มัธยฐาน

มธั ยฐาน

Piboon chomsombat ใบความรู้ที่ 2 เรื่อง การวดั ค่ากลางของข้อมูล (มธั ยฐาน) มัธยฐาน คือ ค่าที่มีตาแหน่งอยกู่ ่ึงกลางของขอ้ มูลท้งั หมด โดยเรียงลาดบั ขอ้ มูลจากค่านอ้ ยท่ีสุดไป หาค่ามากท่ีสุด หรือจากค่าที่มากที่สุดไปหาค่าที่น้อยที่สุด นั่นคือ มธั ยฐาน เป็ นค่าท่ีแสดงให้ทราบว่า มี จานวนขอ้ มูลท่ีมากกวา่ และนอ้ ยกวา่ ค่ามธั ยฐานอยเู่ ท่าๆ กนั นนั่ คือ มธั ยฐานเป็นคา่ ท่ีแบ่งขอ้ มูลท่ีเรียงลาดบั แลว้ ออกเป็ น 2 ส่วน โดยมีขอ้ มูลจานวนท่ีมากกวา่ และนอ้ ยกวา่ คา่ มธั ยฐานร้อยละ 50 ค่ามธั ยฐานอาจเป็ นค่า ใดค่าหน่ึงของขอ้ มูล ซ่ึงเป็ นค่าจากการสังเกตหรืออาจเป็ นค่าที่คานวณข้ึนใหม่ท่ีไม่ตรงกบั ค่าของขอ้ มูลใน ชุดน้นั ๆ จุดเด่นของการใชค้ า่ มธั ยฐาน คือ ค่ามธั ยฐานเป็ นค่าเหมาะสมท่ีจะนามาใชเ้ ป็นค่ากลางของขอ้ มูล เม่ือขอ้ มูลน้นั ๆ มีคา่ ใดคา่ หน่ึงหรือหลายๆคา่ ซ่ึงสูงหรือต่ากวา่ ค่าอื่นๆมาก หรือตอ้ งการทราบวา่ ค่าท่ีเป็นไป ไดค้ ่าใดของขอ้ มูลน้นั ๆ มีจานวนค่าสังเกตที่มากกวา่ และนอ้ ยกวา่ คา่ น้ีอยปู่ ระมาณเทา่ กนั การหามธั ยฐานของข้อมูลทไ่ี ม่แจกแจงความถ่ี มีลาดบั ข้นั ตอนดงั น้ี 1. เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ยไปหาค่ามาก 2. หาตาแหน่งของมธั ยฐาน ถา้ ขอ้ มูลมีท้งั หมด N ค่าจะไดว้ า่ ตาแหน่งของมธั ยฐาน = N  1 2 3. ถา้ N เป็นจานวนคี่ มธั ยฐานจะเท่ากบั ค่าในขอ้ มูลที่อยใู่ นตาแหน่ง N  1 2 4. ถา้ N เป็นจานวนคู่ มธั ยฐานจะเทา่ กบั คา่ เฉล่ียของคา่ ในขอ้ มูลซ่ึงอยใู่ นตาแหน่ง N และ N +1 22 ตวั อย่างท่ี 1 จงหามธั ยฐานของขอ้ มูล 2,6,4,8,12,10,14 วธิ ีทา เรียงขอ้ มูลจากคา่ นอ้ ยไปหาคา่ มากจะได้ 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ตาแหน่งของมธั ยฐาน = N  1 = 7  1 = 4 22 ดงั น้นั มธั ยฐาน = ค่าท่ีอยใู่ นตาแหน่งท่ี 4 = 8 ตวั อย่างที่ 2 จงหาคา่ มธั ยฐานจากขอ้ มูล 1, 7, 5, 11, 13, 15, 17 วธิ ีทา เรียงขอ้ มูลจากคา่ นอ้ ยไปหาค่ามาก จะได้ 1, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17 ตาแหน่งของมธั ยฐาน = N  1 = 8  1 = 4.5 22 ดงั น้นั มธั ยฐาน = ค่าเฉลี่ยของคา่ ในขอ้ มูลตาแหน่งท่ี 4 และท่ี 5 = 9  11 = 10 2

การหามัธยฐานของข้อมูลท่แี จกแจงความถ่ีแล้ว สาหรับขอ้ มูลที่แจกแจงความถ่ีแลว้ การหามธั ยฐานในกรณีน้ี จะใหค้ ่าโดยประมาณ เน่ืองจากเราไม่ สามารถนาขอ้ มูลมาเรียงกนั ได้ แต่ทราบว่าในแต่ละอนั ตรภาคช้นั มีขอ้ มูลอยู่จานวนเท่าใด (ความถี่) ก่อน อ่ืนจึงตอ้ งหาวา่ มธั ยฐานตกอยูใ่ นอนั ตรภาคช้นั ใด โดยพิจารณาจากความถี่สะสม แลว้ หาค่าโดยประมาณ ของมธั ยฐานจากอนั ตรภาคช้นั น้นั ถา้ ขอ้ มูลชุดท่ีพิจารณามีผลรวมของความถ่ีเป็น N มธั ยฐาน คือ คา่ ที่แสดง Piboon chomsombat ใหท้ ราบวา่ มีจานวนขอ้ มูลอยตู่ ่ากวา่ คา่ น้ีอยู่ N จานวน และมีจานวนขอ้ มูลอยสู่ ูงกวา่ คา่ น้ีอยู่ N จานวน 22 สูตรการหามธั ยฐานของขอ้ มูลท่ีแจกแจงความถ่ี มธั ยฐาน =  N   fL  I หรือ มธั ยฐาน =   fu  N   2   2 I L  U  f M   f M  เมื่อ L และ U เป็นขอบล่างและขอบบนของอนั ตรภาคช้นั ที่มีมธั ยฐานอยู่ k เป็นผลรวมของความถ่ีท้งั หมด N   fi แทนผลรวมของความถี่ของทุกอนั ตรภาคช้นั ที่เป็นช่วงคะแนน i 1 ต่ากวา่ ช้นั ท่ีมีมธั ยฐานอยู่  fL  fU แทนผลรวมของความถี่ของอนั ตรภาคช้นั ท่ีมีมธั ยฐานอยแู่ ละทุกช้นั ท่ีเป็น ช่วงคะแนนต่ากวา่ fM แทนความถี่ของช้นั ท่ีมีมธั ยฐานอยู่ I แทนความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั ท่ีมีมธั ยฐานอยู่ ขอบบน (Upper boundary) คือ คา่ ก่ึงกลางระหวา่ งคา่ ที่มากที่สุดในอนั ตรภาคช้นั น้นั กบั ค่าท่ีนอ้ ย ท่ีสุดของอนั ตรภาคช้นั ถดั ไปช้นั หน่ึง ถา้ เป็นขอบบนของช่วงคะแนนสูงสุด ใหถ้ ือเสมือนวา่ มีอนั ตรภาคช้นั ที่สูงกวา่ ช้นั น้นั อีกหน่ึงช้นั ขอบล่าง (Lower boundary) คือ ค่าก่ึงกลางระหวา่ งคา่ ท่ีมากท่ีสุดในอนั ตรภาคช้นั ก่อนหนา้ น้นั หน่ึง ช้นั กบั คา่ ที่นอ้ ยท่ีสุดของอนั ตรภาคช้นั น้นั ถา้ เป็ นขอบล่างของช่วงคะแนนต่าสุด ใหถ้ ือเสมือนวา่ มีอนั ตร ภาคช้นั ที่ต่ากวา่ ช้นั น้นั อีกหน่ึงช้นั ท้งั น้ี ปัจจุบนั วธิ ีน้ี ไมน่ ิยมใชแ้ ลว้ เน่ืองจากเรามีขอ้ มูลดิบทุกหน่วยและมีเคร่ืองคอมพิวเตอร์ จึงควร หามธั ยฐานดว้ ยวธิ ีโดยตรงท่ีไมแ่ จกแจงความถ่ี อยา่ งไรก็ตามในระดบั พ้นื ฐาน ช้นั มธั ยมศึกษา ควรทราบ สูตรท่ีใชใ้ นกรณีน้ี ซ่ึงควรใชเ้ ฉพาะกรณีที่ไม่มีโอกาสทราบขอ้ มูลดิบทุกหน่วย และขอ้ มูลที่มีอยกู่ ็เป็นขอ้ มูล ที่แจกแจงความถี่ไวแ้ ลว้ หรือเป็นขอ้ มูลท่ีนาเสนอหรือสรุปในรูปค่าของการแจกแจงความถี่

การหามธั ยฐาน โดยใช้กราฟ 1. เขียนโคง้ ความถ่ีสะสม 2. หาตาแหน่ง N บนแกนของความถ่ีสะสม (แกนต้งั ) 2 3. จากตาแหน่งในขอ้ 2 ลากเส้นตรงใหข้ นานกบั แกนนอนใหเ้ ส้นตรงตดั กบั เส้นโคง้ ความถ่ีสะสม ที่จุด P 4. จากจุด P ลากเส้นตรงใหต้ ้งั ฉากกบั แกนนอนและตดั แกนนอนที่จุด R จะไดม้ ธั ยมฐานคือ ค่าที่ ตาแหน่งจุด R สมบัตขิ องมธั ยฐาน 1. ผลบวกของคา่ สัมบูรณ์ของผลตา่ งระหวา่ งขอ้ มูลแต่ละคา่ กบั คา่ คงตวั จะมีคา่ นอ้ ยที่สุด ก็ต่อเมื่อ คา่ คงตวั น้นั เท่ากบั มธั ยฐาน นนั่ คือ ถา้ x แทนขอ้ มูลแต่ละตวั และ a แทนคา่ คงตวั  | x – a | จะมีค่านอ้ ยที่สุด ก็ต่อเม่ือ a = Medหรือ | x – Med |   | z – a | 2. การเปลี่ยนแปลงค่าอ่ืนท่ีไม่ได้อยู่ในตาแหน่งก่ึงกลางของข้อมูลไม่มีผลทาให้มัธยฐาน เปลี่ยนแปลงไป 3. ข้อมูลที่แจกแจงความถ่ีและอันตรภาคช้ันแรกหรือช้ันสุดท้ายเป็ นอันตรภาคช้ันเปิ ดหรือ แมก้ ระทง่ั อนั ตรภาคช้นั ในขอ้ มูลมีความกวา้ งไมเ่ ทา่ กนั จะยงั คงสามารถหามธั ยฐานได้ -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- Piboon chomsombat