วงกลม1หน่วย

51 ใบความรู้ 2.11 วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ (ค 30203) บทท่ี 2 เร่ือง อนิ เวอร์สของฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ นิยาม 1. ฟังก์ชนั arcsine คอื เซตของคอู่ นั ดบั (x,y) โดยที่ x = sin y และโดเมน คือ y [  , ] นิยมเขยี นแทนด้วย y = arcsin x หรือ y sin1 x 22 2. ฟังก์ชนั arccosine คือเซตของคอู่ นั ดบั (x,y) โดยที่ x = cos y และโดเมน คอื y [0, ] นยิ มเขยี นแทนด้วย y = arccos x หรือ y cos1 x 3. ฟังก์ชนั arctan คือ เซตของคอู่ นั ดบั (x,y) โดยที่ x = tan y และโดเมน คือ y  (  , ) นยิ มเขียนแทนด้วย y = arctan x หรือ y ta n1 x 22 ข้อควรทราบ 1. อินเวอร์สของฟังก์ชนั จะเป็นฟังก์ชนั กต็ อ่ เมอื่ ฟังกช์ นั เดิมเป็นฟังก์ชนั 1 -1 2. เนือ่ งจากฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิไม่เป็นฟังก์ชนั 1 -1 ดงั นนั ้ อินเวอร์สของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ จงึ ไม่เป็นฟังก์ชนั คุณสมบตั ทิ ่สี าคัญของฟังก์ชนั อินเวอร์ส 1) sin(sin 1 x)  x áÅÐ sin1(sin x)  x 2) cos(cos 1 x)  x áÅÐ cos 1(cos x)  x 3) tan(tan 1 x)  x áÅÐ tan 1(tan x)  x 4) csc(csc 1 x)  x áÅÐ csc 1(csc x)  x 5) sec(sec 1 x)  x áÅÐ sec 1(sec x)  x 6) cot(cot 1 x)  x áÅÐ cot 1(cot x)  x ตวั อย่างท่ี 1 จงหาค่าของฟังก์ชนั อนิ เวอร์ส จากข้อต่อไปนี ้ (1) y  sin1 1 (2) y  cos1 2 2 2 กต็ อ่ เมอ่ื sin y  1 กต็ อ่ เม่อื cos y  2 2 2 แต่ sin   1 แต่   2 cos 62 42 ดงั นนั ้ y   ดงั นนั ้ y   6 4

52 (3) y  sin1( 2 3 (4) y  tan1(1) ) กต็ อ่ เมอ่ื sin y   3 ก็ต่อเมื่อ tan y  1 2 แต่ sin ( )   3 แต่ tan ( )  1 32 4 ดงั นนั ้ y    ดงั นนั ้ y    3 4 ตวั อย่างท่ี 2 จงหาคา่ ของฟังก์ชนั อินเวอร์ส จากข้อตอ่ ไปนี ้ (1) sin (sin1 22 (2) cos[sin1(1)] ) ให้ sin1(1)  A ให้ sin1 2  A จะได้วา่ 1  sin A 2 ดงั นนั ้ A    จะได้ว่า 2  sin A 2 ดงั นนั ้ 2 A แทนคา่ cos[sin1(1)]  cos (  ) 4 2 0 แทนคา่ sin (sin1 2  sin  ) 24 2 2 (3) sin[ 2cos1( 1 )] (4) tan ( 2 tan1 3 ) 2 ให้ tan1 3  B ให้ cos1( 1 )  B จะได้ว่า 3  tan B 2 ดงั นนั ้ B   จะได้วา่  1  cos B 3 2 แทนคา่ tan ( 2 tan1 3)   ) tan 2( ดงั นนั ้ B  2 3 3  tan 2 3 แทนคา่ sin[ 2cos1( 1 )]  sin 2( 2 )  3 23  sin 4 3  3 2

53 ใบกจิ กรรมท่ี วิชาคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ (ค 30203) บทท่ี 2 เร่ือง อนิ เวอร์สของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ คำชแี้ จง ให้นกั เรียนทากิจกรรมท่ีกาหนดให้เป็นกลมุ่ พร้อมกบั นาเสนอผลงาน (25 นาที ) จงหาค่าของฟังก์ชนั อินเวอร์ส ของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิตอ่ ไปนี ้ 1) sin1 1 2) cos 1 1 2 .........................................………………...................... ...............................................……………….................. .........................................………………...................... ...............................................……………….................. .........................................………………...................... ...............................................……………….................. .........................................………………...................... ...............................................……………….................. 3) tan 1(1) 4) tan1 3 .........................................………………...................... ...............................................……………….................. .........................................………………...................... ...............................................……………….................. .........................................………………...................... ...............................................……………….................. .........................................………………...................... ...............................................……………….................. 5) cos1 2 6) sin1( 1) 2 2 .........................................………………...................... ...............................................……………….................. .........................................………………...................... ...............................................……………….................. .........................................………………...................... ...............................................……………….................. .........................................………………...................... ...............................................……………….................. 7) sin 1 ( 3 ) 8) cos 1 ( 2 ) 2 2 .........................................………………...................... ...............................................……………….................. .........................................………………...................... ...............................................……………….................. .........................................………………...................... ...............................................……………….................. .........................................………………...................... ...............................................………………..................

54 ใบกิจกรรมที่ 2.8.2 วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ (ค 30203) บทท่ี 2 เร่ือง อนิ เวอร์สของฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ คำชแ้ี จง ให้นกั เรียนทากจิ กรรมท่ีกาหนดให้เป็นกล่มุ พร้อมกบั นาเสนอผลงาน (25 นาที ) จงหาคา่ ของฟังก์ชนั อนิ เวอร์ส ของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ติ อ่ ไปนี ้ 1) sin[sin 1( 1 )] =............………................. 2) cos[cos 1(1)] =.................……….........… 2 .........................................………………...................... ...............................................………………................. 3) cos(tan1 1 ) =.................………........…. 4) sin[cos11] =.................……….........…….. 3 .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. 7) sin1[ 1 cos ] =................................……. 8) cos 1[sin(  2  =.................………........ )] 23 .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. 9) sin[2 tan 1 3] =.............…….......…........ 10) cos[ 2 sin1(1)] =.................………........... .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. 11) sin[sin 1 1  cos 1 1 ] 12) cos 1 1  sin1( 1 ) 23 23 .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................……………….................

55 ใบงานท่ี 2.8 วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ (ค 30203) บทท่ี 2 เร่ือง อินเวอร์สของฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ คาส่งั ให้นกั เรียนแสดงวิธีทา / เขยี นคาตอบท่ีถกู ต้อง ลงในช่องว่างท่ีกาหนดให้ จงหาค่าของฟังก์ชนั อนิ เวอร์สของฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ ตอ่ ไปนี ้ 1) sin1 3 =…………………..………………… 2) cos 1( 1 ) =………………….………….……. 22 .........................................………………...................... ...............................................………………................. 3) tan 1 3 =……………………………………..… 4) sin1[sin  ] =…………………………………. 3 .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. 7) sin2 [cos1 1 ]=…………………………….… 8) cos 1[cos 3 ] =……….………..…………… 24 .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. 9) cos[2sin1 2 ]=……..………………….. 10) cos1[sin 7 ]=…………..…….…………… 26 .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. 11) sin[3sin1 1 ] =………………………….… 12) tan [ 1 cos 1(1) ] =…………………….…..… 22 .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................………………................. .........................................………………...................... ...............................................……………….................

56 ใบความรู้ท่ี 2.9.1 วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ (ค 42201) บทท่ี 2 เร่ือง เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมติ ิ คำชี้แจง ให้นกั เรียนศกึ ษาเนอื ้ หาท่ีกาหนดให้ เป็ นกลมุ่ ( 15 นาที ) (1) เอกลกั ษณ์ตรีโกณมิติ คือ รูปแบบของสมการตรีโกณมิติ ทเ่ี ป็นจริงทกุ ค่าของมมุ หรือ จานวนจริงทปี่ รากฏในฟังก์ชนั นนั ้ หลกั ในการพสิ จู น์เอกลกั ษณ์ 1. พสิ จู น์ข้างใดข้างหนงึ่ ให้ตรงกบั อกี ข้างหนง่ึ ( ให้เลอื กเอาด้านทซ่ี บั ซ้อนมาพิสจู น์ ) 2. ควรจดั ทกุ ฟังก์ชนั ให้มาอยใู่ นรูปของ sin หรือ cos กอ่ น 3. นาเอกลกั ษณ์ท่ีพสิ จู น์ไว้แล้วมาเลอื กใช้ 4. อาศยั หลกั การแยกตวั ประกอบ เช่น น2- ล2 = (น-ล)(น+ล) น3- ล3 = (น-ล)(น2+นล+ล2) น3+ ล3 = (น+ล)(น2-นล+ล2) 5. เอกลกั ษณ์พนื ้ ฐาน ท่ีนามาชว่ ยอ้างองิ ในการพิสจู นเ์ อกลกั ษณ์ คอื 1) sin2  cos2  1 หรือ sin2  1  cos2 2) 1  tan2  sec2 หรือ tan2  sec2  1 3) 1  cot2  csc2 หรือ cot2  csc2  1 4) cot   1 หรือ tan   1 tan  cot  5) sin ( )  sin  หรือ cos( )  cos  6) cos( A B)  cos Acos B  sin Asin B 7) sin ( A B)  sin Acos B  cos Asin B 8) sin 2 A  2sin A cos A 9) cos 2 A  cos2 A  sin2 A 10) cos 2 A  2cos2 A  1  1  2sin2 A

57 ใบความรู้ท่ี 2.9.2 วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ (ค 42201) บทท่ี 2 เร่ือง เอกลกั ษณ์และสมการตรีโกณมติ ิ คำช้แี จง ให้นกั เรียนศกึ ษาเนอื ้ หาทีก่ าหนดให้ เป็ นกลมุ่ ( 15 นาที ) (2) สมการตรีโกณมติ ิ คือ สมการท่มี ฟี ังก์ชนั ตรีโกณมติ ิปรากฏอยู่ และจะเป็นจริงสาหรับ บางค่าของมมุ หรือจานวนจริงท่ีอยใู่ นโดเมนของฟังก์ชนั นนั ้ ซ่ึงมีคาตอบอยู่ 2 แบบ คอื 1) คาตอบเฉพาะ หมายถงึ คาตอบของสมการภายใต้เอกภพสมั พทั ธ์ท่ีมีขอบเขตจากดั 2) คาตอบทวั่ ไป หมายถงึ คาตอบของสมการภายใต้เอกภพสมั พทั ธ์ R หรือ สมการ ที่ไมไ่ ด้กาหนดเอกภพสมั พทั ธ์มาให้ คาตอบท่วั ไปของสมการตรีโกณมติ ิ จะกาหนดเอกภพสมั พทั ธ์ เป็น R จากสตู ร ถ้าให้  คอื มมุ หรือจานวนจริงทต่ี ้องการหาในสมการตรีโกณมิติ และให้  คือ คาตอบทเ่ี ลก็ ที่สดุ ท่ีเป็นบวกของสมการ และ n  I แล้ว จะได้ว่า 1. คาตอบทว่ั ไปของฟังก์ชนั sin และ cosec คือ   n (1)n 2. คาตอบทวั่ ไปของฟังก์ชนั cos และ sec คือ   2n   3. คาตอบทวั่ ไปของฟังก์ชนั tan และ cot คือ   n   เนอื่ งจาก ฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ ไม่เป็นฟังก์ชนั 1 – 1 ค่าของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ขิ องมมุ หรือ จานวนจริงใด ๆ อาจจะซา้ กนั ได้ ดงั นนั ้ การหาคาตอบของสมการตรีโกณมิติ ถ้าโจทย์ไมไ่ ด้กาหนดว่าคาตอบอย่ใู นชว่ งใดช่วงหนงึ่ แล้ว คาตอบท่คี วรตอบ คาตอบในรูปทวั่ ไป

58 เอกสารฝึ กทกั ษะ คำช้แี จง จงพิสจู น์เอกลกั ษณ์ของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ ตอ่ ไปนี ้ 1) csc cos  cot วธิ ีทา..............................………………......................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] 2) 1  tan2 ( )  sec2  [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] วธิ ีทา..............................………………......................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... .........................................………………........................................................... .........................................………………........................................................... 3) cos ( tan  cot )  csc [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] วธิ ที า..............................………………......................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... .........................................………………........................................................... .........................................………………........................................................... 4) tan cot  cos2   sin2  [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] วิธีทา..............................………………......................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... .........................................………………........................................................... .........................................………………........................................................... 5) (sec 1) ( sec 1)  tan2  [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] วธิ ที า..............................………………......................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... .........................................………………........................................................... .........................................………………...........................................................

59 เอกสารฝึ กทกั ษะ จงพิสจู น์เอกลกั ษณ์ของฟังก์ชนั ตรีโกณมติ ิ ตอ่ ไปนี ้ 1) 1 cos2   sin [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] 1 sin [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] วิธที า..............................………………......................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] 2) cot tan  2cot 2 วธิ ีทา..............................………………......................................................... .........................................………………........................................................... .........................................………………........................................................... .........................................………………........................................................... .........................................………………........................................................... 3) 2 sin cos  cos 1 sin  sin2   cos2   cot วิธที า..............................………………......................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... .........................................………………........................................................... 4) sin 2  tan [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] 1 cos 2 [ เหตผุ ล.................................. ] [ เหตผุ ล.................................. ] วิธีทา..............................………………......................................................... [ เหตผุ ล.................................. ] .........................................………………........................................................... .........................................………………........................................................... .........................................………………........................................................... .........................................………………...........................................................

60 ใบกิจกรรม วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ (ค 30203) บทท่ี 2 เร่ือง เอกลกั ษณ์และสมการตรีโกณมติ ิ คำชี้แจง ให้นกั เรียนทากจิ กรรมทกี่ าหนดให้เป็นกลมุ่ พร้อมกบั นาเสนอผลงาน (25 นาที ) จงพสิ จู น์เอกลกั ษณ์ตอ่ ไปนี ้ (1) 1  tan 2 A  sec 2 A (2) tan 2 Acos 2 Acsc 2 A  1 ................................................………..…................. .....................…………….............................................. ................................................………..…................. .....................…………….............................................. ................................................………..…................. .....................…………….............................................. ................................................………..…................. .....................…………….............................................. (3) (cos A  sin A) 2  1  sin 2A (4) (sin A  cos A ) 2 1  sin 2A ................................................………..…................. .....................…………….............................................. ................................................………..…................. .....................…………….............................................. ................................................………..…................. .....................…………….............................................. ................................................………..…................. .....................…………….............................................. (5) (tan A  cot A)2  sec2 A  csc2 A (6) cos A  2 cos 2 A  1 2 ................................................………..…................. .....................…………….............................................. ................................................………..…................. .....................…………….............................................. ................................................………..…................. .....................…………….............................................. ................................................………..…................. .....................…………….............................................. (7) sin x  1  cos x (8) sin x cos x  sin3 x cos x  cos 3 x sin x 1  cos x sin x .....................…………….............................................. ................................................………..…................. ................................................………..…................. .....................…………….............................................. ................................................………..…................. .....................…………….............................................. ................................................………..…................. .....................…………….............................................. ................................................………..…................. .....................…………….............................................. ................................................………..…................. .....................……………..............................................

61 ใบกิจกรรม วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ (ค 30203) บทท่ี 2 เร่ือง เอกลักษณ์และสมการตรีโกณมติ ิ คำช้ีแจง ให้นกั เรียนทากจิ กรรมทกี่ าหนดให้เป็นกลมุ่ พร้อมกบั นาเสนอผลงาน (25 นาที ) จงแกส้ มการตรีโกณมิติตอ่ ไปน้ี 1) 2 sin   3 เม่อื 0     ..…………………………………………………..…………………………………………………………………. ..…………………………………………………..……………………………………………………………………. ..…………………………………………………..…………………………………………………………………. ..…………………………………………………..……………………………………………………………………. ..…………………………………………………..……………………………………………………………………. ..…………………………………………………..……………………………………………………………………. 2) cos 2   cos  เม่ือ 0    180  ..…………………………………………………..…………………………………………………………………. ..…………………………………………………..……………………………………………………………………. ..…………………………………………………..……………………………………………………………………. ..…………………………………………………..…………………………………………………………………. ..…………………………………………………..……………………………………………………………………. ..…………………………………………………..……………………………………………………………………. 3) 2 cos 2   sin   1  0 เม่อื   [0,2] ..…………………………………………………..…………………………………………………………………. ..…………………………………………………..……………………………………………………………………. ..…………………………………………………..……………………………………………………………………. ..…………………………………………………..…………………………………………………………………. ..…………………………………………………..……………………………………………………………………. ..…………………………………………………..……………………………………………………………………. ..…………………………………………………..…………………………………………………………………….

62 ใบความรู้ท่ี 2.13 วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ( ค 30203 ) บทท่ี 2 เร่ือง กฏของไซน์และโคไซน์ คำชี้แจง ให้นกั เรียนศกึ ษาเนอื ้ หาและปฏิบตั กิ จิ กรรมท่ีกาหนดให้ พร้อมรายงาน ( 15 นาที ) (1) กฏของโคไซน์ เป็นกฎทีก่ ลา่ วถงึ ความสมั พนั ธ์ระหวา่ งด้านและมุมของรูปสามเหลย่ี ม ใด ๆ ถ้ากาหนดด้าน 2 ด้านและมมุ ระหว่างด้านทงั ้ สองมาให้ สามารถใช้กฎของโคไซน์ หาความยาวด้านและมมุ ท่ีเหลอื ได้ หรือ ถ้ากาหนดด้านทงั ้ สามด้านมาให้ สามารถใช้ กฎของโคไซน์หามมุ ทงั ้ สามของสามเหลย่ี มใด ๆ ได้ กฎของโคไซน์ ในรูปสามเหลยี่ ม ABC ใด ๆ ถ้า a ,b , c เป็นความยาวของด้านตรง ข้ามมมุ A , B และ C ตามลาดบั จะได้ 1) a2  b2  c2  2bc cos A 2) b2  a2  c2  2ac cos B 3) c2  a2  b2  2abcosC การหากฎของโคไซน์ ( ในกรณีทีม่ มุ A อย่ใู นตาแหนง่ มาตรฐาน ) กาหนด  ABC ท่ีสร้างบนระนาบแกนพกิ ดั ฉากและมีพกิ ดั ต่าง ๆ ตามรูป YY C(bcosA , bsinA) C (bcosA , bsinA) b a ba B(c,0) X A(0,0) c B(c,0) X A(0,0) c หาความยาว a หรือ | BC | จากรูป จะได้ว่า a  | BC |  (bcos Ac )2  (bsin A0)2 a2  b2 cos2 A 2bc cos Ac2 b2 sin A a2  b2 (cos2 A sin2 A)  c2  2bc cos A a2  b2  c2  2bc cos A

63 ใบความรู้ท่ี 2.13.1 วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ( ค 30203 ) บทท่ี 2 เร่ือง กฏของไซน์และโคไซน์ คำช้ีแจง ให้นกั เรียนศกึ ษาเนอื ้ หาและปฏิบตั กิ ิจกรรมทกี่ าหนดให้ พร้อมรายงาน ( 15 นาที ) (2) กฏของไซน์ เป็นกฎทีก่ ลา่ วถงึ ความสมั พนั ธ์ระหวา่ ง ด้านและมุมของรูปสามเหลย่ี ม ใด ๆ เมอื่ กาหนดมมุ 2 มมุ และด้านที่อยรู่ ะหวา่ งมมุ ทงั ้ สองมาให้ สามารถใช้กฎของ ไซน์ หามมุ และด้านท่ีเหลอื รวมทงั ้ ใช้หาพนื ้ ที่ของสามเหลย่ี มรูปนนั ้ ได้ กฏของไซน์ ในรูปสามเหลย่ี ม ABC ใด ๆ ถ้า a ,b , c เป็นความยาวของด้านตรง ข้ามมมุ A , B และ C ตามลาดบั จะได้ sin A  sin B  sin C หรือ a  b  c abc sin A sin B sin C การหากฏของไซน์ กาหนด  ABC ที่สร้างบนระนาบแกนพิกดั ฉากและมพี ิกดั ตา่ ง ๆ ตามรูป Y จากรูป sin A  sin 90  1 C ( 0,b ) ba และจะได้ว่า sin B  b และ sin C  c A(0,0) c B(c,0) a a ดงั นัน้ จงึ สรุปได้ว่า X หรือ sin B  1 และ sin C  1 ba ca sin B  sin A ba และ sin C  sin A sin A  sin B  sin C หรือ ca abc abc sin A sin B sin C การหาพนื้ ท่สี ามเหล่ยี มใด ๆ โดยใช้กฎของไซน์ (กรณีมมุ A อย่ใู นตาแหน่งมาตรฐาน) พนื ้ ทขี่ องรูปสามเหลยี่ ม ABC  1  สงู  ความยาวของฐาน  1 (b sin A) (c) 2 2  1 bc sin A 2 ถ้ามมุ B และ C อย่ใู นตาแหนง่ มาตรฐาน จะได้สตู รว่า พนื ้ ทีข่ องรูปสามเหลย่ี ม ABC  1 ac sin B  1 ab sin C 22

64 ใบกจิ กรรมท่ี 2.13.2 วิชาคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ( ค 30203 ) บทท่ี 2 เร่ือง กฏของโคไซน์ คำชี้แจง ให้นกั เรียนทากจิ กรรมท่กี าหนดให้เป็นกลมุ่ พร้อมกบั นาเสนอผลงาน (25 นาที ) (1) จงหาความยาวด้าน a เมือ่ b = 2 , c = 2 และ A = 45๐ ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. (2) จงหาความยาวด้าน c เมอื่ a = 8 , b =10 และ C = 120๐ ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. (3) จงหาขนาดของมมุ B เม่อื a = 3 , b = 4 และ c = 5 ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. (4) จงหาขนาดของมมุ ทงั ้ 3 เมื่อ a = 8 , b = 6 และ c = 6 ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………..

65 ใบกจิ กรรมที่ 2.13.4 วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ( 30203 ) บทท่ี 2 เร่ือง กฏของไซน์ คำชีแ้ จง ให้นกั เรียนทากิจกรรมที่กาหนดให้เป็นกลมุ่ พร้อมกบั นาเสนอผลงาน (20 นาที ) (1) กาหนด ABC จงหา ด้าน a และ b เมือ่ c = 2 , A = 60 ๐ และ B= 45๐ ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. (2) กาหนด ABC จงหาด้านและมมุ ทีเ่ หลอื เมอ่ื C  60 , b  2 3 , c  3 2 ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. (3) จงหาพืน้ ท่ี  ABC เมื่อกาหนดให้ B  60 , a  14 , c  12 ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. (4) จงหาพนื ้ ที่  ABC เมอ่ื กาหนดให้ a  4 , b  6 , c  8 ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………………………..

66 ใบงานท่ี 2.13.5 วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ( ค 30203 ) บทท่ี 2 เร่ือง กฏของไซน์และโคไซน์ คาส่งั ให้นกั เรียนแสดงวธิ ีทา / เขยี นคาตอบที่ถกู ต้อง ลงในชอ่ งว่างที่กาหนดให้ (1) จงหา a ถ้า b = 20 , c =30 , A = 60๐ ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. (2) จงหา B ถ้า a = 25 ,b = 75 , c= 60 ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. (3) จงหา b เมอ่ื C = 45๐, B = 60๐ , c = 6 ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. 4) จงหา b , c เม่อื B = 105๐, C = 60๐ , a = 4 ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. 5) จงหาพนื ้ ที่  ABC เมือ่ กาหนดสงิ่ ตอ่ ไปนมี ้ าให้ 5.1) A 60 , b 3 , c 5 5.2) B 105 , a  3 1 , c 2 2 ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. ..…………………………………………………………………………………………………………..…………. ..……………………….…………………………………………………………………………………..…………

67 ใบความรู้ท่ี 2.14 วิชาคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ( ค 30203 ) บทท่ี 2 เร่ือง การหาระยะทางและความสงู คาชแี้ จง ให้นกั เรียนศกึ ษาเนอื ้ หาและปฏิบตั กิ จิ กรรมทก่ี าหนดให้ พร้อมรายงาน ( 30 นาที ) ระยะทางและความสงู ในการวดั ระยะทางและความสงู ของสง่ิ ใดก็ตาม บางครัง้ จะใช้เคร่ืองมอื สาหรับ วดั โดยตรงไม่ได้ เชน่ การวดั ความสงู ของภเู ขา หรือการวดั ระยะระหวา่ งสถานที่สองแห่งทม่ี ี เนนิ เขากนั ้ กลาง เป็นต้น ปัญหาจากการวดั เชน่ นี ้จาเป็นต้องใช้ความรู้เร่ืองฟังก์ชนั ตรีโกณมิติ กฏของไซน์และโคไซน์ ความรู้เกย่ี วกบั มมุ ก้ม มมุ เงย มาชว่ ยในการหาคาตอบ มุมเงย เกิดจาก เส้นระดบั สายตากับแนวมอง เมอ่ื วตั ถทุ ม่ี องอยสู่ งู กวา่ ระดบั สายตา มุมก้ม เกิดจาก เส้นระดบั สายตากบั แนวมอง เม่ือวตั ถทุ ่มี องอยตู่ า่ กว่าระดบั สายตา วตั ถุ มมุ ก้ม เส้นระดบั สายตา มมุ เงย วตั ถุ เส้นระดบั สายตา ให้นกั เรียนช่วยกนั สร้างรูป และใช้กฏของไซน์และโคไซน์ มาแก้โจทย์ทกี่ าหนดให้ต่อไปนี ้ (1) ชายคนหนงึ่ เดินทางออกจากจดุ เร่ิมต้น ไปในทิศ 120 องศา เป็นระยะทาง 10 ก.ม. แล้วเดนิ ทางตอ่ ไปในทิศตะวนั ออก เป็นระยะทาง 12 กิโลเมตร จงหาวา่ จดุ สดุ ท้าย ทเ่ี ขาอยนู่ ี ้ เขาอย่หู า่ งจากจดุ เร่ิมต้น เทา่ ไร และ อยใู่ นทิศทางใดของจดุ เร่ิมต้น วธิ ที า …......................................................................................................................... ........................................................................................................................................ ......................................................................................................... ............................... ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................ ........................................................................................................................................

68 ใบกิจกรรมที่ 2.14.1 วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ( ค 30203 ) บทท่ี 2 เร่ือง ระยะทางและความสงู คำชี้แจง ให้นกั เรียนทากจิ กรรมที่กาหนดให้เป็นกลมุ่ พร้อมกบั นาเสนอผลงาน (25 นาที ) จงใช้กฏของไซน์ มาแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกบั ระยะทาง และความสงู ต่อไปนี ้ (1) ณ จดุ หนง่ึ บนพนื ้ ราบ ชายคนหนงึ่ มองเห็นหลอดไฟกระพบิ บนเสาส่งโทรศพั ท์ เป็นมมุ เงย 30 องศา เม่อื เขาเดนิ ตรงเข้าไปหาเสานนั ้ เป็ นระยะ 50 เมตร แล้วมองดหู ลอดไฟกระพบิ เห็นเป็นมมุ เงย 60 องศา จงหาว่า เสาสง่ โทรศพั ท์นีส้ งู เทา่ ไร วธิ ที า ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... (2) เสาธงต้นหนง่ึ ถกู พายพุ ดั หกั ยอดเสาหกั ค้างงอลงมาจดพนื ้ ทามมุ ก้มกบั พนื ้ ราบ 45 องศา ปลายยอดเสาอยหู่ า่ งจากโคนเสา 30 ฟุต จงหาวา่ เสาธงนสี ้ งู เท่าไร วิธีทา ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................…………………….........................................................................................................

69 ใบงานท่ี 2.14.2 วชิ าคณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ ( ค 30203) บทท่ี 2 เร่ือง การหาระยะทางและความสูง คาส่งั ให้นกั เรียนแสดงวธิ ีทา / หาคาตอบทถ่ี กู ต้อง ลงในชอ่ งว่างที่กาหนดให้แต่ละข้อ 1) สมชายสงู 175 ซม. ยืนอยู่ ณ จดุ หนง่ึ พบวา่ เม่ือเขามองไปยงั ยอดเขาลกู หนง่ึ จะมองเห็น เป็นมมุ เงย 15๐ แตถ่ ้าเขาเดนิ ตามแนวพนื ้ ราบเข้าไปหาเขาลกู นนั ้ เป็นระยะ 1 ก.ม. แล้ว มองขนึ ้ ไปบนยอดเขาที่เดมิ อกี พบว่าเป็นมมุ เงย 60๐ จงหาความสงู ของเขาลกู นี ้ วิธที า ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... 2) ก. และ ข. ยนื อยบู่ นพนื ้ ราบหา่ งกนั 50 เมตร และยนื อยใู่ นแนวเดยี วกนั กบั ตกึ หลงั หนง่ึ ถ้า ก. และ ข. มองไปบนยอดตกึ ท่ีจดุ เดยี วกนั พบว่าเป็นมมุ เงย 45๐ และ 30๐ ตาม ลาดบั จงหาวา่ ทงั ้ สองคน ยนื อยหู่ ่างจากตกึ คนละเทา่ ไร วธิ ีทา ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... 3) นาย A ยืนอยบู่ นประภาคารสงู 80 เมตรจากระดบั นา้ ทะเล มองเหน็ เรือ 2 ลาในทะเล ซง่ึ อย่ใู นแนวเดียวกนั กบั ประภาคาร พบวา่ เป็นมมุ ก้ม 60๐ และ 45๐ ตามลาดบั จงหาระยะ หา่ งระหวา่ งเรือทงั ้ สองลา วธิ ีทา ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………......................................................................................................... ..........................……………………........................................................................................................ . ..........................…………………….........................................................................................................

70 แบบทดสอบรายจุดประสงค์ (หลังเรียน) รายวิชา คณิตศาสตร์เพ่มิ เตมิ (ค30203) บทท่ี 2 เร่ือง ฟังก์ชันตรีโกณมิติและการประยุกต์ คำส่ัง ให้นกั เรียนเลอื กกากบาท ( x ) เพยี งข้อละ 1 ตวั เลอื ก ลงในกระดาษคาตอบ (1) จดุ ปลายของความยาวสว่ นโค้ง 11 บนวงกลมหนง่ึ หน่วย จะตกอย่ใู นควอดรันต์ใด 4 ก. ควอดรันต์ท่ี 1 ข. ควอดรันต์ที่ 2 ค. ควอดรันต์ที่ 3 ง. ควอดรันต์ท่ี 4 (2) ข้อใดคือคา่ ของ sin 4 3 ก. 1 ข.  3 ค. 3 ง.  2 2 2 2 3 (3) ข้อใดคอื ค่าของ cos19 ค.  3 ง.  1 6 2 2 ก. 1 ข. 3 ค. 1 ง.  1 2 2 3 3 (4) ข้อใดคือค่าของ tan(300 ) ง. 1 ก. 3 ข.  3 2 2 ง. - cos x (5) ข้อใดคอื ค่าของ sin120 tan 210 cos180 cot90 ก. 3 ข. 3 ค.  1 2 2 2 (6) sin( 900  x) มคี า่ เท่ากบั ข้อใด ก. sin x ข. cos x ค. - sin x (7) sin 750  sin 150 มคี ่าเท่ากบั ข้อใด ก. 3 ข. 2 ค. 6 ง. 6 2 2 4 2

71 (8) ถ้า cos A   1 เมือ่ 90 0<A<180 0 แล้ว sin 2A จะเท่ากบั ข้อใด 2 ก. - 1 ข. 1 ค. 3 ง. 3 2 2 2 2 (9) ข้อใดคอื ค่าของ sin1( 1) 2 ก.  ข.   ค.  ง.  63 4 3 (9) ข้อใดคอื ค่าของ sin[cos1( 1)] 2 ก. 3 ข.  3 ค.  1 ง. 1 2 2 2 2 (10) ข้อใดคือเซตคาตอบของสมการ 2 sin2 x  1  0 เม่อื x  [0, ] ก. {  , 2 } ข. {  , 3 } ค. {  , 5 } ง. ไม่มีข้อถกู 33 44 66 (11) กาหนด  ABC มดี ้าน a = 3 3 , A = 30 0 , C = 120 0 แล้ว b จะยาวเท่าไร ก. 3 3 ข. 4 2 ค. 9 ง. 12 (12) ชายคนหนงึ่ ขบั รถจากจดุ ก. ลงไปทางทิศใต้เป็นระยะทาง 6 ก.ม. ต่อจากนนั ้ ขบั รถต่อไป ในทิศ 210 0 ถงึ จดุ เป็นระยะทาง 10 ก.ม. จงหาระยะหา่ งระหว่างจดุ ก. และจดุ ข. ก. 8 ก.ม. ข. 12 ก.ม. ค. 14 ก.ม. ง. 16 ก.ม.