7 ΝΕΕΣ ασκήσεις (07-13) Tm

Για το φίλο Βασίλη… Μερικές Θωμικές κατασκευές – ασκήσεις (Τm), πάντα αφιερωμένες στο φίλο Βασίλη…1. Δίνονται οι συναρτήσεις f : IR  IR με τύπο f x  ex  x  2,x  IR και g : IR *  IR με  g  x  x ln x  x  8, x  0 . Θεωρούμε ακόμη και τον μιγαδικό αριθμό z που ορίζεται ως εξής :    z  f α  g β i  hβ  hα i , όπου h : 0,   IR είναι μια συνεχής συνάρτηση και α,β είναι πραγματικοί αριθμοί με 0  α  β . Για τον μιγαδικό αριθμό z γνωρίζουμε ότι ικανοποιεί τη σχέση : 5  12i2  z  1 2013  169i 1  z 2013  0 . Να δείξετε ότι : A) Η συνάρτηση f παρουσιάζει ελάχιστη τιμή την οποία και να βρείτε. (Ή να βρείτε το Σύνολο Τιμών της) B) Η συνάρτηση g παρουσιάζει ελάχιστη τιμή την οποία και να βρείτε. (Ή να βρείτε το Σύνολο Τιμών της) C) Ο μιγαδικός z είναι φανταστικός.  D) Για την εξίσωση h x  0 υπάρχει μία τουλάχιστον πραγματική ρίζα. (Η επόμενη είναι στο ίδιο σκεπτικό με την παραπάνω. Και στις δύο αυτές μπορούμε να προσθέσουμεερωτήματα ώστε να είναι πιο προσιτές στους υποψήφιους. Πιστεύω ότι είναι καλές για 2α θέματα…) 2. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z  eα  α  β  ln β i και w  f α  f β i , με εικόνες M, N αντίστοιχα στο μιγαδικό επίπεδο, όπου α,β είναι αριθμοί πραγματικοί με α  β και β  0 , και  f : α,β  IR συνεχής συνάρτηση. Γνωρίζουμε ότι OM  ON. Να δείξετε ότι : (τη φανερή ανάγκη να μελετήσει μονοτονία και ακρότατα των ex  x και x  ln x εδώ αφήνω μόνο του το μαθητή να το σκεφτεί, αλλά δε νομίζω ότι είναι ιδιαίτερα πολύπλοκο…Πάντα σκέφτομαι ένα 2ο Θέμα…) A) z  w  z  w και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά τη σχέση αυτή. B) Re zw  0 , ή ότι ο μιγαδικός αριθμός q  z είναι φανταστικός. w  C)  Η εξίσωση f x  0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα α,β . (Η επόμενη είναι παλιά, αλλά πάλι νομίζω ότι είναι καλή και ίδιο – σχεδόν – σκεπτικό…) 3. Έστω το σύνολο των μιγαδικών αριθμών S  z  : z  x  if  x , x  Af , όπου f : Af  IR είναι μια συνεχής συνάρτηση στο Af . Γνωρίζουμε ακόμη ότι :  e2 2zi 3  e 42iz 3  6 2i  z 5  2iz  1 5 . A) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g : IR  IR με τύπο g x  e2x3  6x5  2013 είναι  αντιστρέψιμη και να βρείτε την τιμή g1 e7  2205 . B) Να δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών κινούνται σε ένα κύκλο του οποίου να προσδιορίσετε την εξίσωση. C) Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό σύνολο που θα μπορούσε να είναι το Af . D) Αν γνωρίζουμε ότι ο μιγαδικός αριθμός z0  1 i 3 είναι ένα από τα στοιχεία του συνόλου S , 2 2 να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f . (Η επόμενη δε στέκεται χαλαρά για 3ο ;;; Εμένα μου αρέσει πολύ…) Θωμάς Ποδηματάς

Για το φίλο Βασίλη…4. Έστω η συνάρτηση f : IR  IR με τύπο f  x  ex  ex ,x  IR . 2 A) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της. (Πιο καλά για  τον μαθητή είναι να δείξετε ότι f 1  x  ln x  x2  1 , x  IR ) B) Έστω μιγαδικός αριθμός z  με e 2z4i 1  e z2i  z2i . Να δείξετε ότι z  IR . e2 z2i 1 C) (Εντελώς ανάλογη) Έστω μιγαδικός αριθμός z  με e2 kz1 1  e kz1  zk , όπου e2 zk 1 k  IR  1. Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών z . z 2  z2 ez e z  D) Έστω μιγαδικός αριθμός z  * με  e z  ez . Να δείξετε ότι Re z2 1. (Η επόμενη είναι μια κατασκευή του 2010 που δεν την έχω κυκλοφορήσει ακόμη… Τη θέλω πολύ για 2οθέμα… Νομίζω ότι είναι ότι πρέπει για 2ο θέμα, τρομακτικό στην εκφώνηση και μάλλον απλό στη λύση… Όπωςεγώ πιστεύω ότι πρέπει να είναι το 2ο Θέμα…)5. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w  για τους οποίους γνωρίζουμε ότι το όριο :      L   z  1 x10  w  w  4  4i x8  2 w  31 z x3  x2  13    min lim 5x3  7x2  8x  2013  x  υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Να βρείτε : A) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων i) των μιγαδικών αριθμών z . ii) των μιγαδικών αριθμών w . B) Την ελάχιστη τιμή του w και τον μιγαδικό αριθμό w που ελαχιστοποιεί το w . C) Την ελάχιστη τιμή του z  w και τους μιγαδικούς αριθμούς που ελαχιστοποιούν το z  w . D) Την τιμή του ορίου, δηλαδή τον πραγματικό αριθμό L . (Η επόμενη είναι μία που προέκυψε από μία κουβέντα στο μάθημα τώρα το καλοκαίρι και αν τηφτιάξουμε λίγο, νομίζω ότι μπορεί να σταθεί στις Εξετάσεις… Το όριο αυτό το ζητάω πάρα πολλά χρόνια και δενμου έχει κάνει το χατίρι,… ακόμα !!!)6. Έστω f : IR  IR για την οποία γνωρίζουμε ότι : lim f x  1  IR και x0 x f 3 x  f 2x ημ2x  x2ημ3x , για κάθε x  IR . Να βρείτε : A) Τον πραγματικό αριθμό 1 .  5x4f  3   6x3  5x ημ2x  1    x  13x2συν3 2x  8  B) Την τιμή του ορίου : L  lim   .  3x3   x   (Η επόμενη κατατίθεται μόνο ως ιδέα! Άσκηση θα γίνει σε λίγο, όταν και η σχέση και η ευθείαπροκύπτουν από προηγούμενα ερωτήματα…Θα βρω τρόπο να τα μπλέξω πιστεύω…)7. Έστω f : IR  IR συνεχής συνάρτηση με : 2f 2 1  3f 2 2  66  12 f 1  2f 2 . Να  δείξετε ότι το Cf τέμνει μία τουλάχιστον φορά την ευθεία ε : 3x  y  1 σε σημείο M τεταγμένης y0  2,5 . Θωμάς Ποδηματάς