บทที่ 2 ฟังก์ชัน1

บทที่ 2 ฟงั กช์ นั

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ม.4 เลม่ 2 91 บทท่ี 2 ฟังกช์ นั ฟงั ก์ชนั2.1 ความสัมพนั ธ์ สิ่งหน่ึงท่ีเป็นพ้ืนฐานสาํ คญั ในเร่ืองของความสัมพนั ธ์ คือ คู่อนั ดบั ซ่ึงคู่อนั ดบั เป็ นการเรียงลาํ ดับกนั ของสิ่งของสองส่ิง นั่นคือคู่อนั ดับจะต้องเป็ นคู่และมีอนั ดบั คู่อันดบั แต่ละคู่ประกอบดว้ ยสมาชิกสองตวั คือ สมาชิกตวั หนา้ และสมาชิกตวั หลงั การเป็นสมาชิกตวั หนา้ และสมาชิกตวั หลงั จะแสดงอนั ดบั ซ่ึงมีความสาํ คญั มาก เช่น การเขียนคู่อนั ดบั ของบิดาและบุตรเป็น(ธีรเดช, คุนธรรม) สมาชิกตวั หนา้ คือ ธีรเดช เป็นบิดา และสมาชิกตวั หลงั คือ คุนธรรม เป็ นบุตร ถา้ สลบั ท่ีเป็น (คุนธรรม, ธีรเดช) ความหมายจะไม่เหมือนเดิม ในคณิตศาสตร์จะเขียนคู่อนั ดบั ในรูป (a, b) โดยท่ี a เป็ นสมาชิกตวั หนา้ และ b เป็ นสมาชิกตวั หลงั (a, b) และ (b, a) จะไม่เท่ากนั นอกจาก a = b เท่าน้นัสมบัตขิ องคู่อนั ดบั1. (a, b) ¹ (b, a) ยกเวน้ a= b2. (a, b) = (c, d) กต็ ่อเม่ือ a = c และ b = d3. (a, b) ¹ (c, d) กต็ ่อเมื่อ a ¹ c และ b ¹ dตวั อย่างท่ี 1 (- 15, 3y - 1) = (3x,20) กต็ ่อเม่ือค่าของ x และ y เท่ากบั เท่าใดวธิ ที าํ (- 15, 3y - 1) = (3x,20) กต็ ่อเมื่อ 3x = - 15 และ 3y - 1 = 20 x= - 5 และ 3y = 21 y= 7ดงั น้นั (- 15, 3y - 1) = (3x,20) กต็ ่อเมื่อ x = - 5 และ y = 7

คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ม.4 เลม่ 2 92 บทที่ 2 ฟังกช์ นั 2.1.1 ผลคูณคาร์ทเี ซียน ถา้ ให้ A = (a, b) และ B = (1,2, 3) สามารถหาคู่อนั ดบั ได้โดยให้สมาชิกตวั แรกของคู่อนั ดบั เป็ นสมาชิกของ A และสมาชิกตวั ท่ีสองของคู่อนั ดบั เป็นสมาชิกของ Bเรียกเซตของคูอ้ นั ดบั ท้งั หมดที่สร้างข้ึนโดยวิธีน้ีว่า ผลคูณคาร์ทีเซียนของ A และ B นัน่ คือ{ }A ´ B นน่ั คือ A ´ B = (a,1), (a, 2), (a, 2), (b,1), (b, 2), (b, 3) บทนยิ าม ผลคูณคาร์ทีเซียนของเซต A และเซต B คือเซตของคู่อนั ดบั (a, b) ท้งั หมดโดย ที่ a เป็นสมาชิกของเซต A และ b เป็นสมาชิกของเซต B ผลคณู คาร์ทีเซียนของ A และ B เขียนแทนดว้ ย A ´ Bเขียน A ´ B ในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขไดด้ งั น้ี{ }A ´ B = (a, b) a Î A Ù b Î Bตวั อย่างท่ี 2 A = {1, 2, 3}, B = {5, 6} จะไดว้ า่ A ´ B = {(1, 5),(1, 6),(2, 5),(2, 6),(3, 5),(3, 6)} B ´ A = {(5,1),(5, 2),(5, 3),(6,1),(6, 2),(6, 3)}นอกจากน้ีอาจใชแ้ ผนภาพช่วยในการหาคู่อนั ดบั ของ A ´ Bจากตวั อยา่ งที่ 2 AB 15 2 3 6A ´ B = {(1, 5),(1, 6),(2, 5),(2, 6),(3, 5),(3, 6)}

คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ม.4 เลม่ 2 93 บทท่ี 2 ฟังกช์ นัตวั อย่างที่ 3 A = {0, 1, 2, 3}, B = {a, b} {จะไดว้ า่ A ´ A = (0, 0), (0,1), (0, 2), (0, 3), (1, 0), (1,1), (1, 2), (1, 3) }(2, 0), (2,1), (2, 2), (2, 3), (3, 0), (3,1), (3, 2), (3, 3) { }B ´ B = (a, a), (a, b), (b, a), (b, b) { }A ´ B = (0, a), (0, b), (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) { }B ´ A = (a, 0), (a,1), (a, 2), (a, 3), (b, 0), (b,1), (b, 2), (b, 3)ถา้ เซต A และเซต B เป็นเซตจาํ กดั A ´ B จะมีจาํ นวนสมาชิกเท่ากบั จาํ นวนสมาชิกของA คูณดว้ ยจาํ นวนสมาชิกของ B เช่น ถา้ จาํ นวนสมาชิกของ A เป็น 4 จาํ นวนสมาชิกของB เป็น 2 จาํ นวนสมาชิกของ A ´ B เท่ากบั 4´ 2 = 8 สมบัตขิ องผลคูณคาร์ทเี ชียน ให้ A, B, C, D เป็นเซตใด ๆ 1. A × B = B × A กต็ ่อเมื่อ A = B หรือ A = ∅ หรือ B = ∅ 2. A × ∅ = ∅ = ∅ × A 3. ถา้ A และ B เป็นเซตจาํ กดั แลว้ n (A × B)= n (A ) × n (B) 4. A × (B ∪ C) = (A × B) ∪ (A × C) 5. A × (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C) 6. A × (B − C) = (A × B) − (A × C) 7. A ∪ (B × C) ≠ (A ∪ B) × (A ∪ C) 8. A ∩ (B × C) ≠ (A ∩ B) × (A ∪ C) 9. (A × B) × C ≠ A × (B × C) 10. ถา้ A ⊂ B แลว้ A × C ⊂ B × C

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ม.4 เลม่ 2 94 บทที่ 2 ฟังกช์ นั 11. ถา้ A ⊂ B และ C ⊂ D แลว้ A × C ⊂ B × D 12. (A × B) ∩ (C × D) = (A ∩ C) × (B ∩ D) 13. (A × B) ∪ (C × D) ≠ (A ∪ C) × (B ∪ D) 2.1.2 ความสัมพนั ธ์ ความสมั พนั ธ์ คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นคู่อนั ดบั โดยท่ีสมาชิกตวั หนา้ และสมาชิกตวั หลงั ของแต่ละคู่อนั ดบั จะมีความเก่ียวขอ้ งกนั ดว้ ยเงื่อนไขลกั ษณะหน่ึง ถา้ A = {1, 2, 3}, B = {1, 2} จะได้ A ´ B = {(1,1),(1, 2),(2,1),(2, 2),(3,1),(3, 2)} ถา้ เลือกสมาชิกเพียงบางตวั ใน A ´ B มาเขียนเป็ นเซตใหม่คือ {(1,1),(2,2)} เซตใหม่ท่ีไดน้ ้ีเป็ นสับเซตของ A ´ B และสมาชิกตัวหน้าและสมาชิกตัวหลังมีความสัมพนั ธ์“เท่ากบั ” เรียกเซตใหม่ที่ไดน้ ้ีวา่ เป็นความสมั พนั ธ์จากเซต A ไปเซต B นิยมเขียนแทนดว้ ย rดงั บทนิยาม บทนยิ าม r เป็นความสัมพนั ธ์จาก A ไป B กต็ ่อเม่ือ r เป็นสบั เซตของ A ´ B จากบทนิยามจะเห็นไดว้ า่ ความสมั พนั ธเ์ ป็นเซตซ่ึงมีสมาชิกเป็นคู่อนั ดบั การเขียนแทนความสมั พนั ธจ์ ะเขียนแบบแจกแจงสมาชิก หรือจะเขียนแบบบอกเงื่อนไขกไ็ ด้ตวั อย่างท่ี 4 ให้ A = {4, 5, 6}, B = {5, 6, 7}จงหา 1. ความสมั พนั ธ์ “มากกวา่ ” จาก A ไป B 2. ความสมั พนั ธ์ “นอ้ ยกวา่ ” จาก A ไป B 3. ความสมั พนั ธ์ “เป็นคร่ึงหน่ึง” จาก A ไป B 4. ความสมั พนั ธ์ “เท่ากบั ” จาก B ไป A

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ม.4 เลม่ 2 95 บทท่ี 2 ฟังกช์ นั วธิ ที าํ A ´ B = {(4, 5),(4, 6),(4, 7),(5, 5),(5, 6),(5, 7),(6, 5),(6, 6),(6, 7)} 1. ความสมั พนั ธ์ “มากกวา่ ” จาก A ไป B จะไดว้ า่ r1 = {(6, 5),(6, 6),(6, 7)} หรือ r1 = {(x, y) Î A ´ B x > y} 2. ความสมั พนั ธ์ “นอ้ ยกวา่ ” จาก A ไป B จะไดว้ า่ r2 = {(4, 5),(4, 6),(4, 7),(5, 6),(5, 7),(6, 7)} หรือ r2 = {(x, y) Î A ´ B x < y} 3. ความสมั พนั ธ์ “เป็นคร่ึงหน่ึง” จาก A ไป B จะไดว้ า่ r3 = Æ 4. ความสมั พนั ธ์ “เท่ากบั ” จาก B ไป A จะไดว้ า่ r4 = {(6, 6)} หรือ r4 = {(x, y) Î A ´ B x = y}หมายเหตุ ในกรณีที่ A และ B เป็นเซตของจาํ นวนจริง อาจละการเขียน x Î R , y Î Rไวไ้ นฐานที่เขา้ ใจวา่ r เป็นความสมั พนั ธ์ในเซตของจาํ นวนจริง ไดด้ งั น้ี{ }ถา้ r = (x, y) x Î R , y Î R , x2 + y2 = 1 อาจเขียนเป็ น r = {(x, y) x2 + y2 = 1}หรือเขียนเฉพาะกฎเกณฑข์ องความสมั พนั ธ์ซ่ึงบรรยายลกั ษณะของความสมั พนั ธ์ เช่นx2 + y2 = 1 ถา้ r เป็นความสมั พนั ธ์ อาจเขียนแทน (x, y)Î R ดว้ ย '' x r y \" (อา่ นว่า เอกซ์ มีความสมั พนั ธ์ อาร์ กบั วาย) ถา้ (x, y)Ï R เขียนแทนดว้ ย '' x r y \" (อ่านวา่ เอกซ์ ไม่มีความสมั พนั ธ์ อาร์ กบั วาย) การเขยี นแทนความสัมพนั ธ์ เขียนได้ 4 วธิ ี คือ ก. เขียนแบบการแจกแจงสมาชิก ข. เขียนแบบแผนภาพ ค. เขียนแบบบอกเง่ือนไข ง. เขียนแทนดว้ ยกราฟ

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ม.4 เลม่ 2 96 บทที่ 2 ฟังกช์ นัเช่น ให้ A = {1, 2, 3}, B = {2, 4, 8} Xแบบบอกเง่ือนไข r = {(x, y) Î A ´ B y = 2x}แบบการแจกแจงสมาชิก r = {(1,2),(2, 4)}แบบแผนภาพ แบบกราฟ Y122438 2.1.3 โดเมนและเรนจ์ของความสัมพนั ธ์ บทนยิ าม ให้ r เป็นความสมั พนั ธจ์ าก A ไป B โดเมนของ r คือเซตของสมาชิกตวั หนา้ ของคู่อนั ดบั ใน r เขียนแทนดว้ ย Dr เรนจ์ของ r คือเซตของสมาชิกตวั หลงั ของคู่อนั ดบั ใน r เขียนแทนดว้ ย Rr เขียน Rr และ Dr ในรูปเซตแบบบอกเง่ือนไข ไดด้ งั น้ี Dr = {x (x, y) Î r} Rr = {y (x, y) Î r}ตวั อย่างที่ 5 จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปน้ี { }1. r1 = (- 1,1), (- 2, 2), (- 3, 3), (- 4, 4) { }Dr1 = - 1, - 2, - 3, - 4 { }Rr1 = 1, 2, 3, 4

คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ม.4 เลม่ 2 97 บทท่ี 2 ฟังกช์ นั { }2. r2 = (4, a), (5, b), (6, c) { }Dr2 = 4, 5, 6 { }Rr2 = a, bตวั อย่างท่ี 6 A = { }1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 และ r = {(x, y) Î A ´ A y = x2}จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ วธิ ที าํ { }A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 r = {(x, y) Î A ´ A y = x2} = {(1,1),(2, 4),(3, 9)} ดงั น้นั Dr = {1, 2, 3} { }Rr = 1 , 4, 9 นอกจากน้ีการหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธท์ ี่กาํ หนดในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไขท่ีไม่สามารถแจกแจงสมาชิกของเซตไดห้ มดทกุ ตวั สามารถทาํ ได้ 2 วธิ ีคือ 1. พิจารณาโดเมนและเรนจจ์ ากกราฟของความสมั พนั ธ์ 2. พิจารณาจากสมการของความสมั พนั ธ์ ดงั น้ี การหาโดเมน เขียนความสมั พนั ธ์โดยจดั y ในรูปของ x นน่ั คือ y = f (x) แลว้พิจารณาค่าของ x ที่ทาํ ให้ y เป็นจริงตามเงื่อนไขในเซตท่ีกาํ หนด การหาเรนจ์ เขียนความสมั พนั ธ์โดยจดั x ในรูปของ y นนั่ คือ x = f (y) แลว้พจิ ารณาค่าของ y ที่ทาํ ให้ x เป็นจริงตามเง่ือนไขในเซตท่ีกาํ หนด

คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ม.4 เลม่ 2 98 บทที่ 2 ฟังกช์ นัตวั อย่างที่ 7 จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธต์ ่อไปน้ี r = {(x, y) Î R ´ R y = x + 5}วธิ ที าํ จาก r = {(x, y) Î R ´ R y = x + 5}วธิ ที ี่ 1 พิจารณาจากกราฟของความสมั พนั ธ์ Y X จากกราฟ พบวา่ ทุกจุดบนแกน x และทุกจุดบนแกน y สามารถเขียนกราฟของy = x + 5 ไดเ้ สมอ แสดงวา่ Dr = {x x Î R} Rr = {y y Î R}วธิ ที ี่ 2 พิจารณาจากความสมั พนั ธ์ y = x + 5 จากความสมั พนั ธ์ พบวา่ ไม่วา่ จะแทนค่า x ดว้ ยจาํ นวนจริงใดๆ สามารถหาค่า y ที่เป็นจาํ นวนจริงสอดคลอ้ งกบั y = x + 5 ไดเ้ สมอ นนั่ คือ Dr = {x x Î R} Rr = {y y Î R}

คณิตศาสตรเ์ พมิ่ เตมิ ม.4 เลม่ 2 99 บทท่ี 2 ฟังกช์ นัตวั อย่างท่ี 8 จงหาโดเมนและเรนจข์ องความสมั พนั ธ์ตอ่ ไปน้ี r = {(x, y) Î R ´ R y = x2 - 4} วธิ ีทาํ จาก r = {(x, y) Î R ´ R y = x2 - 4}วธิ ที ่ี 1 พิจารณาจากกราฟของความสมั พนั ธ์ Y Xจากกราฟ พบวา่ ทุกจุดบนแกน x สามารถเขียนกราฟของ y = x2 - 4 ไดเ้ สมอ แสดงวา่ Dr = {x x Î R}จากกราฟ พบวา่ ทุกจุดบนแกน y ท่ี y ³ - 4 สามารถเขียนกราฟของ y = x2 - 4 ไดเ้ สมอ แสดงวา่ Rr = {y y ³ - 4}วธิ ีที่ 2 พิจารณาจากความสมั พนั ธ์ y = x2 - 4ถา้ ความสมั พนั ธ์ y = x2 จะได้ y ³ 0 สาํ หรับทุก x Î Rดงั น้นั ถา้ ความสมั พนั ธ์ y = x2 - 4 จะได้ y ³ 0- 4 สาํ หรับทุก x Î Rฉะน้นั Dr = {x x Î R} หรือ y ³ - 4 สาํ หรับทุก x Î RRr = {y y ³ - 4}

คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ม.4 เลม่ 2 100 บทท่ี 2 ฟังกช์ นั แบบฝึ กหดั 2.11. กาํ หนด A = {0 , 3} และ B = {0, 5} จงหา 1.1 A ´ A 1.2 B ´ B 1.3 A ´ B 1.4 B ´ A2. ก=าํ หนด A {=1, 2}, B {2, 3} และ C = {4, 5}จงหา 2.1 (A × B) ∪ (A × C) 2.2 A × (B ∩ C) 2.3 (A − B)× C 2.4 (A ∪ B)× C{ }3. กาํ หนด A ={1, 2, 3, 4}, B ={−3, −1, 0, 1, 3} และ=C 3, − 3, 0 จงหา 3.1 n [A × (B ∪ C)] 3.2 n [(A ∪ B) × C] 3.3 n [(A × B) ∪ C] 3.4 n [(A ∩ B) × C]4. กาํ หนดให้ A = {1, 3, 6, 9} และ B = {2, 4, 6, 8} จงเขียนความสมั พนั ธ์ต่อไปน้ี ในรูปแบบบอกเงื่อนไขและแบบแจกแจงสมาชิก 4.1 r1 เป็นความสมั พนั ธ์ “มากกวา่ ” จาก A ไป B 4.2 r2 เป็นความสมั พนั ธ์ “นอ้ ยกวา่ ” จาก A ไป B 4.3 r3 เป็นความสมั พนั ธ์ “หารลงตวั ” จาก A ไป B 4.4 r4 เป็นความสมั พนั ธ์ “หารลงตวั ” จาก B ไป A

คณิตศาสตรเ์ พม่ิ เตมิ ม.4 เลม่ 2 101 บทที่ 2 ฟังกช์ นั5. จงเขียนความสมั พนั ธ์ในแตล่ ะขอ้ ต่อไปน้ี ในรูปแบบแจกแจงสมาชิก { }( )5.1 r1 = x, y Î I ´ I + y2 = x {5.2 r2 = (x, y) Î I ´ I x > 2 และ y = 3} { }( )5.3 r3 = x, y Î A ´ A y = x2 เมื่อ A = {−2,−1,0,1,2 } { }( )5.4 r4 = x, y Î I ´ I y = x ,- 4 £ x £ 4 { }( )5.5 r5 = x, y Î A ´ A x - y = 4 เมื่อ A = {2,5,6,10}