معدل التغير

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫مثال(‪)4‬‬ ‫معدل التغيـر‬ ‫جد س فـي ما يأتـي إذاكانت س‪ ، 4,8=1‬س‪1,7=2‬‬ ‫س= س‪ - 2‬س‪1‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫س‬ ‫س= ‪4,8 – 1,7‬‬ ‫مقدار التغيـر فـي السينات‬ ‫س= ‪3,1 -‬‬ ‫س= س‪ - 2‬س‪1‬‬ ‫القانون ‪:‬‬ ‫س‪=1‬س‪ - 2‬س‬ ‫مثال(‪)5‬‬ ‫س‪=2‬س‪ +1‬س‬ ‫إذاكانت س‪ ، 15=2‬س=‪ 7‬أوجد س‪.1‬‬ ‫مثال(‪)1‬‬ ‫الحل ‪ :‬س‪=1‬س‪ - 2‬س‬ ‫س‪7 – 15= 1‬‬ ‫إذا تغيـرت س من س‪ 7=1‬إلى س‪، 5=2‬جد س‪.‬‬ ‫س‪8=1‬‬ ‫الحل‪ :‬س= س‪ - 2‬س‪1‬‬ ‫س= ‪7 - 5‬‬ ‫س= ‪2-‬‬ ‫مثال(‪)6‬‬ ‫إذاكانت س‪ ، 1=1‬س=‪ 14‬أوجد س‪2‬‬ ‫مثال(‪)2‬‬ ‫إذا تغيـرت س من س‪ 6-=1‬إلى س‪، 1=2‬أوجد مقدار الحل‪ :‬س‪=2‬س‪ +1‬س‬ ‫س‪14+ 1=2‬‬ ‫التغيـر فـي السينات ‪.‬‬ ‫س‪15=2‬‬ ‫الحل‪ :‬س= س‪ - 2‬س‪1‬‬ ‫س= ‪6 - - 1‬‬ ‫مثال(‪)7‬‬ ‫س= ‪6+ 1‬‬ ‫س= ‪7‬‬ ‫ما قيمة س‪ 2‬فـي ما يأتـي حيث س‪ ، 2-=1‬س=‪0,5‬‬ ‫الحل‪ :‬س= س‪ - 2‬س‪1‬‬ ‫مثال(‪)3‬‬ ‫‪= 0,5‬س‪2- - 1‬‬ ‫جد س فـي ما يأتـي إذاكانت س‪ ، 1=1‬س‪3=2‬‬ ‫‪ = 0,5‬س‪2+ 2‬‬ ‫س= س‪ - 2‬س‪1‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫س‪1,5- =2‬‬ ‫س= ‪1 - 3‬‬ ‫س= ‪1 2‬‬

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫الحل‪ *1 :‬س=س‪- 2‬س‪1‬‬ ‫ص ‪* :‬مقدار التغيـر فـي الصادات ‪.‬‬ ‫س= ‪ – 3‬صفر‬ ‫*مقدار التغيـر فـي الاقتـران ‪.‬‬ ‫س= ‪3‬‬ ‫ص= ص‪ – 2‬ص‪1‬‬ ‫القانون ‪:‬‬ ‫‪ *2‬ص=(ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫ص= ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫ص=ق(‪ – )3‬ق(صفر)‬ ‫ص=ق(س‪ – )2‬ق( س)‬ ‫ص=(‪)5+ )0(2( – )5+)3(2‬‬ ‫ص= ق(س‪ + 1‬س) – ق(س‪)1‬‬ ‫ص= ‪5 – 11‬‬ ‫مثال(‪)8‬‬ ‫ص= ‪6‬‬ ‫إذاكان ص =ق(س)=س‪ 3-2‬وتغيـرت س من س‪3=1‬‬ ‫مثال(‪)10‬‬ ‫إلى س‪ 2= 2‬فجد ‪:‬‬ ‫إذاكان ق(س) = ‪3‬س‪-‬س‪ 2‬وتغيـرت س من ‪1-‬‬ ‫‪*1‬مقدار التغيـر فـي س‬ ‫إلى ‪ 4‬فجد ‪:‬‬ ‫‪*2‬مقدار التغيـر فـي قيمة الاقتان ق(س)‬ ‫‪*1‬مقدار التغيـر فـي السينات‬ ‫الحل‪ *1 :‬س= س‪ - 2‬س‪1‬‬ ‫‪ *2‬مقدار التغيـر فـي الصادات‬ ‫س= ‪3 - 2‬‬ ‫س= ‪1-‬‬ ‫الحل ‪ *1 :‬س=س‪- 2‬س‪1‬‬ ‫س=‪1 - - 4‬‬ ‫‪ *2‬ص=ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫س= ‪1 + 4‬‬ ‫ص=ق(‪ – )2‬ق(‪)3‬‬ ‫س= ‪5‬‬ ‫ص=((‪)3 – 2)3(( – )3- 2)2‬‬ ‫‪ *2‬ص=ق(س‪ – )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫ص= ‪6 – 1‬‬ ‫ص= ق(‪ – )4‬ق(‪)1-‬‬ ‫ص=‪5-‬‬ ‫ص=(‪)2)1-(– )1-(3(– )2)4(-)4(3‬‬ ‫مثال(‪)9‬‬ ‫ص=(‪)1 – 3-( – )16-12‬‬ ‫ص= ‪4 + 4-‬‬ ‫إذاكان ق(س) = ‪2‬س‪ 5+‬وتغيـرت س من صفر‬ ‫ص= صفر‬ ‫إلى ‪ 3‬فجد‪:‬‬ ‫‪*1‬مقدار التغيـر فـي السينات‬ ‫‪*2‬مقدار التغيـر فـي الصادات ‪2‬‬

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫معدل التغيـر فـي الاقتان‬ ‫ص‬ ‫تمرين‬ ‫س‬ ‫ص = ق(س‪-)2‬ق(س‪)1‬‬ ‫القانون ‪:‬‬ ‫ق(س)= س‪2+ 2‬س حيث س‪ 2=1‬س‪ 8=2‬أوجد‬ ‫مقدار التغيـر فـي الصادات‬ ‫س‪- 2‬س‪1‬‬ ‫س‬ ‫مثال(‪)11‬‬ ‫مثال(‪)13‬‬ ‫إذاكان ق(س) = ‪-3‬س‪ 2‬وكانت س‪، 2 = 1‬‬ ‫س=‪ 2‬فجد مقدار التغيـر للاقتـران ق(س)‬ ‫إذاكان ص=ق(س)=س‪ ، 3-2‬وتغيـرت س من‬ ‫س‪ 3=1‬إلى س‪2=2‬‬ ‫ص= ق(س‪-)2‬ق(س‪)1‬‬ ‫الحل‪:‬‬ ‫ص=ق( س ‪+‬س‪- )1‬ق(س‪)1‬‬ ‫أوجد معدل التغيـر ف الاقتـران ق(س) ‪.‬‬ ‫ص=ق(‪ – )2+2‬ق(‪)2‬‬ ‫ص = ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫س‪- 2‬س‪1‬‬ ‫س‬ ‫ص=ق(‪- )4‬ق(‪)2‬‬ ‫ص = ق(‪- )2‬ق(‪)3‬‬ ‫ص= (‪)2)2(-3(– )2)4(-3‬‬ ‫س ‪3-2‬‬ ‫ص=(‪)1-( - )13-‬‬ ‫ص = ((‪)3- 2)3((– )3-2)2‬‬ ‫ص=‪1+ 13-‬‬ ‫س ‪1-‬‬ ‫ص=‪12-‬‬ ‫ص= (‪)3-9(– )3-4‬‬ ‫مثال(‪)12‬‬ ‫س ‪1-‬‬ ‫ما قيمة تغيـر الاقتـران ص= ‪3‬س‪ 3‬عندما تتغيـر س‬ ‫ص ‪6 -1‬‬ ‫من س‪ 2=1‬بمقدار س=‪ 1-‬؟‬ ‫س ‪1-‬‬ ‫الحل‪ :‬ص= ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫ص = ‪5 = 5-‬‬ ‫ص=ق( س ‪+‬س‪- )1‬ق(س‪)1‬‬ ‫س ‪1-‬‬ ‫ص=ق(‪- )2+1-‬ق(‪)2‬‬ ‫ص= ق(‪- )1‬ق(‪)2‬‬ ‫ص=(‪)3)2(3(–) 3)1(3‬‬ ‫ص= ‪24-3‬‬ ‫ص= ‪3 21-‬‬

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫مثال(‪)15‬‬ ‫مثال(‪)14‬‬ ‫إذاكان ق(س) = س‪ 1+‬أوجد معدل التغيـر‬ ‫إذاكان ق(س) = س‪-‬س‪ 2‬حيث تغيـرت س من‬ ‫س‪ 3=1‬إلى س‪ 5=2‬أوجد معدل التغيـر فـي الاقتـران‬ ‫فـي الاقتـران ق(س) عندما تتغيـر س من ‪ 8‬إلى ‪3‬‬ ‫ق(س)‬ ‫ص = ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫‪ .‬الحل ‪:‬‬ ‫الحل ‪ :‬ص = ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫س س‪- 2‬س‪1‬‬ ‫س س‪- 2‬س‪1‬‬ ‫ص = ق(‪- )3‬ق(‪)8‬‬ ‫س ‪8-3‬‬ ‫ص = ق(‪- )5‬ق(‪)3‬‬ ‫س ‪3 -5‬‬ ‫ص = ( ‪)1 + 8 ( – )1+ 3‬‬ ‫س ‪5-‬‬ ‫ص = (‪)2)3( – 3(– )2)5( -5‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫ص= ( ‪) 9 ( – ) 4‬‬ ‫س ‪5-‬‬ ‫ص= (‪)9-3(– )25-5‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫ص = ‪1 = 1- = 3-2‬‬ ‫‪5 5-‬‬ ‫س ‪5-‬‬ ‫مثال(‪)16‬‬ ‫ص = (‪)6-(- )20-‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫إذاكان ق(س) = ‪2‬س ‪ ،‬س<‪0‬‬ ‫ص= ‪6 + 20-‬‬ ‫‪ ، 4‬س≥ ‪0‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫فجد قيمة معدل التغيـر فـي الاقتـران ق عندما‬ ‫ص= ‪7- = 14-‬‬ ‫تتغيـر س من س‪ 1-= 1‬إلى س‪. 5=2‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫الحل ‪ :‬ص = ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫س س‪-2‬س‪1‬‬ ‫ص = ق(‪- )5‬ق(‪)1-‬‬ ‫س ‪)1-(-5‬‬ ‫ص = (‪))1-(2(– 4‬‬ ‫س ‪1+5‬‬ ‫ص= ‪1 = 6 = 2+4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫س‪6 6‬‬

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫ص = ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫مثال(‪)17‬‬ ‫س س‪- 2‬س‪1‬‬ ‫ق(س) = س‪≤1 ، 5- 3‬س≤‪3‬‬ ‫ص = ق(‪- )4‬ق(‪)2‬‬ ‫‪6‬س‪ <3 ، 4+‬س≤‬ ‫س ‪2- 4‬‬ ‫أوجد معدل التغيـر فـي الاقتـران ق(س) عندما تتغيـر‬ ‫ص = (‪)2)2(-)2(3(– )2)4(-)4(3‬‬ ‫س من ‪ 2‬إلى ‪. 4‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫الحل ‪ :‬ص = ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫ص= (‪)4-6( - )16-12‬‬ ‫س س‪- 2‬س‪1‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫ص = ق(‪- )4‬ق(‪)2‬‬ ‫ص= ‪3- = 6 - = 2- 4-‬‬ ‫س ‪2-4‬‬ ‫س‪2 2‬‬ ‫ص = (‪)5- 3)2(( – )4+ )4(6‬‬ ‫تمرين‬ ‫س‪2‬‬ ‫إذاكان ق(س) س‪ ≤ 1 ، 3-2‬س < ‪4‬‬ ‫ص= (‪)5-8( – )4+24‬‬ ‫‪6‬س‪ ≤4، 2+‬س≤ ‪8‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫فجد معدل التغيـر ف الاقتـران ق إذاكانت س‪3= 1‬‬ ‫= ‪25‬‬ ‫ص= ‪3- 28‬‬ ‫‪ ،‬س=‪.2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫الناتج ‪13:‬‬ ‫مثال(‪)18‬‬ ‫إذاكان ق(س) = ‪3‬س‪-‬س‪ 2‬وكانت س‪، 2=1‬‬ ‫تمرين‬ ‫س=‪ 2‬فجد مقدار التغيـر ف الاقتـران ق(س) ‪.‬‬ ‫الحل ‪ :‬س‪ = 2‬س‪ + 1‬س‬ ‫س‪2 + 2 =2‬‬ ‫جد قيمة التغيـر ف الاقتـران حيث‬ ‫س‪4 =2‬‬ ‫ق(س)= س‪(-2‬س‪ 2)2-‬عندما تتغيـر‬ ‫ص = ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫س من ‪ 2‬إلى ‪5‬‬ ‫الناتج ‪4:‬‬ ‫س‪- 2‬س‪1‬‬ ‫س‬ ‫‪5‬‬

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫مثال(‪)21‬‬ ‫مثال(‪)19‬‬ ‫إذاكان مقدار التغيـر ف الاقتـران ق(س)‬ ‫إذاكان ق(س) = ‪ ، 5‬س=‪3‬‬ ‫يساوي ‪ 20‬عندما تتغيـر س من ‪ 2‬إلى ‪4‬‬ ‫س‪ < 3 ، 1-2‬س ≤ ‪7‬‬ ‫جد معدل التغيـر ف الاقتـران ق(س) عندما تتغيـر‬ ‫وكان ق(‪ 3-= )4‬فجد قيمة ق(‪.)2‬‬ ‫الحل ‪ :‬ق(س) = ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫س من ‪ 4‬إلى ‪. 6‬‬ ‫الحل‪ :‬ص = ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫‪ = 20‬ق(‪ - )4‬ق(‪)2‬‬ ‫س س‪- 2‬س‪1‬‬ ‫‪ - 3- = 20‬ق(‪)2‬‬ ‫ص = ق(‪- )6‬ق(‪)4‬‬ ‫‪- = 23‬ق(‪)2‬‬ ‫س ‪4 -6‬‬ ‫ق(‪23-= )2‬‬ ‫مثال (‪)22‬‬ ‫ص = ((‪)1- 2)4((– )1- 2)6‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫إذاكان معدل التغيـر ف الاقتـران ق(س) يساوي‬ ‫(‪ )10‬عند س‪ ، 3 =1‬س‪ ، 6=2‬ق(‪، 1=)3‬‬ ‫ص= ‪15 - 35‬‬ ‫ق(‪ =)6‬أ ‪ .‬أوجد قيمة الثابت (أ)‪.‬‬ ‫س‪2‬‬ ‫ص = ق(س‪- )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫الحل ‪:‬‬ ‫‪10 = 20‬‬ ‫ص=‬ ‫س س‪- 2‬س‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‬ ‫ص = ق(‪- )6‬ق(‪)3‬‬ ‫مثال (‪)20‬‬ ‫س ‪3-6‬‬ ‫إذاكان مقدار التغيـر ف الاقتـران ق(س) يساوي (‪)12‬‬ ‫ص = أ‪1-‬‬ ‫عندما تتغيـر س من ‪ 1‬إلى ‪ 3‬وكان ق(‪ 3 = )1‬فجد‬ ‫س‪3‬‬ ‫ق(‪.)3‬‬ ‫الحل‪ :‬ق(س) =ق(س‪ – )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫‪ = 30‬أ ‪1 -‬‬ ‫‪ =12‬ق(‪ - )3‬ق(‪)1‬‬ ‫أ = ‪31‬‬ ‫‪ =12‬ق(‪3 - )3‬‬ ‫ق(‪15 = )3‬‬ ‫‪6‬‬

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫إذاكان معدل التغيـر مرتبط باقتانيـن‬ ‫مثال (‪)23‬‬ ‫إذاكان معدل التغت ف الاقتان ق(س) يساوي ‪4‬‬ ‫عندما تتغيـر س من س‪ 2 = 1‬إلى س‪ 5 = 2‬وكان‬ ‫مثال(‪)1‬‬ ‫ق(‪ 4= )2‬وق(‪ = )5‬أ ‪ .‬أوجد الثابت أ ‪.‬‬ ‫إذاكان معدل التغيـر ق فـي الفتـرة [ ‪ ]1 ، 3-‬يساوي ‪2‬‬ ‫الحل ‪ :‬ص = ق(س‪ – )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫وكان ه(س)=ق(س) ‪-‬س‪ 2‬فجد معدل التغيـر ه فـي‬ ‫س‪- 2‬س‪1‬‬ ‫س‬ ‫الفتـرة [ ‪]1 ، 3-‬‬ ‫الحل ‪ :‬سوف نوزع معدل التغيـر‬ ‫‪ = 4‬ق(‪- )5‬ق(‪)2‬‬ ‫‪2-5‬‬ ‫ص ه(س) = ص ق(س) ‪ -‬ص س‪2‬‬ ‫‪ =4‬أ ‪4 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫سس‬ ‫س‬ ‫‪ = 12‬أ – ‪ 4‬أ= ‪16‬‬ ‫ص ه(س) = ‪ – 2‬ق(‪- )1‬ق(‪) ()3-‬‬ ‫س ‪3+1‬‬ ‫مثال (‪)24‬‬ ‫ص ه(س) = ‪) (9 – 1 - 2‬‬ ‫إذاكان ق(س) = س‪ ≤1 ، 2‬س ≤ ‪3‬‬ ‫س ‪3+1‬‬ ‫ص ه(س) = ‪) (9 - 1 - 2‬‬ ‫س‪4‬‬ ‫ص ه(س) = ‪4 = 2 - - 2‬‬ ‫أ س ‪ <3 ،‬س ≤ ‪5‬‬ ‫وكان معدل التغيـر فـي الاقتـران ق عندما تتغيـر س‬ ‫س‬ ‫من ‪ 2‬إلى ‪ 5‬يساوي ‪ 4‬فجد قيمة الثابت أ‬ ‫مثال(‪)2‬‬ ‫الحل ‪ :‬ص = ق(س‪ – )2‬ق(س‪)1‬‬ ‫إذاكان معدل التغيـر ف الاقتـران ق فـي الفتـرة‬ ‫س‪- 2‬س‪1‬‬ ‫س‬ ‫[‪]3 ، 2-‬يساوي ‪ 10‬وكان ه(س) = ق(س) ‪ +‬س‪1- 2‬‬ ‫‪ = 4‬ق(‪- )5‬ق(‪)2‬‬ ‫جد معدل التغيـر ف الاقتـران ه ف الفتـرة[‪]3 ، 2-‬‬ ‫‪2-5‬‬ ‫‪ 5( = 4‬أ) –(‪2)2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 5 = 4‬أ ‪5 =12 4 -‬أ ‪4-‬‬ ‫ضـرب تبادلـي ‪3‬‬ ‫أ = ‪16‬‬ ‫‪ 5 = 16‬أ‬ ‫‪7 5 55‬‬

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫تمرين‬ ‫الحل ‪ :‬سوف نوزع معدل التغيـر‬ ‫إذاكان ه(س) = ‪2‬ق(س) ‪-‬س‪ 2‬وكان معدل التغيـر‬ ‫ص ه(س) = ص ق(س) ‪ +‬ص (س‪)1- 2‬‬ ‫ف الاقتـران ق ف الفتـرة [‪ ]1 ، 2-‬يساوي ‪ 6‬فجد‬ ‫معدل التغت ف ه(س) ف الفتة ] ‪.]1، 2-‬‬ ‫سس‬ ‫س‬ ‫س‬ ‫ص ه(س) = ‪ + 10‬ق(‪ – )3‬ق(‪)2-‬‬ ‫س ‪2+3‬‬ ‫الناتج ‪13:‬‬ ‫ص ه(س) = ‪) ()1-2)2-(( – )1- 2)3(( + 10‬‬ ‫س‪5‬‬ ‫التفسيـر الفتيائـي‬ ‫ص ه(س) = ‪) (3 - 8 + 10‬‬ ‫لمتوسط التغت‬ ‫س‪5‬‬ ‫السرعة المتوسطة ‪:‬‬ ‫ص = ‪5 + 10‬‬ ‫س‪5‬‬ ‫إذا تحرك جسيم على خط مستقيم بحيث‬ ‫يقطع مسافة تعطى بالعلاقة ف(ن) حيث‬ ‫ص = ‪11 = 1+ 10‬‬ ‫ف المسافة ‪ ،‬ن‪ :‬الزمن‪ ،‬فإن مقدار التغيـر فـي‬ ‫س‬ ‫الزمن ف الفتـرة [ن‪ ، 1‬ن‪]2‬‬ ‫س‬ ‫السرعة المتوسطة ع = ف‬ ‫مثال(‪)3‬‬ ‫ن‬ ‫إذاكان معدل التغت ف الاقتـران ق فـي الفتة [‪]1 ،2-‬‬ ‫= ف(ن‪ – )2‬ف(ن‪)1‬‬ ‫يساوي ‪ 2‬وكان ه(س) = ق(س) ‪-‬س جد معدل‬ ‫ن‪- 2‬ن‪1‬‬ ‫التغيـر فـي الاقتـران ه فـي الفتـرة[‪]1 ، 2-‬‬ ‫الحل ‪ :‬سوف نوزع معدل التغت‬ ‫مثال(‪)1‬‬ ‫ص ه(س) = ص ق(س) ‪ -‬ص س‬ ‫سس‬ ‫س‬ ‫يتحرك جسيم حسب العلاقة ف(ن)=‪30‬ن‪5-‬ن‪2‬‬ ‫ص ه(س) = ‪ – 2‬ق(‪- )1‬ق(‪) ()2-‬‬ ‫احسب سرعته المتوسطة بالفتـرة [‪]3،1‬‬ ‫س ‪2+1‬‬ ‫الحل ‪ :‬السرعة المتوسطة = ف(‪ – )3‬ف(‪)1‬‬ ‫ص ه(س) = ‪) (2 +1 - 2‬‬ ‫‪1-3‬‬ ‫س ‪2+1‬‬ ‫=(‪)2)1(5-1×30(– 2)3(5-3×30‬‬ ‫ص =‪3 - 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‪3‬‬ ‫ص=‪1= 1–2‬‬ ‫= (‪20 = )5- 30( - )45- 90‬‬ ‫‪2‬‬ ‫س‬ ‫= ‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫مثال(‪)4‬‬ ‫مثال(‪)2‬‬ ‫إذاكانت المسافة الت يقطعها جسيم أثناء‬ ‫يقطع جسيم مسافة قدرها ف(ن)= ‪ 20‬ن ‪8-‬ن‪2‬‬ ‫سقوطه رأسيا إلى أسفل تعطى بالعلاقة‬ ‫ف(ن) = ‪ 10‬ن ‪ 5-‬ن‪ 2‬حيث ف المسافة‬ ‫مقدرة بالامتار احسب السرعة المتوسطة‬ ‫المقطوعة بالامتار ن الزمن بالثوانـي فاحسب‬ ‫للجسيم عندما تتغيـر ن من ن‪ 0,5= 1‬ثانية‬ ‫السرعة المتوسطة للجسيم فـي الفتـرة الزمنية‬ ‫إلى ن‪1 =2‬‬ ‫الحل ‪ :‬ع = ف = ف(‪- )3‬ف(‪)1‬‬ ‫ن ‪1-3‬‬ ‫الحل ‪ :‬السرعة المتوسطة = ف(‪ – )1‬ف(‪)1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=((‪))2)1(5- 1× 10(– )2)3(5- 3×10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1- 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=(‪)5- 10( – )45- 30‬‬ ‫= (‪) 2)1(×8 – 1×20 – 2)1(×-1×20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫= ‪10- = 20- = 5- 15-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫=(‪8- 12 = )2-10(– )8- 20‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪22‬‬ ‫= ‪8 = 2 ×4 = 4‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪2‬‬ ‫مثال(‪)5‬‬ ‫مثال(‪)3‬‬ ‫يتحرك جسيم حسب العلاقة ف(ن)=‪3‬ن‪2‬‬ ‫إذاكانت المسافة الت يقطعها جسيم أثناء سقوطه‬ ‫احسب السرعة المتوسطة ف الفتـرة الزمنية‬ ‫إلى أسفل تعطى بالعلاقة ف(ن)= ‪10‬ن‪2-‬ن‪ 2‬حيث‬ ‫ف المسافة بالامتار ن الزمن بالثوان احسب السرعة‬ ‫[‪]4،1‬‬ ‫الحل ‪ :‬السرعة المتوسطة = ف(‪ – )4‬ف(‪)1‬‬ ‫المتوسطة للجسيم ف الفتـرة الزمنية [‪]3،1‬‬ ‫الحل ‪ :‬ع = ف = ف(‪- )3‬ف(‪)1‬‬ ‫‪1-4‬‬ ‫ن ‪1-3‬‬ ‫=‪2)1(3- 2)4(3‬‬ ‫=(‪)2)1(2- 1×10(– )2)3(2 – 3×10‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= (‪3 – 48 = )1×3-()16×3‬‬ ‫=(‪)2- 10(- )18- 30‬‬ ‫‪33‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪15 = 45‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫=‪2 = 4 = 8-12‬‬ ‫‪22‬‬

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫مثال(‪)8‬‬ ‫مثال(‪)6‬‬ ‫يتحرك جسيم على خط مستقيم وفقا للاقتـران‬ ‫يتحرك جسيم على خط مستقيم حسب الاقتان‬ ‫ف(ن)=ن‪ 7+ 2‬حيث ف المسافة الت يقطعها‬ ‫ف(ن)= ن‪ 2‬حيث ف المسافة المقطوعة بالامتار‬ ‫الجسيم بالامتار ن الزمن بالثوانـي جد السرعة‬ ‫ن الزمن بالثوان ما السرعة المتوسطة فـي الفتـرة‬ ‫المتوسطة للجسيم فـي الفتـرة الزمنية [‪]5،2‬‬ ‫الحل ‪ :‬السرعة المتوسطة = ف‬ ‫الزمنية [‪.]3،1‬‬ ‫ن‬ ‫الحل ‪ :‬ع = ف(‪- )3‬ف(‪)1‬‬ ‫‪1-3‬‬ ‫= ف(ن‪- )2‬ف(ن‪)1‬‬ ‫= (‪4 = 8 = 1-9 = 2)1(– 2)3‬‬ ‫ن‪ – 2‬ن‪1‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪2‬‬ ‫=ف(‪- )5‬ف(‪)2‬‬ ‫‪2-5‬‬ ‫مثال(‪)7‬‬ ‫=((‪)7+ 2)2(( – )7+ 2)5‬‬ ‫يتحرك جسيم على خط مستقيم حسب العلاقة‬ ‫‪3‬‬ ‫ف(ن) = ن‪ 3+2‬ف المسافة بالامتار ن الزمن‬ ‫بالثوانـي أوجد السرعة المتوسطة فـي الفتـرة‬ ‫=(‪)7+4( – )7+25‬‬ ‫[‪.]3،1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫الحل ‪ :‬السرعة المتوسطة = ف(‪- )3‬ف(‪)1‬‬ ‫‪1-3‬‬ ‫= ‪11 - 32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ((‪)3+ 2)1((– )3+ 2)3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫= ‪7 = 21‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ( ‪4-12 = 4-) 3+9‬‬ ‫‪22‬‬ ‫تمرين‬ ‫يتحرك جسيم على خط مستقيم وفقا للاقتـران‬ ‫= ‪4= 8‬‬ ‫ف(ن) =‪ 16‬ن‪ 2+ 2‬ن جد السرعة المتوسطة‬ ‫‪2‬‬ ‫للجسيم فـي الفتـرة ] ‪] 3،2‬‬ ‫الناتج ‪82:‬‬ ‫‪10‬‬

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫مثال(‪)2‬‬ ‫التفسيـر الهندسـي‬ ‫لمتوسط التغيـر‬ ‫إذاكان ق(س)= ‪8‬س‪ 2‬فجد ميل القاطع‬ ‫الواصل بيـن النقطتيـن (‪،0‬ق(‪،3( ))0‬ق(‪))3‬؟‬ ‫ميل القاطع الواصل بيـن نقطتيـن‬ ‫(س‪،1‬ص‪( ، )1‬س‪،2‬ص‪)2‬‬ ‫الحل ‪ :‬م = ص‪ -2‬ص‪1‬‬ ‫س‪ – 2‬س‪1‬‬ ‫ص‪ – 2‬ص‪1‬‬ ‫القانون ‪:‬‬ ‫س‪ – 2‬س‪1‬‬ ‫= ق(‪- )3‬ق(‪)0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‪2)0(8 – 2)3(8‬‬ ‫‪3‬‬ ‫= ‪24= 72 = 0 – 72‬‬ ‫مثال(‪)1‬‬ ‫‪33‬‬ ‫إذاكان منحنـى الاقتـران ق يمر بالنقطتيـن أ(‪)3-،1-‬‬ ‫مثال(‪)3‬‬ ‫ب(‪ )18،2‬فجد ميل القاطع المار بي النقطتيـن ‪.‬‬ ‫إذاكان منحت الاقتـران ق يمر بالنقطتيـن‬ ‫الحل ‪ :‬م = ص‪- 2‬ص‪1‬‬ ‫س‪ – 2‬س‪1‬‬ ‫أ(‪ )7،3‬ب(‪، 1-‬ل) وكان ميل القاطع أ ب‬ ‫يساوي ‪ 3-‬فجد قيم ل ‪.‬‬ ‫م = ‪3 + 18‬‬ ‫الحل ‪ :‬م = ص‪ - 2‬ص‪1‬‬ ‫‪1+2‬‬ ‫س‪ – 2‬س‪1‬‬ ‫م = ‪7 = 21‬‬ ‫‪ = 3-‬ل – ‪7‬‬ ‫‪ = 3-‬ل ‪7 -‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4-‬‬ ‫‪3 – 1-‬‬ ‫‪ = 12‬ل‪ 7-‬ل=‪19‬‬ ‫‪11‬‬

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫مثال(‪)5‬‬ ‫تمرين‬ ‫إذاكان ميل التقاطع لمنحنـى الاقتـران ق(س)‬ ‫إذاكان منحنـى الاقتان ق يمر بالنقطتيـن ‪:‬‬ ‫ف الشكل التالـي يساوي (‪ )1-‬جد ق(‪.)3‬‬ ‫أ(‪ ، )6،4‬ب(‪ ، 2-‬ل) وكان ميل القاطع أ ب‬ ‫الحل ‪ :‬ص = ‪- 5‬ق(‪)3‬‬ ‫يساوي (‪ )2-‬فجد قيمة ل‪:‬‬ ‫س ‪3-1‬‬ ‫‪-5 = 1-‬ق(‪)3‬‬ ‫الحل ‪ :‬ميل القاطع = ص‪-2‬ص‪1‬‬ ‫‪2-‬‬ ‫س‪-2‬س‪1‬‬ ‫‪ – 5 = 2‬ق(‪)3‬‬ ‫‪ = 3-‬ل – ‪7‬‬ ‫‪- = 3-‬ق(‪)3‬‬ ‫‪3 - 1-‬‬ ‫‪ = 12‬ل ‪ 7-‬ل = ‪19‬‬ ‫مثال(‪)4‬‬ ‫ق(‪3 =)3‬‬ ‫اعتمادا على الشكل التالـي أوجد ميل القاطع‬ ‫(‪،3‬ق(‪))3‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫الحل ‪ :‬ص = ‪7-9‬‬ ‫س ‪2-4‬‬ ‫= ‪1= 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫(‪)5‬إذاكان ص =ق(س)= س‪ 3+‬وتغيـرت قيمة س‬ ‫أسئلة وزارية‬ ‫من س‪ = 1‬صفر إلى س‪ 4 = 2‬فإن مقدار التغيت فـي‬ ‫الاقتان ق يساوي ‪:‬‬ ‫أ)‪ 4‬ب)‪1‬‬ ‫ج)‪ 4-‬د)‪1-‬‬ ‫ضع دائرة ‪:‬‬ ‫س‬ ‫(‪ )6‬معتمدا على الشكل المجاور‬ ‫ضع دائرة حول رمز الإجابة الصحيحة ‪-:‬‬ ‫الذي يمثل منحنـى الاقتان ق‬ ‫(‪)1‬إذا علمت أن ق(س)=‪2-4‬س وتغيـرت س‬ ‫من ‪ 3‬إلى ‪ 5‬فما قيمة س؟‬ ‫ق‪2‬‬ ‫ما معدل التغيـر للاقتان ق‬ ‫أ)‪ 6-‬ب)‪2-‬‬ ‫ج)‪ 2‬د)‪3‬‬ ‫ف الفتـرة [‪]2،0‬؟ ‪1‬‬ ‫ص‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أ) ‪1‬‬ ‫ب)‪3‬‬ ‫د)صفر‬ ‫(‪)2‬إذا كان ص=ق(س)=س‪ 2‬وتغيـرت قيمة س ج)‪2‬‬ ‫من س‪ 2= 1‬إلى س‪ 4=2‬فإن مقدار التغيـر فـي ص (‪ )7‬إذا كان ص= ق(س)=‪2‬س‪ 1-‬وتغيـرت قيمة‬ ‫س من س‪ 1-=1‬إلى س‪ 1= 2‬فإن مقدار التغيـر‬ ‫تساوي‪:‬‬ ‫فـي قيمة الاقتان ق يساوي ‪:‬‬ ‫أ)‪ 12-‬ب)‪2‬‬ ‫أ)‪ 2-‬ب)‪2‬‬ ‫ج)‪ 12‬د)‪6‬‬ ‫ج)‪ 4‬د)‪4-‬‬ ‫(‪)3‬يتحرك جسيم على خط مستقيم حسب‬ ‫(‪ )8‬إذا كان منحنـى الاقتـران ق يمر بالنقطتيـن‬ ‫الاقتـران ف(ن)=ن‪ 2‬جد السرعة المتوسطة‬ ‫أ(‪ )3، 1-‬ب(‪،2‬ل) وكان ميل القاطع أ ب‬ ‫فـي الفتـرة [‪:]3،1‬‬ ‫يساوي ‪ 2-‬فإن قيمة الثابت ل تساوي ‪:‬‬ ‫ب)‪4‬م‪/‬ث‬ ‫أ)‪2‬م‪/‬ث‬ ‫أ)‪ 5-‬ب)‪3‬‬ ‫د)‪8‬م‪/‬ث‬ ‫ج)‪6‬م‪/‬ث‬ ‫ج)‪ 1‬د)‪3-‬‬ ‫(‪ )4‬إذا كان ص =ق(س)=س‪ 3‬وتغيـرت س‪2=1‬‬ ‫(‪ )9‬يتحرك جسيم وفقا للعلاقة ف(ن)=ن‪1+2‬‬ ‫إلى س‪ 1-=2‬فإن معدل التغيـر فـي الاقتـران ‪:‬‬ ‫أ)‪ 9-‬ب)‪9‬‬ ‫حيث المسافة المقطوعة بالامتار ن الزمن‬ ‫ج)‪ 3-‬د)‪3‬‬ ‫بالثوانـي ما السرعة المتوسطة للجسيم ف الفتـرة‬ ‫الزمنية [‪ ]3،1‬؟‬ ‫ب)‪8‬م‪/‬ث‬ ‫أ) ‪4‬م‪/‬ث‬ ‫‪13‬‬ ‫د)‪6‬م‪/‬ث‬ ‫ج)‪12‬م‪/‬ث‬

‫م‪.‬طارق الرقب‬ ‫المهندس فـي الرياضيات‬ ‫التفاضل – الأدبـي‬ ‫سؤال سؤال‬ ‫جد قيمة متوسط التغيـر فـي الاقتـران ق حيث‬ ‫* إذاكان الاقتان ق(س) = س‪ ≤ 1 ، 2-2‬س ≤ ‪3‬‬ ‫ق(س)=س‪(-2‬س‪ 2)2-‬عندما تتغيـر س من‬ ‫‪2‬س‪ ≤ 3 ، 1+‬س ≤ ‪5‬‬ ‫‪ 2‬إلى ‪5‬‬ ‫فجد معدل التغيـر ف الاقتـران ق عندما تتغيـر س‬ ‫من ‪ 3‬إلى ‪ 5‬سؤال‬ ‫يتحرك جسيم وفق العلاقة ‪:‬ف(ن)=ن‪2+2‬ن‪1+‬‬ ‫سؤال‬ ‫حيث ف المسافة الت يقطعها الجسيم بالامتار‬ ‫* إذاكان ق(س) = ‪5‬س‪-2‬س ‪ ،‬س ≥ ‪1‬‬ ‫ن الزمن بالثوانـي احسب السرعة المتوسطة‬ ‫‪3‬س‪ ، 1+‬س< ‪1‬‬ ‫للجسيم ف الفتة الزمنية [‪.]2،1‬‬ ‫فجد معدل التغيـر فـي الاقتـران ق عندما تتغيـر‬ ‫سؤال‬ ‫س من ‪ 1-‬إلى ‪3‬‬ ‫سؤال‬ ‫معتمدا الشكل المجاور ما متوسط التغيـر‬ ‫*إذاكانت المسافة الت يقطعها جسيم أثناء‬ ‫فـي الاقتـران ص=ق(س) ف الفتة [‪.]2،1‬ص‬ ‫سقوطه إلى أسفل تعطى بالعلاقة ف(ن) تساوي‬ ‫‪ 10‬ن – ‪2‬ن‪ 2‬حيث (ف) المسافة بالامتار و(ن)‬ ‫(‪)5،2‬‬ ‫الزمن بالثوانـي احسب السرعة المتوسطة فـي‬ ‫(‪)2،1‬‬ ‫س‬ ‫الفتة الزمنية [‪]3،1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫سؤال‬ ‫ب)‪3-‬‬ ‫إذاكان متوسط التغيـر فـي الاقتـران ق فـي الفتـرة أ)‪3‬‬ ‫[‪ ]3 ، 2-‬يساوي ‪ 10‬وكان ه(س) =ق(س)‪+‬س‪ 1-2‬ج) ‪1‬‬ ‫د) ‪1-‬‬ ‫فجد متوسط التغيـر ف الاقتان ه ف الفتـرة [‪3 ]3، 2-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪14‬‬