بحث الرياضيات الباب الثاني

1

‫المستقيمان والقاطع‬ ‫التوازي والتخالف ‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫حدد كًال مما يأتي مستعمًال قطعة الجبن في الكل المجاور‪:‬‬ ‫‪ )a‬جميع القطع المستقيمة التي توازي ‪.JP‬‬ ‫‪KQ , LR‬‬ ‫‪ )b‬جميع القطع التي تخالف ‪.KL‬‬ ‫‪JP , PQ , PR‬‬ ‫‪ )c‬مستوى يوازي المستوى ‪.PQR‬‬ ‫المستوى ‪ JKL‬هو المستوى الوحيد الموازي للمستوى ‪.PQR‬‬ ‫‪2‬‬

‫القاطع ‪ :‬هو المستقيم الذي يقطع مستقيمين أو أكثر في المستوى نفسه وفي نقاط مختلفة‪.‬‬ ‫علاقات أزواج الزوايا الناتجة عن القاطع ‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫صنف كل زوج من الزوايا الآتية ‪:‬‬ ‫‪ ∠5 )a‬و‪∠1‬‬ ‫متبادلتان خارج ًيا‬ ‫‪ ∠7 )b‬و‪∠6‬‬ ‫متحالفتان‬ ‫‪ ∠4 )c‬و‪∠2‬‬ ‫متناظرتان‬ ‫‪ ∠6 )d‬و‪∠2‬‬ ‫متبادلتان داخليًا‬ ‫‪3‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫استعمل صورة تقاطع سكك القطار المجاورة؛ لتحدد القاطع الذي يصل بين كل زوج من الزوايا‬ ‫الآتية‪ ،‬ثم صنف كل زوج من الزوايا ‪:‬‬ ‫‪∠1 )a‬و‪∠3‬‬ ‫القاطع الذي يصل بين ‪ ∠1‬و‪ ∠3‬هو المستقيم ‪ .h‬وهما متبادلتان خارجيًا ‪.‬‬ ‫‪ ∠5 )b‬و‪∠6‬‬ ‫القاطع الذي يصل بين‪ ∠6‬و‪ ∠2‬هو المستقيم ‪ .k‬وهما متحالفتان ‪.‬‬ ‫‪4‬‬

‫الزوايا والمستقيمات المتوازية‬ ‫مسلمة الزاويتين المتناظرتين‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫في الشكل المجاور ‪ .m∠5 = 72° :‬أوجد قياس كل من الزاويتين الآتيتين ‪:‬‬ ‫‪∠4 )a‬‬ ‫‪∠4 ≡∠5‬‬ ‫‪m∠4 = m∠5‬‬ ‫‪m∠4 = 72°‬‬ ‫‪∠2 )b‬‬ ‫‪∠4 ≡∠2‬‬ ‫‪∠5 ≡∠4‬‬ ‫‪∠5 ≡∠2‬‬ ‫‪m∠5 = m∠2‬‬ ‫‪∠2 = 72°‬‬ ‫‪5‬‬

‫المستقيمان المتوازيان وأزواج الزوايا ‪:‬‬ ‫نظرية الزاويتين المتبادلتين داخليًا ‪:‬‬ ‫‪6‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫استعمل الشكل المجاور لإيجاد قيم المتغيرات فيما يأتي ‪:‬‬ ‫‪ )a‬إذا كان‪ ،, m∠7 = (5x − 13)°m∠2 = (4x + 7)°‬فأوجد قيمة ‪. x‬‬ ‫‪∠2 ≡ ∠7‬‬ ‫‪m∠2 = m∠7‬‬ ‫‪4x + 7 = 5x − 13‬‬ ‫‪4x − 5x = −13 −7‬‬ ‫‪− x = −20‬‬ ‫‪x = 20‬‬ ‫‪ )b‬إذا كان ‪ ،m∠5 = 68° , m∠3 = (3y – 2)°‬فأوجد قيمة ‪.y‬‬ ‫‪m∠5 + m∠3 = 180‬‬ ‫‪68 + 3y – 2 = 180‬‬ ‫‪66 + 3y = 180‬‬ ‫‪3y = 114‬‬ ‫‪y = 38‬‬ ‫نظرية القاطع العمودي ‪:‬‬ ‫‪7‬‬

‫إثبات توازي مستقيمين‬ ‫عكس مسلمة الزاويتين المتناظرتين ‪:‬‬ ‫مسلمة التوازي ‪:‬‬ ‫نظريات ‪:‬‬ ‫‪8‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫استخدم الشكل المجاور‪ ،‬ثم اذكر المسلمة أو النظرية التي تناسب كل زوج من الزوايا مما‬ ‫يأتي‪:‬‬ ‫‪∠2 ≡ ∠8 )A‬‬ ‫عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين داخلياا‬ ‫‪∠3 ≡ ∠11 )B‬‬ ‫عكس نظرية القاطع العمودي‬ ‫‪∠12 ≡ ∠14 )C‬‬ ‫عكس نظرية الزاويتين المتبادلتين خارج ايا‬ ‫‪∠1 ≡ ∠15 )D‬‬ ‫لا يوجد لها حل‬ ‫‪m∠8+m∠13 = 180°)E‬‬ ‫عكس نظرية الزاويتين المتحالفتين‬ ‫‪∠8 ≡ ∠6 )F‬‬ ‫لا يوجد لها حل‬ ‫‪9‬‬

‫ميل المستقيم‬ ‫ميل المستقيم ‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫أوجد ميل مستقيم فيما يأتي‪:‬‬ ‫‪ )A‬المستقيم الذي يحتوي على )‪.(6,−2),(−3,−5‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫ميل موجب‬ ‫‪ )B‬المستقيم الذي يحتوي على )‪.(8,−3),(−6,−2‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫ميل سالب‬ ‫‪10‬‬

‫‪ )C‬المستقيم الذي يحتوي على )‪.(4,2),(4,−3‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫ميل غير معرف‬ ‫‪ )D‬المستقيم الذي يحتوي على )‪.(−3,3),(4,3‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫الميل صفر‬ ‫حالات الميل ‪:‬‬ ‫‪11‬‬

‫المستقيمات المتوازية والمستقيمات المتعامدة ‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫حدد ما إذا كان ‪ AB , CD‬متوازيين أو متعامدين أو غير ذلك إذا كانت ‪A(1,1), B(−1,−5),‬‬ ‫)‪.C(3,2), D(6,1‬‬ ‫ميل ‪: AB‬‬ ‫ميل ‪: CD‬‬ ‫بما أن ميلي المستقيم غير متساويين فهما غير متوازيين‪ .‬حدد إذا كانا متعامدين أم لا‪ ،‬أوجد‬ ‫ناتج ضرب ميليهما‪.‬‬ ‫‪3(− ) = −1‬‬ ‫بما أن حاصل ضرب الميلين يساوي ‪ −1‬إذن هما متعامدان ‪.‬‬ ‫‪12‬‬

‫صيغ معادلة المستقيم‬ ‫معادلة المستقيم غير الرأسي ‪:‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم الذي ميله ‪ ،3‬ومقطع المحور ‪ y‬له‪. −2‬‬ ‫‪Y = mx + b‬‬ ‫)‪y = 3x + (−2‬‬ ‫‪y = 3x – 2‬‬ ‫مثال‪:‬‬ ‫اكتب بصيغة الميل ونقطة معادلة المستقيم الذي ميله ‪ ، −‬ويمر بالنقطة )‪.(−2, 5‬‬ ‫)‪y− y1 = m(x – x1‬‬ ‫[)‪y – 5 = − ]x – (−2‬‬ ‫)‪y – 5 = − (x + 2‬‬ ‫‪13‬‬

‫مثال‪:‬‬ ‫اكتب بصيغة الميل والمقطع معادلة المستقيم المار بالنقطتين )‪.(0, 3), (−2, −1‬‬ ‫=‪m‬‬ ‫‪y = mx + b‬‬ ‫‪y = 2x + 3‬‬ ‫معادلات المستقيمات الأفقية أو الرأسية ‪:‬‬ ‫‪14‬‬

‫الأعمدة والمسافة‬ ‫البعد بين نقطة ومستقيم ‪:‬‬ ‫البعد بين مستقيم متوازيين ‪:‬‬ ‫‪15‬‬

‫مسلمة التعامد ‪:‬‬ ‫المستقيمان المتساويا البعد عن المستقيم الثالث ‪:‬‬ ‫‪16‬‬