้ u และ v เปน็ ฟงั ก์ชันของ x ที่หาอนพุ ันธ์ได้ 1. = , > 0 , 0d (loga u) 1 loga e du dx u dx a a 2. =d (ln u) 1 du dx u dx ในที่นี้จะพิสูจน์สูตรเพียงบางสูตรเพื่อเป็นแนวทางให้นักศึกษาทราบ สำหรับการพิสจู นส์ ูตรอนื่ ๆ ใหน้ กั ศกึ ษาทดลองฝกึ พิสจู นด์ ้วยตนเอง พิสจู น์สตู ร 1 =d loga u 1 loga e du u dx dx ให้ y = loga u จากนิยาม dy = lim f (u + u) − f (u) du u →0 x = lim loga (u + u) − loga u u→0 u = lim 1 loga (u + u) u →0 u u  = lim 1  u  1 + u  u →0 u u loga  u  = lim 1  1 + u  u  u →0 u loga  u  u    =1 loga lui→m01 + u  u  u u  u    แคลคูลสั 1 30

=1 loga  lim 1 + u  u  u  u →0 u  u     u  จาก e 1 u = ดงั น้ัน =lim 1+ u  u จะได้ lim(1+ k) k e k→0 u →0 u  u dy = 1 loga e u du จากกฎลกู โซ่ dy = dy  du จะได้ dx du dx  =d 1 loga e du dx u dx (loga u) ตัวอย่าง 3.17 จงหาอนุพนั ธข์ องฟงั กช์ นั y = log  x วิธที ำ จาก y= log  x ตอบ d dy = dx ( log  x ) dx = log  e d (x ) x dx = log  e() x  dy = log  e dx x ตัวอย่าง 3.18 จงหาอนุพนั ธ์ของฟงั กช์ ัน y = ln(x2 + 4) วธิ ที ำ จาก y = ln(x2 + 4) ตอบ  d dy = dx ln( x 2 + 4) dx = ( ) d x + (x + ) dx = (x  ) (x) + dy = x dx (x + ) 31 แคลคลู สั 1

ตวั อย่าง 3.19 จงหาอนุพันธข์ องฟงั กช์ นั y = log(+ x) วธิ ีทำ จาก =y log(+ x) dy =  d log  ( + x) (ใชส้ มบัติของลอการทิ มึ ) dx dx = (  ) log  e d ( + x) + x dx = (  ) log  e() + x  =dy  log  e ตอบ dx ( + x) ตวั อยา่ ง 3.20 จงหาอนพุ นั ธข์ อง y = ln2(x2 +3) วธิ ีทำ จาก y = ln2 (x2 + 3) =dy d ( (ln2 x2 + 3)) dx dx = d (ln(x2 + 3))2 dx = (2ln x2 + 3) d (ln(x2 + 3)) dx =2 (ln x2 + 3) 1 3) d (x 2 + 3) dx (x2 + =2 ln(x 2 + 3) 1 3)(2x) (x2 +  dy = ( )4x ln x2 + 3 ตอบ dx (x2 + 3) แคลคูลสั 1 32

ตวั อยา่ ง 3.21 จงหาอนุพันธ์ของ y = x lnx วิธที ำ จาก dy =d (x  ln x) dx dx = x d ln x + ln x d x dx dx = ( )x  dx  + (ln x) x   x dx   dy = x + x ln x ตอบ dx ตวั อย่าง 3.22 จงหาอนุพันธข์ องฟงั กช์ นั y = exlnx วิธที ำ จาก y = e x ln x = ( )dy d e x ln x dx dx = ( )ex3 lnx d x3 ln x dx = ex3 lnx  x 3 d ln x + ln x dx3   dx dx    x3= ( )e  3 1 dx  ln x  x  x dx + ln x 3x 2  =  ex3 lnx x2 + 3x2 ln x  dy = ( )x e2 x3 lnx 1 + 3 ln x ตอบ dx 33 แคลคลู สั 1

แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ่ี 3.4 จดุ ประสงค์ นกั ศึกษาสามารถหาอนพุ นั ธ์ของฟังกช์ ันลอการทิ ึมได้ จงหาอนพุ ันธ์ของฟงั ก์ชนั ลอการทิ มึ ต่อไปน้ี 1. y = log4 3x2 2. =y loga (3x2 − 5) แคลคูลสั 1 34

3. y = ln 4x 4. y = ln(4x − 5) 5. y = ln(x2 + x −1)3 35 แคลคลู ัส 1

6. y = x ln x 7. y = ln(secx + tan x) 8. =y ln(lntan x) แคลคูลสั 1 36

3.5 การหาอนพุ นั ธ์เชงิ ลอการทิ ึม (Logarithmic Differentiation) การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่อยู่ในรูปผลคูณ ผลหาร เศษส่วน หรือ เลข ยกกำลังที่ยุ่งยากสามารถทำให้ง่ายขึ้นโดยการใช้ลอการิทึมธรรมชาติ ช่วยใน การหาดงั ตวั อยา่ งต่อไปนี้ ตัวอย่าง 3.23 จงหาอนพุ นั ธข์ องฟังก์ชนั y = xex วิธที ำ จาก y = xex =ln y ln xex2 =d (ln y) d  ln xex2  dx dx =1 dy d e x2 ln x  dx y dx = ex d (ln x)+ ln x d  ex  dx dx   = ex   + ln x ex  d (x  ) x dx = ex2 + ln xex2 (2x) x  1 dy = ex    + x ln x  y dx  x  = =dy yex    + x ln x  ex x ex   + x ln x   x   x  dx ตอบ 37 แคลคลู ัส 1

ตัวอยา่ ง 3.24 จงหาอนุพนั ธข์ องฟังกช์ นั y = xx+ วธิ ีทำ = ( )x x + จาก y = ( )ln y ln x x + =d (ln y) d  ln x  x2 +1  dx dx = ( )1 dy d dx y dx x2 +1 ln x = (x2 +1) d (ln x) + ln x d (x2 +1) dx dx = (x2 +1) 1 + (ln x)(2x) x  1 dy = ( )x2 +1 + 2x ln x y dx x dy = ( )y x2 +1 + 2x ln x dx  x  = ( ) = ( )xx +  x  + + x ln x x x  + x +  + x ln x  x  x  ตอบ แคลคูลสั 1 38

แบบฝกึ ปฏิบตั ทิ ี่ 3.5 จุดประสงค์ นักศกึ ษาสามารถหาอนุพันธ์เชิงลอการทิ มึ ได้ จงหาอนุพันธ์เชงิ ลอการิทึมของฟงั ก์ชันตอ่ ไปนี้ 1. y = xlnx 2. y = x x 39 แคลคลู สั 1

3. y = xex3 4. y = xe−x2 แคลคูลสั 1 40

คำช้แี จง จงเลอื กคำตอบที่ถกู ตอ้ งทส่ี ุดเพยี งคำตอบเดยี วแลว้ ทำเครื่องหมาย ลงในกระดาษคำตอบ d tan 3x มีค่าเท่าใด dx ก. sec x ข. sec x ค. sec x ง. sec x  จ. sec x แนวคิด d csc  x มคี ่าเทา่ ใด dx csc x.cot x ก. csc x cot x − csc x cot x ข. − csc x cot x ค. − csc x cot x ง. จ. แนวคิด 41 แคลคลู ัส 1

d (sin x)(cosx) มคี า่ เทา่ ใด dx ก. cos x + sin x ข. cos x − sin x ค. cosx + sinx ง. cosx − sinx จ. sin x − cosx แนวคดิ d cos(sin5x) มคี า่ เทา่ ใด dx ก. sin(sin x)cosx ข. − sin(cosx)cosx ค. cosxsinx ง. − sin(sin x)cosx จ. − sin(sinx)sinx แนวคิด แคลคูลสั 1 42

d secx มีคา่ เทา่ ใด dx ก.  tan  x  ข.  sec x  ค. tan x. sec x ง. tan x. sec x จ.  tan x. sec x  แนวคดิ d x  มีค่าเทา่ ใด dx ก. x  ข. ()x  ค. (x ln ) x(x ln ) ง. x(x ln x) จ. แนวคดิ 43 แคลคลู สั 1

d e  x มคี ่าเทา่ ใด dx x ก. x  e ข. xe  x e x (x ln ) ค. x ง. x e จ. x xe แนวคิด d (log 3x2 − 5) มคี ่าเทา่ ใด dx ก. log e x  −  ข. x log e x  −  ค. x x  −  ง. x lne x  −  จ. xloge  x  −  แนวคดิ แคลคูลสั 1 44

d ln(2x +1) มีคา่ เทา่ ใด dx ก.  x + ข.  x + ค. x x + ง. x x + จ. x x + แนวคดิ d e log x มีคา่ เทา่ ใด dx xelog x ก. e log x ข. x log e ค. x ง. จ. elog x .log e elog x .log e x แนวคิด 45 แคลคลู ัส 1

แคลคูลสั 1 46

47 แคลคลู สั 1