ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ 2017

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 1

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr Εδώ είμαστε και φέτος .Οδηγός επανάληψης για το 2017. Έπαψε να έχει τόσαυπαρξιακά (Θ.Μ.Τ,Rolle,συνέπειες… ) ,«πατάει» περισσότερο από τον προηγούμενο στοσχολικό εγχειρίδιο και έχει μια πιο γεωμετρική ματιά. Συνίσταται από μια μίνιεπισκόπηση της θεωρίας με ερωτήσεις κλειστού τύπου και ερωτήσεις ανάπτυξης,προστεθήκαν 20 θέματα στα όρια και την συνέχεια , 40 θέματα στον διαφορικό, 20θέματα στον ολοκληρωτικό λογισμό και 30 γενικά επαναληπτικά θέματα. Συνολικά 450θέματα .Ενημερωθήκαν για το 2016,τα θέματα πανελληνίων και της ΟΕΦΕ. Δεν λείπουν,τα γνωστά τερατουργήματα με τα 7 ή 8 ερωτήματα. Όλα με τις λύσεις τους, γιατί οσκοπός του παρόντος είναι να έχει υλικό ο μαθητής που θέλει να μελετήσει μόνος του.Το παρόν συμπληρώνει και δεν υποκαθιστά στο σχολικό βιβλίο. Σ.Ο.Κ.Ο.Ν ?? f '(x) + xf (x) = ex ?ln x ? ?lim x −1 x →1Θέλει να περάσει e ?πανεπιστήµιο !! ? ∫ xexdx 1 ? ?? ?ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΝΑΠΑΡΑΧΘΕΙ ΚΑΙ ΝΑ ∆ΙΑΝΕΜΗΘΕΙ ΕΛΕΥΘΕΡΑ2 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ1)Μαθηματικά Θετικού προσανατολισμού, Ανδρεαδάκης,Κατσαργύρης,Μέτης.Ο.Ε.Δ.Β2) Μαθηματικά Γ Λυκείου, Μπάρλας Α., Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική3)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Κατσαρός Δ.,Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική4)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Στεργίου–Νάκης,Εκδόσεις Σαββάλα5)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Μαυρίδης Γ., Εκδόσεις Μαυρίδη6)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σκομπρής Γ., Εκδόσεις Σαββάλα7)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Μιχαηλίδης Γ., Εκδόσεις Μαυρίδη8)Ανάλυση Μαθηματικά, Αχτσαλωτίδης Χ. ,Εκδόσεις Μεταίχμιο9)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Παπαδάκης ,Εκδόσεις Σαββάλα10)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Ξένος. Θ. ,Εκδόσεις Ζήτη11)Μαθηματικά-Ανάλυση,Μαντάς Γ. ,Εκδόσεις Μαντά12)Μαθηματικά-Ανάλυση,Ευρυπιώτης Σ.Γ. ,Εκδόσεις Πατάκη13)Μαθηματικα-Αναλυση,Μπαιλάκης Σ.Γ., Εκδόσεις Σαββάλα14) Ανάλυση 1,2,3,Γκατζούλη Κ., Εκδόσεις Γκατζούλη15) 1000+1 ασκήσεις στις παραγώγους, Ξηνταβελώνης Π.,Εκδόσεις Λιβάνη16)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Β &Ρ Σπανδάγου.,Εκδόσεις Αίθρα17)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Αρχείο Σ.Ο.Κ.Ο.Ν,Αρχείο ΕΜΕ, Αρχείο θεμάτων πανελλαδικών18)ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β19)Συναρτήσεις,Ποσταντζής Β.20)Βιβλίο του διδάσκοντος. Για το μάθημα ανάλυση της Γ λυκείου,Γ.Παντελίδη, Εκδόσεις Ζήτη21)Θεώρημα μέσης τιμής ,Γιαννιτσιώτης-Καραγιώργος, Εκδόσεις Κωστόγιαννος22)Συναρτήσεις Θ.Ν. Καζαντζής. Εκδόσεις Τυποεκδοτική23)Ανάλυση,Ντζιώρας.Η, Εκδόσεις Πατάκη24)Ανάλυση,Μπαραλός Γ. Εκδόσεις Παπαδημητρόπουλου25) Απειροστικός λογισμός, Spivak M. ,Παν. Εκδόσεις Κρήτης26)Μαθηματική ανάλυση Ρασσιάς Μ. ,Εκδόσεις Σαββάλα24)Problems in Calculus ,Ι.Μ.Maron,Mir Publisher25)Θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης,Πανουσάκης Ν.,Εκδοτικός όμιλος Συγγραφέων καθηγητών26) Το Φ27) Η διδασκαλία του Απειροστικού λογισμού, μέσω αντιπαραδειγμάτων, Πλάταρος Γιάννης27)Οδηγός επανάληψης στα μαθηματικά Γ λυκείου, Χ.Πατήλας, εκδόσεις Κωστόγιαννος28)Γενικά θέματα μαθηματικών, Βλάχος. Β., Κουτσούκος Π. ,Ξηροκώστας Π. ,Πλατής Χ.29)Problem book:Algebra and Elementary functions, Kutepov A.,Rubanov, MIR Publishers30) Θέματα για πανελλήνιες εξετάσεις πρώτης δέσμης,Σάκης Λιπορδέζης31)The theory of functions of a real variable, R.L.Jeffery32)A Problem book in mathematical analysis,G.N Berman33) Bad problems in Calculus, A.G .Drolkun34) Μαθηματικά 1,2,3 Γ.Δεμερτζής,Δ.Γουβίτσας Εκδόσεις Όλυμπος35)Μεθοδολογία για ασκήσεις και προβλήματα μαθηματικών, Α.Καλομητσίνης, Εκδόσεις Σμίλη36)Διδακτικη των θετικών επιστημών, Δ.Λ. Καραγεώργος37)Επαναληψη μαθηματικών Γ λυκείου,Ν.Κουταντζής38)Επιλογη ασκήσεων από την διεθνή θεματογραφία Γ ενιαίου λυκείου Α.Καλομητσίνης39)Ασκησεις μαθηματικής ανάλυσης, Στάικου Β40)Differential Calculus ,Ν.Ball41)Calculus,E.Swokowski42)Problems in Algebra ,T.Andreesku, Z.Feng43)Ολοκληρώματα , Θ.Ν. Καζαντζής. Εκδόσεις Μαθηματική βιβλιοθήκη44)Oδηγός προετοιμασίας για τις πανελλαδικές εξετάσεις (Lisari team)45)Μαθηματικά Γ τάξης Γενικού Λυκείου ,Κανδυλας ,Ζανταριδης…Τα σχήματα επιμελήθηκε ο Ντόναλντ Ντάκ ενώ τους γραμμοκώδικες ( qr-code) δημιούργησε οΟβελίξ σε συνεργασία με τον Κακοφωνίξ.ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 3

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ•ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ –ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ•ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ:•ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ•ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ•ΓΕΝΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑΣτο σύνδεσμο:https://drive.google.com/open?id=0B8YC2ZtENtdoWWQwUHFZTWNKWHc•ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 2016 (ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ,ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ,ΟΜΟΓΕΝΩΝ,ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ)•ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΜΕΧΡΙ ΤΟ 2016Για επανάληψη μόνο στην έννοια της συνάρτησης (σύνθεση, αντίστροφη , γραφικέςπαραστάσεις κ.τ.λ) μελετήστε το αρχείο με λυμένα επαναληπτικά θέματα στοσύνδεσμο:http://www.slideshare.net/gdoubos/ss-65382442H θεωρία συγκεντρωτικά στο αρχείο:https://drive.google.com/file/d/0B0ncwU5ccdmNb1RfNnVJSEdLSWM/view ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΝΑΠΑΡΑΧΘΕΙ ΚΑΙ ΝΑ ∆ΙΑΝΕΜΗΘΕΙ ΕΛΕΥΘΕΡΑ4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grΦΕΤΙΝΗ ΠΡΟΣΘΗΚΗ ΑΠΟ ΤΟ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΓΙΑ ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Χρησιμοποιούνται από τους μαθητές για την λύση των ασκήσεων χωρίς απόδειξηοι προτάσεις:1.Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε για οποιαδήποτεx1, x2 ∈ ∆ ισχύει η συνεπαγωγή f (x1) < f (x2 ) ⇒ x1 < x22.Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ, τότε για οποιαδήποτεx1, x2 ∈ ∆ ισχύει η συνεπαγωγή f (x1) < f (x2 ) ⇒ x1 > x23.Εστω f,g δυο συναρτήσεις που είναι ορισμένες κοντά στο x0 ∈ ℝ ∪{−∞, +∞}i.Αν ισχύουνα) f (x) < g(x) κοντά στο x0 και β) lim f (x) = +∞ x→ x0τότε θα ισχύει και lim g(x) = +∞ x→ x0ii. Αν ισχύουνα) f (x) ≤ g(x) κοντά στο x0 και β) lim g(x) = −∞ x→ x0τότε θα ισχύει και lim f (x) = −∞ x→ x04.Εστω f,g δυο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [a, β ] •Αν f (x) ≥ g(x) για κάθε x ∈[a, β ] τότε θα ισχύει: ββ ∫ f (x)dx ≥ ∫ g(x)dx αα•Αν, επιπλέον οι συναρτήσεις f και g δεν είναι ίσες στο [a, β ] ( δηλαδή , αν υπάρχειξ ∈[a, β ] , με f (ξ ) ≠ g(ξ )) τότε θα ισχύει ββ ∫ f (x)dx > ∫ g(x)dx αα Χρησιµοποιήστε τα άφοβα!!ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 5

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ 1.ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ6 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ (ΟΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΕΛ 13 ) ΣΛ1.Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f έχει εξίσωση y = f (x) .2.Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f αποτελείται από τα τμήματα της Cf πουβρίσκονται πάνω από τον άξονα x’x και από τα συμμετρικά ως προς τον άξονα x’x τωντμημάτων της Cf που βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν. ΣΛ3.Εστω συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β ) με εξαίρεση ίσωςένα σημείο του x0 ,στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν η f '(x) διατηρεί πρόσημο στο(a, x0 ) ∪ ( x0 , β ) , τότε το f (x0 ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίως μονότονη στο(α, β ) . ΣΛ4.Δυο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες αν και μόνο αν έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού Α καιισχύει f (x) = g(x) για κάθε x ∈ ℝ . ΣΛ5.Η τιμή μιας συνάρτησης f σε κάποιο σημείο x0 του πεδίου ορισμού της είναι η τεταγμένητου σημείου τομής της ευθείας x = x0 και της Cf. ΣΛ6.Για οποιεσδήποτε συναρτήσεις f,g για τις οποίες ορίζονται οι συναρτήσεις fog καιgof ,ισχύει: fog = gof . ΣΛ7.Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει στο x0 ∈ A ολικό μέγιστο τοf (x0 ) αν και μόνο αν f (x) ≤ f (x0 ) για κάθε x ∈ A . ΣΛ ΣΛ8.Αν lim f (x) = +∞ και lim g(x) = −∞ ,τότε lim [g(x) + f (x)] = 0x→ x0 x→ x0 x→ x09.Μια συνάρτηση f είναι 1-1 αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της ηεξίσωση y = f (x) έχει ακριβώς μια λύση ως προς x. ΣΛ10.Καθε συνάρτηση f η οποία είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ είναι καισυνάρτηση 1-1 στο διάστημα αυτό. ΣΛ11.Μια συνάρτηση f : Α → ℝ λέγεται συνάρτηση 1-1 αν και μόνο αν για οποιαδήποτεx1, x2 ∈ A ισχύει η συνεπαγωγή ΣΛ Αν x1 ≠ x2 τότε f (x1) ≠ f (x2 )12.Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f και f-1 είναι συμμετρικές ως προς τονάξονα x’x. ΣΛ13.Ισχυει η ισοδυναμία lim f (x) = l ⇔ lim ( f (x) − l) = 0 ΣΛ x→ x0 x →x0 ΣΛ14.Αν lim f (x) > 0 τότε f (x) > 0 κοντά στο x0 . x→ x015.Ισχύει lim 1 = +∞ ,ν ∈ ℕ* ΣΛ x 2 v +1 x→016.Για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση P(x) ισχύει: lim P(x) = P( x0 ) ΣΛ x→ x017.Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή σε έναδιάστημα Δ ισχύει f ''(x) > 0 για κάθε x ∈ ∆ ΣΛ18.Αν για τις συναρτήσεις f,g,h ισχύει h(x) < f (x) < g(x) κοντά στο x0 και lim h(x) = lim g(x) = l , x→ x0 x→ x0τότε lim f (x) = l . ΣΛ x→ x019.Αν για τις συναρτήσεις f,g,h ισχύει h(x) ≤ f (x) ≤ g(x) κοντά στο x0 και lim h(x) ≠ lim g(x) , x→ x0 x → x0τότε δεν υπάρχει το lim f (x) . ΣΛ x→ x020.Αν lim f (x) = +∞ , τότε f (x) > 0 κοντά στο x0. ΣΛ x→ x0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 7

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr21. Έστω συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα [a, β ] και τα σημείαA(a, f (a)) και B(β , f (β )) της γραφικής παράσταση .Αν δεν υπάρχει εφαπτομένη της Cfπαράλληλη προς την ευθεία ΑΒ, τότε η f ή δεν είναι συνεχής στο [a, β ] ή δεν είναιπαραγωγίσιμη στο (a, β ) . ΣΛ22.Το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης f είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων τηςCf . ΣΛ23.Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [a, β ] ,παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (a, β ) και τέτοια, ώστε f (a) ≠ f (β ) ,ισχύει f '(x) ≠ 0 γιακάθε x ∈ (a, β ) . ΣΛ24.Υπαρχει συνάρτηση f για την οποία κάποιο τοπικό μέγιστο είναι μικρότερο από κάποιοτοπικό ελάχιστο. ΣΛ25.Υπαρχει συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [a, β ] καιπαραγωγίσιμη στο (a, β ) με f (a) = f (β ) για την οποία ισχύει f '(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ (a, β ) .26.Καθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [a, β ] με ΣΛf (a) = f (β ) και τέτοια, ώστε f '(ξ ) = 0 , για κάποιο ξ ∈ (a, β ) είναι παραγωγίσιμη στο (a, β ) . ΣΛ27.Εστω συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα [a, β ] με f (a) = f (β ) .Ανυπάρχει εφαπτομένη της Cf παράλληλη προς τον άξονα x’x, τότε η f δεν είναι συνεχήςστο [a, β ] , ούτε παραγωγίσιμη στο (a, β ) . ΣΛ28.Καθε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [a, β ] και τέτοια,ώστε f '(ξ ) = f (α ) − f (β ) για κάποιο ξ ∈(a, β ) είναι συνεχής στο [a, β ] ή παραγωγίσιμη στο a−β(a, β ) . ΣΛ29.Υπαρχει συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [a, β ] καιπαραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (a, β ) με f '(x) ≠ f (β ) − f (α ) για κάθε x ∈(a, β ) ΣΛ β −α30.Εστω συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [a, β ] καιπαραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (a, β ) .Αν A(a, f (a)) και B(β , f (β )) ,τότε υπάρχει ένατουλάχιστον, ξ ∈ (a, β ) τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο σημείο Μ(ξ , f (ξ )) να είναιπαράλληλη προς την ευθεία ΑΒ. ΣΛ31.Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ και η f ' είναι γνησίως αύξουσα στο ℝ ,τότε η f είναι κυρτή στο ℝ . ΣΛ32.Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη και μη σταθερή σε ένα διάστημα Δισχύει f '(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ ∆ . ΣΛ33.Για όλες τις συναρτήσεις f,g οι οποίες είναι συνεχείς σε ένα διάστημα Δ και τέτοιες ,ώστε f '(x) = g '(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, υπάρχει σταθερά c ∈ ℝ τέτοια , ώστεf (x) = g(x) + c για κάθε x ∈ ∆ . ΣΛ34.Για όλες τις συναρτήσεις f,g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες σε ένα σύνολο Α και τέτοιες, ώστε f '(x) = g '(x) για κάθε x ∈ Α ,υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστε f (x) = g(x) + c για κάθεx∈ A . ΣΛ8 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr35.Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη και γνησίως αύξουσα σε έναδιάστημα Δ ισχύει f '(x) > 0 για κάθε x ∈ ∆ . ΣΛ36.Αν το Α( x0, f (x0 )) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυοφορές παραγωγίσιμη , τότε f ''(x0 ) = 0 . ΣΛ37.Οι κανόνες De L’Hospital ισχύουν για τις απροσδιόριστες μορφές +∞ και −∞ όχι όμως +∞ −∞και για τις απροσδιόριστες μορφές +∞ και −∞ . ΣΛ −∞ +∞38. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [a, β ] ,παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (a, β ) και τέτοια, ώστε f '(x) ≠ 0 για κάθε x ∈ (a, β )ισχύει: f (a) ≠ f (β ) . ΣΛ39.Για κάθε συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α και για κάθε x0 ∈ Α , το οποίο είναι θέσητοπικού μεγίστου της f υπάρχει δ > 0 τέτοιο , ώστε f (x) ≤ f (x0 ) για κάθε x ∈ ( x0 − δ , x0 + δ ) . ΣΛ40.Καθε συνάρτηση f έχει ένα τουλάχιστον τοπικό ακρότατο. ΣΛ41.Καθε συνάρτηση η οποία παρουσιάζει ολικό ελάχιστο παρουσιάζει και τοπικό ελάχιστο. ΣΛ42.Για κάθε συνάρτηση f η οποία παρουσιάζει ολικό ελάχιστο, αυτό είναι το μικρότεροαπό όλα τα τοπικά ελάχιστα. ΣΛ43.Εστω συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Ονομάζουμε κρίσιμα σημεία της f στοδιάστημα Δ τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγοςείναι ίση με μηδέν. ΣΛ44. Για κάθε συνάρτηση f η οποία παρουσιάζει ολικό μέγιστο, αυτό είναι το μεγαλύτεροαπό όλα τα τοπικά μέγιστα. ΣΛ45.Καθε συνάρτηση f η οποία παρουσιάζει τοπικά ελάχιστα, παρουσιάζει και ολικόελάχιστο που είναι το μικρότερο από όλα τα τοπικά ελάχιστα. ΣΛ46.Καθε συνάρτηση f η οποία είναι ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και τέτοια ώστε f '(x) > 0 σεκάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ. ΣΛ47.Κάθε συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα σύνολο Α με f '(x) = 0 για κάθεx ∈ Α να είναι σταθερή στο Α. ΣΛ48.Καθε γραφική παράσταση συνάρτησης έχει το πολύ δυο οριζόντιες ή πλάγιεςασύμπτωτες . ΣΛ49.Το πεδίο ορισμού μiας συνάρτησης f είναι το σύνολο των τετμημένων των σημείων τηςCf. Σ Λ50.Εστω συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β ) με εξαίρεσηίσως ένα σημείο του x0 , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f '(x) > 0 στο (a, x0 ) καιf '(x) < 0 στο ( x0 , β ) , τότε το f (x0 ) είναι τοπικό μέγιστο της f. ΣΛ51.Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α , β ] ημεγαλύτερη από τις τιμές της στα κρίσιμα σημεία της και στα σημεία α,β είναι το μέγιστοτης f στο [α , β ] . ΣΛ52.Καθε συνάρτηση f η οποία είναι δυο φορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δπαρουσιάζει καμπή σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ στο οποίο η f '' μηδενίζεται. ΣΛΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 9

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr53.Εστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β ) και ένα σημείο x0 ∈ (α, β ) .Αν ηf είναι κυρτή στο (α, x0 ) και κοίλη στο ( x0, β ) ή αντιστρόφως ,το σημείο Α( x0, f (x0 )) είναισημείο καμπής της Cf. ΣΛ54.Εστω συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα (α, β ) και x0 ∈ (α, β ) .Αν η f '' αλλάζειπρόσημο εκατέρωθεν του x0 και ορίζεται εφαπτομένη της Cf στο Α( x0, f (x0 )) , τότε τοΑ( x0 , f (x0 )) είναι σημείο καμπής της Cf. ΣΛ55.Οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σε ένα διάστημα Δ στο οποίοείναι δυο φορές παραγωγίσιμη είναι τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f ''μηδενίζεται. ΣΛ56.Καθε συνάρτηση f η οποία παρουσιάζει τοπικά μέγιστα, παρουσιάζει και ολικό μέγιστοπου είναι το μεγαλύτερο από όλα τα τοπικά μέγιστα. ΣΛ57.Η ευθεία x = x0 , λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιαςσυνάρτησης f αν και μόνο αν και τα δυο όρια lim f (x), lim f (x) είναι ίσα με −∞ ή +∞ . x→ x0+ x→ x0− ΣΛ58. Αν lim f (x) = +∞, lim g(x) = +∞ και υπάρχει το lim f '(x) , τότε lim f (x) = lim f '(x) ΣΛx→ x0 x→ x0 x→x0 g '(x) x→x0 g(x) x→x0 g '(x)59.Η ευθεία y = l λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιαςσυνάρτησης f στο +∞ αν και μόνο αν lim f (x) = l . ΣΛ x → +∞60.Η ευθεία y = λ x + β λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης fστο +∞ αν και μόνο αν lim [ f (x) − (λ x + β )] = +∞ . ΣΛ x → +∞61.Η ευθεία y = λ x + β είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f στο+∞ αν και μόνο αν lim f (x) = λ ∈ ℝ και lim [ f (x) − λ x] = β ∈ ℝ ΣΛ xx→+∞ x → +∞62.Οι ρητές συναρτήσεις P(x) με βαθμό αριθμητή P(x) μεγαλύτερο τουλάχιστον κατά δυο Q(x)του βαθμού του παρονομαστή δεν έχουν πλάγιες ασύμπτωτες. ΣΛ63.Κατακορυφες ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης f αναζητούμεστα άκρα διαστημάτων του πεδίου ορισμού της στα οποία η f δεν ορίζεται και στα σημείατου πεδίου ορισμού της στα οποία η f δεν είναι συνεχής . ΣΛ64.Καθε γραφική παράσταση συνάρτησης έχει το πολύ δυο κατακόρυφες ασύμπτωτες. ΣΛ65.Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της Cf σε κάθεσημείο του Δ βρίσκεται πάνω από την Cf με εξαίρεση το σημείο επαφής. ΣΛ66.Αν lim f (x) = 0, lim g(x) = 0 και υπάρχει το lim f '(x) , τότε lim f (x) = lim f '(x) ΣΛx→ x0 x→ x0 x→x0 g '(x) x→x0 g(x) x→x0 g '(x)67.Καθε συνάρτηση f η οποία είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ είναι καισυνάρτηση 1-1 στο διάστημα αυτό. ΣΛ68. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α , β ] ημικρότερη από τις τιμές της στα κρίσιμα σημεία της είναι το ελάχιστο της f στο [α , β ] . ΣΛ69. Αν lim f (x) = 0, lim g(x) = 0 και δεν υπάρχει το lim f '(x) , τότε δεν υπάρχει το lim f (x)x→ x0 x→ x0 x→x0 g '(x) x→x0 g (x) ΣΛ10 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr70. Αν για δυο παραγωγίσιμες συναρτήσεις f , g : ℝ → ℝ ισχύει f (x) > g(x) για κάθε x ∈ ℝτότε ισχύει: f '(x) > g '(x) για κάθε x ∈ ℝ . ΣΛ71.Για κάθε συνάρτηση f , η οποία είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ, οι πιθανέςθέσεις των τοπικών ακρότατων της είναι τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f 'μηδενίζεται και τα άκρα του Δ που ανήκουν το πεδίο ορισμού της. ΣΛ72.Οι πολυωνυμικές συναρτήσεις βαθμού μεγαλυτέρου ή ίσου του 2 δεν έχουνασύμπτωτες . ΣΛ73.Υπαρχει συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε διάστημα Δ και δεν έχει παράγουσαστο Δ. ΣΛ74.Καθε συνάρτηση f έχει το πολύ μια παράγουσα σε οποιοδήποτε διάστημα Δ του πεδίουορισμού της. ΣΛ β75.Το ορισμένο ολοκλήρωμα ∫ f (x)dx είναι πραγματικός αριθμός που εξαρτάται μόνο από aτον τύπο της συνάρτηση f και τα όρια ολοκλήρωσης α ,β. ΣΛ β76.Στην έκφραση ∫ f (x)dx το γράμμα x είναι μια μεταβλητή και μπορεί να αντικατασταθεί aαπό οποιοδήποτε άλλο γράμμα. ΣΛ77.Για κάθε συνάρτηση f συνεχή σε διάστημα [a, β ] ισχύει: ββ ΣΛ ∫ f (x)dx = ∫ f (t)dt aa78. Για κάθε συνάρτηση g η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α , β ] και τέτοια, ώστεg(x) ≤ 0 για κάθε x ∈[a, β ] το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από την Cg , τον β ΣΛάξονα x’x και τις ευθείες x=α ,x=β είναι E = ∫ ( g(x)) dx a79. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής, μη αρνητική και όχι παντού μηδέν σε έναδιάστημα [a, β ] ισχύει: β ΣΛ ∫ f (x)dx > 0 a80.Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και για κάθε a, β ∈ ∆ισχύει η σχέση ΣΛ βα ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = 0 aβ81.Για όλες τις συναρτήσεις f,g οι οποίες είναι συνεχείς σε ένα διάστημα [α , β ] τοεμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τις γραφικές παραστάσεις των f,g και τιςευθείες x=α ,x=β είναι β ΣΛ E = ∫ ( f (x) − g(x) ) dx a82.Για όλες τις συναρτήσεις f,g οι οποίες είναι συνεχείς σε ένα διάστημα [α , β ] και γιακάθε λ, µ ∈ ℝ ισχύει: ΣΛ β ββ ∫ (λ f (x) + µ g(x))dx = λ ∫ f (x)dx + µ ∫ g(x)dx a aa83.Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και για κάθε a, β ,γ ∈ ∆ β γγ ΣΛ ∫ f (x)dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx a aβ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 11

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr84. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο διάστημα [a, β ] και για κάθεπαράγουσα G της f στο [a, β ] ισχύει β ΣΛ ∫ f (t)dt = G(a) − G(β ) a85. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο σε έναδιάστημα [a, β ] ισχύει β ΣΛ ΣΛ ∫ f '(x)dt = f (β ) − f (α ) a86.Η μέθοδος ολοκλήρωσης με αντικατάσταση εκφράζεται από τον τύπο β g(β) ∫ f (g(x))g '(x)dx = ∫ f (u)du a g(a)87.Παράγουσα συνάρτησης μιας συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ ονομάζεταικάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ και ισχύει F '(x) = f (x) για κάθε x στο εσωτερικό του Δ. ΣΛ88. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής και μη αρνητική σε ένα διάστημα [a, β ]ισχύει β ΣΛ ∫ f (x)dx ≥ 0 a89. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα [a, β ] και τέτοιο ώστεβ ΣΛ∫ f (x)dx ≥ 0 ισχύει f (x) ≥ 0 για κάθε x ∈[a, β ] .a β ΣΛ90.Για κάθε a, β , c ∈ ∆ ισχύει η σχέση: ∫ cdx = c(a − β ) a91. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής, μη αρνητική σε ένα διάστημα [a, β ] , ταεμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από την Cf, τον άξονα των x’x και τις ευθείες x=α,x=β είναι β ΣΛ E = ∫ f (x)dx a92. Για κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής στο ℝ ισχύει η ισοδυναμία β ΣΛ α = β ⇔ ∫ f (x)dx = 0 a93. Για όλες τις συναρτήσεις f,g οι οποίες είναι συνεχείς σε ένα διάστημα [a, β ] και τέτοιεςώστε f (x) ≥ g(x) για κάθε x ∈[a, β ] το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τιςγραφικές παραστάσεις των f,g και τις ευθείες x=α ,x=β είναι ΣΛ f ', g ' συνεχείς σε ένα β ΣΛ E = ∫ ( f (x) − g(x)) dx a94. Για όλες τις συναρτήσεις f,g οι οποίες είναι παραγωγίσιμες μεδιάστημα [a, β ] ισχύει: ββ [ (x)g(x)]β ∫ f (x)g '(x)dx = f a + ∫ f '( x) g ( x)dx aa12 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr β95. Για κάθε συνάρτηση g η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α , β ] ,το ∫ ( g(x)) dx aείναι ίσο με το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την Cf, τον άξονα x’x και τιςευθείες x=α ,x=β . ΣΛ96. Κάθε συνάρτηση f η οποία δεν είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α , β ] δεν παίρνει ούτεελάχιστη ούτε μέγιστη τιμή σε αυτό το διάστημα. ΣΛ97. Κάθε συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναικαι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό. ΣΛ98. Η συνάρτηση f (x) = ax , x ∈ ℝ, a > 0 είναι παραγωγίσιμη και ισχύει f '(x) = ax για κάθεx∈ℝ. ΣΛΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ 8.Λ 9.Σ 10.Σ 11.Σ 12.Λ 13.Σ1. Σ 2. Σ 3. Σ 4. Σ 5.Σ 6.Λ 7.Σ 21.Σ 22.Σ 23.Λ 24. Σ 25.Σ 26.Λ14.Σ 15.Λ 16.Σ 17.Λ 18.Σ 19.Λ 20.Σ 34.Λ 35.Λ 36.Σ 37. Λ 38. Σ 39.Λ27.Λ 28.Λ 29.Σ 30.Σ 31.Σ 32.Λ 33.Σ 47.Λ 48.Σ 49.Σ 50.Σ 51.Σ 52.Λ40.Λ 41.Σ 42.Σ 43.Σ 44.Σ 45.Λ 46.Λ 60.Λ 61.Σ 62.Σ 63.Σ 64.Λ 65.Σ53.Σ 54.Σ 55.Σ 56.Λ 57.Λ 58.Σ 59. Σ 73.Λ 74.Λ 75.Σ 76.Σ 77.Σ 78.Λ66.Σ 67.Σ 68.Λ 69.Λ 70.Λ 71.Σ 72.Σ 86.Σ 87.Λ 88.Σ 89.Λ 90.Λ 91.Σ79.Σ 80.Σ 81.Λ 82.Σ 83.Λ 84.Λ 85.Σ92.Λ 93.Σ 94.Λ 95.Λ 96. Λ 97.Λ 98.Λ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 13

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ (ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ)Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν,γράφοντας στο τετράδιό σας τηνένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.1)(Ημερήσιες 2002)α. Αν η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο [α,β] και συνεχής στο (α,β], τότε η f παίρνειπάντοτε στο [α,β] μία μέγιστη τιμή.β. Κάθε συνάρτηση, που είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της, είναι γνησίως μονότονη.γ. Αν υπάρχει το όριο της συνάρτησης f στο x0 και lim f(x) = 0 , τότε lim f(x) = 0 . x→x0 x→x0δ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ℝ ,τότε: Ότι πέφτει..ξαναπέφτει…. ∫ f(x)dx = xf(x) − ∫ xf ′(x)dx .ε. Αν lim f(x) > 0 , τότε f(x) > 0 κοντά στο x0 . x→x02)(Ημερήσιες 2003)β. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δύο φορές παραγωγίσιμη στοεσωτερικό του Δ. Αν f΄΄(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι κυρτή στοΔ.δ. Αν μια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικήςπαράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική τηςπαράσταση.ε. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ.Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο x0 και f΄(x0)=0, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικόακρότατο στο x0.3)(Ημερήσιες 2004)β. lim f(x) = l , αν και μόνο αν lim f(x) = lim f(x) = l . x→x0 x→x0− x → x + 0γ. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x0, τότε η συνάρτηση f·g είναιπαραγωγίσιμη στο x0 και ισχύει: (f·g)΄(x0) = f '(x0) g΄(x0).δ. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f ΄(x)>0 σε κάθεεσωτερικό σημείο x του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα σε όλο το Δ.ε. Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σ' ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της fστο [α, β], τότε : ∫β f(t)dt = G(β) − G(α) . α14 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr4)(Ημερήσιες 2005)α. Αν η f είναι συνεχής στο [α, β] με f(α) < 0 και υπάρχει ξ ∈ (α, β) ώστε f(ξ) = 0, τότε κατ’ανάγκη f(β) > 0.β. Αν υπάρχει το lim (f(x) + g(x)) , τότε κατ’ ανάγκη υπάρχουν τα lim f(x) και lim g(x) . x→x0 x→x0 x→x0γ. Αν η f έχει αντίστροφη συνάρτηση f-1 και η γραφική παράσταση της f έχει κοινό σημείοΑ με την ευθεία y = x, τότε το σημείο Α ανήκει και στη γραφική παράσταση της f-1.δ. Αν lim f(x)=0 και f(x) > 0 κοντά στο x0, τότε lim 1 =+∞ .x→x0 x→x0 f(x)ε. Αν η f είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ,( )∫τότε ισχύει ′ x = f(x) − f(α) για κάθε x∈∆ . f(t)dt αστ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ’ αυτό, τότεαυτή ή είναι θετική για κάθε x ∈ ∆ ή είναι αρνητική για κάθε x ∈ ∆ , δηλαδή διατηρείπρόσημο στο διάστημα Δ.5)(Ημερησιες 2006)β. Αν υπάρχει το lim f(x) > 0 , τότε f(x)>0 κοντά στο x0. x→x0γ. H εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης fείναι διάστημα.( )δ. Ισχύει ο τύπος 3x ′ = x ⋅ 3x−1 , για κάθε x ∈ ℝ .ε. Ισχύει η σχέση ,όπου f ΄, g ΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α, β].6)(Ημερήσιες 2007)α. Αν f συνάρτηση συνεχής στο διάστηµα [α, β] και για κάθε x ∈ [α, β] ισχύει f(x) ≥ 0 τότε∫α f(x)dx > 0 . ββ. Έστω f µια συνάρτηση συνεχής σε ένα διάστηµα Δ και παραγωγίσιµη σε κάθεεσωτερικό σηµείο x του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ τότε f ΄(x) > 0 σεκάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ.γ. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 και η συνάρτηση g είναι συνεχής στο x0, τότε ησύνθεσή τους gοf είναι συνεχής στο x0. 15 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grε. Αν α > 1 τότε lim αx = 0 . x → −∞7)(Ηµερήσιες 2008)α. Αν µια συνάρτηση f: A → ℝ είναι 1-1, τότε για την αντίστροφη συνάρτηση f-1ισχύει:f-1(f (x)) = x, x ∈A και f(f-1(y)) = y, y∈f(A).β. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσηµο σε καθένα από τα διαστήµατα σταοποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισµού της.δ. Αν µια συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιµη στο ℝ και στρέφει τα κοίλαπρος τα άνω, τότε κατ’ ανάγκη θα ισχύει f ΄΄(x) > 0 για κάθε πραγματικό αριθμό x.ε.Aν η f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α, β, γ ∈ ∆ τότε ισχύει: ∫β f(x)dx = ∫ γ f(x)dx + ∫β f(x)dx α αγ8)(Ημερήσιες 2009).β. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x0∈A,όταν f(x) ≥ f(x0) για κάθε x∈A.γ. lim συνx −1 = 1. x→0 xδ. Κάθε συνάρτηση f συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της είναι καιπαραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.ε. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα [α, β] και ισχύει f(x) < 0 για κάθε x ∈[α, β], τότε το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f, τιςευθείες x = α, x = β και τον άξονα x΄x είναι: Ε(Ω) = ∫β f(x)dx . α9) (Ημερήσιες 2010)β) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ.Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετικήστο εσωτερικό του Δ.γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β), όπουA = lim f(x) και B = lim f(x) .x→α+ x →β −δ) (συνx)′ = ηµx, x ∈ ℝ .ε) Αν lim f(x) < 0 , τότε f(x) < 0 κοντά στο x0. x→x010)(Ημερησιες 2011)16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grβ) Μια συνάρτηση f : A → ℝ λέγεται συνάρτηση 1–1, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 ∈ Aισχύει ησυνεπαγωγή: αν x1 ≠ x2, τότε f(x1) ≠ f(x2).γ) Για κάθε x ∈ ℝ = ℝ – {x|συνx = 0} ισχύει: ( εφx )′ = −1 . 1 συν 2 xδ) Ισχύει ότι: lim ηµx = 1. xx→+∞ε) Οι γραφικές παραστάσεις C και C ΄ των συναρτήσεων f και f–1 είναι συμμετρικές ωςπρος την ευθεία y = x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x΄Oy΄.11) (Ημερήσιες 2012)β) Μία συνάρτηση f είναι 1 – 1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών τηςη εξίσωση f(x) = y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x.γ) Αν είναι lim f(x) = +∞ , τότε f(x) < 0 κοντά στο x0. x→x0δ) ( σφx )′ = 1 , x ∈ ℝ − {x | ημx = 0}. ηµ 2 x∫ ∫ε) β f(x)g′(x)dx = [f(x)g(x)]β + β f ′(x)g(x)dx , όπου f ΄, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο [α, α ααβ].12) (Ημερήσιες 2013)β) Αν lim f(x) < 0 , τότε f(x) < 0 κοντά στο x0. x→x0γ) Ισχύει ότι: ηµx ≤ x για κάθε x ∈ ℝ .δ) Ισχύει ότι: lim συνx −1 = 1. x→0 xε) Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποίαοι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της.13) (Ημερήσιες 2014)β) Αν lim f(x) = +∞ ή -∞, τότε lim 1 = 0 . x→x0 x→x0 f(x)γ) Αν μια συνάρτηση f παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο, τότε αυτό θα είναι το μεγαλύτεροαπό τα τοπικά της μέγιστα.δ) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και α,β,γ ∈ ∆ , τότε ισχύει: 17 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr ∫β f(x)dx = ∫ γ f(x)dx + ∫β f(x)dx . α αγε) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη σε κάθε εσωτερικόσημείο του Δ. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο Δ, τότε η παράγωγός τηςείναι υποχρεωτικά αρνητική στο εσωτερικό του Δ.14)(Ημερήσιες 2015)α) Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι συναρτήσεις fog και gof, τότε ισχύει πάντοτεότι fog = gof.γ) Για κάθε x ∈ ℝ ισχύει ότι (συνx)΄ = ημx.δ) Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]. Αν ισχύει ότι f(x) ≥ 0 για κάθεx ∈[α,β] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε∫β f (x) dx > 0 . αε) Αν lim f (x) = 0 και f(x) > 0 κοντά στο x0, τότε lim f 1 = +∞ . x→x0 x→x0 (x)15)(Επαναληπτικές 2003)β. Έστω μία συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α, β), με εξαίρεση ίσως ένασημείο του x0, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής.Αν f ΄(x) > 0 στο (α, x0) και f ΄(x) < 0 στο (x0, β), τότε το f(x0) είναι τοπικό ελάχιστο της f .γ. Μία συνάρτηση f : A → ℝ είναι συνάρτηση 1 – 1, αν και μόνο αν για οποιαδήποτε x1, x2∈ A ισχύει η συνεπαγωγή: αν x1 = x2, τότε f(x1) = f(x2) .δ. Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με συνεχή πρώτη παράγωγο, τότε ισχύει:16) (Επαναληπτικές 2004)α. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της, τότε είναικαι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.γ. Αν f, g είναι δύο συναρτήσεις με πεδίο ορισμού IR και ορίζονται οι συνθέσεις fog και gof,τότε αυτές οι συνθέσεις είναι υποχρεωτικά ίσες.δ. Οι γραφικές παραστάσεις C και C΄ των συναρτήσεων f και f–1 είναι συμμετρικές ως προςτην ευθεία y = x που διχοτομεί τις γωνίες xOy και x΄Oy΄.ε. Αν υπάρχει το όριο της f στο x0, τότε lim k f(x) = k lim f(x) , εφόσον f(x) ≥ 0 κοντά στο x0, x→x0 x→x0με k ∈ ℕ και k ≥ 2 .18 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr17)(Επαναληπτικές 2005)α. Τα εσωτερικά σημεία του διαστήματος Δ, στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή ηπαράγωγός της είναι ίση με το 0, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ.β. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ’ ένα διάστημα (α,β) με εξαίρεση ίσως ένασημείο του xo. Αν η f είναι κυρτή στο (α, xo) και κοίλη στο (xo, β) ή αντιστρόφως, τότε τοσημείο Α(x0, f(x0)) είναι υποχρεωτικά σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f.δ. Αν για δύο συναρτήσεις f, g ορίζονται οι fog και gof, τότε είναι υποχρεωτικά fog ≠ gof.στ. Αν η συνάρτηση f έχει παράγουσα σε ένα διάστημα Δ και λ ∈ ℝ* , τότε ισχύει: ∫ λf(x)dx = λ∫ f(x)dx .18)(Επαναληπτικές 2006) fβ. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο xo και g(xo) ≠ 0, τότε η συνάρτηση gείναι παραγωγίσιμη στο xo και ισχύει:γ. Για κάθε x ≠ 0 ισχύει ln x ′ = 1 . xδ. Μια συνάρτηση f: A → ℝ είναι 1–1, αν και μόνο αν για κάθε στοιχείο y του συνόλουτιμών της η εξίσωση f(x)=y έχει ακριβώς μία λύση ως προς x .ε. Έστω f μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α,β]. Αν G είναι μία παράγουσα της fστο [α,β], τότε ∫β f(t)dt = G(α) − G(β) . α19)(Επαναληπτικές 2007)α. Η εικόνα f(Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς συνάρτησης f είναι διάστημα.β. Αν f, g, g΄ είναι συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α,β], τότεγ. Αν f είναι μία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 19

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grδ. Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β),τότε το σύνολο τιμών της στο διάστημα αυτό είναι το διάστημα (Α, Β) όπου A = lim f(x) x→α+και B = lim f(x) . x →β −ε. Έστω δύο συναρτήσεις f, g ορισμένες σε ένα διάστημα Δ. Αν οι f, g είναι συνεχείς στο Δκαι f ΄(x) = g΄(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ, τότε ισχύει f(x) = g(x) για κάθε x ∈ ∆ .20)(Επαναληπτικές 2008)α.Υπάρχουν συναρτήσεις που είναι 1–1, αλλά δεν είναι γνησίως μονότονες.β.Αν μια συνάρτηση f είναι κοίλη σ’ ένα διάστημα Δ, τότε η εφαπτομένη της γραφικήςπαράστασης της f σε κάθε σημείο του Δ βρίσκεται κάτω από τη γραφική της παράσταση,με εξαίρεση το σημείο επαφής τους. ∫βγ.Το ολοκλήρωμα f(x)dx είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων που αβρίσκονται πάνω από τον άξονα x΄x μείον το άθροισμα των εμβαδών των χωρίων πουβρίσκονται κάτω από τον άξονα x΄x.ε. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ’ ένα σύνολο της μορφής (α, x0 ) ∪ ( x0,β) και l έναςπραγματικός αριθμός. Τότε ισχύει η ισοδυναμία: lim f(x) = l ⇔ lim (f(x) − l ) = 0 . x→x0 x→x021) (Επαναληπτικές 2009)β. Η συνάρτηση f είναι 1 – 1, αν και μόνο αν κάθε οριζόντια ευθεία τέμνει τη γραφικήπαράσταση της f το πολύ σε ένα σημείο.γ. Αν lim f(x) = 0 και f(x) < 0 κοντά στο x0 τότε lim 1 = +∞ . x→x0 x→x0 f(x)δ. Έστω η συνάρτηση f(x) = εφx. H συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στοℝ = ℝ −{x | συνx = 0} και ισχύει f ′( x ) = − 1 . 1 συν2x22)(Επαναληπτικές 2010)α) Αν f(x) = αx, α > 0, τότε ισχύει (αx)΄ = xαx – 1.β) Αν ορίζονται οι συναρτήσεις fog και gof, τότε πάντοτε ισχύει fog = gof.γ) Αν lim f(x)=+∞ ή −∞ , τότε lim 1 =0 . x→x0 x→x0 f(x)20 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grδ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και ισχύει f(x) ≥ 0 για∫κάθε x ∈[α,β] , τότε β f(x)dx ≥ 0 . α23)(Επαναληπτικές 2011)β) Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x0 ∈ A (ολικό)μέγιστο το f(x0), όταν f(x) ≤ f(x0) για κάθε x ∈ A .γ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε είναι και 1- 1 στοδιάστημα αυτό.δ) Αν lim f(x) = 0 και f(x)>0 κοντά στο x0, τότε lim 1 = +∞ .x→x0 x→x0 f(x)ε) Κάθε συνάρτηση f που είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της είναι καιπαραγωγίσιμη στο σημείο αυτό.24) (Επαναληπτικές 2012)α)Η γραφική παράσταση της συνάρτησης –f είναι συμμετρική, ως προς τον άξονα x΄x, τηςγραφικής παράστασης της f.γ)Αν είναι 0 < α < 1, τότε lim αx = +∞ . x→+∞δ) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο x0, τότε δεν μπορεί να είναιπαραγωγίσιμη στο x0.ε) Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [α, β]. Αν G είναι μια παράγουσα της fστο [α, β], τότε: ∫β f(t)dt = G(α) − G(β) .25)(Επαναληπτικές 2013) αβ) Αν μια συνάρτηση f είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της, τότε υπάρχουν σημεία τηςγραφικής παράστασης της f με την ίδια τεταγμένη.γ) Αν lim f(x) = −∞ , τότε lim (−f(x)) = +∞ .x→x0 x→x0δ) Για δύο οποιεσδήποτε συναρτήσεις f , g παραγωγίσιμες στο x0 ισχύει: (fg)′ (x0 ) = f ′(x0 ) g (x0 ) − f (x0 ) g′(x0 )ε) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δεν μηδενίζεται σε αυτό, τότεη f διατηρεί πρόσημο στο διάστημα Δ.ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 21

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr26) (Επαναληπτικές 2014)β) Έστω μια συνάρτηση f που είναι ορισμένη σε ένα σύνολο της μορφής (α, x0) ∪ (x0, β).Ισχύει η ισοδυναμία lim f ( x ) = −∞ ⇔  lim f ( x ) = lim f ( x ) = −∞  → − x→x0 x x 0 x→x0+γ) Αν είναι 0 < α < 1 , τότε lim αx = 0 . x → −∞δ) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δυο φορές παραγωγίσιμη στοεσωτερικό του Δ . Αν η f είναι κυρτή στο Δ , τότε υποχρεωτικά f΄΄(x) > 0 για κάθε εσωτερικόσηµείο του Δ .27)(Επαναληπτικές 2015)β) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο x0 και ισχύει f(x) ≤ g(x) κοντά στο x0, τότεlim f (x) ≤ lim g (x) .x→x0 x→x0γ) Αν lim f ( x ) = −∞ , τότε f(x) > 0 κοντά στο x0. x→x0δ) Υπάρχει πολυωνυµική συνάρτηση βαθµού µεγαλύτερου ή ίσου του 2, της οποίας ηγραφική παράσταση έχει ασύµπτωτη.ε) Αν f είναι µία συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α,β] και G είναι µία παράγουσα της∫f στο [α,β], τότε πάντοτε ισχύει: β f ( t ) dt = G (α) − G (β) α28)( Ημερήσιες 2016)α) Για κάθε συνεχή συνάρτηση f:[α,β]→ ℝ , αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α,β], τότετο ∫β f (t) dt = G (α) − G (β) . αβ) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο x0 και ισχύει f(x) ≤ g(x) κοντά στο x0, τότεlim f (x) ≤ lim g (x) .x→x0 x→x0γ) Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f΄(x)=0 για κάθε x ∈ (α, x0 ) ∪ ( x0 ,β) , είναισταθερή στο (α, x0 ) ∪ ( x0,β) .δ) Μια συνάρτηση f είναι 1 – 1, αν και μόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών της,η εξίσωση y = f(x) έχει ακριβώς μια λύση ως προς x.ε) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], τότε η f παίρνει στο[α,β] μια μέγιστη τιμή M και μιαελάχιστη τιμή m.22 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr29)( Επαναληπτικές 2016)α) lim συνx −1 = 1. x→0 xβ) Αν f ( x ) = ln x για κάθε x≠0, τότε f ′( x ) = 1 για κάθε x≠0. xγ) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο x0, τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη στο x0.δ) Υπάρχει πολυωνυμική συνάρτηση βαθμού ν ≥ 2 , η οποία έχει ασύμπτωτη.ε) Για κάθε συνάρτηση f , συνεχή στο [α,β], ισχύει:αν ∫β f ( x) dx > 0 , τότε f ( x) > 0 στο [α,β]. α30)( Εσπερινά 2016)α) Ισχύει lim ηµx = 0 . x→0 xβ) Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν όριο στο x0 και ισχύει f(x) ≤ g(x) κοντά στο x0, τότεlim f (x) ≤ lim g (x) .x→x0 x→x0γ) Κάθε συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f΄(x)=0 για κάθε x ∈ (α, x0 ) ∪ ( x0 ,β) , είναισταθερή στο (α, x0 ) ∪ ( x0,β) .δ) Μια συνάρτηση f είναι 1 – 1, αν και µόνο αν, για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιµών της,η εξίσωση y=f(x) έχει ακριβώς µια λύση ως προς x.ε) Αν η f είναι συνεχής στο [α,β], τότε η f παίρνει στο [α,β] µια µέγιστη τιµή M και µιαελάχιστη τιµή m.ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ –ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ1)(Ηµερήσιες 2002)Απ: α. Λ β. Λ γ. Σ δ .Σ ε .Σ2) (Ηµερήσιες 2003)Απ: β . Σ δ .Λ ε .Λ3)(Ηµερήσιες 2004)Απ:β – *, γ .Λ, δ . Λ, ε . Σ(*)Η απάντηση στο ερώτηµα Γ β µπορεί να χαρακτηρισθεί Σωστό µόνο εφ’ όσον ησυνάρτηση f είναι ορισµένη σε σύνολο της µορφής (α,x0) ∪ (x0,β). Όπως είναιδιατυπωµένη, σωστό είναι µόνο το αντίστροφο. Δηλαδή αν lim f ( x) = lim f ( x) = l ⇒ lim f ( x) = l , αφού για την περίπτωση του ευθέως µπορεί ναx → x − x→x0+ x→x0 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 23

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grθεωρηθούν ως σύνολα ορισμού της f και τα μεμονωμένα σύνολα (α,x0) ή (x0,β). Επομένωςαπό αυστηρή μαθηματική άποψη, η απάντηση είναι Λάθος.4)(Ημερήσιες 2005) Απ:Β. α .Λ, β.Λ γ .Σ δ .Σ ε . Λ στ .Σ5)(Ημερήσιες 2006)Απ:α. Λ β .Σ γ. Σ δ .Λ ε. Σ6) (Ημερήσιες 2007)Απ: α. Λ β. Λ γ. Λ δ. Σ ε. Σ.7)(Ημερήσιες 2008) Απ: α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Σ8)(Ημερήσιες 2009) Απ: β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ9)(Ημερήσιες 2010)Απ: β . Σ γ . Λ δ .Λ ε . Σ10)(Ημερήσιες 2011)Απ: β .Σ γ . Λ δ .Λ ε . Σ11)(Ημερήσιες 2012)Απ: β . Σ, γ.Λ, δ.Λ, ε.Λ12)(Ημερήσιες 2013)Απ: β . Σ, γ . Σ, δ.Λ, ε.Σ.13)(Ημερήσιες 2014)Απ:β.Σ, γ.Σ, δ . Σ, ε . Λ.14)(Ημερήσιες 2015)Απ: α) Λ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ15)(Επαναληπτικές 2003) Απ: Λ – Λ – Σ16) (Επαναληπτικές 2004)Απ: Λ – Λ – Σ – Σ17)(Επαναληπτικές 2005)Απ: Σ – Λ– Λ– Σ18)(Επαναληπτικές 2006) Απ: Λ – Σ – Σ – Λ19)(Επαναληπτικές 2007)Απ: Λ – Λ – Σ – Σ – Λ20)(Επαναληπτικές 2008)Απ: α – Σ, β – Λ, γ – Σ, ε – Σ21) (Επαναληπτικές 2009)Απ: β – Σ, γ – Λ,δ – Λ,22)(Επαναληπτικές 2010)Απ: α – Λ, β – Λ, γ – Σ, δ – Σ,23)(Επαναληπτικές 2011) Απ: β – Σ, γ – Σ, δ – Σ, ε – Λ24) (Επαναληπτικές 2012) Απ: α – Σ, γ – Λ,δ – Σ, ε – Λ25)(Επαναληπτικές 2013) Απ: β – Λ, γ – Σ,δ – Λ,ε – Σ26) (Επαναληπτικές 2014) Απ: β – Σ, γ – Λ, δ – Λ,27)(Επαναληπτικές 2015) Απ.:β – Σ, γ – Λ, δ – Λ, ε – Λ28)( Ημερήσιες 2016) Απ.: α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ29)( Επαναληπτικές 2016) Απ.: α. Λ, β. Λ, γ. Σ, δ. Λ, ε. Λ.30)( Εσπερινά 2016)Απ.: α – Λ, β – Σ, γ – Λ, δ – Σ, ε – Σ24 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr 2.ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ξεκοκαλίζουµε1.Να δώσετε τον ορισμό μιας πραγματικής συνάρτησης. την θεωρία στο2.Τι ορίζουμε ως σύνολο τιμών μιας συνάρτησης. σχολικό γιατί οι3.Τι είναι η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης; µονάδες του πρώτου4.Ποτε δυο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; θέµατος έχουν(πανελλαδικές 2007,2016,2012) την ίδια αξία µε τις5.Ποτε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα και πότε µονάδες του τέταρτου.γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Πρέπει να µπορείτε6.Τι ονομάζουμε σύνθεση μιας συνάρτησης f με μια Να απαντήσετε άµεσα σε καθεµίασυνάρτηση g; από τις παρακάτω ερωτήσεις7.Να δώσετε τον ορισμό του ολικού μεγίστου και ολικού θεωρίας.ελαχίστου μιας συνάρτησης f; (Πανελλαδικές 2014)8.Πότε μια συνάρτηση f : Α → ℝ ονομάζεται 1-1;(πανελλαδικές 2015)9.Αν μια συνάρτηση f : Α → ℝ είναι 1-1 ποια συνάρτησηορίζουμε ως αντίστροφη της f;10.Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις Cf και Cf-1 των συναρτήσεων fκαι f -1 είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y = x ;11.Ποτε λέμε ότι μια συνάρτηση f έχει κοντά στο x0 την ιδιότητα P;12.Να αποδείξετε ότι για κάθε πολυωνυμική συνάρτηση P(x) και x0 ∈ ℝ ισχύει:lim P(x) = P( x0 )x→ x013.Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής.14.Να δώσετε τον ορισμό της ακολουθίας.15.Ποτε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμού της;(Πανελλαδικές 2009,επαν)16.Ποτε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής.17.Ποτε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (a, β ) και πότε σεένα κλειστό διάστημα [a, β ] του πεδίου ορισμού της.(Πανελλαδικές 2008,2012)18.Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano.(Πανελλαδικές 2014 επαν.)19.Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών.(Πανελλαδικές 2005)20.Να διατυπώσετε το θεώρημα Μέγιστης και Ελάχιστης τιμής.21.Ποτε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 του πεδίου ορισμούτης.22.Ποια είναι η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης στηςπαραγωγίσιμης συνάρτησης f το σημείο της Α( x0 , f (x0 ) ).23.Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x0 , τότε είναικαι συνεχής σε αυτό. (Πανελλαδικές 2004,2009,2013 επαν)24.Ποτε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη.25.Ποτε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα ανοικτό διάστημα (a, β ) τουπεδίου ορισμού της.26. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [a, β ] τουπεδίου ορισμού της. (Πανελλαδικές 2013)27.Να αποδείξετε ότι (x) ' = 128.Να αποδείξετε ότι (c) ' = 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 25

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr29. Να αποδείξετε ότι (xv ) ' = vxv−1 , v ∈ ℕ*, v ≠ 1( )30. Να αποδείξετε ότι x ' = 1 , x > 0 (Πανελλαδικές 2009 επαν) 2x31. Να αποδείξετε ότι αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο x0 , τότε ησυνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x0 και ισχύει: ( f + g) '(x0 ) = f '(x0 ) + g '(x0 )32.Να αποδείξετε ότι (x−v ) ' = −vx−v−1 , v ∈ ℕ*33.Να αποδείξετε ότι (xa ) ' = axa−1, x > 0, όπου a ∈ ℝ − ℤ34. Να αποδείξετε ότι (εϕ x) ' = 1 (πανελλαδικές εσπερ.2015) συν 2 x35. Να αποδείξετε ότι (ax ) ' = ax ln a, a > 036. Να αποδείξετε ότι (ln x ) ' = 1 , x ≠ 0 (Πανελλαδικές 2008) x37.Να διατυπώσετε το θεώρημα Rolle.(Πανελλαδικές 2012 επαν)38.να διατυπώσετε το θεώρημα Μέσης Τιμής του διαφορικού λογισμού και να δώσετε τηνγεωμετρική του ερμηνεία. (Πανελλαδικές 2016,2013)39.Εστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και τέτοια, ώστε f '(x) = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο τοδιάστημα Δ. (πανελλαδικές 2009, 2014)40.Εστω δυο συναρτήσεις f,g οι οποίες είναι συνεχείς σε ένα διάστημα Δ και τέτοιεςώστε f '(x) = g '(x) για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ. Να αποδείξετε ότι υπάρχει σταθερά cτέτοια ώστε f (x) = g(x) + c για κάθε x ∈ ∆41.Ετσω μια συνάρτηση f,η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και τέτοια, ώστε f '(x) > 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσασε όλο το Δ. (πανελλαδικές 2006,2012)42.Ποτε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο x0 ∈ A τοπικόμέγιστο; (Πανελλαδικές 2012)43. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α, παρουσιάζει στο x0 ∈ A τοπικόελάχιστο;44.Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα του Fermat.(Πανελλαδικές2004,2011,2013 επαν)45.Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακρότατων μιας συνεχούς συνάρτησης f σεένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της.46.Εστω μια συνάρτηση f ορισμένη και συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Τι ονομάζουμεκρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ. (πανελλαδικές 2013 επαν)47.Εστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (a, β ) με εξαίρεση ίσως ένασημεία του x0 , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f '(x) > 0 στο (a, x0 ) και f '(x) < 0 στο( x0, β ) να αποδείξετε ότι το f (xο ) είναι τοπικό μέγιστο της συνάρτησης f.(Πανελλαδικές2016,2012 επαν)48.Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (a, β ) με εξαίρεση ίσως ένασημεία του x0 , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f '(x) < 0 στο (a, x0 ) και f '(x) > 0 στο( x0, β ) να αποδείξετε ότι το f (xο ) είναι τοπικό ελάχιστο της συνάρτησης f.49.Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (a, β ) με εξαίρεση ίσως ένασημεία του x0 , στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f '(x) διατηρεί πρόσημο στο(a, x0 ) ∪ ( x0 , β ) ,να αποδείξετε ότι το f (x0 ) δεν είναι τοπικό ακρότατο και η f είναι γνησίωςμονότονη στο (a, β ) .(Πανελλαδικές 2014 επαν)26 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr50.Πως υπολογίζουμε το μέγιστο και το ελάχιστο μιας συνάρτησης f, η οποία είναισυνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [a, β ] .51.Εστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στοεσωτερικό του. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ; Ναδώσετε την αντίστοιχη γεωμετρική ερμηνεία.52. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμηστο εσωτερικό του. Πότε λέμε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ;Να δώσετε την αντίστοιχη γεωμετρική ερμηνεία. (Πανελλαδικές 2006,2010, 2014)53.Να δώσετε τον ορισμό του σημείου καμπής της γραφικής παράστασης μιαςσυνάρτησης f.54.Ποιες είναι οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f, η οποία είναι δυοφορές παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ;55.Ποτε η ευθεία x=xo λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιαςσυνάρτησης f; (πανελλαδικές 2010,2015)56.Ποτε η ευθεία y=β λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιαςσυνάρτησης f στο +∞ ;(πανελλαδικές 2007)57. Πότε η ευθεία y=λx+β λέγεται πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης μιαςσυνάρτησης f στο +∞ ; (πανελλαδικές 2005,2011)58.Να διατυπώσετε τον κανόνα de l’Hospital για την μορφή 0 ; 059.Να διατυπώσετε τον κανόνα de l’Hospital για την μορφή +∞ ; +∞60.Εστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Να διατυπώσετε τον ορισμό τηςαρχικής συνάρτησης ή παράγουσας της f στο Δ. (Πανελλαδικές 2011,2014 επαν)61.Εστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι παράγουσα της F στοδιάστημα Δ, νααποδείξετε ότι :α) όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) = F (x) + c, c ∈ ℝ είναι παράγουσες της f στο Δ.β) κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει την μορφήG(x) = F (x) + c, c ∈ ℝ (Πανελλαδικές 2010,2015)62.Εστω f μια συνεχής συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα [a, β ] .Αν G είναι μιαπαράγουσα της f στο [a, β ] , να αποδείξετε ότι β (Πανελλαδικές 2013) ∫ f (x)dx = G(β ) − G(a) α63.Να αποδείξετε ότι αν δυο συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σε ένα διάστημα [a, β ] καιf (x) ≥ g(x) ≥ 0 για κάθε x ∈[a, β ] τότε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τιςCf,Cg και τις ευθείες x=α,x=β είναι: β E(Ω) = ∫[ f (x) − g(x)]dx α64. Να αποδείξετε ότι αν δυο συναρτήσεις είναι συνεχείς σε ένα διάστημα [a, β ] καιf (x) ≥ g(x) για κάθε x ∈[a, β ] τότε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τις Cf,Cgκαι τις ευθείες x=α,x=β είναι: β E(Ω) = ∫[ f (x) − g(x)]dx α ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 27

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr65. Να αποδείξετε ότι αν μια συνάρτηση g είναι συνεχής σε ένα διάστημα [a, β ] καιg(x) ≤ 0 για κάθε x ∈[a, β ] , τότε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από την Cg τονάξονα x’x και τις ευθείες x=α,x=β είναι: β E(Ω) = −∫ g(x)dx α66.Να αποδείξετε ότι αν δυο συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς σε ένα διάστημα [a, β ] ,τότε το εμβαδό του χωρίου Ω που περικλείεται από τις Cf,Cg και τις ευθείες x=α,x=β είναι βE(Ω) = ∫ f (x) − g(x) dx α28 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 29

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grΟΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ1.1 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f. (επαναληπτικές 2016)i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f .ii. Να βρείτε,αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια. ε) lim f (x)α) lim f (x) β) lim f (x) γ) lim f (x) δ) lim f (x) x →9 x →1 x →3 x→5 x→7Για τα όρια που δεν υπάρχουν να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.iii. Να βρείτε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια. α) lim 1 β) lim 1 γ) lim f (f (x)) x →8 x→2 f (x) x→6 f (x)Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.iv.Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής. Να αιτιολογήσετε τηναπάντησή σας.vi.Αν 9 < a < β < 25 να συγκρίνετε τους αριθμούς f (2a −1), f ( 2β −1) . 22 88Να αιτιολογήσετε την απάντηση σας.Λύσηi. Df = (1,5) ∪ (5,9]f (A) = (−2,5]ii. α) lim f (x) = lim f (x) = −2 x→1 x →1+β) το lim f ( x) δεν υπάρχει, διότι lim f ( x) = 1 ≠ lim f ( x) = 2 x →3 x →3− x →3+γ) lim f (x) = 3 x→5δ) το lim f ( x) δεν υπάρχει, διότι lim f ( x) = 2 ≠ lim f (x) = 4 x→7 x→7− x→7+ε) lim f (x) = lim f (x) = 3 x →9 x →9−iii. α) lim 1 δεν υπάρχει διότι: x→2 f (x) • lim f 1 = −∞ , αφού fxl→i(m2x− f (x) =0 και στο x→2− (x) ) <0 (1, 2)30 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr • lim f 1 = +∞ , αφού fxl→i(m2x+ f (x) =0 και στο x→2+ (x) ) >0 ( 2, 3) 1 lfxi→m( 6xf) (x) = 0 και ( ) Θέτωf (x)=u (x) >0 στο (5, γ) lim f f x → x→8 lim f (x )=5 x→8( )β) = lim f (u) = 3 lim f +∞ , διότι ) ∪ ( ) u→5 x→6 6 6, 7iv. Στο x1 =3 η f δεν είναι συνεχής, διότι lim f (x) =1≠ lim f (x) = 2. x →3− x →3+Στο x2 =7 η f δεν είναι συνεχής, διότι lim f (x) = 2 ≠ lim f (x) = 4 . x→7− x→7+Σηµείωση: Στο x3 = 5 δεν µιλάµε για συνέχεια της f, διότι 5∉ Dfvi. 9 < a < β < 25 ⇔ 9 < 2a < 2β < 25 ⇔ 8 < 2a −1 < 2β −1 < 24 ⇔ 1 < 2a −1 < 2β −1 < 3 22 88αλλά η f είναι γνησίως αύξουσα στο (1,3) συνεπώς f (2a −1) < f (2β −1) 881.2 (Yπενθύμιση στα βασικά) Δίνεται συνάρτηση f : ℝ → ℝ τέτοια , ώστε lim f(x) = α2 + 5 και lim f(x) = 6α όπου α ∈ ℝ x→2− x→2+i.Να βρείτε τις τιμές του α, αν είναι γνωστό lim f(x) ∈ ℝ Ωπα μεγάλε , οι σχέσεις του x→2 ερωτήματος iii ισχύουν γιαii.Αν επιπλέον ισχύει η σχέση f(x) ≤ 4x για κάθε x ∈ (1, 3) κάθε συνάρτηση f : ℝ → ℝνα υπολογίσετε το lim f(x) . x→2iii.Να αποδείξετε ότι ισχύουν οι σχέσεις: α) 2f(x) ≤ 1 για κάθε x∈ℝ β) lim 2xf( x) =0 f2 (x) + 1 f2 (x) +1 x→0Λύσηi. Εφόσον lim f(x) ∈ ℝ ισχύει lim f(x) = lim f(x) συνεπώς x→2 x→2− x→2+6α = α2 + 5 ⇔ α2 − 6α + 5 = 0 ⇔ α = 1 ή α = 5ii. f(x) ≤ 4x για κάθε x ∈ (1, 3) άρα lim f(x) ≤ lim x κοντά στο 2 άρα α2 + 5 ≤ 8 x→2 x→2και επειδή α = 1 ή α = 5 συμπεραίνουμε ότι α=1.iii.Η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται: 2f(x) ≤1⇔ 2 f(x) f2 ( x)+1>0 για καθε x∈ℝ ≤ f2(x) + 1 για κάθε x∈ℝf2 (x) + 1 f2(x) + 1 ≤ 1 ⇔ 2 f(x)Δηλαδή( )2 f(x) ≤ f(x) 2 + 1 ⇔ 0 ≤ f(x) 2 − 2 f(x) + 1 ⇔ f(x) − 1 2 ≥ 0 για κάθε x ∈ ℝ ,η οποία ισχύει άρα θα ισχύει και η αρχική.β) Από το ερώτημα α) 2xf(x) = x 2f(x) ≤ x για κάθε x ∈ ℝf2 (x) + 1 f2 (x) + 1( )Συνεπώς − x ≤ 2f(x) ≤ x για κάθε x ∈ ℝ και lim − x = lim x = 0 από το κριτήριο f2(x) + 1 x→0 x→0παρεμβολής προκύπτει lim 2xf( x) =0 f2 (x) +1 x→0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 31

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr1.3 Για μια συνάρτηση f : ℝ → ℝ ισχύει: f(x + y) = f(x) + f(y) − xy για κάθε x, y ∈ ℝ καιlim f(x) = 10 .Να βρείτε το lim f( x) − f(2) .x→0 x x − 2 x→2ΛύσηΘέτουμε x − 2 = y οπότε x = y + 2 . Όταν x → 2 το y → 0 . Άρα:lim f (x) − f (2) = lim f (y + 2) − f (2) (υ=π) lim f (y) + f (2) − y ⋅ 2 − f (2) = lim f (y) − 2y = − y→0x→2 x 2 y→0 y y y→0 ylim  f (y ) − 2y  = lim  f (y ) −  = lim f (y ) − 2 (=1) 10 − 2 = 8.  y   2y→0  y  y→0  y y→0 y 1.4Έστω f(x) = 2x3 − 4x + 1974 − λx , λ ∈ ℝ .Να βρείτε το lim f(x) . x→−∞ x3 − 2015ΛύσηΠαρατηρούμε ότι lim (2x3 − 4x + 1974) = lim (2x3 ) = −∞ .Κατά συνέπεια θα υπάρχει κ ∈ ℝ τ.ω x → −∞ x → −∞για κάθε x ∈ (−∞, κ) να ισχύει 2x3 − 4x + 1974 < 0Άρα για κάθε x ∈ (−∞, κ) έχουμε 2x3 − 4x + 1974 = −2x3 + 4x − 1974 .Έτσι ο τύπος της f γράφεταιf(x) = −2x3 + 4x − 1974 − λx = −2x3 + (4 − λ)x − 1974 x3 − 2015 x3 − 2015lim −2x3 + (4 − λ)x − 1974 = lim −2x3 = −2 x3 − 2015 xx→−∞ 3x → −∞1.5(Άσκηση Μπριάμ)i) Δίνεται η συνάρτηση f(x) = β x−4 −α x+2 −2 x2 − 4x + 3Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α,β έτσι ώστε να ισχύει: lim f(x) = 8 . x→3ii)Για τις τιμές των α,β του ερωτήματος (i) να υπολογίσετε το όρια:α)  β + 14 − α+ 4  β) α+5− x γ) lim ημx  x x2  lim lim συνx + β + 14 x→0 x − β + 4α − 1 x→0 x →πΛύσηΤο πεδίο ορισμού της f είναι το A = ℝ − {1, 3} .Για κάθε x ∈ A έχουμε: ( )f(x) x2 − 4x + 3 = β x − 4 − α x + 2 − 2( )Όμως ισχύουν: lim f(x) = 8 και lim x2 − 4x + 3 = 0 x→3 x→3Άρα έχουμε:( )lim β x − 4 − α x + 2 − 2 = 8 ⋅ 0 ⇔ −5α + β − 2 = 0 ⇔ −5α + β = 2 (1) x→3Εφόσον, x → 3 ,μπορούμε να θεωρήσουμε ότι x ∈ (−2, 3) ∪ (3, 4) , οπότε έχουμε:x > −2 ⇔ x + 2 > 0 δηλαδή  x + 2 = x+2x < 4 x − 4 < 0  x − 4 = −x + 4Έτσι, ο τύπος της f γίνεται:f(x) = β x −4 −α x+2 −2 = β(−x + 4) − α(x + 2) − 2 (1) (2 + 5α)(−x + 4) − α(x + 2) − 2 = ... x2 − 4x + 3 x2 − 4x + 3 (x − 1)(x − 3) =.... = −6αx + 18α − 2x + 6 = −6α(x − 3) − 2(x − 3) = (x − 3)(−6α − 2) = −6α − 2 (x − 1)(x − 3) (x − 1)(x − 3) (x x−1 − 1)(x − 3)32 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grlim f(x) = lim −6α − 2 = −6α − 2 = −3α −1 x−1 2x→3 x→3Έχουμε:−3α − 1 = 8 ⇔ α = −3 α = −3Έτσι από την (1) −5α + β = 2 ⇔ − 5(−3) + β = 2 ⇔ 15 + β = 2 ⇔ β = −13Πραγματικά για β = −13 , α = −3 ισχύει lim f(x) = 8 . x→3ii) α) Για β = −13 , α = −3 ισχύει  −13 + 14 −3 + 4   1 −1   1 1  1 1   x x2   x x2   x x2   x x2 lim − = lim = lim  −  = lim  −  =x→0 x→0 x→0 x→0=  1 1  lim  x (1 − x ) = (+∞)(1 − (+∞)) = (+∞)(−∞) = −∞ x→0 α + 5 − x α=−3,β=−13 −3 + 5 − x 2− xβ) = = lim συνx + β + 14 lim συνx − 13 + 14 lim συνx + 1 x →π x→π x→πΙσχύει: lim (συνx + 1) = −1 + 1 = 0 x →πΓια κάθε x ∈  π ,π  ∪  π, 3π  έχουμε: συνx > −1 ⇔ συνx + 1 > 0  2   2 Άρα lim 1 + 1 = +∞ συνx x →πΟπότε 2− x = 2− 1 = 2− 1 = 2− π (+∞) = +∞ συνx συνx + 1 lim συνx + 1 lim x + 1 lim x lim x →π x→π x →π x→πγ) lim ημx = lim ημx = lim ημx = lim ημx = x→0 x − β + 4α − 1 x→0 x − (−13) + 4(−3) − 1 x→0 x + 13 − 12 − 1 x→0 x + 1 − 1( )( )lim ( ( )( ) ) ( ( ) )x      x x+1+1   x+1+1 x→0    x+1−1 x+1+1   x  ημx x =  ημx x  = ημx =  ημx x+1−1 lim  x +1 −  lim x lim  x  2   x 1 x+1 − 12  x→0 x→0 x→0( ) ( ) ( ) ( )lim       x→0     ημx x x+1+1 = ημx x x+1+1 =  ημx x+1+1  = lim ημx ⋅ lim x+1+1 x x+1−1 x x  x  x→0 x x→0 lim lim x→0 x→0= 1⋅2 = 2 Γυαλιά για αυτούς που βλέπουν..µακριά!! 33 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr1.5 Η συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα 0,+∞) και ικανοποιεί τις συνθήκες:f(x)3 + xf(x) = 1 και f(x) > 0 για κάθε x ≥ 0 . Να αποδείξετε ότι xli→m0+ f (x) = 1.ΛύσηΑρκεί να δείξουμε ότι: lim (f(x) − 1) = 0 . Γι’ αυτό από τη δοσμένη σχέση θα προσπαθήσουμε x→0+να σχηματίσουμε τη διαφορά. Είναι :[f (x)]3 − 13 + xf (x) = 0 ⇔ [f (x) − 1]⋅ (f (x))2 + f (x) ⋅1 + 12  + xf (x) − x + x = 0 ⇔[f (x) − 1]⋅ (f (x))2 + f (x) + 1 + x[f (x) − 1] = −x ⇔ [f (x) − 1]⋅ (f (x))2 + f (x) + 1 + x = −xΚαι αφού x ≥ 0,f (x) > 0 είναι (f (x))2 + f (x) + x + 1 > 0 , άραf ( x ) − 1 = ( ( ) )2 −x ) + + ,οπότε f(x)−1 = −x ≤ x και έτσι: f x + f (x x 1 (f (x))2 + f (x) + x + 1− x ≤ f (x) − 1 ≤ x ⇔ 1 − x ≤ f (x) ≤ 1 + x και αφού lim (1 − x ) = lim (1 + x ) = 1 , από το κριτήριο x→0+ x→0+παρεμβολής είναι: lim f (x) = 1 x→0+1.6 Μια συνάρτηση f : ℝ → ℝ έχει την ιδιότητα f(x)f(y) + xy = xf(y) + yf(x) ,για κάθε x, y ∈ ℝi)Να βρείτε τον τύπο της f.ii)Να υπολογίσετε το lim f(x) x3 x→0Λύσηi)Η ισότητα f(x)f(y) + xy = xf(y) + yf(x) ισχύει για κάθε x, y ∈ ℝ άρα θα ισχύει ακόμα και ανβάλουμε όπου y το x ,έτσι:f(x)f(x) + x2 = xf(x) + xf(x) ⇔ (f(x))2 − 2xf(x) + x2 = 0 ⇔(f(x) − x)2 = 0 ⇒ f(x) − x = 0 ⇔ f(x) = xΗ f(x)=x ικανοποιεί την υπόθεση οπότε είναι η ζητούμενη συνάρτηση .ii) lim x = lim 1 = +∞ x→0 2 x xx→0 31.7(Oldies but goodies)i)Αν κοντά στο x0 ισχύει f(x) ≥ 0 και g(x) ≥ 0 και ισχύει lim(f(x) + g(x)) = 0 ,να αποδείξετε ότι x→x0lim f(x) = lim g(x) = 0x→x0 x→x0ii)Αν lim(f2 (x) + g2 (x)) = 0 να αποδείξετε ότι lim f(x) = lim g(x) = 0 x→x0 x→x0 x→x0iii)Αν f2 (x) + g2 (x) + 2f(x) − 4g(x) + 5 ≤ x , να υπολογίσετε το lim f(x) και το lim g(x) . x→x0 x→0Λύσηi) Κοντά κοντά στο x0 θα ισχύει: 0 ≤ f(x) ≤ f(x) + g(x) και επειδή είναι lim(f(x) + g(x)) = 0 , από x→x0το κριτήριο παρεμβολής θα είναι και lim f(x) = 0 .Ομοίως προκύπτει lim g(x) = 0 . x→x0 x→x0ii)Προφανώς ισχύει f2 (x) ≤ f2 (x) + g2 (x) ⇔ f2 (x) ≤ f2 (x) + g2 (x) ⇔ f(x) ≤ f2 (x) + g2 (x) ⇔−( f2 (x) + g2 (x)) ≤ f(x) ≤ f2 (x) + g2 (x) και εφόσον lim f2 (x) + g2 (x) = 0 από το κριτήριο x→x0παρεμβολής θα είναι και lim f(x) = 0 .Ομοίως προκύπτει lim g(x) = 0 . x→x0 x→x0iii)Η δοθείσα σχέση γράφεται:f2 (x) + g2 (x) + 2f(x) − 4g(x) + 5 ≤ x ⇔ f2 (x) + 2f(x) + 1 − 1 + g2 (x) − 4g(x) + 4 − 4 + 5 ≤ x ⇔34 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr( ) ( )f2 (x) + 2f(x) + 1 − 1 + g2 (x) − 4g(x) + 4 − 4 + 5 ≤ x ⇔ (f(x) + 1)2 + (g(x) − 2)2 ≤ xΤελικά 0 ≤ (f(x) + 1)2 + (g(x) − 2)2 ≤ x , ισχύει: lim 0 = lim x = 0 x→0 x→0( )από το κριτήριο παρεμβολής θα είναι lim (f(x) + 1)2 + (g(x) − 2)2 = 0 . x→0Από το ερώτημα (ii) θα ισχύει:lim (f(x) + 1) = 0 και lim (g(x) − 2) = 0 οπότε lim f(x) = −1 και lim g(x) = 2 .x→0 x→0 x→0 x→01.8Να βρεθεί το όριο lim 5 x + 3 x x→0 3 x + 5 xΛύσηΘέτουμε 15 x = u άρα x = u15 με 15=Ε.Κ.Π(3,5)Έτσι το όριο γίνεται:lim 5 x + 3 x = lim 5 u15 + 3 u15 = lim 5 u15 + u5 = lim 5 u5 (u10 + 1) = lim u 5 u10 + 1 = lim 5 u10 + 1 = 1x→0 3 x + 5 x u→0 3 u15 + 5 u15 u→0 3 u15 + u3 u→0 3 u3 (u12 + 1) u→0 u 3 u12 + 1 u→0 3 u12 + 11.9 Οι συναρτήσεις f, g είναι ορισμένες στο R και ισχύουν: lim g (x) ηµx − xf (x) = 1 (x)ηµx + (x) και lim g xf = 1 x→0 2x ηµx 2 x→0Να βρείτε τα lim f (x) και lim g (x) . x→0 x→0Λύση h (x) = g (x) ηµx − xf (x) ( ) ( x)Θέτουμε: 2x και φ ( x ) = g x ηµx + xf , οπότε: ηµxlim h (x) =1 (1) και lim φ (x) = 1 (2). Άρα:2x→0 x→0g (x)ηµx − xf (x) = 2xh (x) (3)g (x) ηµx + xf (x) = ηµxφ(x) (4) +_______________________________2g ( x ) ηµx = 2xh (x) + ηµx ⋅ φ (x) ⇔ηµx≠0 g (x) = xh (x) + φ(x) = h(x) + 1 φ(x) 2 ηµx 2 ηµx lim h(x) xοπότε lim g (x) = x→0 + 1 φ ( ) (1),( 2 ) 1 + 1 ⋅ 1 ⇔ lim g (x) = 5 2 2 2 4 x→0 lim ηµx lim x = x→0 x→0 1 x→0 x• Από (3):xf (x) = g (x) ηµx − 2xh (x) ⇔(x≠0) f (x) = g (x) ηµx − 2h (x) , άρα xlim f (x) = lim g (x) ⋅ lim ηµx − 2 lim h (x) = 5 ⋅1 − 2 ⋅1 δηλαδή: lim f (x) = − 3 . x→0xx→0 x→0 x→0 4 x→0 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 35

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr1.10 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = κλx2 + (κ + λ)x + 1 − 1 , όπου κ < 0 < λ xΝα βρείτε :α) το πεδίο ορισμού της f β) lim f(x)Λύση x→0i) Για το πεδίο ορισμού θα πρέπει να ισχύει: λκx2 + (κ + λ)x + 1 ≥ 0 (1) και x ≠ 0Η διακρίνουσα του τριωνύμου είναι: ∆ = (κ + λ)2 − 4κλ = .. = (κ − λ)2 > 0 ( κ < 0 < λ )Οπότε οι ρίζες είναι:x1,2 = −(κ + λ) ± (κ − λ)2 = −(κ + λ) ± (κ − λ) =  −(κ + λ) + (κ − λ) = − 1 2κλ 2κλ  −(κ + 2κλ − λ) = −  λ) −(κ κ  2κλ 1 λΕπειδή κ < 0 < λ , η ανίσωση (1) θα ισχύει: − 1 ≤ 0 ≤ − 1 . λκΕπομένως το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο: − 1 , 0  ∪  0, − 1  . λ   κ  (κλx2 + (κ + λ)x + 1 − 1 = lim )( )λκx2 + (κ + λ)x + 1 − 1 λκx2 + (κ + λ)x + 1 + 1β) lim f(x) = lim x x→0 ( )x λκx2 + (κ + λ)x + 1 + 1 =x→0 x→0  2  ( )lim  λκx2 + (κ + λ)x + 1 − 12 λκx2 + (κ + λ)x + 1 − 1 λκx2 + (κ + λ)x = lim = lim =( ) ( ) ( )x→0 x λκx2 + (κ + λ)x + 1 + 1 x→0 x λκx2 + (κ + λ)x + 1 + 1 x→0 x λκx2 + (κ + λ)x + 1 + 1( )= lim x(λκx + (κ + λ)) = lim λκx + (κ + λ) = λκ ⋅ 0 + (κ + λ) = κ + λ x→0 x λκx2 + (κ + λ)x + 1 + 1 x→0 λκx2 + (κ + λ)x + 1 + 1 λκ ⋅ 02 + (κ + λ)0 + 1 + 1 21.11 Να βρεθεί το όριο lim[ln( x2 + 1 − x)] x → +∞ΛύσηΘέτουμε x2 + 1 − x = u και παρατηρούμε ότι( )( )lim ( x2 + 1 − x) = lim x2 + 1 − x x2 + 1 + x = lim x2 + 1 − x2 = limx → +∞ x → +∞ x2 + 1 + x x→+∞ x2 + 1 + x x→+∞ 1 =0 x2 + 1 + xΆρα lim[ln( x2 + 1 − x)] = lim[ln(u)] = −∞ x → +∞ u→0+1.12 Αν f(x) = 4x2 + 4x + 3 + x2 + 2x + 2 − 3x + 2 και g(x) = 2x+1 − 3x + 2 2x + 3x+1 + 2Να βρείτε τα όρια i) lim f(x) ii) lim f(x) x→+∞ x→−∞ iii) lim g(x) iv) lim g(x) x → +∞ x → −∞Λύση( ) ( )i) lim f(x) = lim 4x2 + 4x + 3 + x2 + 2x + 2 − 3x + 2 = lim 4x2 + 4x + 3 − 2x + x2 + 2x + 2 − x + 2 =x → +∞ x→+∞ x → +∞   ( ) ( )( ) ( 4x2 + 4x + 3 − 2) 4x2 + 4x + 3 + 2x + x2 + 2x + 2 + x x2 + 2x + 2 − x +  = 4x2 + 4x + 3 + 2x x2 + 2x + 2 + x lim  2 x → +∞ 36 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr=  4x2 + 4x + 3 − 4x2 + x2 + 2x + 2 − x2 +  =  4x + 3 + 2x + 2 +  = lim  4x2 + 4x + 3 + 2x x2 + 2x + 2 + x 2  lim  + 2x + 2 2  4x2 + 4x + 3 + 2x x2 + x → +∞ x → +∞ x      4x + 3 2x + 2   4x + 3 2x + 2  x>0= lim  + + 2x + 2 + 2  = lim  + + 2  4x2 + 4x + 3 + 2x x2 +       = x → +∞ x→+∞  + 2  x    x 4+ 4 + 3 + 2 + 2 +  x x x2 1 x x2    3   2     x  + x  x  + x    4x + 3 2x + 2   4 2    2lim    +   + 2  = lim    +   +  =   + 2  x  1    + 2  x  + 1 x → +∞  4+ 4+ 3 + 2 + 2 + x → +∞ 4+ 4 + 3 + 2 + 2 x x2 x x2 x x2 x x2 x 1 x 1   3   2    2    + x   + x    + x   4 2  (4+0) + 2 2 +2= 4+2+2=4 + +  = 4+0+0 +2lim       42   + 2   + 1( ) ( )x→+∞ 4+ 4+ 3 1 + 2 + 2 1+0+0 +1 x x2 x x2 =  4+ 4 + 3 + 1+ 2+ 2 −  + 2   x>0 lim f(x) lim  x x x2 x x x2 x  3 x   = x → −∞ x→−∞ii)        lim  −x 4 + 4 + 3 −x 1 + 2 + 2 − x 3 + 2 = x x2 x x2 x x → −∞  4+ 3 1+ 2 + 2  2    lim  − x  4+ x x2 + x x2 +  3 + x    = x → −∞ ( )(+∞) 4 + 0 + 0 + 1+ 0 + 0 + (3 + 0) = (+∞)(6) = +∞iii)lim g(x) = lim 2x+1 − 3x + 2 = lim 2 ⋅ 2x − 3x + 2 = 2x + 3x+1 + 2 2x + 3 ⋅ 3x + 2x → +∞ x → +∞ x → +∞ 3x  2 ⋅  2 x − 1+ 2  2 ⋅  2 x − 1 + 2 2⋅0 −1+ 0   3  3x   3  3x 0+3+0lim = lim = = − 1   x   x 3x → +∞   2  2  x → +∞  2  2 3 3x 3 3x 3x + 3 + + 3 +iv) lim g(x) = lim 2x+1 − 3x + 2 = lim 2⋅ 2x − 3x +2 = 2⋅0 − 0 + 2 =1 2x + 3x+1 + 2 2x +3⋅ 3x +2 0 + 3⋅0 + 2 x → −∞ x → −∞ x→−∞1.13 Δίνεται η συνάρτηση f : ℝ → ℝ με lim f(x) − x = 2 xx→+0i)να βρείτε το lim f(x) και lim f(x) x→0 xx→0ii) να υπολογίσετε το λ ∈ ℝ , ώστε lim xf(x) + λxημx =5 x 2 ημx + f2(x) x→0iii)Να υπολογίσετε το lim f(ημx) + x x + ημx x→0Λύσηi) Θέτουμε g(x) = f(x) − x με lim g(x) = 2 και f(x) = xg(x) + x , οπότε το lim g(x) υπάρχει και x x→0 x→0είναι: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 37

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grlim f(x) = lim(xg(x) + x) = 0 ⋅ 2 + 0 = 0x→0 x→0και lim f(x) = lim xg(x) + x = lim x(g(x) + 1) = lim(g(x) + 1) = 3 x→0 x x→0 x x→0 x x→0ii) lim xf(x) + λxημx :x2 lim xf(x) + λxημx = lim xf(x) + λxημx = lim f(x) + λ ημx = x 2 ημx + f2(x) x→0 x2 x2 x→0 xx x→0 = x→0 x2 x2 ημx + f2 (x) x2 ημx + f2 (x) x2 x2 ημx + f 2 (x) :x2 x2 x2 f(x) + λ ημx 3+λ 3+λ= x x = 0+9 0+9 = 5 ⇔ ... ⇔ λ = 42 lim ημx  f(x) 2 .Έτσι,   x→0 x + f(ημx) f(ημx) + x f(ημx) + x f(ημx) + 1 x∈ − π ,0  ∪ 0 , π  ημx + 1 x + ημx x x 2 2 x = lim = lim =iii) lim x→0 x + ημx x→0 1 + ημx lim ημx x→0 1 + ημx x→0 x xxΓια το όριο lim f(ημx) θέτουμε ημx = u και όταν x → 0 τότε u → 0 οπότε το προηγούμενο x→0 ημx f(ημx) ημx + 1 x 3 +1 lim f(u) = f(ημx) + x = lim ημx = 1 =όριο γίνεται u→0 u 3 .Τελικά lim x + ημx x→0 1 + ημx 1+1 2 x→0 x1.14 Έστω οι συναρτήσεις f,g ορισμένες στο ℝ τέτοιες, ώστε:lim (f(x) − g(x)) = lim (f(x) ⋅g(x)) = 0x → +∞ x → +∞Να δείξετε ότι lim f(x) = lim g(x) = 0 x → +∞ x→+∞ΛύσηΓια κάθε x ∈ ℝ( ) ( ) (( ) ) xl→im+∞ lim f(x) − g(x) =0 ⇒ xl→im+∞ f(x) − g(x) 2 = 0 ⇒ lim f(x) − g(x) 2 + 4f(x) ⋅g(x) = 0 ⇒ f(x) ⋅ g(x) =0 4f(x) ⋅ g(x) = 0 x→+∞ x → +∞( ) ( ) lim x → +∞( ) ( )⇒ lim f(x) + g(x) 2 = 0 τότε όμως θα είναι lim f(x) + g(x) 2 = 0 ⇔ lim f(x) + g(x) = 0 ⇔ x → +∞ x → +∞ ( )x→+∞ ⇔ lim f(x) + g(x) = 0 x → +∞Όμως( ) ( ) lim f(x) − g(x) = 0 ⇒ xl→im+∞ f(x) − g(x) + (f(x) + g(x)) =0 f(x) + g(x) = 0 xl→im+∞ f(x) − g(x) − (f(x) + g(x)) ⇒ x → +∞( ) ( ) =0 lim x → +∞ lim 2f(x) = 0 ⇒  lim f(x) = 0 2g(x) = 0  g(x) = 0 x → +∞ x → +∞ lim lim x → +∞ x → +∞38 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr1.15Έστω η συνάρτηση f : (0, +∞) → ℝ τέτοια ώστε, f3(x) + f(x) = x ,για κάθε x ∈ ℝΝα αποδείξετε ότι:i) 0 < f(x) < x ,για κάθε x > 0ii) lim f(x) = 0 x→0iii) lim 1 = +∞ x→0 f(x)iv) αν υπάρχει το όριο lim f(x) , τότε lim f(x) = +∞ x→+∞ x → +∞Λύσηi)Ισχύει f3(x) + f(x) = x ⇔ f(x)(f2 (x) + 1) = x για κάθε x > 0Δηλαδή f(x) = x + 1 για κάθε x>0 . Όμως 0< f 2 x + 1 < x για κάθε x>0 f2 (x) (x)ii)ισχύει 0 < f(x) < x για κάθε x > 0 οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έπεται:lim f(x) = 0x→0iii) lim f(x) = 0 και f(x) > 0 κοντά στο 0 άρα lim 1 = +∞ x→0 x→0 f(x)iv) ▪ Αν lim f(x) = −∞ τότε από την δοθείσα σχέση προκύπτει ( )lim 3 + f(x) = που  x → +∞ x → +∞ f(x) lim x x → +∞είναι αδύνατον διότι ( )lim  3 + f(x) = −∞ και lim x = +∞  x → +∞ x → +∞ f(x) ▪ Αν lim f(x) = L ∈ ℝ τότε από την δοθείσα σχέση προκύπτει ( )lim 3 + f(x) = lim x που  x → +∞ x → +∞ x → +∞ f(x)( )είναι αδύνατον διότι  3 + f(x) = L3 + L και lim x = +∞ . lim  f(x) x → +∞ x → +∞1.16Bonus μεζεδάκια θεωρίας.( Για να χρησιμοποιηθούν θέλουν απόδειξη)Ι) Αν f : ℝ → ℝ περιττή και lim f(x) = L να δείξετε ότι lim f(x) = −L x→α x→−αΙΙ) Αν f : ℝ → ℝ άρτια και lim f(x) = L να δείξετε ότι lim f(x) = L x→α x→−αΛύσηi)H f περιττή στο ℝ άρα για κάθε x ∈ ℝ τότε −x ∈ ℝ και επίσης f(−x) = −f(x) (1) (1)lim f(x) = lim − f(−x) = − lim f(−x) = − lim f(u) = −Lx→−α x→−α x→−α u→αii)H f άρτια στο ℝ άρα για κάθε x ∈ ℝ τότε −x ∈ ℝ και επίσης f(−x) = f(x) −x=ulim f(x) = lim f(−x) = lim f(u) = Lx→−α x→−α u→α1.17(Επανάληψη στα τριγωνομετρικά όρια με ολίγη από..1974)Α.Να βρεθούν τα όριαi) lim x2 + x + 1974 x→0 xημxii) lim ημ (1974x) ημ (1975x) x→0 x2iii) lim  ν + 2  ημ(2x) 2  , ν ∈ ℤ* 1974x  2x   x→0  iv) lim συνx x2 x → −∞v) lim 1974x2 + συνx x2 − συνx x → −∞ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 39

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grΒ. Αν ισχύει lim f(x) =1 τότε να υπολογίσετε το lim f(13x2 + 7x) x→0 x 13x2 − 7x x→0Λύση( )i) Ισχύει lim x2 + x + 1974 = 1974 και lim (xημx) = 0 x→0 x→0Αναζητούμε το πρόσημο του παρονομαστή κοντά στο 0.▪ Αν x ∈  0, π  τότε x > 0 , ημx > 0 άρα xημx > 0  2 ▪ Αν x ∈  − π ,0  τότε x < 0 , ημx <0 άρα xημx > 0  2 Δηλαδή xημx > 0 ,για κάθε x κοντά στο 0.Εφόσον lim (xημx) = 0 με xημx > 0 για κάθε x κοντά στο 0 είναι  1  = +∞ lim   x→0 x→0  xημx  x2 + x + 1974   xημx  ( )Οπότε  1  +∞ lim = lim x2 + x + 1974 xημx = .. = (+∞) ⋅1974 = x→0 x→0ii) lim ημ (1974x) ημ (1975x) = lim  ημ (1974x) ⋅ ημ (1975x)  =  ημ (1974x) ⋅1975 ημ (1975x)  =   lim 1974  x→0 x2 x→0  x x  x→0  1974x 1975x lim  ημ (1974x)  lim  ημ (1975x)  u →1974 x 1974 lim  ημ (u)  1975 lim  ημ (y)  = 1974 ⋅ 1 ⋅ 1975 ⋅1 = 1974  1975      =x→0  1974x  x→0  1975x  y→1975x u→0  u  y→0  y 1974 ⋅1975iii) Διακρίνουμε περιπτώσεις για το ν.     ημ(2x) 2  νν = −2, 1974 1974x ν + 2  2x    > −2,lim   = ν 0 < −2,x→0 νν +∞ δεν αρτιος, υπαρχει το οριο περιττος,iv) Θα εργαστούμε με το κριτήριο παρεμβολής.Για κάθε x < 0 έχουμε διαδοχικά −1 ≤ συνx ≤1⇔ −1 ≤ συνx ≤ 1 (1) x2 x2 x2Όμως lim −1 = 0 , lim 1 = 0 οπότε από το κριτήριο παρεμβολής από την σχέση (1) x2 x2 x → −∞ x → −∞προκύπτει:lim συνx = 0 x2x → −∞ 1974x2 + συνx 1974x2 + συνx 1974 + συνx vi 1974 + 0 x2 − συνx x2 1− 0v) lim = lim x2 = lim = = 1974 x → −∞ x2 − συνx x → −∞ συνx x → −∞ 1 − x2 x2Β( )lim( )x→0 f(13x2 +7 ) = f(13x2 + 7x) ⋅ 13x2 + 7x u =13 x2 +7 f(u) ⋅ x 13x + 7 = 13x2 −7 13x2 + 7x 13x2 − 7x u x 13x − 7 lim = lim lim x→0 u→0 x→0= lim f(u) lim 13x + 7 = 1(−1) = −1 u x→0 13x − 7 u→040 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr1.18(oldies but goodies)Να υπολογίσετε τα παρακάτω όρια:i) lim xημ 1 ii) lim xημ 1 iii) lim (x + 1)ημ 1 iv) lim ( 9x2 + 1)ημ 1 x → +∞ x x → +∞ x x → +∞ x x → −∞ xv) lim 2x2  1 − συν 1  x − ημ4x  x  x → +∞ vi) lim x→−∞ x συν 2 xΛύσηi) Θέτω u = 1 ⇔ x = 1 τότε lim u = lim 1 = 0 , οπότε έχουμε: x u x → +∞ xx→+∞ lim 1 ημu = lim ημu = 1 u→0 u u→0 uΚατά ανάλογο τρόπο προκύπτει lim xημ 1 = 1 x → −∞ xii) lim xημ 1 = lim 1 xημ 1 = lim 1 ⋅ lim xημ 1 (i) 0 ⋅ 1 = 0 x → +∞ x xx→+∞ x xx→+∞ x → +∞ x =iii) lim (x + 1)ημ 1 = lim x(1 + 1)ημ 1 = lim (1 + 1 ) ⋅ lim xημ 1 (i) + 0)1 = 1 x → +∞ x x→+∞ x x x→+∞ x x→+∞ x =(1iv) lim ( 9x2 + 1)ημ 1 = lim ( x2  + 1  1 = x → −∞ x x→−∞  9 x2  )ημ x + 1 1 x→−∞ αρα τελικα x<0 lim − + 1 1 = x2 x x2 xlim ( x 9 )ημ = x → −∞ x 9 ημx → −∞  − 9+ 1  1 = −( 9 + 0)1 = −3lim  x2  lim xημ xx → −∞ x → −∞v) Θέτω u = 1 ⇔ x = 1 τότε lim u = lim 1 = 0 ,οπότε x u x → +∞ xx→+∞( )lim  1  1  x  u2x → +∞ 2x2 1 − συν = 2 lim 1 − συνu = u→0= 2 lim 1 − συνu = 2 lim 2ημ2 u = 2 lim 2ημ2 u = u2 u→0 u2 2 u→0 2 u→0  u 2 4  2  ημ2 u  ημ u 2  2  2  lim =  lim    = 12 =1  2  u  u→0  u   u→0 2  2  x − ημ4x = lim x  − ημ4x  x→−∞ αρα τελικα x<0  1 x  lim = x→−∞ x συν 2 x→−∞ x συν 2vi) x x −x  1 − ημ4x  1+ ημ4x 1+ 0  −x  x lim = lim = = 1 x→−∞ −xσυν 2 x→−∞ συν 2 1 xx ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 41

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr1.19 Έστω συνάρτηση f : ℝ → ℝ , f(ℝ) = ℝ η οποία είναι 1-1 τέτοια ώστε f(x) ≤ x για κάθε x ∈ ℝ f−1(x) ≤ ex − 1 για κάθε x ∈ ℝΝα αποδείξετε ότι :i) f−1(x) ≥ x για κάθε x ∈ ℝii) lim f−1(x) = f−1(0) x→0iii) f(0) = 0iv) lim f−1(x) = +∞ x → +∞v) αν επιπλέον ισχύει η σχέση lim f(x) = L ∈ ℝ τότε L = 1 . x→0 ημxΛύσηi) Η f 1-1 άρα η f−1 ορίζεται στο ℝ άρα f(ℝ) = ℝ έχουμεf(x) ≤ x για κάθε x ∈ ℝ και θέτοντας όπου χ το f−1(x) λαμβάνουμε:f(f−1(x)) ≤ f−1(x) ⇔ x ≤ f−1(x) για κάθε x ∈ f−1(ℝ) = ℝ δηλαδήf−1(x) ≥ xii) x ≤ f−1(x) ≤ ex − 1 (1) ισχύει για κάθε x ∈ ℝ άρα θα ισχύει και για x = 0 ,έτσι0 ≤ f−1(0) ≤ e0 − 1 ⇔ 0 ≤ f−1(0) ≤ 0 ⇒ f−1(0) = 0Επίσης από το κριτήριο παρεμβολής στην (1) προκύπτει lim f−1(x) = 0 x→0Άρα lim f−1(x) = f−1(0) x→0iii) Ισχύει f−1(0) = 0 ⇒ f(f−1(0)) = f(0) ⇒ 0 = f(0)( )iv)Έχουμε x ≤ f−1(x) ≤ ex − 1 για κάθε x ∈ ℝ και lim x = lim ex − 1 = +∞ x→∞ x→∞v)Έχουμε f(x) ≤ x για κάθε x ∈ ℝ .▪ Άρα, f(x) ≤ x για κάθε x ∈  0, π  και συνεπώς ημx ημx  2 lim f(x) ≤ lim x δηλαδή L ≤ 1 (2)x→0+ ημx x→0+ ημxΌμοια , f(x) ≥ x για κάθε x ∈  − π , 0  και συνεπώς ημx ημx  2 lim f(x) ≥ lim x δηλαδή L ≥ 1 (3)x→0− ημx x→0− ημxΑπό (2) ,(3) έπεται ότι L = 1 .42 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr1.20)(μεζεδάκια από τον G. Aligniac)i)Δίνεται η συνάρτηση f ορισμένη στο (0, +∞) για την οποία ισχύει :ex f (x) − 2ex ≤ ηµex ,για κάθε x ∈ (0, +∞) .Να δείξετε ότι lim f (x) = 2 . x → +∞ii)Θεωρούμε την συνάρτηση f (x) = x2ν − 2xν ,ν ∈ ℕ* .Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό μώστε το lim f (x) − µ να υπάρχει. Κατόπιν να βρείτε το όριο. (x − 1)6 x→1iii)Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο ℝ και ισχύει xf (x) + 3x = ηµ2x + (x + 1)4 x , για κάθεx ∈ ℝ .Να βρείτε το f(0).Λύσηi)Η δοθείσα σχέση γράφεταιex f (x) − 2ex ≤ ηµex ⇔ − ηµex ≤ ex f (x) − 2ex ≤ ηµex ⇔ 2ex − ηµex ≤ ex f (x) ≤ ηµex + 2ex ⇔2ex − ηµex ≤ ex f (x) ≤ ηµex + 2ex ⇔ 2 − ηµex ≤ f (x) ≤ ηµex +2 (1) ex ex ex ex exΌμως( *) lim ηµex =0 οπότε lim  − ηµex  = lim  ηµ e x + 2  = 2 ,από το κριτήριο της ex  2 ex   ex  x → +∞ x → +∞ x→+∞παρεμβολής προκύπτει lim f (x) = 2 . x → +∞( )(*)( −1 ≤ ηµex ≤ 1 ⇔ −1 ≤ ηµex ≤ 1 −1 1 ex ex ex ex ex για κάθε x ∈ 0, +∞ και lim = lim = 0 από το κριτήριο της x → +∞ x → +∞παρεμβολής lim ηµex = 0 ) ex→+∞ xii)Επειδή lim(x − 1)6 =0 , για να υπάρχει το lim f (x) − µ , πρέπει (x − 1)6 x→1 x→1( )lim ( f (x) − µ ) = 0 ⇔ lim x2ν − 2xν − µ = 0 ή 1 − 2 − µ = 0 ⇔ µ = −1 .x→1 x→1Το όριο γράφεται:( ) ( ) ( )limx→1 f (x) + 1 = lim x2ν − 2xν + 1 = lim xν − 1 2 = lim x−1 2 xν −1 + xν −2 + xν −3 + .. + x + 1 2 (x − 1)6 (x − 1)6 (x − 1)6 x →1 = x →1 x→1 (x − 1)6( ) ( )limx→1 xν −1 + xν −2 + xν −3 + .. + x + 1 2 = lim xν −1 + xν −2 + xν −3 + .. + x + 1 2 1 =ν (+∞) = +∞ x→1 (x − 1)4 (x − 1)4iii)Η δοθείσα ισότητα γράφεταιxf (x) + 3x = ηµ2x + (x + 1)4 x ⇔ xf (x) = ηµ2x + (x + 1)4 x − x≠0 f (x) = ηµ 2x + (x + 1)4 x − 3x 3x ⇔ xΗ f είναι συνεχής στο 0 ισχύει ότιf (0) = lim f (x) = lim ηµ2x + (x + 1)4 x − 3x = lim ηµ2x + lim (x + 1)4 x − 3x = 2 lim ηµ2x + lim x((x + 1)4 − 3) = x→0 x→0 x x→0 x x→0 x x→0 2x x→0 x( )2 lim ηµ2x + lim x((x + 1)4 − 3) = 2 lim ηµ2x + lim (x + 1)4 − 3 = 2 ⋅1 + (0 + 1)4 − 3 = 0x→0 2x x→0 x x→0 2x x→0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 43

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr1.21 Η συνάρτηση f : ℝ → ℝ είναι συνεχής στο ℝ και ισχύειlim (x − 2) f (x − 2) +ηµ(x − 2) = 2 . x −2x→2Να βρείτε το f (0) .ΛύσηΑπό την δοθείσα σχέση παίρνουμε:lim ( x − 2) f ( x − 2) + ηµ ( x − 2) = 2 ⇔ lim f ( x − 2) + lim ηµ(x − 2) =2 (1) x −2 x→2 x−2x→2 x→2Η f (x − 2) είναι συνεχής στο ℝ ως σύνθεση της συνεχούς στο ℝ συνάρτηση x − 2 (πολυωνυμικής) και της συνεχούς f .Άρα το όριο στο 2 θα ισούται με την τιμή της:lim f (x − 2) = f (2 − 2) = f (0) = 0 (2)x→2lim ηµ( x− 2) u=x−2 lim ηµu = 1 (3) x −2 u→0 ux→2 =Από τις σχέσεις (2),(3) υπάρχει στο ℝ το όριο του πρώτου μέλους της (1) οπότε μπορούμενα εφαρμόσουμε την ιδιότητα του ορίου του αθροίσματος( lim ( f (x) + g(x)) = lim f (x) + lim g(x) )x → x0 x → x0 x → x0lim f (x − 2) + lim ηµ( x− 2) = 2 οπότε f (0) + 1 = 2 ⇔ f (0) = 1. x −2x→2 x→21.19( Μεζεδάκι από Ε.Μ.Ε) Έστω συνάρτηση f : 0,π → ℝ τέτοια ώστε 1 + 2 ημx ≤ f(x) ≤ 2 + ημx , για κάθε x ∈ 0,πΑ. Να δείξετε ότι η f είναι συνεχής στο x0 =π 2Β. Να βρείτε τα όρια:i. lim f(x) − 3 συν 2 x x→π 2ii. lim 3 − f(x) − xf(x) − 3 x→π 2 f(x) − 3ΛύσηA. Έχουμε: 1 + 2 ημx ≤ f(x) ≤ 2 + ημx (1)Για x = π λαμβάνουμε: 21 + 2 ημ π ≤ f(π ) ≤ 2 + ημ π ⇔ 3 ≤ f(π ) ≤ 3 ⇔ f(π ) = 3 22 22 2Εφαρμόζουμε στην (1) το κριτήριο παρεμβολής οπότε lim f(x) = 3 άρα lim f(x) = f(π ) x→π x→π 2 22Β.i. Για κάθε x ∈  0, π  ∪  π ,π  :  2   2 1 + 2 ημx ≤ f(x) ≤ 2 + ημx ⇔ 1 + 2 ημx − 3 ≤ f(x) − 3 ≤ 2 + ημx − 3 ⇔⇔2 ημx −2 ≤ f(x) − 3 ≤ ημx − 1 ⇔ 2 ημx − 2 ≤ f(x) − 3 ≤ ημx − 1 (2) συν2 x συν 2 x συν 2 x ημx − 2 ημx − 0 ημx − 1)( ημx + 1) συν2 x συν 2 x συν2x( ημx + 1)• lim 2 = lim 2( 1) 0 lim 2( = x→π x→π = x→π 22 244 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr( )= lim 2(ημx − 1) = lim 2(ημx − 1) = x→π συν2x( ημx + 1) x→π 1 − ημ2x ( ημx + 1) 22= lim (1 − ) 2(ημx − 1) + = lim (1+ −2 + = − 1 2 x→π ημx (1 + ημx )( ημx 1) x→π ημx ) ( ημx 1) 22 ημx − 1 = ημx − 1 = ημx − 1 = −1 = − 1 συν2 x 1 − ημ2x 1 − ημx 1 + ημx 1 + ημx 2( )( )•lim lim lim lim x→π x→π x→π x→π 22 2 2Από την (2) με εφαρμογή του κριτηρίου της παρεμβολής προκύπτειlim f(x) − 3 = − 1 συν 2 x 2x→π 2ii.Ισχύει:2 ημx − 2 ≤ f(x) − 3 ≤ ημx − 1 , για κάθε x ∈ 0,π δηλαδή f(x) − 3 ≤ ημx − 1 < 0 άρα f(x) − 3 = 3 − f(x)Έτσι το ζητούμενο όριο γίνεται:lim 3 − f(x) − xf(x) − 3 = lim 3 − f(x) − xf(x) − 3 = lim −f(x) − xf(x) = lim −f(x)(1 + x) =  3 1 f(x)(1 + x)  = f(x) − 3 f(x) − 3 f(x) − 3 f(x) − 3 lim  − f(x) x→π x→π x→π x→π x→π  2 2 2 22= lim  3 1 f(x)(1 + x)  = (+∞)( π + 1) ⋅ 3 = +∞ .  − f(x)  2 x→π 21.22 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο x0 = 0 και ισχύει: lim f (x) − f (0) = 2 και lim f (x) −ηµx = a ∈ ℝ x→0 x x→0 xα) Να αποδείξετε ότι η Cf διέρχεται από την αρχή των αξόνων.β) Να υπολογίσετε το α.Λύσηα) Για x ≠ 0 θέτουμε: g(x) = f (x) −ηµx ⇔ f (x) = xg(x) +ηµx xΕπομένως προκύπτειlim f (x) = lim ( xg(x) +ηµx) = a ⋅ 0 + 0 = 0x→0 x→0Η f είναι συνεχής στο x0 = 0 άρα lim f (x) = f (0) .Οπότε : f (0) = 0 έτσι η Cf διέρχεται από την x→0αρχή των αξόνων.β) Ισχύει : lim f (x) − f (0) = 2 ⇔ lim f (x) = 2 x→0 x x→0 xΕπομένως:α = lim f (x) −ηµx = lim  f (x) − ηµ x  = 2−1=1 x  x x  x→0 x→0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 45

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr1.23 α) Για τις συναρτήσεις f,g ισχύει f 2 (x) + g2 (x) = ηµ 2x (1) για κάθε x κοντά στο π. Ναδείξετε ότι οι f,g είναι συνεχείς κοντά στο π.β) θεωρούμε τις συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύει (1) f (x) + g(x) = x για κάθε x ∈ ℝΝα αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο x0 = 0 .γ) θεωρούμε τις συναρτήσεις f και g για τις οποίες ισχύει (2) f 2 (x) + g2 (x) = 2xf (x) για κάθε x ∈ ℝΝα αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις f και g είναι συνεχείς στο x0 = 0 .Λύσηα) Ισχύει: f 2 (x) ≤ f 2 (x) + g2 (x) = ηµ 2x ⇔ f 2 (x) ≤ ηµ 2x ⇔ f (x) ≤ ηµx ⇔ − ηµx ≤ f (x) ≤ ηµ xg2 (x) ≤ f 2 (x) + g2 (x) = ηµ 2x ⇔ g2 (x) ≤ ηµ 2x ⇔ g(x) ≤ ηµx ⇔ − ηµx ≤ g(x) ≤ ηµx (3)Για x=π οι (2) ,(3) παίρνουν την μορφή(2) : − ηµπ ≤ f (π ) ≤ ηµπ ⇔ 0 ≤ f (π ) ≤ 0 ⇔ f (π ) = 0(3) : − ηµπ ≤ g(π ) ≤ ηµπ ⇔ 0 ≤ g(π ) ≤ 0 ⇔ g(π ) = 0( )Επειδή lim ηµx = 0,lim − ηµx = 0 από το κριτήριο της παρεμβολής και τις (2) ,(3) x →π x→ππροκύπτει:lim f (x) = 0 = f (π ) , lim g(x) = 0 = g(π ) .Άρα οι f,g είναι συνεχείς κοντά στο π.x →π x →πβ) Θέτουμε x = 0 στην (1) f (0) + g(0) = 0 ⇔ f (0) + g(0) = 0 ⇔ κfα(0ι) = 0 g(0) = 0(2) f (x) ≤ f (x) + g(x) = x ⇒ f (x) ≤ x ⇔ − x ≤ f (x) ≤ x( ) ( )Αλλά lim − x = 0 , lim x = 0 από το κριτήριο της παρεμβολής lim f (x) = 0 = f (0) x→0 x→0 x→0Δηλαδή η f είναι συνεχής x0 = 0 .Όμοια προκύπτει και η συνέχεια της g στο x0 = 0 .γ) Για x = 0 η δοθείσα γίνεται:f 2 (0) + g2 (0) = 2⋅0⋅ f (0) ⇔ f 2 (0) + g2 (0) = 0 ⇔  gf ((00)) = 0 = 0Για κάθε x ∈ ℝ η δοθείσα σχέση γράφεται( )f 2 (x) + g2 (x) = 2xf (x) ⇔ f 2 (x) + g2 (x) − 2xf (x) + x2 = x2 ⇔ f (x) − x 2 + g2 (x) = x2 (*)Από την σχέση (*) έχουμε:( f (x) − x)2 ≤ ( f (x) − x)2 + g2(x) = x2 ⇔ ( f (x) − x)2 ≤ x2 ⇔ f (x) − x ≤ x ⇔− x ≤ f (x) − x ≤ x ⇔ − x + x ≤ f (x) ≤ x + xΑλλά lim (− x + x) = 0 , lim ( x + x) = 0 από το κριτήριο της παρεμβολής lim ( f (x)) = 0 x→0 x→0 x→0Δηλαδή η f είναι συνεχής x0 = 0 .Ανάλογα προκύπτει και η συνέχεια της g στο x0 = 0 .46 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr1.24.Εστω η συνάρτηση f : ℝ → ℝ είναι συνεχής στο ℝ και για κάθε x ∈ ℝισχύει : (x − 2) f (x) ≥ συν (x − 2) − 1 (1) . Να βρείτε το f (2) .ΛύσηΕφόσον η f είναι συνεχής στο ℝ θα είναι συνεχής και στο 2. Άρα lim f (x) = f (2) (2). Αρκεί x→2λοιπόν να υπολογίσουμε το lim f (x) . x→2Είμαστε υποχρεωμένοι να διαιρέσουμε με την ποσότητα x − 2 για αυτό θα διακρίνουμεπεριπτώσεις για το πρόσημο του.▪ x − 2 > 0 ⇔ x > 2 Από την (1) :f (x) ≥ συν (x − 2) − 1 ⇒ lim f (x) ≥ lim συν (x − 2) − 1 (3) (x − 2) (x − 2) x→2= x→2+Θέτουμε u = x − 2 οπότε όταν x → 2+ τότε u+ → 0 άρα από την (3) έχουμε:lim f (x) ≥ lim συν u − 1 ⇔ lim f (x) ≥ 0 (4)x→2 u→0 u x→2▪ x − 2 < 0 ⇔ x < 2 Από την (1) :f (x) ≤ συν (x − 2) −1 ⇒ lim f (x) ≤ lim συν (x − 2) − 1 (4) (x − 2) (x − 2) x→2 x→2Θέτουμε u = x − 2 οπότε όταν x → 2− τότε u− → 0 άρα από την (4) έχουμε:lim f (x) ≤ lim συν u − 1 ⇔ lim f (x) ≤ 0 (5)x→2− u→0− u x→2−Από (4) ,(5)και (2) προκύπτει: lim f (x) = lim f (x) = lim f (x) = 0 = f (2) x→2− x→2+ x→2Άρα f (2) = 0 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 47

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr1.25(Αποκαλυπτική ..άσκηση)Έστω η συνεχής συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει: x2 f (x) = 1 + x2 − συν 2 x (1) 444α) Να βρεθεί η f.( )β) Να υπολογίσετε το lim x2 f (x) x → −∞Λύση( )α) Από την σχέση (1) έχουμε: x2 f (x) = 1 + x2 −συν 2x ⇔ x2 f (x) = 444 1 + x2 −συν 2x 444Αν x ≠ 0 , τότε ισχύει: ( )444 1 + x2 −συν 2x f (x) = x2Επειδή η f είναι συνεχής στο ℝ άρα είναι συνεχής και στο x0 = 0 όποτε θα ισχύειlim f (x) = f (0)x→0 ( ) ( ) ( ) ( )444  Έχουμε: f (x) = 1 + x2 − συν 2 x 444 1 + x2 − 1 + 1 − συν 2 x = 444  1+ x2 − 1 + 1 −συν 2x  = = x2  x2 x2    x2 ( )( ) ( )    + x2 2 − 12    ( )= +1    1 1+ +1      1+ x2 −1 1+ x2 ηµ 2 x   x2 x2  ηµx x 2   1+ x2 − 1  ηµ x 2  444  x2 1+ x2 + 1 + x2  = 444  +   = 444  1+ x2 + 1 +  x   = ( ) ( ) ( )     x2( ) ( )=       1+ x2 − 1  ηµ x 2   x2  ηµ x 2   1  ηµ x 2  444  1+ x2 + 1 +  x   = 444  1+ x2 +  x   = 444  1+ x2 +  x   ( ) ( )x2   +1  +1 x2  1  ηµ x 2    1  ηµ x 2   1  3 =   1+ x2 +  x    =  1+ x2 +  x   = 444  2 + 1 = 2 =lim f (x) lim  444  +   444 lim +1 lim 444 666x→0 x→0 1 x→0 x→0Άρα f (0) = 666 .Τελικά ο τύπος της συνάρτησης είναι : ( )f  444 1 + x2 − συν 2 x  x2 , x ≠ 0 (x) =  666 , x = 0 ( )β) Παρατηρούμε ότι: x2 f (x) = 444 1 + x2 −συν 2xΕπειδή x → −∞ περιοριζόμαστε στο (−∞,0) .Έτσι έχουμε:( ) ( )lim 444    1      x2 1 2 x x → −∞  x2 f (x) = lim 1+ x2 − συν 2 x = lim 444  x2 + − συν = x → −∞ x→−∞   1  συν 2x = lim 444  x  x2 + 1 − x  = x→−∞ x( )x>0   − 1 +  − συν 2x  =   −x   1 +  + συν 2x   (2)    x2 1 x  444    x2 1 x  =    lim 444 x x lim x→−∞ x→−∞48 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.grΌμως: συν 2x ≤ 1 ⇔ − 1 ≤ συν 2x ≤ 1 x x xxxΕπίσης  − 1  1 = 0 από το κριτήριο της παρεμβολής lim συν 2x =0 (3) lim  x  = 0 , lim x xx → −∞ x → −∞ x→−∞Από (2) ,(3) προκύπτει( ( ))( ) ( )lim  x → −∞ x2 f (x) = 444 (+∞) (0 + 1) + 0 = 444 ( +∞) (1) = +∞1.26Εστω συνάρτηση f : ℝ → ℝ για την οποία ισχύει η ιδιότητα 2 f (x) − f ( f (x)) = x , γιακάθε x ∈ ℝ .Α.i)Να αποδειχθεί ότι η f είναι 1-1. ii)Να λυθεί η εξίσωση 2 f (x2 − 1974x) = f ( f (0))Β. Αν lim f (x) = λ ,λ > 0 τότε: xx→+∞i)Να βρεθεί το lim f (x) x → +∞ii)Να αποδειχτεί ότι λ = 1ΛύσηΑ i) Έχουμε: 2 f (x) − f ( f (x)) = x (1)Έστω x1 , x2 ∈ ℝ ,με f (x1) = f (x2 )Έχουμε:f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ 2f ( f (x1 )) = f ( f (x2 )) ⇒  − f ( f (x1)) = − f ( f ( x2 )) (+) f ( x1 ) = 2 f (x2 ) 2 f (x1 ) = 2 f (x2 ) ⇒⇒ 2 f (x1 ) − f ( f (x1 )) = 2 f (x2 ) − f ( f (x2 )) ⇒ x1 = x2Άρα, η f είναι 1-1.ii)Από την σχέση (1) για x = 02 f (0) − f ( f (0)) = 0 ⇔ 2 f (0) = f ( f (0)) , (2)Άρα f ( f (0)) = 2 f (x2 − 1974x) ⇔ 2 f (0) = 2 f (x2 − 1974x) ⇔ f 1−1⇔ f (0) = f (x2 − 1974x) ⇔ x2 − 1974x = 0 ⇔ x = 0 ή x = 1974Β. Θεωρώ g(x) = f (x) ⇔ xg(x) = f (x) , x > 0 xΛαμβάνουμε όρια στο +∞ lim g( x)=λ( )lim f (x) = lim xg(x) =x→+∞ (+∞)λ = +∞x → +∞ x → +∞ λ>0ii)Επειδή lim f (x) = +∞ προκύπτει τι υπάρχει α>0 τέτοιο ώστε x → +∞για κάθε x ∈ (α , +∞) ισχύει f (x) > 0 .Οπότε για κάθε x ∈ (α ,+∞) ισχύει:2 f (x) − f ( f (x)) = x ⇔ x>0 f ( f (x)) + x = 2 f (x) ⇔ f ( f (x)) + 1 = 2 f (x) ⇔ x xx x f ( f (x)) + x = 2 f (x) ⇔f ( f (x) + 1 = 2 f (x) ⇔ f ( f (x)) f (x) + 1 = 2 f (x) (3)x x f (x) x x ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ. 49

Ο∆ΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2017 Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr  f ( f (x)) f (x) +  = lim 2 f (x) (*) lim  f ( f (x))  lim  f (x)  + 1 = lim 2 f (x) ⇒lim  f (x) 1  f (x)   x  xx → +∞x→+∞ x xx → +∞ ⇒ x→+∞  x → +∞λ ⋅λ + 1 = 2λ ⇔ λ2 − 2λ + 1 = 0 ⇔ λ = 1(*)Θέτουμε u = f (x) Είναι lim f (x) = +∞ οπότε όταν x → +∞ τότε u → +∞ x → +∞  f ( f (x))  u =f( x)  f (u)  = λlim  f (x)   u x→+∞  = lim u→+∞1.27 Έστω f: ℝ → ℝ συνάρτηση που διέρχεται η γραφική της παράσταση από τηναρχή των αξόνων για την οποία ισχύει: (1) f (x) − f (y) ≤ ηµx −ηµy + α(x − y) για κάθε x, y ∈ ℝ , α ∈ ℝi) Να αποδείξετε ότι f (x) = ηµx + α x για κάθε x ∈ ℝ .ii)Να υπολογίσετε το όριο lim f ( f (x)) . ηµ x x→0Λύσηi)Στην σχέση (1) θέτουμε όπου y το x και όπου x το yf (y) − f (x) ≤ ηµ y −ηµx + α(y − x) ⇔ f (x) − f (y) ≤ ηµx −ηµ y + α(x − y) (2)Από (1) ,(2)προκύπτει: f (x) − f (y) = ηµx −ηµ y + α(x − y) (3) για κάθε x, y ∈ ℝ , α ∈ ℝH Cf διέρχεται από την αρχή των αξόνων άρα f (0) = 0Στην (3) θέτουμε όπου y το 0: f (x) − f (0) = ηµx −ηµ0 + α(x − 0) ⇔ f (x) = ηµx + α x( )ii) f ( f (x)) f (ηµx + α x) ( 3),για y =−α x ηµ x − ηµ −α x + α(x − (−α x))  ηµα x α(x +α x)  ηµ x ηµ x ηµ x  ηµ x ηµ x  lim = lim = lim = lim 1 + + = x→0 x→0 x→0 x→0  α x ηµα x α(x +α x)   α ηµα x α(x + α x)   α ηµα x xα(1 + α )   αx x ηµ x   αx x   αx x lim 1 + x ηµ x + x  = lim 1 + ηµ x +  = lim 1 + ηµ x +  =x→0   x→0  ηµ x  x→0  ηµ x  x x x x x  α ηµα x α(1 + α )   α α(1 + α )  1+α +α +α (1+α )2  αx ηµ x   1 1 1 lim 1 + +  = + + = 2 =x→0  x  ηµ x xΕναλλακτικά για το ερώτημα (ii)Θέτουμε όπου u = f (x) τότε lim f (x) = lim (ηµx + α x) = ηµ0 + α ⋅ 0 = 0 x→0 x→0Προκύπτει ότι u → 0 όταν x → 0 κατά συνέπεια:lim f ( f (x)) =  f ( f (x)) ⋅ f (x)  =  f ( f (x))  ⋅ lim  f (x)  (4) ηµ x lim  f (x) ηµ x  lim  f (x)   ηµ x x→0 x→0   x→0   x→0  f ( f (x))  = lim  f (u)  = lim ηµu + αu = lim  ηµu + α  = 1+α   u  u→0 u  u • lim  f (x)  u→0   u→0 x→0 • lim  f (x)  = lim  ηµx +α x  = 1 + α  ηµ x   ηµ x  x→0 x→0 f ( f (x))  f ( f (x))   f (x)  ηµ x lim  f (x)   ηµ x ( )Άρα η (4) : x→0   2 lim = ⋅ lim = 1+α x→0 x→050 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ:ΜΗΤΑΛΑΣ Γ.,∆ΡΟΥΓΑΣ Α.,ΧΑ∆ΟΣ Χ.,ΓΕΡΜΑΝΟΣ Ξ.,ΠΑΤΣΗΣ Σ.