รวมเล่มโครงงาน

โครงงานคณิตศาสตร์ เรื่อง มหัศจรรย์พ้ืนที่สี่เหล่ียมกับการหาค่ากำลังสอง โดย 1. นายนนทวัฒน์ นาถาบตุ ร 2. นางสาวสพุ ตั รา อุน่ คำ 3. นางสาวอรวรรณ คำพิมพ์ ครูทีป่ รกึ ษา 1.นางขวัญใจ จนั ทนะชาติ 2. นายบดี ทะนอก โรงเรยี นนำ้ ปลกี ศึกษา สำนักงานเขตพน้ื ที่การศึกษามธั ยมศกึ ษา เขต 29 รายงานฉบบั นเี้ ปน็ ส่วนประกอบของโครงงานคณติ ศาสตร์ ประเภทสร้างทฤษฎหี รอื คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ ระดบั ชน้ั มัธยมศกึ ษาตอนปลาย งานศิลปหัตถกรรมนักเรียนครง้ั ที่ 69 ประจำปกี ารศกึ ษา 2562

ก ช่ือโครงงาน : มหัศจรรย์พ้ืนที่ส่ีเหล่ียมกับการหาค่ากำลังสอง ระดับชน้ั ผู้จัดทำ : มัธยมศึกษาตอนปลาย : 1. นายนนทวัฒน์ นาถาบตุ ร 2. นางสาวสุพตั รา อนุ่ คำ 3. นางสาวอรวรรณ คำพมิ พ์ โรงเรียนน้ำปลกี ศกึ ษา อำเภอเมอื ง จงั หวดั อำนาจเจรญิ บทคดั ยอ่ โครงงานคณิตศาสตร์ ประเภทสรา้ งทฤษฎีหรอื คำอธิบายทางคณติ ศาสตร์ เรอ่ื ง มหัศจรรย์พื้นท่ีสี่เหล่ียมกับการหาค่ากำลังสอง จดั ทำขน้ึ เพ่อื สร้างสตู รและอธิบายสูตร การกระจาย (a + b + c)2, (a + b + c + d)2, (a + b + c + d + e)2, … , (a + b + c + d + ⋯ + k������)2 โดยใช้พืน้ ท่รี ูปสเ่ี หลย่ี มจัตรุ สั ทีม่ ีความยาวด้านเปน็ a + b + c, a + b + c + d, a + b + c + d + e, … , a + b + c + d + ⋯ + k������ ตามลำดับ โดยใช้ความรใู้ น คณิตศาสตรเ์ รื่อง จำนวนจรงิ และพืน้ ทแ่ี ละสตู รการหาพ้นื ทีร่ ูปเรขาคณติ ต่างๆ มาประยุกต์ใชใ้ น การทำโครงงาน ไดผ้ ลสรปุ ดงั นี้ การหาสตู รและสตู รทัว่ ไปของจำนวนทอ่ี ยู่ในรูปกำลังสอง (a + b + c)2, (a + b + c + d)2, (a + b + c + d + e)2, … , (a + b + c + d + ⋯ + k������)2 และการอธิบายสูตร ด้วยพื้นทีร่ ปู สเี่ หลย่ี มจตั ุรสั ท่มี ีความยาว a + b + c, a + b + c + d, a + b + c + d + e, … , a + b + c + d + ⋯ + k������ ตามลำดบั ได้สตู รการกระจายดงั นี้ (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2a(b + c) + 2bc (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2a(b + c + d) + 2b(c + d) + 2cd (a + b + c + d + e)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + 2a(b + c + d + e) + 2b(c + d + e) + 2c(d + e) + 2de ⋮ (a + b + c + d + e + ⋯ + k������)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + ⋯ + k������2 + 2a(b + c + d + ⋯ + k������) + 2b(c + d + e + ⋯ + k������) + 2c(d + e + f + ⋯ + k������) + ⋯ + 2k������−1k������ จากการศึกษาจะเหน็ วา่ เราสามารถหาสตู รการกระจายพจน์เหลา่ นีไ้ ด้จากการอธบิ าย ด้วยพื้นทรี่ ปู สเี่ หลยี่ มจตั รุ สั ทม่ี ีความยาวดา้ นเปน็ a + b + c, a + b + c + d, a + b + c + d + e, … , a + b + c + d + ⋯ + k������ ตามลำดบั

ข กิตติกรรมประกาศ การศกึ ษาโครงงานคณิตศาสตร์ประเภทสร้างทฤษฎีหรือคำอธิบายทางคณติ ศาสตร์ เรื่อง มหัศจรรย์พื้นที่สี่เหลี่ยมกับการหาค่ากำลังสองเล่มนี้ สำเร็จลุล่วงไปด้วยดีโดยได้รับความ อนุเคราะห์อย่างดีจาก คุณครูขวัญใจ จันทนะชาติ คุณครูบดี ทะนอก ซึ่งได้กรุณาให้คำปรึกษา แนะนำแนวคดิ วิธีการและสละเวลาแกไ้ ขขอ้ บกพร่องของเน้ือหาด้วยความเอาใจใส่อย่างดยี ง่ิ คณะ ผ้ศู ึกษาขอกราบขอบพระคุณเป็นอย่างสูง ณ โอกาสนี้ ขอขอบคุณคณะผู้บริหารโรงเรียนน้ำปลีกศึกษาทุกท่าน และคณะครูโรงเรียน นำ้ ปลกี ศึกษาทุกคนทีใ่ หก้ ารสนบั สนุนการดำเนนิ การศึกษาโครงงานเลม่ น้ีจนสำเร็จลลุ ่วงด้วยดี คุณค่าและสารัตถประโยชน์ อันพึงมาจากโครงงานคณิตศาสตรป์ ระเภทสร้างทฤษฎีหรือ คำอธิบายทางคณติ ศาสตร์ เร่อื งมหัศจรรย์พ้ืนท่ีสี่เหล่ียมกับการหาค่ากำลังสอง ในครั้งน้ี คณะผู้ ศึกษาขอน้อมเป็นเครื่องบูชาพระคุณบิดา มารดา ตลอดจนครูบาอาจารย์ทุกท่าน ที่ประสิทธิ์ ประสาทวิชาความรแู้ ก่คณะผูศ้ ึกษาตลอดมา คณะผจู้ ัดทำ

ค สารบญั เร่ือง หนา้ บทคดั ย่อ............................................................................................................................ก กิตติกรรมประกาศ............................................................................................................. ข สารบัญตาราง……………………………………………………………………………………………………….ง สารบัญรปู ภาพ..................................................................................................................จ บทที่ 1 บทนำ……………………………………………………………………………………………………….1 ความเปน็ มาและความสำคญั ………………………………………………………………………1 วัตถุประสงค์ของการศึกษา...................................................................................1 สมมติฐานของการศึกษา....................................................................................... 2 ขอบเขตการศึกษา................................................................................................2 ผลท่คี าดว่าจะได้รบั ..............................................................................................2 นิยามศพั ท์เฉพาะ..................................................................................................2 บทที่ 2 เอกสารทีเ่ ก่ยี วข้อง……………………………………………………………………………………..3 จำนวนจรงิ (การแยกตวั ประกอบพหนุ าม)……………………………………………………3 พื้นที่และสตู รการหาพนื้ ท่รี ูปเรขาคณติ ตา่ งๆ………………………………………………..5 โปรแกรม GSPโปรแกรม Geometer’s Sketchpad (GSP)………………………..…6 บทที่ 3 วธิ กี ารดำเนินการ……………………………………………………………………………………….7 ปฏทิ ินการปฏิบัติงาน…………………………………………………………………………………7 ขัน้ ตอนการดำเนนิ งาน……………………………………………………………………………….8 ขั้นตอนการสร้างรูปสเ่ี หล่ียมจัตรุ สั ………………………………………………………………9 บทท่ี 4 ผลการดำเนินการ..................................................................................................13 บทที่ 5 สรปุ อภิปรายผล และข้อเสนอแนะ.......................................................................17 สรุปและอภิปรายผลการศึกษา.............................................................................17 ขอ้ เสนอแนะ.........................................................................................................18 บรรณานกุ รม......................................................................................................................19 ภาคผนวก……………………………………………………………………………………………………………..20 ภาคผนวก ก การนำความรู้ไปประยุกตใ์ ช้…………………………………………………….21 ภาคผนวก ข ประมวลภาพการดำเนินการศึกษา………………………………….……….23

ง สารบัญตาราง ตาราง หน้า 1 ปฏทิ นิ การปฏิบัติงาน…………………………………………………………………………………….…7

จ สารบญั รปู ภาพ รูปที่ หนา้ 1 แสดงพื้นที่รปู ส่เี หล่ียมจตั ุรัสทม่ี ีความยาวด้าน a + b…………………………………….………..9 2 แสดงพนื้ ท่ีรูปสเ่ี หลี่ยมจัตุรัสทมี่ ีความยาวดา้ น a + b + c…………………………………….…9 3 แสดงพืน้ ทรี่ ปู ส่ีเหลี่ยมจตั ุรสั ทีม่ ีความยาวดา้ น a + b + c + d………………………………..10 4 แสดงพื้นทีร่ ูปส่ีเหลย่ี มจตั ุรัสท่มี คี วามยาวด้าน a + b + c + d + e……………….………..10 5 แสดงพื้นทส่ี ว่ นทเี่ พ่ิมมาเมื่อเพิ่มความยาวดา้ นจาก a + b มาเป็น a + b + c…………..11 6 แสดงพนื้ ท่ีสว่ นทีเ่ พิม่ มาเมื่อเพิ่มความยาวด้านจาก a + b + c มาเปน็ a + b + c + d………………………………………………………………………………………..….11 7 แสดงพ้ืนทสี่ ว่ นท่ีเพม่ิ มาเมื่อเพิ่มความยาวด้านจาก a + b + c + d มาเป็น a + b + c + d + e……………………………………………………………………………….…..12 8 การเตรียมสือ่ ประกอบนำเสนอโครงงาน........................................................................24 9 การเตรียมสอ่ื ประกอบนำเสนอโครงงาน……………………………………………………………….24 10 การอธบิ ายด้วยโปรแกรม GSP…………………………………………………………………….…….24 11 การซอ้ มการนำเสนอโครงงาน…………………………………………………………………..……….24

บทที่ 1 บทนำ ความเปน็ มาและความสำคญั คณติ ศาสตร์มีบทบาทสำคญั ยิ่งต่อการพฒั นาความคิดมนุษย์ ทำให้มนษุ ย์มคี วามคดิ สรา้ งสรรค์ คิดอยา่ งมเี หตผุ ล เปน็ ระบบ มีแบบแผน สามารถวเิ คราะห์ปัญหาหรือสถานการณไ์ ด้ อยา่ งถี่ถว้ นรอบคอบ ชว่ ยใหค้ าดการณ์ วางแผน ตดั สินใจ แกป้ ญั หาและนำไปใชใ้ นชวี ิตประจำวนั ไดอ้ ยา่ งถกู ต้องเหมาะสม นอกจากนค้ี ณิตศาสตร์ยังเปน็ เครื่องมือในการศกึ ษาทางดา้ น วิทยาศาสตร์ เทคโนโลยีและศาสตร์อื่น ๆ คณติ ศาสตรจ์ งึ มปี ระโยชน์ต่อการดำเนินชีวติ ชว่ ย พฒั นาคุณภาพชวี ติ ใหด้ ขี น้ึ และสามารถอยรู่ ว่ มกบั ผู้อน่ื ได้อย่างมีความสุข จากการจัดกจิ กรรมชุมนมุ สอนเสรมิ คณิตศาสตร์ ระดับชน้ั มธั ยมศึกษาปีที่ 4 เรื่องจำนวน จริง ซ่ึงมีเน้ือหาบางส่วนเก่ียวกับการหาค่ากำลังสอง มีนักเรียนท่ียังไม่เข้าใจในการกระจาย แบบการคูณพหุนาม ทำให้คณะผู้จัดทำเกิดข้อสงสัยว่าจะมีวิธีการอย่างไรในการสร้างความ เข้าใจเร่ืองเหล่าน้ีให้แก่นักเรียนในชุมนุมคณิตศาสตร์ เก่ียวกบั การหาค่ากำลังสอง และวิธีการ อธิบายสูตรกำลังสองดว้ ยพน้ื ท่ีรูปส่ีเหลี่ยมจัตุรัส จากการศึกษาเพ่ือจะอธิบายว่า (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 โดยใชร้ ูปส่ีเหลีย่ ม จตั รุ สั ท่มี ีความยาวด้านเป็น a + b ซง่ึ คณะผ้จู ัดทำมแี นวคิดที่จะอธิบายต่อไปว่าถา้ เรากระจาย (a + b + c)2, (a + b + c + d)2, (a + b + c + d + e)2, … , (a + b + c + d + ⋯ + k������)2 จะมสี ูตรในการกระจายอยา่ งไร และสามารถอธบิ ายดว้ ยพ้ืนทีร่ ปู สเี่ หล่ียมจตั รุ สั ทม่ี คี วาม ยาวดา้ นตามท่ีกำหนดได้อยา่ งไร จากปัญหาดังกลา่ วซ่ึงเป็นเหตุผลสำคัญท่ีทำใหผ้ ู้จัดทำซึ่งมีความสนใจในการเรียน คณติ ศาสตร์เป็นพิเศษ พยายามท่ีจะศึกษาคน้ ควา้ เพื่อหาข้อสรปุ หรอื สตู รในการหาคา่ กำลังสอง ดงั กลา่ ว จึงจัดทำโครงงานเร่ืองมหัศจรรย์พ้ืนท่ีส่ีเหล่ียมกับการหาค่ากำลังสอง โดยการใช้การ กระจายแบบการคูณพหุนาม และพื้นท่ีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส เพื่อสร้างสูตรดงั กล่าวและสง่ เสรมิ ให้ ใช้ความรู้ทางคณิตศาสตรส์ ำหรบั เป็นพนื้ ฐานในการแสวงหาความรใู้ นข้นั สงู ข้ึนต่อไป วตั ถุประสงค์ของการศึกษา 1. เพ่ือสร้างสตู รและอธบิ ายสูตรการกระจาย (a + b + c)2, (a + b + c + d)2, (a + b + c + d + e)2, … , (a + b + c + d + ⋯ + k������)2 โดยใช้พ้นื ทร่ี ูปสเ่ี หลีย่ มจตั รุ สั ทมี่ คี วามยาวด้านเปน็ a + b + c, a + b + c + d, a + b + c + d + e, … , a + b + c + d + ⋯ + k������ ตามลำดับ

2 สมมตฐิ านของการศึกษา 1. สามารถสร้างสตู รและอธิบายสตู รการกระจาย (a + b + c)2, (a + b + c + d)2, (a + b + c + d + e)2, … , (a + b + c + d + ⋯ + k������)2 โดยใชพ้ ื้นทีร่ ปู ส่เี หลย่ี มจตั ุรัส ที่มคี วามยาวด้านเป็น a + b + c, a + b + c + d, a + b + c + d + e, … , a + b + c + d + ⋯ + k������ ตามลำดับ ได้ ขอบเขตการศึกษา 1. จำนวนจริง (การแยกตัวประกอบพหุนาม) 2. พ้ืนท่แี ละสตู รการหาพ้ืนท่รี ูปเรขาคณิตต่างๆ ผลทีค่ าดวา่ จะได้รับ 1. สรา้ งสตู รและอธิบายสูตรการกระจาย (a + b + c)2, (a + b + c + d)2, (a + b + c + d + e)2, … , (a + b + c + d + ⋯ + k������)2 โดยใช้พืน้ ทีร่ ูปสี่เหล่ียมจตั ุรัสท่ีมคี วาม ยาวดา้ นเปน็ a + b + c, a + b + c + d, a + b + c + d + e, … , a + b + c + d + ⋯ + k������ ได้ 2. แสวงหาความร้ไู ดอ้ ย่างเป็นระบบโดยใช้กระบวนการทางคณติ ศาสตร์ 3. นำความรทู้ างคณิตศาสตร์ไดศ้ ึกษาในชัน้ เรยี นมาปรบั ใช้และสร้างสรรค์ให้เกิดการ พฒั นาและต่อยอดทางความคิดอยา่ งมีเหตุผล 4. ใช้เวลาว่างให้ค้มุ คา่ และเกิดประโยชน์ นยิ ามศพั ท์เฉพาะ 1. การหาคา่ กำลงั สอง หมายถึง การหาค่าของกำลงั สองของจำนวนหรอื ของ พหนุ าม เชน่ (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. พนื้ ท่ขี องรปู สเ่ี หลย่ี มจัตุรัส มคี า่ เท่ากบั ความยาวของด้านยกกำลังสอง 3. พน้ื ท่ขี องรูปสเี่ หลี่ยมผนื ผ้า มีค่าเท่ากบั ความกวา้ งคูณความยาว

บทที่ 2 เอกสารท่ีเกี่ยวขอ้ ง ในการดำเนนิ การทำโครงงานคณติ ศาสตร์ ประเภทสร้างทฤษฎีหรอื คำอธิบายทาง คณิตศาสตร์ เร่ืองมหัศจรรย์พ้ืนท่ีส่ีเหล่ียมกับการหาค่ากำลังสอง คณะผูจ้ ดั ทำได้ศึกษาคน้ ควา้ ข้อมูลตา่ งๆ เพื่อนำมาประกอบการสร้างทฤษฎีหรือคำอธิบายทางคณติ ศาสตรด์ ังน้ี 1. จำนวนจรงิ (การแยกตัวประกอบพหุนาม) 2. พื้นทแ่ี ละสตู รการหาพน้ื ท่ีรูปเรขาคณติ ต่างๆ 3. โปรแกรม Geometer’s Sketchpad (GSP) จำนวนจรงิ (การแยกตวั ประกอบพหุนาม) 1. การแยกตัวประกอบของพหุนาม การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามน้ันในรูปของการคูณของ พหุนามท่ีมดี กี รีต่ำกว่าพหุนามดกี รสี องตัวแปรเดยี ว คือ พหุนามท่เี ขยี นได้ในรปู ax2 + bx +c เมอ่ื a, b, c เปน็ ค่าคงตวั ท่ีa 0 และ x เป็นตวั แปร 1.1 การแยกตัวประกอบของพหุนามดกี รสี อง x2+ bx + c เมอื่ b และ c เป็นจำนวนเตม็ ทำไดเ้ มอ่ื สามารถหาจำนวนเตม็ สองจำนวนที่คูณกนั ได้ c และบวกกนั ได้ b ให้ d และ e แทนจำนวนเต็มสองจำนวน ดงั กลา่ ว ดงั นัน้ de = c d+e=b ฉะน้ัน x2 + bx + c = x2 + (d + e)x + de = ( x2 + dx ) + ( ex + de ) = ( x + d )x + ( x + d )e =(x+d)(x+e) ดังนน้ั x2 + bx +c แยกตัวประกอบไดเ้ ป็น ( x + d ) ( x + e) ตัวอยา่ ง (6x-5) (x+1) = (6x-5) (x) + (6x-5) (1) = 6x2 – 5x + 6x – 5 = 6x2 + (5x+6x) – 5 = 6x2 -5x +6x -5 = 6x2 + x – 5

4 จากตวั อย่างขา้ งตน้ อาจแสดงวธิ ีหาพหนุ ามทีเ่ ป็นผลลัพธไ์ ด้ดงั น้ี 1. (6x – 5)(x + 1) = 6x2 - พจนห์ น้าของพหุนามวงเลบ็ แรก x พจนห์ น้าของพหุนามวงเลบ็ หลัง = พจนห์ นา้ ของพหุนามของผลลัพธ์ 2. (6x - 5)(x + 1) = -5 -พจนห์ ลังของพหนุ ามวงเลบ็ แรก x พจนห์ ลังของพหุนามวงเลบ็ หลงั = พจน์หลงั ของพหนุ ามของผลลัพธ์ 3. (6x – 5)(x + 1) = 6x + (-5x ) - พจน์หนา้ ของพหนุ ามวงเล็บแรก x พจนห์ ลงั ของพหุนามวงเลบ็ หลงั + พจน์หนา้ ของพหุนามวงเลบ็ แรก x พจน์หนา้ ของพหนุ ามวงเลบ็ หลัง 1.2 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรสี องทีเ่ ปน็ กำลังสองสมบรู ณ์ กำลังสองสมบูรณ์ คือ พหนุ ามดกี รสี องท่ีแยกตวั ประกอบแลว้ ได้ตวั ประกอบเป็นพหนุ ามดีกรีหนง่ึ ซำ้ กัน ดงั นั้น พหนุ ามดีกรสี องท่ีเปน็ กำลังสองสมบูรณ์แยกตวั ประกอบไดด้ ังน้ี x2 + 2ax + a2 = ( x + a )2 x2 – 2ax + a2 = ( x – a )2 รปู ทั่วไปของพหุนามทเี่ ป็นกำลงั สองสมบูรณ์คือ a2 +2ab + b2 และ a2 -2ab +b2 เมอ่ื a และ b เปน็ พหุนาม แยกตัวประกอบไดด้ งั นี้ สูตร a2 +2ab + b2 = ( a + b )2 และ a2 -2ab +b2 = (a-b)2 1.3 การแยกตวั ประกอบของพหุนามดีกรีสองท่ีเป็นผลต่างของกำลังสอง พหนุ ามดีกรีสองท่ีสามารถเขยี นได้ในรูป x2 – a2 เมือ่ a เปน็ จำนวนจริงบวก เรยี กว่า ผลต่างของกำลงั สอง จาก x2 – a2 สามารถแยกตัวประกอบได้ดังนี้ x2 – a2 = ( x + a )( x – a ) สตู ร x2 – a2 = ( x + a ) (x - a)

5 1.4 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรสี องโดยวิธีทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง x2 + bx + c โดยวิธีทำเปน็ กำลัง สองสมบูรณ์ สรปุ ได้คือ 1. จัดพหนุ ามท่ีกำหนดให้อย่ใู นรปู x2 + 2px +c หรอื x2 -2px +c เม่ือ p เปน็ จำนวนจรงิ บวก 2. ทำบางสว่ นของพหุนามท่ีจัดไวใ้ นข้อ 1 ให้อยู่ในรปู กำลังสองสมบูรณ์ โดยนำกำลงั สองของ p บวกเขา้ และลบออกดังน้ี x2 + 2px +c = ( x2 + 2px + p2 ) – p2 + c = ( x + p)2 – ( p2 - c ) x2 – 2px + c = ( x2 - 2px + p2 ) – p2 + c = ( x - p)2 – ( p2 - c ) 3. ถา้ p2 – c = d2 เมอ่ื d เป็นจำนวนจริงบวกจากข้อ 2 จะได้ x2 + 2px + c = ( x + p)2 – d2 x2 - 2px + c = ( x - p)2 – d2 4. แยกตัวประกอบของ ( x + p )2 – d2 หรอื ( x – p )2 – d2 โดยใช้สูตร การแยกตัวประกอบของผลต่างของกำลงั สอง 1.5 การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดีกรีสูงกวา่ สองท่ีมีสัมประสิทธ์เิ ป็นจำนวน เต็ม พหุนามท่ีอย่ใู นรูป A3 + B3 และ A3 - B3 วา่ ผลบวกของกำลงั สาม ตามลำดับ สตู ร A3+ B3 = ( A + B )( A2 –AB + B2) A3 - B3 = ( A - B )( A2 +AB + B2) พนื้ ทแี่ ละสูตรการหาพ้นื ที่รูปเรขาคณติ ต่างๆ พื้นท่ี คือ คือปริมาณท่แี สดงถึงขอบเขตเน้ือที่ของพื้นผิวหรอื รูปรา่ งสองมติ ิ หรือแผน่ บางเชงิ ระนาบ (planar lamina) พนื้ ท่ีสามารถเขา้ ใจได้ว่าเปน็ จำนวนวัสดทุ ี่หนาขนาดหนง่ึ เทา่ ที่ จำเปน็ ท่ีจะประกอบขึ้นเป็นรูปร่าง หรอื ปรมิ าณสีทาเทา่ ทจ่ี ำเปน็ ที่จะทาผวิ หน้าในครัง้ เดียว พนื้ ท่ี เปน็ มโนทัศนใ์ นสองมิติ ที่คล้ายคลึงกับความยาวของเส้นโค้งในหนงึ่ มติ ิ หรอื ปริมาตรของทรงตนั ในสามมติ ิพ้นื ทข่ี องรูปร่างสามารถวดั ไดโ้ ดยการเปรยี บเทียบกับ รปู ส่ีเหล่ยี มจัตุรสั ท่มี ีขนาด ตายตัวขนาดหนึ่งหน่วยมาตรฐานของพืน้ ท่ใี นหน่วยเอสไอคือ ตารางเมตร (m2) ซึง่ เปน็ พ้ืนที่ของ รปู สเ่ี หลีย่ มจัตรุ ัสทีม่ ีดา้ นยาวดา้ นละหน่ึงเมตร รูปร่างท่ีมีพ้ืนท่ีเท่ากบั สามตารางเมตรเหมือนกบั พ้ืนท่ีของรูปส่ีเหลย่ี มจตั ุรัสเช่นนนั้ สามรปู ในทางคณิตศาสตร์ หนว่ ยตารางหนว่ ยถกู นยิ ามขน้ึ ให้มี พ้นื ทเ่ี ทา่ กบั \"หนงึ่ \" และพ้ืนที่ของรูปร่างหรือพน้ื ผวิ อ่ืน ๆ ก็จะเป็นจำนวนจรงิ ไรม้ ิตจิ ำนวนหนงึ่ สตู รคำนวณหาพ้ืนท่ี ของรูปร่างพ้นื ฐานหลายสตู รเปน็ ทรี่ จู้ ักโดยทว่ั ไป เช่น รูปสามเหลย่ี ม รปู สีเ่ หลยี่ มมุมฉาก รูปวงกลม เป็นตน้ จากการใช้สูตรเหล่าน้ี พื้นท่ีของรปู หลายเหลี่ยมใด ๆ สามารถ

6 หาได้จากการแบ่งรปู หลายเหลี่ยมเปน็ รูปสามเหลี่ยม ส่วนรูปรา่ ง ที่มขี อบเขตเป็นเส้นโค้งมักจะ คำนวณพ้นื ท่ไี ดด้ ว้ ยแคลคูลัส (calculus) สำหรับรูปรา่ ง ทรงตันอย่างเช่นทรงกลม ทรงกรวย หรือทรงกระบอก พ้ืนท่ีบนผิวรอบนอกของรูปทรงเหล่าน้ีเรียกว่า พื้นที่ผิวสตู รคำนวณพื้นที่ ผวิ ของรูปทรงพ้นื ฐานต่าง ๆ สามารถหาได้ตั้งแต่ยุคกรีกโบราณ แตก่ ารหาพ้ืนทผี่ วิ ของรูปทรงที่ ซับซอ้ นยิ่งขึน้ ต้องใช้แคลคลู ัสหลายตัวแปร (multivariable calculus) สตู รการหาพน้ื ทร่ี ูปเรขาคณติ ต่างๆ 1. สตู รการหาพนื้ ทส่ี ่ีเหลย่ี มจตั ุรัส = ด้าน x ด้าน หรอื 1/2 x ผลคณู ของเสน้ ทแยงมุม 2. สูตรการหาพื้นที่สเ่ี หลยี่ มผืนผ้า = กว้าง x ยาว 3. สตู รการหาพ้นื ท่ีสามเหล่ียม = 1/2 x ฐาน x สูง 4. สตู รการหาพน้ื ทส่ี ีเ่ หลี่ยมขนมเปียกปนู = ฐาน x สงู หรอื 1/2xผลคณู ของเส้นทแยงมุม 5. สตู รการหาพื้นทส่ี ี่เหลย่ี มด้านขนาน = ฐาน x สงู 6. สตู รการหาพ้ืนทส่ี เ่ี หลีย่ มรูปว่าว = 1/2 x ผลคูณของเส้นทแยงมมุ 7. สูตรการหาพื้นทส่ี ี่เหลี่ยมด้านไมเ่ ท่า = 1/2 x เสน้ ทแยงมุม x ผลบวกของเส้นกิ่ง 8. สตู รการหาพื้นที่วงกลม = π x รศั ม2ี สูตรการหาพน้ื ท่ี ทีน่ ำมาใชใ้ นการจดั ทำโครงงานคือ 1. สูตรการหาพืน้ ท่ีรปู ส่เี หล่ียมจัตรุ สั คือ ด้าน x ดา้ น 2. สูตรการหาพื้นทรี่ ปู สเ่ี หลย่ี มผนื ผา้ คือ กวา้ ง x ยาว โปรแกรม Geometer’s Sketchpad (GSP) เปน็ โปรแกรมคณิตศาสตร์ทผ่ี ลิตจากประเทศสหรัฐอเมริกา เปน็ โปรแกรมทีม่ ี ประสิทธิภาพโปรแกรมหนึ่ง สามารถนำไปใช้ในวิชาคณิตศาสตรไ์ ดห้ ลายวิชา เชน่ วชิ าเรขาคณิต พีชคณติ ตรโี กณมติ ิ และแคลคลู สั โปรแกรม GSP เปน็ สือ่ เทคโนโลยที ี่ช่วยใหผ้ ูเ้ รียน มีโอกาสเรยี น คณติ ศาสตร์โดยการสรา้ งองค์ความรดู้ ว้ ยตนเอง (Constructivist Approach) และเป็นการเรยี น โดยเน้นผูเ้ รียนเป็นสำคัญ (Learner-Centered Learning) โปรแกรม GSP เป็นส่อื ทีช่ ่วยให้ ผู้เรยี นพฒั นาทักษะของการนึกภาพ (Visualization) ทักษะของกระบวนการแกป้ ญั หา (Problem Solving Skills) นอกจากน้ี การใชโ้ ปรแกรม GSP ในการเรยี นการสอนคณติ ศาสตร์ เปน็ การบรู ณาการสาระท่ีเกี่ยวข้องกบั ความรูค้ ณิตศาสตร์ และทักษะดา้ นเทคโนโลยเี ขา้ ด้วยกนั ทำให้ผเู้ รยี นมโี อกาสพัฒนาพหุปัญญาอันไดแ้ ก่ ปญั ญาทางภาษา ด้านตรรกศาสตร์ ดา้ นมติ ิ สัมพันธ์ และด้านศิลปะ ในการทำโครงงานครั้งนใ้ี ช้โปรแกรม GSP ในการสรา้ งรูปส่เี หลยี่ มเพอื่ อธบิ ายการ กระจายในการหาค่ากำลงั สอง

บทที่ 3 วธิ ีการดำเนินการ การศกึ ษาค้นคว้าและการดำเนินการ การทำโครงงานคณิตศาสตร์ ประเภทสรา้ ง ทฤษฎหี รอื คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ เรือ่ ง มหัศจรรย์พ้ืนท่ีส่ีเหล่ียมกับการหาค่ากำลังสอง คณะผจู้ ัดทำขอนำเสนอวธิ กี ารดำเนินงานดังน้ี 1. ปฎทิ นิ การปฏิบัติงาน 2. ขัน้ ตอนการดำเนินงาน 3. รปู สเี่ หล่ยี มจตั ุรัสที่มคี วามยาวดา้ นเป็น a + b + c, a + b + c + d, a + b + c + d + e, … , a + b + c + d + ⋯ + k������ ธิบายและให้เหตผุ ลประกอบเพื่อหาขอ้ สรุป ปฎิทนิ การปฎิบัตงิ าน ตารางที่ 1 ปฏทิ ินการปฏบิ ัติงาน ท่ี รายการ ระยะเวลา ผู้รบั ผิดชอบ 1 หาหัวขอ้ ที่สนใจจะศึกษาคน้ ควา้ 19-20 ส.ค.62 คณะผจู้ ดั ทำ 2 ศกึ ษาวธิ ีการทำโครงงานคณติ ศาสตร์ 21-23 ส.ค.62 คณะผู้จดั ทำ 3 ประชุมวางแผนการจัดทำโครงงาน 26-28 ส.ค.62 คณะผจู้ ัดทำ 4 เขียนเค้าโครงของโครงงาน 9-10 ก.ย.62 คณะผจู้ ดั ทำ 5 แบ่งหน้าทีร่ บั ผดิ ชอบ 11-12 ก.ย.62 คณะผู้จัดทำ 6 วางแผนดำเนินงาน 16-17 ก.ย.62 คณะผจู้ ดั ทำ 7 ศึกษาการคูณพหนุ ามและการหาพนื้ ท่ีรปู ส่เี หลี่ยมจัตรุ สั และ 18-19 ก.ย.62 คณะผู้จดั ทำ สเ่ี หลีย่ มผนื ผ้า และใช้ทฤษฎีบททีเ่ ก่ียวข้องเพอ่ื หาข้อสรปุ การศึกษาค้นควา้ 8 ศึกษาเปรียบเทยี บการคณู พหุนามกับพน้ื ทรี่ ูปส่เี หล่ียมจตั รุ สั ท่ี 23-25 ก.ย. 62 คณะผูจ้ ดั ทำ มีความยาวด้านตามท่ีกำหนด 9 นำเสนอครทู ปี่ รึกษา ครั้งที่ 1 26 ก.ย.62 ครทู ่ปี รึกษา ตารางที่ 1 (ต่อ)

8 ที่ รายการ ระยะเวลา ผู้รับผดิ ชอบ 10 แก้ไขปรบั ปรุง ครัง้ ท่ี 1 27 ก.ย.62 คณะผู้จดั ทำ 11 เขียนรายงานโครงงานคณติ ศาสตร์ 28 ก.ย.62 คณะผจู้ ดั ทำ 12 นำเสนอครทู ่ปี รึกษา คร้งั ที่ 2 29 ก.ย.62 ครูท่ีปรกึ ษา 13 แก้ไขปรับปรงุ ครง้ั ที่ 2 30 ก.ย.62 คณะผจู้ ัดทำ 14 ส่งรายงานโครงงานคณิตศาสตร์ทเี่ สร็จสมบรู ณ์ 4 ต.ค.62 คณะผู้จดั ทำ 15 นำเสนอโครงงาน หน้าช้ันเรยี น 16 ต.ค.62 คณะผู้จดั ทำ ข้นั ตอนการดำเนินงาน 1. คณะผูจ้ ัดทำโครงงานประชมุ เพือ่ ปรึกษาและวางแผนเพ่ือทำโครงงาน (ตัวรา่ งขอ บทคัดย่อ) เสนอ ต่อครทู ี่ปรึกษาโครงงาน เพ่ือตรวจสอบความถกู ต้องของขอ้ สรปุ ทีไ่ ด้ 2. คณะทำงานเก็บรวบรวมข้อมูลที่เกีย่ วข้องจากแหล่งขอ้ มูลตา่ งๆ เช่น หอ้ งสมุด วารสาร สื่อส่งิ พมิ พร์ วมท้งั ข้อมลู ทางอินเตอร์เน็ต 3. กำหนดแนวทางการดำเนนิ งานและวางแผนการทำงานเพือ่ หาขอ้ สรุปที่ได้ 4. คณะทำงานประชมุ เพื่อตรวจสอบความถูกตอ้ งของข้อมูลทีเ่ ก็บรวบรวมได้ มา เรียงลำดบั ความสำคญั จำแนกและวิเคราะหผ์ ลการศึกษา 5. คณะทำงานจดั พมิ พ์ตวั ร่างโครงงานและส่ือประกอบต่าง ๆ นำเสนอครทู ปี่ รึกษา โครงงานเพื่อตรวจสอบความถูกต้อง 6. คณะทำงานนำเสนอข้อสรปุ ทศี่ ึกษาค้นคว้าพร้อมนำเสนอหนา้ ชั้นเรียน 7. คณะทำงานทำรปู เล่มโครงงานส่งครูท่ีปรึกษาโครงงานเพื่อเปน็ ตัวอย่างของการศึกษา ตอ่ ไป รปู สเี่ หล่ียมจตั ุรสั ที่มคี วามยาวด้านเป็น ������ + ������ + ������, ������ + ������ + ������ + ������, ������ + ������ + ������ + ������ + ������, … , ������ + ������ + ������ + ������ + ⋯ + ������������ อธิบายและใหเ้ หตผุ ลประกอบเพอ่ื หาข้อสรปุ 3.1 รปู สเ่ี หลย่ี มจัตุรสั ทมี่ ีความยาวด้าน a + b ab a a2 ab a b ab b2 b ab รูปท่ี 1 แสดงพ้ืนท่รี ูปสี่เหลย่ี มจตั รุ สั ทมี่ ีความยาวด้าน a + b พ้ืนที่ = (a + b)(a + b) = (a + b)2 = a2 + 2ab + b2

9 3.2 รปู สีเ่ หล่ียมจตั ุรสั ทม่ี คี วามยาวดา้ น a + b + c ab c a a2 ab ac a b b ab b2 bc c ac bc c2 c ab c รูปท่ี 2 แสดงพนื้ ทรี่ ูปส่ีเหลย่ี มจตั รุ ัสทม่ี คี วามยาวด้าน a + b + c พื้นที่ = (a + b + c)(a + b + c) = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 3.3 รูปส่เี หลีย่ มจัตรุ สั ที่มคี วามยาวด้าน a + b + c + d d ab c a a2 ab ac ad a b ab b2 bc bd b c ac bc c2 cd c d ad bd cd d2 d ab c d รปู ท่ี 3 แสดงพน้ื ท่รี ูปสเี่ หลยี่ มจัตรุ สั ทมี่ ีความยาวดา้ น a + b + c + d พืน้ ที่ = (a + b + c + d)(a + b + c + d) = (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd

10 3.4 รูปสีเ่ หล่ียมจัตุรสั ท่ีมีความยาวด้าน a + b + c + d + e a b c d e a a2 ab ac ad ae a b ab b2 bc bd be b c ac bc c2 cd ce c d ad bd cd d2 de d e ae be ce de e2 e ab c d e รูปที่ 4 แสดงพ้นื ทีร่ ูปส่ีเหลี่ยมจตั ุรสั ท่มี ีความยาวด้าน a + b + c + d + e พ้ืนที่ = (a + b + c + d)(a + b + c + d) = (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2+e2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2ae + 2bc + 2bd + 2be + 2cd + 2ce + 2de 3.5 รูปส่เี หลยี่ มจัตุรสั ทมี่ ีความยาวด้าน a + b + c + d + e + ⋯ + k������ จากการพจิ ารณาพน้ื ท่ีรูปส่ีเหลยี่ มจัตุรสั ที่มีความยาวด้านเป็น a + b, a + b + c, a + b + c + d และ a + b + c + d + e ตามลำดบั จะเหน็ ว่า มพี น้ื ท่ี สว่ นที่เพ่ิมมา ดังน้ี จาก ความยาวดา้ น a + b มาเป็น a + b + c จะสังเกตเห็นว่าพ้ืนทีเ่ พ่ิมข้นึ เปน็ บริเวณสเี หลือง

11 a b c a a2 ab ac a b ab b2 bc b c ac bc c2 c ab c รูปที่ 5 แสดงพน้ื ที่สว่ นทีเ่ พม่ิ มาเมื่อเพม่ิ ความยาวด้านจาก a + b มาเปน็ a + b + c จากรปู ที่ 5 จะไดพ้ ืน้ ที่สว่ นทีเ่ พมิ่ มา คือ 2ac + 2bc + c2 จาก ความยาวดา้ น a + b + C มาเป็น a + b + c + d จะสังเกตเหน็ ว่าพ้ืนที่ เพิม่ ข้ึนเปน็ บริเวณสเี หลอื ง c d ab a a2 ab ac ad a b ab b2 bc bd b c ac bc c2 cd c d ad bd cd d2 d ab c d รปู ท่ี 6 แสดงพื้นที่ส่วนท่เี พ่มิ มาเมื่อเพิม่ ความยาวด้านจาก a + b + c มาเปน็ a + b + c + d จากรูปที่ 6 จะได้พ้ืนทส่ี ่วนทเี่ พ่มิ มา คอื 2ad + 2bd + 2cd + d2 จาก ความยาวดา้ น a + b + c + d มาเปน็ a + b + c + d + e จะสังเกตเห็น ว่าพน้ื ที่เพิ่มขึ้นเป็นบริเวณสีเหลือง

a b c d 12 a a2 ab ac ad bd e b ab b2 bc ae a cd be b c ac bc c2 ce c d ad bd cd d2 de d e ae be ce de e2 e ab c d e รปู ท่ี 7 แสดงพืน้ ที่ส่วนทเี่ พิม่ มาเมอ่ื เพิ่มความยาวด้านจาก a + b + c + d มาเปน็ a + b + c + d + e จากรูปท่ี 7 จะได้พ้ืนที่ส่วนทเ่ี พ่ิมมา คือ 2ae + 2be + 2ce + 2de + e2 จากพจิ ารณาจะพบว่า พื้นท่ีที่เพมิ่ มาเกิดจากความยาวของดา้ นของรปู สี่เหลย่ี ม จตั ุรสั คณู กับความยาวของดา้ นที่เพม่ิ ขึน้ มา ดังน้ัน พน้ื ทขี่ องรปู สีเ่ หลยี่ มจัตรุ ัสท่ีมคี วามยาวดา้ นเปน็ a + b + c + d + e + ⋯ + k������ จะได้ พนื้ ท่ี = (a + b + c + d + ⋯ + k������)(a + b + c + d + ⋯ + k������) = (a + b + c + d + ⋯ + k������)2 = a2 + b2 + c2 + d2+e2 + ⋯ + k������2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2ae + ⋯ + 2ak������ + 2bc + 2bd + 2be + ⋯ + 2bk������ + 2cd + 2ce + ⋯ + 2ck������ + 2de + ⋯ + 2dk������ + ⋯ + 2k������−1k������

บทท่ี 4 ผลการดำเนินการ การศกึ ษาคน้ ควา้ และการดำเนินการ การทำโครงงานคณติ ศาสตร์ ประเภทสรา้ ง ทฤษฎีหรอื คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ เรือ่ ง มหัศจรรย์พื้นที่สี่เหล่ียมกับการหาค่ากำลังสอง เพื่อ หาสตู รการกระจาย (a + b + c)2, (a + b + c + d)2, (a + b + c + d + e)2, … , (a + b + c + d + ⋯ + k������)2 และอธิบายสตู รด้วยพ้ืนทีส่ ี่เหลยี่ มจัตรุ ัสท่ีมคี วามยาวดา้ นเปน็ a + b + c, a + b + c + d, a + b + c + d + e, … , a + b + c + d + ⋯ + k������ ตามลำดบั ไดผ้ ลดงั น้ี 1. สตู รการกระจาย (a + b + c)2, (a + b + c + d)2, … , (a + b + c + d + ⋯ + k������)2 ไดส้ ูตรการกระจายตามลำดับดงั น้ี 1.1 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = a2 + b2 + c2 + 2a(b + c) + 2bc 1.2 (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd = a2 + b2 + c2 + d2 + 2a(b + c + d) + 2b(c + d) + 2cd 1.3 (a + b + c + d + e)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2ae + 2bc + 2bd + 2be + 2cd + 2ce + 2de = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + 2a(b + c + d + e) + 2b(c + d + e) + 2c(d + e) + 2de ⋮ 1.4 (a + b + c + d + e + ⋯ + k������)2 = a2 + b2 + c2 + d2+e2 + … + k������2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2ae + ⋯ + 2ak������ + 2bc + 2bd + 2be + ⋯ + 2bk������ + 2cd + 2ce + … + 2ck������ + 2de + ⋯ + 2dk������ + ⋯ + 2k������−1k������ = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + ⋯ + k������2 + 2a(b + c + d + ⋯ + k������) + 2b(c + d + e + ⋯ + k������) + 2c(d + e + f + ⋯ + k������) + ⋯ + 2k������−1k������

14 2. อธิบายสตู รการกระจาย (a + b + c)2, (a + b + c + d)2, (a + b + c + d + e)2, … , (a + b + c + d + ⋯ + k������)2 โดยใชพ้ ้ืนที่รปู สเ่ี หลยี่ มจตั ุรสั ที่มีความยาวดา้ นเป็น a + b + c, a + b + c + d, a + b + c + d + e, … , a + b + c + d + ⋯ + k������ ไดด้ ังน้ี 2.1 รูปส่ีเหล่ยี มจตั รุ สั ทม่ี ีความยาวดา้ น a + b + c ab c a a2 ab ac a b ab b2 bc b c ac bc c2 c ab c พื้นที่ = (a + b + c)(a + b + c) = (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = a2 + b2 + c2 + 2a(b + c) + 2bc 2.2 รปู สเ่ี หลี่ยมจัตรุ ัสท่ีมคี วามยาวดา้ น a + b + c + d ab c d a a2 ab ac ad a b ab b2 bc bd b c ac bc c2 cd c d ad bd cd d2 d ab c d พน้ื ท่ี = (a + b + c + d)(a + b + c + d) = (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd = a2 + b2 + c2 + d2 + 2a(b + c + d) + 2b(c + d) + 2cd

15 2.3 รูปสเ่ี หลี่ยมจัตุรสั ทีม่ ีความยาวด้าน a + b + c + d + e ab c d e ae a a2 ab ac ad be a b b ab b2 bc bd ce c c ac bc c2 cd d ad bd cd d2 de d e ae be ce de e2 e ab c d e พื้นที่ = (a + b + c + d + e)(a + b + c + d + e) = (a + b + c + d + e)2 = a2 + b2 + c2 + d2+e2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2ae + 2bc + 2bd + 2be + 2cd + 2ce + 2de = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + 2a(b + c + d + e) + 2b(c + d + e) + 2c(d + e) + 2de ⋮ 2.4 รูปส่เี หลี่ยมจัตุรสั ที่มคี วามยาวดา้ น a + b + c + d + e + ⋯ + k������

16 พนื้ ท่ี = (a + b + c + d + ⋯ + k������)(a + b + c + d + ⋯ + k������) = (a + b + c + d + ⋯ + k������)2 = a2 + b2 + c2 + d2+e2 + ⋯ + k2i + 2ab + 2ac + 2ad + 2ae + ⋯ + 2ak������ + 2bc + 2bd + 2be + ⋯ + 2bk������ + 2cd + 2ce + ⋯ + 2ck������ + 2de + ⋯ + 2dk������ + ⋯ + 2k������−1k������ = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + ⋯ + ki2 + 2a(b + c + d + ⋯ + k������) + 2b(c + d + e + ⋯ + k������) + 2c(d + e + f + ⋯ + k������) + ⋯ + 2k������−1k������

บทท่ี 5 สรุป อภิปรายผล และขอ้ เสนอแนะ การศกึ ษาค้นควา้ และการดำเนินการ การทำโครงงานคณติ ศาสตร์ ประเภทสร้าง ทฤษฎีหรอื คำอธบิ ายทางคณิตศาสตร์ เรอื่ ง มหัศจรรย์พ้ืนท่ีส่ีเหล่ียมกับการหาค่ากำลังสอง ซึ่ง ได้ทำการสร้างสตู รและอธิบายสูตรการกระจาย (a + b + c)2, (a + b + c + d)2, (a + b + c + d + e)2, … , (a + b + c + d + ⋯ + ki)2 โดยใชพ้ ื้นทีร่ ูปส่ีเหลยี่ มจตั รุ ัสทม่ี ีความยาว ด้านเปน็ a + b + c, a + b + c + d, a + b + c + d + e, … , a + b + c + d + ⋯ + ki ตามลำดบั จะสรปุ ผลดงั ต่อไปนี้ 1. สรุปและอภิปรายผลการศึกษา 2. ข้อเสนอแนะ สรปุ และอภิปรายผลการศึกษา การหาสูตรและสูตรท่ัวไปของจำนวนทอี่ ย่ใู นรปู กำลงั สอง (a + b + c)2, (a + b + c + d)2, (a + b + c + d + e)2, … , (a + b + c + d + ⋯ + ki)2 และการอธบิ ายสตู ร ดว้ ยพ้นื ทรี่ ปู สี่เหลี่ยมจัตุรสั ท่ีมีความยาว a + b + c, a + b + c + d, a + b + c + d + e, … , a + b + c + d + ⋯ + ki ตามลำดบั สรปุ ไดว้ ่า ได้สูตรการกระจายดังน้ี (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2a(b + c) + 2bc (a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2a(b + c + d) + 2b(c + d) + 2cd (a + b + c + d + e)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + 2a(b + c + d + e) + 2b(c + d + e) + 2c(d + e) + 2de ⋮ (a + b + c + d + e + ⋯ + k������)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + ⋯ + k������2 + 2a(b + c + d + ⋯ + k������) + 2b(c + d + e + ⋯ + k������) + 2c(d + e + f + ⋯ + k������) + ⋯ + 2k������−1k������ จากการศึกษาจะเหน็ ว่าเราสามารถหาสูตรการกระจายพจน์เหล่าน้ีไดจ้ ากการอธิบาย ดว้ ยพืน้ ทีร่ ปู สเ่ี หล่ียมจัตรุ สั ทม่ี ีความยาวด้านเป็น a + b + c, a + b + c + d, a + b + c + d + e, … , a + b + c + d + ⋯ + k������ ตามลำดับ ขอ้ เสนอแนะ

18 1. ควรมกี ารเผยแพรส่ ตู รการกระจายกำลงั สองดังกล่าวและวิธอี ธบิ ายด้วยพ้นื ท่รี ปู ส่เี หล่ยี มจตั ุรสั ทีห่ าได้ 2. ควรจัดทำโครงงานในลักษณะเดียวกนั เพื่อสรา้ งสตู รทางคณิตศาสตรอ์ ื่นๆ อีก ต่อไป 3. ควรจัดทำโครงงานในเนื้อหาหรอื วิชาอ่ืนๆ ที่เนน้ ทักษะกระบวนการในการ แสวงหาความรู้ด้วยตนเองของนักเรียน

19 บรรณานุกรม กระทรวงศึกษาธิการ. (2540). 101 โครงงานคณิตศาสตร์. กรงุ เทพฯ : โรงพิมพ์ครุ สุ ภาลาดพร้าว สถาบันส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร. (2561). หนังสอื เรียน รายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร์ เล่ม 1 ช้ันมธั ยมศึกษาปีท่ี 4. กรุงเทพฯ : สกสค. ลาดพร้าว.

20 ภาคผนวก

21 ภาคผนวก ก การนำความรู้ไปประยุกตใ์ ช้

22 ตวั อย่างที่ 1 การหาคา่ (27)2 วิธีทำ สามารถหาคา่ ได้โดย (20 + 7)2 = 202 + (2 × 20 × 7) + 72 = 400 + 280 + 49 = 729 ตวั อย่างท่ี 2 การหาคา่ (564)2 วิธีทำ สามารถหาค่าได้โดย (500 + 60 + 4)2 = 5002 + 602 + 42 + (2 × 500(60 + 4)) + (2 × 60 × 4) = 250,000 + 3,600 + 16 + 64,000 + 480 = 318,096 ตัวอย่างที่ 3 การหาค่า (1,235)2 วิธที ำ สามารถหาค่าไดโ้ ดย (1,000 + 200 + 30 + 5)2 = (1,000)2 + 2002 + 302 + 52 + (2 × 1,000(200 + 30 + 5)) +(2 × 200(30 + 5)) + (2 × 30 × 5) = 1,000,000 + 40,000 + 900 + 25 + 470,000 + 14,000 +300 = 1,525,225 ตวั อยา่ งท่ี 4 การหาคา่ (2������ + ������ + ������)2 วธิ ีทำ สามารถหาค่าไดโ้ ดย (2������ + ������ + ������)2 = (2������)2 + ������2 + ������2 + (2 × 2������(������ + ������)) + (2 × ������������) = 4������2 + ������2 + ������2 + 4������������ + 4������������ + 2������������

23 ภาคผนวก ข ประมวลภาพการดำเนนิ การศึกษา

24 รปู ภาพท่ี 8 การเตรียมสื่อประกอบนำเสนอโครงงาน รปู ภาพท่ี 9 การเตรียมสือ่ ประกอบนำเสนอโครงงาน รปู ภาพท่ี 10 การอธิบายดว้ ยโปรแกรม GSP รูปภาพท่ี 11 การซอ้ มการนำเสนอโครงงาน