หน่วยที่2_รูปคลื่นซายน์

พารามิเตอรของรปู คลน่ื ซายนแรงดนั ไฟฟา ทเ่ี กิดจากเครื่องกําเนดิ ซ่ึงใชหลักการของการเหนย่ี วนาํ แมเหลก็ ไฟฟา นั้น จะพิจารณาเหน็ ไดวา ณ ทุกๆ ขณะเวลา คาของแรงดันที่ไดจะเปนปฎภิ าคโดยตรงกับมุมของซายน จากหลกั การเบื้องตน ของตรีโกณมิติ เราสามารถทจี่ ะนาํ มาใชเขยี นรปู คล่ืนของซายนไ ด ถาหากวาเรานาํ วงกลมมาแบงออกเปนสวน ๆ เทา ๆ กัน แลว เร่มิ ตน พิจารณาท่แี กนนอนกอน จะเหน็ ไดว า คาของมมุ ซายนแตล ะมมุ ที่กระทาํ กับแกนนอนนนั้ จะเปน ปฎิภาคโดยตรงกบั เสน ตงั้ ฉากที่ตั้งอยบู นแกนนอนซ่ึงถายทอดมาจากเสน รอบวงของวงกลมนัน่ เองสว นคา ชั่วขณะของแรงดนั ที่มุม θ ใด ๆ จะมีคาเทา กบัe = Emax Sin θ (2-1)จากสมการที่ (2-1) จะเห็นวาคาของแรงดันที่ไดมีลักษณะเปนรูปคลื่นซายน ซึ่งสมการดังกลาวนี้เราสามารถนาํ ไปประยุกตใ ชก ับกระแสไฟฟากระแสสลบั ไดเ ชนเดยี วกนั คอืI = Imax Sin θ (2-2)ความเรว็ เชิงมมุ และความถีเ่ ชิงมุม ω = 2πf (2-3)ในทน่ี ้ี ω = ความเรว็ ชงิ มุมหรอื ความถ่ีเชงิ มมุ , rad / s π = 22/7 หรือ 3.14 (เปน คา คงท่)ี f = ความถ,่ี Hzความเรว็ เชิงมุมคือมมุ ทีถ่ กู รัศมีของวงกลมเคล่อื นท่ีผานไปในแตละวินาที ดังนนั้ จะได ω = θ หรอื θ=ωt หรือ t= θ (2-4) t ωในทนี่ ี้ θ = มมุ , rad ω = ความเรว็ เชิงมุม, rad / s t = เวลา, sคา สงู สดุ หรือคายอดคลน่ื ของรปู คลน่ื ซายนคาสงู สดุ หรอื คา ยอดคลืน่ ของรปู คลืน่ ซายน หมายถงึ ขนาดสูงสุดท้ังดานบวกและทางดา นลบเม่ือเปรียบเทยี บกบั แกนนอน (ท่แี กนนอนขนาดเทา กับศนู ย)

คา จากยอดถึงยอดของรปู คลน่ื ซายนคา จากยอดถงึ ยอด (peak to peak value) ของคลนื่ รูปซายนเ ปน ผลรวมของขนาดรปู คลื่นทัง้ ในครงึ่ไซเก้ลิ บวกและครง่ึ ไซเกิล้ ลบ ซ่ึงพจิ ารณาจากคา ยอดคล่นื ทางดา นบวก (ครง่ึ ไซเกิ้ลบวก) มายังคายอดคลื่นทางดา นลบ (ครง่ึ ไซเกิ้ลลบ)คาชัว่ ขณะใด ๆ ของรปู คลนื่ ซายนคาของซายนที่แสดงในเทอมของมุมนั้น เปนความสัมพันธระหวางมุมกับเวลา ซ่ึงกําหนดใหมาดังสมการที่ (2-4) คอื θ=ωt (2-4) เม่ือนําความสัมพันธอันน้ีไปประยุกตเขากับสมการท่ี (2-1) คือ e = Emax sin θ ก็จะไดคาช่ัวขณะใดๆ ของแรงดันดงั ในรปู ที่ 2.10 คอื e = Emax sin ω t (2-5)คา เฉลี่ยของรปู คลน่ื ซายนEav = ( Sin5° + Sin10° + Sin15° + ...... + Sin170° + Sin175° + Sin180° ) 36 23.9036Eav = E max( 36 )Eav = 0.636Emaxคา rms ของรปู คลื่นซายนErms = Emax Sin2 5° + Sin210° + Sin215° + ..... + Sin2170° + Sin2175° + Sin2180° 36Erms = Emax 18 36Erms = 0.707Emaxฟอรม แฟคเตอร ฟอรม แฟคเตอร (form factor) เปนคา สมั ประสิทธิข์ องรูปคล่ืนซง่ึ ใหคาํ จาํ กัดความไวดังน้ีคอืฟอรม แฟคเตอร = คา rms = 0.707 Imax = 1.11 คา เฉลี่ย 0.637 Imax

เครสทหรือพีคแฟคเตอร เครสทห รือพคี แฟคเตอร (crest ro peak factor) เปน คา สัมประสทิ ธย์ิ อดคล่ืน ใหค าํ จาํ กดั ความไวด งั น้ีคือ เครสทแ ฟคเตอร = คา สงู สุด = Imax = 1.414 คา rms 0.707 Imax

แบบฝก หัดหลังการเรียนการสอนเพม่ิ เตมิ หนวยท่ี 2เร่อื ง พารามิเตอรข องรูปคลน่ื ซายนปญหาโจทย 1. คา สูงสุดหรอื คายอดคล่ืนของรูปคลน่ื ซายน หมายถึง ? 2. คา จากยอดถงึ ยอดของรปู คลืน่ ซายน หมายถงึ ? 3. คาเฉล่ยี ของรปู คลนื่ ซายน หมายถงึ ? 4. คา rms ของรปู คลื่นซายน หมายถงึ ? 5. ฟอรม แฟคเตอร หมายถงึ ? 6. พคี แฟคเตอร หมายถงึ ? 7. เครอื่ งกําเนดิ สญั ญาณไฟสลับเครื่องหนง่ึ สามารถจายแรงดันรปู คลื่นซายนอ อกมาไดเ ทา กบั 4.5Vrms , 500 Hz จงหา (ก) คา สูงสดุ (ข) คาเฉล่ยี (ค) คา ชัว่ ขณะทเ่ี วลา 0.5 ms , 2.3 ms และ 3.75 ms หลังจากเวลา t0



การวเิ คราะหรปู คลนื่ ซายน 1 ตัวอยางท่ี 1 รูปคลน่ื ของแรงดนั ดงั รปู ขา งลางนี้ มีคายอดคลืน่ หรือคาสูงสดุ เทากับ 12V ความถ่ี 20kHz จงหาคาชั่วขณะใดๆ ของแรงดันที่เกดิ ขึน้ ทม่ี ุม ดงั ตอ ไปนี้ (ก) 55๐ (ข) 102๐ (ค) 210๐ (ง) 305๐ E(V)12 e1 e2 Emax 210๐ 305๐ 360๐0 55๐ 102๐ 180๐ e4 (องศา) e3

การวเิ คราะหร ูปคล่นื ซายน 2 จากสตู ร e = Emax sin (ก) e1 = Emax sin 1 หาคา แรงดันที่มุม 55๐ = 12 x sin 55๐ = 12 x 0.82 = 9.84V(ข) e2 = Emax sin 2 หาคาแรงดันท่ีมมุ 102๐ = 12 x sin 102๐ = 12 x 0.98 = 11.76V

การวเิ คราะหรปู คลนื่ ซายน 3(ค) e3 = Emax sin 3 หาคาแรงดนั ที่มมุ 210๐ = 12 x sin 210๐ = 12 x (-0.5) = -6V(ง) e4 = Emax sin 4 หาคา แรงดนั ท่ีมมุ 305๐ = 12 x sin 305๐ = 12 x (-0.82) = -9.84V

การวิเคราะหร ูปคลนื่ ซายน 4 ตวั อยา งท่ี 2 จากตวั อยางท่ี 1 จงเขียนรปู คลืน่ ซายน เม่อื นาํ มาเทยี บกบัฐานเวลา ซึ่งตงั้ อยูบนแกนนอน แปลงจาก องศา เปน ฐานเวลา (ก) 55๐ (ข) 102๐ (ค) 210๐ (ง) 305๐วธิ ีทํา จะตองแปลง จาก องศา เปน rad กอ นจาก 360๐ = 2 rad(ก) 55๐ = 55๐x 2 องศา ตดั องศา = 360๐ 55๐x 6.28 360๐= 345.4 360๐= 0.96

การวิเคราะหร ูปคล่ืนซายน 5จากสูตร t =  = 2f ฉะนนั้ t =  2fดงั นนั้ t1 = 1 2f= 0.96 2x3.14x20kHz= 0.96 2x3.14x20x103 Hz= 0.96 x10-3 125.6 Hz= 0.00764 x10-3แยกตวั ประกอบ 0.00764 = 7.64 x 10-3= 7.64 x 10-3 x10-3= 7.64 x 10-6 เมอื่  =10-6= 7.64 S

การวเิ คราะหร ปู คล่นื ซายน 6(ข) 102๐ = 102๐x 2 360๐ 102๐x 6.28= 360๐= 640.56 360๐= 1.78ดังนน้ั t2 = 2 2f= 1.78 2x3.14x20x103 Hz= 1.78 x 10-3 125.6 Hz = 0.0142x10-3แยกตัวประกอบ 0.0142 = 14.2x10-3= 14.2x10-3x10-3= 14.2x10-6 เม่ือ  =10-6= 14.2 S

การวเิ คราะหร ปู คล่นื ซายน 7(ค) 210๐ = 210๐x 2 360๐ 210๐x 6.28= 360๐= 1318.8 360๐= 3.66ดังนน้ั t3 = 3 2f= 3.66 2x3.14x20x103 Hz= 3.66 x 10-3 125.6 Hz = 0.0291x10-3แยกตัวประกอบ 0.0291 = 29.1x10-3= 29.1x10-3x10-3= 29.1x10-6 เม่ือ  =10-6= 29.1 S

การวิเคราะหร ปู คล่ืนซายน 8(ง) 305๐ = 305๐x 2 360๐ 305๐x 6.28= 360๐= 1915.4 360๐= 5.32ดงั น้นั t4 = 4 2f= 5.32 2x3.14x20x103 Hz= 5.32 x 10-3 125.6 Hz = 0.04235x10-3แยกตัวประกอบ 0.04235 = 42.35x10-3= 42.35x10-3x10-3= 42.35x10-6 เม่ือ  =10-6= 42.35 S

การวเิ คราะหร ูปคลืน่ ซายน 9จากโจทย ขอ 1 (f) = 20kHzT= 1 = 1 f 20kHzเม่ือ k = 103 = 1 20x103Hzยาย 103 จากทสี่ ว น(ลาง) ไปอยูท เ่ี ศษ(บน) จะกลายเปน 10-3 = 1x10-3 20Hzเมื่อ m = 10-3 = 1 s 20 = 0.05msหรือ แยกตวั ประกอบของ 0.05 = 50x0.001เมอ่ื 10-3 = 0.001 และ m = 10-3 = 50x10-3x10-3 sเมอ่ื  = 10-6 = 50x10-6s = 50 s

การวิเคราะหรูปคลนื่ ซายน 10 E(V) จากโจทย ขอ 112 305๐ 360๐ e1 e2 Emax e4 (องศา)0 210๐ 55๐ 102๐ 180๐ e3 E(V) คําตอบโจทย ขอ 212 42.35 50 e1 e2 Emax 0 29.1 e4 t(s) 7.64 14.1 25 e3

การวิเคราะหรปู คลื่นซายน 11 ตัวอยางท่ี 3 เครื่องกําเนดิ สัญญาณไฟสลบั เคร่ืองหนึ่ง สามารถจา ยแรงดนั รปู คลื่นซายนออกมาไดเทา กบั 4.5Vrms 500Hzจงคาํ นวณหา (ก) คา สูงสุด (ข) คา เฉลี่ย (ค) คา ช่วั ขณะที่เวลา 0.5ms , 2.3ms และ 3.75msE(V)4.5 e22.5 Emax e1 E 2.3 3 3.75 4 0 3.5 t(ms) 0.5 1 1.5 e3

การวิเคราะหรูปคลื่นซายน 12 โจทยกําหนด E หรอื Erms = 4.5V f = 500Hzวธิ ีทํา จากสูตร E = 0.707Emax ดังน้นั Emax = E 0.707 ก) Emax = E 0.707 = 4.5 0.707 = 6.36V ข) Eav = 0.637 Emax = 0.637V x 6.36 = 4.05V

การวเิ คราะหร ปู คลื่นซายน 13 จากสตู ร e = Emax sin t  = 2f = Emax sin 2ftค) คาแรงดัน ณ เวลา 0.5ms (t1) e1 = Emax sin 2ft1 = 6.36 sin 2x3.14x500x0.5ms = 6.36 sin 3140x0.5x10-3 = 6.36 sin 3140x0.5 10-3 = 6.36 sin 3140x0.5 1000 = 6.36 sin 1.57 rad 2 rad = 360๐1.57 rad = 360๐x1.57 rad 2 rad = 90๐ = 6.36 sin 90๐ = 6.36 x 1 = 6.36V

การวเิ คราะหร ูปคลืน่ ซายน 14คาแรงดัน ณ เวลา 2.3ms (t2) e2 = Emax sin 2ft2 = 6.36 sin 2x3.14x500x2.3ms = 6.36 sin 3140x2.3x10-3 = 6.36 sin 3140x2.3 10-3 = 6.36 sin 3140x2.3 1000 = 6.36 sin 7.22 rad 2 rad = 360๐ 7.22 rad = 360๐x7.22 rad 2 rad = 413.89๐ = 6.36 sin 413.89๐ = 6.36 x 0.81 = 5.15V

การวเิ คราะหร ปู คล่ืนซายน 15คา แรงดนั ณ เวลา 3.75ms (t3) e3 = Emax sin 2ft3 = 6.36 sin 2x3.14x500x3.75ms = 6.36 sin 3140x3.75x10-3 = 6.36 sin 3140x3.75 10-3 = 6.36 sin 3140x3.75 1000 = 6.36 sin 11.775 rad 2 rad = 360๐ 11.775 rad = 360๐x11.775 rad 2 rad = 675๐ = 6.36 sin 675๐ = 6.36 x (-0.71) = -4.51V

การวเิ คราะหร ปู คลื่นซายน 16ตวั อยา งที่ 4 คาชั่วขณะของกระแสรูปคลื่นซายน ความถี่ 50Hz มคี าเทา กับ 0.2A เกิดขน้ึ ที่มุม 135๐ หลงั จากมุม 0จงหา (ก) คายอดคลื่น (ข) คา จากยอดถงึ ยอด (ค) คา rmsI(A)12 e =0.2A Emax E 10 20 t(ms) 0 135๐ 180๐ 360๐ (องศา)

การวเิ คราะหรูปคลน่ื ซายน 17 โจทยก ําหนดคากระแสท่มี มุ 135๐ (e) = 0.2A ความถ่ี (f) = 50Hzวธิ ีทาํ จากสูตร e = Imax sin  ดังนนั้ Imax = e sin  ก) Imax = 0.2A sin 135 = 0.2A 0.707 = 0.28A ข) Ip-p = 2 x Imax = 2 x 0.28 = 0.56A ค) Irms = 0.707 x Imax = 0.707 x 0.28A = 0.2A

การวิเคราะหร ูปคล่นื ซายน 18ตัวอยางท่ี 5 รูปคล่นื ของแรงดนั 250kHz ดังรปู ขางลางนี้ จงหาคามุม เปน เรเดียน (rad) และ เปนองศา (๐) ณ เวลาตา งๆ หลงั จากเวลา t0 ดงั นี้ (ก) 3.65s (ข) 2.5s (ค) 0.7sวิธที าํ ก) 1 = t1  = 2f = 2ft1 = 2x3.14x250kHzx3.65s = 6.28x250x103x3.65x10-6 = 6.28x250x3.65x103x10-6 = 6.28x250x3.65x103x10-6 = 5730.5x103-6 = 5730.5x10-3 = 5730.5 103 = 5730.5 1000 = 5.73 rad

การวเิ คราะหร ูปคลืน่ ซายน 19 2 rad = 360๐5.73 rad = 360๐ x 5.73 rad 2 rad = 328.47๐ข) 2 = t2  = 2f= 2ft2= 2x3.14x250kHzx2.5s= 6.28x250x103x2.5x10-6= 6.28x250x2.5x103x10-6= 6.28x250x2.5x103x10-6= 3925x103-6= 3925x10-3= 3925 103= 3925 1000= 3.92 rad

การวิเคราะหร ปู คลืน่ ซายน 20 2 rad = 360๐3.92 rad = 360๐ x 3.92 rad 2 rad = 224.71๐ค) 3 = t3  = 2f= 2ft1= 2x3.14x250kHzx0.7s= 6.28x250x103x0.7x10-6= 6.28x250x0.7x103x10-6= 6.28x250x0.7x103x10-6= 1099x103-6= 1099x10-3= 1099 103= 1099 1000= 1.099 rad

การวิเคราะหร ูปคล่นื ซายน 21 2 rad = 360๐1.099 rad = 360๐ x 1.099 rad 2 rad = 63๐

บรรณานุกรมนิตยา ลาํ ทอง. (2552). วงจรไฟฟา กระแสสลับ. พมิ พคร้ังที่3. กรงุ เทพฯ : วงั อกั ษร.ไมตรี วรวุฒจิ รรยากุล. (2530). ทฤษฎวี งจรไฟฟา เลม 3 การคํานวณวงจรไฟฟา กระแสสลับขั้นพืน้ ฐาน. กรงุ เทพฯ : ศนู ยก ารพิมพพลชัย.