ตรีโกน งาน

ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ 1. ทบทวนความรเู้ บอื้ งตน้ ถ้าให้ ABC เป็นสามเหลย่ี มที่มีมุม C เปน็ มมุ ฉาก และมี a, b และ c เปน็ ความยาว ของด้านตรงขา้ มมมุ A, B และ C ตามลาดบั B ca A b C อตั ราสว่ นตรโี กณมติ ิ sin = cos = tan = cosec = sec = cot =

2. การวดั มมุ 2.1 การวดั มุมในทศิ ทวนเข็มนาฬิกา 2.2 การวัดมุมในทศิ ตามเข็มนาฬกิ า 3. หนว่ ยของมมุ 3.1 องศา 1 องศา = 60 ลิบดา เขียนดว้ ย 1o=60’ 1 ลบิ ดา = 60 ฟลิ ิปดา เขยี นแทนด้วย 1’=60”

3.2 เรเดยี น เปน็ มุมท่ีจุดศนู ย์กลาง กาหนดวงกลมมีจดุ ศูนยก์ ลางที่ O มรี ศั มี r หน่วย และ รองรับด้วยสว่ นโค้งทย่ี าว a = ความยาวของส่วนโค้งที่รองรบั มุม [เรเดียน] รศั มีของวงกลม = [เรเดยี น] โดยท่วั ๆ ไป การเขียนขนาดมุมเปน็ เรเดยี นมกั จะไมเ่ ขยี นหนว่ ยกากับ การแปลงเรเดยี นใหเ้ ปน็ องศา = 10 1 = 10 = 1 =

4. วงกลมหนง่ึ หนว่ ย มุม 0o 30o 45o 60o 90o sin cos tan cosec sec cot

แบบฝกึ หดั ท1ี่ 1. จงหาพกิ ดั (Coordinate) ของจดุ ตอ่ ไปนี้ 1.1 (- ) 1.2 ( 1 ) 1.3 (- 1 ) 2. จงหา ซงึ่ - เมอ่ื มี โคออร์ดิเนท ดงั น้ี 2.1 (√ - √ ) 2.2 (-1 0) 2.3 (√ 1)

มมุ ทวนเข็มเป็น + ตามเข็มเป็น -

เอกลกั ษณต์ รโี กณ =1 =1 =1 =1 =1 =1 ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ขิ องมมุ ของรูปสามเหลย่ี มมมุ ฉาก Ex. ABC มดี า้ น b ยาว 0√ มุม A กาง 30 และมุม B กาง 60 จงหาดา้ น a และ ด้าน c B ac Cb A

Ex สามเหล่ียมดา้ นเทา่ รปู หนง่ึ แนบในวงกลม ซ่ึงมสี ี่เหลย่ี มจัตุรสั ลอ้ มรอบ ถ้าด้านของสี่เหล่ยี ม จตั ุรัสยาวดา้ นละ 10 น้วิ จงหาพ้ืนทข่ี องสามเหล่ยี มนี้ DPC Q R A B

แบบฝกึ หดั ท2่ี 1. สามเหลยี่ ม ABC รปู หน่ึง กาหนดให้ A=30 , C=90 และดา้ น a = √ จงหามมุ B และด้านของสามเหลย่ี มอีกสองดา้ น 2. ชายคนหน่ึงยนื อยบู่ นหนา้ ผาสูง 100 ฟุต เหน็ กองหนิ สองกองบนพื้นดนิ เบื้องล่างในแนว เดียวกนั ถา้ มุมกดลงของกองหนิ ทัง้ สองเป็น 60 และ 45 ตามลาดบั อยากทราบว่าหินสอง กองนั้นอยู่หา่ งกนั เท่าไร

ตรโี กณมติ แิ ละการประยกุ ต์ ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิของผลบวกและผลตา่ งของจานวนจรงิ หรอื มมุ ให้ เป็นจานวนจริงสองจานวนหรอื มุมสองมมุ จะไดค้ วามสัมพนั ธ์ ต่อไปน้ี Ex 1 จงหาคา่ ของ ( )= ( )= ( )= ( )= , 10 = 10 =

( )= 1 1 ( )= 1 1 ( )= ( )= Ex 3 จงหาคา่ ของ (-1 ) Ex 4 กาหนด = และ = 1 จงหาค่าของ ( - ) 1

การเปลย่ี นฟงั กช์ นั ผลบวกหรอื ผลตา่ งใหเ้ ป็นผลคณู =( )( ) = ( )( ) = ( )( ) = ( )( ) Ex 1 จงหาค่าของ =( ) ( ) =( ) ( ) =( ) ( ) =( ) ( ) 0 - 0 -√ 10

ฟงั กช์ ันตรโี กณมติ ิของจานวนจรงิ หรอื มมุ 2A = ={ 1 1 =1 =1 Ex 1 กาหนด = จงหา

Ex 2 กาหนด = จงหาคา่ ของ ( ) เมื่อ เป็นมมุ แหลม

สตู รเกย่ี วกบั ฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ มิ มุ 3A , = = =1 = 1 = √1 = √1 = √11 = 1 = 1

ฟงั ก์ชนั อนิ เวอรส์ ของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ เราสามารถจากดั โดเมนของฟงั กช์ ันตรโี กณมิตอิ ื่นๆ เพอ่ื ใหเ้ ปน็ ฟงั กช์ นั 1-1 และสามารถหา อนิ เวอร์สฟังก์ชนั ได้ จงึ มกี ารจากัดโดเมนและเรนจ์ ดังตารางตอ่ ไปน้ี ฟงั กช์ นั โดเมน เรนจ์ sin [ ] [ 1 1] cos [0 ] [ 1 1] tan ( ) R cot (0 ) R sec [0 ) ( ] ( 1] [1 ) cosec [ 0) (0 ] ( 1] [1 ) ถ้าให้ = {( ) = [- ]} อินเวอร์สของฟังกช์ นั f คอื -1= {( ) = [- ]} และเขยี น x=siny ในเทอมของ y เปน็ y=arcsinx หรอื y=sin-1x (อ่านว่า อาร์คไซน์เอก็ ซ)์ ในทานองเดยี วกนั arccos แทนอนิ เวอร์สของ cos arctan แทนอนิ เวอร์สของ tan arccot แทนอินเวอร์สของ cot arcsec แทนอินเวอร์สของ sec arccosec แทนอินเวอร์สของ cosec

ตารางแสดงอนิ เวอรส์ ของฟงั กช์ นั ตรโี กณมติ ิ พรอ้ มโดเมนและเรนจ์ ฟังกช์ นั โดเมน เรนจ์ sin [ 1 1] [] cos [ 1 1] [0 ] tan R () cot R (0 ) sec ( 1] [1 ) [0 ) ( ] cosec ( 1] [1 ) [ 0) (0 ] หมายเหตุ อาจเขียนแทนดว้ ย sin-1=x 1. arcsinx arccosx อาจเขยี นแทนดว้ ย .............. arctanx อาจเขียนแทนดว้ ย .............. arccotx อาจเขียนแทนดว้ ย .............. arcsecx อาจเขยี นแทนดว้ ย .............. arccosec อาจเขียนแทนดว้ ย ..............

แบบฝกึ หดั ท3่ี จงหาค่าของ 1. (1) 2. (√ ) 3. ( ( ))

สมการตรโี กณมติ ิ Ex - - =0

กฎของโคไซนแ์ ละไซน์ กฎของโคไซน์ ในรูปสามเหลยี่ ม ABC ใดๆ ถ้า a,b,c เปน็ ความยาวของดา้ นตรงข้ามมมุ A,B,C ตามลาดบั จะไดว้ า่ C ba A B c =- =- =- กฎของไซน์ ในรูปสามเหลีย่ ม ABC ใดๆ ถา้ a,b,c เปน็ ความยาวของด้านตรงขา้ มมุม A,B,C ตามลาดับ จะได้ = = หรือ อาจเขียนเป็น = =

เราสามารถหาพน้ื ท่ขี องรูปสามเหลย่ี มใดๆ ไดด้ ังน้ี ถ้า ABC เปน็ รปู สามเหลยี่ มใดๆ ท่ี a,b และ c เป็นความยาวของด้านตรงขา้ มมมุ A,B และ C ตามลาดบั พน้ื ท่ี = 1 ตารางหนว่ ย พนื้ ที่ = 1 ตารางหน่วย พน้ื ที่ = 1 ตารางหน่วย Ex กาหนด a=3 , c=5 และ B=120 จงหา b =-

แบบฝกึ หดั ท4่ี 1. กาหนด a=15, b=7, c=13 จงหามุม C 2. ในสามเหล่ียม ABC ซึง่ มีมมุ A และ B เป็นมมุ แหลม ถา้ = = 1 และถา้ ยาว 1 นิ้ว จงหาความยาวดา้ น

แบบฝกึ หดั ท5ี่ 1. ณ จดุ โคนเสาต้นหนง่ึ จะมองเห็นมุมยกขึน้ ของยอดหอคอยเท่ากบั 45 และจากยอดของ เสานนั้ ซง่ึ สูง 10 เมตร มมุ ยกขน้ึ ของยอดหอคอยเท่ากับ 30 ดงั นั้นหอคอยสูงเท่าไร