ฐานนิยม

ฐานนยิ ม

Piboon chonsombat ใบความรู้ที่ 3 เร่ือง การวดั ค่ากลางของข้อมูล (ฐานนิยม) ฐานนิยม (Mode) คือ ค่าของข้อมูลที่มีความถ่ีสูงสุด ใช้เป็ นค่ากลางของข้อมูลอีกชนิดหน่ึง นอกเหนือจากค่าเฉลี่ยเลขคณิต และมธั ยฐานท่ีไดก้ ล่าวมาแลว้ ส่วนมากฐานนิยมจะใชก้ บั ขอ้ มูลเชิงคุณภาพ มากกวา่ ขอ้ มูลเชิงปริมาณ ฐานนิยม เหมาะที่จะนามาใช้เป็ นค่ากลางของขอ้ มูล เมื่อขอ้ มูลน้นั ๆ เป็ นค่ามาตรฐาน เช่น ขนาด รองเทา้ ขนาดยางรถยนต์ ฯลฯ หรือขอ้ มูลท่ีแจกแจงความถ่ีแล้วตามกลุ่มหรือช่วงต่างๆ โดยเฉพาะเม่ือมี ขอ้ มูลที่มีคา่ สูงหรือต่าผดิ ปกติรวมอยดู่ ว้ ย การหาฐานนิยมของข้อมูลทไ่ี ม่ได้แจกแจงความถ่ี หาไดจ้ ากการดูว่าขอ้ มูลค่าใดจากขอ้ มูลท่ีมีอยูท่ ้งั หมด มีความถี่สูงสุดหรือปรากฏบ่อยคร้ังท่ีสุด ขอ้ มูลน้นั จะเป็นฐานนิยมของขอ้ มูลชุดน้นั ตัวอย่างท่ี 1 จงหาฐานนิยมของอายนุ กั เรียนท่ีมาเขา้ ค่ายคณิตศาสตร์ จานวน 15 คน ดงั น้ี 5, 8, 7, 6, 7, 8, 12, 11, 10, 11, 8, 6, 8, 7 และ 8 ปี วธิ ีทา ฐานนิยมของอายุนกั เรียนท่ีมาเขา้ ค่ายคณิตศาสตร์ท้งั 15 คน คือ 8 ปี เพราะนกั เรียนท่ีมาเขา้ ค่ายคณิตศาสตร์มีอายุ 8 ปี มากที่สุด คือ 5 คน กล่าวคือ นกั เรียนท่ีมาเขา้ ค่ายคณิตศาสตร์ อายุ 8 ปี มีจานวน มากท่ีสุด การหาฐานนิยมโดยวิธีดงั กล่าว ขอ้ มูลบางชุดอาจจะไม่มีฐานนิยมเลยก็ได้ หรืออาจจะมีฐานนิยม เกินกวา่ หน่ึงค่ากไ็ ด้ เช่น - ข้อมูลท่ีประกอบด้วย 5, 8, 9, 10, 12, 18, 16, 20 จะไม่มีฐานนิยมเลย เพราะข้อมูลแต่ละค่ามี ความถี่เท่ากนั หมด - ขอ้ มูลที่ประกอบดว้ ย 13, 16, 20, 25, 20, 26, 25 มีฐานนิยมสองค่า คือ 20 และ 25 เนื่องจากท้งั สอง ค่าน้ีมีความถ่ีสูงสุดเทา่ กนั คือ 2 ในกรณีที่ขอ้ มูลชุดใดมีฐานนิยมมากกวา่ 2 คา่ อาจจะถือไดว้ า่ ขอ้ มูลชุดน้นั ไม่มีฐานนิยมได้ การหาฐานนิยมของข้อมูลทแี่ จกแจงความถ่ีแล้ว ถา้ เขียนเส้นโคง้ ของความถ่ีของขอ้ มูลท่ีแจกแจงความถ่ีแลว้ ฐานนิยมคือ ค่าในแกน x ที่อยูต่ รงกบั จุดสูงสุดบนเส้นโคง้ ของความถี่ แต่ถา้ เส้นโคง้ ของความถ่ีมีจุดสูงสุดสองจุด ขอ้ มูลชุดน้นั จะมีฐานนิยม 2 ค่า

สาหรับการคานวณหาฐานนิยมของขอ้ มูลท่ีไดแ้ จกแจงความถ่ีไวแ้ ลว้ ทาไดห้ ลายวธิ ี วิธีหน่ึงคือ หา จุดก่ึงกลางของอนั ตรภาคช้นั ท่ีมีฐานนิยมอยู่ ค่าท่ีหาไดจ้ ะเป็ นค่าของฐานนิยมโดยประมาณ ส่วนการหาวา่ Piboon chonsombat ฐานนิยมอยูใ่ นอนั ตรภาคช้นั ใดน้นั จะตอ้ งพิจารณาดว้ ยวา่ อนั ตรภาคแต่ละช้นั มีความกวา้ งเท่ากนั หรือไม่ ในกรณีที่ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั ทุกช้นั เท่ากนั อนั ตรภาคช้นั ที่มีฐานนิยม คือ อนั ตรภาคช้นั ท่ีมีความถี่ สูงสุด ส่วนกรณีที่ความกวา้ งของอนั ตรภาคช้นั ไม่เท่ากนั ทุกช้นั ให้หารความถี่ด้วยความกวา้ งของแต่ละ อนั ตรภาคช้นั อนั ตรภาคช้นั ท่ีผลหารมีคา่ มากท่ีสุด จะเป็นอนั ตรภาคช้นั ที่มีฐานนิยมอยู่ จะหาไดจ้ ากสูตร Mod = L   d d1 I 1 d 2 เม่ือ Mod แทน ฐานนิยม L แทน ขอบล่างของอนั ตรภาคช้นั d1 แทน ผลต่างระหวา่ งความถี่ของอนั ตรภาคช้นั ท่ีมีความถ่ีมากท่ีสุดกบั ความถ่ีของอนั ตรภาคช้นั ที่มีคา่ ต่ากวา่ และอยตู่ ิดกนั d2 แทน ผลต่างระหวา่ งความถ่ีของอนั ตรภาคช้นั ท่ีมีความถี่มากท่ีสุดกบั ความถ่ีของอนั ตรภาคช้นั ท่ีมีค่าสูงกวา่ และอยตู่ ิดกนั I แทน ความถ่ีของช้นั ที่มีความถี่มากท่ีสุด ตัวอย่างที่ 2 จงหาฐานนิยม จากตารางแจกแจงความถี่ต่อไปน้ี นา้ หนัก(กโิ ลกรัม) 40 – 44 45 – 49 50 – 54 55 – 59 60 – 64 จานวน 8 12 16 2 8 วธิ ีทา จานวน (f) 8 นา้ หนัก (กโิ ลกรัม) 12 40 – 44 16 45 – 49 2 50 – 54 8 55 – 59 4 60 – 64 65 – 69

ฐานนิยมอยใู่ นอนั ตรภาคช้นั 50 – 54 เพราะเป็นอนั ตรภาคช้นั ที่มีความถ่ีมากที่สุด  จากสูตร Mod = Piboon chonsombat L   d d1 I 1 d 2 จะได้ L = 49.5 , d1 = 16 – 12 = 4 , d2 = 16 – 2 = 14 และ I = 5 แทนคา่ Mod = 49.5   4   5 = 49.5 + 1.11 = 50.61  4  14  สมบตั ขิ องฐานนิยม 1. ฐานนิยมสามารถหาไดจ้ ากเส้นโคง้ ของความถี่ และฮิสโทแกรม 2. ในขอ้ มูลแตล่ ะชุดอาจจะมีฐานนิยม หรือไมม่ ีกไ็ ด้ ถา้ มีอาจจะมีเพยี งค่าเดียวหรือหลายคา่ กไ็ ด้ 3. ถา้ ให้ x1, x 2 , x3,…., xn เป็ นขอ้ มูลชุดหน่ึงที่มีฐานนิยมเท่ากบั a ถา้ k เป็ นค่าคงตวั จะไดว้ า่ x1+k, x2+k, x3+k,…, xN+k เป็นฐานขอ้ มูลที่มีฐานนิยมเทา่ กบั a+k 4. ถา้ ให้ x1x2,x3,…., xn เป็ นขอ้ มูลชุดหน่ึงท่ีมีฐานนิยมเท่ากบั a ถา้ k เป็ นค่าคงตวั ซ่ึง K  0 จะไดว้ า่ k x1 , k x2, k x3,…, kxn เป็ นฐานขอ้ มูลที่มีฐานนิยมเทา่ กบั ka ข้อสังเกตและหลกั เกณฑ์ทส่ี าคัญในการใช้ค่ากลางชนิดต่างๆ 1. คา่ เฉล่ียเลขคณิตเป็ นคา่ กลางที่ไดจ้ ากกานาทุกๆค่าของขอ้ มูลมาเฉลี่ยมธั ยฐานเป็นคา่ กลางที่ใช้ ตาแหน่งที่ของขอ้ มูล และฐานนิยมเป็นค่ากลางที่ไดจ้ ากขอ้ มูลท่ีมีความถี่มากท่ีสุด 2. ถา้ ในจานวนท้งั หมดมีขอ้ มูลบางค่าท่ีมีค่าสูงหรือต่ากวา่ ขอ้ มูลอ่ืนๆมากจะมีผลกระทบตอ่ คา่ เฉลี่ย เลขคณิตแต่จะไม่มีผลกระทบตอ่ มธั ยฐานหรือฐานนิยม ดงั น้นั กรณีน้ี ควรใชม้ ธั ยฐาน 3. มธั ยฐานและฐานนิยมใชเ้ มื่อตอ้ งการทราบค่ากลางของขอ้ มูลท้งั หมด โดยประมาณและรวดเร็ว เนื่องจากการหามธั ยฐานและฐานนิยมบางวธิ ีไม่จาเป็ นตอ้ งมีการคานวณ ซ่ึงอาจใชเ้ วลามาก 4. ถา้ การแจกแจงความถ่ีของขอ้ มูล ประกอบดว้ ยอนั ตรภาคช้นั ช่วงเปิ ด ซ่ึงอาจเป็ นช้นั ต่าสุดหรือ ช้นั สูงสุด ช้นั ใดช้นั หน่ึง การหาค่ากลางโดยใชค้ า่ เฉลี่ยเลขคณิตไม่สามารถหาได้ แต่สามารถหามธั ยฐานและ ฐานนิยมได้ 5. การแจกแจงความถ่ีท่ีมีความกวา้ งของแต่ละอนั ตรภาคช้นั ไม่เท่ากนั จะทาใหค้ ่าเฉลี่ยเลขคณิต หรือฐานนิยมคลาดเคลื่อน แต่จะไมก่ ระทบต่อมธั ยฐาน 6. ขอ้ มูลประเภทคุณภาพจะหาฐานนิยมได้ แต่ไม่สามารถหาคา่ เฉล่ียเลขคณิตหรือมธั ยฐานได้ 7. ในกรณีที่นาขอ้ มูลมาเรียงลาดบั ได้ ควรหาค่ากลาง คือ มธั ยฐานก่อน และถา้ เป็นขอ้ มูลเชิง ปริมาณท่ีมีคา่ ต่อเนื่องดว้ ย ควรใชค้ ่าเฉล่ียเลขคณิตแทนมธั ยฐานจะเหมาะสมกวา่ 8. กรณีท่ีขอ้ มูลมีจานวนนอ้ ย ฐานนิยมอาจจะมีคา่ แตกต่างกนั มาก ระหวา่ งขอ้ มูลชุดหน่ึงกบั ขอ้ มูล อีกชุดหน่ึงท่ีมีจานวนเทา่ กนั จึงไมค่ วรใชฐ้ านนิยมในกรณีเช่นน้ี

ขอ้ ดีและขอ้ เสียของคา่ เฉล่ียเลขคณิต มธั ยฐานและฐานนิยม มีดงั น้ี ชนิดของค่ากลาง ของขอ้ มูล Piboon chonsombat ขอ้ ดี ขอ้ เสีย คา่ เฉล่ียเลขคณิต 1. หาง่ายอาจจะใชเ้ ครื่องคิดเลขช่วย 1. ใชก้ บั ขอ้ มูลเชิงปริมาณ ( x ) ในการคานวณได้ เท่าน้นั 2. ใชข้ อ้ มูลทุกตวั ในการคานวณ 2. ค่าท่ีคานวณไดไ้ ม่ จาเป็นตอ้ งเป็ นค่าของ ขอ้ มูลตวั ใดตวั หน่ึงเสมอ 3. นิยมใชเ้ ป็นคา่ กลางของขอ้ มูล ไป 3. ถา้ ขอ้ มูลมีค่าแตกตา่ งกนั มากจะมีผลกระทบต่อ ค่าเฉลี่ยเลขคณิต มธั ยฐาน 1. หาง่ายเพยี งแต่เรียงขอ้ มูลจากนอ้ ย 1. ใชไ้ ดก้ บั ขอ้ มูลเชิงปริมาณ ไปหามากหรือจากมากไปหานอ้ ย เทา่ น้นั 2. ถา้ ขอ้ มูลเป็นจานวนคี่ มธั ยฐานจะ 2. ถา้ ขอ้ มูลมีจานวนมากการ เป็นค่าในขอ้ มูล จดั เรียงขอ้ มูลจะเสียเวลา มาก 3. ถา้ ขอ้ มูลเป็นจานวนคู่มธั ย ฐานจะไม่ใช่คา่ ที่แทจ้ ริง ของขอ้ มูล ฐานนิยม 1. ใชไ้ ดก้ บั ขอ้ มูลเชิงปริมาณและเชิง 1. ถา้ ขอ้ มูลมีจานวนนอ้ ย คุณภาพ ค่าที่ไดจ้ ะไม่มีความหมาย 2. หาไดง้ ่ายโดยนบั จานวนขอ้ มูลที่ 2. ฐานนิยมอาจมีมากกวา่ ปรากฏมากท่ีสุด หน่ึงคา่ 3. สามารถหาไดจ้ ากตารางแจกแจง 3. ขอ้ มูลบางชุดอาจจะไมม่ ี ความถ่ี แผนภูมิแบบต่างๆ ฐานนิยม -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------