Modul Matematika SMA-MA Integral Fungsi Aljabar dan Trigonometri

MAT 04 IPA Standar Kompetensi : > Menggunakan konsep integral dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar : > Memahami konsep integral tak tentu dan integral tertentu. > Menghitung integal tentu dan integral tak tentu dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. > Menggunakan integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva, dan volume benda putar. PENDAHULUAN 1 Pada pembahasan modul ini, akan dibahas tentang integral yang ada kaitannya dengan luas daerah di bawah kurva dan volume benda putar. Untuk memudahkan pemahaman tentang integral, modul ini akan membahas 1 kegiatan belajar yaitu : Kegiatan Belajar 1 : Integral Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA ➢ Pengertian Integral (Anti Diferensial) Integral merupakan anti turunan atau sebagai operasi invers dari diferensial. Definisi : Suatu fungsi F disebut suatu anti turunan dari suatu fungsi f pada selang I jika F '(x) = f (x) untuk setiap x  I . ➢ Integral Tak Tentu 2 ▪ Pengertian Integral Tak Tentu Integral tak tentu adalah proses untuk menentukan bentuk umum anti turunan dari suatu fungsi yang diberikan. Jika F (x) merupakan anti turunan dari f (x) , maka f (x) dx = F(x) + C disebut integral tak tentu dari f (x) , dengan C suatu konstanta sembarang. Jika F adalah anti turunan dari f , maka F '(x) = d F(x) = f (x) dx  d F(x) = f (x) dx   d F(x) =  f (x) dx = F(x)+ C Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA Integral Fungsi Aljabar 3 RUMUS DASAR INTEGRAL FUNGSI ALJABAR : x n dx = 1 xn+1 + C n +1 Rumus-rumus Integral Tak Tentu : 1)  d F = F(x)+ C 2) k dx = kx + C 3) k xn dx = k xn+1 + C , dengan n  −1 n +1 4) Untuk n = −1, rumus (3) menjadi k dx = k ln x + C x 5)  k f (x)dx = k f (x) dx 6)  f (x)+ g(x) dx =  f (x) dx +  g(x) dx 7)  f (x)− g(x) dx =  f (x) dx −  g(x) dx 8) e xdx = e x + C 9) a xdx = 1 ax + C ln a Contoh : 2x3 dx = 2 x3+1 + C = 1 x4 + C 3+1 2 Integral Fungsi Trigonometri 1) sin x dx = −cos x + c 2) cos x dx = sin x + c 3) tan x dx = ln secx + c = −ln cos x + c 4) cot x dx = ln sin x + c Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA 5) cosec x dx = ln cosec x − cot x + c = ln tan x + c 4 2 6) sec x dx = ln sec x + tan x + c = ln tan x +   + c 2 2 7) cosec2 x dx = −cot x + c 8) sec2 x dx = tan x + c 9) cosec x cot x dx = −cosec x + c 10) sec x tan x dx = sec x + c 11) sin ax dx = − 1 cos ax + c a 12) cos ax dx = 1 sin ax + c a 13) sin (ax + b) dx = − 1 cos (ax + b) + c a 14) cos (ax + b) dx = 1 sin (ax + b) + c a 15) sin n x cos x dx = 1 sin n+1 x + c n +1 16) cosn x sin x dx = − 1 cosn+1 x + c n +1 Rumus-rumus penolong untuk rumus (17) sampai dengan (20) : i. 2sin  cos  = sin( +  ) + sin( −  ) ii. 2cos sin  = sin( +  ) − sin( −  ) iii. 2cos cos  = cos( +  ) + cos( −  ) iv. − 2sin  sin  = cos( +  ) − cos( −  ) Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA 17) 2 sin ax cos bx dx = −1 cos (a + b)x − 1 cos (a − b)x + c a+b a−b 18) 2 cosax sin bx dx = −1 cos (a + b)x + 1 cos (a − b)x + c a+b a−b 19) 2 cosax cos bx dx = 1 sin (a + b)x + 1 sin (a − b)x + c a+b a−b 20) 2 sin ax cos bx dx = −1 sin (a + b)x + 1 sin (a − b)x + c a+b a−b Rumus-rumus penolong untuk rumus-rumus (21) sampai dengan (24) dan 5 yang sejenisnya : i. cos2 x + sin 2 x = 1 ii. sin 2 x = 1 (1 − cos 2x) 2 iii. cos2 x = 1 (1 + cos2x) 2 iv. 1 + tan 2 x = sec2 x 21) sin 2 x dx = x − sin 2x + c = 1 (x − sin x cos x) + c 24 2 22) cos2 x dx = x + sin 2x + c = 1 (x + sin x cos x) + c 24 2 23) tan2 x dx = tan x − x + c 24) cot2 x dx = −cot x − x + c  Contoh : 6 sin13x cos5x dx = 3 (2sin13x . cos5x) dx = 3 (sin18x + sin 8x) dx = 3 (sin18x + sin 8x) dx Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA ( ) = 3 sin18x dx + sin 8x dx = 3  − 1 cos18x − 1 cos8x + c  18 8 = − 1 cos18x − 3 cos8x + c 68 Teknik Integrasi Lanjutan 1. Integral Subtitusi Contoh 1 : Hitunglah 1 dx ! 2x −1 Jawab : Subtitusi u = 2x − 1 du = 2  du = dx dx 2 Sehingga  : 1 dx = 1 . du 2x −1 u2 = 1 1 du = 1 ln u + c = 1 ln 2x −1 + c 6 2u 2 2 Contoh 2 : Hitunglah sin3 x . cos2 x dx ! Jawab : Substitusi u = cos x Sehingga du = −sin x  −du = sin x dx dx Kemudian sin 2 x diubah menjadi 1 − cos2 x   ( ): sin3 x . cos2 x dx = 1− cos2 x cos2 x sin x dx ( ) ( ) = 1− u2 u2 (− du) = u4 − u2 du = 1 u5 − 1 u3 + c 53 = 1 cos5 x − 1 cos3 x + c 53 Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA Cara Cepat Teknik Substitusi  a U n dx = a U n+1 + C (n + 1) U1 2. Integral Parsial Integral berbentuk u dv dengan u dan v , fungsi x dapat dicari dengan rumus : u dv = u v − v du Contoh 1 : x2 cos x dx = .... dan dv = cos x dx Jawab dan v = sin x : misal u = x du = 2x dx  x2 cos x dx = x2 sin x − sin x . 2x dx = x2 sin x− 2x sin x dx 7 ab Suku b dicari lagi dengan integral parsial. Hasilnya :  x2 cos x dx = x2 sin x + 2x . cos x − 2sin x + c 3. Integral Parsial Dengan Bantuan Tabel Contoh : Hitunglah x cos x dx ! Jawab : Integral Diferensial cos x x 1 sin x + 0 − cos x _ Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA Jadi x cos x dx = xsin x + cos x + c 4. Substitusi Trigonometri Integral yang berbentuk : a2 − x2 dx diselesaikan dengan pemisalan : x = a sin t atau x = a cos t , agar tanda akar hilang. Contoh : xx12 = 4 16 − x2 dx = .... = 0 Jawab : misal x = 4 sin t → dx = 4cost dt ubah batas integral, karena x = 4 sin t , maka batas bawah x1 = 0 → 0 = 4sin t → t1 = 0 batas atas x2 = 4 → 4 = 4sin t → t2 = 900 900 8  xx12 = 4 16 − x2 dx = 16 − 16sin 2 t (4cos t)dt = 0 0 900 16 1 − sin 2 t  (4cos t)dt = 0 = 900(4cost) (4cost) dt 0 = 16 900 cos2 t dt = 16 900 1 + cos2t dt   2 0 0 =8 900 + cos 2t ) dt = 8  t + 1 sin 2t  900 = 4  2  00  (1 0 Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA Hitunglah hasil integral dari : 9  ( )1) 18x6 − 25x2 + 3 x2 dx 2 2) 2x 5 − x2 dx −1 3) 8 cos9 2x sin 2x dx Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA ➢ Penggunaan Integral Untuk Menghitung Luas ▪ Jika y1 dan y2 dua fungsi kontinu pada a  x  b , maka luas daerah yang dibatasi oleh y1 dan y2 untuk y2  y1 (baca : y1 di atas y2 ) ditentukan sebagai berikut : y y2 y1 0abx b 10 L = (y2 − y1) dx a b Baca : L = ( yatas – ybawah) dx a ▪ Jika x1 dan x2 dua fungsi kontinu pada c  y  d , maka luas daerah yang dibatasi oleh x1 dan x2 untuk x1  x2 (baca : x2 di kanan x1 ) ditentukan sebagai berikut : y d x1 x2 c 0x Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA d L = (x2 − x1) dy c d Baca : L = ( x kanan – x kiri ) dy c Contoh : Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = 2x ! Jawab : Substitusi y = x2 ke y = 2x , diperoleh x1 = 0 dan x2 = 2 b maka L = (y2 − y1) dx a ( )2 = 2x − x2 dx 0 =4 3 11 Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA 1. Hitunglah luas daerah yang diarsir berikut ini 12 Y y = x2 0X y = 2−x 2. Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = −2 − 2x , sumbu X, garis x = 1, dan garis x = 3 Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA ➢ Penggunaan Integral Untuk Menghitung Volume Benda Putar ▪ Jika y1 dan y2 dua fungsi kontinu pada a  x  b , maka volume benda putar yang dibatasi oleh y1 dan y2 , bila diputar terhadap sumbu x (baca : y2 lebih jauh dari y1 terhadap sumbu putar ) ditentukan sebagai berikut : ( )b V =  y22 − y12 dx a ▪ Jika x1 dan x2 dua fungsi kontinu pada c  y  d , maka volume benda putar yang dibatasi oleh x1 dan x2 , bila diputar terhadap sumbu y (baca : x2 lebih jauh dari x1 terhadap sumbu putar ) ditentukan sebagai berikut : ( )d V =  x22 − x12 dy c Contoh : Hitunglah volume benda yang diperoleh yang dibatasi oleh kurva y = x2 , x = 2 , 13 dan sumbu X setelah diputar 3600 terhadap : a) sumbu X b) sumbu Y ( )b ; y1 = 0 (sumbu X) y2 = x2 Jawab : a) V =  y22 − y12 dx 1 a x1 = y 2 2 32   ( )= 2 5   x2 − 02  dx =   0 ( )d ; x2 = 2 b) V =  x22 − x12 dy c = 4  −  1 2  dy = 8 0 22     y2   Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA 1) Tentukan volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi y = x2 dan y = 6x − x2 diputar mengelilingi sumbu X sejauh 3600 2) Tentukan volum benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi y = 1− x2 ; y = −1 ; y = 1 dan sumbu Y, diputar mengelilingi sumbu Y sejauh 3600 14 Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA  1) Hitunglah sin 2x cos x dx ! 0 2) Hitunglah 18x2 dx ! 2x3 + 8 3) Hitunglah luas daerah tertutup yang dibatasi oleh y = x2 dan y = 5x − 4 ! 4) Hitunglah volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis y = 2x dan parabola y = x2 diputar 3600 mengelilingi sumbu X ! 15 Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA Sebuah mobil yang sedang bergerak harus di rem sehingga memperoleh perlambatan 2, 75 m/s2. Jika kelajuan mobil pada saat pengereman dilakukan adalah 79, 2 km/jam. Berapa jauh mobil tersebut telah bergerak jika diukur dari posisi saat pengereman dilakukan sampai berhenti ? Penyelesaian : Diketahui : perlambatan mobil = 2, 75 m/s2 kelajuan mobil pada saat pengereman = 79, 2 km/jam. Ditanya Jawab : jarak pengereman mobil pada saat t satuan waktu : dalam fisika untuk mengubah percepatan a ke jarak s diperlukan integrasi dua kali. Integrasi pertama dari percepatan a ke kecepatan v (t). Integrasi kedua dari v(t) ke posisi s(t). Perlambatan adalah percepatan yang bertanda negatif sehingga a (t) = −2,75  v (t) = a (t) dt = − 2,75 dt = −2,75t + C1 ................................(*) Kondisi awal adalah pada saat t = 0, kelajuan mobil adalah 16 v (t = 0) = 79,2 km/jam = 22 m/s Subtitusi kondisi awal ini ke dalam (*), v (t = 0) = 0 + C1 22 = C1 Subtitusi C1 ke dalam (*) sehingga diperoleh penyelesaian khusus, v (t) = −2,75t + 22 ...................................(**) Sekarang dapat mengintegrasi v (t) untuk memproleh penyelesaian umum s (t). s (t) = v (t) dt = (− 2,75t + 22) dt s (t ) = − 2,75 t2 + 22t + C2 .....................(***) 2 Jarak mobil dihitung dari posisi saat pengereman dilakukan. Hal ini berarti kondisi awal s (t=0) = 0. Akibatnya, dari (***) diperoleh, s(t=0) = 0+0+C2. 0 = C2 Subtitusi C2 ke dalam (***) diperoleh penyelesaian khusus, s (t) = − 2,75 t2 + 22t ..........................(****) 2 Mobil berhenti, artinya v (t) = 0 sehingga dari (**) diperoleh 0 = -2,75+22 t=8 Jadi dari (****) diperoleh s (8) = − 2,75 . 82 + 22(8) = 88 m. 2 Jadi jarak yang ditempuh mobil mulai saat pengereman sampai berhenti adalah 88 m Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA x+3 x2 + 6x −1  ( )Tentukan hasil integral dari 5 dx ! x+3 x2 + 6x −1 −5 . 1 d x2 + 6x −1 x2 + 6x −1 2  ( )  ( ) ( )Jawab :5dx = 1 2 (− 5 +1) ( )= x2 + 6x −1 −5+1 + c − 1 +c 17 8 x2 + 6x −1 4 ( )= Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA PENUTUP Pada Tugas Mandiri cocokanlah jawaban kamu dengan kunci jawaban yang ada di bawah ini, dan hitunglah jumlah jawaban yang benar. Kemudian gunakan rumus Skor terakhir = Jumlah Skor Benar x 100% Jumlah Skor Total Apabila mem1peroleh skor  65% bagus, berarti telah menguasai materi modul ini dan dapat melanjutkan mempelajari materi selanjutnya. Tetapi apabila memperoleh skor  65%, berarti harus mempelajari modul ini sampai benar-benar paham. Kunci Jawaban Tugas Mandiri 18 1. 4 3 ( )2. 6 2x3 + 8 + c 3. 9 satuan luas 2 4. 64  satuan volume 15 Tri Subiantoro, S.Mat

MAT 04 IPA DAFTAR PUSTAKA Marthen Kanginan, Matematika Untuk SMA Kelas I Semester I Jilid 1A, Grafindo Media Pratama, Bandung, 2004. Wilson Simangunsong, Soal dan Penyelesaian Matematika Dasar, Erlangga, Jakarta, 1997. I Wayan Juliartawan, Formula Tercepat Matematika Contoh Soal dan Penyelesaian, ANDI, Bangli, 2004. Abdul Muis, Menaklukan 1000 Soal Matematika SMA, Kreasi Wacana, Yogyakarta, 2007. 19 Tri Subiantoro, S.Mat