25 (ΝΕΕΣ 13-14)

Το i) γράφτηκε μόνο για suspense !!! Είναι για να γίνει «μούρη» το θέμα… Η διαφορική πουπροκύπτει βλακωδώς από τους μιγαδικούς είναι : 1 x2 1   ln x …     fx x f x3  x  2x2f x 1  f x x2 1  2xf x   x iii). f 'x  x2 1 2x2 ln x gx 2 1 gx  x2 1 2x2 ln x, x  0 x x2 1 2 x2 1   Είναι  όπου με xg'x  4x ln x, x  0, lim gx  ...  1 και lim g x   ...   . Άρα : x0 x x0 1  g | 0 g ++ + | 1 2 ++ x0 – Υπάρχει λοιπόν μοναδικό x0 1,  τέτοιο ώστε gx0   0 , οπότε :gx  0,x 0, x0  , ενώ gx  0,x x0,  . Συνεπώς προκύπτει ο παρακάτω πίνακας : x0  f | x0 0 | f(x0) f max 0 οπότε φανερά η f έχει max με θετική τιμή. Άλλωστε, είναι x0  1, τότε f x0  ln x0  0 (οεδ) 1 x 2 0iv). Τώρα για κάθε x  x0 αφού x  : f x1 x1 x1  x  t  x 1f x 1  f t  f x  f x 1dt  f tdt  f xdt  x xx x1 x1 f x 1  f t dt  f x, αφού dt  tx1  x 1 x  1.  x xxΦανερά lim f  x   0  lim f x 1 , οπότε από το κριτήριο παρεμβολής, είναι : x x x1L  lim f tdt  0 . x xΓεωμετρική σημασία : 