ວິຊາ ຄະນິດສາດ 2 ສາຍຄູປະຖົມ ລະບົບ 12+4 ປີ 1

 2  L1  10x  6y  34 5 L2    10x 15y  55 21y  21  y  21  y  1 21  ກວດຄນ x  4; y  1 ໃສ່ L1 5x  3y  17 5  4  31  17 20  3  17 17  17  ກວດຄນ x  4; y  1 ໃສ່ L2 2x  3y  11 2  43  1  11 8  3  11 11  11 ດ່ືງັ ນ້ໍັນໃຈຜົນຂອງລະບົບສມົ ຜນົ ນີແໍ້ ມນ່ S  4;1  ການແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ດ້ວຍວທິ ຄີ ັດແທນ ຮບູ ຮ່າງຂອງລະບົບສົມຜນົ ax  by  c c' L1 a' x  b' y  L2  ການແກ້ລະບບົ ສົມຜນົ ຂນ້ໍັ ໜືຶງ່ ທມ່ີື ີສອງຕົວລັບດວ້ ຍວິທຄີ ດັ ແທນເຮົາຄວນປະຕິບັດດືັ່ງນີໍ:້  ຖອນຕົວລັບ x ຫຼ y ຈາກສົມຜນົ ໃດໜຶື່ງ  ແທນຄນຸ ຄ່າຂອງ x ຫຼ y ໃສສ່ ມົ ຜົນອ່ືນໃນລະບົບສົມຜນົ ນ້ັໍນ  ແກ້ສມົ ຜົນທ່ຊີື ອກໄດ້ເພອື່ ຊອກຕົວລັບ x ຫຼ y  ແທນຄນຸ ຄາ່ ຂອງ x ຫຼ y ໃສໝ່ ວດຄານວນຄນຸ ຄາ່ ຂອງ x ຫຼ y ເພ່ືອຊອກຄຸນຄ່າຂອງ x ຫຼ y  ກວດຄນສາລັບຄ່າຂອງ x ຫຼ y ໃນ L1 ແລະ L2 ຖ້າຕອບສະໜອງແລ້ວຈຶ່ືງສະຫຼຸບຄາຕອບ ຕົວຢາ່ ງ:ຈືງົ່ ແກ້ລະບບົ ສົມຜນົ ລ່ມຸ ນ້ີໍດ້ວຍວທິ ີຄັດແທນ 3x  2 y  11 L1  L2  4x  y  22 ວທິ ແີ ກ:້  ເຮາົ ຖອນຕົວລັບໜງຶື່ ອອກ; ສມົ ມຸດຖອນ x ຈາກສມົ ຜນົ L1 (ໝາຍຄວາມວາ່ ສະແດງ x ຕາມ y )ເຮົາໄດ:້ 3x  2 y  11 3x  11  2 y x  11  2 y L3 3 ແທນຄນຸ ຄ່າຂອງ x ໃນ L3 ນີໍ້ໃສ່ L2 ເຮົາຈະໄດ້: 47

4x  y  22 411  2 y   y  22 3 44  8y  y  22 3 44  8y  3y  66 11y  66  44 11y  22 y  22 11 y2 ແທນ y  2 ໃສ່ L3 ເຮາົ ຈະໄດ້: x  11  2 y 3 x  11  2  2 3 x  11  4 3 x  15 3 x5  ກວດຄນ x  5; y  2 ໃສ່ L1 3x  2 y  11 3 5  2  2  11 15  4  11 11  11  ກວດຄນ x  5; y  2 ໃສ່ L2 4x  y  22 4  5  2  22 20  2  22 22  22 ດັງື່ ນ້ັໍນໃຈຜນົ ຂອງລະບົບສົມຜົນນໍແີ້ ມ່ນ S  5;2  ການແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ດວ້ ຍວທິ ໃີ ຊເ້ ສນັໍ້ ສະແດງ ຮບູ ຮ່າງຂອງລະບົບສມົ ຜົນ ax  by  c c' L1 a' x  b' y  L2 ການແກລ້ ະບບົ ສົມຜນົ ຂັໍນ້ ໜຶື່ງທີ່ືມສີ ອງຕົວລບັ ດ້ວຍວິທີໃຊ້ເສ້ໍັນສະແດງເຮົາຄວນປະຕິບັດດ່ືັງນີໍ້:  ແຕ້ມລະບົບເສໍັ້ນເຄໍາ້ົ ຕງໍ້ັ ສາກ xoy 48

 ແຕມ້ ບນັ ດາຈດຸ ທີ່ືມຈີ ານວນຕົວປະສານ x; yເຊງ່ືິ ຕອບສະໜອງຕາມເງ່ືອນໄຂຂອງ L1  ແຕມ້ ບນັ ດາຈດຸ ທ່ືີມີຈານວນຕວົ ປະສານ x; yເຊ່ງິື ຕອບສະໜອງຕາມເງອ່ື ນໄຂຂອງ L2  ອາ່ ນຈານວນຕວົ ປະສານຂອງຈດຸ ຮວ່ ມກັນຂອງສອງເສ້ໍນັ ສະແດງຢູກ່ ຼາຟກິ (ຖ້າຫາກວ່າສອງເສ້ັນໍ ສະແດງນ້ໍນັ ຫາກບຂ່ື ະໜານກັນຫໄຼ ລ່ຍະຕັດກນັ ຢູໃ່ ນຂອບເຂດທີສື່ ະແດງໃຫເ້ ຫນັ ໄດ້) ສິ່ືງທື່ີຄວນເອາົ ໃຈໃສ່ ແກ້ລະບບົ ສົມຜນົ ດ້ວຍການໃຊ້ເສໍ້ນັ ສະແດງ ບາງທີເຮາົ ອາດຊອກໄດພ້ ຽງແຕ່ຄາ່ ໃກຄ້ ຽງຂອງໃຈຜນົ ຂອງ ລະບົບສົມຜນົ ເທ່າືົ ນ້ັໍນ L1 10 9 8 7 6 5 4 P(x;y) 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -3 -4 -5 L2 -6 -7 -8 -9 ດງ່ັື ນ້ໍັນໃຈຜົນຂອງລະບົບສົມຜນົ ນ້ໍແີ ມ່ນ S  x; y ຕວົ ຢາ່ ງ1:ຈງົື່ ແກລ້ ະບົບສົມຜນົ ລຸ່ມນ້ໍີດ້ວຍວທິ ີໃຊເ້ ສັໍ້ນສະແດງ 4x  y  5 L1 3x  2 y  12 L2 ວິທແີ ກ:້  ແຕ້ມເສນ້ັໍ ສະແດງຂອງແຕລ່ ະສົມຜົນທຢືີ່ ູ່ໃນລະບົບສົມຜນົ ກ. ແຕ້ມເສ້ໍນັ ສະແດງຂອງສົມຜນົ ທີ L1  ວາງໃຫ້ x  0 ເຮາົ ມີ 4x  y  5 L1 ແທນຄ່າ x  0 ໃສ່ສມົ ຜນົ L1 49

40 y 5  y 5 y  5 ເຮາົ ໄດເ້ ມັດ A0;5  ວາງ y  0 ເຮົາມີ 4x  y  5 L1 ແທນຄ່າ y  0 ໃສສ່ ົມຜນົ L1 4x  0  5 4x  5 x5 4 ເຮາົ ໄດ້ເມດັ B 5 ;0   4  ຫຂຼ ຽນໃນຮູບຮາ່ ງແບບໃຊຕ້ າຕະລາງ 5 x 04 y 5 0 ຂດີ ເສນ້ໍັ ຜາ່ ນເມດັ A ແລະ B ເສໍັ້ນຊື່ AB ແມນ່ ເສ້ັໍນສະແດງຂອງສມົ ຜນົ ໜື່ງຶ ຂ. ແຕ້ມເສ້ນໍັ ສະແດງຂອງສົມຜນົ ທີ L2  ວາງໃຫ້ x  0 ເຮົາມີ 3x  2y 12 L1 3 0  2 y  12 2 y  12 y  12 2 y6 ເຮາົ ໄດ້ເມດັ C0;6  ວາງໃຫ້ y  0 ເຮາົ ມີ 3x  2y 12 L1 3x  2  0  12 3x  12 x  12 3 x4 ເຮາົ ໄດ້ເມດັ D4;0 ເຮຫົ ຼຂຽນໃນຮບູ ຮ່າງແບບໃຊ້ຕາຕະລາງ x 04 50

y60 - ຂດີ ເສນັ້ໍ ຊ່ຜື າ່ ນເມດັ C ແລະ D ເສ້ນໍັ ຊ່ື CD ແມ່ນເສ້ນໍັ ສະແດງຂອງສົມຜົນສອງ -ເສ້ນັໍ ຊ່ື AB ແລະ CD ຕັດກນັ ຢເູ່ ມດັ M 2;3ຍ້ອນວ່າຕົວປະສານຂອງແຕ່ລະເມັດທີຢ່ື ເູ່ ສ້ໍັນຊື່ AB ແມ່ນ ໃຈຜນົ ຂອງວມົ ຜນົ ທີໜ່ືງຶ , ຕົວປະສານຂອງແຕ່ລະເມັດທຢືີ່ ່ເູ ສ້ັໍນຊື່ CD ແມນ່ ໃຈຜນົ ຂອງສມົ ຜົນທີສອງ. ສະນ້ໍັນ ເມດັ ຮວ່ ມຂອງສອງເສໍນັ້ ຊ່ນື ັ້ໍນຈະແມນ່ ໃຈຜົນຂອງລະບບົ ສມົ ຜົນ, ອີກຢ່າງໜື່ງຶ ຕວົ ປະສານຂອງ ເມດັ M ເປັນໃຈກາງຂອງລະບບົ ສມົ ຜນົ ທໃີ່ື ຫ້ກອ່ ນ. -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 ດັືງ່ ນໍັ້ນໃຈຜົນຂອງລະບົບສມົ ຜນົ ນ້ແໍີ ມ່ນ S  2;3  ຖ້າສອງເສັໍ້ນຊ່ທື ່ືີຂະໜານກນັ ຍອ້ ນວາ່ ຕົວປະສານຂວາງຢເູ່ ມັດເຄໍາົ້ ຂະໜານກັນແມນ່ ລະບົບສມົ ຜນົ ນ້ີໍບ່ື ມໃີ ຈຜນົ 1 09 8 7 6 5 4 3 2 1 - -8 -7 -6 -5 -4 - -2 -1 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 51

ດັື່ງນໍ້ັນໃຈຜົນຂອງລະບົບສມົ ຜນົ ນີໍ້ແມ່ນບື່ມໃີ ຈຜນົ S   ຫຼ S   ຕົວຢາ່ ງ2:ຈົືງ່ ແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜົນລມຸ່ ນີ້ໍດວ້ ຍວິທໃີ ຊ້ເສັໍ້ນສະແດງ x  2y 6 L1 2 x4 y  8 L2 ວິທແີ ກ:້  ສົມຜົນທີ L1 x  2y  6 L1 ວາງ x  0; y  3 y  0; x  6 ເຮົາໄດເ້ ມດັ A0;3 B6;0  ສົມຜນົ ທີ L2 2x  4 y  8 ວາງ x  0; y  2 y  0; x  4 ເຮົາໄດ້ເມດັ C0;2 D 4;0 ເຮົາແຕ້ມເສໍັ້ນສະແດງ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 ດື່ງັ ນັໍ້ນໃຈຜນົ ຂອງລະບົບສມົ ຜນົ ນ້ແໍີ ມນ່ ບມື່ ີໃຈຜນົ S   ຫຼ S   52

 ຖາ້ ສອງເສໍ້ັນຊ່ືຂະໜານກັນ ແລະ ສອງເສນໍ້ັ ຊ່ເື ຕງັ ກັນ ລະບົບສົມຜົນມໃີ ຈຜນົ ບສ່ື ໍິ້ນສດຸ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 ດງ່ັື ນັ້ໍນໃຈຜົນຂອງລະບົບສມົ ຜົນນີໍ້ແມນ່ ມີໃຈຜົນບື່ສໍ້ິນສຸດ S  x1; y1; L1  L2 ຕວົ ຢາ່ ງ3:ຈ່ືົງແກລ້ ະບບົ ສົມຜນົ ລມຸ່ ນ້ໍີດ້ວຍວິທີໃຊເ້ ສ້ັໍນສະແດງ 2x  3y  7 L1 4x  6y  14 L2 ວທິ ແີ ກ:້ ກ. ແຕ້ມເສັນໍ້ ສະແດງຂອງສມົ ຜົນ L1 ວາງໃຫ້ x  0 ເຮາົ ມີ 2x  3y  7 L1 ແທນຄ່າຂອງ x  0 ໃສ່ສມົ ຜນົ L1 2x  3y  7 20  3y  7 3y  7 y7 3 ເຮົາໄດ້ເມດັ A 0; 7   3 ວາງໃຫ້ y  0 ໃສສ່ ມົ ຜົນ L1 2x  3y  7 2x  30  7 2x  7 x7 2 ເຮາົ ໄດ້ເມດັ B 7 ;0 2  53

ຂ. ເສນ້ໍັ ສະແດງຂອງສມົ ຜນົ ທີ L2 ວາງໃຫ້ x  0 ເຮົາມີ 4x  6 y  14 4x  6 y  14 4  0  6 y  14 6 y  14 y  14 6 ເຮາົ ໄດ້ເມັດ C 0; 14   6  ວາງໃຫ້ y  0 4x  6 y  14 4x  6  0  14 4x  14 x  14 4 ເຮາົ ໄດ້ເມດັ D 14 ;0   4  ເຮາົ ແຕ້ມເສໍັ້ນສະແດງ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 ດັື່ງນ້ໍັນໃຈຜນົ ຂອງລະບົບສມົ ຜນົ ນໍີ້ແມ່ນມີໃຈຜົນບື່ສ້ໍນິ ສຸດ  ການແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ແບບວທິ ີໃຊຕ້ ວົ ການດົ ກ. ຫກັຼ ການ ເພ່ນືິ ເວາ້ົໍ ວ່າ  ແມ່ນຕົວການົດຂອງລະບົບສົມຜົນ 54

ax  by  c L1 a' x  b' y  c' L2 ab    ab'a'b a' b' -ຖາ້ ວາ່   0 ລະບົບສມົ ຜນົ ມ1ີ ໃຈຜົນ S  x; y cb ac ໂດຍວາ່ : x c' b' ; y  a' c'   -ຖາ້ ວາ່   0 ລະບົບສົມຜົນເປັນໄປໄດ້ສອງກລະນີ ຖາ້ a  b  c ມໃີ ຈຜນົ ບສິໍ້ນສຸດ a' b' c' ຖາ້ a  b  c ບື່ມໃີ ຈຜົນ a' b' c' ຂ. ຄວາມໝາຍທາງເລຂາຄະນດິ ສອງເສໍັ້ນຊື່ D ແລະ D' ມີສມົ ຜນົ ດ່ັືງນີໍ:້ D : ax  by  c D': a' x  b' y  c' ຕົວຢາ່ ງ1:ຈື່ງົ ນາໃຊ້ຕວົ ການດົ ແກ້ລະບບົ ສົມຜົນລຸ່ມນ້ີໍ 4x 10 y  12 L1 6x 15y  18 L2 ວິທແີ ກ:້ ເຫັນວ່າ 4  10  12 ດືັງ່ ນໍັນ້ ຄາ່ ຂອງຕົວການດົ ແມນ່ : 6 15 18 4 10    60  60  0 6 15 12 10 x  18  180 180  0 15 4 12 y  6  72  72  0 18 ເນື່ອງຈາກ   x   y  0 ດືັງ່ ນໍນ້ັ ລະບົບສມົ ຜນົ ຈຶ່ງື ມໃີ ຈຜົນບື່ສນ້ິໍ ສດຸ ຕົວຢາ່ ງ2:ຈົື່ງນາໃຊຕ້ ວົ ການດົ ແກ້ລະບບົ ສົມຜົນລຸ່ມນ້ີໍ x  2y  9 L1 4x  8y  16 L2 ວິທແີ ກ:້ ເຫນັ ວາ່ 1   2  9 ເຮົາມີຄ່າຂອງຕົວການດົ 4  8 16 1 2    8  8  0 4 8 9 2 x  16  9(8)  32  40 8 55

19 y  4  16  9(4)  20 16 ດື່ັງນ້ັໍນ ລະບບົ ສົມຜນົ ທໃ່ືີ ຫ້ມາຈງ່ືຶ ບມື່ ີໃຈຜົນ ຕວົ ຢາ່ ງ3:ຈງົື່ ນາໃຊ້ຕົວການົດແກລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ລຸ່ມນໍີ້ 3x  2y  1 L1 2x  4y  10 L2 ວທິ ແີ ກ:້   3  2  12  4  16 24 1  2 x  x  10 4   4  20  16  1  16 16 3 1 y   y  2 10  30  2  32  2  16 16 ດັື່ງນໍັ້ນໃຈຜົນຂອງລະບົບສົມຜນົ ນີໍ້ແມ່ນ S  1;2  ການໃຊລ້ ະບບົ ສມົ ຜນົ ຂນໍ້ັ ໜືງ່ຶ ທມ່ີື ສີ ອງຕວົ ລັບເຂາ້ໍົ ໃນການແກບ້ ົດເລກ  ການແກບ້ ດົ ເລກດ້ວຍວທິ ີສາ້ ງເປັນລະບົບສົມຜົນປະຕບິ ັດຕາມຂນ້ໍັ ຕອນດື່ງັ ລມຸ່ ນີ:້ໍ ສ້າງລະບົບສົມຜນົ : ໃນນ້ີເໍ ຮາົ ຕອ້ ງໄຈແ້ ຍກບົດເລກໃຫ້ຈະແຈ້ງ ເລອກເອາົ ຕົວລບັ ທ່ີືເໝາະສມົ ແລວ້ ນາໃຊເ້ ງອນໄຂຕາ່ ງໆຂອງ ບດົ ເລກເພ່ືອສາ້ ງເປັນລະບົບສມົ ຜົນຂ້ໍນັ ໜ່ືງຶ ທ່ືີມສີ ອງຕົວລັບ. - ຖ້າຈານວນຕ່າງໆທືີໃ່ ຫກ້ ່ອນຫາກມຫີ ົວໜວ່ ຍຕ່າງກນັ ພວກເຮົາປຽ່ືນໃຫ້ເປັນຫົວໜ່ວຍດຽວກັນ ແກ້ລະບບົ ສມົ ຜົນທືໄີ່ ດສ້ າ້ ງຂນ້ຶໍ ຕອ້ ງຄດັ ເລອກເອົາວິທງີ ່າຍດາຍ ກວດຄນແລ້ວຕອບຕາມເງື່ອນໄຂຂອງບົດເລກ ຕວົ ຢາ່ ງ: ໃນຮາ້ ນກິນດມື່ ຂອງໂຮງຮຽນ ນກັ ຮຽນຢູ່ໂຕະທໜີ ຶ່ງື ສ່ັືງນ້ໍາສ້ົມໍ 3 ຈອກ ແລະ ນມົ ສົດ 2 ຈອກ ລວມເປັນ ເງິນທງັ ໝົດ 600 ກບີ . ນກັ ຮຽນຢໂູ່ ຕະທີສອງສັືງ່ ນ້າໍ ສໍ້ົມ 1 ຈອກ ແລະ ນມົ ສດົ 3 ຈອກ ລວມເປນັ ເງນິ ທັງໝົດ 550 ກີບ. ວິທແີ ກ:້  ວາງເອາົ x ເປັນລາຄານ້າໍ ສົໍມ້ 1ຈອກ ແລະ y ເປນັ ລາຄານົມສົດ1ຈອກ  ສ້າງສອງສົມຜົນ: ສມົ ຜນົ (1)3x  2 y  600 ສມົ ຜນົ (2)x  3y  550  x ແລະ y ໃນ (1) ແລະ (2) ແມນ່ ຄາ່ ດຽວກັນ ດື່ງັ ນັໍ້ນ ເພ່ືອຍາກໃຫ້ບົດເລກມໃີ ຈຜນົ ດຽວ ເພື່ນິ ຈ່ືຶງຂຽນເປນັ ລະບົບສົມຜນົ ດືັ່ງນໍີ:້ 3x  2y  600(1) x  3y  550(2) ເຮາົ ຄູນທັງສອງພາກຂອງສມົ ຜົນ (2) ກບັ  3 ເຮາົ ໄດ້  3x  9 y  1650(3) 56

ໃນເວລານໍສ້ີ າປະສິດຂອງ x ຢູ່ສມົ ຜນົ (3) ເທາ່ົື ກບັ (1)  ລບົ ພາກຕື່ພາກຂອງສມົ ຜນົ (3) ແລະ (1)  3x  2y  600  3x 9 y  1650 0x  7 y  1050  7 y  1050 y  1050 7 y  150 ແທນ y  150 ໃສ່ສມົ ຜນົ (2) x  3y  550 x  3(150)  550 x  450  550 x  550  450 x  100 ດ່ັງື ນັໍ້ນ ໃຈຜົນຂອງລະບົບສມົ ຜົນນີແໍ້ ມນ່ S  100;150  ກວດຄນ ແທນຄ່າຂອງ x ແລະ y ໃສ່ (1) ແລະ (2) ເຮົາໄດ້ ແທນໃສ່ສົມຜົນ (1) 3x  2 y  600 3(100)  2(150)  600 300  300  600 600  600 ແທນໃສ່ສມົ ຜົນ (2) x  3y  550 100  3150  550 100  450  550 550  550 ຕອບ:ລາຄານາ້ໍ ສມົ້ໍ 1 ຈອກ ແມນ່ ມີລາຄາ100 ກບີ ລາຄານມົ ສົດ 1 ຈອກ ແມນ່ ມີລາຄາ150 ກບີ 1. ຄວາມໝາຍຂອງສະຖຕິ ິ ບດົ ທີ 6 ສະຖຕິ ິ 57

ສະຖຕິ ິ ( stati stics ) ເປັນຄາທ່ືີມາຈາກ ພາສາເຢຍລະມັນວາ່ : state “ ທໝ່ືີ າຍເຖິງຂ້ໍມູນທືເ່ີ ປນັ ຕົວ ເລກ ແລະ ຂໍ້ເທັດຈິງທີື່ມີປະໂຫຍດຕ່ືການບລິຫານງານຂອງລັດ ( fact of state ) ນັກວິຊາການໄດ້ໃຫ້ ຄວາມໝາຍຂອງສະຖິຕິຈາແນກໄດດ້ ງ່ັື ນ້ໍີ: 1. ສະຖິຕໃິ ນຄວາມໝາຍຂອງ ຂມ້ໍ ູນສະຖຕິ ິ ໝາຍເຖງິ ຕວົ ເລກທີື່ເປັນຕົວຈິງຂອງສິ່ືງທີ່ືສົນໃຈເຊັ່ືນ: ສະຖິຕິ ຈານວນຄອບຄົວໃນຊູມຊົນແຫ່ງໜຶື່ງ, ສະຖິຕິປະລິມານນໍ້າຝົນໃນແຕ່ລະແຂວງ, ການປະສົບອຸປະຕິເຫດ ທາງບົກຂອງປະເທດ ແລະ ອື່ນໆ. 2. ສະຖິຕິໃນຄວາມໝາຍຂອງ ສະຖຕິ ິ ໝາຍເຖິງສ່ງືິ ທືກ່ີ ຽ່ ວກັບວິຊາການສຶກສາຂໍ້ມູນທ່ືີເອີໍ້ນວ່າ:“ ລະບຽບ ວທິ ີການທາງສະຖຕິ ິ ທປີື່ ະກອບດ້ວຍ 4 ວທິ ີຄ: ການເກັບກາຂ້ໍມູນ, ການສະເໜຂີ ມໍ້ ນູ , ການວິເຄາະຂ້ໍມູນ ແລະ ການແປຄວາມໝາຍຂ້ໍມນູ . 3. ສະຖຕິ ິໃນຄວາມໝາຍ “ ຄາ່ ຂອງສະຖີຕິ ” ໝາຍເຖິງຕົວເລກທີ່ືຄານວນໄດ້ຈາກຂໍ້ມຸນກຸ່ມຕົວຢ່າງໂດຍໃຊ້ ສັນຍາລັກ ̅ ແທນຄ່າສະເລ່ຍ ( Mean ), S. D ແທນສ່ວນອຽງມາດຕາຖານ ແລະ ແທນຄາວ່າ ສາປະສິດສະຫະພັນເປນັ ຕົນ້ໍ . 4. ສະຖິຕິໃນຄວາມໝາຍ “ ວິຊາສະຖິຕິ ” ໝາຍເຖິງວິທະຍາສາດຂະແໜງໜຶ່ືງທີ່ືມີເນໍ້ອຫາສາລະ ແລະ ຮາກຖານວິຊາຄະນິດສາດ ແລະ ຕັກກະສາດ ທີ່ືນາໄປໃຊ້ໃນການຕັດສີນໃຈພາຍໃຕ້ສະຖານະການທີ່ືບື່ ແນ່ນອນ. 2. ຂມ້ໍ ນູ ແລະ ປະເພດຂອງຂມໍ້ ນູ  ຄວາມໝາຍຂມໍ້ ູນ ຂມ້ໍ ນູ ແມນ່ ຄວາມຈງິ ຂອງບັນຫາທືີ່ເຮາົ ສກຶ ສາ ເຊງ່ີື ອາດຈະເປນັ ຕົວເລກ ຫຼ ອາດບ່ືເປັນຕົວເລກ, ຄວາມ ຈິງທີື່ເປັນຕົວເລກໝາຍເຖິງຄ່າ, ຈານວນ ຫຼ ປະລິມານສິ່ືງຂອງທີື່ເຮົາສຶກສາ ເຊັື່ນ: ຄະແນນ,ລາຍໄດ້,ຈານວນ ພົນລະເມອງ...ສ່ວນຄວາມເປັນຈີງທີ່ືບື່ເປັນຕົວເລກໝາຍເຖິງລັກສະນະທີື່ເຮົາສຶກສາ ເຊັື່ນ: ຄຸນສົມບັດ, ຖານະ, ອາຊີບ, ເພດ.....  ປະເພດຂອງຂມ້ໍ ນູ ປະເພດຂອງຂມໍ້ ູນຈະແບງ່ ອອກຕາມການຈາແນກຂອງຂ້ໍມູນ ເຊງ່ືີ ມີຫຼາຍວທິ ີ ຄ:  ຈາແນກຕາມທີື່ມາຂອງຂໍມ້ ູນ ແບງ່ ອອກເປນັ 2 ປະເພດຄ:  ຂໍມ້ ູນຕໍນົ້  ຂມ້ໍ ູນປາຍ  ຈາແນກຕາມລັກສະນະຄວາມຈງິ ແບ່ງອອກເປັນ 2 ປະເພດຄ:  ຂມໍ້ ູນທາງດາ້ ນຄນຸ ນະພາບ  ຂ້ມໍ ູນທາງດ້ານປະລິມານ  ຈາແນນຕາມລກັ ສະນະຂອງການເກບັ ກາ ແບ່ງອອກເປັນ 2 ປະເພດຄ:  ຂໍ້ມູນທໄີ່ື ດ້ຈາກການສາຫວຼ ດ  ຂມ້ໍ ູນທີໄ່ື ດ້ຈາກການທົດລອງ 3. ການສະເໜຂີ ມໍ້ ນູ ( Presentation of Data) ແມ່ນການສະເໜີສະຖຕິ ິທ່ືີໄດ້ເກບັ ການນັ້ໍ ອອກມາເຜີຍແຜ່ໃຫຜ້ ູ້ອ່ືນເຂົ້ໍາໃຈສາລັບແບບການນາສະເໜີຂໍ້ມູນ. ອາດໃຊ້ຂ້ໍຄວາມ, ຕາຕະລາງ, ແຜນນວາດ ຫຼ ກຼາຟ ເປນັ ຕົນ້ໍ . 58

DefectRate(1) ການນາສະເໜຂີ ມ້ໍ ນູ ດວ້ ຍແຜນພມູ (Graphical Data Presentation) ມີບາງເທື່ອເຮົາມີຂ້ໍມນູ ທື່ີເປນັ ຕົວເລກເປນັ ຈານວນຫຼາຍນັໍ້ນອອກມາໃນຮູບຂອງກາຟຈະເຮັດໃຫ້ເຮົາສາມາດ ເຫັນສິື່ງສາຄັນຂອງຂໍ້ມນູ ຄັດຈາກຂໍ້ມນູ ດງັື່ ກ່າວໄດ້ດີກ່ວາເຮົາສາມາດແຍກລັກສະນະຂອງການສະແດງຂ້ໍມນູ ໃນຮູບ ກາຟໄດ້ຕາມວດັ ຖປຸ ະສົງດ່ືັງຕ່ືໄປນໍີກ້ າຼ ຟແທ່ງ. 7 6 5 4 3 2 1 0 Aug Sep Oct Nov Dec ຮບູ 1.1 ຕວົ ຢາ່ ງກຼາຟແທງ່ ຈາກຕົວຢ່າງ: ເປັນກາຟທີື່ອະທິບາຍອັດຕາການເກີດຂຶໍ້ນຜົນເສຍໃນ 5 ເດອນສິື່ງສາຄັນບື່ໄດ້ຢູ່ທີື່ວ່າແຕ່ລະ ເດອນມີຜນົ ເສຍເກີດຂຶ້ໍນທື່ໃດແຕເ່ ດອນທື່ີຜາ່ ນມາແນວໂນ້ມຈະເກດີ ຂໍຶ້ນຂອງຜົນເສຍຈາກຂະບວນການຜະລິດເພີື່ມ ຂ້ຶໍນເລ້ໍອຍໆຜູ້ທ່ືີມີໜາ້ ທືີ່ຮັບຜິດຊອບຈະຕ້ອງຫາທາງແກ້ໄຂ  ການສະເໜຂີ ໍ້ມນູ ແບບບື່ເປນັ ແຜນ ໝາຍເຖງິ ການສະເໜີຂ້ໍມູນບື່ເປນັ ຫກັຼ ຖານຄັກແນ່ມີ 2 ວທິ ຄີ : - ການສະເໜຂີ ້ໍມູນແບບບົດຄວາມ - ການສະເໜຂີ ໍ້ມນູ ແບບຂໍ້ຄວາມເຄິ່ືງຕາຕະລາງ  ການສະເໜີຂໍ້ມນູ ແບບບດົ ຄວາມ ເປັນການສະເໜໃີ ນຮແູ ບບຂອງຄາອະທິບາຍລກັ ສະນະຂອງຂໍ້ມນູ ທີື່ສົນໃຈເຊິື່ງເປັນບົດຄວາມຕ່ືເນ່ືອງກັນໄປ ໃນຮບູ ແບບບດົ ລາຍງານວທິ ນີ ໃ້ໍີ ຊ້ດຖີ າ້ ຫາກຕວົ ເລກບື່ຫຼາຍເກນີ ໄປ ຫຼ ຕ້ອງການເນັ້ໍນໜັກພຽຕົວເລກໃດໜຶື່ງເພ່ືອ ປຽບທຽບກັນ.  ການສະເໜບີ ດົ ຄວາມເຄື່ງິ ຕາຕະລາງ ເປນັ ວທິ ກີ ານນາຂ້ໍມູນທ່ືີໄດ້ມາຂຽນເປັນສວ່ ນໜງຶື່ ຂອງຂໍ້ຄວາມພ້ອມທັງແຍກສະເພາະໃນຕົວເລກທີື່ຂຽນມາ ໃຫ້ແຈງ້ ເພືອ່ ສະດວກໃນການສຶກສາ ແລະ ປຽບທຽບຄວາມແຕກຕາ່ ງກນັ ໄດ້. ຕົວຢາ່ ງ 1 : ຈານວນນັກສກສາທ່ືີລົງປະສົບການຢູທ່ືີໂຮງຮຽນ ຈານວນນກັ ສກສາ ໂຮງຮຽນ 59

ມ ຕ ສນຸ ັນທາ 44 ມ ຕ ຈອມແກວ້ 40 ມ ຕ ໂພນສະຫວ່າງໃຕ້ 35 ມ ຕ ທາດອງີ ຮັງ 45 ມ ສ ອດຸ ົມວິໄລ 44 ລວມ 208  ການສະເໜຂີ ມ້ໍ ນູ ແບບເປນັ ແຜນ ໝາຍເຖງິ ການສະເໜີຂມ້ໍ ູນທື່ີມກີ ດົ ເກນ ແລະ ປະຕິບັດຕາມມາດຕະຖານທີ່ືການົດໄວ້ການສະເໜີຂໍ້ມູນນ້ໍີ ປະກອບດວ້ ຍ.  ການສະເໜຂີ ້ໍມນູ ໃນຮບູ ແບບຕາຕະລາງ ສວ່ ນປະກອບທີື່ສາຄນັ ຂອງຕາຕະລາງມີດງ່ືັ ນີ້ໍ: 1. ໝາຍເລກຕາຕະລາງຄຕົວສະແດງລະດັບທີ່ືຂອງຕາຕະລາງໃນກລະນີ ທີ່ືຕາຕະລາງສະຖິຕິຫຼາຍຕາຕະລາງ ທື່ີ ຕ້ອງການນາສະເໜເີ ທງິ ໜາ້ ຊ້າຍຂອງຕາຕະລາງ 2. ຊຂ່ື ອງຕາຕະລາງເປນັ ຂຄ້ໍ ວາມທສ່ືີ ໍັ້ນກະທັດຫັດ ແລະ ຮູ້ຄວາມໝາຍຂອງຕາຕະລາງໄດ້ ເຮັດໃຫ້ຜູ້ອ່ານຮູ້ທັນທີ ເມ່ອື ອາ່ ນຊື່ຂອງຕາຕະລາງ 3. ໝາຍເຫດຄານາ ຫຼ ໝາຍເຫດເພ່ືອໃຫ້ເຂົ່ືາໃຈເນ້ໍອໃນຂອງຕາຕະລາງເຊັື່ນ : ຫົວໜ່ວຍນໍ້າໜັກ,ຫົວໜ່ວຍ ຄວາມຍາວ, ຫວົ ໜວ່ ຍເງນີ ຫວົ ໜວ່ ຍທໃ່ືີ ຊ້ໃນຕາຕະລາງເຊິື່ງເປນັ ຂຄໍ້ ວາມ ທື່ຢີ ູ່ໃຕ້ຊືເ່ ລອ່ື ງ ແຕ່ຢູ່ເໜອຕາຕະລາງ ບາງຕາຕະລາງກບ່ື ມ່ື ີ 4. ຖ້າຂມໍ້ ູນບ່ໃື ດເ້ ກບັ ກາຫ້າມໃສ່ເລກ 0 ຄວນໃສເ່ ຄອ່ື ງໝາຍ - ຂີດ ສະແດງເຖິງ ບສ່ື າມາດເກັບຂໍ້ມູນໃດ້ 5. ໃນກລະນີທື່ມີ ີຂ້ມໍ ນູ ຊ້ໍາກັນບືຄ່ ວນໃສ່ເຄ່ອື ງໝາຍ —ı ı — ໃຫຂ້ ຽນຂໍ້ມູນຊໍາ້ ກນັ ເລຍີ 6. ບື່ຄວນໃຊຄ້ າຫຍໃ້ໍ ນຕາຕະລາງສະຖິຕເິ ຊືັ່ນວາ່ ຊັງຕແີ ມດັ ບໃ່ື ຫ້ຂຽນຫຍໍ້ ຊມ ຫຼ ບຄ່ື ວນໃຊ້ ເຄ່ອື ງໝາຍອນ່ື ໆ 7. ໝາຍເຫດລຸ່ມ ຄຄາອະທິບາຍຂຄໍ້ ວາມບາງຕອນໃນຕາຕະລາງໃຫ້ຊດັ ເຈນເຊືນັ່ ວາ່ : ຈານວນສິນຄ້າ ທີື່ສົ່ືງອອກໃນ ຊວ່ ງເດອນມັງກອນຫາເດອນກນັ ຍາເປັນຕົ້ໍນ. 8. ໝາຍເຫດແຫງຼື່ ທມ່ືີ າ ຄໝາຍເຫດໃຫ້ຮູ້ວ່າ ຂມໍ້ ູນທີືໄ່ ດມ້ ານັ້ໍນມາຈາກໃສເຊິື່ງຈະເຮັດໃຫ້ຂໍ້ມູນທີື່ມີຄວາມເຊ່ືອຖ ຫຼາຍຂ້ໍຶນ ຫຼ ສາມາດກວດກາຄນໄດ້  ການນາສະເໜຂີ ້ໍມູນແບບຕາຕະລາງຄວາມຖີ່ື ຄວາມຖີື່ຂອງຂໍ້ມູນໃນຊຸດຂໍ້ມູນໜຶ່ືງແມ່ນຈານວນເທື່ອທີື່ຊ້ໍາກັນຂອງຂໍ້ມູນນັ້ໍນຕາຕະລາງສະຖິຕິແບ່ງອອກ ເປັນ 4 ຊະນິດຄ :  ຕາຕະລາງສະແດງຄວາມຖືີ່ ຕວົ ຢ່າງ 1: ຕາຕະລາງຈານວນນກັ ສກຶ ສາປີ 4 ຄະນິດສາດສົກຮຽນ 2014-2015 ຈາແນກຕາມເພດ ເພດ ຈານວນນກັ ສກຶ ສາ(ຄນົ ) ຍິງ 26 ຊາຍ 18 ລວມ 44 ຕາຕະລາງ: ຕາຕະລາງສະແດງຄວາມຖ່ີື  ຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖ່ືີ ຕວົ ຢ່າງ 2: ຈານວນນກັ ສຶກສາ 44 ຈາແນກຕາມລວງສງູ ລວງສງຸ ຂອງນັກສກຶ ສາ(150-158) ຈານວນຄນົ 60

150-158 20 159-168 18 169-175 6 ລວມ 44 ຕາຕະລາງ: ຈາແນກຕາມລວງສູງ ໝາຍເຫດ: ຂ້ໍມນູ ເປນັ ພຽງຂສ້ໍ ມົ ມດຸ ເທາ່ົື ນໍ້ັນ  ຕາຕະລາງດຽວ ໝາຍເຖິງຕາຕະລາງທ່ືີມີການຈາແນກລາຍການເທງິ ຫວົ ເລື່ອງພຽງລກັ ສະນະດຽວເທົື່ານ້ັໍນ ຕົວຢ່າງ: ປະລມິ ານການຂົນສງ່ືົ ລດົ ຈກັ -ອອກຂາຍໃນເມອງຕາ່ ງໆໃນແຂວງຄາມວ່ ນ. ເມອງ ຈານວນ(ຄັນ) ທ່າແຂກ 100 ໜອງບົກ 75 ຄນູ ຄາ 150 ລວມ 325 ຕາຕະລາງ: ປະລິມານການຂົນສ່ືງົ ລົດຈກັ -ອອກຂາຍໃນເມອງຕ່າງໆໃນແຂວງຄາມ່ວນ. ໝາຍເຫດ: ຂ້ໍມູນເປນັ ພຽງຂ້ໍສມົ ມຸດເທາ່ືົ ນັໍນ້ ຕາຕະລາງສອງທາງ ໝາຍເຖງິ ຕາຕະລາງທີື່ມກີ ານຈາແນກຍ່ອຍຕາມລກັ ສະນະຂອງຂໍ້ມູນສອງດ້ານ ຕງົ ຢ່າງ4: ຈານວນຄົນທ່ເືີ ຂ້ໍົາຊົມການແຂງ່ ຂນັ ບານເຕະໃນສະໜາມກິລາແຫ່ງໜ່ືງ.ຈາແນກຕາມເພດ ແລະ ບ່ອນນັ່ືງ ດງ່ືັ ນ້ໍີ: ບອ່ ນນັື່ງ ເພດ ມຫີ ັຼງຄາມງຸ ບືມ່ ຫີ ຼງັ ຄາມຸງ ລວມ ຍງິ 150 100 250 ຊາຍ 275 109 384 ລວມ 425 209 634 ຕາຕະລາງ: ຈານວນຄົນທີເື່ ຂໍ້ົາຊົມການແຂ່ງຂນັ ບານເຕາະໃນສະໜາມກລິ າແຫ່ງໜຶື່ງ.  ການສະເໜຂີ ໍມ້ ູນດວ້ ຍເສ້ັໍນໂຄງ້ ແລະ ເສນ້ັໍ ຫັກ ຄວາມຖຂ່ີື ອງຂອງຂ້ໍມນູ ສະເໜີດ້ວຍຮບູ ແທ່ງ, ຮບູ ເສໍ້ນັ ຫັກ, ເສ້ນໍັ ໂຄງ້ ເຊີງື່ ເພ່ິືນເອໍ້ີນວາ່ ຄວາມຖຂີ່ື ອງຂ້ໍມູນ - ຮບູ ແທ່ງແມນ່ ຮູບສ່ືີແຈສາກທພ່ີື ນໍ້ ຂອງແຜ່ນຂອບເຂດຈາກັດແຕ່ລະຊັນໍ້ ແລະ ລວງສູງແມ່ນຄວາມຖີ່ືຂອງ ຂ້ໍມູນໃນຊ້ໍັນນັໍນ້ ຕົວຢາ່ ງ : ຜ່ານການສອນທງັ ສອງວທິ ີ ເຮົາໄດ້ມກີ າຼ ຟທືີສ່ ະແດງການປຽບທຽບດ່ງັື ນີໍ້: 61

1. ກຼາຟທີ່ືສະແດງຄະແນນນັກຮຽນໃນການສອນທັງສອງແບບ ວທິ ສີ ອນ ຄັ້ງໍ ທ1ີ ຄັ້ໍງທ2ີ ຄ້ງັໍ ທ3ີ ລວມ 4,255 8,964 21,142 ແບບບັນລະຍາຍ 7,923 ແບບທວົ່ື ໄປ 2,500 8,534 3,457 14,491 ຮບູ ແທ່ງຂໍ້ມູນຂາ້ ງເທິງ ຮບູ ສະແດງຮບູ ແທ່ງຂ້ໍມນູ ຂາ້ ງເທງິ ຮູບເສັໍ້ນຫຼັກຄວາມຖີ່ືຂໍ້ມູນແມ່ນທ່ອນຊ່ືຕ່າງໆທີື່ຂີດຕື່ກັນລະຫວ່າງເມັດທີື່ມີຕົວປະສານນອນ ແມ່ນເມດັ ກາງແຕລ່ ະເສນໍ້ັ ແລະ ຕວົ ປະສານຕໍ້ັງແມ່ນຄວາມຖີື່ຂອງຂ້ໍມູນໃນແຕ່ລະຊັໍ້ນນັ້ໍນໃນຕົວປະສານ ຕງັໍ້ ຂອງເມດັ ທາອດິ ແລະ ເມັດສຸດທ້າຍເທ່ົືາສນູ , ເສໍ້ັນສະແດງຄຮບູ ລມຸ ນໍ້ີ: 62

ຄວາມຖ່ືີສິ້ໍນເປອງນໍາ້ ມນັ (km/l) ຮູບສະແດງຄວາມຖືີ່ສໍິ້ນເປອງນ້າໍ ມັນ(km/l) ຮບູ ເສ້ໍັນໂຄງ້ ຄວາມຖແ່ືີ ມນ່ ເສ້ັໍນໂຄ້ງໄດຈ້ າກການດດັ ແປງເສ້ໍັນຫັກທົບ ຫຼ ແບ່ງໂດຍພະຍາຍາມໃຫ້ເນ້ໍອທືີ່ ລຸ່ມນເໍ້ີ ທືົາ່ ເນໍ້ອທືີ່ ລມຸ່ ນເ້ີໍ ສນ້ໍັ ຫັກຼ ຫຼ ເນອ້ໍ ທຮືີ່ ູບແທ່ງ ຕົວຢ່າງ: ເສັໍ້ນສະແດງຄວາມສໍນ້ິ ເປອງນາ້ໍ ມັນຂອງລົດ 80 ຄນັ ຕາມຂໍມ້ ນູ ຂ້າງເທງິ ສະແດງໄດດ້ ່ັືງນີ້ໍ: 25 20 15 ຮູບແ​ ທງ່ ເ​ ສ້ໍັນຫກັ 10 ​ເສ້ໍນັ ​ໂຄງ້ 5 0 ຮບູ ສະແດງເສນັ້ໍ ສະແດງຄວາມສນິ້ໍ ເປອງນາ້ໍ ມນັ ຂອງລົດ 80 ຄນັ  ຄວາມຖຂີື່ ອງຂມ້ໍ ນູ ການແຈກຢາຍຄວາມຖີື່ ຄວາມໝາຍຂອງການແຈກຢາຍຄວາມຖີື່ ຄວາມຖ່ືີ: ແມ່ນອາການທ່ືີສະແດງການປາກົດຕົວຂອງຂໍ້ມູນໃດໜຶງ່ື ການແຈກຢາຍຄວາມຖ່ືີ(Frequaney Distrbution)ເປັນການນາຂໍ້ມູນມາຈັດໝວດໝູ່ປະເພດ ຫຼ ການ ສາ້ ງຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖເີ່ື ພ່ືອສະແດງຈານວນຂອງຂໍມ້ ູນແຕ່ລະຂ້ໍມູນນັ້ໍນມີການຈັດຈານວນທີື່ເປັນລະບຽບ ງ່າຍສະດວກໃນການນາໄປໃຊ້ ແລະ ໜ້າສົນໃຈໃນການສກຶ ສາ. 63

ຕວົ ຢາ່ ງ: ໃຫຂ້ ມ້ໍ ນູ ກຽ່ ວກັບຄະແນນວິຊາຄະນດິ ສາດຂອງນກັ ຮຽນຈານວນ 24 ຄນົ ມີດ່ືັງນໍີ້: 9 10 35167267 2 3 8 6 5 7 8 10 5 3 9 10 10 9 7 6 7 8 ເມ່ອື ຈັດຂໍ້ມນູ ດັືງ່ ກ່າວໃສຕ່ າຕາລາງຈະໄດ້ຕາຕາລາງຄວາມຖີຂື່ ອງຂໍມ້ ນູ ດ່ັງື ນີໍ:້ ຄະແນນ 1 2 3 4 5 6 7 8 ຄວາມຖີ່ື 1 1 2 0 3 4 5 3  ຂໍນັ້ ຕອນການແຈກຢາຍຄວາມຖືີ່ 1) ຂນ້ໍັ ຕອນທີ 1: ຊອກຄາ່ ພິໄສ ເຊື່ງິ ມຄີ ່າເທ່ືົາກັບຜນົ ຕ່າງລະຫວ່າງຄ່າຕາ່ື ສຸດ ແລະ ຄາ່ ສງູ ສຸດຂອງຂໍ້ມູນຊດຸ ນ້ໍັນ ເຊິ່ງື ມສີ ດູ ດືງັ່ ນ້:ີໍ - ຄ່າພໃິ ສ ຄ່າສູງສຸດຂອງຂມໍ້ ູນ ຄ່າຕາ່ື ສຸດຂອງຂໍມ້ ນູ 2) ຂໍນັ້ ຕອນທີ 2: ການົດນວນຊັໍນ້ ການການດົ ຈານວນຊໍນັ້ ບມ່ື ີກົດເກນແນນ່ ອນຕາຍຕວົ ຂໍ້ຶນຢູ່ກັບຈານວນຂໍ້ມນູ ແຕໂ່ ດຍທວົື່ ໄປຈະໃຊ້ 5 -15 ຊ້ັນໍ ຖ້າຈານວນຊັ້ໍນ ໜອ້ ຍ ຫຼ ຫຼາຍເກນີ ໄປຈະເຮັດໃຫ້ສະຫຼຸບຍາກ ແລະ ເສຍເວລາໃນການ ສາ້ ງ. ໃນການຄານວນຫາຈານວນຊ້ນໍັ ຈາກສດູ ຖາ້ ຄຈ່າື ນວນຄ່າຂມ້ໍ ນູ ທັງໝດົ ຂອງຂໍ້ມູນຊດຸ ນ້ໍັນ 3) ຂ້ໍັນຕອນທີ 3: ຂີດຈາກັດ ເປັນຕວົ ເລກທດົ ສະນິຍົມຄວນປັດໃຫ້ເປັນເລກຖ້ວນ ໃນກລະນນີ ຂີ້ໍ ດີ ຈາກັດຂອງຊັນ້ໍ ໂດຍໃຫຂ້ ີດຈາກດັ ລ່ມຸ ຂອງຊ້ນັໍ ທາອິດໜ້ອຍກວາ່ ຫຼ ເທາ່ືົ ກບັ ຄາ່ ໜ້ອຍສຸດ ຂອງຂມໍ້ ນູ ແລະ ການົດໃຫ້ຂີດຈາກັດເທິງຂອງຊັໍ້ນ ສຸດທ້າຍ ຕ້ອງໃຫຍ່ກວ່າ ຫຼ ເທົື່າກັບຄ່າຫຼາຍສຸດຂອງຂ້ໍມູນ ອາດການດົ ຂດີ ຈາກັດຊນ້ໍັ ໂດຍນາໃຊສ້ ູດດງັື່ ນ້ໍີ: ຂີດຈາກດັ ເບອໍ້ ງລຸ່ມຂອງຊໍັ້ນທາອິດ ( ) ຂດີ ຈາກດັ ເບ້ອໍ ງເທງິ ຂອງຊໍັ້ນທາອດິ 2 ( ) ຂີດຈາກັດເບໍອ້ ງລຸ່ມຂອງຊັໍ້ນທາອິດ 4) ຂັນຕອນທີື່ 4: ຂອບເຂດຈາກັດ ຂອບເຂດຈາກັດຈະການົດໃຫມ້ ຈີ ານວນເສດຫງຼັ ຈາກຈຸດຫາຼ ຍກວ່າຄາ່ ຈິງຂອງຂໍ້ມູນໜ່ືງຕວົ ເລກເຊັື່ນ: ຂໍ້ມູນ ຈງິ ເປັນຈານວນຖ້ວນ, ຂອບເຂດຈາກັດຊັໍ້ນຈະເປັນຈານວນທົດສະນິຍົມບື່ມີຕົວເລກຈາກໜຶື່ງຕົວເລກຖ້າມູນເປັນ ຈານວນທດົ ສະນິຍົມຫຼັງຈດຸ ໜຶື່ງຕົວເລກຂອບເຂດຈາກັດເປັນຈານວນເສດທ່ືມີ ຕີ ວົ ເລກຫຼັງຈຸດໜຶ່ືງຕົວເລກຂອບເຂດ ຈາກດັ ເປັນຈານວນເສດທີ່ືມີຕົວເລກຫງັຼ ຈຸດສອງຕົວເລກສາມາດການດົ ເຂດຈາກັດຊັໍ້ນໄດ້ດັືງ່ ນໍີ້:  ຂອບເຂດຈາກດັ ເບ້ໍອງເທງິ ຂອງຊັໍນ້ ທໜ່ືີ ຶ່ງື ຂດີ ຈາກດັ ເບອໍ້ ງເທິງຂອງຊ້ໍັນທືີ່ ຂດີ ຈາກັດເບໍອ້ ງລຸ່ມຂອງຊັໍ້ນທື່ີ 64

ຂອບເຂດຈາກດັ ເບໍ້ອງລມຸ່ ຂອງຊໍັນ້ ທີ 1 = ຂອບເຂດຈາກດັ ເບອ້ໍ ງລ່ມຸ ຂອງຊໍນ້ັ ທີ 1 - ຄວາມກ້ວາງຂອງຊັໍ້ນ ຫຼ ອາດການົດຂອບເຂດຈາກັດໄດ້ດືັ່ງນີໍ້ : ຂີດຈາກດັ ລ່ມຸ ຂອງຊໍັນ້ ທີື່ ຂດີ ຈາກດັ ລຸ່ມຂອງຊໍນ້ັ ທືີ່ ຂດີ ຈາກັດເບ້ໍອງເທງິ ຂອງຊນັໍ້ ທ່ີື  ຂອບເຂດຈາກດັ ເບອ້ໍ ງເທິງຂອງຊັໍ້ນທີ 1 = ຂີດຈາກັດເທງິ ຂອງຊັນ້ໍ ທ່ີື 1 + ຂດີ ຈາກດັ ຂອງຊນັ້ໍ ທີື່ ຂດີ ຈາກັດເທງິ ຊນ້ໍັ ທ່ີື 5) ຂນ້ັໍ ຕອນທີ 5 : ຈດຸ ເຄງ່ິື ກາງ  ຈຸດເຄື່ງິ ກາງຂອງຊັ້ໍນ = ຂອບເຂດຈາກັດເບໍອ້ ງລຸ່ມ ຂອບເຂດຈາກດັ ເບ້ໍອງເທິງ  ຈຸດເຄິງື່ ກາງຂອງຊໍັ້ນ = ຂດີ ຈາກດັ ເບ້ໍອງລຸ່ມ ຂດີ ຈາກດັ ເບ້ອໍ ງເທິງ  ການນັບຈານວນຂອງຂມ້ໍ ູນ ຫຼ ຄວາມຖີ່ືແຕລ່ ະຊນ້ໍັ ການນັບຈານວນຄ່າຂອງຂ້ໍມູນ ຫຼ ຄວາມຖີື່ແຕ່ລະຊັ້ໍນ ແມ່ນຫຼັງຈາກການສ້າງຂອບເຂດຈາກັດຊັໍ້ນແລ້ວຈຶ່ືງ ກວດກາຄ່າຂມ້ໍ ນູ ຢໃູ່ ນຊັໍ້ນໃດ ແລວ້ ນບັ ຈານວນໃນແຕ່ລະຊັ້ໍນ ເອໍ້ີນວາ່ : ຄວາມຖຂ່ີື ອງຊັ້ໍນ. ຕົວຢາ່ ງ: ຄະແນນສອບເສັງວິຊາຄະນດິ ສາດຂອງນກັ ສຶກສາສາຍວທິ ະຍາສາດທາມະຊາດ ຈານວນ 100 ຄົນ ມດີ ງ່ືັ ນ້ໍ:ີ 70 54 61 85 55 38 35 32 45 67 65 63 55 84 71 67 63 88 87 86 30 77 71 63 53 53 65 83 82 75 32 82 84 61 67 45 75 74 73 71 35 90 83 75 76 54 84 81 85 45 38 54 72 75 70 88 75 36 37 42 42 72 65 48 64 84 89 65 53 55 50 71 67 61 89 89 45 88 79 63 70 85 69 58 75 85 33 36 35 33 62 70 70 54 76 77 41 42 43 ຈງ່ືົ ສ້າງຕາຕະລາງຄວາມຖຂືີ່ ອງຄະແນນສອບເສັງນັກສກຶ ສາສາຍວິທະຍາສາດທາມະຊາດ ວິທີສ້າງຕາຕະລາງ ຄວາມຖ່ືີ  ຊອກຄາ່ ພິໃສ: R= - R = 90 – 30 R = 60  ການດົ ຈານວນຊັໍ້ນ: N = 100 K =1 + 3,3 lgn K =1 + 3,3 lgn 100 K = 1 + 3,3 x 2 65

K= 1+6,6 K= 7,6  ຊອກຄ່າຄວາມກວ້າງຂອງຊນ້ໍັ :  ຊອກຂດີ ຈາກດັ ຂອງຊ້ນັໍ : () ຂດີ ຈາກັດເບອ້ໍ ງລຸ່ມຂອງຊນັໍ້ ທາອິດ = () =30- ( ) = 30  4 2 = 30-2 = 28 ຂດີ ຈາກັດເບອ້ໍ ງເທິງຂອງຊ້ໍນັ ທາອິດ = ຂດີ ຈາກັດເບໍອ້ ງລ່ມຸ ຂອງຊໍ້ນັ ທາອດິ + ( I+1 ) = 28 + (8-1) = 28+7 = 35 ຂດີ ຈາກັດເບໍອ້ ງເທິງຂອງຊໍັ້ນທາອິດ = 35 ດງ່ືັ ນ້ີໍຂີດຈາກດັ ຂອງຊ້ໍັນທາອິດຄ =28-35 ຂີດຈາກດັ ຂອງຊນ້ັໍ ທື່ີ 2 ຄ =36-43  ຊອກຫາຂອບເຂດຂອງຊ້ໍັນ ຂອບເຂດຈາກັດຊ້ນັໍ ເບໍ້ອງເທິງຂອງຊນ້ັໍ =ຂດີ ຈາກັດເບໍອ້ ງເທິງຂອງຊ້ໍນັ ທ່ືີ ຂດີ ຈາກດັ ເບອ້ໍ ງລ່ມຸ ຂອງຊັ້ນໍ ທ່ີື = = 35,5 ຂີດຈາກັດເບ້ອໍ ງເທິງຂອງຊ້ນໍັ ທື່ີ ຫຼ ອາດການດົ ເຂດຈາກດັ ເບ້ໍອງລມຸ່ ດັືງ່ ນີ້ໍ: ຂອບເຂດຈາກັດເບໍອ້ ງລຸ່ມຂອງຊ້ໍັນທ່ີື 1 ຂດີ ຈາກັດລຸ່ມຂອງຊັນໍ້ ທ່ີື ຂດີ ຈາກັດລຸ່ມຂອງຊໍ້ັນທືີ່ = = 27,5 ດັ່ງື ນັໍ້ນຂອບເຂດຈາກັດຂອງຊນັໍ້ ທີ 1 ຄ: 27,5 – 35,5 ຂອບເຂດຈາກັດຂອງຊັນ້ໍ ທີ 2 ຄ: 35,5 – 43,5 66

ຊອກຈຸດເຄີື່ງກາງຂອງຊ້ໍັນທີ 1 = ຂດິ ຈາກດັ ເບໍອ້ ງລຸມ່ ຂອງຊ້ັໍນທ່ືີ ຂີດຈາກດັ ເບ້ໍອງເທີງຊ້ໍັນທື່ີ  28  35  63  31.5 22 ຈຸດເຄືີ່ງກາງຂອງຊໍັນ້ ທີ 2=ຂີດຈາກັດເບໍ້ງລມຸ່ ຊໍ້ນັ ທ່ືີ ຂດີ ຈາກັດເບໍ້ອງເທງີ ຊນັ້ໍ ທ່ີື  36  43  79  39.5 22 ສບຕືດ່ າເນີນການຄິດໄລ່ຕໄື່ ປຈົນເຖງິ ຊໍນ້ັ ທືີ່ 8 ຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖືຂ່ີ ອງຄະແນນສອບເສັງນກັ ສຶກສາສາຍວິທະຍາສາດທາມະຊາດ. ຂດີ ຈາກດັ ຊໍັ້ນ ຂອບເຂດຈາກດັ ຊ້ນັໍ ຂດີ ແຈ້ງນບັ ຄວາມຖືີ່ ຄວາມຖ່ືີ ຈດຸ ເຄງິ່ື ກາງຂອງຊໍັ້ນ |||| |||| 9 31.5 28-35 27.5 – 35.5 |||||||| 10 39.5 |||| | 6 47.5 36-43 35.5 – 43.5 |||||||| | 11 55.5 17 63.5 44-51 43.5 – 51.5 |||||||||||| || 20 71.5 |||||||||||||||| 10 79.5 52-59 51.5 – 59.5 |||||||||||||| 17 87.5 |||||||||||| || 60-67 59.5 – 67.5 100 100 68-65 67.5 – 75.5 76-83 75.5 – 83.5 84-91 84.5 – 91.5 ລວມ ຕາຕະລາງ: ຕາຕະລາງແຈກຢາຍຄວາມຖີື່ຂອງຄະແນນສອບເສັງນກັ ສກສາສາຍວທິ ະຍາສາດທາມະຊາດ.  ປະເພດ ແລະ ວທິ ກີ ານວເິ ຄາະແຈກຢາຍຄວາມຖີ່ື ກ. ແບບບ່ືຈັດກຸ່ມ ແມນ່ ການລຽງລາດັບຄະແນນຈາກຫາຼ ຍໄປຫາໜ້ອຍ ຫຼ ຈາກໜ້ອຍໄປຫາຫາຼ ຍ ຕວົ ຢາ່ ງ: ນກັ ຮຽນ 10 ຄນົ ມຄີ ະແນນດງ່ືັ ນ້:ີໍ 17, 16, 17, 15, 13, 14, 16, 13, 17, 16 ເອາົ ຄະແນນມາແຈກແຈງຄວາມຖີືໄ່ ດ້ດັ່ງື ນໍ້:ີ ຄະແນນ ຈານວນເທື່ອຂີດ ຄວາມຖ່ີື ຄວາມຖີືສ່ ະສມົ 17 /// 3 10 16 /// 3 7 15 / 1 4 14 / 1 3 13 // 2 2 ຂ. ແບບຈັດກມຸ່ ຖາ້ ມຄີ ະແນນຫຼາຍໆອາດຈັດເປັນກຸ່ມແລວ້ ຊອກຫາຄວາມຖີື່ ຕວົ ຢ່າງ: ຄະແນນຂອງນກັ ຮຽນ 40 ຄົນມີດື່ັງນໍີ້: 63 76 98 82 87 84 78 74 68 75 52 86 77 87 70 67 77 79 92 92 81 77 40 60 94 70 81 82 81 78 67

70 60 88 46 81 77 83 76 70 61 ຂ້ໍັນຕອນຂອງການແຈກແຈງຄວາມຖມືີ່ ດີ ງ່ືັ ນ:ີໍ້ - ຊອກຫາຜນົ ລບົ ລະຫວາ່ ງຄະແນນສູງສຸດ ແລະ ຕືາ່ ສຸດແມນ່ 98 – 40 = 58 - ການດົ ຈານວນຫວ່າງຂອງຄະແນນໂດຍອີງຕາມຜນົ ລົບຂອງຄະແນນສ່ວນຫຼາຍຈະຈັດ ໃນຫວ່າງ 10 - 20 ຫວ່າງ, ເທືອ່ ນໍີ້ການົດເອົາ 12 ຫວາ່ ງ ສູດຊອກຫາຈານວນຫວ່າງ k  1 3.3 l g n k ຈານວນຊ້ໍັນ n ຈານວນຂມໍ້ ູນ ຊອກຫາຫວາ່ ງຄະແນນໂດຍໃຊ້ສດູ ຄະແນນສູງສດຸ - ຄະແນນຕາື່ ສຸດ i  58  4,83 5 12 ສ້າງຕາຕາລາງແຈກແຈງຄວາມຖື່ີດັືງ່ ນໍີ້: ຫວາ່ ງຄະແນນ ຈຸດເຄງິ່ື ກາງຂອງ ຈານວນເທອື່ ຂດີ ຄວາມຖ່ີື f ຄວາມຖສືີ່ ະສມົ ຫວາ່ ງ f 95 – 99 97 / 1 40 90 – 94 92 /// 3 39 85 – 89 87 //// 4 36 80 – 84 82 ///// /// 8 32 75 – 79 77 ///// ///// 10 24 70 – 74 72 ///// 5 14 65 – 69 67 // 29 60 – 64 62 //// 47 55 – 59 57 03 50 – 54 52 / 13 45 – 49 47 / 12 40 – 44 42 / 11  ຂຄໍ້ ວນລະວັງໃນການຈັດຫວາ່ ງຄະແນນ - ຄວາມກວ້າງຂອງຫວ່າງ i ຖ້າເປນັ ຈານວນເສດຄວນປັບໃຫເ້ ປນັ ຈານວນ ເຕັມສະເໝີ - ຄວາມກວາ້ ງຂອງຫວາ່ ງ i ຄວນໃຫເ້ ປັນຈານວນຄີກສະເໝີ  ການວັດທາ່ ອຽ່ ງຂອງຂມໍ້ ນູ  ຄາ່ ສະເລຍ່ ຄາ່ ສະເລຍ່ ແມນ່ ຜົນບວກທັງໝົດຂອງຂໍ້ມູນໃນຊຸດໜຶ່ືງໆຫານໃຫ້ຈານວນຂໍ້ມູນທັງໝົດໃນຊຸດດັື່ງກ່າວ. ຄາ່ ສະເລຍ່ ຂອງຕວົ ຢ່າງສນັ ຍາລັກດ້ວຍ X ແລະຄ່າສະເລ່ຍຂອງປະຊາກອນສັນຍາລັກດ້ວຍ  ການຊອກຫາຄ່າ ສະເລ່ຍມີ 2 ກລະນີ 68

ກ. ຄ່າສະເລຍ່ ສາລັບຂໍມ້ ນູ ດິບ ຖາ້ ໃຫຊ້ ຸດຂມ້ໍ ູນໜຶື່ງມີ N ຈານວນແລະໃຫ້ X1, X2, X3,..., Xn ແມ່ນບັນດາຄ່າຂໍ້ມູນໃນຊຸດນໍ້ີ ດງ່ືັ ນນ້ໍັ : n Xi X  X1  X2  X3 ... Xn  i  1 (1) NN ຕວົ ຢາ່ ງ1: ຈາກການສງັ ເກດອາຍໃຸ ຊ້ວຽກຂອງດອກໄຟຊະນິດໜຶງື່ ຈານວນ 5 ດອກດ່ືັງນ້ໍີ: (ຫວົ ໜ່ວຍ: ເດອນ) 15 18 16 17 18 ຈົືງ່ ຊອກຫາຄາ່ ສະເລ່ຍອາຍກຸ ານໃຊວ້ ຽກຂອງດອກໄຟຊະນິດດງັ່ື ກ່າວ ວທິ ແີ ກ:້ ຈາກສດູ (1) ຈະໄດ້ X  X1  X 2  X3  X 4  X5 N X  15 18 16 17 18  84 55 X  16,8 ດ່ັງື ນ້ໍນັ ຄ່າສະເລ່ຍອາຍຸການໃຊວ້ ຽກຂອງດອກໄຟຈານວນ 5 ດອກເທາື່ົ ກບັ 16,8 ເດອນ ຕົວຢ່າງ: ຈາກການຊ່ງືັ ນໍາ້ ໜກັ ນກັ ຮຽນຈານວນ 10 ຄົນປະກົດຜົນດືງັ່ ນໍີ:້ ( ຫວົ ໜ່ວຍ: ກິໂລກຣາມ) 50 51 55 61 55 58 60 52 56 62 ຈົື່ງຊອກຫານາ້ໍ ໜກັ ສະເລຍ່ ຂອງນກັ ຮຽນທັງໝົດ 10 ຄນົ ນ້ໍີ ວທິ ແີ ກ:້ ຈາກສູດ (1) X  X1  X 2  X3  ...  X10 ຈະໄດ້ 10 X  50  51 55  61 55  58  60  52  56  62   560 10 10 X  56 ດ່ືັງນັນ້ໍ ນາໍ້ ໜັກສະເລຍ່ ຂອງນກັ ຮຽນທັງ 10 ຄົນແມ່ນ 56 ກິໂລກຣາມ ຂ. ຄາ່ ສະເລ່ຍຂອງຂ້ມໍ ູນໃນຮບູ ແບບຕາຕາລາງຄວາມຖ່ີື ຖາ້ X1, X2, X3,..., Xn ເປນັ ຂໍມ້ ນູ ຄວາມຖີື່ f1, f2 , f3 ,..., fk k X fi X  X1 f1  X2 f2  X3 f3  ...  Xk fk  i  i ດງ່ືັ ນັນໍ້ 1 (2) NN N ແມ່ນຈານວນຂ້ໍມນູ ທັງໝດົ 69

k ແມນ່ ຈານວນຊນໍ້ັ Xi ແມ່ນເມັດກາງຂອງຊ້ັໍນທີ i f i ແມ່ນຄວາມຖ່ີຂື ອງຊ້ັນໍ ທີ i ຕົວຢາ່ ງ: ຈາກຜົນການສອບເສັງວຊິ າພູມສາດຂອງນັກສກຶ ສາຈານວນ 11 ຄນົ ມີດງັື່ ນໍ:້ີ ຕາຕາລາງ : ສະແດງຜນົ ການສອບເສັງ ຄະແນນ ຄວາມຖືີ່ 2 –4 1 5 –7 2 8 – 10 4 11 – 13 3 14 -16 1 ລວມ 11 ຈ່ືົງຊອກຫາຄ່າສະເລ່ຍຂອງຜນົ ການສອບເສັງມີເທື່າົ ໃດ ວິທີແກ:້ ສາ້ ງຕາຕາລາງທີື່ຕ້ອງໃຊໃ້ ນສູດ ຕາຕາລາງ: ສະແດງຄ່າຕາ່ ງໆທືໃ່ີ ຊ້ໃນສດູ ຄະແນນ ເມດັ ກາງ Xi ຄວາມຖີື່ f i Xi fi 2 –4 3 1 3 5 –7 6 2 8 – 10 9 4 12 11 – 13 12 3 1 36 N =11 36 14 -16 15 15 ລວມ 5 Xi fi  102 i  1 k X fi X  i 1 i ຈາກສູດ N ແທນເຂໍົ້າສູດຈະໄດ້ X  102  9,27 11 ດັື່ງນນ້ໍັ ຄາ່ ສະເລຍ່ ຂອງຜນົ ການສອບເສັງແມນ່ 9,27 ຕົວຢາ່ ງ4. ການຊັງ່ື ນາ້ໍ ໜັກຂອງນກັ ຮຽນກມຸ່ ໜ່ງຶື ຈານວນ 20 ຄນົ ມີດ່ງືັ ນ້ີໍ: (ຫວົ ໜ່ວຍ: ກິໂລກຣາມ) ຈົ່ືງຊອກຫາຄ່າ ສະເລຍ່ ຕາຕາລາງ: ສະແດງເຖິງນ້ໍາໜັກຂອງນັກຮຽນ ນາ້ໍ ໜກັ ເມດັ ກາງ Xi ຄວາມຖີື່ f i Xi fi 35 – 37 36 3 108 38 – 40 39 4 156 70

41 – 43 42 2 84 44 – 46 45 5 47 – 49 48 6 225 N =20 288 ລວມ 5 X fi  861 i  i 1 k X fi X  i  i ຈາກສູດ 1 N ແທນເຂາ້ໍົ ສູດຈະໄດ້ X  861  43,05 20 ດ່ງືັ ນນັໍ້ ຄ່າສະເລຍ່ ຂອງນໍ້າໜັກແມ່ນ 43,05 ຄ. ຄາ່ ສະເລ່ຍແບບຖວ່ ງນາ້ໍ ໜັກ ຖາ້ ຊດຸ ຂໍມ້ ນູ X1, X2, X3,..., Xk ມີຄ່າຖວ່ ງນ້າໍ ໜັກບເື່ ທົ່າື ກັນຄ w1, w2, w3,..., wk ຕາມລາດັບ ຈະໄດ້ຄ່າສະເລ່ຍຖ່ວງນາໍ້ ໜກັ ແມນ່ : ຕົວຢ່າງ5: ນກັ ສກຶ ສາຄົນໜຶື່ງ ມີຄະແນນກວດກາ ວິຊາສະຖິຕິ 3 ຄັໍ້ງໄດ້ 85, 76 ແລະ 82 ຕາມລາດັບ. ຄະແນນ ສອບເສັງກາງພາກໄດ້ 79 ແລະ ຄະແນນສອບເສັງທ້າຍພາກໄດ້ 87 ຖ້າວ່າອາຈານສອນໃຫ້ນ້ໍາໜັກຄະແນນ ສອບເສັງທ້າຍພາກເປັນສາມເທົື່າຂອງຄະແນນກວດກາ ແລະ ໃຫ້ຄະແນນສອບເສັງກາງພາກເປັນ 2 ເທົື່າຂອງ ຄະແນນກວດກາ. ຈ່ງົື ຊອກຫາຄະແນນສະເລຍ່ ຂອງຄະແນນສະເລ່ຍຂອງການສອບເສັງ ວິທີແກ:້ ວາງໃຫ້ X1 ແທນຄະແນນກວດກາຄງໍັ້ ທີໜ່ືຶງ 1 X 2 ແທນຄະແນນກວດກາຄງັໍ້ ທີສອງ 2 X3 ແທນຄະແນນກວດກາຄັໍງ້ ທີສາມ 3 X 4 ແທນຄະແນນສອບເສງັ ກາງພາກ X5 ແທນຄະແນນສອບເສັງທ້າຍພາກ w1, w2, w3 ແທນນາໍ້ ໜັກຄະແນນກວດກາ 3 ຄັງ້ໍ ຕາມລາດັບເຊ່ືິງ w1  w2  w3 1 w4 ແທນນໍາ້ ໜັກຂງຄະແນນສອບເສງັ ກາງພາກເຊ່ິືງ w4  2w1 w5 ແທນນາໍ້ ໜກັ ຂອງຂອງຄະແນນສອບເສັງທ້າຍພາກເຊື່ິງ w5  3w1 ຈາກສດູ (3)ເຮາົ ຈະໄດ້ Xw  X1w1  X2w2  X3w3  X4w4  X5w5 w1  w2  w3  w4  w5 X  85 1  76 1  821  79  2  87  3  662 8 w 111 23 X w  82,75 ດັງື່ ນໍ້ັນຄະແນນສະເລ່ຍຂອງນກັ ສຶກສາຄນົ ນເ້ີໍ ທ່າືົ 82,75 71

ງ. ການນາໃຊ້ຄາ່ ສະເລ່ຍ - ໃຊ້ອະທິບາຍຄວາມສາມາດຂອງກມຸ່ ນັກຮຽນວ່າມຄີ ວາມສາມາດສງູ ປານໃດ - ໃຊ້ເພ່ືອບອກລະດັບຄວາມຍາກ - ງ່າຍຂອງແບບທດົ ສອບ - ໃຊ້ປຽບທຽບຄວາມສາມາດລະຫວ່າງກຸ່ມນັກຮຽນເໝາະສາລັບໃຊ້ເກັບກາຂໍ້ມູນທີື່ມີການແຈກແຈງ ປກົ ກະຕິ 4. ຄາ່ ມດັ ທະຍະຖານ ຄ່າມັດທະຍະຖານຂອງຂມ້ໍ ນູ ຊຸດໜຶືງ່ ແມນ່ ຄາ່ ທ່ືີຢຕູ່ າແໜງ່ ເຄ່ືິງກາງຂອງຂ້ມໍ ນູ ຊດຸ ນັ້ໍນໂດຍ ການເອົາຂໍ້ມູນມາ ລຽງລາດບັ ແຕນ່ ້ອຍໄປຫາໃຫຍ່ ຫຼ ແຕ່ໃຫຍ່ມາຫານ້ອຍແລ້ວເອົາຄ່າທີ່ືຢູ່ຕາແໜ່ງເຄິື່ງກາງ. ສ່ວນຄ່າທີື່ໄດ້ຈະແບ່ງຂໍ້ ມູນອອກເປັນສອງສ່ວນຄ: ຄ່າສ່ວນທີ່ືນ້ອຍກວ່າຄ່າມັດທະຍະຖານ ແລະ ສ່ວນທີ່ືໃຫຍ່ກວ່າຄ່າມັດທະຍະຖານ. ການຊອກຫາຄ່າມດັ ທະຍະຖານມີຢູ່ 2 ກລະນຄີ : ກ. ການຊອກຄ່າມດັ ທະຍະຖານສາລັບຂ້ໍມນູ ດບິ ຖາ້ ຈານວນຂມໍ້ ູນເປັນຈານວນຄີກ ( N ເປັນເລກຄີກ) ຂັໍ້ນຕອນທີ 1 : ລຽງລາດບັ ຂມ້ໍ ູນແຕນ່ ອ້ ຍຫາໃຫຍ່ ຂັໍ້ນຕອນທີ 2 : ຄ່າມັດທະຍະຖານແມນ່ ຄ່າຂອງຂ້ມໍ ູນທືຢ່ີ ຕູ່ າແໜ່ງ N  1 ຫຼ ຕາແໜ່ງ 2 ເຄິງ່ື ກາງ ຖ້າຈານວນຂມໍ້ ນູ ເປັນຈານວນຄູ່ ( N ເປນັ ເລກຄູ່) ຂໍນ້ັ ຕອນທີ1: ລຽງລາດບັ ຂໍ້ມນູ ແຕ່ນອ້ ຍຫາໃຫຍ່ ຫຼ ແຕໃ່ ຫຍຫ່ ານອ້ ຍ N  2 ຫຼເປັນ ຂັ້ໍນຕອນທີ2: ຄ່າມັດທະຍະຖານແມ່ນຄ່າສະເລ່ຍລະຫວ່າງຂໍ້ມູນທີື່ຢູ່ຕາແໜ່ງ N ແລະ 2 2 ການນາເອາົ ຄາ່ ທ່ືີຢູ່ລະຫວາ່ ງຕາແໜ່ງເຄງ່ືິ ກາງທັງສອງຕົວມາບວກກັນແລ້ວຫານໃຫ2້ ຕົວຢ່າງ1: ຮ້ານອາຫານແຫ່ງໜຶື່ງໄດ້ບັນທຶກຈານວນລູກຄ້າທີ່ືເຂົ້ໍາມາຮັບປະທານອາຫານຄ່ືາເປັນຈານວນ 15 ວັນ ດັືງ່ ນີ:ໍ້ 40 52 55 38 40 48 56 56 60 37 58 63 46 50 61 ຈົື່ງຊອກຫາຄາ່ ມດັ ທະຍະຖານຂອງຈານວນລູກຄ້າທືີ່ເຂົໍາ້ ມາຮັບປະທານອາຫານຄາື່ ຢູ່ຮາ້ ນດ່ືງັ ກາ່ ວ ວິທແີ ກ້: ລຽງຂມໍ້ ນູ ຈາກນອ້ ຍໄປຫາໃຫຍ່ດັືງ່ ນ້ີໍ: ຕາແໜງ່ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ຂມໍ້ ນູ 37 38 40 40 46 48 50 52 55 56 56 58 60 61 63 ເນືອ່ ງຈາກ N =15 ເປນັ ເລກຄີກ ຈະໄດຕ້ າແໜງ່ ຂອງມັດທະຍະແມ່ນ N  1  15  1  8 22 ດັື່ງນ້ໍັນ ຄາ່ ມດັ ທະຍະຖານຂອງຈານວວນລກູ ຄ້າທືເ່ີ ຂົໍ້າມາຮັບປະທານອາຫານຄ່າື ແມນ່ 52 ຄົນ ຕົວຢ່າງ2: ຂໍ້ມູນລຸ່ມນີໍ້ແມ່ນນໍ້າໜັກຂອງເດັກນ້ອຍທີື່ເກີດໃໝ່ຈານວນ10ຄົນຈາກໂຮງໝແຫ່ງໜຶ່ືງມີດັື່ງນີໍ້: (ຫົວ ໜວ່ ຍ: ກໂິ ລກຣາມ) 3,0 3,6 2,8 3,6 3,5 4,0 3,5 4,5 3,7 3,1 ຈງົ ຊອກຄ່າມັດທະຍະຖານຂອງນ້າໍ ໜກັ ຂອງເດກັ ນອ້ ຍດ່ັືງກາ່ ວ ວິທີແກ້: ລຽງຂ້ໍມນູ ຈາກນອ້ ຍໄປຫາໃຫຍໄ່ ດດ້ ງື່ັ ນ:້ີໍ ຕາແໜ່ງ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ຂມໍ້ ນູ 2,8 3,0 3,1 3,5 3,5 3,6 3,6 3,7 4,0 4,5 ເນ່ອື ງຈາກ N  10 ເປັນເລກຄູ່ 72

ຈະໄດ້ຕາແໜ່ງຂອງມດັ ທະຍະຖານແມນ່ N  10  2 ແລະ N  2  12  6 25 22 ດັື່ງນນໍັ້ ຄ່າມດັ ທະຍະຖານຂອງນາໍ້ ໜັກເດກັ ນ້ອຍເກີດໃໝແ່ ມ່ນ 3,5  3,6  3,55 ກິໂລກຣາມ 2 ຕົວຢາ່ ງ3: ຈາກການສອບຖາມນັກຮຽນຂອງໂຮງຮຽນແຫ່ງໜຶື່ງຈານວນ 10 ຄົນທີ່ືຍ່າງມາ ໂຮງຮຽນໄດ້ຂ້ໍມູນດັ່ືງນີ້ໍ: (ຫົວໜວ່ ຍ: ແມັດ) 11 206 38 60 58 9 58 74 58 38 ຈ່ງືົ ຊອກຫາຄາ່ ມດັ ທະຍະຖານຂອງໄລຍະທາງທນ່ືີ ັກຮຽນທງັ 10 ຄນົ ນໍເ້ີ ດນີ ທາງເພ່ອື ມາໂຮງຮຽນ ວິທີແກ:້ ລຽງຂມ້ໍ ນູ ແຕໃ່ ຫຍຫ່ ານອ້ ຍໄດ້ ຕາແໜ່ງ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ຂມໍ້ ູນ 206 74 60 58 58 58 38 38 11 9 ເນ່ືອງຈາກ N =10 ເປັນເລກຄູ່ ຈະໄດ້ຕາແໜ່ງຂອງມັດທະຍະຖານແມ່ນ N  10  5 ແລະ N  2  12  6 22 22 ດງື່ັ ນໍັ້ນຄ່າມດັ ທະຍະຖານທີ່ືຊອກໄດແ້ ມນ່ 58  58  58 ແມດັ 2 ຂ. ການຊອກຫາຄາ່ ມດັ ທະຍະຖານສາລບັ ຂມໍ້ ນູ ໃນຮບູ ແບບຕາຕາລາງຄວາມຖ່ີື ໃນການຊອກຫາຄາ່ ມດັ ທະຍະຖານມີສູດຄິດໄລດ່ ືງ່ັ ນ:ີ້ໍ  N  F  (3) Med  L  I  2  f L ແມນ່ ເຂດຈາກດັ ເບ້ໍອງລຸມ່ ຂອງຊັ້ນໍ ທ່ີືມີມດັ ທະຍະຖານ F ແມນ່ ຄ່າຄວາມຖ່ືສີ ະສົມຊະນິດນ້ອຍກວ່າຊໍັນ້ ທ່ືີມມີ ດັ ທະຍະຖານໜຶ່ືງຊ້ໍັນ f ແມ່ນຄວາມຖ່ືຂີ ອງຊ້ໍນັ ທິືມ່ ມີ ດັ ທະຍະຖານ I ແມນ່ ຄວາມກວ້ າງຂອງຊ້ັໍນທືມີ່ ີມດັ ທະຍະຖານ ຕວົ ຢາ່ ງ: ຂໍ້ມູນໃນຕາຕາລາງລຸມ່ ນແ້ໍີ ມ່ນຄະແນນສອບເສງັ ກາງພາກວິຊາສະຖິຕິຂອງນັກສຶກສາໃນມະຫາວິທະຍາໄລ ແຫ່ງໜື່ຶງຈານວນ 65 ຄນົ (ຄະແນນ 25%) ຕາຕາລາງ: ສະແດງຄະແນນສອບເສງັ ກາງພາກຂອງນກັ ສຶກສາ ຊ່ວງຄະແນນ ຈານວນນກັ ສກຶ ສາ ໜອ້ ຍກວາ່ 5 4 5-7 5 8 –- 10 9 11 -– 13 12 14 –- 16 18 17 -– 19 13 20 –- 22 3 ຫາຼ ຍກວາ່ 22 1 ຈື່ງົ ຊອກຫາຄາ່ ມັດທະຍະຖານຂອງຂ້ມໍ ູນດື່ງັ ກ່າວ ວທິ ແີ ກ້: 73

 N  F  ຈາກສດູ Med  L  I  2  f ຕາຕາລາງ -ຊວ່ ງຄະແນນ ຈານວນນກັ ສກຶ ສາ ຄວາມຖສື່ີ ະສມົ ຊະນດິ ນອ້ ຍ ຊໍັ້ນ k ( fi ) ກວາ່ (f) (ຂດີ ຈາກດັ ) 4 4 1 5 9 2 ໜ້ອຍກວາ່ 5 9 18 3 5 –7 12 30 4 8 – 10 18 5 13 48 ຊ້ນັໍ ທ່ືີມີ Med 6 11 – 13 3 61 7 14 – 16 1 64 8 17 – 19 65 20 – 22 ຫາຼ ຍກວ່ າ 22 ຊອກຄ່າ N  65  32,5 ແລ້ວສັງເກດເບິື່ງວ່າຊັ້ໍນໃດແມ່ນຊັ້ໍນທາອິດທີື່ມີຄວາມຖີ່ືສະສົມຫຼາຍກວ່າ 32,5 ຈະ 22 ແມນ່ ຊ້ໍນັ ທີມ່ື ີມັດທະຍະຖານເຊ່ິືງໃນນໍແີ້ ມ່ນຊໍັ້ນທີ 5 ມີຄວາມຖ່ສືີ ະສົມແມນ່ 48 ໃນນັ້ໍນ L  13  14 13,5ແມນ່ ຂອບເຂດຈາກັດເບອ້ໍ ງລຸ່ມຂອງຊໍັ້ນທມື່ີ ມີ ດັ ທະຍະຖານ 2 ສ່ວນຂອບເຂດຈາກັດເບໍອ້ ງເທງິ ຂອງຊໍັ້ນທ່ມືີ ມີ ັດທະຍະຖານເທາົື່ 16 17  16,5 2 I ແມ່ນຂອບເຂດຈາກັດເບ້ອໍ ງເທິງຂອງຊັ້ໍນທມ່ືີ ີ Med - ຂອບເຂດຈາກດັ ເບອໍ້ ງລຸ່ມຂອງຊ້ໍັນທືມ່ີ ີ Med I  16,5  13,5  3 F  30 f  18 ຈາກສູດ Med  LI  N  F   13,5  3 (32,5  30) 2  18 f Med  13,92 ດັື່ງນັໍ້ນ ຄະແນນມັດທະຍະຖານຂອງນັກສກຶ ສາຈານວນ 65 ຄນົ ນໍແ້ີ ມນ່ 13,92 ຕວົ ຢາ່ ງ2: ຈ່ົງື ຊອກຫາຄ່າ Med ຈາກຕາຕາລາງຄວາມຖື່ີທື່ກີ ານດົ ໃຫໃ້ ນຕາຕາລາງ6 ຕາຕາລາງ: ສະແດງຄະແນນຂອງນກັ ຮຽນ (ຄະແນນສ່ວນ 50) ຊ້ໍັນທີ ຄະແນນ ຄວາມຖ່ີື f i ຄວາມຖສີື່ ະສມົ ຊະນດິ ນອ້ ຍ F 1 25 – 29 4 4 9 2 30 – 34 5 16 ຊນັໍ້ ທ່ມີື ີ Med 19 3 35 – 39 7 20 4 40 – 44 3 5 45 - 49 1 74

ວທິ ີແກ:້ ຊອກຄາ່ N  20 10 ສງັ ເກດເບ່ງືິ ວາ່ ຊ້ນໍັ ໃດແມ່ນຊໍ້ນັ ທາອິດທ່ືີມີຄວາມຖືສີ່ ະສົມ I  39,5 22 F 9 f 7 ຫຼາຍກວ່າ 10 ຈະແມນ່ ຊັ້ນໍ ທືີມ່ ມີ ັດທະຍະຖານ. ໃນນໍແ້ີ ມນ່ ຊັໍ້ນທີ 3 ມຄີ ວາມຖສ່ືີ ະສົມແມ່ນ 16 ດງ່ັື ນ້ັໍນ: L  34  35  34,5 ແມນ່ ຂອບເຂດຈາກັດເບອ້ໍ ງລຸ່ມຂອງຊໍນັ້ ມັດທະຍະຖານເທົາ່ື 2 39  40  39,5 2 I = ຂອບເຂດຈາກັດເບໍ້ອງເທິງຂອງຊໍັ້ນທມືີ່ ີ Med ຂອບເຂດຈາກດັ ເບ້ໍອງລມຸ່ ຂອງຊ້ັນໍ ທມ່ີື ີ Med ຈາກສດູ Med  LI  N  F   34,5  5 (10  9) 2  7 f Med  35,2 ດ່ືັງນັໍ້ນມັດທະຍະຖານຂອງຂມ້ໍ ູນຊຸດນີ້ໍແມ່ນ 35,2 5. ຄາ່ ຖານນິຍມົ ຄ່າຖານນິຍົມຂອງຂໍ້ມູນຊຸດໜຶື່ງແມ່ນຄ່າຂ້ໍມູນທີື່ມີຄວາມຖີ່ືສູງສຸດໃນຊຸດຂໍ້ມູນຊຸດນັ້ໍນ ແລະ ສັນຍະລັກດ້ວຍ Mod ການຊອກຫາຄາ່ ຖານນິຍົມມີວທິ ກີ ານຊອກຢູ່ 2 ວິທີຕາມແຕລ່ ະກລະນລີ ່ມຸ ນໍ້:ີ ກ. ການຊອກຫາຄ່າຖານນິຍມົ ສາລັບຂໍ້ມູນດບິ ຄາ່ ຖານນິຍົມຂອງຂ້ໍມູນຊຸດໜຶື່ງແມ່ນຄ່າທີ່ືກີດຂຶ້ໍນຊ້ໍາກັນຫຼາຍກ່ວາໝູ່ໃນຂໍ້ມູນຊຸດນັ້ໍນ. ເຊິ່ືງຂ້ໍມູນຊຸດໜຶ່ືງ ຈະ ມຄີ ່າຖານນິຍມົ 1 ຄ່າ ຫຼ ຫຼາຍກວ່າ 1 ຄາ່ື ຫຼ ອາດຈະບມື່ ີຄ່າຖານນຍິ ມົ ກ່ໄື ດ້ ຕວົ ຢາ່ ງ1: ຊດຸ ຂໍ້ມນູ : 1 2 3 1 1 6 5 41 4 43 ຖານນຍິ ົມຂອງຂ້ມໍ ນູ ຊດຸ ນີໍ້ແມ່ນ 1 ຍ້ອນວ່າ 1 ເປັນຕົວເລກທ່ີເື ກດີ ຂໍຶ້ນຊ້ໍາກັນຫາຼ ຍທີ່ືສດຸ ຄປາກດົ ມີ 4 ຄງ້ັໍ Mod =1 ຖາ້ ຂມ້ໍ ູນຈດຸ ໜງຶື່ ບ່ືມີຄ່າຊໍ້າກນັ ຫຼ ມຄີ າ່ ຊາໍ້ ກນັ ແຕ່ວາ່ ມຈີ ານວນຊ້ໍາກນັ ເທື່າົ ກັນໝດົ ທກຸ ຊຸດຈະບືມ່ ີຖານນຍິ ມົ ຕວົ ຢາ່ ງ2: ຂໍ້ມນູ ຊດຸ 1: 5 6789 ຂໍ້ມູນຊຸດ 2: 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 ຂມໍ້ ນູ ທງັ ສອງຊດຸ ນແ້ໍີ ມນ່ ບມື່ ຖີ ານນຍິ ມົ ຕົວຢາ່ ງ3: ຊຸດຂມໍ້ ູນ: 4 5 5 67 8 89 ຂ. ການຊອກຄ່າື ຖານນິຍມົ ສາລບັ ຂໍມ້ ູນໃນຮບູ ແບບຕາຕາລາງຄວາມຖີື່ ໝາຍເຫດ: ຊ້ັນໍ ທືມ່ີ ີຖານນຍິ ມົ ແມນ່ ຊັໍນ້ ທືີ່ມຄີ ວາມຖສ່ີື ງູ ກວ່າໝູ່ ການຊອກຫາຄາ່ ຖານນຍິ ົມສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ຈາກສດູ Mod  L  I 1 1  2 L ແມ່ນຂອບເຂດຈາກດັ ເບອ້ໍ ງລຸ່ມຂອງຊໍັ້ນທືມ່ີ ີຖານນິຍມົ I ແມນ່ ຄວາມກວາ້ ງຂອງຊ້ນັໍ ທ່ືີມຖີ ານນິຍົມ 1 ແມ່ນຜົນລົບລະຫວ່າງຄວາມຖີຂື່ ອງຊໍ້ນັ ທ່ີືມຖີ ານນິຍົມກັບຄວາມຖຂືີ່ ອງຊັ້ໍນກອ່ ນຊນັໍ້ ທີືມ່ ຖີ ານນຍິ ົມໜືຶ່ງຊໍ້ັນ  2 ແມ່ນຜນົ ຕ່າງຄວາມຖື່ີຂອງຊ້ໍັນທ່ີືມີຖານນິຍມົ ກັບຄວາມຖີ່ຂື ອງຊໍນ້ັ ຫຼງັ ຊັນ້ໍ ທີ່ມື ີ ຖານນຍິ ມົ ໜຶງ່ື ຊັນ້ໍ 75

ຕົວຢ່າງ4: ຈາກການວັດແທກລວງສູງຂອງນັກສຶກສາຈານວນ 50 ຄົນ ແລະ ໄດ້ຂໍ້ມູນດັ່ືງຕາຕາລາງລຸ່ມນີ້ໍ: (ຫົວ ໜວ່ ຍ: ຊັງຕີແມັດ). ຈື່ງົ ຊອກຫາຄ່າຖານນຍິ ົມ ຕາຕາລາງ: ສະແດງລວງສງູ ຂອງນັກສຶກສາ ຊັນ້ໍ ທີ ລວງສງູ (ຊງັ ຕແີ ມດັ ) ຄວາມຖື່ີ 1 140 – 144 3 2 145 – 149 6 3 150 – 154 10 4 155 – 159 12ແມ່ນຊໍັ້ນທີື່ມີ Mod 5 160 – 164 8 6 165 – 169 7 7 170 - 174 4 ລວມ N =50 ວທິ ີແກ:້ ຈາກຕາຕາລາງຊັໍ້ນທມ່ືີ ຄີ ວາມຖືີສ່ ູງສດຸ ແມ່ນຊ້ນັໍ ທີ 4 ຈາກສູດ Mod  L  I  1 1      2  ຂອບເຂດເບ້ອໍ ງລມຸ່ ຂອງຊໍນ້ັ ທີ່ມື ີຖານນິຍົມ L  154  155 154,5 2 ຂອບເຂດເບ້ອໍ ງເທງິ ຂອງຊັ້ໍນທ່ີືມຖີ ານນິຍົມ L  159 160  194,5 2 I  159,5  154,5  5 1  12  10  2  2  12  2  4 ແທນຄາ່ Mod  154,5  5 2  24 Mod  156,16 ດ່ືັງນນໍັ້ ຄ່າຖານນິຍມົ ຂອງລວງສງູ ນກັ ສຶກສາຈານວນ 50 ຄນົ ແມນ່ 156,16 ຊັງຕແີ ມັດ ຕວົ ຢ່າງ5: ຕາຕາລາງນ້ີໍແມ່ນຕາຕາລາງສອບເສັງວຊິ າຄະນິດສາດຂອງນັກສຶກສາຈານວນ 40 ຄົນ ຕາຕາລາງ: ສະແດງເຖງິ ຄະແນນສອບເສັງຂອງນັກສຶກສາ ຊັ້ໍນທີ ຂອບເຂດຈາກດັ ຄວາມຖີື່ 1 55,5 – 61,5 4 2 61,5 – 67,5 5 3 67,5 – 73,5 8 4 73,5 – 79,5 11ແມ່ນຊ້ໍັນທ່ມືີ ີ Mod 5 79,5 – 85,5 4 6 85,5 – 91,5 4 7 91,5 – 97,5 4 ລວມ N =40 ວິທີແກ:້ ຈາກຕາຕາລາງ9. ຊັໍ້ນທີມ່ື ຄີ ວາມຖືີ່ສູງສຸດແມ່ນຊັໍ້ນທີ 4 ຈາກສູດ Mod  L  I  1 1      2  76

L  73,5 I  79,5  73,5  6 1  11  8  3  2  11  4  4 ແທນຄ່າເຂ້າໍົ ຈະໄດ້ Mod  73,5  6 3  37 Mod  73,5 1,8 Mod  75,3 ດືັ່ງນັ້ໍນຖານນິຍມົ ຂອງຄະແນນສອບເສັງວິຊາຄະນິດສາດເທົາື່ ກບັ 75,3 ຄະແນນ ບດົ ເຝກິ ຫດັ 1. ຖາ້ ຈານວນນັກສກຶ ສາໃນໂຮງຮຽນໃນວທິ ະຍາໄລແຫ່ງໜງ່ື ໂດຍແຍກສາຍຮຽນມີດງັື່ ນ້ີໍ: ສາຍວທິ ະຍາສາດທາມະຊາດ 40 ຄນົ ຍິງ 15ວທິ ະຍາສາດສັງຄມົ 100 ຄນົ ຍງິ 60ພາສາຕາ່ ງປະເທດ70ຄົນ ຍິງ 30ປະຖົມ - ອະນຸບານ100 ຄົນຍິງ 75 2. ຄະແນນສອບເສັງວິຊາໜງື່ ຂອງຂອງນັກຮຽນ 20 ຄົນໃນຫອ້ ງ ນັກຮຽນຜູ້ທື່ີ : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ຄະແນນ : 5 6 4 7 8 8 9 10 7 3 4 ຄະແນນຜທູ້ ີ : 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ຄະແນນ : 7 6 4 5 8 4 7 5 5 ຈ່ືົງຊອກຄາ່ ມັດຖະຍະຖານຂ້ໍມນູ ຊຸດນພ້ໍີ ອ້ ມທງັ ໃຫຄ້ ວາມໝາຍຄ່າທ່ືີໃຫມ້ າ 3. ໃຫຂ້ ມ້ ນູ 3 ຊຸດ ກ 10 6 5 8 9 10 6 10 7 8 ຂ 8 4 2 10 7 6 1 5 9 3 ຄ 4 7 5 9 8 10 6 7 8 5 4. ຖາ້ ຈານວນນກັ ສກຶ ສາໃນໂຮງຮຽນໃນວິທະຍາໄລແຫງ່ ໜື່ງໂດຍແຍກສາຍຮຽນມີດືັງ່ ນ້ໍີ: ສາຍວທິ ະຍາສາດທາມະຊາດ 40 ຄົນຍງິ 15 ວທິ ະຍາສາດສັງຄມົ 100 ຄນົ ຍິງ 60 ພາສາຕ່າງປະເທດ70ຄົນຍິງ 30 ປະຖົມ - ອະນຸບານ 100 ຄນົ ຍງິ 75 5. ຄະແນນສອບເສັງວິຊາໜືງ່ ຂອງຂອງນກັ ຮຽນ 20 ຄົນໃນຫອ້ ງ ນັກຮຽນຜູ້ທື່ີ : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ຄະແນນ : 5 6 4 7 8 8 9 10 7 3 4 ຄະແນນຜທູ້ ີ : 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ຄະແນນ : 7 6 4 5 8 4 7 5 5 6. ຈົື່ງຊອກຄ່າມັດຖະຍະຖານຂ້ໍມູນຊດຸ ນພໍ້ີ ອ້ ມທງັ ໃຫຄ້ ວາມໝາຍຄ່າທື່ີໃຫມ້ າ ໃຫຂ້ ມ້ ູນ 3 ຊຸດ ກ 10 6 5 8 9 10 6 10 7 8 ຂ 8 4 2 10 7 6 1 5 9 3 ຄ 4 7 5 9 8 10 6 7 8 5 77