สมการเชิงอนุพันธ์ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นตัวแปร

Taylor series 1 พหนุ ามเทยเลอร และ อนกุ รมเทยเ ลอรบทนิยาม ให f เปนฟงกชนั ซ่ึงมอี นพุ ันธที่จดุ x = a ถงึ อันดับที่ nเรากลาววา Pn (x) เปน พหุนามเทยเลอรดกี รี n ของ f กระจายรอบจุด x = a กต็ อ เม่ือPn (x) = f(a) + f ′(a)(x – a) + 1 f ′′(a)(x – a) 2 + 1 f ′′′(a)(x – a) 3 + ... + 1 f (n) (a)(x – a) n 2! 3! n!ในกรณที ่ี a = 0 เราอาจเรยี กพหนุ ามเทยเลอรว า พหุนามแมคลอริน ของ f กระจายในกาํ ลังของ xตัวอยาง f(x) = 2 + 3x + 5 x2 - 12 x31. จงหา พหุนามเทยเลอรดกี รี 3 ของ f กระจายรอบจุด x = 12. จงหา q(x) ท่ีทาํ ให q(x - 1) = p(x) f(1) = -2แนวคิด 1. f(x) = 2 + 3x + 5 x2 - 12 x3 f′(x) = 3 + 10x - 36 x2 f′(1) = -23 f′′(x) = 10 - 72x f′′(1) = -62 f′′′(x) = -72 f′′′(1) = -72 f′′′′(x) = 0เพราะฉะน้ัน พหุนามเทยเลอรดีกรี 3 รอบจดุ x = 1 คอืf(1) + p′(1) (x - 1) + p′′(1) (x - 1) 2 + p′′′(1) (x - 1) 3 1! 2! 3!= -2 + −23 (x - 1) + −62 (x - 1) 2 + −72 (x - 1) 3 1! 2! 3!= -2 - 23(x - 1) - 31(x - 1) 2 - 12(x - 1) 32. เลือก q(x) = -2 - 23x - 31 x2 - 12 x3 †ORIGIN := 0p(x) := 2 + 3⋅x + 5⋅x2 − 12⋅x3p(x) → 2 + 3⋅x + 5⋅x2 − 12⋅x3 a0 := p(x) substitute, x 1 → −2 a1 := d p(x) substitute, x 1 → −23d p(x) → 3 + 10⋅x − 36⋅x2dx dxd2 p (x) → 10 − 72⋅x a2 := d2 p (x) substitute, x 1 → −62dx2 dx2d3 p(x) → −72 a3 := d3 p(x) substitute, x 1 → −72dx3 dx3p(x) series, x 1 , 4 → −2 − 23⋅(x − 1) − 31⋅(x − 1)2 − 12⋅(x − 1)3 เอกสารประกอบการสอนวชิ า 2301266 Computational Mathematics Page 1 of 21

2 Taylor seriesตวั อยาง 2.3.2 กําหนดให f(x) = sin x จงหา P5(x) กระจายรอบจุด x = 0วิธีทาํ f(x) = sin x ; f(0) = 0 f ′(x) = cos x ; f ′(0) = 1 f ′′(x) = –sin x ; f ′′(0) = 0 f ′′′(x) = –cos x ; f ′′′(0) = –1 f (4) (x) = sin x ; f (4) (0) = 0 f (5) (x) = cos x ; f (5) (0) = 1จะไดP5 (x) = f(0) + f ′(0)x + 1 f ′′(0) x 2 + 1 f ′′′(0) x3 + 1 f (4) (0) x4 + 1 f (5) (0) x5 2! 3! 4! 5! = 0 + x + 0 – 1 x3 + 0 + 1 x5 3! 5! =x– 1 x3 + 1 x5 † 3! 5!sin(x) series, x 0 , 1 → 0sin(x) series, x 0 , 2 → 1⋅xsin(x) series, x 0 , 3 → 1⋅xsin(x) series, xsin(x) series, x 0 , 4 → 1⋅x − 1 ⋅x3sin(x) series, x 6sin(x) series, xsin(x) series, x 0 , 5 → 1⋅x − 1 ⋅x3 6 0 , 6 → 1⋅x − 1 ⋅x3 + 1 ⋅x5 6 120 0 , 7 → 1⋅x − 1 ⋅x3 + 1 ⋅x5 6 120 0 , 8 → 1⋅x − 1 ⋅x3 + 1 ⋅x5 − 1 ⋅x7 6 120 5040 เอกสารประกอบการสอนวิชา 2301266 Computational Mathematics Page 2 of 21

Taylor series 3P3(x) := 1⋅x − 1 ⋅x3 6P5(x) := 1⋅x − 1 ⋅x3 + 1 ⋅x5 6 120P7(x) := 1⋅x − 1 ⋅x3 + 1 ⋅x5 − 1 ⋅x7 6 120 5040 1sin ( x) 2 0.5 1 2P3 ( x) 10P5 ( x)P7 ( x) 0.5 1 sin(x) x Taylor degree 3 Taylor degree 5 Taylor degree 7 เอกสารประกอบการสอนวิชา 2301266 Computational Mathematics Page 3 of 21

4 Taylor seriesตวั อยา ง 2.3.3 จงหาพหนุ ามเทยเลอรดีกรี 4 ของ f(x) = ln x กระจายรอบจดุ x = 1วธิ ที าํ f(x) = ln x ; f(1) = 0f ′(x) = 1 ; f ′(1) = 1 xf ′′(x) = − 1 ; f ′′(1) = –1 x2f ′′′(x) = 2 x−3 =2 ; f ′′′(1) = 2 x3f (4) (x) = –2⋅3 x−4 = - 3! ; f (4) (1) = –3! x4ดงั น้นั P4 (x)= f(1) + f ′(1)(x – 1) + 1 f ′′(1)(x – 1) 2 + 1 f ′′′(1)(x – 1) 3 + 1 f (4) (1)(x – 1) 4 2! 3! 4!= 0 + (x – 1) – 1 (x – 1) 2 + 2 (x – 1) 3 – 3! (x – 1) 4 2! 3! 4!= (x – 1) – 1 (x – 1) 2 + 1 (x – 1) 3 – 1 (x – 1) 4 † 2 3 4ln(x) series, x 1 , 2 → 1⋅(x − 1)ln(x) series, x 1 , 3 → 1⋅(x − 1) − 1 ⋅(x − 1)2 2ln(x) series, x 1 , 4 → 1⋅(x − 1) − 1 ⋅(x − 1)2 + 1 ⋅(x − 1)3 23ln(x) series, x 1 , 5 → 1⋅(x − 1) − 1 ⋅(x − 1)2 + 1 ⋅(x − 1)3 − 1 ⋅(x − 1)4 234ln(x) series, x 1 , 6 → 1⋅(x − 1) − 1 ⋅(x − 1)2 + 1 ⋅(x − 1)3 − 1 ⋅(x − 1)4 + 1 ⋅(x − 1)5 2345 เอกสารประกอบการสอนวชิ า 2301266 Computational Mathematics Page 4 of 21

Taylor series 5P2(x) := 1⋅(x − 1) − 1 ⋅(x − 1)2 2P3(x) := 1⋅(x − 1) − 1 ⋅(x − 1)2 + 1 ⋅(x − 1)3 2 3P4(x) := 1⋅(x − 1) − 1 ⋅(x − 1)2 + 1 ⋅(x − 1)3 − 1 ⋅(x − 1)4 2 3 4 1 0.5ln( x)P2 ( x)P3 ( x) 0 0.5 1 1.5 2P4 ( x) 0.5 1 ln(x) x Taylor degree 2 Taylor degree 3 Taylor degree 4 เอกสารประกอบการสอนวชิ า 2301266 Computational Mathematics Page 5 of 21

6 Taylor seriesตัวอยาง 2.3.4 กําหนดให f(x) = 3 2x −1จงหาพหุนามเทยเ ลอรดีกรี 3 ของ f กระจายรอบจุด x = 1วิธีทาํ f(x) = 3 2x − 1 1 ; f(1) = 1 = (2x – 1) 3 f ′(x) 1 −2 2 −2 f ′(1) 2 3 3 (2) 3 3 3 = (2x – 1) = (2x – 1) ; = f ′′(x) 4 −5 8 −5 f ′′(1) 8 9 3 (2) 9 3 9 = – (2x – 1) = – (2x – 1) ; = – f ′′′(x) 40 − 8 80 − 8 f ′′′(1) 80 3 3 27 = (2x – 1) (2) = (2x – 1) ; = 27 27 = – 640 (2x – 1) − 11 = – 1280 1 f (4) (x) 81 3 (2) 81 11 (2x −1) 3จะได P3 (x) = f(1) + f ′(1)(x – 1) + 1 f ′′(1)(x – 1) 2 + 1 f ′′′(1)(x – 1) 3 2! 3! = 1 + 2 (x – 1) – 4 (x – 1) 2 + 40 (x – 1) 3 † 39 81 1(2⋅x − 1) 3 series, x 1 , 1 → 1 + O(x − 1) 1(2⋅x − 1) 3 series, x 1 , 2 → 1 + 2 ⋅(x − 1) + O⎡⎣(x − 1)2⎤⎦ 3 1(2⋅x − 1) 3 series, x 1 , 3 → 1 + 2 ⋅(x − 1) − 4 ⋅(x − 1)2 + O⎡⎣(x − 1)3⎦⎤ 39 1(2⋅x − 1) 3 series, x 1 , 4 → 1 + 2 ⋅(x − 1) − 4 ⋅(x − 1)2 + 40 ⋅(x − 1)3 + O⎣⎡(x − 1)4⎦⎤ 39 81 เอกสารประกอบการสอนวชิ า 2301266 Computational Mathematics Page 6 of 21

Taylor series 7 แบบฝก หัด1. จงหาพหุนามเทยเ ลอรของฟงกชนั ตอไปนต้ี ามทก่ี ําหนดให รอบจุด a ซึง่ กาํ หนดให1.1 f(x) = sin x ; P9 (x) ; a = 01.2 f(x) = cos x ; P8 (x) ; a = 01.3 f(x) = ln(1 + x) ; P6 (x) ; a = 01.4 f(x) = 1+ x ; P5 (x) ; a = 4 −x ; P6 (x) ; a = 01.5 f(x) = e 21.6 f(x) = x2 ln x ; P4 (x) ; a = 51.7 f(x) = 4 x3 + 5 x2 – 2x + 1 ; P3 (x) ; a = 21.8 f(x) = ln(cos x) ; P3 (x) ; a= π 3 เอกสารประกอบการสอนวิชา 2301266 Computational Mathematics Page 7 of 21

Fourier series 1 อนุกรมฟูเรยี รบทนิยาม f(x) เปน ฟงกช ันเปนคาบ กต็ อ เมือ่ มีจํานวนจริงบวก L ที่ทาํ ให f(x + 2L) = f(x) สําหรับทกุ xและเรยี ก 2L วา คาบ (period) ของ f(x)การเขียนกราฟของฟงกชนั เปน คาบตวั อยาง กราฟของ f(x) = x f (x) := xDefinition of f(x) = x 6.28f (x) 15.71 12.57 9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42 12.57 15.71 6.28 xตวั อยา ง กราฟของฟงกช นั เปนคาบ f(x) = x เมือ่ -π ≤ x ≤ π และ f(x + 2π) = f(x)แบบท่ี 1. f1(x) := return x if −π ≤ x ≤ π while x < −π ∨ x > π x ← x − 2⋅π if x > π x ← x + 2⋅π if x < −π f1(x) 3.14f1 ( x) 0 3.14 6.28 9.42 12.57 15.71 15.71 12.57 9.42 6.28 3.14 3.14 x เอกสารประกอบการสอนวิชา 2301266 Computational Mathematics Page 8 of 21

2 Fourier seriesแบบที่ 2.Definition of period function Type IIf2(x) := while x < −π ∨ x > π x ← x − 2⋅π if x > π x ← x + 2⋅π if x < −π x 3.14 f2 ( x) 0 3.14 6.28 9.42 12.57 15.71 15.71 12.57 9.42 6.28 3.14 3.14 xแบบท่ี 2.Definition of period function Type IIIf3(x) := x if −π ≤ x ≤ π f3(x − 2⋅π ) if x > π f3(x + 2⋅π ) if x < −π 3.14 f3 ( x) 15.71 12.57 9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42 12.57 15.71 3.14 x เอกสารประกอบการสอนวชิ า 2301266 Computational Mathematics Page 9 of 21

Fourier series 3ตัวอยาง f(x) = ⎧⎨⎩12,, −π< x ≤ 0 และ f(x + 2π) = f(x) 0<x<πf (x) := while x < −π ∨ x > π x ← x − 2⋅π if x > π x ← x + 2⋅π if x < −π 1 if −π < x ≤ 0 2 if 0 < x < π 3 3.14 6.28 9.42 2 1 f (x) 9.42 6.28 3.14 1 0 2 3 xตวั อยาง f(x) = 4 - x2 , -2 ≤ x ≤ 2 และ f(x + 4) = f(x)f (x) := while x < −2 ∨ x > 2 x ← x − 4 if x > 2 x ← x + 4 if x < −2 4 − x2 if −2 ≤ x ≤ 2 5 4 3f (x) 2 1 8 7 6 5 4 3 2 1 01 2 3 4 5 6 7 8 x เอกสารประกอบการสอนวชิ า 2301266 Computational Mathematics Page 10 of 21

4 Fourier seriesตัวอยาง f(x) = ⎧⎨⎩3x,, −1< x < 0 และ f(x + 2) = f(x) 0< x <1f (x) := while x < −1 ∨ x > 1 x ← x − 2 if x > 1 x ← x + 2 if x < −1 3 if −1 < x ≤ 0 x if 0 < x < 1 4 3 f (x) 2 1 4 3 2 1 01 2 3 4 xอนกุ รมฟเู รยี รข องฟง กชนั ทม่ี คี าบ 2πฟงกช นั เปน คาบ f(x) มคี าบเทา กบั 2πอนกุ รมฟูเรยี ร ของ ฟง กชัน f(x) คอื a0 + ∞ an cos nx + bn sin nx 2 ∑ n =1เมอ่ื a0 = 1 π f(x) dx π ∫ −π an = 1 π f(x) cos nx dx n = 1, 2, ... π ∫ −π bn = 1 π f(x) sin nx dx n = 1, 2, ... π ∫ −πa0 , an , bn เรยี กวา สัมประสิทธฟ์ิ เู รยี ร (Fourier coefficients) ของ f(x) เอกสารประกอบการสอนวิชา 2301266 Computational Mathematics Page 11 of 21

Fourier series 5ตัวอยา ง จงหาอนกุ รมฟูเรียรของฟง กชนั ซึง่ นยิ ามโดย f(x) = x เมอ่ื -π ≤ x ≤ π และ f(x + 2) = f(x)วิธีทาํ a0 = 1 π dx = 0 π ∫x −πan = 1 π cos nx dx = 0 π ∫x −πbn = 1 π x sin nx dx = = − 2 cos nπ = 2(−1)n +1 π n n ∫ −π ∞ =(−1)n +1 sin nx 2{sin x sin 2x sin 3x sin 4x + L} n 2 3 4อนุกรมฟูเรียรของ f(x) คอื 2∑ − + − n =1Enter a function that is periodic on intervalf (x) := xCompute Fourier coefficients n := 1 .. 20 a0 := 1 ⌠π f (x) dx π ⋅⎮ ⌡− π an := 1 ⌠π f (x) ⋅cos(n⋅x) dx π ⋅⎮ ⌡− π bn := 1 ⌠π f (x) ⋅sin(n⋅x) dx π ⋅⎮ ⌡− πComputed Fourier series a0 m 2∑Fouries(x, m) := + (an⋅cos(n⋅x) + bn⋅sin(n⋅x)) n=1Define function that is periodic on intervalf (x) := while x < −π ∨ x > π x ← x − 2⋅π if x > π x ← x + 2⋅π if x < −π x เอกสารประกอบการสอนวชิ า 2301266 Computational Mathematics Page 12 of 21

6 Fourier series Plot of Fourier polynomial and original function: 6.28 6.28 4 6.28 6.28 f (x) 6.28 3.14 0 3.14 Fouries(x , 1) 4 x 4 f (x) 6.28 3.14 0 3.14 Fouries(x , 2) 4 x 4 f (x) 6.28 3.14 0 3.14 Fouries(x , 5) 4 x 4 f (x) 6.28 3.14 0 3.14 Fouries(x , 10) 4 x เอกสารประกอบการสอนวิชา 2301266 Computational Mathematics Page 13 of 21

Fourier series 7ตัวอยาง จงหาอนุกรมฟูเรียรของฟงกชนั ซ่งึ นยิ ามโดย f(x) = ⎩⎨⎧12,, −π< x ≤ 0 และ f(x + 2π) = f(x) 0<x<π a0 = 1 ⎡0 π ⎤ π ⎣⎢⎢−∫π1 dx 2 dx⎥ 3วิธีทาํ + ∫ = ⎥⎦ 0 1 ⎡0 π ⎤ 1 ⎛⎜ 1 sin nx 0 2 sin nx π ⎟⎞ =0 n = 1, 2, 3,K π 2 cos nx dx⎥ π ⎝⎜ n n 0 ⎟⎠ + ⎥⎦,a n −π = ⎣⎢⎢−∫π cos nx dx + ∫ = 0 1 ⎡0 π ⎤ 1 ⎜⎛ 1 cos nx 0 2 cos nx π ⎞⎟bn π ⎣⎢⎢−∫π sin nx dx 2 sin nx dx⎥ π ⎜⎝ n n 0 ⎟⎠ = + ∫ = − − ⎦⎥ 0 −π 1 − cos nπ = 1 − (−1)n n = 1, 2, 3,K nπ nπ ,= ∞ 1− (−1)n 3 2 {sin1 x sin 3x sin 5xอนกุ รมฟูเรยี รของ f(x) คอื =3 + 1 n sin nx 2 + π + 3 + 5 + L} π ∑ 2 n =1Enter a function that is periodic on intervalf (x) := 1 if −π < x ≤ 0 2 if 0 < x < πCompute Fourier coefficients n := 1 .. 20 a0 := 1 ⌠π f (x) dx π ⋅⎮ ⌡− π an := 1 ⌠π f (x) ⋅cos(n⋅x) dx π ⋅⎮ ⌡− π bn := 1 ⌠π f (x) ⋅sin(n⋅x) dx π ⋅⎮ ⌡− πComputed Fourier series a0 m 2∑Fouries(x, m) := + (an⋅cos(n⋅x) + bn⋅sin(n⋅x)) n=1 เอกสารประกอบการสอนวชิ า 2301266 Computational Mathematics Page 14 of 21

8 Fourier seriesDefine function that is periodic on interval f (x) := while x < −π ∨ x > π x ← x − 2⋅π if x > π x ← x + 2⋅π if x < −π 1 if −π < x ≤ 0 2 if 0 < x < πPlot of Fourier polynomial and original function: f (x) 3 Fouries(x , 1) 2 1 12.57 9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42 12.57 x f (x) 3 Fouries(x , 3) 2 1 12.57 9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42 12.57 x f (x) 3 Fouries(x , 10) 2 1 12.57 9.42 6.28 3.14 0 3.14 6.28 9.42 12.57 x เอกสารประกอบการสอนวิชา 2301266 Computational Mathematics Page 15 of 21

Fourier series 9อนกุ รมฟเู รียรข องฟง กชันที่มคี าบ 2Lให f(x) เปน ฟง กชันทม่ี ีคาบเทากับ 2Lอนุกรมฟูเรียรข อง f(x) บนชวง [-L, L] คือ a0 + ∞ (an cos nπx + bn sin nπx ) 2 L L ∑ n =1เม่ือ an = 1 L f (x)cos nπx dx, n = 0,1, 2,K L L ∫ −L bn = 1 L f (x)sin nπx dx, n = 1, 2, 3,K L L ∫ −Lตัวอยา ง จงหาอนุกรมฟูเรียรของฟงกช นั f(x) = 4 - x2 , -2 ≤ x ≤ 2 และ f(x + 4) = f(x)วธิ ีทาํ a0 = 1 2 dx = 1 2 − x2) dx = 1 ⎢⎡4x − x3 ⎤ 2 16 2 2 2 ⎣ 3 ⎥ 3 ∫ f (x) ∫ (4 ⎦ = −2 −2 −2an = 1 2 f (x) cos nπx dx = 1 2 (4 − x 2 ) cos nπx dx 2 2 2 2 ∫ ∫ −2 −2 = 1 8 sin nπx 2 − 1 ⎡ 8x cos nπx + ⎜⎛⎝⎜ 2x2 − 16 ⎠⎞⎟⎟ sin nπx ⎤ 2 2 nπ 2 −2 2 ⎢ n2π2 2 nπ n3π3 2 ⎥ −2 ⎢⎣ ⎦⎥ − 16 cos nπ = 16(−1)n+1 n = 1, 2, 3,K 2π2 n2π2 ,= n 1 2 f(x) sin nππ dx =0 n = 1, 2, 3,K,bn = 2 2 ∫ −2อนุกรมฟเู รียรของ f(x) คือ 8 + 16 (cos πx − 1 cos 2πx + 1 cos 3πx − 1 cos 4πx + L) 3 π2 2 22 2 32 2 42 2Compute Fourier coefficients L := 2Enter a function that is periodic on interval f (x) := 4 − x2Compute Fourier coefficients n := 1 .. 20 a0 1 ⌠L f (x) dx := ⋅⎮ L ⌡− L an := 1 ⌠L f (x) ⋅cos⎜⎛ n⋅π ⋅x ⎞ dx L ⋅⎮ ⎝ L ⎠ ⌡⎮− L bn := 1 ⌠L f (x) ⋅sin⎜⎛ n⋅π ⋅x ⎞ dx L ⋅⎮ ⎝ L ⎠ ⎮ ⌡− L เอกสารประกอบการสอนวิชา 2301266 Computational Mathematics Page 16 of 21

10 Fourier seriesComputed Fourier series a0 m ⎝⎛⎜ an⋅cos⎜⎝⎛ n⋅π ⋅x ⎞ bn⋅sin⎝⎛⎜ n⋅π ⋅x ⎞ ⎞ 2 L ⎠ L ⎠ ⎠∑Fouries(x, m) := + + n=1Define function that is periodic on interval f (x) := while x < −2 ∨ x > 2 x ← x − 4 if x > 2 x ← x + 4 if x < −2 4 − x2Plot of Fourier polynomial and original function: f (x) 6 Fouries(x , 2) 4 2 6 5 4 3 2 1 01 2 3 4 5 6 x f (x) 6 Fouries(x , 5) 4 2 6 5 4 3 2 1 01 2 3 4 5 6 x เอกสารประกอบการสอนวิชา 2301266 Computational Mathematics Page 17 of 21

Fourier series 11ตวั อยาง จงหาอนกุ รมฟูเรยี รของฟง กชนั f(x) = ⎧⎩⎨3x,, −1< x < 0 และ f(x + 2) = f(x) 0< x <1วธิ ีทาํ a0 01 x dx = [3x]0 + ⎡ x2 ⎤1 = 7 ⎢ 2 ⎥ 2 = ∫ 3 dx + ∫ −1 ⎣ ⎦0 −1 0 01 = 3 sin nπx 0 ⎡ x sin nπx + cos nπx ⎤1 nπ ⎢ nπ n2π2 ⎥an = ∫ 3cos nπx dx + ∫ x cos nπx dx + ⎣ ⎦0 −1 0 −1 cos nπ −1 = (−1)n −1 n = 1, 2, 3,K n2π2 n2π2 ,= 01 =− 3 cos nπx 0 ⎢⎣⎡− x cos nπx + sin nπx ⎤ 1 nπ nπ n2π2 ⎥bn = ∫ 3sin nπx dx + ∫ x sin nπx dx + ⎦0 −1 0 −1 − 3 + 2cos nπ − 3 + 2(−1)n n = 1, 2, 3,K nπ nπ ,= =อนกุ รมฟูเรยี รข อง f(x) คือ ∞⎡ (−1)n − 1 2(−1)n − 3 ⎤ 7 2 1 1 n2π2 nπ nπx⎥ 4 π2 32 52+=7∑⎢ cos nπx + sin + (cos πx + cos 3πx + cos 5πx + L) ⎦⎥4 n =1 ⎢⎣ − 5 (sin πx + 1 sin 3πx + 1 sin 5πx + L) π 3 5 − 1 ( 1 sin 2πx + 1 sin 4πx + 1 sin 6πx + L) π 2 4 6Compute Fourier coefficients L := 1Enter a function that is periodic on interval f (x) := 3 if −1 < x ≤ 0Compute Fourier coefficients n := 1 .. 20 x if 0 < x < 1 a0 := 1 ⌠L f (x) dx L ⋅⎮ ⌡− L an := 1 ⌠L f (x) ⋅cos⎝⎛⎜ n⋅π ⋅x ⎞ dx L ⋅⎮ L ⎠ ⌡⎮− L bn := 1 ⌠L f (x) ⋅sin⎜⎛⎝ n⋅π ⋅x ⎞ dx L ⋅⎮ L ⎠ ⎮ ⌡− L เอกสารประกอบการสอนวชิ า 2301266 Computational Mathematics Page 18 of 21

12 Fourier seriesComputed Fourier series a0 m ⎝⎛⎜ ⋅cos⎛⎜ n⋅π ⋅x ⎞ bn⋅sin⎛⎝⎜ n⋅π ⋅x⎞ ⎞ 2 ⎝ L ⎠ L ⎠⎠∑Fouries(x, m) := + an + n=1Define function that is periodic on intervalf (x) := while x < −1 ∨ x > 1 x ← x − 2 if x > 1 x ← x + 2 if x < −1 3 if −1 < x ≤ 0 x if 0 < x < 1Plot of Fourier polynomial and original function: x := −4 , −4 + 0.001 .. 4 f (x) 4 Fouries(x , 4) 3 2 1 4 3 2 1 01 2 3 4 1 x f (x) 4 Fouries(x , 10) 3 2 1 4 3 2 1 01 2 3 4 1 x เอกสารประกอบการสอนวชิ า 2301266 Computational Mathematics Page 19 of 21

Fourier series 13Program Computing Fourier CoefficientsEnter a function that is periodic on interval: f (x) := while x < −1 ∨ x > 1 x ← x − 2 if x > 1 x ← x + 2 if x < −1 3 if −1 < x ≤ 0 x if 0 < x < 1Enter positive endpoint of periodic interval: L := 1Order of Fourier series approximation: N := 10Program to compute Fourier coefficients: ORIGIN := 0 ⎜⎛ 1 ⌠L f (x) dx ⎞ R〈0〉 ⎜ ⋅⎮ ⎟FC(f , N , L) := ← 2⋅L ⌡− L ⎜ 0 ⎠ ⎝ for n∈ 1 .. N ⎛⎜ 1 ⌠L f (x) ⋅cos⎛⎝⎜ n⋅π ⋅x ⎞ dx ⎞ ⎜ L ⋅⎮ L ⎠ ⎜ ⎮⌡− L ⎟ R〈n〉 ← ⎜ ⎟ ⎜ ⌠L ⎟ ⎜ 1 ⋅⎮ f (x) ⋅sin⎜⎝⎛ n⋅π ⋅x ⎞ dx ⎟ ⎝⎜ L ⌡⎮− L L ⎠ ⎟ ⎠ RTComputed Fourier coefficients: coeff := FC(f , N , L) A := coeff〈0〉 B := coeff〈1〉 เอกสารประกอบการสอนวชิ า 2301266 Computational Mathematics Page 20 of 21

14 Fourier series Computed Fourier coefficients: B := res〈1〉 res := FC(f , N , L) A := res〈0〉 ∑Nth Fourier polynomial: A0 N ⎝⎜⎛ An ⋅cos⎛⎜⎝ n⋅π ⋅x ⎞ Bn⋅sin⎜⎝⎛ n⋅π ⋅x ⎞⎞ 2 L⎠ L ⎠⎠ p(x) := + + n=1 Plot of Fourier polynomial and original function:g(x) := −1 if −π ≤ x ≤ 0 x := −2⋅π , −2⋅π + 0.001 .. 2⋅π 1 if 0 ≤ x < π g(x + 2⋅π ) if x < −π g(x − 2⋅π ) if x > π 2 g ( x) p(x) 6.28 4.71 3.14 1.57 0 1.57 3.14 4.71 6.28 2 Periodic function x Nth Fourier polynomial แบบฝกหัดจงเขียนกราฟของ f(x) และ ประมาณกราฟของ f(x) ดวยอนกุ รมฟูเรยี ร (กาํ หนด n = 2, 5, 10)1. f(x) = x2 เมอ่ื -π ≤ x ≤ π และ f(x + 2π) = f(x)2. f(x) = sin x เมื่อ -π ≤ x ≤ π และ f(x + 2π) = f(x) และ f(x + 2π) = f(x)3. f(x) = ⎨⎧⎩1x,, −π<x ≤0 และ f(x + 2π) = f(x) 0<x<π และ f(x + 2) = f(x)4. f(x) = ⎧⎩⎨scions((xx)),, −π< x < 0 0<x<π5. f(x) = x2 , -1 ≤ x ≤ 16. f(x) = ⎧1, − 2 < x < 0 และ f(x + 4) = f(x) ⎩⎨x2, 0 < x < 2 เอกสารประกอบการสอนวิชา 2301266 Computational Mathematics Page 21 of 21