Modul Matematika SMA-MA Bentuk Pangkat, Akar, dan Logaritma

PENDAHULUAN Standar Kompetensi : 1. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan Bentuk pangkat, akar, dan logaritma. logaritma adalah materi pelajaran matematika yang Kompetensi Dasar : 1.1 Menggunakan aturan pangkat, akar, dan logaritma. pernah dibahas ketika duduk di bangku SMP / MTs. Namun ketika di SMP / MTs Kompetensi Dasar : 1.2 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan yang melibatkan bentuk cakupannya belum terlalu pangkat, akar, dan logaritma. mendalam. Cakupan mendalam ada ketika duduk di bangku SMA / MA. Melalui modul ini materi yang belum mendalam di SMP / MTs KEGIATAN BELAJAR 1 akan dibahas. Modul ini berisi tentang pengertian, sifat-sifat bentuk pangkat, akar, dan logaritma. Serta juga berisi latihan setiap kegiatan belajar maupun gabungan kegiatan belajar. Juga ada tugas mandiri yang diharapkan bisa BENTUK PANGKAT menambah terampil mengerjakan soal - soal ❖ Pengertian Pangkat ( Eksponen ) Bentuk an ( baca : a pangkat n ) disebut bentuk eksponensial matematika. atau perpangkatan, dengan a disebut basis atau bilangan pokok Agar mudah dipahami, modul dan n disebut eksponen atau pangkat. ini dibagi menjadi 3 kegiatan an = axaxa.........a belajar, yaitu : n faktor Kegiatan Belajar 1 : ➢ Sifat – sifat perpangkatan Bentuk pangkat, materi yang dibahas disini adalah sifat-sifat perpangkatan. 1. Bilangan Berpangkat dengan Eksponen Bilangan Bulat. am . an = am+n Kegiatan Belajar 2 : ( ) ( )Contoh : 2x2 .y −3 − 4x−5 . y 6 = 2.(− 4) .x2 .x−5 .y −3 .y 6 Bentuk akar, materi yang = −8 .x 2−5 .y −3+6 dibahas disini adalah = −8y3 merasionalkan penyebut. x3 Kegiatan Belajar 3 : ( )a−n = 1 dengan a  0 ; n bilangan bulat positif an Bentuk logaritma, materi yang dibahas disini adalah sifat-sifat logaritma. am : an = am−n MAT. 01 3x3 y = 3 x3−2 y1−(−3) = 1 xy4 Tri Subiantoro, S.Mat Contoh : 6x2 y −3 6 2 1

( )a mbn p = a m x p bn x p ( )Contoh : x 2 y 3 4 = x 2 x 4 y 3 x 4 = x8 y12  am  p = am x p Bagaimana bn bn x p mendefinisikan 00 ? Contoh :  23  4 = 23x4 = 212 Dalam hal ini, para 32 32x4 38 pemikir dan matematikawan n0 b0 m0 mendefinisikan nilai dari 00 , dan juga 0 , a0 = 1 0 2. Bilangan Berpangkat dengan Eksponen Bilangan Rasional. adalah tidak terdefinsi. m = n am an 3 = 4 23 Contoh : 2 4 n a n b =n axb Contoh : 5 7 5 8 = 5 7 x 8 = 5 56 p m n p = mn a p = a mn 21 Contoh : 4 3 a 2 = 4x3 a 2 = 12 a 2 = a12 = a 6 = 6 a ➢ Persamaan Fungsi Eksponen. Ada Beberapa Bentuk Fungsi Eksponen, Diantaranya adalah : 1. Jika a f (x) = a p maka f (x) = p Contoh : Tentukan nilai x dari 32x − 3 = 0 Jawab : 32x − 3 = 0 32x = 31  2x = 1 → x = 1 2 2. Jika a f (x) = a g(x) maka f (x) = g(x) Contoh : Tentukan nilai x dari 35x−1 − 27 x+3 = 0 Jawab : 35x−1 − 27 x+3 = 0 35 x −1 ( )= 27 x+3  35x−1 = 33 x+3  35x−1 = 33x+9 MAT. 01 → 5x −1 = 3x + 9  5x − 3x = 9 + 1  2x = 10 → x = 5 Tri Subiantoro, S.Mat 2

3. Jika F (x) f (x) = F (x)g(x) maka : a). F(x) = 1 b). Untuk F(x)  0 dan F(x)  1 maka f (x) = g(x) c). F(x) = −1 asalkan f (x) dan g(x) sama-sama genap atau sama-sama ganjil,  (−1)f (x) = (−1)g(x) d). F(x) = 0 asalkan f (x)  0 dan g(x)  0 ( ) ( )Contoh : x + 2 x+4 = x + 2 x2 +3x+1 tentukan nilai x Jawab : Karena ( ) ( )x + 2 x+4 = x + 2 x2 +3x+1 maka : • x + 4 = x2 + 3x +1  x2 + 2x − 3 = 0 (x + 3) (x −1) = 0 → x1 = −3 ; x2 = 1 • x + 2 = 0 → x = −2 Untuk x = −2 maka : x + 4 → (− 2) + 4 = 2  0 x2 + 3x +1 → (− 2)2 + 3(− 2) +1 = −1  0 Kesimpulan x = −2 tidak memenuhi persamaan. • x + 2 = −1 → x = −3 Untuk x = −3, maka : x + 4 → (− 3) + 4 = 1(ganjil) x2 + 3x +1 → (− 3)2 + 3(− 3) +1 = 1(ganjil) Karena pangkat sama-sama ganjil maka x = −3 memenuhi persamaan. Jadi himpunan penyelesaian − 3, −1, 1 Sederhanakanlah ! 4. Untuk x = 5 dan y = -5, hitunglah x − y2 ( ) ( )1. 3p2q3 4 − p3q 2 x2 21000 x 3500 ( )p −7 q −1r10 p 2 − q 2 2. 6500 x 16125 5. (− pq)5 : qr −3 3.  3a 6b −5  −1 81a 9b −1 MAT. 01 Tri Subiantoro, S.Mat 3

Tentukan nilai x dalam persamaan berikut ! 6. 5x = 625 7. 32x+1 = 9x−2 8. (5x − )2 2x+1 = (5x − )2 x−5 KEGIATAN BELAJAR 2 BENTUK AKAR ❖ Pemahaman Bentuk Akar. disebut tanda akar. Bentuk n x , n bilangan bulat, n  1, n disebut indeks dan notasi Bentuk akar (kuadrat) adalah jika bilangan yang terdapat di dalam tanda bukan bilangan kuadrat. Contoh : 32 = Bilangan kuadrat x ........... = 16 x 2 = 4 2 Merasionalkan Penyebut. 1. a = a b bb Contoh : 6 = 6 10 = 3 10 10 10 5 ( )2. c = c x a − b = c a − b a+ b a+ b a− b a−b ( )3. c = c x a + b = c a + b a− b a− b a+ b a−b 2+ 5 = 2+ 5 x2+ 5 = 9+4 5 = −9 − 4 5 Contoh : 2− 5 2− 5 2+ 5 4−5 MAT. 01 Tri Subiantoro, S.Mat 4

( )Menyederhanakan Bentuk a  2 b dengan a  2 b  0 Contoh : 6 + 2 8 = Jawab : Misal x = 6 + 2 8 dengan x  0 .......... kuadratkan kedua ruas x2 = 6+ 2 8 x = (4 + 2) + 2 4x2 ..................dipilih 4 dan 2 agar 4+2=6 dan 4x2=8 (x = 4 + 2) Sederhanakanlah ! 6 1. 8 3 2. 2+ 3 3. Jika p = 2 − 3 dan q = 2 + 3p , hitunglah ! 2+ 3 2− 3 q 4. 5 − 24 5. 9 − 4 5 MAT. 01 5 Tri Subiantoro, S.Mat

KEGIATAN BELAJAR 3 BENTUK LOGARITMA ❖ Pengertian Logaritma Jika ab = c dengan a > 0 dan a  1 maka a log c = b dimana a > 0 ; a  1; dan c > 0. Dalam hal ini a disebut basis (bilangan pokok) dan c disebut numerus (bilangan yang dicari logaritmanya). Bila basis logaritma adalah 10 maka basis tersebut umumnya tidak ditulis, misalnya 10 log 5 = log 5 . Sifat-sifat Logaritma 1. a log b+a log c = alog b . c Contoh : 6 log 2+6 log 3 = 6log 2 . 3 = 6log 6 = 1 2. a log b−a log c = alog b : c Contoh : 3 log 6−3 log 2 = 3log 6 : 2 = 3log 3 = 1 3. a log bn = n x a log b Contoh : a log 3 a = 1 = 1 a log a = 1 .1 = 1 a log a 3 3 33 4. a a logb = b ( )Contoh : 8 2 log5 =23 = 22 log5 3 2 log5 = 2 2 log53 = 53 = 125 5. a log b = c log b c log a Contoh : 8 log 6 = 2 log 6 = 2 log 2+2 log 3 = 1+2 log 3 = 1 + 1 2log 3 2 log 8 3 3 33 6. a log b = 1 b log a Contoh : 8 log 2 = 1 = 1 2 log 8 3 7. a log b .b log c = a log c Contoh : 2 log 9 .3 log 64=2 log32 .3 log 64 = 2. 2log 3 .3 log 64 = 2 .2 log 64 = 2. 6 =12 8. an log bm = m a log b n 1 log6−3 = −3 = −6 62 1= 2 1 Contoh : 6 log 216 MAT. 01 Tri Subiantoro, S.Mat 6

Persamaan Logaritma 1. Jika a log f (x) = b dengan a > 0 dan a  1 maka f (x) = ab 2 log(x + 2) = 3 Contoh : (x + 2) = 23 (x + 2) = 8 → x = 6 2. Jika a log f (x) = a log g(x) dengan a > 0 dan a  1 maka f (x) = g(x) asalkan f (x) dan g(x) keduanya positif. ( )Contoh : log x2 − 4x + 2 = log(2 − x) ( )x2 − 4x + 2 = (2 − x) → didapat x = 0  x = 3 ( )Jika x = 0 disubstitusikan ke bentuk x2 − 4x + 2 dan (2 − x) didapat keduanya bernilai positif. Tetapi jika x = 3 disubstitusikan ( )ke x2 − 4x + 2 dan (2 − x) didapat keduanya bernilai negatif. Jadi hinpunan penyelesaiannya 0 3. Jika a log f (x) = blog f (x) dengan a > 0 dan a  1 maka f (x) = 1 Contoh : 2 log(3x − 5) = 3log(3x − 5) (3x − 5) = 1 → x = 2 1. 2 log 7+2 log 160−2 log 35 = 2. Diketahui 3 log 7 = a ; 5log 2 = b ; 2log 3 = c . Nyatakan logaritma 6 log 7 dalam bentuk a, b, c. ( )3. log x2 + 3x − 3 = 0 , tentukan himpunan penyelesaiannya ! ( ) ( )4. 2 log x2 − x +1 = 5log x2 − x +1 , tentukan himpunan penyelesaiannya ! ( )5. log x2 + 5x − 7 = log(x − 2) MAT. 01 7 Tri Subiantoro, S.Mat

MAT. 01 8 Tri Subiantoro, S.Mat

1. PP 1981 ( )Hasi dari 160,125 − 0,5 −0,5 = 2. Sipenmaru 1987 3 0,125 + 1 + (0,5)2 = 5 32 3. UMPTN 1989 Himpunan penyelesaian persamaan 9 3log (2x−1) = 25 adalah 4. Sipenmaru 1984 2 2 2 2.......... adalah 5. SPMB 2005 Nilai x yang memenuhi persamaan 3 (0,008)7−2x = 1 adalah ( )0,2 −4x+5 6. Sipenmaru 1988 Bila 4 log 5 = − 3 maka 0,04 log 8 = 2x 7. Sipenmaru 1988 Jika a = 0,1111.... dan b = 0,3333..... maka a log b = 8. PP 1980 Bila 7 log 2 = a dan 2log 3 = b maka 6log 98 = 9. UN SMA / MA 2001 Diketahui 22x + 2−2x = 23. Nilai 2x + 2−x = ... 10. UN SMA / MA 2007 Jika nilai 2 log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 6log 15 = ... MAT. 01 9 Tri Subiantoro, S.Mat

Bentuk Pangkat Bidang Ekonomi Jika sejumlah uang P diinvestasikan dengan bunga majemuk r % per tahun, nilai uang setelah n tahun, Sn diberikan oleh Sn = P ( 1+ r )n. Bentuk Akar Bidang Fisika Cepat rambat bunyi dari suatu gelombang bunyi yang merambat longitudinal dalam suatu zat cair vL dirumuskan oleh vL = k ; k adalah modulus bulk dan  adalah massa jenis zat cair.  Bentuk Logaritma Bidang Astronomi Bintang- bintang digolongkan berdasarkan kecerahannya pada suatu skala yang diukur dalam magnitudo. Bintang paling redup yang masih dapat dilihat dengan mata telanjang ditetapkan memiliki magnitudo 6. Teleskop dirancang untuk dapat melihat bintang-bintang yang kecerahannya di bawah magnitudo 6. Batas magnitudo ( L ) dari sebuah teleskop tergatung dari diameter ( D ) dari lensa-lensanya, dan dinyatakan oleh L = 8,8 + 5,1 log 2,5 D. MAT. 01 10 Tri Subiantoro, S.Mat

jjjjjjjjjjj LL Tentukanlah banyaknya angka dari 650 . Catatan : gunakan log 2 = 0, 3010 dan log 3 = 0, 4771 Jawab : log 650 = 50 log 6 = 50 (log 2 + log 3) = 50 (0,3010 + 0,4771) = 38,9 sehingga 38  log 650  39 log 1038  log 650  log 1039 1038  650  1039 Jadi 650 adalah bilangan bulat yang banyak angkanya adalah 39. jj MAT. 01 11 Tri Subiantoro, S.Mat

PENUTUP Pada Tugas Mandiri cocokanlah jawaban kamu dengan kunci jawaban yang ada di bawah ini, dan hitunglah jumlah jawaban yang benar. Kemudian gunakan rumus Skor terakhir = Jumlah Skor Benar x 100% Jumlah Skor Total Apabila memperoleh skor  65% bagus, berarti telah menguasai materi modul ini dan dapat melanjutkan mempelajari materi selanjutnya. Tetapi apabila memperoleh skor  65%, berarti harus mempelajari modul ini sampai benar-benar paham. Kunci Jawaban Tugas Mandiri 1. 0 2. 1, 25 3. 3 4. 2 5. -1 x 6. 2 1 7. 2 a+2 8. a (b +1) 9. 5 a (b +1) 10. 1+ a MAT. 01 12 Tri Subiantoro, S.Mat

DAFTAR PUSTAKA Marthen Kanginan, Matematika Untuk SMA Kelas I Semester I Jilid 1A, Grafindo Media Pratama, Bandung, 2004. Wilson Simangunsong, Soal dan Penyelesaian Matematika Dasar, Erlangga, Jakarta, 1997. I Wayan Juliartawan, Formula Tercepat Matematika Contoh Soal dan Penyelesaian, ANDI, Bangli, 2004. Abdul Muis, Menaklukan 1000 Soal Matematika SMA, Kreasi Wacana, Yogyakarta, 2007. www.mtsuperclub.com MAT. 01 13 Tri Subiantoro, S.Mat

MAT. 01 14 Tri Subiantoro, S.Mat