56 - 57 Νέες Ιδέες Θωμικές

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑ (5/12/2013 : Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR , παραγωγίσιμη στο σύνολο IR , κυρτή και όχι αντιστρέψιμη. Να δείξετε ότι : i) Υπάρχει ένα ακριβώς Ολικό Ελάχιστο της συνάρτησης f . ii) f x  f y  f yx  y , για κάθε x, y  IR .iii) f x  f x  f x , για κάθε x IR .iv) f x  f x  f 2013  f 2013x  2013, για κάθε x IR . (6/12/2013 : Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR συνεχής στο σύνολο IR με την ιδιότητα : f x  x x 1  t  dt, x  IR . 0 ef 1 i) Να δείξετε ότι :a) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο IR και μάλιστα, b) κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει το Cf μία ακριβώς φορά.ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κοιλότητα και να δείξετε ότι δεν έχει σημεία καμπής. iii) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης του Cf στο σημείο του M 0, f 0 .iv) Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς μία εφαπτομένη του Cf παράλληλη προς την ευθεία y  λx  κ , για κάθε λ 1, 2. (Διαφορετική εκφώνηση 1: Να βρεθεί το ευρύτερο υποσύνολο του IR , έστω Α ,από το οποίο αν επιλέξω ένα τυχαίο λ0  A , να μπορώ πάντοτε να βρω μία εφαπτομένη του Cfπαράλληλη προς την ευθεία με εξίσωση y  λ0x  κ, κ IR . Διαφορετική εκφώνηση 2: Να δείξετεότι όλες οι εφαπτόμενες της συνάρτησης gx  f x  x σχηματίζουν με τον άξονα x ' x γωνίεςφ οι οποίες βρίσκονται όλες στο διάστημα  0, π  , αλλά και αντίστροφα, να δείξετε ότι αν μία  4 ευθεία ε  σχηματίζει με τον άξονα x ' x γωνία φ   0, π  , τότε υπάρχει μία ακριβώς εφαπτομένη  4 της Cg παράλληλη προς την ε . ) v)Να υπολογίσετε το L  lim  f  f x  ln x    . x x2  ef xvi) Να δείξετε ότι xf x  f x  3 x , για κάθε x IR . 2vii) Αν E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , τους άξονες συντεταγμένων και την κατακόρυφη x  1 , να δείξετε ότι f 1  E  3 . 24viii) Αν είναι h : IR  IR με hx  1 , x  IR , να δείξετε ότι για οποιουσδήποτε 1 ef x απραγματικούς αριθμούς α,β ισχύει ότι : α  β  α  β  h  t dt  2 α  β . β Επόμενη…Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 1 από σελ. 1 6944862459