ΙΔΕΕΣ - ΜΕΡΟΣ ΙΙ

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑΙΔΕΕΣ – ΜΕΡΟΣ ΙI1. (10-03-13) (Τm) Αν g : IR  IR συνεχής και g x  0, ή g x  0 για κάθε x  IR , δηλαδή b xαρκεί η g να είναι συνεχής και μη μηδενιζόμενη στο IR και f  x  a x g t dt , x  IR , όπουa x και b x παραγωγίσιμες στο IR συναρτήσεις με a xb x  0 , για κάθε x  IR , τότεμπορούμε εύκολα να δείξουμε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη, δηλαδή \"1  1\".2. (12-03-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f : 0,  IR παραγωγίσιμη στο 0, και   x ln x f  x  e x ln x  f  x , για κάθε x  0 . Να δείξετε ότι f  x  e x  c ln x , για κάθε x  0 , όπου c είναι αυθαίρετη πραγματική σταθερά, δηλαδή προκύπτει οικογένεια συναρτήσεων.3. (28-03-13) (Τm) ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΜΑ : Αν f : IR  IR , παραγωγίσιμη στο IR και f  x    0 , για κάθε x  IR , όπου  είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός, να δείξετε ότι η f έχει Σύνολο Τιμών το IR , δηλαδή f  IR   IR .4. (28-03-13) (Τm) (Εφαρμογή της προηγούμενης) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR παραγωγίσιμη στο IR , με f  x  2,x  IR. Να δείξετε ότι το C f τέμνει μία ακριβώς φορά την ευθεία y  x1.5. (11-04-13) (Τm) Αν f : IR  IR , παραγωγίσιμη δύο φορές στο IR και f  x    0 , για κάθε x  IR , όπου  είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός, να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς μία εφαπτομένη του C f παράλληλη προς οποιαδήποτε ευθεία γραμμή (ΜΗ – ΚΑΤΑΚΌΡΥΦΗ). (Εφαρμογή της προηγούμενης : Ουσιαστικά ζητούμε να δείξουμε ότι το Σύνολο Τιμών της f  είναι το IR και ότι η f  είναι ‘1-1’ που είναι φανερό από την προηγούμενη)6. (17-03-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR παραγωγίσιμη στο IR , με   f  x 3t 2  1 dt  x, x   R . 1 i) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της συνάρτηση f 1 . ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κοιλότητα.iii) Να δείξετε ότι  f  x2   x  22 , για κάθε πραγματικό x .iv) Αν μια ευθεία   που σχηματίζει γωνία  με τον οριζόντιο άξονα εφάπτεται του C f , ναδείξετε ότι      .  0,  4  x  v) 2 t dt      f  f  Να βρείτε τα όρια : L1  lim  1 και L2  lim  0    x2 f x  x2 x  x2 1 Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 1 από σελ. 19 6944862459

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑ7. (11-04-13) (Τm) Δίνεται η συνάρτηση g : IR  IR , δύο φορές παραγωγίσιμη στο IR , για τηνοποία γνωρίζουμε ότι στο x0  0 δέχεται εφαπτομένη την πρώτη διχοτόμο των γωνιών των αξόνωνκαι ακόμη ότι, για κάθε x  IR : g x x  12  2x g x  g x  0.i) x 1 Να δείξετε ότι : g  x  0 t 2  1 dt , x  IR .ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς τη μονοτονία, τα ακρότατα, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της.iii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση g ως προς την κοιλότητα και να δείξετε ότι παρουσιάζει ακριβώς ένα σημείο καμπής, στο οποίο μάλιστα η συνάρτηση g παρουσιάζει τον μέγιστο δυνατό ρυθμό μεταβολής.iv) Να δείξετε ότι οι γωνίες  που σχηματίζουν όλες οι εφαπτόμενες του Cg με τον άξονα των x' x ανήκουν στο διάστημα    .  0,  4v) Να βρείτε την εφαπτομένη του Cg με τον μέγιστο δυνατό συντελεστή διεύθυνσης.vi) Να δείξετε ότι g2  x  x2 , για κάθε x  IR . vii)  0 t2   x t 2  2  , για κάθε Να δείξετε ότι  x t 2 1 dt    0 t 2  1 dt   0 x  IR .viii) Να δείξετε ότι g 1  x    x ,x     ,  .  2 2 ix) Να δείξετε ότι το σύνολο τιμών της συνάρτησης g είναι το    ,   2 2  .x) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g , την πρώτη διχοτόμο των γωνιών των αξόνων και την κατακόρυφη x  1, είναι E  2  2ln2   . 48. ΓΕΝΙΚΟ ΘΕΜΑ Αν f : IR  IR παραγωγίσιμη, γνησίως αύξουσα και κυρτή στο IR , να δείξετε ότι : i) f  x  0 , για κάθε x  IR . (Με τον ορισμό)ii) Υπάρχει ένα τουλάχιστον   IR , τέτοιος ώστε να ισχύει ότι f    0 . (Με άτοπο : Αν ήταν παντού f  x  0 θα ήταν σταθερή και η παράγωγός της δεν θα ήταν γνησίως αύξουσα (Κυρτή))iii) L  lim f  x   . (Για κάθε x    f  x  f    0 και όπως η προηγούμενη) x9. x 1(01-04-13) (Τm) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f : IR  IR με f  x   0 e f  t  dt , για κάθε 1 x  IR .i) Μπορούν να προστεθούν πολλά ερωτήματα…ii) Να δείξετε ότι f  x  e f  x  x  1 , για κάθε x  IR .Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 2 από σελ. 19 6944862459

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑiii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να προσδιορίσετε την αντίστροφή της, f 1 .iv) Να μελετήσετε την f ως προς μονοτονία και να προσδιορίσετε τα ακρότατά της αν φυσικά υπάρχουν.v) Να μελετήσετε την f ως προς την κοιλότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της.vi) Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης C f .10. Αν f : IR  IR παραγωγίσιμη, κυρτή στο IR και η ευθεία y  2x  3 είναι ασύμπτωτη του C f στο  .i) Να βρείτε το όριο : L lim  f  x  1  f  x . xii) Να δείξετε ότι f  x  f  x  1  f  x  f  x  1  f  x , για κάθε x  IR . iii) Να βρείτε το όριο : L  lim f  x . x11. (Παύλος Στόικος Απρίλης 2013) Έστω η συνάρτηση παραγωγίσιμη στο 0, , με f 1  1και e f  x  f  x  x  ln x , x  0 . Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f . (Απ.f  x  x ln x  x, x  0 )12. (Κώστας Τηλέγραφος) Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f με πεδίο ορισμού διάστημα υποσύνολο του  R* για την οποία ισχύουν : x x y f  t      f  t  dt  e x ln x e  e x 1 t  1  f    0 και ex dt dy ,x   ,όπου  είναι ένας σταθερός αριθμός του  .i) Να δείξετε ότι   1 .ii) Να βρεθεί το ευρύτερο διάστημα στο οποίο ορίζεται η f .iii) Να δείξετε ότι f  x    x  1 e x  e ln x , x  0. xiv) Να δείξετε ότι η συνάρτηση h x  xf  x είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και να βρείτε το σύνολο τιμών της.v) Να βρείτε τα όρια :  x1 ht   a) L1  dt  lim  ex  x  x  2x ht  b) L1  lim  e x  1 dt    x0 xΤηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 3 από σελ. 19 6944862459

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑ13. Έστω η συνάρτηση f : IR  IR παραγωγίσιμη στο IR με f  x  0 , για κάθε πραγματικό xαριθμό x και f  t  dt  x  x2 , για κάθε πραγματικό αριθμό x . Θεωρούμε ακόμη και τη 0συνάρτηση g : 0,  IR με τύπο : g  x    2x f t  dt ,  x  0 . Να δείξετε ότι :  t x  ln 2 ,  x  0i) f  x  g x  f 2x , για κάθε x  0 . ln 2ii) Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο Πεδίο Ορισμού της.iii) Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο Πεδίο Ορισμού της. iv) Αν  1 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g , τον άξονα x' x και τις ευθείες με εξισώσεις t  x ,t  x  1, x  0 και   2 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g , τον άξονα x' x και τις ευθείες με εξισώσεις t  x  1,t  x  2, x  0 , τότε ισχύει ότι  1    2  . 2v) Να δείξετε ότι υπάρχει ένα ακριβώς  1,2 , τέτοιος ώστε : gt dt  gt dt .  0 14. (Tm 21/04/13) Δίνονται (ή προκύπτουν) οι συναρτήσεις f  x   x et12dt , x  IR και 1  g x  ln x  1 x2  2x  2 , x  IR .i) Να μελετήσετε και τις δύο ως προς την κοιλότητα και να δείξετε ότι στο x0  1, ο ρυθμός μεταβολής της f είναι ελάχιστος, ενώ ο ρυθμός μεταβολής της g γίνεται μέγιστος.ii) Να βρείτε τα σύνολα τιμών των συναρτήσεων f , g .iii) Να δείξετε ότι στο x0  1 τα C f και Cg δέχονται κοινή εφαπτομένη.iv)  f  2013 x  . Να βρείτε το όριο : L  lxim1  x  g15. (21-04-13)  x i) : 1,1  IR συνεχής και    0  t dt    1,1 (ΝΖ) Έστω η συνάρτηση f f  x ,x . Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f . (Να δείξετε ότι : f  x   1 , x   1,1 ) 1 x2ii) (Τm) Έστω η συνάρτηση g : IR  IR συνεχής στο IR , για την οποία υποθέτουμε ότι  x     ικανοποιεί τη σχέση   g t dt  x,x  IR (1). Να βρείτε τη συνάρτηση g , ή να 0 Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 4 από σελ. 19 6944862459

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑ δείξετε ότι gx  x 1 1 , x  IR . Σημειώνεται ότι η σχέση (1) είναι καλώς ορισμένη, αφού 2 x αποδεικνύεται ότι αν ονομάσουμε h x  g t dt , x  IR , τότε το σύνολο τιμών της 0 συνάρτησης h είναι το   ,  .  2 2  x2116. (17-04-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f  x  2e 2 2 , x  IR . Σημείο M κινείται πάνω στοC f . Δείξτε ότι η f είναι κυρτή και να κάνετε μια πρόχειρη γραφική παράστασή της. Να βρεθεί τοσημείο M ώστε η γωνία MOˆ x , να είναι η μέγιστη και η ελάχιστη δυνατή. (Απ. min   , 4max  3 ) 4 x1 t2  t  71 dt , x  IR .17. (22-04-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f  x i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία της και να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της.ii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης C f , τον οριζόντιο άξονα τετμημένων και την κατακόρυφη 2x  1  0 .18. Έστω η συνάρτηση f : IR  IR για την οποία γνωρίζουμε ότι η ευθεία με εξίσωση y   x   ,όπου   0 και   IR είναι ασύμπτωτη του C f στο  .i) Να δείξετε ότι : lim f  x   . x ii) Αν M x , f  x είναι τυχαίο σημείο του C f και d  x είναι η απόσταση του σημείου  M x, f  x από την ασύμπτωτή του, να δείξετε ότι lim d  x  0 . xiii) Έστω η συνάρτηση g : IR  IR με g x   f f  x , x  IR . Να δείξετε ότι η ευθεία με εξίσωση   : y   2 x     είναι πλάγια ασύμπτωτη του C f στο  .19. (28-04-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f : 0,  IR συνεχής στο 0, , με την ιδιότητα  x2  1 f  x  0,x  0 , για την οποία γνωρίζουμε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεταιαπό τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , τον οριζόντιο άξονα τετμημένων και τις ευθείεςx  1, x  t ,t  0 , δίνεται από τον τύπο : E t   tf t   t3  1 ,t  0 . 39i) Να βρείτε τον τύπο της f . (Να δείξετε ότι είναι : f  x    x2 ln x ,  x  0  ).  0 ,  x  0ii) Έστω ακόμη η συνάρτηση g x   x  4 ln x  x  2, x  0 . Να δείξετε ότι :Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 5 από σελ. 19 6944862459

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑ a) Η συνάρτηση g δέχεται μία ακριβώς οριζόντια εφαπτομένη σε σημείο της M  x1 , g  x1  , με x1 1,2 . b) Η συνάρτηση g στη θέση x1 έχει Ολικό ελάχιστο και μάλιστα g  x1   0.iii) Να δείξετε ότι από το σημείο A 2,0 του οριζόντιου άξονα άγονται ακριβώς δύο εφαπτόμενες προς το C f .iv) Να βρείτε την τιμή του ορίου : L lim  1   x  1  . x1 f  x 20. Α. Έστω η συνάρτηση g( x )  e x  kx  1,k  0 . i) Να βρεθεί το ελάχιστο της , και να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος του ακρότατου. ii) Να βρεθεί η μέγιστη τιμή του k  0 έτσι ώστε να ισχύει g( x )  1. iii) Να αποδείξετε ότι για k  1, g( x )  0 .Β. Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο IR με f ( 0 )  2 και για κάθε x  R : [ f ( x )  f ( x )]e x  ( x  1 ) f ( x )  f ( x ). i) Να βρείτε την f . ii) Να λύσετε την ανίσωση em23  e2m22  1  m2 .Γ. Nα βρείτε τα A,B R : f ( x )  f ( x )  Ax  B και να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 1 x2  x e x dx 1 021. Έστω η συνάρτηση f : 0,  IR παραγωγίσιμη στο 0, , με f  x  0 , για κάθε x  0 ,για την οποία το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από το C f , τους άξονες συντεταγμένων καιτην ευθεία x  a  0, είναι E a  ea  f a .i) Να δείξετε ότι : a) f  x  e x ,x  0 . L   x  lim     . b) f  x  ex x0ii) Να δείξετε ότι f  x  e x  e x , x  0 και να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την 2 κοιλότητα.iii) Να δείξετε ότι 1 f 1 f 1  1 f 2  xdx  . 02iv) Αν g x  f  x , x  0, τότε να δείξετε ότι : a) Η συνάρτηση g αντιστρέφεται και να προσδιορίσετε τη συνάρτηση g1 . 3 b) 4 g1  x dx  3ln2  1 . 04Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 6 από σελ. 19 6944862459

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑ22. Γενική άσκηση ασυμπτώτων: Έστω η συνάρτηση f : IR  IR παραγωγίσιμη στο IR , με τιςιδιότητες : lim  f  x  a και lim  f x xf  x  b , όπου a ,b  IR . Να δείξετε ότι η x xευθεία με εξίσωση y  ax  b είναι πλάγια ασύμπτωτη του C f στο  .23. (19-05-13_1) (Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR*  IR παραγωγίσιμη στο 0, , μεf e  e2  1. Αν είναι γνωστό ότι : f  xy  f  x  f  y  x2 y2  x2  y2 , για κάθε x, y 0, , να δείξετε ότι : i) Για κάθε x, y 0, : xf  x  yf  y  2 x2  y2 .ii) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f . (Να δείξετε ότι f  x  x2  ln x , x  0 )iii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f : a) Ως προς τη μονοτονία, να δείξετε ότι αντιστρέφεται και να βρείτε το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης f 1 . b) Ως προς τα κοίλα και να δείξετε ότι έχει ένα ακριβώς Σημείο Καμπής, στο οποίο μάλιστα η εφαπτομένη παρουσιάζει τον ελάχιστο δυνατό συντελεστή διεύθυνσης.iv) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει εφαπτομένη του C f , η οποία να περνά από την αρχή του συστήματος συντεταγμένων.24. (19-05-13_2) (Τm) Έστω η συνάρτηση f  x  x et2dt , x  IR . 0 i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς μονοτονία και ακρότατα, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της.ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κοιλότητα και να δείξετε ότι το C f έχει ένα ακριβώς Σημείο καμπής, στο οποίο ο ρυθμός μεταβολής της f είναι ελάχιστος.iii) Να δείξετε ότι όλες οι γωνίες που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες του C f με τον οριζόντιο άξονα των τετμημένων ανήκουν στο διάστημα    .  4 ,  2iv) Να δείξετε ότι  f  x2  x2 , για κάθε πραγματικό αριθμό x .v) Να βρείτε το Σύνολο Τιμών της συνάρτησης f .  x  14t 2e t 2  x2  vi) Να υπολογίσετε το όριο : L  lim    dt  x  0     x 25. (19-05-13_3) (Τm) Έστω η συνάρτηση f : 0,  IR , παραγωγίσιμη στο 0, , της οποίας η εφαπτομένη στο σημείο της  1, f 1 , είναι παράλληλη της ευθείας   : 2x  4 y  2013 .Είναι ακόμη γνωστό ότι για τους μιγαδικούς z   f  x  2xi , x  0 καιw   x3  x    xf  x  1  i , x  0 ισχύει ότι zw  zw .  2x i) Να δείξετε ότι :Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 7 από σελ. 19 6944862459

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑ a) Re zw  0 b) Το τετράπλευρο που σχηματίζεται από τα O , M , N , Q όπου M , N είναι αντίστοιχα οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z,w , O είναι η αρχή των αξόνων και Q είναι η εικόνα του μιγαδικού z  w , είναι ορθογώνιο.ii) Να δείξετε ότι : f x  ln x , x  0 . x2 1iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f παρουσιάζει ένα ακριβώς μέγιστο στο 0, με τιμή θετική.  x1  lim  iv) Να υπολογίσετε το όριο : L  x  x f t  dt . 26. (20-05-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR*  IR παραγωγίσιμη στο 0, για την οποία γνωρίζουμε ότι ισχύει : x ln x f  x  ln x  f  x ,x  0 και ότι f e  2e  1 . Θεωρούμε e 1ακόμη τη συνάρτηση με τύπο : F  x  x f  t  dt , x  0 . xi) Να δείξετε ότι f  x   x  1 ln x, x  0.ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατά της και να βρείτε το σύνολο τιμών της.iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι αντιστρέψιμη και να λύσετε την εξίσωση F  x  0, x  0. iv) Έστω x0  1. Να δείξετε ότι για κάθε x0  1 , υπάρχει ένα τουλάχιστον   1, x0 , τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης F στο σημείο της   M  ,F   , να περνά από το σημείο N x0  1   ,F  x0   F   .v) Να δείξετε ότι η συνάρτηση F είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης F1 .27. (21-05-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR συνεχής στο IR , μεf  x  x 1 f t  dt , x  IR . 0 2e2 1 i) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κοίλη στο IR .ii) Να δείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφή της συνάρτηση f 1 , την οποία και να προσδιορίσετε.iii) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , a) τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία x  e2 , b) την εφαπτομένη του C f στην αρχή των αξόνων και την ευθεία x  e2 .iv) Να δείξετε ότι : a) x 1 e2 f t  0 , για κάθε x  IR . 0 t 2  2013 dtΤηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 8 από σελ. 19 6944862459

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑ 1 x1 1 1 1  2e2 f  x1 2e2 2e2 b)  x 1 f t dt  f  x ,x  IR . 1 c) f  x  f a  f b  f a  x  a ,x a,b, όπου a  b IR . ba v) Να βρείτε τα όρια :  2x 1   1  2e2 f t    a) L1  lim  xx dt  και  x    2x 1   1  2e2 f t    b) L2  lim  xx dt x 28. (14-05-13) (Τm) Δίνεται (ή προκύπτει από διαφορική) η f  x  ln x  x2  1 . i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς μονοτονία , ακρότατα και κοιλότητα. Να δείξετε ότι το C f παρουσιάζει ένα ακριβώς Σημείο Καμπής, το οποίο και να προσδιορίσετε. ii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι αντιστρέψιμη και να προσδιορίσετε την αντίστροφή της , f 1 . iii) Να δείξετε ότι η C f έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. iv) a) Αν h, g : a,a  IR , a  0 συνεχείς συναρτήσεις με h άρτια και g περιττή, να a h x a a  k g x h xdx , όπου k  0 σταθερός πραγματικός  δείξετε ότι I  dx  0 1 αριθμός, ή ότι το I είναι ανεξάρτητο της συνάρτησης g και του πραγματικού k  0 . b)   x2 x  Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα : J  2  x  x2  dx .  2 1   1 x0   2 x 1   x ln 29. (22-05-13) (Τm) Ένα όριο : Υπολογίστε το L lim x t dt  .30. (22-05-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR , παραγωγίσιμη στο  R της οποίας η εφαπτομένη στο σημείο που το γράφημά της τέμνει τον άξονα τεταγμένων είναι παράλληλη με την πρώτη διχοτόμο γωνιών αξόνων και για κάθε x , y  IR ικανοποιεί την f  x  y  e x f  y  e y f  x (1). i) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη του C f στο x0  0 είναι η y  x . ii) Να δείξετε ότι για κάθε x , y  IR , e x  f  y  f  y  e y  f  x  f  x . iii) Να δείξετε ότι f  x   xe x , x  IR .31. (Ν.Ζ. Rolle σε ανοικτό) Έστω η συνάρτηση f : a,b   R , παραγωγίσιμη στο a ,b .Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 9 από σελ. 19 6944862459

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑ i) Αν lim f  x  lim f  x   IR . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον xa xb  a,b : f    0. ii) Αν lim f  x  lim f  x   . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον xa xb  a,b : f    0. iii) Αν lim f  x  lim f  x   . Να δείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον xa xb  a,b : f    0.32. Έστω η συνάρτηση f : IR  IR , παραγωγίσιμη στο  R , για την οποία γνωρίζουμε ότι είναι κυρτή στο 0, , κοίλη στο  ,0, το γράφημά της C f περνά από την αρχή των αξόνων και τέλος ότι f 0  1. Να δείξετε ότι : i) Η εφαπτομένη του C f στο x0  0 διαπερνά το γράφημα C f . ii) L1  lim f x   και L2  lim f  x   . x x iii) Το Σύνολο Τιμών της συνάρτησης f είναι το Σύνολο  R .33. Να υπολογίσετε το όριο L  lim  g x ln t dt   ??? σε κάθε μία των περιπτώσεων : f x et  xk i) k   και f  x  x , g x  2x . ii) k   και f  x  x , g  x  x2 . iii) k  0 και f  x  x , g  x  x2 .34. (22-05-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f  x  2x  x t 2 1 1 dt ή σε ακόμη καλύτερη έκδοση 0  (βάζοντας μέσα στο ολοκλήρωμα το x , να δοθεί ως : f  x  x 2t2  3 dt , x  IR ). 0 t2 1 i) Να μελετήσετε την f ως προς μονοτονία, ακρότατα, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της. ii) Να δείξετε ότι το Σύνολο Τιμών της f είναι το σύνολο IR .  iii) Να μελετήσετε την f ως προς την κοιλότητα και να δείξετε ότι έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής, το οποίο να προσδιορίσετε. iv) Να δείξετε ότι στο σημείο καμπής παρουσιάζεται ο μέγιστος δυνατός ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f . ΟΛΑ ΤΑ ΠΑΡΕΛΚΟΜΕΝΑ ΤΩΝ ΚΟΙΛΩΝ ΠΑΙΖΟΥΝ… v) Να βρείτε την εφαπτομένη του C f που έχει τον μέγιστο δυνατό συντελεστή διευθύνσεως.   vi) ex 1 Να δείξετε ότι η εξίσωση 2 x3  e x  x3 t2  1 dt , έχει ακριβώς δύο ρίζες στο σύνολο IR .35. (23-05-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f  x  ln x 1 t x2 1  0 t2 1 dt , x  IR .Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 10 από σελ. 19 6944862459

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑi) Να μελετήσετε την f ως προς μονοτονία, ακρότατα, να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημό της.ii) Να μελετήσετε την f ως προς την κοιλότητα και να δείξετε ότι έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής, το οποίο να προσδιορίσετε.iii) Να δείξετε ότι στο σημείο καμπής παρουσιάζεται ο μέγιστος δυνατός ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f . ΟΛΑ ΤΑ ΠΑΡΕΛΚΟΜΕΝΑ ΤΩΝ ΚΟΙΛΩΝ ΠΑΙΖΟΥΝ…iv) Να δείξετε ότι όλες οι εφαπτόμενες του C f σχηματίζουν γωνίες  με τον οριζόντιο άξονα, οιοποίες «καλύπτουν» όλο το διάστημα    . Δηλαδή – διαφορετική εκφώνηση : Να δείξετε  0,  4ότι πάντα μπορώ να βρω τουλάχιστον μια εφαπτομένη του C f που να σχηματίζει γωνία  μετον οριζόντιο άξονα, όταν το  ανήκει στο διάστημα  0   .  ,  4v) Να βρείτε την εφαπτομένη του C f που έχει τον μέγιστο δυνατό συντελεστή διευθύνσεως.  x2 1x 0 2 x  2xt ln e2x  x t2 1vi) για ή απείρως νομίζω καλύτερηΝα δείξετε ότι  dt , κάθε x  IR  x2 1x 0 xt ln e2x  x2 t2  x2: ότινα δείξετε  2x dt , για κάθε x  IR .vii)  x6 1  ex 2  2tΝα δείξετε ότι η εξίσωση : ln  e2x 1   x3 t2 1 dt , x  IR έχει δύο ακριβώς ρίζες στοIR .  x     f  dt   3x  1  t2 tviii) Να βρείτε το όριο : L lim   0  .  x2  2013  x  ix) Μπορούμε, ξέροντας τα κοίλα, δηλαδή μονοτονία της παραγώγου να γράψουμε ανισότητεςπου προκύπτουν από εφαρμογή του ΘΜΤ σε διαστήματα της μορφής 0  x  x  1 ή …36. (31-05-13) (Τm) Έστω οι συναρτήσεις f : IR  IR συνεχής, μεf 3  x  2 f  x  3x  1,x  IR , g : IR  IR παραγωγίσιμη τρεις φορές στο σύνολο  R και   : IR  IR με   x  x f 2 t   et2 dt , x  IR . Είναι ακόμη γνωστό ότι 0       e 12g x2 2eg4 x5  f 2 t  et2  3 dt  f 3  e 2 g x2  f 3 2e g4x5 ,x  IR ().   1 i) Να δείξετε ότι οι συναρτήσεις f , είναι γνησίως αύξουσες στο σύνολο  R .ii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g δεν αντιστρέφεται.iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση g δεν αντιστρέφεται.Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 11 από σελ. 19 6944862459

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑiv) Αν επιπλέον η συνάρτηση g είναι κυρτή στο σύνολο  R , τότε να δείξετε ότι το Cg έχειακριβώς δύο σημεία καμπής στο σύνολο  R .37. (30-05-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f : 0,  IR , παραγωγίσιμη στο 0, , μεf 1  0 , xf  x  f  x  0, για κάθε x  0 . Είναι ακόμη γνωστό ότι  x  x xf f  x2  ln   x2  x 4e 2 x2  xf  x  f  x 2 , για κάθε x  0 .i) Να δείξετε ότι f  x  x x et2dt , x  0. 1ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κοιλότητα.iii) Να δείξετε ότι :a) Το C f παρουσιάζει ένα ακριβώς ΟΕ στη θέση 1  0,1 και μάλιστα f 1   0 .b) Η εξίσωση f  x  0 , έχει μοναδική ρίζα το x0  1.iv) Να βρείτε το L  lim f  x . x x et2dt 1  et2dt  1  et2dt  et2dt   x 1 x  v) Να δείξετε ότι : 1 1  x    , για κάθε 1   x 1  x  , , με 1     .38. (01-06-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR , παραγωγίσιμη στο IR , με f 0  1 και     f  x t2  et2 dt  2 2 f  x  f  x , για κάθε x  IR . 2 f xi) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f . (Να δείξετε ότι f  x  e2x , x  IR ).ii) Να βρείτε το εμβαδόν E a  του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , τους άξονες συντεταγμένων και την ευθεία με εξίσωση x  a  0. iii) Αν το a αυξάνεται με ρυθμό 1cm / s , να βρείτε το ρυθμό με τον οποίο αυξάνεται το εμβαδόν E a  , τη χρονική στιγμή κατά την οποία είναι a0  3cm . iv) Να βρείτε : a) Την εξίσωση εφαπτομένης του C f που διέρχεται από την αρχή των αξόνων. b) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , την εφαπτομένη του προηγούμενου ερωτήματος και τον άξονα y' y . c) Την ευθεία που περνά από το A0,1 και χωρίζει το προηγούμενο χωρίο σε δύο ισοδύναμα χωρία.39. Έστω f ,g : 0,1  IR , με f παραγωγίσιμη στο 0,1 , g0  g1  0 καιg x f  x  f  x  7 , για κάθε x 0,1. Να δείξετε ότι f  x  7 , για κάθε x 0,1 .40. Έστω η συνάρτηση f : IR  IR , παραγωγίσιμη στο IR με f 5  x  5 f  x  5x , x  IR . i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία.Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 12 από σελ. 19 6944862459

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑ ii) Δίνεται η συνάρτηση g : IR  IR , τρεις φορές παραγωγίσιμη στο IR και ο μιγαδικός  αριθμός : z  9  g2  x  2  6g x2  i , με  f 5  z  i   f 5  z  1   5 z  i  z  1 , για κάθε x  IR . a) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των σημείων Μ του επιπέδου που είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z . b) Να δείξετε ότι g1  g4  3 . c) Η εξίσωση g3  x   0 , έχει μία τουλάχιστον λύση στο διάστημα 1,4 . 41. (02-06-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR με f x  e x  2x  1,x  IR . i) Να δείξετε ότι : a) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο IR . b) Η συνάρτηση f έχει Σύνολο Τιμών το IR . c) Ισχύει ότι : f  x  2 e f  x1  2x  1, x  IR . d) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο IR . ii) Να βρείτε : a) Την αντίστροφη f 1 της συνάρτησης f και b) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , τον οριζόντιο άξονα τετμημένων και τις ευθείες με εξισώσεις x  1 και x  1  e .42. Έστω η συνάρτηση : IR  IR με  x    x  3 etx  a  x  1 etx   , όπου f f lim   , x IR 3etx  etx t  a είναι ένας σταθερός πραγματικός αριθμός. Να βρεθεί η πραγματική σταθερά a ώστε η συνάρτηση f να είναι συνεχής στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών.43. (06-09-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR συνεχής στο IR , με  f 2  x  2x 1  f  x   1 , για κάθε x  IR . Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f .44. Να υπολογίσετε τα παρακάτω – SOSARA (ολοκληρωτικά) όρια…  1 x   5 x  x t  lim  x2 0 t   t dt  . 0 x4  xt  t2  x    i)L1 vi) L6  lim  dt . xii)   x1 ln t  1   vii)   2x 1  L2 lim  x t x4  dt . L7 lim  dt  . x    xt  x0 x  x 3 1 t   x1 2  x3 t  lim    x iii) viii)L8  e t dt . L3  lim  dt . x  t 2  1 x  x 2 2   x tet2 x2   ix) 0 x2 iv) L4  x e t  x L9  lim  14 dt  . lim  dt . x0  x  0  1 x   x 2 4t2  1  lim  x dt  . x t2 1  x   v) L5  2t   t2 x)   x4  1 L10 lim  dt 8 . 0 xΤηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 13 από σελ. 19 6944862459

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑ45. (06-10-13) (Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  2,2 παραγωγίσιμη στο IR , f   1   0 για  4  f  x f 2 x 1  x 4   την οποία γνωρίζουμε ότι : t  et1 dt  e4  f f 2 x , για κάθε x  IR . e i) Να δείξετε ότι : f  x   2 e4 x1  1 , x  IR . e4 x1  1 ii) Να δείξετε ότι οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία με εξίσωση y  c τέμνει μία ακριβώς φορά το γράφημα C f της συνάρτησης f , όταν και μόνο όταν είναι c 2,2 . Ισοδύναμη, αλλά πολύ καλύτερη εκφώνηση : Να δείξετε ότι η εξίσωση  2  c e4x1  c  2, x,c  IR έχει μοναδική λύση στο σύνολο IR , όταν και μόνο όταν είναι c 2,2 . iii) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και να ορίσετε τη συνάρτηση f 1 . iv) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από το C f , τους άξονες συντεταγμένων και την κατακόρυφη x  1.46. (Τσιαμήτας Γιώργος 27/11/13) Έστω η συνάρτηση f : 0,  IR παραγωγίσιμη στο IR με     f 8 1  0 και xe4x3 f  x e2 f  x  1  x2 e x3  1,x  0. Να δείξετε ότι f  x  4x  4  0,x  0.47. (Κανελλοπούλου Δήμητρα 27/11/13) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR παραγωγίσιμη στο IR , περιττή στο IR , η οποία παρουσιάζει στο σημείο x0  1 ολικό ελάχιστο στο 2. Ακόμη  f  x  2  lim  f  x   1 . x i) Να δείξετε ότι :  a) Το Σύνολο Τιμών της συνάρτησης f είναι το διάστημα 2,2 . b) Η εφαπτομένη του C f στο x1  1 είναι οριζόντια. ii) Έστω z ,w  με w  lim  f  x  8  και z2w 8 12  w , όπου  f  x  2   z4w 6 x z4w 6 είναι z  4 w  6  0 . Να βρείτε : a) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w . b) Το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών αριθμών z . c) Την ελάχιστη τιμή της ποσότητας : z  w    iii)    f f 2x f x 2  (Τm) Να υπολογίσετε την τιμή του ορίου : L lim  x2 1 .   xΤηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 14 από σελ. 19 6944862459

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑiv) Έστω η συνάρτηση g : IR  IR παραγωγίσιμη και κοίλη στο IR με g 0  0 καιg2014  2014. Να δείξετε ότι g x  x  2013 , για κάθε x 0,2014 .48. (1/12/2013 : Τm) Αν οι συνεχείς συναρτήσεις f , g : IR  IR έχουν την ίδια μέγιστη (ή την ίδια ελάχιστη) τιμή, τότε να δείξετε ότι τα γραφήματα C f και Cg έχουν ένα τουλάχιστον κοινό σημείο στο σύνολο IR .49. (2/12/2013 : Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR και η συνεχής και μη σταθερή συνάρτησηg :  ,   IR. Γνωρίζουμε ότι : f 3  x   f  x    g  x ,x  ,  () όπου είναι  0 και   g  ,  . Να δείξετε ότι :i) Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα  ,  .ii) Η εξίσωση f  x  0 , έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα  ,  .50. (5/12/2013 : Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR , παραγωγίσιμη στο σύνολο IR , κυρτή και όχι αντιστρέψιμη. Να δείξετε ότι : i) Υπάρχει ένα ακριβώς Ολικό Ελάχιστο της συνάρτησης f . ii) f  x  af  x  f  x , όπου a  0 , για κάθε x  IR .iii) f  x  f  y  f  y x  y , για κάθε x , y  IR .iv) f  x  2014 f  x  f 2014  f 2014 x  2014 , όπου a  0 , για κάθε x  IR .51. (6/12/2013 : Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR συνεχής στο σύνολο IR με την ιδιότητα : f  x  x  x 1 t  dt , x  IR . 0 ef 1 i) Να δείξετε ότι :a) Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο σύνολο IR και μάλιστα, b) κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει το C f μία ακριβώς φορά.ii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κοιλότητα και να δείξετε ότι δεν έχει σημείακαμπής. iii) Να βρείτε την εξίσωση εφαπτομένης του C f στο σημείο του M 0, f 0 .iv) Να δείξετε ότι υπάρχει ακριβώς μία εφαπτομένη του C f παράλληλη προς την ευθείαy   x   , για κάθε  1,2 . (Διαφορετική εκφώνηση 1: Να βρεθεί το ευρύτερουποσύνολο του IR , έστω  , από το οποίο αν επιλέξω ένα τυχαίο 0  A , να μπορώπάντοτε να βρω μία εφαπτομένη του C f παράλληλη προς την ευθεία με εξίσωσηy  0x   ,  IR. Διαφορετική εκφώνηση 2: Να δείξετε ότι όλες οι εφαπτόμενες τηςσυνάρτησης g  x  f  x  x σχηματίζουν με τον άξονα x' x γωνίες  οι οποίεςβρίσκονται όλες στο διάστημα    , αλλά και αντίστροφα, να δείξετε ότι αν μία ευθεία  0,  4  σχηματίζει με τον άξονα x' x γωνία    0,   , τότε υπάρχει μία ακριβώς εφαπτομένη  4 της Cg παράλληλη προς την   . )Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 15 από σελ. 19 6944862459

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑ v) Να υπολογίσετε το L  f f  x  ln x    . lim x2  e f x xvi) Να δείξετε ότι xf  x  f  x  3 , για κάθε x  IR . x 2vii) Αν E είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f , τους άξονες συντεταγμένων και την κατακόρυφη x  1 , να δείξετε ότι f 1  E  3 . 24viii) Αν είναι h: IR  IR με h x  1 , x  IR , να δείξετε ότι για οποιουσδήποτε 1 e fx  πραγματικούς αριθμούς  , ισχύει ότι :         h t dt  2    . ix) Να δείξετε ότι f 1  x  f 1  y  x  y  2 f 1  x  f 1  y ,x, y  IR και ότι η συνάρτηση f 1 είναι συνεχής στο σύνολο IR .x) Αν E1 είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f 1 , τον άξονα x' x και την x  f 1 , να δείξετε ότι : f 1  3  E1  f 1 4 . 252. Έστω η συνάρτηση f : IR  IR συνεχής στο IR με f 0  2 και f f  x  4 f  x  6  x4 , για κάθε x  IR . Να βρείτε τις τιμές :i) f 2 και f 2   ii) f 2 και f  2 .53. (27/01/2013 : Τm) Έστω η συνάρτηση f : 0,  IR παραγωγίσιμη δύο φορές στο διάστημα  0, της οποίας το C f περνάει από τα σημεία A1,0 και B e2 ,2 . Ακόμαx f  x  2x x f  x  1 , για κάθε x  0 .i) Να δείξετε ότι f  x  ln x  2 x  2, x  0.ii) Να δείξετε ότι το C f παρουσιάζει ένα ακριβώς Σημείο Καμπής, στο οποίο μάλιστα ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f γίνεται μέγιστος.iii) Να βρείτε την εφαπτομένη του C f με τον μέγιστο δυνατό συντελεστή διεύθυνσης.iv) Πόσες εφαπτόμενες έχει το C f παράλληλες προς την ευθεία y   x   καθώς τα  , διατρέχουν το σύνολο IR των πραγματικών αριθμών;v) Να δείξετε ότι ln x  2  x  e2 για κάθε x  0 . ex  xvi) Να λύσετε την εξίσωση : x x  1  e 2  ln x  1 ,1  x  2 . (Λύση εδώ)Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 16 από σελ. 19 6944862459

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑ54. (16/12/2013 : Τm Όλη εκτός της σχέσης (1)) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR παραγωγίσιμη δύοφορές στο IR με συνεχή δεύτερη παράγωγο, της οποίας η εφαπτομένη στο x0  0 είναι η πρώτηδιχοτόμος των γωνιών των αξόνων. Γνωρίζουμε ακόμη ότι :  2 f x f  x  h  f  x  h   e x  x  1 (1), για κάθε x  IR . lim  h2 h0 i) Να δείξετε ότι f 0  0 και f 0  1.ii) Να δείξετε ότι f  x  e x  x3  x2  2x  1, x  IR . 62iii) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κοιλότητα, να δείξετε ότι έχει ένα ακριβώς σημείο καμπής, το οποίο και να βρείτε. Να δείξετε ότι η εφαπτομένη του C f στο σημείο καμπής της, έχει τον μέγιστο δυνατό συντελεστή διεύθυνσης. Να βρείτε την εφαπτομένη με τον μέγιστο συντελεστή διεύθυνσης.iv) Να δείξετε ότι όλες οι γωνίες που σχηματίζουν οι εφαπτόμενες του C f με τον άξονα x' x ανήκουν στην ένωση :   0,4     ,  . Αλλά και αντίστροφα, δείξτε ότι μπορώ πάντα   2  να βρω εφαπτόμενη του C f παράλληλη προς οποιαδήποτε ευθεία   σχηματίζει γωνία  με τον οριζόντιο άξονα, όταν   0,4     ,  .   2 v) Να δείξετε ότι : a) Για κάθε x  0 : f  x  x , ενώ b) Για κάθε x  0 : f  x  x . vi) Να δείξετε ότι το C f έχει δύο ακριβώς θέσεις τοπικών ακροτάτων και μάλιστα ένα ακριβώς τοπικό ελάχιστο στη θέση x1  0 με f  x1   0 και ένα ακριβώς τοπικό μέγιστο στη θέση x2  0 με f  x2   0. vii) Να βρείτε το Σύνολο Τιμών της συνάρτησης f και να κάνετε μία πρόχειρη γραφική της παράσταση.55. (16/12/2013 : Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR παραγωγίσιμη στο IR της οποίας το C fπερνά από την αρχή των αξόνων και f x  f  x2 e2x  1 x1 1 ex x2  2x  2   x  12  1 , για κάθε x  IR . Να δείξετε ότι : x2  2x  2i) f  x  xe x , x  IR .ii) Υπάρχει ένα ακριβώς    1 ,1 τέτοιος ώστε   ln  0.  2iii) Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f , τον κατακόρυφο άξονα και την ευθεία y1 δίνεται από τον τύπο : E    12 . Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 17 από σελ. 19 6944862459

ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑiv) Υπάρχει ένα ακριβώς k 0,1 τέτοιο ώστε η ευθεία y  k να χωρίζει το εμβαδόν τουχωρίου που περικλείεται από το C f τον άξονα y' y και την ευθεία y  1 σε δύο ισοδύναμαχωρία. x2 156. Έστω η συνάρτηση με τύπο : f  x  x t 1 x dt .i) Κλασσικά ερωτήματα :a) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το σύνολο των πραγματικών αριθμών.b) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f , ή να δείξετε ότι  f  x  ln x2  x  1 , x  IR . c) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατά της, να βρείτε τις ρίζες, το πρόσημό της και το Σύνολο Τιμών της. d) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς την κοιλότητα και να βρείτε τα σημεία καμπής της. e) Να δείξετε ότι οι εφαπτόμενες στα σημεία καμπής της τέμνονται πάνω στην ευθεία x 1. 2ii) (Τm) Να δείξετε ότι το γράφημα της συνάρτησης f είναι συμμετρικό ως προς την ευθεία x 1. 2iii) (Τm) Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που ορίζεται ως g x  2x  1 f  x , x  IR και τον οριζόντιο άξονασυντεταγμένων. 1 1 x 1, 2 2 ln x2  x  1 dx  1 ln 0     iv) (Τm) Να δείξετε ότι x2  x 1 dx , ή ότι η ευθεία 2χωρίζει το χωρίο που περικλείεται από το C f και τον οριζόντιο άξονα, σε δύο ισοδύναμα(ισεμβαδικά) χωρία.57. (18/12/2013 : Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR παραγωγίσιμη και κυρτή στο IR , με την x ιδιότητα : f t dt  f t dt , x  IR , όπου    είναι δύο πραγματικοί  x(σταθεροί) αριθμοί. Να δείξετε ότι :i) f  x  f     x για κάθε πραγματικό αριθμό x .   ii) 2I  f  xdx   f  xdx  J . 2iii) Το γράφημα της συνάρτησης f είναι συμμετρικό ως προς την κατακόρυφη x     . 2Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 18 από σελ. 19 6944862459

ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝΓΕΝΙΚΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΩΜΑΣ ΚΑΙ ΡΟΖΑ ΠΟΔΗΜΑΤΑiv) Η συνάρτηση f παρουσιάζει μοναδικό ολικό ελάχιστο στο IR , το οποίο βρίσκεται πάνω στην x     , ή ισοδύναμα (καλύτερα) να δείξετε ότι f x  f      ,x  IR . 2  2 58. Έστω η συνεχής συνάρτηση f :  ,   IR η οποία ικανοποιεί την ιδιότητα :Για κάθε x  ,  υπάρχει ένα τουλάχιστον y  ,  τέτοιο ώστε : 2 f  y  f  x . Ναδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον   ,  τέτοιο ώστε f    0 .59. (02/02/2014 : Τm) Έστω η συνάρτηση f : IR  IR με :i) f 3  x  f  x  x  2,x  IR . Να βρείτε το όριο : 1  lim f  x . x4ii) f 3  x  6 f 2  x  5 f  x  x3  3x2  x  11 , x  IR . Να βρείτε το όριο : 2  lim f  x  . x360. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα : e x  x  2 dx (Στεργίου – Νάκης 11.43) x x2  ex  i)I1  x2e x  2xe x x2  ex  1 x2 2 x2  ex  x2     Λύση : I1  dx   ex  dx   1   x2      1 ln1   ex  1  t dt   t  c  ln  1  x2   c  ln x2  ex  2ln x  c καιii)I2   x x  x (17/02/2014 : Τm) e2x 2 x dx  x x  x  x   x e x x e e2x   2 e2x  2 x dx  x  Λύση : I2  x dx e x  x  e x  x   x e2x  e2x  e x x  e x x   x   x ex e xe x  ex  ex  x    dx  dx  ex dx  e2x 2x e2x 2x 2   e2x e2x 1        t 1 1    x 2  1 1 t2 dt  2 ln 1 t2  c  2 ln 1   ex    c  2 ln e2x 2 x xc .61. Επόμενη…Τηλ. : 2421032618 email : [email protected] Σελ. 19 από σελ. 19 6944862459