ΑΠΟ ΤΙΣ ΤΕΛΕΥΤΑΙΕΣ...

1. (04-05-14) (Τm) Δίνονται οι μη – μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί w1 ,w2 ,w3 με τις ιδιότητες :6w1  3w2  2w3  0 και w1  w2  w3 . Να δείξετε ότι : 2 3i) 3w1w2  w2w3  2w3w1  0. ii) Re w1w2   w1 2 . iii) Re 3w1w2  w2 w3  2w3 w1  9 w1 2  0 .iv) w12  w22  w32  0. 4 9v) 4w12  w22  2w1w2  0 . vi) 3  w23 και  2w1 1964   w2 2012   2w1 1986  0. 2w1  w2   2w1   w2        vii) Το τρίγωνο P1P2P3 με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών P1 w1 P2  w2  και P3  w3   2   3  είναι ισόπλευρο, εγγεγραμμένο σε κύκλο με ακτίνα r  3 w1 .2. (08/03/2012 : Τm) Δίνονται οι συναρτήσεις f , g ,h : IR  IR με g  x  e x  x  2, x  IR ,f  x  x  e x1  x3  e4  9, x  IR , και h x  e x27x13 , x  IR . h x  t dt 33i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g :ii) Ως προς τη μονοτονία, να βρείτε το Σύνολο Τιμών της και να δείξετε ότι έχει μοναδική ρίζα x0 0,1 .iii) Ως προς τις ασύμπτωτες, τις οποίες να προσδιορίσετε.iv) Να δείξετε ότι :v) Η συνάρτηση g είναι αντιστρέψιμηvi) g1  x  g1  y  x  y ,x, y  IR.vii) Η συνάρτηση g1 είναι συνεχής στο σύνολο IR .viii) Θεωρούμε x x2   2x  5i τον μιγαδικό αριθμό : zx  e2   . Να δείξετε ότι υπάρχει 2  μοναδικός μιγαδικός z0 από τους παραπάνω ο οποίος έχει ελάχιστο μέτρο. Να βρείτε τον μιγαδικό αυτόν ως συνάρτηση του x0 του παραπάνω ερωτήματος. (Καλύτερη εκφώνηση: Να δείξετε ότι ο μιγαδικός από τους παραπάνω ο οποίος έχει ελάχιστο μέτρο, είναι ο  10  2x0  x0e x0   i z0  2  x0   2  ). x x3 ix) Να δείξετε ότι h x  t dt  ht dt , για κάθε x  IR . 30x) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της.

3 x  xi) h  Να υπολογίσετε το Ολοκλήρωμα : I  1  x  t dt dx . 2  3xii) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από το γράφημα της C g1 , τον οριζόντιοάξονα xx και τις ευθείες με εξισώσεις x  1 και x  e2 .3. 2x 1Έστω η συνάρτηση f : IR  IR με f  x  x 2  dt , x  IR . Να υπολογίσετε το όριο : t 2 L  lim  2 x x  lim  x  x  xf  x ή χειρότερα το όριο L  t 2 2 dt . x 4. Έστω η συνάρτηση f  x   x x 1  x 1 x .i) Να βρείτε το Πεδίο Ορισμού της, έστω D f . ii) Να δείξετε ότι f  x  f  x ln x  ln1  x , x  D f .iii) Να βρείτε το Σύνολο Τιμών της συνάρτησης f . iv) Να δείξετε ότι για κάθε  ,  0 με     1 , ισχύει ότι : 2    1 .5. (04/05/2014: Τm) Δίνεται η συνάρτηση f : 0,e  IR παραγωγίσιμη στο 0,e , με f 1  0 και    f  x  0 για κάθε x 0,e . Ακόμη x e2 f  x  1 f  x  x2 f  x 2  1 e f  x , γιακάθε x 0,e .i) Να δείξετε ότι : a) f  x  ln xf  x , x 0,e .b) f  x   ln1 ln x , x 0,e .c) Η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης f 1 .ii) Να βρείτε το πλήθος λύσεων της εξίσωσης 1  lnx  ec  1, x  0 , καθώς το c διατρέχει το σύνολο των πραγματικών αριθμών.iii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κοιλότητα και να δείξετε ότι έχει μοναδικό σημείοκαμπής το οποίο και να προσδιορίσετε. Δείξτε ότι στο σημείο καμπής, ο ρυθμός μεταβολής της f γίνεται ελάχιστος.iv) Να βρείτε την εφαπτομένη του C f με τον ελάχιστο δυνατό συντελεστή διεύθυνσης.v) Να δείξετε ότι όλες οι εφαπτόμενες του C f σχηματίζουν με το οριζόντιο άξονα γωνίες      , αλλά και αντίστροφα, δηλαδή ότι μπορώ να βρω πάντα δύο εφαπτόμενες του C f  4 ,  2παράλληλες προς οποιαδήποτε ευθεία σχηματίζει με τον οριζόντιο άξονα xx γωνία  τουδιαστήματος   ,  , ενώ υπάρχει μοναδική εφαπτομένη του Cf παράλληλη προς την πρώτη  4 2 διχοτόμο των γωνιών των αξόνων.vi) Να δείξετε ότι :a) f  x  x  1 , για κάθε x 0,1 .b) f  x  x  1 , για κάθε x 1,e .

c) f 2  x   x  12 , για κάθε x 0,e .d) 2 f 2  xdx  1 . 13vii) Να υπολογίσετε τα όρια :  2014  και L2  lim  ex 1  L1  lxim1   x  1  e1 x  f  x  x  1 x1 ln