ຄູ່ມືສະຖິຕິ ພື້ນຖານ1

ຂໄ໣ຓຌູ ຅າກກ່ຓຸ ຎະຆາກບຌ  q  qfjX 2  q fk Xk  2  fj Xj  2 j  j 1 N  j 1   . 2.  j 1 ; ນືົ     N N  ຉທ຺ ດາ່ ຄ. ຅າກຂໄ໣ຓູຌຖາງປຍັ ຎະຆາກບຌ 180 ຃຺ຌ ຂໟາຄຽ຋ິຄ ຽປ຺າຓີ ຃ໞາ຃ທາຓຏຌັ ຎ່ຼຌ຾ຓຌ່ :  2  52.5 ຈັຄໃ ຌໄຌັ ,຃ໞາຏັຌຎ່ຼຌຓາຈຉະຊາຌ຾ຓ່ຌ:     2  52.5  7.25    7.25 2.5.3 ກາຌທັຈ຃າໞ ຃ທາຓຽຍ້ (Measures of Skewness) ຌ຺ຍຑະຑບຌ ຋ະຌັຌແຆ (2009) ຌິງາຓທໞາ: ຂ໣ໄຓູຌ຋ີໃຓີກາຌ຅ັຈ຾຅ຄຘ຺ຓຘໞທຌຌັໄຌ ຃ໞາຘະຽຖ່ງ, ຃ໞາ ຊາຌຌງິ ຺ຓ ຾ຖະ ຃າໞ ຓຈັ ຊະງະຊາຌ຅ະຽ຋຺ໃາກັຌ ຘໞທຌຂ໣ໄຓູຌ຋ີໃຓີກາຌ຅ັຈ຾຅ຄຍ໣ໃຘ຺ຓຘໞທຌ ຾ຓ່ຌຽຍ້ແຎ຋າຄເຈ ຋າຄໜໃຶຄ ຊາໟ ຂຓໄ໣ ຌູ ຘໞທຌເນງໞຓີ຃ໞາຌໟບງ ນົື ຂ໣ໄຓູຌຘໞທຌເນງໞດູ່ຈໟາຌຆາງຓືຂບຄກາຌ຅ັຈ຾຅ຄ ຖັກຘະຌະ຾ຍຍຌີໄ ຽບີໄຌທໞາ ຽຍ້ຂທາ ຓີ຃ໞາທັຈ຃ທາຓຽຍ້ຽຎັຌຍທກ (Positively Skewed)ຈັໃຄປູຍ຋ີ 15 ຾ຉ່ຊໟາຂ໣ໄຓູຌຘໞທຌເນງໞ ຓີ຃ໞານົາງ ດູ່ຈໟາຌຂທາຓືຂບຄກາຌ຅ັຈ຾຅ຄ ຅ະຽບີໄຌທໞາຽຍ້ຆໟາງ ຓີ຃ໞາທັຈ຃ທາຓຽຍ້ຽຎັຌຖ຺ຍ (Negatively Skewed)ຈໃຄັ ປຍູ 16, 5 4 3 2 1 0 13579 88 66 44 22 00 13579 13579 ປູຍ຋ີ 16. ຘະ຾ຈຄ຃ທາຓຘາ໣ ຑຌັ ຖະນທາໞ ຄ຃ໞາ຃ທາຓຽຍ຾້ ຖະ ຃ທາຓ຿ຈ່ຄຂບຄຂໄຓ໣ ຌູ 43

ກາຌ຃໣າຌທຌ຃ໞາ຃ທາຓຽຍ້ ຾ຖະ ຃ທາຓ຿ຈ່ຄ ຓີນົາງທິ຋ີ຾ຉ່ເຌ຋ີໃຌີໄ຾ຓ່ຌ຅ະແຈ້ຌ໣າເຆ້ທິ຋ີຂບຄ ຿຅ ຽຕຘ຃ບ໠ ກຽຆິຄໃ ຓີຘູຈ຃ຈິ ແຖຈ່ ໃັຄຌໄ:ີ n n (i  )3 i 1 Sk  n  2s3  1n ຃າໞ ຃ທາຓຽຍ້ ຃ໞາຉ຺ທຎ່ຼຌ ̅ ຃ໞາຘະຽຖ່ງ ຃ໞາຏັຌຎຼ່ ຌຓາຈຉະຊາຌ ຅າ໣ ຌທຌຂ໣ໄຓຌູ ຋ຄັ ໝ຺ຈ 2.5.4 ກາຌທັຈ຃ໞາ຃ທາຓ຿ຈ່ຄ (Measures of Kurtosis) ຾ຓຌ່ ຃ທາຓຘູຄຂບຄຽຘໄຌັ ຿຃ຄ້ ຓີກາຌ຅ຈັ ຾຅ຄຘຄູ ຿ຈ່ຄ ນົື ປາຍຑຼຄ ຃ທາຓ຿ຈ່ຄຂບຄຽຘັໄຌ຿຃້ຄຓີກາຌ຅ັຈ຾຅ຄ ຘາຓຖກັ ຘະຌະ຃:ື - ກາຌ຅ັຈ຾຅ຄຓີຖັກຘະຌະຽຘຌໄັ ຿຃້ຄຎກ຺ ະຉິ(Mesokurtic) - ກາຌ຅ັຈ຾຅ຄຓຖີ ັກຘະຌະປາຍຑຼຄ (Platykurtic) - ກາຌ຅ັຈ຾຅ຄຓີຖັກຘະຌະຘຄູ (Leptokurtic) ກາຌ຃໣າຌທຌ຃ໞາ຃ທາຓ຿ຈ່ຄຓີນົາງທ຋ິ ຾ີ ຉ່ເຌ຋ຌໃີ ີໄ຾ຓຌ່ ຅ະແຈ້ຌາ໣ ເຆ້ທ຋ິ ຂີ ບຄ ຿຅ຽຕຘ຃໠ບກຽຆຄໃິ ຓີຘູຈ n(n 1) n  n  2 n 1 i 1 3 i 1   ຃ຈິ ແຖ່ຈຄໃັ ຌ:ີໄ (i  )4  i   2 Ku  n  2n  3s4 ຃ໞາ຃ທາຓ຿ຈຄ່ ຃ໞາຉ຺ທຎ່ຼຌ ̅ ຃າໞ ຘະຽຖງ່ ຃າໞ ຏຌັ ຎຼ່ ຌຓາຈຉະຊາຌ ຅າ໣ ຌທຌຂ໣ໄຓຌູ ຋ຄັ ໝ຺ຈ 44

ຉທ຺ ດາ່ ຄ. ກາຌ຃໣າຌທຌ຃ໞາ຃ທາຓຽຍ້ ຾ຖະ ຃ທາຓ຿ຈ່ຄຂບຄຂໄ໣ຓຌູ 3 ຆຸຈ຃ື x1 x2 x3 111 133 333 335 335 535 535 557 557 757 757 777 977 999 ຃າ໣ ຌທຌນາ຃າໞ ຘະຊຉິ ຑິ ຌໄື ຊາຌ ຂບຄຂ໣ໄຓຌູ ຋ັຄ 3ຆຸຈຈທໟ ງ Microsoft excel ຃:ື Xi x1; x2; x3; Mean = 5,00; 4,43; 5,57; Median= 5,00; 4,00; 6,00; Mode = 5,00; 3,00; 7,00; Kurtosis= -0,85; 0,19; 0,19; Skewness= 0,00; 0,67; -0,67; ຅າກຏ຺ຌແຈ້ປຍັ ຅ະຘະ຾ຈຄ຃ທາຓຽຍ້ ຾ຖະ ຃ທາຓ຿ຈຄ່ ຈທໟ ງຽຘັໄຌ ກົາຒຈໃັຄຈ:ີໄ ຅າກຂໄຓ໣ ຌູ ຆຸຈ 1 ຽປ຺າແຈ້຃ໞາຘະຊິຉຈິ ຄັໃ ຌໄີ: Xi x1; Mean = 5,00; Median= 5,00; Mode = 5,00; Kurtosis= -0,85; Skewness= 0,00; 45

ປຍູ ຋ີ 16. ຘະ຾ຈຄ຃ທາຓ ຃າໞ ຃ທາຓຽຍ້ ຾ຖະ ຃ທາຓ຿ຈ່ຄຂບຄຂ໣ໄຓູຌຆຸຈ 1(X1) ຅າກຂ໣ຓໄ ຌູ ຆຸຈ 2 ຽປ຺າແຈ້຃າໞ ຘະຊິຉິຈັຄໃ ຌ:ໄີ Xi x2; Mean = 4,43; Median= 4,00; Mode = 3,00; Kurtosis= 0,19; Skewness= 0,67; ປູຍ຋ີ 17. ຘະ຾ຈຄ຃ທາຓ ຃ໞາ຃ທາຓຽຍ້ ຾ຖະ ຃ທາຓ຿ຈ່ຄຂບຄຂຓໄ໣ ຌູ ຆຸຈ 2(X2) 46

຅າກຂຓໄ໣ ຌູ ຆຈຸ 3 ຽປ຺າແຈ້຃າໞ ຘະຊິຉິຈັໃຄຌໄີ: Xi x3; Mean = 5,57; Median= 6,00; Mode = 7,00; Kurtosis= 0,19; Skewness= -0,67; ປູຍ຋ີ 18. ຘະ຾ຈຄ຃ທາຓ ຃ໞາ຃ທາຓຽຍ້ ຾ຖະ ຃ທາຓ຿ຈ່ຄຂບຄຂໄຓ໣ ຌູ ຆຸຈ 3(X3) 47

ຍ຺ຈຽຐກິ ນຈັ 1. ເຌກາຌທຈັ ຾຋ກໜາໟ ຉໟາຄຂບຄຉ຺ໄຌແຓ້ແຈ້ຂໄ໣ຓຌູ ຈໃຄັ ຌໄ(ີ ນທ຺ ໜໞທງ Cm) 20 20 25 25 25 30 30 30 30 35 35 35 35 35 40 40 40 40 40 40 45 45 45 45 45 45 45 50 50 50 50 50 50 55 55 55 55 55 60 60 60 60 65 65 65 70 70 A. ຅ຄໃ຺ ຘາໟ ຄຉາຉະຖາຄ຃ທາຓຊີໃ,຃ທາຓຊີໃຘະຘ຺ຓຆະຌິຈໜໟບງ, ຆະຌິຈນົາງກທໞາ, ຃ທາຓຊີໃຘ໣າຑັຈ ຋ີໃຓີ ຆໞທຄ຋າ໣ ບິຈຽຖີໃຓ຾ຉ່19,5 ຽຎັຌຉຌ຺ໄ ແຎ຿ຈງ຅ັຈຽຎຌັ 5 ຆໞທຄ຃ໞາ.? B. ຅຺ຄໃ ຘະ຾ຈຄ຃ທາຓຊໃີຂບຄຂໄ໣ຓູຌຂາໟ ຄຽ຋ິຄຈທໟ ງປູຍ຾຋ຄ່ , ຽຘໄຌັ ນກັ , ຽຘຌໄັ ຿຃້ຄເຌຖະຍ຺ຍຽຘັໄຌຽ຃຺ໄາຉັໄຄຘາກ ຈຼທກຌັ .? C. ຅຺ໃຄ຾ຉ້ຓຽຘັໄຌຘະ຾ຈຄ຃ທາຓຊີໃຘະຘ຺ຓຆະຌິຈໜໟບງກທໞາ, ນົາງກທໞາ ຾ຖະ ຃ທາຓຊີໃຘ໣າຑັຈເຌ ຖະຍ຺ຍຽຘໄັຌຽ຃຺ໄາຉຄໄັ ຘາກຈຼທກຌັ . 2. ຉາຉະຖາຄ :຃ທາຓຊໃີ ຾ຖະ ຘໞທຌປໟບງ຅໣າ຾ຌກຉາຓຘະຊາຌະຑາຍ຃ບຍ຃຺ທ ì/© ¦½«¾-½²¾® £¸¾´«† ¦ú¸-»Éº¨(%) ¦¸ú -»Éº¨¦½¦´ö 1 ¦© 00 0 2 ¦´ö ìö© 46 92 92 3 ¨¾ú »¾É ¤ 24 96 4 Á¨¡¡-ñ µÈø 0 0 96 5 Ïɾ¨ 24 100 츴 50 100 ຅າກຉາຉະຖາຄ຅຺ໃຄບະ຋ິຍາງ ຾ຖະ ເນ້຃ທາຓໝາງຂ໣ໄຓູຌ຋ີໃແຈ້ ຑໟບຓ຋ັຄ຅ັຈຘະ຾ຈຄຂ໣ໄຓູຌຉາຓປູຍ ຾ຍຍ຋ໃຽີ ໝາະຘຓ຺ .? 3. ຉາຉະຖາຄ : ຃ທາຓຊີໃ ຾ຖະ ຘທໞ ຌປບໟ ງ຿ຈງ຅໣າ຾ຌກຉາຓຖະຈັຍກາຌຘກຶ ຘາ ì/© 콩®ñ ¡¾-¦¡ô ¦£¾¸¾´«† ¦ú¸-»ºÉ ¨(%) ¦¸ú -»ºÉ ¨¦½¦ö´ 1 ®ÒÄ©É»¼- 0 0 0 2 ¯½«´ö 17 34 34 3 ´©ñ 꽨´ö ª-í 25 50 84 4 ´©ñ 꽨´ö ¯¾¨ 4 8 96 5 §˜­¡¾¤ 48 104 §­˜ ¦¤ø 00 104 ¯½ìò--¨¾-ªó 0 0 104 - 츴 50 100 - - ຅າກຉາຉະຖາຄ຅຺ໃຄບະ຋ິຍາງ ຾ຖະ ເນ້຃ທາຓໝາງຂ໣ໄຓູຌ຋ີໃແຈ້ ຑໟບຓ຋ັຄ຅ັຈຘະ຾ຈຄຂ໣ໄຓູຌຉາຓປູຍ ຾ຍຍ຋ຽໃີ ໝາະຘຓ຺ .? 48

4. ຓີຂໄ໣ຓຌູ ຋ໃແີ ຈ຅້ າກກາຌຘຶກຘາຖທຄຘູຄນ຺ທໜໞທງ (m) ຂບຄຉຌ຺ໄ ແຓ້ເຌຎ່າຎູກ຾ນຄ່ ໜຄໃຶ ຈໃຄັ ຌໄີ 4 4 4 4,5 4,5 4,5 4,5 5 5 5 5 5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 5,5 6 6 6 6 6 6 6 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 6,5 7 7 7 7 7 7 7,5 7,5 7,5 7,5 7,5 8 8 8 8 8,5 8,5 8,5 ຅ຄ຺ໃ ຃ຈິ ແຖ່. a. ຃ໞາຘະຽຖງ່ . b. ຃ໞາຊາຌຌງິ ຓ຺ c. ຃າໞ ຓຈັ ຊະງະຊາຌ d. ຃າໞ ຏັຌຎຼ່ ຌ e. ຃ໞາຏຌັ ຎຼ່ ຌຓາຈຉະຊາຌ 5. ເຌກາຌຘຶກຘາໜໟາຉໟາຄຂບຄແຓ້ດືຌຉ຺ໄຌ຅໣າຌທຌໜຶໃຄແຈ້ຖທຄປບຍນ຺ທໜໞທງ(Cm) ຂບຄແຓ້຾ຉ່ຖະຉ຺ໄຌ ຈຄໃັ ຌີໄ: 120 120 120 125 125 125 125 130 130 130 130 130 135 135 135 135 135 135 140 140 140 140 140 140 140 145 145 145 145 145 145 150 150 150 150 150 155 155 155 155 160 160 160 165 165 ຅ຄໃ຺ ຃ິຈແຖ່ a. ໜາໟ ຉາໟ ຄຂບຄແຓ້຾ຉ່ຖະຉ຺ໄຌປູ້ທາໞ ຘຈູ ຃ິຈແຖຖ່ ທຄປບຍຂບຄຉໄຌ຺ ແຓ້຾ຓຌ່ P=πd b. ຅າກຂ໣ໄຓູຌ຋ໃແີ ຈ້ເຌຂ໣ໄa ຅ຄໃ຺ ຃ິຈແຖ່ B1. ໜໟາຄຉໟາຄຘະຽຖ່ງ B2. ຃າໞ ຊາຌຌິງ຺ຓ B3. ຃າໞ ຓຈັ ຊະງະຊາຌ. B4. ຃າໞ ຃ທາຓຏັຌຎ່ຼຌ B5. ຃າໞ ຏຌັ ຎຼ່ ຌຓາຈຉະຊາຌ 49

6. ຅າກຂ໣ໄຓູຌ຋ໃແີ ຈ້ຘກຶ ຘາແຓ້຋ບໞ ຌເຌຘະໜາຓ຾ນຄ່ ໜຄໃຶ ຓີຈໃັຄຌ:ີໄ ຖ/ຈ ໜໟາ ໟຉາຄ (Cm) ຖທຄງາທ (m) ໣຅າຌທຌ ( ໞ຋ບຌ) ໣ຍ ິຖຓາຈ ຾ ່ຉຖະ ໞ຋ບຌ (m3) ໣ຍ ິຖຓາຈ ຖທຓ (m3) I xi y fi vi (fi x vi) 1 10 4 10 2 20 4 15 3 30 4 20 4 40 4 15 5 50 4 10 ຖທຓ a. ຃ິຈແຖ່ຍ໣ຖິຓາຈແຓ້຾ຉ່ຖະ຋ໞບຌ(ຂຼຌເຘ່ຉາຉະຖາຄ) ປູ້ທໞາ ຘູຈ຃ິຈແຖ່ຍ໣ຖິຓາຈແຓ້຾ຉ່ຖະ຋ໞບຌ຾ຓ່ຌ Vi  i2. yi .  4 a1. ຍຖ໣ ິຓາຈຘະຽຖ່ງຽ຋າໃ຺ ກັຍV  ................. a2. ຃າໞ ຓຈັ ຊະງະຊາຌຂບຄຍຖ໣ ິຓາຈMe=.................... a3. ຃ໞາຊາຌຌງິ ຺ຓຂບຄຍ໣ຖິຓາຈMo=........................... a4. ຃າໞ ຃ທາຓຏັຌຎ່ຼຌຂບຄຍຖ໣ ິຓາຈσ2=...................... a5. ຃າໞ ຏຌັ ຎ່ຼຌຓາຈຉະຊາຌຂບຄຍຖ໣ ຓິ າຈσ=................. 7. ເນຂ້ ໣ໄຓຌູ ຆຈຸ ໜໃຶຄ ຋ີແໃ ຈ້຅ຈັ ຆຌໄັ ຃ຸຌຌະຑາຍແຓ຋້ ໞບຌ຃:ື ຆະຌິຈຑັຌແຓ້຋ໞບຌ ຅າ໣ ຌທຌ(຋ໞບຌ) ຍຖ໣ ຓິ າຈຘະຽຖ່ງ(m3 ) ແຓ້ຈູ່ 124 2.50 ແຓ຾້ ຉ຃້ າໞ 125 ... ແຓ້ຽຎບື ງ 121 3.00 ຊໟາຍ໣ຖິຓາຈຘະຽຖງ່ ຋ັຄໝ຺ຈ຾ຓຌ່ X  2.6 ຊາຓທາໞ ແຓ້຾ຉ຃້ ໞາຓີຍ໣ຖິຓາຈຘະຽຖ່ງຽ຋຺ໃາເຈ.? 8. ຂໄ໣ຓຌູ 4 ຅໣າຌທຌ ຓີ຃າໞ ຈັຄໃ ຌໄ:ີ 5, x, y, 1຿ຈງ຋ໃ1ີ <x<y ຊາໟ ຂໄ໣ຓູຌຆຸຈຌໄີຓີ຃າໞ ຘະຽຖ່ງຽ຋຺ໃາກັຍ4 ຃ໞາ຃ທາຓ ຏັຌຎຼ່ ຌຽ຋ໃາ຺ 5 ຊາຓທໞາY-X ຓ຃ີ າໞ ຽ຋ໃ຺າເຈ. ? 50

9. ຂ໣ໄຓຌູ ຆຈຸ ໜຶໃຄຓີ 5 ຅໣າຌທຌຽຆິໃຄຓີ຃ໞາ ຊາຌຌິງຓ຺ , ຓຈັ ຊະງະຊາຌ ຾ຖະ ຃ໞາຘະຽຖ່ງຽ຋຺ໃາກັຍ15,16,17 ຉາຓຖ໣າຈັຍ ຾ຖະ ຃ໞາຑແິ ຘຽ຋ໃ຺າກັຍ R=(Xmax - Xmin) = 5 ຊາຓທໞາ຃ໞາ຃ທາຓຏັຌຎຼ່ ຌຓ຃ີ ໞາຽ຋ໃ຺າເຈ.? 10. ຓີຂ໣ໄຓຌູ 2ຆຈຸ ຃ື: ຆຈຸ 1 : 5, 8, 6, 7, 9 ຆຈຸ 2 : x1, x2, x3, x4, x5 ຊໟາ຃ໞາຘ໣າຎະຘິຈຂບຄ຃ທາຓຏັຌຎ່ຼຌຂບຄຆຸຈ1ຽ຋຺ໃາຘບຄຽ຋ືໃບຂບຄຆຸຈ2 ຾ຖະ ຃ໞາ຃ທາຓຏັຌຎ່ຼຌ ຂບຄຂ໣ໄຓຌູ ຆຈຸ 2 ຽ຋຺ໃາ 9 ຊາຓທາໞ ຃ໞາຘະຽຖງ່ ຂບຄຂ໣ໄຓຌູ ຆຈຸ 2 ຓ຃ີ າໞ ຽ຋ໃ຺າເຈ.? 11. ຅າກກາຌຘຶກຘາກາຌຓຘີ ໞທຌປທໞ ຓຂບຄຎະຆາຆ຺ຌເຌໝ່ຍູ ໟາຌ຾ນ່ຄໜຶຄໃ ແຈ້ຂໄ໣ຓຌູ ຈໃັຄຌໄີ: ລ/ດ ການກວດກາຕດິ ຕາມ ຿ລະ ປະ຾ມນຜນົ ການມສວໆ ນໄດ຾໇ ຂົ໇າອວໆ ມ n X sd ລະດບັ ຫຼາຍ ກາຄ ໜຬ໇ ຍ ໜຬ໇ ຍທໆ ສດຸ 1.45 0.88 ດນົ ໅຾ທໆ ຬ 4321 1.34 0.75 ດນົ ໅຾ທໆ ຬ 1.61 1.01 ດນົ ໅຾ທໆ ຬ 1 ຾ຂົ໇າອວໆ ມກຬຄປະຊຸມສະຫຼຸບຜນົ ການ຃ມຸ໇ ຃ຬຄ 4 5 8 50 1.42 0.68 ດນົ ໅຾ທໆ ຬ 1.70 1.11 ດນົ ໅຾ທໆ ຬ 2 ອວໆ ມໃນການ຿ກໄ໇ ຂບນັ ຫາຫຼ຃ະດກຽໆ ວຂຬຄ໇ ປໆາສະຫຄວນ2 5 7 53 1.50 0.91 ດນົ ໅຾ທໆ ຬ 3 ອວໆ ມ຿ກໄໆ ຂບນັ ຫາການຬະນລຸ ກັ ສດັ ປໆາ 7 5 10 45 4 ຿ກບໆ ນັ ຫາການນາໃຊ຾໇ ຃ໆ ຬຄປໆາຂຬຄດຄົ 1 4 17 45 5 ສະ຾ໜວທິ ການ຿ກບ໇ ນັ ຫາຕໆ ພະນກັ ຄານປໆາສະຫຄວນ 9 7 6 45 ລວມ 23 26 48 238 ຅າກຂຓ໣ໄ ູຌເຌຉາຉະຖາຄ຅຺ໃຄ຃໣າຌທຌນາ຃ໞາຘະຽຖ່ງ, ຃ໞາຏັຌຎ່ຼຌຓາຈຉະຊາຌ ຾ຖະ ຖະຈັຍຂບຄກາຌຓີຘໞທຌ ປໞທຓ ຑບໟ ຓເນ້຃ທາຓໝາງຏ຺ຌແຈ້ປຍັ ຿ຈງຖທຓ. 51

ຍ຺ຈ຋ີ 3 ກາຌ຾຅ກດາງຎກ຺ ະຉິ (Normal distribution) ກັຌຖະງາທາຌິຘຍັຌຆາ(2545)ກາຌເຆ້ SPSS for Windows ແຈ້ຌິງາຓທໞາ: ກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ ຾ຓຌ່ ກາຌ຅ຈັ ຾຅ຄ຃ທາຓໜໟາ຅ະຽຎັຌຆະຌຈິ ຉ໣ໃຽຌໃືບຄ຋ຘໃີ າ໣ ຃ຌັ ຽຑາະຘາຓາຈຌ໣າແຎເຆ້ແຈ້ດ່າຄກໟທາຄຂທາຄເຌນົາງ ຘາຂາທິຆາ ຌບກ຅າກຌີໄງັຄຘາຓາຈຌ໣າແຎຎະຽຓີຌກາຌ຅ັຈ຾຅ຄ຃ທາຓໜໟາ຅ະຽຎັຌຆະຌິຈຍ໣ໃຉ໣ໃຽຌືໃບຄແຈ້ ຽຓືໃບ຅໣າ ຌທຌ຃ຄັໄ ຂບຄກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄຓ຃ີ າໞ ນາົ ງ (n∞) ຽຆໃຌັ : ກາຌ຅ັຈ຾຅ຄ຾ຍຍ຋ະທຌີ າຓຽຎຌັ ຉຌ຺ໄ . 3.1 ຉທ຺ ຾຋ຌ, ຉທ຺ ຎຼ່ ຌຍຄັ ຽບີຌ ຾ຖະ ຎະຆາກບຌ (Sampling, random variable and population) ຘ໣າຖຍັ ຉ຺ທ຾຋ຌ ຾ຖະ ຎະຆາກບຌ ຾ຓຌ່ ແຈ້ຽທ຺າໄ ເຌຍຈ຺ ຏາໞ ຌຓາ຾ຖ້ທ, ເຌຌີໄ຅ະຽທ຺ໄາ຾ຉ່ ຉ຺ທຎ່ຼຌຍັຄຽບີຌ ຽ຋ໃ຺າຌັຌໄ . ຘຓ຺ ຓຸຈເນ້ N= ຅໣າຌທຌຎະຆາກບຌ (Population) n = ຉທ຺ ຾຋ຌ (Sampling) ຅າກຎະຆາກບຌ ເຌຽຓໃືບຽປ຺າ຿ງຌໝາກກະຖ໠ບກ 2 ໜໞທງ, ຊໟາທໞາ x ຋ີໃ຾຋ຌຏ຺ຌຍທກຂບຄຽຖກ຋ີໃບບກ; x ຅ະຓີ຃ໞາດູ່ ຖະນທາໞ ຄ 2 - 12 . ຾ຉ່ຽປ຺າຍໃ໣ຘາຓາຈປູ້ຖໞທຄໜໟາທໞາ ຃ໞາຂບຄ x ເຌກາຌ຿ງຌ຾ຉ່ຖະຽ຋ືໃບ຅ະ຾ຓ່ຌຽ຋຺ໃາເຈ. ຽຑິໃຌ ຽທ຺ໄາທໞາ຃ໞາຂບຄ x ຂຶໄຌກັຍ຿ບກາຈ. ເຌ຋໣າຌບຄຈຼທກັຌຊໟາເນ້ x ຾ຓ່ຌ ຉ຺ທ຾຋ຌຂບຄກາຌຽຖືບກຉັໄຄຽບ຺າ ຘະຓາຆິກຘະຑາ຾ນຄ່ ຆາຈຂບຄໜໞທງຽຖືບກຉຄໄັ ເຈໜຶໃຄ ຂບຄ຅໣າຌທຌຏູ້ຓີຘິຈຘະໝັກຽຖືບກຉັໄຄ຋ັຄໝ຺ຈ຿ຈງກາຌ ຅ັຍຘະນົາກຽປ຺າກ໣ໃຍ໣ໃຘາຓາຈປູ້ແຈ້ທໞາ x ຅ະ຾ຓ່ຌຏູ້຾຋ຌ຋ີໃຽ຋຺ໃາເຈ, ຃ໞາຂບຄ x ກ໣ໃຂຶໄຌກັຍ຿ບກາຈຽຆັໃຌກັຌ x ຋ໃີ ກາໞ ທຓາຌໄີຽບີໄຌທາໞ ຉທ຺ ຎຼ່ ຌຍັຄຽບຌີ . ຈໃຄັ ຌັໄຌ, ຃ໞາທັຈ຾຋ກຖັກຘະຌະຉໞາຄໂ຅າກຆະຓາຆິກຂບຄຉ຺ທ຾຋ຌຽຎັຌ຃ໞາ຋ີໃ ແຈ້ຓາ຿ຈງຍຄັ ຽບີຌ. ຈຄໃັ ກາໞ ທ ຅ໃຄິ ຽບີໄຌທໞາຉທ຺ ຎຼ່ ຌຍຄັ ຽບີຌ (Random variable) N:ຎະຆາກບຌ n:ຉທ຺ ຾຋ຌຍັຄຽບຌີ ຍຄັ ຽບີຌ X= 20(Cm) ຃ໞາຉ຺ທຎ່ຼຌຍັຄຽບຌີ ປູຍ຋ີ 19. ຘະ຾ຈຄກາຌຑທ຺ ຑັຌຖະນທໞ າຄ ຎະຆາກບຌ, ຉ຺ທ຾຋ຌ ຾ຖະ ຉທ຺ ຎຼ່ ຌຍັຄຽບີຌ 52

3.2 ປູຍປໞາຄຖັກຘະຌະ຋຺ໃທແຎຂບຄກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ (General features of Normal distribution) (ຘ຺ຓຘັກ ຎັຌງາຘິຈ (2004) ຘະຊິຉິຘ໣າຖັຍທິ຋ະງາຘາຈ຋໣າຓະຆາຈ. ຃ະຌະທິ຋ະງາຘາຈຎ່າແຓ້, ຓະນາທິ຋ະງາແຖ຾ນ່ຄຆາຈ) ກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິໝາງຽຊິຄ ກາຌຘະ຾ຈຄ຃ໞາຉໞາຄໂຂບຄຂ໣ໄຓູຌນົາງນາໜໟບງ ນົື ໜໟບງນານາົ ງຉາຓຖາ໣ ຈັຍຂບຄຉທ຺ ຎ່ຼຌ, ຑບໟ ຓ຃ທາຓຊີໃ ຂບຄ຾ຉ່ຖະ຃ໞາຘ໣າຖັຍຉ຺ທຎ່ຼຌຌັໄຌ, ກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ ກະຉິງຄັ ຘະ຾ຈຄເນຽ້ ປາ຺ ປູ້ທາໞ ຃າໞ ເຈຂບຄຉທ຺ ຎ່ຼຌຓີຘະຓາຆິກດູ່ໜໟບງ ນົື ນົາງ ຾ຖະ ຃ໞາບືໃຌໂ ຂບຄຉ຺ທຎ່ຼຌ ເຌຂຓໄ໣ ຌູ ຌັຌໄ . ຉທ຺ ດາ່ ຄ. ຅າກຂໄ໣ຓຌູ ຖາງແຈ້຅າກກາຌຂາງຘິຌ຃ໟາ຅໣າຌທຌ 25 ຃຺ຌ ນ຺ທໜໞທງ(ຖາໟ ຌກີຍ): 10 30 50 60 70 20 40 50 60 70 20 40 50 60 80 30 40 50 60 80 30 40 50 70 90 ຅າກຂ໣ໄຓູຌຂໟາຄຽ຋ິຄຌ໣າຓາຘາໟ ຄຉາຉະຖາຄ ກາຌ຅ຈັ ຾຅ຄຂໄ໣ຓູຌຉາຓ຃ໞາຉໞາຄໂຂບຄຉທ຺ ຎ່ຼຌແຈ້ຈັໃຄຌີໄ. ຉາຉະຖາຄ຋ີ 19. ກາຌ຅ັຈ຾຅ຄຂ໣ໄຓູຌຉາຓ຃ໞາຉາໞ ຄໂຂບຄຉທ຺ ຎ່ຼຌ ຃າໞ ຉ຺ທຎຼ່ ຌ( X i ) ຃ທາຓຊີໃ( fi ) 10 1 20 2 30 3 40 4 50 5 60 4 70 3 80 2 90 1 ຖທຓ 25 53

y 3.3 ຃ທາຓໝາງກາຌ຾຅ກດາງຎກ຺ ະຉິ (The Meaning of Normal distribution) ກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ ໝາງຽຊິຄຂ໣ໄຓູຌ຋ີໃຌ໣າຓາຘໟາຄຽຎັຌ຿຃້ຄ຃ທາຓຊີໃ ຾ຖ້ທແຈ້ຖັກຘະຌະຂບຄ຿຃້ຄ ຃ທາຓຊໃີ຃ືປຍູ ຖະ຃ຄັ ຂັໄທຓ ຽບີໄຌຖັກຘະຌະ຿຃້ຄ຃ທາຓຊີໃຌີໄທໞາ ຿຃້ຄຎ຺ກະຉິ (Normal curve) ກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ ກະຉິ ຈາໟ ຌຆໟາງ ຾ຖະ ຈາໟ ຌຂທາ ຂບຄຽຘໄຌັ ຿຃້ຄ຅ະຽ຋າໃ຺ ກັຌ, ຅ຸຈຘູຄຘຸຈຂບຄຽຘັໄຌ຿຃້ຄດູ່ຽ຃ິໃຄກາຄຑ໣ຈີ ຾ຖະ ກ຺ຄ ກຍັ ຃າໞ ຘະຽຖງ່ ( µ ) ຂບຄຎະຆາກບຌ. ກາຌ຾຅ກດາງຎກ຺ ະຉິຽຎຌັ ຽຘັໄຌ຿຃ຄ້ ຋ໃກີ ໣າໜ຺ຈແຈ້ດ່າຄຘຓ຺ ຍູຌຈໟທງ຃າໞ ຃ຄ຺ ຉທ຺ ຘບຄ຃ໞາ຋ີໃຽບີໄຌທໞາຑາຖາຓີຽຉີ ຃ື ຃າໞ ຘະຽຖ່ງ( µ ) ຾ຖະ ຃າໞ ຍໞາງຍໞຼຄຓາຈຉະຊາຌ ()຋ຘີໃ ະ຾ຈຄຽຊຄິ ກາຌກະ຅າງຂບຄຂໄ໣ຓູຌຌັໄຌ. ຈຄໃັ ປູຍ (20) ຘະ຾ຈຄຽຊຄິ ກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ, ປຍູ (21)ຘະ຾ຈຄຽຊຄິ ກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ ຋ີໃຓີ ຃ໞາ ຘະຽຖ່ງຽ຋າ຺ໃ ກຌັ ຾ຉ່ກາຌກະ຅າງຉໞາຄກັຌ ຾ຖະ ປູຍ (22) ຘະ຾ຈຄຽຊິຄກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ຋ີໃຓີ຃ໞາຘະຽຖ່ງ ຉໞາຄກຌັ ຾ຉ່ກາຌກະ຅າງຽ຋ໃ຺າກັຌ. ກາຌ຾຅ກດາງຎກ຺ ະຉິ: 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 c1 0.15 0.1 0.05 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 µ ປູຍ຋ີ 20. ຘະ຾ຈຄກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ 54

y 0.45 ກາຌ຾຅ກດາງຎກ຺ ະຉິ຋ຓີໃ ຃ີ ໞາຘະຽຖ່ງຽ຋າໃ຺ ກຌັ ຾ຉກ່ າຌກະ຅າງຉໞາຄກຌັ s1 y 0.4 s2 0.35 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 s3 0.3 µ 0.25 5 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -5 ປູຍ຋ີ 21. ກາຌ຾຅ກດາງຎກ຺ ະຉິ຋ຓໃີ ຃ີ ໞາຘະຽຖ່ງຽ຋າໃ຺ ກັຌ຾ຉກ່ າຌກະ຅າງຉາໞ ຄກຌັ ກາຌ຾຅ກດາງຎກ຺ ະຉ຋ິ ຓີໃ ຃ີ າໞ ຘະຽຖ່ງຉາໞ ຄກຌັ ຾ຉກ່ າຌກະ຅າງຽ຋າໃ຺ ກຌັ s1 s2 0.45 s3 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 -6 -4 -2 0 2 4 6 µ ປຍູ ຋ີ 22. ກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ຋ໃຓີ ີ຃ໞາຘະຽຖ່ງຉໞາຄກັຌ຾ຉກ່ າຌກະ຅າງຽ຋຺າໃ ກັຌ 55

3.4 ຃າໞ ຘະຽຖ່ງ ຾ຖະ ຃າໞ ຏັຌຎຼ່ ຌຓາຈຉະຊາຌ ຂບຄກາຌ຾຅ກດາງຎກ຺ ະຉິ (Mean and standard deviation of normal distribution) ຑາງເຉ້ກາຌກ໣າຌ຺ຈຂບຄກາຌ຾຅ກດາງຎກ຺ ະຉິ຃ໞາຘະຽຖງ່ ຾ຖະ ຃ໞາຍໞາງຍໞຼຄຓາຈຉະຊາຌ ຽຎັຌ຃ໞາ຋ໃີ ຓີ຃ທາຓໝາງເຌກາຌບະ຋ຍິ າງກໞຼທກຍັ ຎະຆາກບຌຌຌັໄ ຿ຈງບາແຘ຃ຸຌຖັກຘະຌະຈຄໃັ ຉ໣ໃແຎຌໄ:ີ 1. ຃າໞ ຉ຺ທຎ່ຼຌຽຆິຄໃ ດູ່ຖະນທໞ າຄ µ ±1 ຓີ຅າ໣ ຌທຌຘະຓາຆກິ ຃ິຈຽຎຌັ 68,26% ຂບຄ຅໣າຌທຌ຋ັຄໝ຺ຈ ເຌຎະຆາກບຌຌັໄຌ. 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 68,26% 0.1 0.05 µ ±1 0 y c1 hi -4 lo -3.85 -3.7 -3.55 -3.4 -3.25 -3.1 -2.95 -2.8 -2.65 -2.5 -2.35 -2.2 -2.05 -1.9 -1.75 -1.6 -1.45 -1.3 -1.15 -1 -0.85 -0.7 -0.55 -0.4 -0.25 -0.1 0.05 0.2 0.35 0.5 0.65 0.8 0.95 1.1 1.25 1.4 1.55 1.7 1.85 2 2.15 2.3 2.45 2.6 2.75 2.9 3.05 3.2 3.35 3.5 3.65 3.8 3.95 0.45 0.45 0.4 0.35 0.4 0.3 µ -1 0.25 0.35 0.2 0.15 34.13% 0.3 0.1 0.05 µ +1 0 0.25 34.13% 0.2 0.15 0.1 0.05 0 y -4 -3.75 -3.5 -3.25 -3 -2.75 -2.5 -2.25 -2 -1.75 -1.5 -1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 -5.84255E-15 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 y -4 -3.75 -3.5 -3.25 -3 -2.75 -2.5 -2.25 -2 -1.75 -1.5 -1.25 -1 -0.75 -0.5 -0.25 -5.84255E-15 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5 2.75 3 3.25 3.5 3.75 4 ປຍູ ຋ີ 23. ຃າໞ ຉທ຺ ຎຼ່ ຌຽຆຄິໃ ດູ່ຖະນທໞ າຄ µ ±1 ຓ຅ີ າ໣ ຌທຌຘະຓາຆິກ຃ຈິ ຽຎັຌ 68,26% 56

຃ໞາຉ຺ທຎຼ່ ຌຽຆຄິໃ ດູ່ຖະນທໞ າຄ µ ± 2ຓ຅ີ ໣າຌທຌຘະຓາຆິກດ່າຄໜບໟ ງ 95% ຂບຄ຅໣າຌທຌ຋ັຄໝຈ຺ ເຌຎະ ຆາກບຌຌໄຌັ . 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 95% 0 y c1 hi -4 lo -3.8 -3.6 -3.4 -3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -5.84255E-15 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 µ ± 2 ປຍູ ຋ີ 24. ຃ໞາຉ຺ທຎ່ຼຌຽຆຄໃິ ດູ່ຖະນທໞ າຄ µ ± 2ຓ຅ີ ໣າຌທຌຘະຓາຆກິ ດາ່ ຄໜບໟ ງ 95% 3. ຃າໞ ຉທ຺ ຎ່ຼຌຽຆຄິໃ ດູ່ຖະນໞທາຄ µ ± 3 ຓີ຅໣າຌທຌຘະຓາຆກິ ດາ່ ຄໜບໟ ງ 99% ຂບຄ຅໣າຌທຌ຋ັຄໝ຺ຈ ເຌຎະຆາກບຌຌັໄຌ. 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 99% 0.05 0 µ ± 3 ປູຍ຋ີ 25. ຃ໞາຉທ຺ ຎຼ່ ຌຽຆຄິໃ ດູ່ຖະນທໞ າຄ µ ± 3ຓີ຅າ໣ ຌທຌຘະຓາຆກິ ດາ່ ຄໜໟບງ 99% 57 y -4 -3.8 -3.6 -3.4 -3.2 -3 -2.8 -2.6 -2.4 -2.2 -2 -1.8 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 -5.84255E-15 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4

ຉທ຺ ດ່າຄ. ເຌກາຌ຋຺ຈຘບຍ຃ທາຓປູ້ກໞຼທກັຍທິຆາຘິໃຄ຾ທຈຖໟບຓ ຅າກຌັກຘຶກຘາ຅໣າຌທຌ100 ຃຺ຌ ຋ີໃ ປຼຌດູ່຃ະຌະຎ່າແຓ້ຑ຺ຍທໞາ ຃ະ຾ຌຌຘະຽຖ່ງ ຽ຋຺ໃາ 60 ຾ຖະ ຃ໞາຍິຈຽຍືບຌຓາຈຉະຊາຌ ຽ຋າໃ຺ ກຍັ 10. ກ. 95%ຂບຄ຃ະ຾ຌຌ຋ຌໃີ ັກຘກຶ ຘາຽຘັຄແຈ຅້ ະຓີ຃າໞ ດູ່ຖະນໞທາຄຽ຋າ຺ໃ ເຈ? ຂ. 99%ຂບຄ຃ະ຾ຌຌ຋ຌໃີ ັກຘຶກຘາຽຘັຄແຈ຅້ ະຓີ຃າໞ ດູ່ຖະນໞທາຄຽ຋າໃ຺ ເຈ? ຃. ຊໟາ຃ໞາຉ຺ທຎ່ຼຌດູ່ຖະນທໞາຄ50 ນາ 70 ຃ະ຾ຌຌ຋ີໃຌັກຘຶກຘາຽຘັຄແຈ້຅ະກທຓຽບ຺າ຅ັກຽຎີຽຆັຌ ຾ຖະ ຓີ຅າ໣ ຌທຌ຅ັກ຃ຌ຺ . ຍຈ຺ ຾ກ:້ ກ. ຿ຈງບີຄຉາຓ຃ຸຌຖັກຘະຌະຂບຄກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ ປູ້ທໞາ95% ຾ຓ່ຌຓີຘະຓາຆິກ ດູ່ຖະ ນທໞ າຄ µ ± 2 ຈຄໃັ ຌໄັຌ, 95% ຂບຄ຃ະ຾ຌຌ຋ໃຌີ ກັ ຘຶກຘາຽຘັຄແຈ້຅ະດູ່ຖະນທໞ າຄ 60 ± 2.10 ໝາງ຃ທາຓທາໞ 95% ຃ະ຾ຌຌ຅ະດູ່ຖະນໞທາຄ 40 ນາ 80 0.045y 95% c1 0.04 20 hi 0.035 22.5 lo 0.03 25 0.025 27.5 0.02 30 0.015 32.5 0.01 35 0.005 37.5 40 0 42.5 45 47.5 50 52.5 55 57.5 60 62.5 65 67.5 70 72.5 75 77.5 80 82.5 85 87.5 90 92.5 95 97.5 100 60 ± 2.10 ປູຍ຋ີ 26. 95% ຂບຄ຃ະ຾ຌຌ຋ໃຌີ ກັ ຘກຶ ຘາຽຘັຄແຈ້຅ະດູ່ຖະນໞທາຄ 60 ± 2.10 ຂ. ຿ຈງບີຄຉາຓ຃ຌຸ ຖກັ ຘະຌະຂບຄກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ ປທູ້ ໞາ 99% ຾ຓ່ຌຓີຘະຓາຆິກ ດູ່ຖະນໞ ທາຄ µ ± 3 ຈັໃຄຌໄຌັ , 99% ຂບຄ຃ະ຾ຌຌ຋ໃຌີ ັກຘກຶ ຘາຽຘັຄແຈ້຅ະດູ່ຖະນທໞ າຄ 60 ± 3.10 ໝາງ຃ທາຓທາໞ 99% ຃ະ຾ຌຌ຅ະດູຖ່ ະນໞທາຄ 30 ນາ 90 58

0.045 99% y0.04 0.035 c1 200.03 hi 220.025 lo 240.02 260.015 280.01 300.005 32 340 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 60 ± 3.10 ປຍູ ຋ີ 27. 99% ຂບຄ຃ະ຾ຌຌ຋ໃຌີ ັກຘຶກຘາຽຘັຄແຈ້຅ະດູ່ຖະນໞທາຄ 60 ± 3.10 ຃. ປູ້ທາໞ ຃ະ຾ຌຌ 50 -70 ຾ຓຌ່ 60 ± 1.10 = µ ± 1 = 68,26% ຾ຖະ ປູ້ທາໞ 100 =100% ຈັຄໃ ຌັຌໄ , 68,26% = 68 ຃ຌ຺ ຋ໃີຽຘັຄແຈ້຃ະ຾ຌຌເຌຖະນທໞາຄ 50 – 70 0.045 µ ± 1 0.04 0.035 68.26% 0.03y 0.025 20 0.02 22 0.015 24 0.01 26 0.005 28 30 0 32 34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 100 ປຍູ ຋ີ 28. ຘະ຾ຈຄຑືໄຌ຋ີໃ຃ະ຾ຌຌຖະນທໞາຄ 50 -70 7 59

3.5 ຉາຉະຖາຄຂບຄກາຌ຾຅ກດາງຎກ຺ ະຉິ (Table of the normal distribution) ຌຍ຺ ຑະຑບຌ ຋ະຌັຌແຆ (2009) ແຈເ້ ນ຃້ ໣າຌິງາຓທາໞ : ກາຌ຋ໃີ຅ະເຆ້ຽຘັໄຌ຿຃້ຄຎ຺ກະຉິຓາຈຉະຊາຌແຈ້ ຉໟບຄ຾ຎຄ຃ໞາຂ໣ໄຓູຌເນ້ຽຎັຌຂ໣ໄຓູຌຓາຈຉະຊາຌຽຘງກໞບຌໝາງ຃ທາຓທໞາ ຊໟາຂ໣ໄຓູຌເຆ້ຽຎັຌຉ຺ທຎ່ຼຌX ຓີ຃ໞາຘະ ຽຖ່ງ ຾ຖະ ກາຌກະ຅າງ ຉໟບຄກາຌເຆ້ຉາຉະຖາຄຈັໃຄກໞາທ ກ໣ໃຉໟບຄ຾ຎຄຓາຈຉາຘໞທຌ X ຿ຈງເນ້ X ຓີ຃ໞາຘະ ຽຖງ່ ຽຎຌັ 0 ຾ຖະ ກາຌກະ຅າງຽຎັຌ1຾ຖທ້ ຌາ໣ ເຆ້ຘູຈ: Z  X ;  Z : ຾ຓຌ່ ຉ຺ທຎຼ່ ຌຎກ຺ ະຉຓິ າຈຉະຊາຌ ນືົ ຽຘັຌໄ ຿຃້ຄຎ຺ກະຉຓິ າຈຉະຊາຌ. ຉ຺ທດາ່ ຄ. ເຌກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ ຓີ຃ໞາຘະຽຖ່ງ ຽ຋຺ໃາກັຍ 10 ຾ຖະ ຃ໞາຍິຈຽຍືບຌຓາຈຉະຊາຌ ຽ຋຺ໃາ 3 ຅຺ໃຄ ຆບກນາ຃ໞາ Z ປູ້ທໞາ: ກ. X = 12. ຂ. X = 4. ຍຈ຺ ຾ກ.້ Z  X ; ຅າກ:  ກ. X= 12   10  3 Z  X   12 10  2  0.67  3 3  Z  0.67; ຂ. X= 4 Z  X    4 10   6  2.00  33  Z  2.00; 60

3.5.1 ຉາຉະຖາຄຘາ໣ ຖັຍຉ຺ທຎຼ່ ຌ Z ຉາຉະຖາຄຘາ໣ ຖັຍຉ຺ທຎ່ຼຌ Z ຓີ 2 ຾ຍຍ຃ື: 1/. ຉາຉະຖາຄ຃ທາຓຘູຄຂບຄຽຘໄຌັ ຿຃້ຄຎກ຺ ະຉິ (Table ordinate of normal curve) ຌຍ຺ ຑະຑບຌ ຋ະຌັຌແຆ (2009) ແຈເ້ ນ຃້ າຌງິ າຓທາໞ : ຓີຘຈູ ຾ຓຌ່ : Y 1  Z2 2 .e 2 ; ຘ໣າຖຍັ ຃ໞາ຃ທາຓຘຄູ ຂບຄຽຘັໄຌ຿຃້ຄຌໄແີ ຈ້ຘະ຾ຈຄແທ້ເຌຉາະຖາຄ (1) ຋ໟາງຽນົໄັຓ. ຉ຺ທດ່າຄ. ທ຋ິ ຌີ ໣າເຆ້ຉາຉະຖາຄ(1): ຘຓ຺ ຓຸຈຓີຽຘຌັໄ ຿຃້ຄຎ຺ກະຉິ ຘ໣າຖັຍຉ຺ທຎ່ຼຌ X ຽຆິໃຄຓີ µ=3 ຾ຖະ = 1.6 ຃ິຈແຖ່຃ໞາ຃ທາຓ ຘຄູ ຂບຄຽຘໄັຌ຿຃ຄ້ ຽຓືບໃ X= 2; ຍຈ຺ ຾ກ້. 2  3 (1) ຃ຈິ ແຖ່຃າໞ Z  X   1.6  0.625;  (2) ຌ໣າເຆ້ຉາຉະຖາຄ(1) ບໞາຌ຃ໞາ຃ທາຓຘູຄຂບຄຽຘັໄຌ຿຃້ຄຘ໣າຖັຍ Z= 0.625 ນົື 0,625 ເຌຉາຉະຖາຄ (1) ຅ະຓີ຃າໞ Z ຘບຄ຃າໞ ຃ື: ຉາຉະຖາຄ຋ີ 19: ຃ທາຓຘຄູ ຂບຄຽຘຌັໄ ຿຃ຄ້ ຘາ໣ ຖຍັ Z= 0.625 ນືົ 0,625 61

Z= 0,62 ຃ທາຓຘຄູ ຾ຓຌ່ 0,3292; Z= 0,63 ຃ທາຓຘູຄ຾ຓ່ຌ 0,3271; Z= 0,625 ຃ທາຓຘູຄ຾ຓຌ່ 0,328; 2/. ຉາຉະຖາຄ຃ທາຓຊໃີຘະຘຓ຺ (ຉາຉະຖາຄ2) ຋ໟາງຽນຓັົໄ . ຉາຉະຖາຄ຃ທາຓຊໃຘີ ະຘ຺ຓ ຾ຓ່ຌຉາຉະຖາຄ຅ຈັ ຾຅ຄ຃ທາຓຊີໃຘະຘ຺ຓຎ຺ກະຉິຑາງເຉ້ຽຘັໄຌ຿຃້ຄຂບຄ Z ດູ່ ຖະນທໞ າຄ0 ນາ Z1 ຽຆິຄໃ ຓີ຃ໞາຽຎັຌ຃ໞາຍທກ, ຃ໞາ຋ີໃດູ່ຑາງເຉ້ຽຘັໄຌ຿຃້ຄໝາງຽຊິຄ຅໣າຌທຌຂບຄຉ຺ທຎ່ຼຌຍັຄຽບີຌ ຓາ ຅າກຎະຆາກບຌຎ຺ກະຉິຓາຈຉະຊາຌ ຓີ຃ໞາດູ່ຖະ ນໞທາຄ0 ນາ Z ຿ຈງ຋ຼຍຽຎັຌຘັຈຘໞທຌກັຍ຅໣າຌທຌ຋ັຄໝ຺ຈ ຂບຄຉ຺ທດາ່ ຄ. ຃າ໣ ທໞາຘະຘຓ຺ (Cumulative) ເຆ້ກັຍ຃ທາຓຊີໃເຌກາຌ຾຅ກດາງຂບຄຉ຺ທດ່າຄຂະໜາຈ ເນງໞ ຓີກາຌ ຅໣າ຾ຌກ຃ໞາຉທ຺ ຎ່ຼຌບບກດາ່ ຄຖະບຼຈ ຽຌືບໄ ຋ີໃຑາງເຉ້ຽຘຌໄັ ຿຃ຄ້ ຾຋ຌຏຌ຺ ຍທກ຃ທາຓຊໃີ຋ດໃີ ູ່ຖະນທໞ າຄ0 ກຍັ Z . Y ຽຘັຌໄ ຿຃້ຄຎ຺ກະຉິ 0.045 10 20 30 40 500 60 Z1 90 Z 100 0.04 70 80 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0 ປູຍ຋ີ 29 : ຑໄຌື ຋ຘີໃ ະຘຓ຺ ຑາງເຉຽ້ ຘັຌໄ ຿຃ຄ້ ເຌຉາຉະຖາຄ (2) ຘະ຾ຈຄ຃າໞ ຂບຄZ ຈັໃຄຌໄ:ີ Z=0 ຽຌືບໄ ຋ໃ຾ີ ຓ່ຌ 0 Z = 3.9 ຽຌບືໄ ຋ໃ຾ີ ຓຌ່ 0.5 -3.9 ≤ Z ≤ 3.9 ຽຌໄບື ຋ໃ຾ີ ຓ່ຌ 0,5x2=1 Z=1 ຽຌບືໄ ຋ໃ຾ີ ຓຌ່ 0,3413 62

-1≤ Z ≤ 1 ຽຌໄືບ຋ໃ຾ີ ຓ່ຌ 0,3413x2=0,6826 Z=2 ຽຌໄບື ຋ໃ຾ີ ຓຌ່ 0,4772 -2 ≤ Z ≤ 2 ຽຌບືໄ ຋ໃ຾ີ ຓຌ່ 0,4772x2=0,9544 ຉທ຺ ດາ່ ຄ. ກາຌຌາ໣ ເຆ້ຉາຉະຖາຄ ( 2 ) ເຌກາຌ຋຺ຈຘບຍ຃ທາຓປູ້ ຽຖືໃບຄກາຌປັກຘາຘິໃ຾ທຈຖໟບຓ຅າກຉ຺ທ຾຋ຌຌັກຘຶກຘາ400 ຃຺ຌ ຑຍ຺ ທໞາ ຃ະ຾ຌຌຘະຽຖງ່ ຾ຓ່ຌ50 ຃າໞ ຏັຌຎ່ຼຌຓາຈຉະຊາຌ຾ຓ່ຌ10, ຅຺ໃຄຆບກຽຍິໃຄທໞາ ຌັກຘຶກ ຘາ຋ໃແີ ຈ຃້ ະ຾ຌຌຖະນທໞ າຄ30 ນາ 60 ຓີ຅ັກຽຎີຽຆັຌ?. ຍຈ຺ ຾ກ້. ກບໞ ຌບໃືຌຆບກນາ ຽຌໄບື ຋ໃີ ຽຓບືໃ ຉ຺ທຎຼ່ ຌ X=30 ຾ຖະ X=60 ຽຘງກໞບຌ. ກ. ຘ໣າຖຍັ X=30 ຅າກ: Z  X X  30  50  2  10 ຽຍໃິຄຉາຉະຖາຄ (2) ຘ໣າຖຍັ Z = 2,00 , ຉາຉະຖາຄ຋ີ 20: ຑືຌໄ ຋ໃເີ ຉ້ຽຘັໄຌ຿຃ຄ້ ຘ າຖັຍ Z= 2.00 ຉາຉະຖາຄ(2) ຃ທາຓຊໃຘິ ະຘ຺ຓຂບຄກາຌ຾຅ກດາງຎກ຺ ະຉິ Z Z ຓີ຃ໞາ຾ຉ່ 0 ນາ 4 Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.000 0.004 0.008 0.012 0.016 0.019 0.023 0.027 0.031 0.035 0.0 0 0 0 0 0 9 9 9 9 9 0.039 0.043 0.047 0.051 0.055 0.059 0.063 0.067 0.071 0.075 0.1 8 8 8 7 7 6 6 5 4 3 0.079 0.083 0.087 0.091 0.094 0.098 0.102 0.106 0.110 0.114 0.2 3 2 1 0 8 7 6 4 3 1 0.117 0.121 0.125 0.129 0.133 0.136 0.140 0.144 0.148 0.151 0.3 9 7 5 3 1 8 6 3 0 7 0.155 0.159 0.162 0.166 0.170 0.173 0.177 0.180 0.184 0.187 0.4 4 1 8 4 0 6 2 8 4 9 0.191 0.195 0.198 0.201 0.205 0.208 0.212 0.215 0.219 0.222 0.5 5 0 5 9 4 8 3 7 0 4 0.225 0.229 0.232 0.235 0.238 0.242 0.245 0.248 0.251 0.254 0.6 7 1 4 7 9 2 4 6 7 9 0.258 0.261 0.264 0.267 0.270 0.273 0.276 0.279 0.282 0.285 0.7 0 1 2 3 4 4 4 4 3 2 0.288 0.291 0.293 0.296 0.299 0.302 0.305 0.307 0.310 0.313 0.8 1 0 9 7 5 3 1 8 6 3 63

0.315 0.318 0.321 0.323 0.326 0.328 0.331 0.334 0.336 0.338 0.9 9 6 2 8 4 9 5 0 5 9 0.341 0.343 0.346 0.348 0.350 0.353 0.355 0.357 0.359 0.362 1.0 3 8 1 5 8 1 4 7 9 1 0.364 0.366 0.368 0.370 0.372 0.374 0.377 0.379 0.381 0.383 1.1 3 5 6 8 9 9 0 0 0 0 0.384 0.386 0.388 0.390 0.392 0.394 0.396 0.398 0.399 0.401 1.2 9 9 8 7 5 4 2 0 7 5 0.403 0.404 0.406 0.408 0.409 0.411 0.413 0.414 0.416 0.417 1.3 2 9 6 2 9 5 1 7 2 7 0.419 0.420 0.422 0.423 0.425 0.426 0.427 0.429 0.430 0.431 1.4 2 7 2 6 1 5 9 2 6 9 0.433 0.434 0.435 0.437 0.438 0.439 0.440 0.441 0.442 0.444 1.5 2 5 7 0 2 4 6 8 9 1 0.445 0.446 0.447 0.448 0.449 0.450 0.451 0.452 0.453 0.454 1.6 2 3 4 4 5 5 5 5 5 5 0.455 0.456 0.457 0.458 0.459 0.459 0.460 0.461 0.462 0.463 1.7 4 4 3 2 1 9 8 6 5 3 0.464 0.464 0.465 0.466 0.467 0.467 0.468 0.469 0.469 0.470 1.8 1 9 6 4 1 8 6 3 9 6 0.471 0.471 0.472 0.473 0.473 0.474 0.475 0.475 0.476 0.476 1.9 3 9 6 2 8 4 0 6 1 7 0.477 0.477 0.478 0.478 0.479 0.479 0.480 0.480 0.481 0.481 2.0 2 8 3 8 3 8 3 8 2 7 0.482 0.482 0.483 0.483 0.483 0.484 0.484 0.485 0.485 0.485 2.1 1 6 0 4 8 2 6 0 4 7 0.486 0.486 0.486 0.487 0.487 0.487 0.488 0.488 0.488 0.489 2.2 1 4 8 1 5 8 1 4 7 0 0.489 0.489 0.489 0.490 0.490 0.490 0.490 0.491 0.491 0.491 2.3 3 6 8 1 4 6 9 1 3 6 0.491 0.492 0.492 0.492 0.492 0.492 0.493 0.493 0.493 0.493 2.4 8 0 2 5 7 9 1 2 4 6 0.493 0.494 0.494 0.494 0.494 0.494 0.494 0.494 0.495 0.495 2.5 8 0 1 3 5 6 8 9 1 2 0.495 0.495 0.495 0.495 0.495 0.496 0.496 0.496 0.496 0.496 2.6 3 5 6 7 9 0 1 2 3 4 0.496 0.496 0.496 0.496 0.496 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 2.7 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 0.498 0.498 2.8 4 5 6 7 7 8 9 9 0 1 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 2.9 1 2 2 3 4 4 5 5 6 6 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.499 0.499 3.0 7 7 7 8 8 9 9 9 0 0 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.1 0 1 1 1 2 2 2 2 3 3 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.2 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 3.3 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 64

5556666667 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.4 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.6 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 3.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 4.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ຓີຽຌບໄື ຋ໃ຾ີ ຓຌ່ 0,4772 ນືົ 47,72% ຂ. ຘາ໣ ຖຍັ X = 60 60  50  1 ຅າກ: Z  X   10  ຽຍໃຄິ ຉາຉະຖາຄ (2) ຘ໣າຖຍັ Z=1,00 , ຉາຉະຖາຄ຋ີ 21: ຑຌືໄ ຋ີເໃ ຉ້ຽຘຌໄັ ຿຃ຄ້ ຘ າຖັຍ Z= 1.00 ຉາຉະຖາຄ(2) ຃ທາຓຊໃຘິ ະຘຓ຺ ຂບຄກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ Z Z ຓ຃ີ ໞາ຾ຉ່ 0 ນາ 4 Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.000 0.004 0.008 0.012 0.016 0.019 0.023 0.027 0.031 0.035 0.0 0 0 0 0 0 9 9 9 9 9 0.039 0.043 0.047 0.051 0.055 0.059 0.063 0.067 0.071 0.075 0.1 8 8 8 7 7 6 6 5 4 3 0.079 0.083 0.087 0.091 0.094 0.098 0.102 0.106 0.110 0.114 0.2 3 2 1 0 8 7 6 4 3 1 0.117 0.121 0.125 0.129 0.133 0.136 0.140 0.144 0.148 0.151 0.3 9 7 5 3 1 8 6 3 0 7 0.155 0.159 0.162 0.166 0.170 0.173 0.177 0.180 0.184 0.187 0.4 4 1 8 4 0 6 2 8 4 9 0.191 0.195 0.198 0.201 0.205 0.208 0.212 0.215 0.219 0.222 0.5 5 0 5 9 4 8 3 7 0 4 0.225 0.229 0.232 0.235 0.238 0.242 0.245 0.248 0.251 0.254 0.6 7 1 4 7 9 2 4 6 7 9 0.258 0.261 0.264 0.267 0.270 0.273 0.276 0.279 0.282 0.285 0.7 0 1 2 3 4 4 4 4 3 2 0.288 0.291 0.293 0.296 0.299 0.302 0.305 0.307 0.310 0.313 0.8 1 0 9 7 5 3 1 8 6 3 65

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5556666667 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.4 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.6 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.7 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 3.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 4.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ຓີຽຌໄບື ຋ໃ຾ີ ຓຌ່ 0,3413 ນືົ 34,13% ຘະຌໄັຌ ຌັກຘຶກຘາ຋ໃີແຈ້຃ະ຾ຌຌຖະນທໞ າຄ30 ນາ 60 ຅ະຓີຽຌບໄື ຋ໃີ຾ຓຌ່ : 47,72%+ 34,13%= 81,85%; 0.045 ຽຘຌໄັ ຿຃ຄ້ ຎກ຺ ະຉິ 0.04 81,85% 0.035 0.03 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.025 0.02 0.015 0.01 0.005 0 0 ປຍູ ຋ີ 30 : ຘະ຾ຈຄຽຌໄບື ຋ໃີ ຃ະ຾ຌຌຌັກຘຶກຘາ ຋ດໃີ ູ່ຖະນໞທາຄ 30 ນາ 60. 67

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ຍ຺ຈຽຐກິ ນຈັ 1. ເຌກາຌຘຶກຘາຖາງປັຍ຅າກກາຌຂາງຑະຖຈິ ຉະຑັຌແຓ້ຂບຄ ຍ໣ຖິຘັຈ຾ນ່ຄໜຶໃຄຽນັຌທໞາຖາງແຈ້ຘະຽຖ່ງຉ໣ໃຎີ ຾ຓຌ່ 150 ຖໟາຌກຍີ ຾ຖະ ຃າໞ ຏຌັ ຎ່ຼຌຓາຈຉະຊາຌ຾ຓຌ່ 10 ຖໟາຌກຍີ ຊາຓທາໞ : a. 95% ຂບຄຖາງແຈ້຋ຄັ ໝ຺ຈ຾ຓ່ຌຓ຃ີ າໞ ເຌຖະນທາໞ ຄເຈ.? b. 99% ຂບຄຖາງແຈ້຋ຄັ ໝຈ຺ ຅ະຓ຃ີ າໞ ເຌຖະນທາໞ ຄເຈ.? c. ຍຖ໣ ຘິ ັຈ຋ໃີຓີຖາງແຈ້ເຌຖະນທາໞ ຄ140 -170 ຖາໟ ຌ ຅ະກທຓຽບາ຺ ຅ັກຽຎີຽຆັຌຂບຄຖາງແຈ້຋ຄັ ໝ຺ຈ. 2. ເຌກາຌຘຶກຘາຌ໣ໄາໜັກຂບຄຘັຈຖໟຼຄ຅໣າຌທຌ70 ຿ຉ ຑ຺ຍທໞາຓີຌ໣ໄາໜັກຘະຽຖ່ງ຾ຓ່ຌ8 kg ຾ຖະ ຃ໞາຏັຌ ຎ່ຼຌຓາຈຉະຊາຌ຾ຓຌ່ 1,5 kg ຊາຓທໞາ: a. ຘຈັ ຋ຓໃີ ຌີ ໄາ໣ ໜກັ ຖະນທໞາຄ 5kg -11 kg ຓີ຅ກັ ຽຎີຽຆັຌຂບຄ຅າ໣ ຌທຌຘັຈ຋ຄັ ໝຈ຺ . b. ຘັຈ຋ີໃຓີຌໄາ໣ ໜກັ ຖະນທໞາຄ 3,5 kg - 9,5 kg ຓີ຅ກັ ຽຎີຽຆຌັ ຂບຄ຅໣າຌທຌຘຈັ ຋ຄັ ໝ຺ຈ ຾ຖະ ຓີ຅໣າຌທຌ຅ັກ ຿ຉ.? 3. ເຌກາຌຘກຶ ຘາກາຌ຅ະຽຖີຌຽຉຍີ ຿ຉຆະຌິຈຑັຌແຓ້຅໣າຌທຌ70 ຆະຌິຈເຌໜາຌກໟາ຾ນ່ຄໜຶໃຄ຋ີໃກໟາແທ້ ຑາງ ເຌ1 ຎີ ຑ຺ຍທໞາຓີ຃ໞາຘະຽຖ່ງຽ຋຺ໃາກັຍ 0,8 m ຾ຖະ ຃ໞາຏັຌຎ່ຼຌຓາຈຉະຊາຌ຾ຓ່ຌ 0.1 m ຊໟາກາຌ ຅ະຽຖີຌຽຉີຍ຿ຉ຋າຄຈໟາຌຖທຄຘຄູ ນາກຽ຋າໃ຺ ກຍັ : 0.5 m ຾ຖະ 0.95 m a. ຆບກນາ຃ທາຓຘຄູ ຂບຄຽຘໄັຌ຿຃ຄ້ y=? b. ຆບກນາຑືຌໄ ຋ີໃຑາງເຉ້ຽຘັໄຌ຿຃ຄ້ s= ?% ຾ຖະ ຓີແຓ຅້ ັກຆະຌຈິ .? 4. ເຌກາຌຘໃັຄຌາ໣ໄ ໜັກຂບຄຘັຈຖຼໟ ຄ຅າ໣ ຌທຌ 4 ຿ຉຎະກ຺ຈທໞາຓີຌ໣ໄາໜັກ຃ື: 15.5, 14.8, 14.5, 15.2, kg ຊໟາ ຽບ຺າຌາໄ໣ ໜັກຂບຄຘຈັ 4 ຿ຉຓາຖທຓກຍັ ຌາໄ໣ ໜກັ ຂບຄຘຈັ ບີກ1຿ຉ ຾ຖະ ແຈ້຃ໞາຘະຽຖ່ງຌ໣ໄາໜັກຂບຄ ຘັຈ 5 ຿ຉຽຎຌັ 16 kg ຊາຓທໞາ ຃ໞາ຃ທາຓຏັຌຎຼ່ ຌຂບຄຘຈັ ຋ັຄ 5 ຿ຉ຅ະຓ຃ີ າໞ ຽ຋ໃ຺າເຈ.? 5. ເຌກາຌຘບຍຽຘຄັ ທຆິ າຘະຊຉິ ແິ ຈ້຃ະ຾ຌຌຘະຽຖງ່ ຽ຋຺າໃ ກຍັ 45 ຃າໞ ຏັຌຎ່ຼຌຓາຈຉະຊາຌຽ຋຺ໃາ20 ຊໟາ ຋ໟາທ ກ,ຂ,຃ ຽຂ຺າໄ ຘບຍຽຘັຄ຿ຈງ຋ີໃ ຋ໟາທ ກ ແຈ້຃ະ຾ຌຌຽຎັຌ2ຽ຋຺ໃາຂບຄ ຂ ຾ຖະ ຂ ຓີ຃ະ຾ຌຌຓາຈຉະຊາຌ ຽ຋ໃ຺າ ຋ໟາທ ຃ ຊໟາ ຋າໟ ທ ຃ ຽຘຄັ ແຈ້຃ະ຾ຌຌ40຾ຖ້ທ຃ະ຾ຌຌຓາຈຉະຊາຌຂບຄ ກ ຅ະຓີ຃າໞ ຽ຋ໃາ຺ ເຈ. 6. ເຌກາຌຘກຶ ຘາບາງຸກາຌເຆ້ຄາຌຂບຄຽ຃ືບໃ ຄ຅ັກເຌຍ໣ຖິຘັຈ຾ນ່ຄໜຶໃຄຓີ120 ຽ຃ືໃບຄ ຖທຓບາງຸ຋ັຄໝ຺ຈ຾ຓ່ຌ ແຈ້ 3.000 ຎີ ຃ໞາຏັຌຎ່ຼຌຂບຄບາງຸ຋ັຄໝ຺ຈ຾ຓ່ຌ6.25 ຎີ ຊໟາ ຽ຃ືໃບຄ຅ັກ຋ີໃ 1 ຓີບາງຸ30 ຎີ ຾ຖະ ຃ໞາ ຓາຈຉະຊາຌຂບຄບາງຸຽ຃ບໃື ຄ຅ັກ຋ໃ1ີ ນົາງກທໞ າຽ຃ໃບື ຄ຅ັກ຋2ໃີ ຾ຓ່ຌ 0.5 ຎີ ຊາຓທໞາ ຽ຃ືໃບຄ຅ັກ຋ີໃ 2 ຓີບາງຸ ຅ກັ ຎ.ີ ? 7. ຅າກກາຌກທຈຘບຍກາຌຽປຈັ ທຼກຂບຄ຋ໟາທ ກ ເຌທັຌ຅ັຌ, ທັຌຑຸຈ ຾ຖະ ທັຌຘຸກ຿ຈງຌັຍຘິໃຄຂບຄ຋ີໃ ຋ໟາທ ກ ຽປັຈແຈ້ ຏຌ຺ ຎະກ຺ຈທໞາ ທຌັ ຅ັຌຽປັຈແຈ້47 ບັຌ, ທັຌຑຸຈຽປັຈແຈ້48 ບັຌ ຾ຖະ ທັຌຘຸກຽປັຈແຈ້ 45 ບັຌ, ຽຆິໃຄ຃ໞາຘະຽຖ່ງ ຾ຖະ ຃ໞາຏັຌຎ່ຼຌຓາຈຉະຊາຌຂບຄ຅໣າຌທຌຘິໃຄຂບຄ຋ີໃຑະຌັກຄາຌຽປັຈແຈ້ 69

຾ຉ່ຖະ຃຺ຌເຌທັຌ຅ັຌ, ຑຸຈ ຾ຖະ ຘຸກ຾ຓ່ຌ 49, 50, 47, ຾ຖະ 3, 1, 2 ຉາຓຖ໣າຈັຍ຅າກຂ໣ໄຓູຌ ຈັໃຄກາໞ ທຊາໟ ຎຼຍ຋ຼຍຏຌ຺ ຄາຌຂບຄ຋າໟ ທ ກ ຏຌ຺ ຘະນຼຸຍຂ໣ໄເຈຊກື ຉໟບຄ຃:ື 1) ຋າໟ ທ ກ ຽປຈັ ທຼກເຌທັຌ຅ຌັ ແຈ້ຈ຋ີ ໃຘີ ຸຈ 2) ຋ໟາທ ກ ຽປຈັ ທຼກເຌທຌັ ຅ັຌແຈ້ຈ຋ີ ໃຘີ ຸຈ ຾ຖະ ທຌັ ຘຸກຍ໣ໃແຈ້ຈີ 3) ຋າໟ ທ ກ ຽປັຈທຼກເຌທຌັ ຑຸຈແຈຈ້ ຋ີ ໃຘີ ຈຸ 4) ຋ຄັ ຘາຓທຌັ ຾ຓ່ຌຽປຈັ ແຈ້ຈຽີ ຋຺ໃາກຌັ . 8. ຃ະ຾ຌຌຽຘັຄຂບຄທຆິ າຘະຊຉິ ິຂບຄຌັກປຼຌກຸ່ຓໜຶໃຄຓີກາຌ຅ັຈ຾຅ຄຎ຺ກະຉິ຿ຈງເຆ້ຽກຌຉັຈຘິຌຏ຺ຌກາຌຘບຍ ຽຘຄັ ທາໞ ຊໟາຌັກປຼຌແຈ້຃ະ຾ຌຌຓາຈຉະຊາຌຂບຄກາຌຘບຍຽຘັຄທິຆາຌໄີນາົ ງກໞທາ -1.96 ຅ະຊືທໞາຽຘັຄຏໞາຌ ປູ້ ທໞາຑືໄຌ຋ີໃເຉ້ຽຘັໄຌ຿຃້ຄຎ຺ກະຉິຽຓືໃບຓີ຃ະ຾ຌຌຓາຈຉະຊາຌ ນົາງກໞທາ -1.96 ຾ຓ່ຌຽ຋຺ໃາກັຍ0.025 ຊໟາຓີ ຌັກປຼຌຽຂໄາ຺ ຘບຍຽຘັຄທິຆາຌີໄ120 ຃ຌ຺ ຅ະຓີຌັກປຼຌຽຘັຄແຈ້຋ຄັ ໝ຺ຈ຅ັຌ຃຺ຌ. 9.ກາຌກທຈຘບຍກ ໞຼທກ ັຍຽ ຆືໄບແຂ້ນທັຈຘັຈຎີກ຅໣າຌທຌໜຶໃຄ ຓີກ າຌ຅ັຈ຾຅ຄຎ຺ກ ະຉິ ຽ ຆິໃຄຓີ຃ໞາ ຘ໣າຎະຘິຈຂບຄ ຃ທາຓຏັຌຎ່ຼຌຽ຋຺ໃາ   0.25 ຾ຖະ ຃ໞາຏັຌຎ່ຼຌຓາຈຉະຊາຌ ຽ຋຺ໃາກັຍ   3 ຊາຓທໞາ຃ໞາຓັຈຊະງະ  ຊາຌຂບຄຽຆືໄບແຂ້ນທຈັ ຓ຃ີ ໞາຽ຋າ຺ໃ ເຈ.? 70

ຍຈ຺ ຋ີ 4 ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້ (Probability) ກຌັ ຖະງາທາຌິຘຍັຌຆາ(2545) ແຈເ້ ນຌ້ ິງາຓທໞາ: ທຆິ າຘະຊິຉິ ຽຎັຌທຆິ າ຋ີໃກໞຼທຂໟບຄກັຍຘິໃຄ຋ີໃຓີກາຌ ຎ່ຼຌ຾ຎຄ ນົື ຃ທາຓຍ໣ໃ຾ຌ່ຌບຌ (Uncertainly), ຘະຌັໄຌ ເຌກາຌ຃າຈ຃ະຽຌ ຽນຈກາຌຉໞາຄໂ ຋ີໃງັຄຍ໣ໃ຋ັຌ ຽກີຈຂືໄຌ ຅າ໣ ຽຎັຌ຅ະຉໟບຄຓີຽ຃ບືໃ ຄຓື ຋ີໃ຅ະເຆທ້ ັຈ຃ທາຓຍ໣ໃ຾ຌ່ຌບຌຌັໄຌ. ຽ຃ບໃື ຄຓື ຋ໃ຅ີ ະເຆ້ທັຈ຃ທາຓຍໃ໣຾ຌຌ່ ບຌຂບຄຽນຈກາຌເຈ ຽນຈກາຌຌຶໃຄ ກ໣ໃ຃ື ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ເຌ ຋າຄ ຎະຉຍິ ຈັ ຽປາ຺ ຅ະຉບໟ ຄຌ໣າຽບ຺າ຃ທາຓປູ້ ຋ີໃຓີດູ່ເຌຉ຺ທ຾຋ຌແຎ຋໣າກາຌຘະນຼູຍ ນົື ບະ຋ິຍາງຖັກຘະຌະຂບຄຎະຆາ ກບຌ ຿ຈງບາແຘຑຌືໄ ຊາຌຂບຄ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້. 4.1 ຃ທາຓໝາງຂບຄ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ (Meaning of probability) ກຌັ ຖະງາທາຌິຘຍັຌຆາ(2545) ແຈ້ເນ້ຌິງາຓທໞາ: ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ໝາງຽຊິຄ ຃ໞາ຋ີໃເຆ້ຍບກ ຽນຈ ກາຌ (Event) ຌຶໃຄໂ ຓີ຿ບກາຈ຋຅ໃີ ະຽກີຈຂໄຌື ນາົ ງໜບໟ ງຑຼຄເຈ. ຉ຺ທດ່າຄ . 1. ກາຌ຿ງຌຽຄິຌນົຼຌຌໃຶຄ຃ຄໄັ ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້຋ໃ຅ີ ະຽກຈີ ໜາໟ ນ຺ທ ຓີ຃ໞາຽ຋ໃ຺າ1/2 ຽຖກ຃ູ່ 2. ກາຌ຿ງຌໝາກກະຖບກ1ຖກູ ຌຄໃຶ ຃ັໄຄ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ຋້ ໃີ຅ະແຈ້຾ຉຓ້ ຾ຉ່ຖະໜາໟ ຽ຋າໃ຺ 1/6 . 3. ກາຌ຿ງຌໝາກກະຖບກ1ຖູກຌຶໃຄ຃ັໄຄ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຋ີໃ຅ະແຈ້຾ຉ້ຓ ຾ຉ່ຖະໜໟາຽຎັຌ (2,4,6 ) ຓີ຃າໞ ຽ຋຺ໃາ1/2 ນືົ 3/6. ຈັໃຄຌັໄຌ, ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຅ິໃຄໝາງຽຊິຄ຃ໞາ຃ທາຓຊີໃຘ໣າຑັຈ (Relative freguency) ຽຆິໃຄຽປ຺າຘາຓາຈ ຂຼຌຘູຈ: ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈຂ້ ບຄ(ຽນຈກາຌຌຄໃຶ )= n ; N n: ຅າ໣ ຌທຌຽນຈກາຌ຋ໃຽີ ປ຺າຘຌ຺ ເ຅. N: ຅໣າຌທຌຽນຈກາຌ຋ໃຽີ ຎຌັ ແຎແຈ຋້ ຄັ ໝ຺ຈ. 4.2 ກຓຸ່ ກັຍ ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ (Sets and probability) 4.2.1 ກຓຸ່ (Sets) ກຸ່ຓ ໝາງຽຊຄິ ຃໣າຍຌັ ງາງຖັກຘະຌະຂບຄຘໃຄິ ຂບຄຉາໞ ຄໂ ຋ໃີຓີ຃ທາຓໝາງດາ່ ຄ຅ະ຾຅້ຄຽຆໃຌັ : 1. ກຸ່ຓ A ຎະກບຍຈໟທງຘະຓາຆິກ2,4,6,8 ຽປ຺າຂຼຌແຈ້ A= 2,4,6,8 . 2. ກຓຸ່ B ຾ຓ່ຌກຓຸ່ ຅໣າຌທຌຉທ຺ ຽຖກເຌກາຌ຿ງຌໝາກກະຖບກ1ຖູກ B= 1,2,3,4,5,6 3. ກຸ່ຓ C ຽຎຌັ ກຓຸ່ ຂບຄຍຌັ ຈາ຾ຂທຄເຌຑາກກາຄຂບຄຖາທ C=  X /X຾ຓ່ຌຍຌັ ຈາ຾ຂທຄເຌຑາກກາຄຂບຄຖາທ  . ຅າກຉ຺ທດ່າຄຂາໟ ຄຽ຋ຄິ ຅ະຽນັຌແຈທ້ າໞ ກຓຸ່ ຎະກບຍຈໟທງ຅າ໣ ຌທຌຉ຺ທຽຖກ ນົື ຆືໃຉໞາຄໂຽຆິໃຄຽປ຺າຽບີໄຌທໞາ ຘະ ຓາຆກິ (Element or member) ຂບຄກຸ່ຓ. 71

4.2.2 ກ່ຓຸ ຉທ຺ ຾຋ຌ ຾ຖະ ຽນຈກາຌ (Sample space and event) ກ. ກຓຸ່ ຉ຺ທ຾຋ຌ (Sample space) ຊໟາຽປ຺າ຿ງຌຽຄິຌນົຼຌ1ບັຌ1຃ັໄຄ ຏ຺ຌ຋ີໃຽກີຈຂືໄຌ຅າກກາຌ຿ງຌນົຼຌ ບາຈ຅ະຽຎັຌນ຺ທ (H) ນົື ກໟບງ (T) ຽຆິໃຄຎະກບຍຓີຘບຄ຋າຄບບກ (Outcome) ຾ຖະ ກາຌ຿ງຌໝາກກະຖບກ1ຖູກ ຓີ 6 ຋າຄບບກ ຾ຓ່ຌ ຽປາ຺ ບາຈຂຼຌເຌປູຍຂບຄກຸ່ຓຈຄັໃ ຌໄ:ີ A= H,T ຅າກກາຌ຿ງຌນົຼຌ1ບຌັ 1຃ັຄໄ . H: ໜໟານ຺ທ. T: ໜໟາກໟບງ. B= 1,2,3,4,5,6 ຅າກກາຌ຿ງຌໝາກກະຖບກ1ຖູກ1຃ັໄຄ. ກຸຓ່ ຽຆິໃຄຘະຓາຆິກຽກີຈ຅າກຏ຺ຌຂບຄກາຌ຋຺ຈຖບຄ ຋ີໃຽຎັຌແຎແຈ້຋ັຄໝ຺ຈຽບີໄຌທໞາ: ກຸ່ຓຉ຺ທ຾຋ຌ ຾ຖະ ຘະຓາຆິກຌໃຶຄໂ ຂບຄກ່ຓຸ ຉທ຺ ຾຋ຌ ຽບຌີໄ ທາໞ (Sample point), ຈໃັຄຌັຌໄ . A= H,T ຓີ 2 ຘະຓາຆກິ ຂບຄກຓຸ່ ຉ຺ທ຾຋ຌ. B= 1,2,3,4,5,6 ຓີ 6 ຘະຓາຆິກຂບຄກຸ່ຓຉ຺ທ຾຋ຌ. ນົື B=  ຓີ຾ຉຓ້ ຽຎຌັ ຽຖກ຃ູ່, ຓີ຾ຉ້ຓຽຎຌັ ຽຖກ຃ກີ  2 ຘະຓາຆກິ ຂບຄກຸ່ຓຉ຺ທ຾຋ຌ. ຘະຌໄຌັ ຏ຺ຌຂບຄກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄ຃ັໄຄຌຶໃຄໂ຅ະຉໟບຄຓີກຸ່ຓຉ຺ທ຾຋ຌຌຶໃຄຂຶໄຌດູ່ກັຍທໞາ ຘະຓາຆິກຂບຄ ກຸ່ຓຉ຺ທ ຾຋ຌຌໄຌັ . ຂ. ຽນຈກາຌ (Event, E) ຽນຈກາຌ ໝາງຽຊຄິ ກຓຸ່ ງບໞ ງ ຂບຄກຸຓ່ ຉທ຺ ຾຋ຌຌຶໃຄ. ຉທ຺ ດາ່ ຄ. 1) ກາຌ຿ງຌນຼົ ຌ1຃ຄັໄ A= H,T ຊາໟ ທາໞ E=(H) ຽກຈີ ໜໟານ຺ທ. E ຽຎັຌກຸຓ່ ງໞບງຂບຄA ຽຆິໃຄຽຎັຌຽນຈກາຌຌໃຄຶ . 2) ກາຌ຿ງຌນົຼຌຌໃຶຄບຌັ 3຃ັໄຄ ຋າຄບບກ຋ຽໃີ ຎັຌແຎແຈ຋້ ຄັ ໝ຺ຈ ຋ຎີໃ ະກບຍຽຎັຌກຸ່ຓຉ຺ທ຾຋ຌຈັໃຄຌີໄ: A = (HHH,HHT,HTH,THH,TTH,THT,HTT,TTT) ຊາໟ ເນ້ B = ( HHH,HHT,HTH,THH) ຽນຌັ ທໞາ B ຽຎຌັ ກຓຸ່ ງບໞ ງຂບຄກຸ່ຓຉທ຺ ຾຋ຌ . ຘະຌຌັໄ B ຽຎຌັ ຽນຈກາຌຌໃຄຶ ຋ໃ຅ີ ະຽກຈີ ໜໟານທ຺ ດ່າຄໜໟບງ2຃ໄຄັ ຅າກກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄຘາຓ຃ໄຄັ . ເຌ຃ະຌະຈຼທກຌັ ຽປ຺າຘາຓາຈຂຼຌຘະຓາຆິກຂບຄກ່ຓຸ ຉທ຺ ຾຋ຌ ແຈ້ບກີ ປູຍຌຄໃຶ ຃ື: A1= (0,1,2,3) ຌໄີ຾ຓຌ່ ຘະຓາຆກິ ຉທ຺ ຾຋ຌ ນືົ ຋າຄບບກ຋ຽໃີ ຎຌັ ໜໟານ຺ທ ຾ຖະ B1=(2,3) ຾ຓ່ຌກຸ່ຓ ງໞບງຂບຄ A1 B1 ຽຎັຌຽນຈກາຌຌຶໃຄ຋ໃຽີ ກຈີ ໜາໟ ນທ຺ ດ່າຄໜໟບງ2຃ໄຄັ . ຈັໃຄຌໄຌັ ຽປ຺າຘາຓາຈເນ້຃ທາຓໝາງ ຂບຄ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້ ເນ້ດູ່ເຌປູຍຂບຄກຸ່ຓ຃ື: 72

຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ຂບຄ(ຽນຈກາຌຌຶຄໃ )= P ; S P: ຅໣າຌທຌຘະຓາຆິກ຋ຽໃີ ຎຌັ ຉທ຺ ຾຋ຌ ຂບຄຽນຈກາຌຌັໄຌ. S: ຅໣າຌທຌຘະຓາຆິກ຋ັຄໝຈ຺ ຂບຄກຓຸ່ ຉທ຺ ຾຋ຌ. ຅າກຉ຺ທດາ່ ຄ( 2) ຘຓ຺ ຓຸຈທໞາ ຽນຈກາຌ຋ໃີຽປາ຺ ຘຌ຺ ເ຅ ຃ືກາຌຽກີຈໜາໟ ນທ຺ ດ່າຄໜໟບງ2຃ັຄໄ , ຈັຄໃ ຌຌັໄ ,຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້(ກາຌຽກີຈໜໟານທ຺ ດ່າຄຌບໟ ງ2຃ັໄຄ)= P . S P: ຅໣າຌທຌຘະຓາຆິກຉ຺ທ຾຋ຌ ເຌ B1 = 2. S: ຅໣າຌທຌຘະຓາຆກິ ຉທ຺ ຾຋ຌ ເຌ A1 = 4. # ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ(້ ກາຌຽກີຈໜາໟ ນທ຺ ດ່າຄໜໟບງ2຃ຄັໄ )= P = 2  1 ; S 42 ຿ຈງທ຋ິ ກີ າຌເໝ່ ຅ະຽປັຈເນ້ ກາຌ຃າ໣ ຌທຌ຃ໞາ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈຄ້ າໞ ງ ຾ຖະ ຘະຈທກຂໄືຌ. 4.3 ຽຄໃືບຌແຂຂບຄ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ (Criteria of probability) ຊໟາກ໣າໜ຺ຈເນ້E ຽຎັຌຽນຈກາຌຌຶໃຄ, ຽປ຺າຘາຓາຈຂຼຌ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ຂບຄຽນຈກາຌຌັໄຌ຾ຓ່ຌPr (E).ຈຄໃັ ຌຌໄັ ຽຄືບໃ ຌແຂຂບຄ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຾ຓຌ່ : 1. Pr (E) = 0:1 2. Pr (E) = 0 ຽນຈກາຌຌຌໄັ ຍ໣ໃຓີກາຌຽກີຈຂໄຌື ຽຖງີ ໝາງທໞາ: E = (Ø) . 3. Pr (E) = 1 ຽນຈກາຌຌໄຌັ ຅ະຉບໟ ຄຽກີຈຂໄຌື ດາ່ ຄ຾ຌຌ່ ບຌ. 4.4 ກາຌ຃າ໣ ຌທຌ຃ໞາ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້ (Calculation of probability) ຑທກຽປາ຺ ແຈ້ປູ້຾ຖທ້ ທາໞ ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ ຾ຓ່ຌບັຈຉາຘໞທຌຖະນໞທາຄ຅໣າຌທຌ ຘະຓາຆິກຉ຺ທດ່າຄຂບຄ ຽນຈກາຌ ກຍັ ຅າ໣ ຌທຌ ຘະຓາຆກິ ຉທ຺ ຾຋ຌຂບຄກຸ່ຓຉ຺ທດ່າຄ, ຈັໃຄຌັໄຌ ກາຌ຃໣າຌທຌ຃ໞາ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ ຅ິໃຄ຅໣າ ຽຎັຌ ຅ະຉບໟ ຄ ຃໣າຌທຌນາ຃ໞາ ຂບຄຉ຺ທຉັໄຄ ຾ຖະ ຉ຺ທນາຌເນ້ແຈ້ຽຘງກໞບຌ ເຌຍາຄກ໣ຖະຌີ ຽປ຺າຘາຓາຈຆບກ ແຈ້຅໣າຌທຌຘະຓາຆິກຉ຺ທດ່າຄ຿ຈງກ຺ຄ ຾ຉ່຿ຈງ຋຺ໃທແຎ ຽປ຺າຍ໣ໃຘາຓາຈຽປັຈແຈ້ ຅໣າຽຎັຌຉໟບຄບາແຘ ຃ທາຓປູ້຋າຄ ຃ະຌຈິ ຘາຈຽຂໄາ຺ ຓາຆໞທງເຌກາຌ຃າ໣ ຌທຌ ຽຎັຌຉໄຌ຺ ຾ຓຌ່ ກຈ຺ ກາຌຍທກ ຾ຖະ ກ຺ຈກາຌ຃ູຌ. ຘະນຼຸຍກໞຼທກຍັ ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ.້ 1. ຊາໟ A ຾ຖະ B ຽຎຌັ ຽນຈກາຌຽບກະຖາຈ Pr(A ນືົ B) = Pr(A)+Pr(B). 2. ຊໟາ A ຽຎຌັ ຽນຈກາຌຎະກບຍຂບຄ A’ Pr(A)=1 - Pr(A’). 73

4.5 ປູຍ຾ຍຍຂບຄ ກາຌ຅ຈັ ຾຅ຄ຃ໞາ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້ (Models of probability distribution) 4.5.1 ກາຌ຅ຈັ ຾຅ຄ຾ຍຍ຋ະທຌີ າຓ (Binomial distribution) ຌ຺ຍຑະຑບຌ ຋ະຌັຌແຆ (2009) ແຈ້ຑິ຅າຖະຌາຘບຄກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄຉໃ໣ແຎຌີໄ: 1) ເຌກາຌ຿ງຌນົຼຌ 5 ຃ັໄຄ ຑ຺ຍທໞາ຾ຉ່ຖະ຃ັໄຄ ຏ຺ຌ຋ີໃແຈ້ປັຍ ບາຈ຅ະຽຎັຌນ຺ທ ຾ຓ່ຌຘ຺ຓນັທຄ (Success) ນືົ ກໟບງ ຾ຓ່ຌຏຈິ ນັທຄ (Failure) ເຌຂະຌະຈຼທກຌັ ກາຌຽກຈີ ນ຺ທ ນືົ ກໟບງ ເຌກາຌ຿ງຌ຃ັໄຄ຋໣າ ບຈິ ຅ະຍ໣ໃຓີຏຌ຺ ກະ຋ຍ຺ ຉໃ໣ກຍັ ກາຌຽກີຈນ຺ທ ນືົ ກໟບງ ເຌກາຌ຿ງຌ຃ໄັຄ຋ຘີ ບຄ ນົື ຃ັໄຄຉ໣ໃໂແຎ ຾ຖະ ຃ທາຓຽຎັຌ ແຎແຈ້຅ະຓ຃ີ າໞ ຽ຋຺ໃາກຍັ 1 ຘະຽໝີ. 2 2) ເຌກາຌຈຶຄແຑ້5ເຍ ບບກ຅າກຆຸຓແຑ້ ຿ຈງກາຌຈຶຄຽ຋ືໃບຖະເຍ ຾ຖະ ຓີກາຌຽບ຺າເຘ່຃ືຌ ຘ໣າຖັຍ ກໞບຌ຅ະຈຄຶ ເຍຉ໣ໃແຎ ຅ະຽນັຌແຈ້ທາໞ ໜາໟ ແຑ຋້ ແໃີ ຈ້຅າກກາຌຈຶຄ຾ຉ່ຖະ຃ັໄຄ ບາຈຽຎັຌຘີ຾ຈຄ ນົື ຘີຈ໣າ ກ໣ໃຍ໣ໃຓີຏ຺ຌກະ ຋ຍ຺ ຉໃ໣ກາຌຈຄຶ ແຑ້ເຍຉ໣ໃແຎ ຾ຖະ ຃າໞ ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້ ຋ີໃ຅ະແຈ້ແຑ້ຘີ຾ຈຄ ນົື ຘີຈ໣າ ຅ະຓີ຃ໞາຽ຋຺ໃາ 1 ຘະຽໝີ, ຈັໃຄ 2 ຌັຌໄ ກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄ຋ຄັ ຘບຄ຅ະຓີ຃ຸຌຖັກຘະຌະ຃ກື ັຌຘບຄຎະກາຌ຃:ື ກາຌຈ໣າຽຌີຌ (Trial) ຾ຉຖ່ ະ຃ັໄຄຂບຄກາຌ຋຺ຈຖບຄຌຶໃຄໂ຾ຓ່ຌ ບິຈຘະນົະຉ໣ໃກັຌ ຾ຖະ ຃ໞາ຃ທາຓຽຎັຌ ແຎແຈ້ຂບຄ຋າຄບບກ ຋ໃີຽກີຈ຅າກກາຌກະ຋໣າ ຾ຉ່ຖະ຃ັໄຄ ຓີ຃ໞາ຃຺ຄ຋ີໃ ຽ຋຺ໃາ 1 , ກາຌ຋຺ຈຖບຄ຋ັຄຘບຄຈັໃຄກໞາທຂໟາຄ 2 ຽ຋ຄິ ຽຎຌັ ກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄ຾ຍຍ຋ະທຌີ າຓ (Binomialexperiment). ຘະຌໄຌັ ກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄ຾ຍຍ຋ະທຌີ າຓ ຅ິຄໃ ຓີ຃ຌຸ ຖັກຘະຌະຈັໃຄຉ໣ໃແຎຌໄ:ີ ກ. ກາຌ຋຺ຈຖບຄຎະກບຍຈໟທງ ກາຌຈ໣າຽຌີຌຆ໣ໄາໂກັຌ n ຃ັໄຄ, ຾ຉ່ຖະ຃ັໄຄບິຈຘະນົະຉ໣ໃກັຌ (Independent trial). ຂ. ກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄ຾ຉ່ຖະ຃ໄັຄ ຅ະແຈ້ຏຌ຺ ນືົ ຋າຄບບກ ຋ໃີຘາຓາຈ຅າ໣ ຾ຌກແຈຘ້ ບຄ຋າຄ຃:ື ຘ຺ຓນັທຄ ຾ຖະ ຏຈິ ນທັ ຄ. ຃. ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້຋ໃ຅ີ ະຽກີຈຏ຺ຌ຋ໃຘີ ຺ຓນັທຄ ຾຋ຌຈໟທງ P ຅ະຓີ຃ໞາ຃຺ຄ຋ີໃ ຅າກກາຌ຋຺ຈ ຖບຄຌຶໃຄແຎ ງັຄບກີ ກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄຌຄຶໃ . ຊໟາກ໣າຌ຺ຈເນ້ X ຽຎັຌ຅໣າຌທຌ຃ັໄຄ ຋ີໃ຅ະຽກີຈ຃ໞາຘ຺ຓນັທຄ ຅າກກາຌ຋຺ຈຖບຄ n ຃ັໄຄເຌກາຌ຋຺ຈຖບຄ ຾ຍຍ຋ະທີຌາຓ, X ຽຎັຌຉ຺ທຎ່ຼຌຍັຄຽບີຌ຾ຍຍ຋ະທີຌາຓ (Binomial random variable) ຾ຖະ ກາຌ຅ັຈ ຾຅ຄ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ ຂບຄຉທ຺ ຎ່ຼຌຍັຄຽບີຌ຾ຍຍ຋ະທີຌາຓ X ຽບໄີຌທໞາ ກາຌ຅ຈັ ຾຅ຄ຾ຍຍ຋ະທຌີ າຓ. ຽປາ຺ ທາຄເນ:້ 74

n: ຅າ໣ ຌທຌ຃ໄຄັ ຂບຄກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄ຃ໄັຄຌໃຶຄໂ. P: ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ຂບຄ຋າຄບບກ຋ໃຘີ ຓ຺ ນທັ ຄເຌກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄ຃ຄັໄ ຌຶຄໃ ໂ. q: ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້ຂບຄ຋າຄບບກ຋ໃຏີ ຈິ ນທັ ຄ (q=1 P) # ເຌກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄ n ຃ຄໄັ ຅ະແຈ້຃ໞາ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້ ຂບຄກາຌຽກຈີ ຏ຺ຌ຋ໃີຘ຺ຓນັທຄ x ຃ັໄຄຈໃຄັ ຌ:ີໄ Pr(X  x)  CnxPxqnx ; x = 0,1,2,3,...,n ; cx  n! ຆຈຸ ຂບຄກາຌຽຖບື ກ. n x !(n  x)! n! n(n 1)(n  2)(n  3)...3.2.1 0!=1 ; ຉ຺ທດາ່ ຄ. ເຌກາຌ຿ງຌນົຼຌ5຃ັໄຄ ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ຂບຄກາຌຽກີຈນ຺ທ ເຌກາຌ຿ງຌ຾ຉ່ຖະ຃ັໄຄ P =1/2, 1. ຾ຖະ ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ຂບຄກາຌຽກີຈກໟບງ຾ຉ່ຖະ຃ັໄຄ q =1-P =1/2, ຘະຌັໄຌ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ ຂບຄກາຌຽກີຈນທ຺ x ຃ຄັໄ ເຌກາຌ຿ງຌນົຼຌ5຃ໄັຄ຅ະຓີ຃ໞາຈັຄໃ ຌໄີ: cPr( X  x)  x Pxq5x 5 x  0,1,2,3,4,5 -຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ຂບຄກາຌຽກີຈນ຺ທ3຃ຄໄັ ຾ຓ່ຌ:  12 3  12 53 10 32 CPr( X  3) 3  ; 5 -຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ຂບຄກາຌຽກີຈນທ຺ 0຃ັຄໄ ຾ຓ່ຌ: CPr( X  0) 0  12 0  12 5  1; 5 32 ຅າ໣ ຌທຌ຃າໞ ຋ໃີງັຄຽນືົບເຌກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄຌຌັໄ ຅ະແຈກ້ າຌ຅ັຈ຾຅ຄ຃າໞ ຂບຄ x ຈຄໃັ ຌໄີ: ຉາຉະຖາຄ຋ີ 22 . ກາຌ຅ຈັ ຾຅ຄ຃າໞ ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ.້ 75

(x) 0 1 2 3 45 Pr(X=x) 1/32 5/32 10/32 10/32 5/32 1/32 0.35 0.03125 0.3 0.3125 0.3125 Pr(X=x) 0.25 0.2 0.15625 0.15625 0.15 0.032125 0.1 Pr(X =x) £¾È -£-¸¾´-À¯ñ-įÄ- ©É 0.05 0 ປຍູ ຋ີ 31: ກາຌ຾຅ກດາງ຃ໞາ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້຾ຍຍ຋ະທຌີ າຓ ເຌກາຌຎະຉຍິ ຈັ ຉທ຺ ຅ຄິ ຽປ຺າບາຈຘ຺ຌເ຅຃າໞ ຂບຄ x ຽຎັຌຆໞທຄ ທໞາ຅ະຓີ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ຽ຋຺ໃາເຈ ຾ຖະ ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້຋຅ໃີ ະຽກຈີ ຏ຺ຌ຋ີໃຘ຺ຓນທັຄ ເຌ຾ຉ່ຖະ຃ັໄຄບາຈຽຎັຌ຅໣າຌທຌ຃຺ຄ຃ໞາ຋ີໃ ຋ີໃຍ໣ໃ຾ຓ່ຌ 1/2 ຽປ຺າບາຈ຃໣າ ຌທຌແຈ້຿ຈງທ຋ິ ີຈຼທກັຌ ຈຄໃັ ຉທ຺ ດາ່ ຄຉໃ໣ແຎຌ:ີໄ 2. ເຌກາຌ຿ງຌນົຼຌ5຃ໄຄັ : 2.1) ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ຋້ ໃ຅ີ ະຽກີຈໜໟານທ຺ ດາ່ ຄຌໟບງ2຃ໄຄັ ຾ຓຌ່ : 5 Pr(X  2)   Pr(X  x) x2  Pr(X  2)  Pr(X  3)  Pr(X  4)  Pr(X  5)  10  10  5  1 32 32 32 32  26  0.812 32  PrX  2  0.812; 76

2.2) ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຋ໃີ຅ະຽກຈີ ນທ຺ ນົາງກໞທາ2຃ັໄຄ຾ຉ່ຌບໟ ງກໞທາ ນົື ຽ຋າ຺ໃ 4 ຃ັໄຄ຾ຓ່ຌ: 4 Pr(2  X  4)   Pr(X  x) x3  Pr(X  3)  Pr(X  4)  10  5 32 32  15  0.468 32  Pr2  X  4  0.468; 2.3) ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້຋ີໃ຅ະຽກີຈນ຺ທດ່າຄຌໟບງ1຃ໄຄັ ຾ຓ່ຌ: 5 Pr(X  1)  Pr(X  x) x1  Pr(X  1)  Pr(X  2)  ...  Pr(X  5) ນືົ Pr( X  1)  1  Pr( X  0) ; 1 1 32  31  0.968 32 PrX  1  0.968; 3. ເຌກາຌຘ໣ານົທຈຉໄ຺ຌແຓ້ດູ່ຎາ່ ຎູກ຾ນ່ຄໜຶຄໃ ຑ຺ຍທໞາ 25% ຂບຄຉ຺ໄຌແຓ້ເຌຎ່າຎູກ຾ນ່ຄຌັໄຌຽຎັຌແຓ້ຂໞາ ຊໟາ ຍຄັ ຽບີຌຽບ຺າຉທ຺ ຾຋ຌແຓ້ຓາ 4ຉ຺ໄຌ ຅຺ໃຄຆບກນາ຃ໞາ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຋ີໃ຅ະຑ຺ຍທໞາ ດ່າຄຌໟບງ 1ຉ຺ໄຌ ຽຎັຌ ແຓ້ຂາໞ . ຍ຺ຈ຾ກ້: ປູ້ທາໞ ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້຋ໃີແຓ້ເຌຎ່າຎູກ 25% ຽຎັຌແຓ້ຂໞາ ນົື P=1/4; ຅າກຘູຈ: CPr( X  x)  x Pxqnx n 4  Pr( X  1)   Pr( X  x) x 1 x  0,1,2,3,4;  Pr( X  1)  1  Pr( X  0)  1  0  43 4 175 4 256 C 1 0   0,683; 4  Pr( X  1)  0,683; 77

4.5.2 ກາຌຎະຓາຌ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈຂ້ ບຄກາຌ຅ຈັ ຾຅ຄ຾ຍຍ຋ະທຌີ າຓ ຈທໟ ງກາຌ຅ຈັ ຾຅ຄຎກ຺ ະຉິ (Probability estimation of binomial by normal distribution) ກັຌຖະງາທາຌຘິ ຍັຌຆາ(2545) ແຈ້ເນ້ຌິງາຓທາໞ : ປູ້ທໞາ n ຽຎຌັ ຅໣າຌທຌ຃ໄຄັ ຂບຄກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄ ຊໟາກາຌ ຋ຈ຺ ຖບຄນາກຽຑໃຓີ ຂືຌໄ ກາຌ຃າ໣ ຌທຌ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຾ຍຍ຋ະທີຌາຓ຅ະຍ໣ໃຘະຈທກ ຋ັໄຄເຌກາຌ຃໣າຌທຌນາ຅໣າ ຌທຌທິ຋ີກາຌຽຖືບກ (Combination) ຾ຖະ ກ໣າຖັຄ຋ີໃຘູຄຂືໄຌຂບຄ຃ໞາ P ຋ີໃຓີ຃ໞາເກ້຃ຼຄ 1/2 ຅ະງັຍຽຂ຺ໄາເກ້ ກາຌ຅ັຈ຾຅ຄ ຎກ຺ ະຉິ ຽຓໃືບ຃າໞ n ຽຑີໃຓຂືຌໄ . ຘະຌຌໄັ ກາຌ຃າ໣ ຌທຌ຃າໞ ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ ຾ຍຍ຋ະທຌີ າຓ ຅ິໃຄຘາຓາຈຎະຓາຌຈໟທງກາຌເຆ້ກາຌ຾຅ກ ດາງຎ຺ກະຉິ ຽຆິໃຄຘະ຾ຈຄເນ້ຽນັຌ ຃ໞາຘະຽຖ່ງ ຾ຖະ ຃ໞາຍິຈຽຍືບຌຓາຉະຊາຌ ຂບຄກາຌ຅ັຈ຾຅ຄ຾ຍຍ຋ະທີ ຌາຓຽຆໃິຄຓີ຃ໞາ຾ຓຌ່ :   nP  2  nPq ຊາໟ ຉທ຺ ຎ່ຼຌ ຍຄັ ຽບີຌ x (຃ໞາ຋ໃ຅ີ ະຘ຺ຓນັທຄ) ຓີກາຌ຅ັຈ຾຅ຄຽຂ຺ໄາເກ້ກັຍ ກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ ຅ະແຈ້ ຃ໞາຉທ຺ ຎຼ໋ ຌຍັຄຽບຌີ ຾ຍຍ຋ະທີຌາຓຓາຈຉະຊາຌ຾ຓ່ຌ: Z  X  nP nPq ຅ະຓີ຃ໞາ຿ຈງຎະຓາຌ ເກ້຃ຼຄກັຍກາຌ຾຅ກດາງຎກ຺ ະຉຓິ າຈຉະຊາຌ. ຉທ຺ ດາ່ ຄ : ເຌກາຌຘບຍຽຘັຄ຃ຈັ ຽຖືບກຽບ຺າຌັກປຼຌຽຂ຺ໄາປຼຌຎ່າແຓ້ ຂ໣ໄຘບຍຽຎັຌ຾ຍຍເນ້ຽຖືບກຽບ຺າຂ໣ໄ຋ີໃຊືກຉໟບຄ, ຽຆຄໃິ ເຌຌໄຌັ ຓີຂໄ໣ຘບຍ຋ຄັ ໝຈ຺ 200ຂໄ໣ ຾ຉ່ຖະຂຓໄ໣ ີ຃໣າຉບຍເນຽ້ ຖບື ກ 4຃໣າຉບຍ ຾ຉ່ຓີ 1຃໣າຉບຍ຋ີໃຊືກຉໟບຄ ຅຺ໃຄນາ ຃າໞ ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ຋້ ໃີຏຽູ້ ຂ຺ໄາຘບຍ຅ະຉບຍຂຘໄ໣ ບຍ຾ຍຍຽຈາ຺ ຍັຄຽບີຌແຈຊ້ ກື ຉບໟ ຄ 25ຂ໣ໄ ຅າກກາຌຽຈ຺າຉບຍ຋ັຄໝ຺ຈ 80ຂໄ.໣ ຍ຺ຈ຾ກ້: - ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຋ໃີ຅ະຉບຍຂໄ໣ຘບຍແຈ້ຊກື ຉໟບຄ຾ຉ່ຖະຂໄ໣ P=1/4. - X ຽຎຌັ ຅າ໣ ຌທຌຂ໣ໄ຋ໃີ຅ະຽຈ຺າເນຊ້ ກື ຉບໟ ຄ X=25. - ກາຌຽຈາ຺ ຉບຍ຅໣າຌທຌ80ຂໄ໣ n = 80. ຈັໃຄຌຌໄັ ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້຋ໃ຅ີ ະຽຈາ຺ ເນຊ້ ກື 25ຂໄ໣ ຿ຈງຌາ໣ ເຆກ້ າຌ຾຅ກດາງ຾ຍຍ຋ະທຌີ າຓ຅ະ຾ຓຌ່ :  1  25  43 8025 4 x Pxqnx  25 80 n C CPr(X = 25) = ; 78

ຽນຌັ ທໞາ ກາຌ຃ຈິ ແຖ່ຘຍັ ຘຌ຺ ນົາງ ຾ຉຊ່ ໟາເຆ້ກາຌ຃໣າຌທຌຈໟທງກາຌ຅ັຈ຾຅ຄ຾ຍຍຎ຺ກະຉິ ຾ຓ່ຌຽປ຺າ຅ະ ແຈ້: µ = nP = 80. 1 = 20; 4 2= nPq = 80.  1 . 3  = 15; 44 = 15 = 3,87 ; ຈັຄໃ ຌັໄຌ   X  nP  25  20  5  1,291;  3,87 3,87 Z = 1,291 ( ຽຍໃິຄຉາຉະຖາຄ2 ) ຓຽີ ຌືໄບ຋ີໃ຾ຓຌ່ 0,4015 ( Pr(X= 25)= 0,4015 ; ຉາຉະຖາຄ຋ີ 23 : ຃ໞາ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້຋ໃີຏຽູ້ ຂາໄ຺ ຘບຍ຅ະຉບຍຂ໣ໄຘບຍ຾ຍຍຽຈ຺າຍັຄຽບີຌແຈ້ຊືກຉໟບຄ 25 ຂໄ໣ ຅າກກາຌຽຈາ຺ ຉບຍ຋ຄັ ໝ຺ຈ 80 ຂ.໣ໄ ຉາຉະຖາຄ(2) ຃ທາຓຊຘິໃ ະຘຓ຺ ຂບຄກາຌ຾຅ກດາງຎ຺ກະຉິ Z Z ຓີ຃າໞ ຾ຉ່ 0 ນາ 4 Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.000 0.004 0.008 0.012 0.016 0.019 0.023 0.027 0.031 0.035 0.0 0 0 0 0 0 9 9 9 9 9 0.039 0.043 0.047 0.051 0.055 0.059 0.063 0.067 0.071 0.075 0.1 8 8 8 7 7 6 6 5 4 3 0.079 0.083 0.087 0.091 0.094 0.098 0.102 0.106 0.110 0.114 0.2 3 2 1 0 8 7 6 4 3 1 0.117 0.121 0.125 0.129 0.133 0.136 0.140 0.144 0.148 0.151 0.3 9 7 5 3 1 8 6 3 0 7 0.155 0.159 0.162 0.166 0.170 0.173 0.177 0.180 0.184 0.187 0.4 4 1 8 4 0 6 2 8 4 9 0.191 0.195 0.198 0.201 0.205 0.208 0.212 0.215 0.219 0.222 0.5 5 0 5 9 4 8 3 7 0 4 0.225 0.229 0.232 0.235 0.238 0.242 0.245 0.248 0.251 0.254 0.6 7 1 4 7 9 2 4 6 7 9 0.258 0.261 0.264 0.267 0.270 0.273 0.276 0.279 0.282 0.285 0.7 0 1 2 3 4 4 4 4 3 2 0.288 0.291 0.293 0.296 0.299 0.302 0.305 0.307 0.310 0.313 0.8 1 0 9 7 5 3 1 8 6 3 0.315 0.318 0.321 0.323 0.326 0.328 0.331 0.334 0.336 0.338 0.9 9 6 2 8 4 9 5 0 5 9 0.341 0.343 0.346 0.348 0.350 0.353 0.355 0.357 0.359 0.362 1.0 3 8 1 5 8 1 4 7 9 1 0.364 0.366 0.368 0.370 0.372 0.374 0.377 0.379 0.381 0.383 1.1 3 5 6 8 9 9 0 0 0 0 0.384 0.386 0.388 0.390 0.392 0.394 0.396 0.398 0.399 0.401 1.2 9 9 8 7 5 4 2 0 7 5 79

0.403 0.404 0.406 0.408 0.409 0.411 0.413 0.414 0.416 0.417 1.3 2 9 6 2 9 5 1 7 2 7 0.419 0.420 0.422 0.423 0.425 0.426 0.427 0.429 0.430 0.431 1.4 2 7 2 6 1 5 9 2 6 9 0.433 0.434 0.435 0.437 0.438 0.439 0.440 0.441 0.442 0.444 1.5 2 5 7 0 2 4 6 8 9 1 0.445 0.446 0.447 0.448 0.449 0.450 0.451 0.452 0.453 0.454 1.6 2 3 4 4 5 5 5 5 5 5 0.455 0.456 0.457 0.458 0.459 0.459 0.460 0.461 0.462 0.463 1.7 4 4 3 2 1 9 8 6 5 3 0.464 0.464 0.465 0.466 0.467 0.467 0.468 0.469 0.469 0.470 1.8 1 9 6 4 1 8 6 3 9 6 0.471 0.471 0.472 0.473 0.473 0.474 0.475 0.475 0.476 0.476 1.9 3 9 6 2 8 4 0 6 1 7 0.477 0.477 0.478 0.478 0.479 0.479 0.480 0.480 0.481 0.481 2.0 2 8 3 8 3 8 3 8 2 7 0.482 0.482 0.483 0.483 0.483 0.484 0.484 0.485 0.485 0.485 2.1 1 6 0 4 8 2 6 0 4 7 0.486 0.486 0.486 0.487 0.487 0.487 0.488 0.488 0.488 0.489 2.2 1 4 8 1 5 8 1 4 7 0 0.489 0.489 0.489 0.490 0.490 0.490 0.490 0.491 0.491 0.491 2.3 3 6 8 1 4 6 9 1 3 6 0.491 0.492 0.492 0.492 0.492 0.492 0.493 0.493 0.493 0.493 2.4 8 0 2 5 7 9 1 2 4 6 0.493 0.494 0.494 0.494 0.494 0.494 0.494 0.494 0.495 0.495 2.5 8 0 1 3 5 6 8 9 1 2 0.495 0.495 0.495 0.495 0.495 0.496 0.496 0.496 0.496 0.496 2.6 3 5 6 7 9 0 1 2 3 4 0.496 0.496 0.496 0.496 0.496 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 2.7 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 0.497 0.498 0.498 2.8 4 5 6 7 7 8 9 9 0 1 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 2.9 1 2 2 3 4 4 5 5 6 6 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.498 0.499 0.499 3.0 7 7 7 8 8 9 9 9 0 0 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.1 0 1 1 1 2 2 2 2 3 3 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.2 3 3 4 4 4 4 4 5 5 5 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.3 5 5 5 6 6 6 6 6 6 7 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.4 7 7 7 7 7 7 7 7 7 8 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.5 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.6 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 3.7 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 80

9999999999 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 0.499 3.8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 3.9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 0.500 4.0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4.5.3 ກາຌ຅ຈັ ຾຅ຄ຾ຍຍຎ຺ທຆ຺ຄ (Poisson distribution) ຌຍ຺ ຑະຑບຌ ຋ະຌຌັ ແຆ (2009) ແຈເ້ ນ຃້ າ໣ ຌິງາຓທໞາ: ກາຌ຅ັຈ຾຅ຄ຾ຍຍຎ຺ທຆ຺ຄຽຎັຌ຃ໞາ຅໣າຌທຌຌັຍ຋ໃີ ຽກີຈຂືໄຌ ເຌຆໞທຄຽທຖາ຋ີໃກ໣າຌ຺ຈ ນົືເຌຂບຍຽຂຈ຋ີໃກ໣າຌ຺ຈ ຾ຖະ ຓີ຃ໞາຘະຽຖ່ງຂບຄ຃ໞາ຅໣າຌທຌຌັຍ ຉ໣ໃຌຶໃຄນ຺ທ ໜທໞ ງຽທຖາ ນືົ ຉໃ໣ຂບຍຽຂຈຽຆໃຌັ : ຽຌບໄື ຋ໃີ ນົື ຎະຖິຓາຌ຋ີໃຓີ຃ໞາຉ໣ໃາ ຉ຺ທ຾຋ຌຂບຄຉ຺ທຎ່ຼຌຍັຄຽບີຌຎະຽຑຈຌີໄ ແຈ້ ຾ກ່຅າ໣ ຌທຌ຃ຄໄັ ຂບຄກາຌ຿຋ຖະຘຍັ ເຌຆທໞ ຄຽທຖາເຈຌຄໃຶ , ຅໣າຌທຌຘັຈ຋ີໃຓີດູ່ເຌຑືໄຌ຋ີໃເຈຌຶໃຄ ຾ຖະ ຅໣າຌທຌ຃໣າ ຋ໃຑີ ຓິ ຑິຈຉໃ໣ຌໃຶຄໜໟາກະຈາຈ.....ກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄ຾ຍຍຎທ຺ ຆ຺ຄ ຓີ຃ຸຌຘ຺ຓຍຈັ ຈັຄໃ ຉ໣ໃແຎຌີໄ: 1) ຃ໞາຘະຽຖ່ງຂບຄ຃ໞາ຅າ໣ ຌທຌຌັຍ (μ) ເຌຆທໞ ຄຽທຖາ຋ກໃີ າ໣ ຌ຺ຈ ນົື ເຌຂບຍຽຂຈ຋ໃີກ໣າຌ຺ຈ ຅ະຉໟບຄ ຽຎັຌ ຃ໞາ຋ປໃີ ູ້຾ຌຌ່ ບຌ. 2) ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຋ີໃຽກີຈ຃ໞາ຅໣າຌທຌຌັຍ ຋ີໃຽຎັຌ຃ໞາຘ຺ຓນັທຄ1຃ໞາ ເຌຆໞທຄຽທຖາຘັໄຌໂ ນົືເຌຂບຍ ຽຂຈຌໟບງໂ ຎ່ຼຌຉາຓຂະໜາຈຂບຄຆໞທຄຽທຖານົື ຂະໜາຈຂບຄຂບຍຽຂຈ ຅ະຍ໣ໃ ຂືໄຌກັຍ຃ໞາ຅໣າຌທຌຌັຍ຋ີໃຽກີຈ ຂຌືໄ ຑາງຌບກຆທໞ ຄຽທຖາ຋ກໃີ ໣າຌ຺ຈ ນືົ ຂບຍຽຂຈ຋ໃກີ າ໣ ຌ຺ຈ. ຊາໟ ກ໣າຌຈ຺ ເນ້ X ຽຎັຌ຃ໞາ຅໣າຌທຌຌັຍ ຋ຽໃີ ຎຌັ ຃າໞ ຘ຺ຓນັທຄເຌຆໞທຄຽທຖາ຋ີໃກ໣າຌ຺ຈ ນົື ຂບຍຽຂຈ຋ີໃກ໣າຌ຺ຈ ຽປ຺າຽທ຺ໄາທໞາ X ຽຎັຌຉ຺ທຎ່ຼຌຍັຄຽບີຌ຾ຍຍຎ຺ທຆ຺ຄ (Poisson random variable) ຾ຖະ ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ ຋ີໃ ຅ະຽກີຈ຃າໞ ຘ຺ຓນທັ ຄ X ຃ຄັໄ ຾ຓ່ຌຽ຋ໃ຺າກຍັ : Pr( X  x)  e .  x x! x  0,1,2,3,...... n; μ: ຃ໞາຘະຽຖ່ງຂບຄ຃ໞາຘ຺ຓນທັ ຄ ເຌຆທໞ ຄຽທຖາ຋ໃກີ າ໣ ຌ຺ຈ ນົື ຂບຍຽຂຈ຋ກໃີ າ໣ ຌຈ຺ . e-μ :ຽຍິໃຄແຈ຅້ າກຉາຉະຖາຄ຃ະຌິຈຘາຈ ນົືຘະຊຉິ ຋ິ ທໃ຺ ແຎ n  Pr(x, ) : (ຽຍຄິໃ ຉາຉະຖາຄ຋ໃີ3) ຿ຈງກ໣າຌ຺ຈ຃າໞ μ ດູ່ຖະນໞທາຄ 0,1 ຽຊຄິ 18. x0 ຉທ຺ ດາ່ ຄ. ຊາໟ ຅າ໣ ຌທຌຘຈັ ຘະຽຖ່ງຉ໣ໃຑຌໄື ຋ໃ1ີ ຽປັກຉາ ເຌຎາ່ ຋າ໣ ຓະຆາຈ຋ີໃຓີຑືໄຌ຋ີໃ 5ຽປັກຉາ ຓີ 10຿ຉ, ຅຺ໃຄ ນາ຃າໞ ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້຋ໃຑີ ຌໄື ຋ໃຌີ ັຌໄ ຅ະຓີຘັຈນົາງກທໞ າ15຿ຉ. ຍຈ຺ ຾ກ. ປູ້ທໞາ ຅າ໣ ຌທຌຘັຈຘະຽຖງ່ ຾ຖ້ທ1ຽປກັ ຉາ ຓີ 10຿ຉໝາງທໞ າ µ =10. Pr( X  15)  1  Pr( X  15)   1  15 Pr( x,)  1  15 e10.10x x0 x0 x ! 81

ຽຍິຄໃ ຉາຉະຖາຄ3 ຘ າຖຍັ 15 e10.10x  0,9513; x0 x ! ຈຄໃັ ຌັຌໄ Pr(X>15)= 1 - 0,9513 = 0,0487 ( Pr(X>15)= 0,0487 ; 4.5.4 ກາຌຎະຓາຌ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ຾້ ຍຍ຋ະທີຌາຓ ຈທໟ ງກາຌ຅ັຈ຾຅ຄ຾ຍຍຎທ຺ ຆຄ຺ (Probability estimation of binomial by poisson distribution) ຌຍ຺ ຑະຑບຌ ຋ະຌັຌແຆ (2009) ແຈເ້ ນ຃້ າ໣ ຌງິ າຓທໞາ: ເຌກາຌ຅ັຈ຾຅ຄ຾ຍຍ຋ະທີຌາຓ ຾ຖະ ກາຌ ຅ັຈ຾຅ຄ຾ຍຍຎທ຺ ຆຄ຺ ຅ະຓີປູຍຖັກຘະຌະຂບຄ ປິຈຘະ຿ຉ຾ກົຓເກ້຃ຼຄກັຌນົາງ຿ຈງຘະຽຑາະ ຽຓືໃບ n (຅໣າຌທຌ ຃ັໄຄຂບຄກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄ ) ຓີ຃າໞ ນົາງ ຾ຖະ P (຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ຋້ ໃີ຅ະແຈ້ ຃ໞາ຋ໃີຘຓ຺ ນັທຄ ) ຓີ຃າໞ ເກ້ກຍັ ຘູຌ. ຊໟາຽຄືໃບຌແຂຘບຄຎະກາຌຌີໄຽກີໄຈຂືໄຌ ຽປ຺າ຅ິໃຄຘາຓາຈເຆ້ກາຌ຃໣າຌທຌ຃ໞາ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຾ຍຍຎ຺ທຆ຺ຄ ຆໞທງເຌກາຌຎະຓາຌ຃າໞ ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ຾້ ຍຍ຋ະທຌີ າຓ, ຿ຈງ຋ໃີ຃າໞ ຘະຽຖງ່  = nP. ຉ຺ທດາ່ ຄ. ຘ຺ຓຓຸຈທໞາ ຎະຆາກບຌ຋ຸກໂ1000 ຃຺ຌ ດູ່ເຌກ໣າ຾ຑຄຌະ຃ບຌ຋ີໃປູ້຅ັກປັກຘາຘິໃຄ຾ທຈຖໟບຓ ຿ຈງຘະຽຖ່ງຓີ 1຃ຌ຺ , ຅ໃຄ຺ ຆບກນາ຃ໞາ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຅າກ ກາຌຍັຄຽບີຌຽບ຺າຉ຺ທ຾຋ຌຎະຆາ ກບຌ 8000຃ຌ຺ , ຅ະຓີຏ຋ູ້ ປໃີ ູ້຅ັກປັກຘາຘໃຄິ ຾ທຈຖໟບຓໜບໟ ງກໞທາ 7຃຺ຌ. ຍ຺ຈ຾ກ້: ປູ້ທາໞ : P= 1 = 0,001; ຾ຖະ n= 8000; 1000 ຅າກຘບຄຽຄືໃບຌແຂຂໟາຄຽ຋ິຄ ຽປ຺າຘາຓາຈເຆ້ກາຌຎະຓາຌ຃ໞາ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຾ຍຍຎ຺ທຆ຺ຄຆໞທງເຌກາຌ ຃າ໣ ຌທຌ຃ໞາ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຾ຍຍ຋ະທຌີ າຓຽຆຄໃິ ທໞາ: μ = nP =8000 X 0,001= 8 6 ( Pr(X<7)=  Pr(x, ) ; x0 ຘ໣າຖັຍ 6 e8.8x  0,3134 ; ຽຍໃິຄແຈ້຅າກຉາຉະຖາຄ3, x0 x ! Pr(X<7) = 0,3134. ຉາຉະຖາຄ຋ີ 24: ຅ະຓີຏ຋ູ້ ໃປີ ູ້຅ກັ ປັກຘາຘຄິໃ ຾ທຈຖບໟ ຓໜໟບງກທໞ າ 7 ຃຺ຌ ຉາຉະຖາຄກາ຅ຈັ ຾຅ຄ຾ຍຍຎ຺ທຆຄ຺ໃ Poisson Probability Sum P(x,μ) μ χ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.4066 1 0.9953 0.9825 0.9631 0.9384 0.9098 0.8781 0.8442 0.8088 0.7725 2 0.9998 0.9989 0.9964 0.9921 0.9856 0.9769 0.9659 0.9526 0.9371 3 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9982 0.9966 0.9942 0.9909 0.9865 4 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9992 0.9986 0.9977 82

5 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9997 6 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 0 0.3679 0.2231 0.1353 0.0821 0.0498 0.0302 0.0183 0.0111 0.0067 1 0.7358 0.5578 0.4060 0.2873 0.1991 0.1359 0.0916 0.0611 0.0404 2 0.9197 0.8088 0.6767 0.5438 0.4232 0.3208 0.2381 0.1736 0.1247 3 0.9810 0.9344 0.8571 0.7576 0.6472 0.5366 0.4335 0.3423 0.2650 4 0.9963 0.9814 0.9473 0.8912 0.8153 0.7254 0.6288 0.5321 0.4405 5 0.9994 0.9955 0.9834 0.9580 0.9161 0.8576 0.7851 0.7029 0.6160 6 0.9999 0.9991 0.9955 0.9858 0.9665 0.9347 0.8893 0.8311 0.7622 7 1.0000 0.9998 0.9989 0.9958 0.9881 0.9733 0.9489 0.9134 0.8666 8 1.0000 1.0000 0.9998 0.9989 0.9962 0.9901 0.9786 0.9597 0.9319 9 1.0000 1.0000 1.0000 0.9997 0.9989 0.9967 0.9919 0.9829 0.9682 10 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9990 0.9972 0.9933 0.9863 11 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9991 0.9976 0.9945 12 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9992 0.9980 13 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9993 14 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 15 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 16 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 0 0.0041 0.0025 0.0015 0.0009 0.0006 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001 1 0.0266 0.0174 0.0113 0.0073 0.0047 0.0030 0.0019 0.0012 0.0008 2 0.0884 0.0620 0.0430 0.0296 0.0203 0.0138 0.0093 0.0062 0.0042 3 0.2017 0.1512 0.1118 0.0818 0.0591 0.0424 0.0301 0.0212 0.0149 4 0.3575 0.2851 0.2237 0.1730 0.1321 0.0996 0.0744 0.0550 0.0403 5 0.5289 0.4457 0.3690 0.3007 0.2414 0.1912 0.1496 0.1157 0.0885 6 0.6860 0.6063 0.5265 0.4497 0.3782 0.3134 0.2562 0.2068 0.1649 7 0.8095 0.7440 0.6728 0.5987 0.5246 0.4530 0.3856 0.3239 0.2687 8 0.8944 0.8472 0.7916 0.7291 0.6620 0.5925 0.5231 0.4557 0.3918 9 0.9462 0.9161 0.8774 0.8305 0.7764 0.7166 0.6530 0.5874 0.5218 10 0.9747 0.9574 0.9332 0.9015 0.8622 0.8159 0.7634 0.7060 0.6453 11 0.9890 0.9799 0.9661 0.9467 0.9208 0.8881 0.8487 0.8030 0.7520 12 0.9955 0.9912 0.9840 0.9730 0.9573 0.9362 0.9091 0.8758 0.8364 13 0.9983 0.9964 0.9929 0.9872 0.9784 0.9658 0.9486 0.9261 0.8981 14 0.9994 0.9986 0.9970 0.9943 0.9897 0.9827 0.9726 0.9585 0.9400 15 0.9998 0.9995 0.9988 0.9976 0.9954 0.9918 0.9862 0.9780 0.9665 16 0.9999 0.9998 0.9996 0.9990 0.9980 0.9963 0.9934 0.9889 0.9823 17 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9992 0.9984 0.9970 0.9947 0.9911 18 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9997 0.9993 0.9987 0.9976 0.9957 19 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9995 0.9989 0.9980 20 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 0.9991 21 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9996 22 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 83

23 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 24 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 ຉາຉະຖາຄກາຌ຅ັຈ຾຅ຄ຾ຍຍຎ຺ໃທຆໃ຺ຄ (ຉ໣ໃ) 10 11 12 13 14 15 16 17 18 0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 0.0028 0.0012 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3 0.0103 0.0049 0.0023 0.0011 0.0005 0.0002 0.0001 0.0000 0.0000 4 0.0293 0.0151 0.0076 0.0037 0.0018 0.0009 0.0004 0.0002 0.0001 5 0.0671 0.0375 0.0203 0.0107 0.0055 0.0028 0.0014 0.0007 0.0003 6 0.1301 0.0786 0.0458 0.0259 0.0142 0.0076 0.0040 0.0021 0.0010 7 0.2202 0.1432 0.0895 0.0540 0.0316 0.0180 0.0100 0.0054 0.0029 8 0.3328 0.2320 0.1550 0.0998 0.0621 0.0374 0.0220 0.0126 0.0071 9 0.4579 0.3405 0.2424 0.1658 0.1094 0.0699 0.0433 0.0261 0.0154 10 0.5830 0.4599 0.3472 0.2517 0.1757 0.1185 0.0774 0.0491 0.0304 11 0.6968 0.5793 0.4616 0.3532 0.2600 0.1848 0.1270 0.0847 0.0549 12 0.7916 0.6887 0.5760 0.4631 0.3585 0.2676 0.1931 0.1350 0.0917 13 0.8645 0.7813 0.6815 0.5730 0.4644 0.3632 0.2745 0.2009 0.1426 14 0.9165 0.8540 0.7720 0.6751 0.5704 0.4657 0.3675 0.2808 0.2081 15 0.9513 0.9074 0.8444 0.7636 0.6694 0.5681 0.4667 0.3715 0.2867 16 0.9730 0.9441 0.8987 0.8355 0.7559 0.6641 0.5660 0.4677 0.3751 17 0.9857 0.9678 0.9370 0.8905 0.8272 0.7489 0.6593 0.5640 0.4686 18 0.9928 0.9823 0.9626 0.9302 0.8826 0.8195 0.7423 0.6550 0.5622 19 0.9965 0.9907 0.9787 0.9573 0.9235 0.8752 0.8122 0.7363 0.6509 20 0.9984 0.9953 0.9884 0.9750 0.9521 0.9170 0.8682 0.8055 0.7307 21 0.9993 0.9977 0.9939 0.9859 0.9712 0.9469 0.9108 0.8615 0.7991 22 0.9997 0.9990 0.9970 0.9924 0.9833 0.9673 0.9418 0.9047 0.8551 23 0.9999 0.9995 0.9985 0.9960 0.9907 0.9805 0.9633 0.9367 0.8989 24 1.0000 0.9998 0.9993 0.9980 0.9950 0.9888 0.9777 0.9594 0.9317 25 1.0000 0.9999 0.9997 0.9990 0.9974 0.9938 0.9869 0.9748 0.9554 26 1.0000 1.0000 0.9999 0.9995 0.9987 0.9967 0.9925 0.9848 0.9718 27 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9994 0.9983 0.9959 0.9912 0.9827 28 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9991 0.9978 0.9950 0.9897 29 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9989 0.9973 0.9941 30 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9994 0.9986 0.9967 31 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9997 0.9993 0.9982 32 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9996 0.9990 33 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 0.9995 34 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9998 35 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 36 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 37 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 84

ຍຈ຺ ຽຐກິ ນຈັ 1. ເຌກາຌ຿ງຌນົຼຌ3 ນຼົ ຌຑບໟ ຓກັຌ1 ຽ຋ໃບື ຅຺ໃຄຂຼຌຽນຈກາຌ຋ທໃີ ໞາ a. ຽກີຈນທ຺ ນົາງຘຸຈ2 ຃ັໄຄ b. ຍໃ໣ຽກີຈນທ຺ ຅ກັ ຃ັຄໄ c. ຽກຈີ ນທ຺ 2 ຃ໄັຄ d. ຃ິຈແຖ຃່ າໞ ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້ D1. ຽກຈີ ນທ຺ ນາົ ງຘຈຸ 2 ຃ັໄຄ D2. ຍ໣ໃຽກີຈນທ຺ ຅ກັ ຃ຄໄັ D3. ຽກີຈນທ຺ 2 ຃ັໄຄ 2. ເຌກາຌ຿ງຌໝາກກະຖ໡ບກ2 ໜທໞ ງຑໟບຓກຌັ ໜຄຶໃ ຽ຋ບໃື ຅ຄ຺ໃ ຂຼຌຽນຈກາຌ຋ທໃີ າໞ a. ແຈ້຾ຉ້ຓຽຎຌັ ຽຖກ຃ູ່ b. ແຈ້຾ຉຓ້ ຽຎັຌຽຖກ຃ີກ c. ແຈ້຾ຉຓ້ ຽ຋຺ໃາ5 d. ແຈ້຾ຉ້ຓນາົ ງຘຸຈ຾ຓຌ່ ຽ຋຺ໃາ 3 e. ຃ິຈແຖ຃່ າໞ ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ E1. ແຈ້຾ຉ້ຓຽຎຌັ ຽຖກ຃ູ່ E2. ແຈ້຾ຉຓ້ ຽຎັຌຽຖກ຃ກີ E3. ແຈ້຾ຉ້ຓຽ຋າ຺ໃ 5 E4. ແຈ້຾ຉ້ຓນົາງຘຈຸ ຾ຓຌ່ ຽ຋າໃ຺ 3 3. ເຌກາຌຘຶກຘາກາຌຐັກແຂ່7 ໜໞທງຂບຄແກ່຾ຓ່ໜຶໃຄປູ່ທໞາ ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຋ີໃ຅ະຽຎັຌຽຑຈຏູ້ນົື ຾ຓ່ ຾ຓຌ່ ຽ຋ໃ຺າ 50% ຅ໃຄ຺ ຃ິຈແຖ່຃າໞ ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈ້ a. ຽຎັຌຽຑຈຏ5ູ້ ໜໞທງ b. ຽຎຌັ ຽຑຈຏ3ູ້ ໜໞທງ c. ຍໃ໣ຽຎັຌຽຑຈຏ຅ູ້ ັກໜໞທງ d. ຽຎັຌຽຑຈຏໜູ້ ໟບງຘຈຸ 1ໜທໞ ງ e. ຽຎັຌຽຑຈຏູ້ນົາງຘຈຸ 3 ໜໞທງ 4. ເຌກາຌຂັຈຽຖືບກ຾ຌທຑັຌແຓ້ ຅໣າຌທຌ 50 ຽຍັໄງຑ຺ຍທໞາ 25%ຽຎັຌຽຍັໄງແຓ້຋ີໃຍ໣ໃແຈ້຃ຸຌຌະຑາຍ ຊໟາຓີ ກາຌ຋ຈ຺ ຖບຄ ຂຈັ ຽຖບື ກ຾ຌທຑຌັ ແຓ້ 5 ຽຍໄງັ ຅຺ໃຄ຃ິຈແຖ຃່ ໞາ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ a. ຓີຽຍໄງັ ແຓ້ຉ຺ກຽກຈ 3 ຽຍງໄັ b. ຓີຽຍັໄງແຓ້ຉກ຺ ຽກຈ1 ຽຍງໄັ c. ຓີຽຍັງໄ ແຓຉ້ ກ຺ ຽກຈ ນາົ ງຘຈຸ 2 ຽຍັງໄ d. ຓີຽຍັງໄ ແຓຉ້ ຺ກຽກຈໜບໟ ງຘຸຈ1 ຽຍໄັງ 85

5. ເຌກາຌຘບຍຽຘັຄທິຆາທີນທະທິ຋ະງາ ຓີຂ໣ໄຘບຍ100 ຂໄ໣ຽຆໃຄິ ຂໄ໣ຘບຍ຾ຍຍຎົາແຌ ຾ຉ່ຖະຂ໣ໄຓີ4 ຃ າຉບຍ ເນຽ້ ຖືບກຽບ຺າຂໄ໣຋ໃຊີ ກື ຉບໟ ຄ1 ຃ າຉບຍ຅ຄໃ຺ ຃ຈິ ແຖ່຃ໞາ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້຋ີໃຏູ້ຽຂ຺ໄາຘບຍ຅ະຉບຍຊືກ50 ຂ໣ໄ ຅າກກາຌຽຈ຺າຉບຍ຋ຄັ ໝ຺ຈ80 ຂ໣.ໄ ? 6. ກາຌຘ໣ານົທຈຽຆືໄບແຂ້ນທັຈຘັຈຎີກ຅າກກາຌຘຸ່ຓຉ຺ທ຾຋ຌຏູ້຋ີໃຓີແຂ້ນທັຈ1000 ຃຺ຌ ຑ຺ຍທໞາ ຓີ 100 ຃຺ຌຉຈິ ຽຆືບໄ ຊໟາຍັຄຽບຌີ ຓາຘຶກຘາຏ຋ູ້ ໃຓີ ີແຂ້ນທຈັ 100 ຃຺ຌ ຅຺ຄໃ ຃ຈິ ແຖ່຃າໞ ຃ທາຓຽຎັຌແຎແຈ້ a. ຅ະຓີຏຉູ້ ິຈຽຆບໄື 20 ຃ຌ຺ b. ຓີຏຉູ້ ຈິ ຽຆືບໄ ນາົ ງກໞທາ 5 ຃຺ຌ 7. ຽທຖາ຋ໃເີ ຆ້ຽຂ຺ໄາເຌກາຌຏະຖິຈຘິໃຄຂບຄຎະຈິຈ100 ບັຌ ຘະຽຖ່ງ຾ຖ້ທຎະຽຓີຌ 5 ຌາ຋ີ ຊໟາຽຑິໃຌຏະຖິຈ ຘຄໃິ ຂບຄຎະຈິຈບບກຓາ຅າ໣ ຌທຌ10 ບັຌ ຅ຄໃ຺ ຘຶກຘາ຃າໞ ຃ທາຓຽຎຌັ ແຎແຈທ້ າໞ a. ຅ະເຆ້ຽທຖາເຌກາຌຎະຈຈິ 2 ຌາ຋ີ b. ເຆ້ຽທຖານາົ ງກທໞ າ 2 ຌາ຋ີ 86

ຍ຺ຈ຋ີ 5 ກາຌຎະຽຓຌີ ຃າໞ (Estimation) ຘູຌ຋ບຌ ຑ຺ຓຓະຘບຌ. ຘະຊີຉຑິ ໄືຌຊາຌ (1999). ແຈ້ເນ຃້ າ໣ ຌງິ າຓທໞາ: ເຌຆີທິຈຎະ຅໣າທັຌຽປ຺າຓັກ ກໞຼທຂບໟ ຄກັຍກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາຉາໞ ຄດູຘ່ ະຽໝີ ຍທໃ໣ ໞາ຅ະຽຎັຌກາຌຈາ໣ ຖ຺ຄຆີທິຈເຌ ຃ບຍ຃຺ທ, ເຌທ຺ຄກາຌບຸຈຘານະກ໣າ ກາຌຏະຖິຈ, ກາຌທແິ ຅ ນືົ ກາຌຎະຉຍິ ຈັ ໜໟາ຋ໃີກາຌຄາຌຽຆຌໃັ : ເຌ຃ບຍ຃຺ທຉໟບຄຓີກາຌ຅ັຈກາຌ຃ໞາເຆ້຅ໞາງຎະ຅໣າ ຽຈືບຌຽຎັຌ຃ໞາບານາຌ, ຌ໣ໄາຓັຌຖ຺ຈ, ເຆ້຅ໞາງຘຸກຽຘີຌ, ຽຄິຌບບຓໂຖໂ. ກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາຽນົ຺ໃາຌີໄ຅າກຂ໣ໄຓູຌ຃ໞາເຆ້ ຅າໞ ງ຋ໃຏີ ໞາຌໂຓາເຌ຃ບຍ຃຺ທຌຌັໄ . ເຌທຄ຺ ກາຌບຸຈຘານະກາ໣ ຏະຖຈິ ຘິຌ຃າໟ ກ໣ໃຓີກາຌຎະຽຓີຌ຅າ໣ ຌທຌຘິຌ຃ໟາ຋ໃຏີ ະຖຈິ ຽຑືໃບເນ້ແຈ້ຈ໣າແຖຘຸຄຘຸຈ ນົື ກາຌ຃ທຍ຃ຸຓ຃ຌຸ ຌະຑາຍ (Quantity Control) ຽຑບືໃ ເນ້ຘິຌ຃າໟ ຓີຘໞທຌຎະກບຍຉາໞ ຄໂດູ່ເຌຆໞທຄ຋ີໃຉໟບຄກາຌ ຿ຈງຎະຽຓຌີ ຽຆຌໃັ : ຽ຃ບໃື ຄຈຓືໃ ຎະຽຑຈຌໄ໣າບັຈຖຓ຺ ຆະຌິຈໜຶໃຄກ໣າຌ຺ຈແທ້ຂໟາຄຂທຈທໞາຎະຓິຓາຌຌ໣ໄາຉາຌ຾ຓ່ຌ 2%- 5%. ກາຌປຼຌກາຌຘບຌຌັກປຼຌກ໣ໃຉໟບຄຓີກາຌຎະຽຓີຌ຃ະ຾ຌຌຘບຍ຋ີໃຉ຺ຌແຈ້຋໣າແຎທໞາຉໟບຄຘບຍເນ້ແຈ້ ຎະຽຓຌີ ຽ຋າໃ຺ ເຈ຅ິຄໃ ຅ະຘບຍຏໞາຌ. ກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາ຋ໃີງ຺ກຓາຂາໟ ຄຽ຋ິຄ຾ຓ່ຌກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາຘະຽຖ່ງ (Mean) ຆຶໃຄຽຎັຌກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາ຋າຄ ຘະຊຉິ ິ (Statistics Estimation ) ຌັໄຌຽບຄ, ກາຌຎະຓາ຃າໞ ຋ໃີຌິງຓ຺ ເຆເ້ ຌຆີທຈິ ຎະ຅໣າທັຌ຾ຓ່ຌກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາ ຘະຽຖງ່ ຽ຋຺າໃ ຌຌໄັ ຽຑາະຽຂໄາ຺ ເ຅ຄາໞ ງກທໞ າ຃ໞາຘະຊິຉິ ບໃືຌໂ຋ຄໄັ ໂ຋ເໃີ ຌ຋າຄຘະຊຉິ ິ ຾ຓຌ່ ຓກີ າຌຎະຽຓີຌ຃ໞາແຈ້ນົາງ຃ໞາ ຽຆັໃຌ: ກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາ຃ທາຓຏັຌຎ່ຼຌ (Variance) ກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາຘັຈຘໞທຌ (Proportion) ຽຎັຌຉ຺ໄຌ, ຿ຈງ ກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາຘະຽຖງ່ ຌີໄບາຈຌິງ຺ຓເຆ້຃ໞາຈຼທ (Point) ນົື ຎະຽຓີຌຽຎັຌຆໞທຄ (Interval) ກ໣ໃແຈ້ ຃ທາຓ຾ຉກ ຉາໞ ຄຂບຄກາຌຎະຽຓີຌ຃າໞ ຋ັຄຘບຄ຾ຍຍ ດູ຋່ ີໃ຃ທາຓຘໞຼຄ (Risk) ຋ີໃ຅ະຽກີຈ຃ທາຓຏິຈຑາຈຽຆັໃຌ: ຌັກທິແ຅ແຈ້ຎະ ຽຓຌີ ຃ໞາຖາງແຈ້ຘະຽຖງ່ ຂບຄຎະຆາຆຌ຺ ຑາກຽໜບື ຾ຓ່ຌ X  600000 ກີຍຉ໣ໃຽຈືບຌ, ຆຶໃຄແຈ້ຓາ຅າກທິ຋ີກາຌຘຸ່ຓ ຉ຺ທ຾຋ຌ50 ຃ຌ຺ ຅ິໃຄຌາ໣ ແຎຖາງຄາຌຏ຺ຌຂບຄກາຌທແິ ຅຋ັຌ຋ີ ທາໞ ຎະຆາຆຌ຺ ຑາກຽໜືບ຋ໃຖີ າງແຈ້຿ຈງຘະຽຖ່ງ຾ຓ່ຌ X  600000 ກີຍຉ໣ໃຽຈືບຌ, ຆຶໃຄ຅ະຽນັຌແຈ້ທໞາຂ໣ໄຘະນຼຸຍຌີໄ ຓີ຃ທາຓຘໞຼຄຘູຄນົາງ ນາກຌັກທິແ຅ຌ໣າຂ໣ໄຓູຌແຎ ຈາ໣ ຽຌີຌກາຌ຿ຈງເຆ້຃ທາຓປເູ້ ຌຽຖໃືບຄຂບຄທິ຋ກີ າຌຎະຽຓີຌ຃ໞາ຋າຄ ຘະຊິຉິຎະກບຍຈໟທງ ບາຈ຅ະຖາງຄາຌຏ຺ຌ ກາຌທິແ຅ເຌຽຍືໄບຄຉ຺ໄຌແຈ້ບີກ຾ຍຍໜຶໃຄທໞາ: ຎະຆາຆ຺ຌ຋າຄຑາກ ຽໜືບຓີຖາງແຈ້຿ຈງຘະຽຖ່ງ   ດູ່ຖະນທໞາຄ 550.000 ນາ 650.000 ກີຍຉຽໃ໣ ຈືບຌ ກ຅໣ໃ ະຽຎັຌກາຌນຖ຺ຈ຃ທາຓຘຼໞ ຄຖຄ຺ ກທໞ າຽກ຺ໃາແຈ້ ຿ຈງ຃ໞາ ±50000 ກີຍ຋ີໃ ຓີຓາຌໄັຌ຃ື຃າໞ ຃ທາຓ຃າຈຽ຃ໃືບຌຂບຄ ກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາ ຆຶໃຄຽປ຺ານາກເນ້ຓີ຃ທາຓ຃າຈຽ຃ືໃບຌນົາງຂືໄຌ ຃ທາຓຘໞຼຄ ນືົ ຿ບກາຈ຋ີໃ຅ະຏຈິ ຑາຈກ໣ໃ຅ະນົ຺ຈຖ຺ຄ ນົື ຊໟາ຅໣າກັຈ຃ທາຓ຃າຈຽ຃ືໃບຌຌໟບງ຋ີໃຘຸຈ ຿ບກາຈ຋ີໃ຅ະຏິຈຑາຈກ໣ໃນົາງ ຂືໄຌ ຍັຌນາ຃ື຅ຸຈເຈຽຎັຌ຃ທາຓຽໝາະຘ຺ຓ ຂບຄ຃ທາຓ຃າຈຽ຃ືໃບຌກັຍ຿ບກາຈ຋ີໃ຅ະຏິຈຑາຈ ຈັໃຄຌັໄຌ ຋ິຈຘະຈີ ຋າຄຘະຊິຉິ຅ິໃຄຊືກຓາຌ໣າເຆ້ຽຑືໃບຽຎັຌຽ຃ືໃບຄຓື ກ໣າຌ຺ຈເນ້ກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາ຋າຄຘະຊິຉິຓີ຃ທາຓ຃າຈຽ຃ືໃບຌ ນືົ ຿ບກາຈ຋ໃີ຅ະຏິຈຑາຈເນຓ້ ີ ຽໝາະຘ຺ຓ ງບຓປັຍແຈ້ຉາຓ ນກົັ ທຆິ າກາຌຌຌັໄ ຽບຄ. 87

5.1 ກາຌຎະຽຓຌີ ຃າໞ ຋າຄຘະຊຉິ ິ (Statistics Estimation) ກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາ ຾ຓ່ຌກາຌເຆ້຃ໞາຘະຊິຉິ ຽຑືໃບຎະຽຓີຌຑາຕາຓີຽຉີ.(຾ຓ່ຌກາຌນາ຃ໞາຂບຄກຸ່ຓ ຎະຆາກບຌ຅າກກ່ຓຸ ຉທ຺ ຾຋ຌ຅໣າຌທຌໜບໟ ງ) ກາຌຎະຽຓຌີ ຃າໞ ຋າຄຘະຊຉິ ຋ິ ີໃຌງິ ຺ຓເຆ້ເຌຎະ຅ຸຍັຌ຃ືກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາຘະຽຖ່ງ   ໝາງຽຊິຄກາຌຎະ  ຽຓີຌ຃ໞາຘະຽຖ່ງຂບຄຎະຆາກບຌ   ຈໟທງ຃ໞາຘະຽຖ່ງຂບຄກຸ່ຓຉ຺ທ຾຋ຌ X ຽຑາະທໞາ຅າກ຋ິຈຘະຈີ຋າຄ  ຘະຊຉິ ິ຅ະຊືທໞາ X ຽຎຌັ ຃າໞ ຘະຊິຉິຍຽ໣ໃ ບຌບຼຄ Unbaised estimator ຂບຄ   N n  xi  xi ຿ຈງ຋:ີໃ   i1 = X  i1 N n  ຑຘິ ູຈທໞາ X ຽຎັຌ຃ໞາຘະຊຉິ ຍິ ໃ໣ຽບຌບຼຄUnbaised estimator ຂບຄ   ຈຄໃັ ຌໄີ:  n  xi   ຅າກ: E X  E X  i1   n    1 E  n xi  n  i 1   1 E  x1  x2  ...  xn  n  1     ...    n  1 n   n  ກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາບໃຌື ໂ຋າຄຘະຊິຉິຽຆັໃຌ: ກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາ຃ທາຓຏັຌຎ່ຼຌ  2 ກ໣ໃຊືແຈ້ທໞາ຃ໞາ຃ທາຓຏັຌ    ຎຼ່ ຌຂບຄຉ຺ທ຾຋ຌ s2 ຽຎັຌຉທ຺ ຎະຽຓຌີ ຃າໞ ຋ໃີຈຂີ ບຄ  2 ຽຆຌໃັ ຈຼທກັຌ    ຑິຘຈູ ທໞາ s2 ຽຎຌັ ຃ໞາຘະຊຉິ ິຍ໣ໃຽບຌບຼຄ Unbaised estimator ຂບຄ  2 ຈໃຄັ ຌໄີ:   nxi2    ຅າກ: E s2  E  i1   n 1    88

 1 E  n ( xi  )2  n  1  i 1      1 E n 1 xi2  2 xi  2   1 E n 1 xi2  2(n)  n 2   1 E n 1 xi2  n 2  1 E  xi2   nE()2 n  1   1   2   n 2  2  n   2  n    n 1   1  n 2   2   n 1   2  n  1   2 n 1 ຆຄຶໃ ໝາງ຃ທາຓທໞາ຋ິຈຘະຈີ຋າຄຘະຊຉິ ຾ິ ຓຌ່ ຘາຓາຈເຆ຃້ າໞ s2 ຾຋ຌ຃ໞາ 2 ແຈຽ້ ຆັໃຌຈຼທກັຌກັຍເຆ້຃ໞາ  ຾຋ຌ຃ໞາ  . ກາຌຎະຽຓຌີ ຃າໞ ຓຘີ ບຄ຾ຍຍ຃ື: 1) ຾ຍຍຽຓັຈ (Piont Estimation). 2) ຾ຍຍນທາໞ ຄ (Interval Estimation). 5.2 ກາຌຎະຽຓີຌ຃າໞ ຾ຍຍຽຓັຈ (Piont Estimation). ກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາ຾ຍຍຽຓັຈ ຾ຓ່ຌກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາຑາຕາຓີຽຉີ ຈໟທງ຃ໞາຘະຊິຉິຑຼຄໜຶໃຄ຃ໞາຽ຋຺ໃາຌັໄຌ. ຘ຺ຓຓຈຸ ທາໞ s ຾ຓ່ຌ຃ໞາຘະຊິຉ຋ິ ຅ີໃ ະເຆ້ຎະຽຓຌີ ຑາຕາຓີຽຉີ . ຊໟາທາໞ s ຘບຈ຃ບໞ ຄກຍັ ຽຄບໃື ຌແຂຉ໣ໃແຎຌ:ໄີ 1. E(s)= . 2. Var(s) ຓີ຃ໞາຌໟບງຘຈຸ . 3. lim Ps      1,  0 n ຽຑຌິໃ ທາໞ s ຾ຓຌ່ ຉທ຺ ຎະຽຓີຌ຋ີໃຈີ຋ີໃຘຈຸ ຘາ໣ ຖັຍ σ. ຽຆໃັຌທໞາ  ຾ຖະ s2 ຾ຓ່ຌຉ຺ທຎະຽຓີຌ຋ີໃ ຈ຋ີ ີໃຘຸຈຘາ໣ ຖັຍ  ຾ຖະ 2 ຉາຓຖ໣າຈຍັ . 5.2.1 ກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາ຾ຍຍຽຓັຈກ໣ຖະຌີຎະຆາກບຌຈຼທ (Estimation of a single population case study) 1) ກາຌຎະຽຓຌີ ຃າໞ ຘະຽຖງ່ () ຂບຄຎະຆາກບຌ ເຌກ໣ຖະຌີກຸ່ຓຎະຆາກບຌ຋ີໃຉໟບຄກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາຘະຽຖ່ງ຅າກຉ຺ທ຾຋ຌຘຸ່ຓຂະໜາຈ n ຋ີໃຎະກບຍ ຈທໟ ງ (x1, x2, x3,...,xn) ຘາຓາຈຘາໟ ຄຉ຺ທຎະຽຓີຌ຃ໞາຘະຽຖ່ງຂບຄຎະຆາກບຌແຈ້຿ຈງ຃ໞາຘະຽຖ່ງຂບຄຉ຺ທ຾຋ຌ ຃:ື 1 n i ; (5.1) n i 1 89

ເຌກ໣ຖະຌີ຃າໞ ຏຌັ ຎຼ່ ຌ σ2 ນາກຽ຋຺ໃາກັຌໝຈ຺ ຽປ຺າ຅ະແຈ້຃ໞາຏັຌຎ່ຼຌຂບຄ  ຾ຓ່ຌ V ()   2 ນືົ ຃ໞາຏຌັ ຎ່ຼຌຓາຈຉະຊາຌ s.E()   ; n n ຉທ຺ ດາ່ ຄ 1. ຅ຄໃ຺ ຎະຽຓຌີ ຃ໞາຘະຽຖງ່ ຂບຄໜາໟ ຉໟາຄແຓ້ເຌຘທຌຎູກແຓ້຾ນ່ຄໜຶໃຄ຿ຈງແຈ້ຘຸ່ຓຉ຺ທ຾຋ຌ຅າກຉ຺ໄຌ ແຓ້ 20 ຉ຺ຌໄ ຓາຈັຄໃ ຌີໄ:(ນທ຺ ໜທໞ ງ Cm) ທິ຋ີ຾ກ້: 55 60 30 35 40 65 45 50 70 75 75 70 35 30 45 40 55 50 60 65 ຿ຈງຌ໣າເຆ້ຘຈູ (5.1) ຂໟາຄຽ຋ຄິ ຽຑືບໃ ຎະຽຓີຌ຃ໞາຘະຽຖ່ງຽປາ຺ ຓີ:  1 n  1 (55  60  30  ...  65)  52,5 n 20 i i 1    52,5. ຈຄັໃ ຌໄັຌ, ຃າໞ ຘະຽຖງ່ ຂບຄໜາໟ ຉາໟ ຄແຓ້ເຌຘທຌຎູກ຋ໃີຉບໟ ຄກາຌຎະຽຓຌີ ຾ຓຌ່ 52,5 Cm 2) ກາຌຎະຽຓຌີ ຃ໞາບຈັ ຉາຘທໞ ຌ (p) ຂບຄຎະຆາກບຌ຾ຍຍຽຓຈັ (ກ໣ຖະຌີຎະຆາກບຌຈຼທ) ກາຌຎະຽຓຌີ ຃າໞ ບຈັ ຉາຘໞທຌ (p) ຂບຄຎະຆາກບຌ຾ຍຍຽຓັຈ(ກຖ໣ ະຌີຎະຆາກບຌຈຼທ)ຽຆີໃຄຓີຘູຈ຃ິຈແຖ່ ຃:ື pˆ   ; (5.2) n pˆ : ບຈັ ຉາຘໞທຌ. x : ຅າ໣ ຌທຌຉ຺ທ຾຋ຌ຋ໃີຽກຈີ ຽນຈກາຌ຋ໃຽີ ປາ຺ ຘຌ຺ ເ຅. n : ຅າ໣ ຌທຌຉທ຺ ຾຋ຌ຋ຄັ ໝຈ຺ . ຉ຺ທດ່າຄ 2. ເຌກາຌຘບຍຽຘຄັ ທິຆາຘະຊິຉິ຅າກຌັກຘກຶ ຘາ 60 ຃ຌ຺ ຽນຌັ ທໞາຓີຏູ້ຽຘັຄແຈ້ 45 ຃຺ຌ ຅຺ໃຄ ຎະຽຓຌີ ບັຈຉາຘໞທຌ຋ໃຌີ ກັ ຘຶກຘາຽຘຄັ ຉ຺ກ. ທິ຋຾ີ ກ້ : ຌ໣າເຆ້ຘຈູ (5.2) ຽປ຺າຓີ: pˆ   ; n x = 60 – 45 = 15. n = 60 ຈັໃຄຌໄັຌ, pˆ    15  0,25. n 60  p  0,25 ນືົ p = 25% ຾ຓຌ່ ບັຈຉາຘທໞ ຌ຋ໃຌີ ັກຘຶກຘາ຋ັຄໝຈ຺ ຅ະຽຘັຄຉກ຺ . 90

3) ກາຌຎະຽຓຌີ ຃ໞາຏັຌຎ່ຼຌ σ2ຂບຄຎະຆາກບຌ຾ຍຍຽຓຈັ ຿ຈງຌາ໣ ເຆກ້ າຌຎະຽຓີຌ຃າໞ ຏັຌຎ່ຼຌ s2 ຂບຄກຸ່ຓຉ຺ທ຾຋ຌຽຆໃິຄຽປ຺າຓີຘູຈ: 1 n n 1 i 1 s 2 (i  )2 (5.3). ຉ຺ທດາ່ ຄ 3. ຅າກຉທ຺ ດ່າຄ 1 ຅຺ໃຄຎະຽຓຌີ ຃ໞາຏັຌຎຼ່ ຌຂບຄໜາໟ ຉໟາຄແຓ້ເຌຘທຌຎູກ຾ນຄ່ ຌັໄຌ ທິ຋ີ຾ກ້ : ຌາ໣ ເຆ້ຘຈູ (5.3) ຽປາ຺ ຓີ: 1 n n 1 i 1 s 2 (i  )2 1 20 20 1 i 1 s2 (i  52,5)2   1 255  52,52  2(60  52,5)2  2(30  52,5)2  ...  2(65  52,5)2  217.11 19  s2  217,105 ໝາງທາໞ ຃າໞ ຏັຌຎ່ຼຌຂບຄໜໟາຉໟາຄແຓ້ເຌຘທຌຎກູ ຾ນຄ່ ຌໄັຌ຾ຓຌ່ σ2 =217,105. 5.2.2 ກາຌຎະຽຓຌີ ຃າໞ ຾ຍຍຽຓຈັ ກຖ໣ ະຌຘີ ບຄຎະຆາກບຌ (Estimation of TWO population case study) 1). ກາຌຎະຽຓຌີ ຃ໞາ຃ທາຓ຾ຉກຉາໞ ຄຖະນທາໞ ຄ຃ໞາຘະຽຖ່ງຂບຄຘບຄຎະຆາກບຌ (μ1 – μ2) ຌ໣າເຆ຃້ ໞາຎະຽຓີຌ (1  2 ) ຽຆີໃຄຽຎຌັ ຃າໞ ຃ທາຓ຾ຉກຉາໞ ຄຖະນທໞາຄ຃ໞາຘະຽຖ່ງຂບຄຘບຄກຸ່ຓຉ຺ທ຾຋ຌ຋ໃີ ຽຖບື ກ຅າກຎະຆາກບຌ1 ຾ຖະ ຎະຆາກບຌ2 ຿ຈງຌ໣າເຆ້ຘູຈ:  (1  2 ) 1n1 i1  1 n2 (5.4). n1 i 1 n2 i2 i1 1,2 : ຃າໞ ຘະຽຖງ່ ຂບຄກຸ່ຓຉ຺ທ຾຋ຌ຋ໃີ1 ຾ຖະ 2 ຉາຓຖ໣າຈັຍ. i1,i2 :຃ໞາຂ໣ໄຓຌູ ຅າກກ່ຓຸ ຉ຺ທ຾຋ຌ຋ໃີ 1 ຾ຖະ 2 ຉາຓຖາ໣ ຈັຍ. n1, n2 : ຅໣າຌທຌຂບຄຉ຺ທ຾຋ຌ1 ຾ຖະ 2 ຉາຓຖ໣າຈຍັ . i  1,2,3,..., n1, n2 91

ຉທ຺ ດ່າຄ 1. ເຌກາຌຘຶກຘາຖາງແຈ້(ນທ຺ ໜໞທງ 100 000 ກີຍ)຅າກກາຌຂາງຘິຌ຃ໞາຑາງເຌ 5ທັຌຂບຄ 2 ຉະນາົ ຈ຿ຈງແຈ້ຘ່ຓຸ ຉ຺ທ຾຋ຌ຅າກ 2 ຾ນ່ຄແຈຂ້ ໄ໣ຓຌູ ຈັໃຄຌໄີ: ຉະນາົ ຈ຋ີ I: 5 7 8 9 10 ຉະນົາຈ຋ີ II: 5 6 7 8 10 ຅ໃ຺ຄຎະຽຓຌີ ຃ທາຓ຾ຉກຉໞາຄຖະນທາໞ ຄຖາງແຈຘ້ ະຽຖ່ງຂບຄຉະນົາຈ 2 ຾ນ່ຄຌຌັໄ . ທ຋ິ ີ຾ກ້ : ຅າກຘູຈ (1.1) ຽປາ຺ ຓີ:  (1 2 )  1 n1 i1  1 n2 n1 i 1 n2 i2 i1 1  1 (5  7  8  9  10)  7,8 5  1  7,8 2  1 (5  6  7  8  10)  7,2 5  2  7,2  (1  2 )  7,8  7,2  0,6  (1  2 )  0,6 ຈຄໃັ ຌຌໄັ , ຃ທາຓ຾ຉກຉໞາຄຖະນທາໞ ຄຖາງແຈ້ຘະຽຖ່ງຂບຄຉະນົາຈ 2 ຾ນ່ຄຌຌັໄ ຾ຓຌ່ 0,6 ນືົ 60 000 ກຍີ . 2) ກາຌຎະຽຓີຌ຃ໞາ຃ທາຓ຾ຉກຉາໞ ຄຖະນທໞາຄບຈັ ຉາຘໞທຌຂບຄຘບຄຎະຆາກບຌ ຌ໣າເຆ຃້ າໞ ຎະຽຓຌີ p1-p2 ຽຆຄໃິ ຽຎຌັ ຃ໞາ຃ທາຓ຾ຉກຉາໞ ຄຖະນທາໞ ຄ຃າໞ ບັຈຉາຘໞທຌ຅າກ ຘບຄກຸ່ຓຉ຺ທ຾຋ຌ຋ີໃ ຓາ຅າກຎະຆາກບຌ 1 ຾ຖະ 2 ຉາຓຖ໣າຈຍັ ຿ຈງຌ໣າເຆ້ຘູຈ຃ຈິ ແຖ່ຈຄໃັ ຌໄີ: p1  p2  1  2 (5.5) n1 n2 p1-p2 : ຃ໞາບຈັ ຉາຘທໞ ຌຂບຄຘບຄກຸ່ຓຉທ຺ ຾຋ຌ x1,x2 : ຅າ໣ ຌທຌຉທ຺ ຾຋ຌ຋ໃີຽກີຈຽນຈກາຌ຋ໃຽີ ປາ຺ ຘ຺ຌເ຅຅າກກຸ່ຓຉທ຺ ຾຋ຌ຋ີ 1 ຾ຖະ 2 n1, n2 : ຅າ໣ ຌທຌ຋ຄັ ໝ຺ຈຂບຄຉ຺ທ຾຋ຌ1 ຾ຖະ 2 ຉາຓຖາ໣ ຈັຍ. ຉ຺ທດາ່ ຄ 2. ເຌກາຌຘຶກຘາກາຌຌ໣າເຆ້ຑະຖັຄຄາຌແຓ້ຒືຌຽຂ຺ໄາເຌຆີທິຈຎະ຅໣າທັຌ຅າກຎະຆາຆ຺ຌ 2ຘບຄກຸ່ຓ ຿ຈງແຈ້ຘ່ຓຸ ຉ຺ທ຾຋ຌຽບາ຺ ກຸຓ່ ຋ໃຓີ ີຊາຌະຈີ ຾ຖະ ດາກ຅຺ຌກຸ່ຓຖະ 10 ຃ບຍ຃຺ທ ຑ຺ຍທໞາ ກຸ່ຓ ຋ໃຓີ ີຊາຌະຈີ຾ຓຌ່ ຌ໣າເຆ້ແຓ້ຒືຌຎະຽຓີຌ 25% ຾ຖະ ກຸ່ຓຊາຌະດາກ຅຺ຌ຾ຓ່ຌຌ໣າເຆ້ 20% ຅຺ຄໃ ຎະຽຓີຌບັຈຉາຘໞທຌ຃ທາຓ຾ຉກຉາໞ ຄ຅າກກາຌຌ໣າເຆ້ແຓ້ຒືຌຂບຄຘບຄຊະຌະ຃ບຍ຃຺ທ. 92