Kelas 11 SMA Matematika Siswa 2017 - by sartono

Alternatif Penyelesaian: Misa kan i ik A(x, y) er e ak pa a garis ersebu se ingga A(x, y) CO(0,0) A '(x ', y ') Csumbu y A ''(x '', y '') angka (Proses pencerminan er a ap i ik O( )) x ' ... ... x ... y ' ... ... y ... angka 2 (Proses pencerminan er a ap sumbu y) x '' ... ... x ' ... ... ... ... y '' ... ... y ' ... ... ... ... sehingga: x '' ... dan y '' ... angka 4 (Proses menen ukan persamaan ba angan) en ukan x dan y a am ben uk x dan y x= … dan y= … angka (Proses menen ukan persamaan ba angan) ubs i usi x dan y ke 2x – y se ingga ipero e persamaan ba angan. 2( ) ( ) 4.2.4 Pen erminan erhadap Garis y = x Ki a akan mencoba menemukan konsep pencerminan er a ap garis y = x engan me akukan pengama an pa a pencerminan i ik i ik. ecara in uk i ki a akan menemukan po a. Per a ikan gambar beriku MATEMATIKA 143

Gambar 4.8: Refleksi i ik er a ap garis y = x oba kamu ama i pencerminan beberapa i ik er a ap garis y = x pada koor ina kar esius i a as kemu ian kamu u iskan koor ina i ik ersebu beser a ba angann a pa a abe i ba a ini Tabel 4.5: Koor ina pencerminan i ik er a ap garis y = x Titik Koordinat Bayangan A( ) A( ) B(... , ...) B'(... , ...) C(... , ...) C'(... , ...) D(... , ...) D'(... , ...) E(... , ...) E'(... , ...) er asarkan pengama an pa a abe secara umum ika i ik A(x, y) icerminkan terhadap garis y = x akan mempun ai koor ina ba angan A'(y, x) bukan Mari ki a en ukan ma riks pencerminan er a ap garis y = x. Misa kan ma riks transformasinya adalah C a b sehingga, A(x, y) Cy x A '( y, x) c d y a b x ax by x c d y cx dy 144 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Dengan kesamaan matriks, 01 y = ax + by a an b 10 x = cx + dy c an d engan emikian ma riks pencerminan er a ap garis y = x adalah Titik A(x, y) icerminkan er a ap garis y = x menghasilkan bayangan A'(x', y ) i u is engan A(x, y) Cy x A '(x ', y ') x' 0 1 x y' 1 0 y imana ma riks pencerminan er a ap garis y = x adalah 0 1 . 10 Contoh 4.9 Jika titik A( 2) icerminkan er a ap garis y = x maka en ukan a ba angan i ik ersebu Alternatif Penyelesaian: A( 1, 2) Cy x A '(x ', y ') x' 0 1 1 2 y' 1 0 2 1 Jadi, bayangan titik A adalah A (2 ) Contoh 4.10 Jika garis 4x – 3y icerminkan er a ap garis y = x maka en ukan ba angan garis ersebu MATEMATIKA 145

Alternatif Penyelesaian: Misa kan i ik A(x, y) memenu i persamaan 4x – 3y se ingga A(x, y) Cy x A '(x ', y ') x' 0 1 x y y' 1 0 y x x' = y y = x' y' = x x = y' engan mensubs i usi x dan y ke garis maka i emukan ba angann a 4(y) –3(x) a au (x) + 4y Latihan 4.5 Titik A( ) icerminkan er a ap i ik O( ) kemu ian i an u kan engan pencerminan er a ap sumbu y an i an u kan agi engan pencerminan terhadap garis y = x. en ukan ba angan i ik A ersebu . Alternatif Penyelesaian: Csumbu y A''(x '', y '') Cy x A'''(x ''', y ''') A( 1, 3) CO(0,0) A '(x ', y ') angka (Proses pencerminan er a ap i ik O( )) x ' ... ... 1 ... y ' ... ... 3 ... angka 2 (Proses pencerminan er a ap sumbu y) x '' ... ... x ' ... ... ... ... y '' ... ... y ' ... ... ... ... angka (Proses pencerminan er a ap garis y = x) x ''' ... ... x '' ... ... ... ... y ''' ... ... y '' ... ... ... ... Jadi, bayangan titik A adalah A'''(…, …) 146 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

4.2. Pen erminan erhadap Garis y = –x Ki a akan mencoba menemukan konsep pencerminan er a ap garis y = –x engan me akukan pengama an pa a pencerminan i ik i ik. ecara in uk i ki a akan menemukan po a. Per a ikan gambar beriku Gambar 4.9: Pencerminan i ik er a ap garis y = –x oba kamu ama i pencerminan beberapa i ik er a ap garis y = –x pada koor ina kar esius i a as kemu ian kamu u iskan koor ina i ik ersebu beser a ba angann a pa a abe i ba a ini Tabel 4.6: Koor ina pencerminan i ik er a ap garis y = –x Titik Bayangannya A( 4) A (4 ) B(... , ...) B'(... , ...) C(... , ...) C'(... , ...) D(... , ...) D'(... , ...) E(... , ...) E'(... , ...) er asarkan pengama an pa a abe secara umum ika i ik A(x, y) icerminkan er a ap garis y = –x akan mempun ai koor ina ba angan A'(–y, –x) bukan Mari ki a en ukan ma riks pencerminan er a ap garis y = –x. Misa kan ma riks rans ormasin a a a a C a b sehingga, cd MATEMATIKA 147

A(x, y) Cy x A '( y, x) y ab x ... x cd y ... Dengan kesamaan matriks, –y = . . . a = . . . dan b = . . . –x = . . . c = . . . dan d = . . . ... ... engan emikian ma riks pencerminan er a ap garis y = –x adalah ... ... . Titik A(x, y) icerminkan er a ap garis y = –x menghasilkan bayangan A'(x', y ) i u is engan A(x, y) Cy x A '(x ', y ') x' 0 1 x y' 1 0 y Contoh 4.11 Jika titik A( 2) icerminkan er a ap garis y = –x maka en ukan a ba angan i ik ersebu Alternatif Penyelesaian: A(1, 2) Cy x A '(x ', y ') x' 0 1 1 2 y' 1 0 2 1 Jadi, bayangan titik A adalah A ( 2 ) Contoh 4.12 Jika garis 4x – 3y icerminkan er a ap garis y = –x maka en ukan ba angan garis ersebu 148 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Alternatif Penyelesaian: Misa kan i ik (x,y) memenu i persamaan 4x – 3y se ingga A(x, y) Cy x A '(x ', y ') x' 0 1 x y y' 1 0 y x x' y y x' y' x x y' engan mensubs i usi x dan y ke garis maka i emukan ba angann a 4(–y) – 3(–x) a au x – 4y . Uji Kompetensi 4.1 . Per a ikan gambar er asarkan gambar en ukan rans asi ang menggeser masing masing ob ek ersebu MATEMATIKA 149

2. un ukkan engan gambar pa a bi ang koor ina kar esius pergeseran ob ek beriku o e rans asi T: a. Titik A(–3, –4) ditranslasi oleh T( 7) b. Ruas garis AB dengan A( ) an B(2, –3) ditranslasi oleh T(–2, 4) c. egi iga ABC dengan A( ) B( 2) an C( 4) i rans asi oleh T( ) d. Garis 2y – 3x i rans asi o e T(4 ) e. ingkaran engan pusa i P( ) an ra ius 2 sa uan i rans asi oleh T( ) . en ukan koor ina asi pergeseran i ik o e rans asi T beriku a. Titik A( 2 ) o e rans asi T ( ) i an u kan engan rans asi T2( ) b. Titik B( ) o e rans asi T ( 2 4) i an u kan engan rans asi T2(–2, –4) c. i ik C(–3, 2) oleh translasi T ( ) i an u kan engan rans asi T2( 4) d. Titik D(4 ) o e rans asi T ( 2) i an u kan engan rans asi T2( ) e. Titik D( ) o e rans asi T ( ) i an u kan engan rans asi T2( ) 4. en ukan koor ina i ik asa o e rans asi beriku . a. Titik A(x, y) ditranslasi oleh T( ) men a i A (7 4) b. Titik B(x, y) ditranslasi oleh T( ) men a i B ( 2) c. i ik C(x, y) ditranslasi oleh T(–4, 6) menjadi C ( ) d. Titik D(x, y) ditranslasi oleh T( ) men a i D ( ) e. Titik E(x, y) ditranslasi oleh T( ) men a i E ( ) . engan menggunakan konsep en ukan asi pergeseran ungsi ungsi beriku o e rans asi T. a. Garis y = 2 ditranslasi oleh T( ) b. Garis 2y – 3x i rans asi o e T(4 ) c. Parabo a y = x2 – 3x + 2 ditranslasi oleh T(2 ) d. Parabola x = y2 – 2x – 2 ditranslasi oleh T(–2, 2) e. Lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y i rans asi o e T(–3, –2) 150 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

. un ukkan engan gambar pencerminaan ob ek pa a bi ang koor ina kar esius beriku a. Titik A( 4) icerminkan er a ap i ik O( ) b. Titik B( 2) icerminkan er a ap i ik sumbu x c. i ik C( 2) icerminkan er a ap i ik sumbu y d. Titik D( ) icerminkan er a ap i ik sumbu y = x e. Titik E(2 4) icerminkan er a ap i ik sumbu y x . Ruas garis engan A( 2 ) an B(2 ) icerminkan er a ap titik O( ) g. egi iga ABC dengan A( ) B( 2) an C( 4) icerminkan er a ap sumbu x h. Garis 2y – 3x icerminkan er a ap sumbu y i. Parabola y = x2 icerminkan er a ap garis y = x j. Garis y = 2x icerminkan er a ap y x 7. engan menggunakan konsep refleksi en ukan asi pencerminan ungsi ungsi beriku a. Garis y 2 icerminkan er a ap i ik O( ) b. Garis 2y – 3x icerminkan er a ap sumbu x. c. Parabo a y = x2 – 3x 2 icerminkan er a ap sumbu y. d. Parabola x = y2 – 2y 2 icerminkan er a ap garis y = x. e. Lingkaran x2 + y2 – 2x + 2y icerminkan er a ap garis y x. 4.3 Menemukan Konsep Rotasi (Perputaran) oba kamu ama i ingkungan seki armu b ek apa ang bergerak berpu ar an ak con o ob ek ang bergerak berpu ar seper i arum am bergerak berpu ar menun ukkan angka kincir angin kipas angin an ain ain. Pa a kesempa an ini ki a akan memba as gerak berpu ar (ro asi) sua u ob ek engan su u pu aran an pusa pu aran pa a bi ang koor ina . Per a ikan Gambar MATEMATIKA 151

Masalah 4.4 oba kamu per a ikan gambar beriku Gambar 4.10: Ro asi ob ek engan pusa ro asi berbe a erikan komen armu en ang perpu aran se iap ob ek ersebu Pa a gambar er apa iga ob ek (segi iga) ang ipu ar engan su u pu aran er en u. asi pu aran akan bergan ung pa a pusa pu aran an besar su u pu aran bukan. Gambar a a a pu aran ob ek engan su u pu aran bera a pa a ob ek i u sen iri. Gambar a a a pu aran ob ek engan pusa bera a i u ung pinggir ob ek i u sen iri an Gambar menun ukkan pu aran ob ek engan pusa pu aran bera a i uar ob ek i u. amun ben uk an ukuran ob ek i ak beruba se e a menga ami ro asi. 152 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Per a ikan gambar beriku Gambar 4.11: Ro asi ob ek pa a pusa O( ) engan emikian secara in uk i ipero e si a ro asi sebagai beriku Sifat 4.3 angun ang ipu ar (ro asi) i ak menga ami peruba an ben uk an ukuran. eriku n a ki a akan me akukan percobaan kemba i un uk men apa kan konsep ro asi. Per a ikan pergerakan i ik pa a gambar beriku Gambar 4.12: Ro asi i ik engan su u an Pusa O( ) MATEMATIKA 153

Kamu masi inga konsep rigonome ri bukan Pa a segi iga OCA, koordinat objek adalah A(r cos , r sin ). ipu ar sebesar su u an Pusa O( ) sehingga posisi objek menjadi di koordinat A'(r cos( ), r sin( ). engan emikian ki a akan mencoba mencari konsep ro asi. Misa kan ma riks ro asi a a a a b sehingga: cd A(x, y) Rotasi A '(x ', y ') A(r cos , r sin ) Rotasi A '(r cos( ), r sin( )) r cos( ) a b r cos ar cos br sin r sin( ) c d r sin cr cos dr sin cos cos sin sin a cos b sin sin cos cos sin c cos d sin Ini berarti a cos , b sin dan c sin , d cos engan emikian ma riks ro asi sebesar su u an pusa ro asi O( ) a a a cos sin . sin cos agaimana ika pusa ro asi i i ik P(p, q) Kamu bo e menggeser ( rans asi) er ebi a u u pusa ro asi ke i ik O( ) kemu ian er a i proses ro asi kemu ian i rans asi kemba i se au pusa ro asi sebe umn a. Titik A(x, y) ipu ar engan pusa P(p, q) an su u menghasilkan bayangan A'(x', y ) i u is engan A(x, y) R[P( p,q), ] A '(x ', y ') x ' cos sin x p p y ' sin cos y q q 154 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Ma riks ro asi engan su u (ber a anan ara arum am) a a a cos sin . sin cos nga su u i i ung ber a anan ara arum am seba ikn a a a a (seara arum am). Contoh 4.13 ber a anan ara Jika titik A( 2 ) iro asi engan pusa O( ) an su u arum am maka en ukan a ba angan i ik ersebu Alternatif Penyelesaian: A( 2, 3) R[O(0,0),90 ] A '(x ', y ') x ' cos 90 sin 90 2 y ' sin 90 cos 90 3 x' 0 1 2 3 y' 1 0 3 2 Jadi, bayangan titik A adalah A'(–3,–2) Contoh 4.14 searah Jika garis x –2y iro asi engan pusa P( ) an su u arum am maka en ukan a ba angan garis ersebu Alternatif Penyelesaian: Misa kan i ik A(x, y) memenu i persamaan x – 2y se ingga A(x, y) R[P(1, 1), 180 ] A '(x ', y ') x ' cos( 180 ) sin( 180 ) x 1 1 y ' sin( 180 ) cos( 180 ) y ( 1) 1 x' 1 0 x 1 1 y ' 0 1 y ( 1) 1 x' x 1 1 y' y 1 1 MATEMATIKA 155

x' x 2 y' y 2 x' = –x + 2 x = 2 – x' y' = –y – 2 y = –y' – 2 engan mensubs i usi x dan y ke garis maka i emukan ba angann a (2 – x) – 2(–y 2) a au x – 2y . 4.4 Menemukan Konsep Dilatasi (Perkalian) oba kamu berikan con o perka ian ( i a asi) ang er a i i ingkungan seki armu ebagai con o ba on ang i iup akan mengembang kare ge ang apa irenggang an ain ain. emua i u membicarakan perka ian ukuran objek. Tetapi, pada kesempatan ini, kita akan membahas konsep perkalian objek dengan pendekatan koordinat. Masalah 4.5 oba ama i gambar beriku . erikan pen apa mu Gambar 4.13: i a asi ob ek pa a pusa O( ) 156 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

ika iama i kamu me i a ukuran ob ek akan semakin besar engan ' perka ian ska a 2. Kemu ian arak 2 a a a ua ka i arak 2 a a a ua ka i an arak 2 a a a ua ka i . e api bangun se e a perka ian engan ak or ska a mempun ai besar an ukuran ang sama e api mempun ai ara ang ber a anan. Per a ikan uga arak sama engan arak arak a a a sama engan arak an arak a a a sama engan arak . a ini berar i un uk me akukan perka ian i a asi ibu u kan unsur ak or perka ian an pusa perka ian. engan mengama i perka ian ob ek apa iambi kesimpu an sebagai beriku Sifat 4.4 angun ang iperbesar a au iperkeci ( i a asi) engan ska a k dapat menguba ukuran a au e ap ukurann a e api i ak menguba ben uk. Jika k maka bangun akan iperbesar an er e ak seara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a. Jika k maka bangun i ak menga ami peruba an ukuran an letak. ika k maka bangun akan iperkeci an er e ak seara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a. ika k maka bangun akan iperkeci an er e ak ber a anan ara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a. Jika k maka bangun i ak akan menga ami peruba an ben uk an ukuran an er e ak ber a anan ara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a. Jika k maka bangun akan iperbesar an er e ak ber a anan ara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a. MATEMATIKA 157

eriku n a ama i i a asi i ik i ik pa a gambar beriku . Gambar 4.14: i a asi i ik engan pusa P(a, b) Kamu ama i i ik pusa ob ek an asi i a asi ob ek. ma i uga arak ob ek ke pusa an arak asi i a asi ke pusa pa a bi ang koor ina i a as. oba kamu engkapi abe beriku an en ukan po a a au konsep me a ui angka angka beriku Tabel 4.7: i a asi i ik pa a pusa P(a, b) dan skala k No. Pusat Objek Hasil Pola . P( ) A(2, 2) A'(6, 6) 6 3 2 0 0 6 2 0 0 2. P( ) B(–2, 2) B'(…,…) ... 3. P( ) C(…,…) C ( 4) ... 4. P( ) D( 2) D ( 2 ) 2 4 8 10 10 5 2 1 1 . P( ) E(…,…) E'(…,…) ... 158 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

ecara in uki ipero e kesimpu an beriku Titik A(x, y) i i a asi engan pusa P(p, q) dan skala k menghasilkan bayangan A'(x', y ) i u is engan A(x, y) D[P( p,q),k ] A '(x ', y ') x' k x p p y' y q q Contoh 4.15 Jika titik A( 2 ) i i a asi engan pusa O( ) an ska a maka en ukan a ba angan i ik ersebu Alternatif Penyelesaian: A(–2, 3) D[O(0,0),3] A'(x', y') x' 3 2 6 y' 3 9 Jadi, bayangan titik A adalah A ( ) Contoh 4.16 Jika garis 2x – 4y i i a asi engan pusa P( ) an ska a 2 maka en ukan a ba angan garis ersebu Alternatif Penyelesaian: Misa kan i ik A(x, y) memenu i persamaan 2x – 4y se ingga A(x, y) D[P(1, 1), 2] A '(x ', y ') x' 2 x1 1 2x 3 y' y ( 1) 1 2y 3 x' = –2x + 3 x= 3 x' y' = –2y – 3 2 y= 3 y' 2 MATEMATIKA 159

engan mensubs i usi x dan y ke garis maka i emukan ba angann a 2( 3 x ' ) – 4( 3 y ' ) a au x + 2y 2 2 2 Uji Kompetensi 4.2 . en ukan koor ina i ik i ik o e ro asi R engan su u an pusa P serta arah rotasi sebagai beriku No. Titik Sudut Arah Pusat a. A(2 ) er a anan ara arum am P( ) b. B( ) eara arum am P( ) c. C( 2 ) er a anan ara arum am P(2 ) d. D( ) 27 er a anan ara arum am P(–2, 3) e. E(2, 2) 4 eara arum am P( 2) 2. en ukan ben uk persamaan o e i a asi R engan su u an pusa P ser a ara ro asi sebagai beriku No. Fungsi Sudut Arah Pusat a. 2y – 3x eara arum am P( ) b. 3y – 4x er a anan ara arum am P( ) c. y = x2 – 2x + 6 er a anan ara arum am P(2 ) d. y = – 2x2 – x + 2 27 er a anan ara arum am P(–2, 3) e. x2 + y2 4 4 eara arum am P( 2) 160 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

. en ukan koor ina i ik i ik o e i a asi D dengan skala k an pusa P beriku No. Titik Skala Pusat a. A(2 ) k=2 P( ) b. B( ) k = –2 P( ) c. C( 2 ) k=3 P(2 ) d. D( ) k P(–2, 3) e. E(2, 2) k=2 P( 2) 4. en ukan ben uk persamaan o e i a asi D dengan skala k an pusa P beriku No. Fungsi Skala Pusat a. 2y – 3x k = 2 P( ) P( ) b. 3y – 4x k = –2 P(2 ) P(–2, 3) c. y = x2 – 2x + 6 k = 3 P( 2) d. y = – 2x2 – x + 2 k e. x2 + y2 4 k=2 . i ik A(2 ) i ro asi se au 27 pa a pusa O( ) kemu ian i an u kan engan i a asi pa a ska a 2 engan pusa i a asi P( ). ke sa rans ormasi ersebu an en ukan koor ina ak ir i ik A. MATEMATIKA 161

4.5 Komposisi Transformasi e an u n a ki a akan memba as komposisi rans ormasi. nga rans ormasi merupakan ungsi se ingga konsep komposisi rans ormasi sama a n a engan komposisi ungsi pa a umumn a ang e a kamu pe a ari sebe umn a di kelas X. Af Bg C a bc (g f ) Gambar 4.15 Fungsi komposisi (g f ) er asarkan gambar i a as ungsi f memetakan anggota domain ke tepat sa u anggo a ko omain per ama ( impunan B) kemu ian ungsi g akan me an u kan peme aan ke anggo a ko omain ke ua ( impunan C). emen ara ungsi komposisi (g f ) akan meme akan anggo a omain ( impunan A) secara angsung ke ko omain ke ua ( impunan C). ekarang bagaimana ika ungsin a berupa rans ormasi geome ri seper i rans asi refleksi ro asi an i a asi oba kamu pa ami masa a beriku Masalah 4.6 Misa kan sembarang i ik A(x, y) ditranslasikan dengan T (a , b ) kemu ian i an u kan engan rans asi T2(a2, b2). en ukan koor ina ak ir i ik A ersebu 162 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Alternatif Penyelesaian: esuai engan konsep rans asi maka persoa an ini apa ise esaikan secara ber a ap. amun proses rans asi ber a ap ini apa me a irkan konsep komposisi rans asi. oba kamu ama i A(x, y) T1 a1 A'(x ', y ') T2 a2 A\"(x\", y \") b1 b2 x\" a2 x' dimana x' a1 x y\" b2 y' y' b1 y x\" a2 a1 x y \" b2 b1 y x\" M MT2 T1 x y\" y x\" M T2 T1 x dimana, M MT2 TT12 T1 a2 ab22+ab11 a1 y\" y b2 b1 Proses komposisi rans asi ersebu apa kamu i a pa a skema beriku T2 a2 b2 A'(x', y') A\"(x\", y\") T1 a1 (T2 T ) b1 A(x, y) Skema 4.1 Komposisi Translasi MATEMATIKA 163

ecara umum ma riks komposisi rans asi i u iskan sebagai beriku a c Jika matriks translasi T adalah b dan matriks translasi T2 adalah d maka matriks komposisi translasi T T2 a au T2 T i u iskan ac MT1 T2 MT1 MT2 = b + d ca MT2 T1 MT2 MT1 = d + b Contoh 4.17 Titik A( ) i rans asikan engan T ( 2) kemu ian i an u kan engan translasi T2( 4 ). en ukan koor ina ak ir i ik A ersebu Alternatif Penyelesaian: A(6, −8) ⎯M⎯T⎯2 T⎯1 → A'(x ', y ') x\" M MT2 T1 x y\" y x\" M MT2 T1 x' y\" y' x\" 4 3 6 y\" 1 2 8 x\" 1 y\" 7 Posisi akhir titik A menjadi A ( 7). 164 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Masalah 4.7 oba kamu ama i cermin i ukang cukur (a au sa on). i epan ki a a a cermin an i be akang ki a uga er apa cermin. a i kamu memi iki ba angan i cermin i epanmu an i be akangmu bukan ika kamu ama i ebi an u ba anganmu i cermin epan akan mempun ai ba angan uga i cermin be akang an seba ikn a. a ini menun ukkan er a i pencerminan ber a ap engan irimu sebagai ob ek. a ini akan me a irkan konsep komposisi refleksi. Mari ki a urunkan ormu an a secara umum. Misa kan sembarang i ik A(x, y) irefleksikan engan C i an u kan engan refleksi er a ap C2 imana ma riks refleksi C adalah ab ef d dan c ma riks refleksi C2 adalah g h . apa ka kamu menemukan konsep komposisi refleksi Alternatif Penyelesaian: engan me akukan pencerminan ber a ap maka A(x, y) C1 A'(x ', y ') C2 A\"(x\", y \") ⎛ x ' ⎞ = M ⎛ x ' ⎞ dimana M C2 = ⎛ e f⎞ ⎜ y ' ⎟ ⎜ y ' ⎟ ⎜ g ⎟ ⎝ ⎠ C2 ⎝ ⎠ ⎝ h ⎠ ⎛ x '' ⎞ = M ⎛ x ' ⎞ dimana MC = ⎛ a b⎞ ⎜ y '' ⎟ ⎜ y ' ⎟ ⎜ c ⎟ ⎝ ⎠ C1 ⎝ ⎠ ⎝ d ⎠ ⎛ x '' ⎞ = M MC1 C2 ⎛ x ⎞ ⎜ y ⎟ ⎜ y ⎟ ⎝ '' ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ x '' ⎞ = M C1 ⎛ x ⎞ dimana M C1 = ⎛ a b⎞⎛ e f⎞ ⎜ y ⎜ y ⎟ ⎜ c ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ '' ⎟ C2 ⎝ ⎠ C2 ⎝ d ⎠ ⎝ g h ⎠ ⎠ MATEMATIKA 165

Proses i a as apa i i a pa a skema beriku A'(x', y') C2 A\"(x\", y\") C (C2 C ) A(x, y) Skema 4.2: Komposisi Refleksi ecara umum ma riks komposisi refleksi i u iskan sebagai beriku ab ika ma riks refleksi C adalah c d an ma riks refleksi C2 adalah e f maka ma riks komposisi refleksi C C2 a au C2 C iu iskan, g h M M M MC1 C2 ab e f C1 C2 cd g h M M M MC2 C1 e f ab C2 C1 g h cd Contoh 4.18 Garis 2x y icerminkan engan C C2 di mana C a a a cermin er a ap sumbu x dan C2 a a a cermin er a ap garis y = –x. en ukan persamaan ba angan garis ersebu 166 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Alternatif Penyelesaian: Misa kan i ik A(x, y) memenu i persamaan garis se ingga ber asarkan konsep komposisi refleksi ang e a i emukan A(x, y) C1 C2 A '(x ', y ') x' M C1 C2 x dimana M C12 MMCC22 a a a ma riks pencerminan C C2 y' y x' M MC1 C2 x dimana MCC12 dan MCC22 a a a ma riks pencerminan C dan C2 y' y x' 1 0 1 0 x y' 0 1 0 1 y x' 1 0 x y' 0 1 y x' x y' y Dengan kesamaan matriks maka diperoleh x = –x' dan y = y' sehingga persamaan bayangan garis menjadi 2(–x) (y) a au 2x y . Konsep komposisi rans asi an komposisi refleksi sama a n a engan konsep komposisi ro asi an komposisi i a asi. engan menggunakan konsep komposisi ungsi maka komposisi ro asi a au komposisi i a asi merupakan proses ber a ap ungsi ro asi a au ungsi i a asi. Masalah 4.8 Misa kan i ik A(x, y) ipu ar engan pusa O( ) an su u i an u kan ro asi engan pusa O( ) an su u 2 menghasilkan bayangan A (x y ). apa ka kamu bangun ormu a komposisi ro asi MATEMATIKA 167

Alternatif Penyelesaian: Masa a ini a a a komposisi ro asi engan pusa ang sama ai u i O( ). x' R1 x cos 1 sin 1 x y' y sin 1 cos 1 y x\" R2 x' cos 2 sin 2 x' y\" y' sin 2 cos 2 y' x' engan mensubs i usi y ' diperoleh, x\" R2 R1 x cos 2 sin 2 cos 1 sin 1 x y\" y sin 2 cos 2 sin 1 cos 1 y R2 R1 x cos( 2 1) sin( 2 1) x y sin( 2 1) cos( 2 1) y Per a ikan skema komposisi ro asi beriku A\"(x\", y\") A'(x', y') R2(O, ) R (O, ) (R2(O, ) R (O, )) A(x, y) Skema 4.3 Komposisi rotasi 168 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

engan emikian ipero e ormu a un uk komposisi ro asi pa a pusa pu ar ( ) sebagai beriku rJoikaasiR s1e[Ob,e1s]adr an2 pRa2[Oa,a 2s]u a aa ro asi sebesar pa a su u O( ) an u O( ) engan maka ma riks komposisi ro asi i u is MM cos( 2 1) sin( 2 1) RR[O0, 1 ] R[O0,,a2 ] sin( 2 1) cos( 2 1) Contoh 4.19 Perhatikan contoh-contoh berikut! Titik A(a, b) dirotasi dengan R1 R2 dimana R a a a ro asi engan su u ber a anan ara arum am pa a pusa O( ) an R2 adalah rotasi engan su u ber a anan ara arum am pa a pusa P(b, 2a). en ukan posisi akhir titik A ersebu Alternatif Penyelesaian: engan konsep ungsi komposisi maka A(a, b) R1 R2 A '(x ', y ') x' M R1 M R2 a dimana M R2 cos 90 sin 90 0 1 y' b sin 90 cos 90 1 0 x' M R1 0 1 a0 0 1 y' 1 0 b0 0 0 x' M R1 0 1 a dimana M R1 cos180 sin180 0 y' 1 0 b sin180 cos180 1 x' 0 1 0 1 a b b y ' 1 0 1 0 b 2a 2a MATEMATIKA 169

x ' 0 1 2b b y ' 1 0 a 2a x ' 3ba b y ' 32a 2b Jadi, posisi akhir titik A ersebu a a a A ( b,3a). Contoh 4.20 Garis 2x – y iro asi engan R R dimana R adalah rotasi dengan su u ber a anan ara arum am pa a pusa P( 2). en ukan persamaan posisi ak ir garis ersebu Alternatif Penyelesaian: Misa kan i ik memenu i garis ersebu se ingga A(x, y) R1 R1 A '(x ', y ') x' M R1 R1 x dimana M R1 cos 90 sin 90 01 y' y sin 90 cos 90 10 x' M R1 0 1 x1 1 y' 1 0 y2 2 x' M R1 y3 y' x1 x' 0 1 y 3 1 1 y' 1 0 x 1 2 2 x' x 2 y' y 4 Dengan kesamaan matriks maka diperoleh x = –x' + 2 dan y = –y' + 4 sehingga persamaan garis menjadi 2(–x + 2) – (–y 4) a au 2x + y . 170 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Masalah 4.9 Misa kan i ik A(x, y) i i a asi engan pusa O( ) an ak or ska a k i an u kan i a asi engan pusa O( ) an ak or ska a k2 diperoleh koordinat hasil dilatasi A (x y ). engan cara ang sama pa a konsep komposisi pa a rans ormasi sebe umn a emukan konsep komposisi i a asi pa a pusa ang sama ai u i O( ) Alternatif Penyelesaian: x' D1 x k1 x y' y y x\" D2 x' k2 x' y\" y' y' engan mensubs i usi x' D1 x k1 x diperoleh, y' y y x\" D2 D1 x k2k1 x y\" y y (D2 D1) x k2k1 x y y Per a ikan skema D D2 0, k21 0, k1 A'(x', y') A\"(x\", y\") D D2 0, k2 1 0, k1 D D2 0, k2 1 0, k1 A(x, y) Skema 4.4 Komposisi dilatasi MATEMATIKA 171

engan emikian ormu a un uk komposisi i a asi pa a pusa O( ) a a a x\" x kd1 anxy Jika titik A(x, y) iro asi bye\"r uruD2 urDu1 o ey D1[O k2 D2[O,k2 ] maka, ,k1 ] (D2 D1) x k2k1 x y y Contoh 4.21 Titik A( ) i i a asi engan D D2 dimana D adalah dilatasi dengan faktor ska a pa a pusa O( ) an D2 a a a i a asi engan ak or ska a 2 pa a pusa P(2 ). en ukan koor ina ak ir i ik ersebu Alternatif Penyelesaian: engan menggunakan konsep komposisi i a asi maka A(3, 5) D1 D2 A '(x ', y ') x' M D1 D2 3 y' 5 x' MMDD11 2 3 0 0 y' 5 0 0 x' 3 6 2 2 y' 10 1 1 x ' 12 2 14 y ' 27 1 28 Jadi, koordinat akhir titik A ersebu a a a A ( 4 2 ) Contoh 4.22 Jika Dk a a a i a asi ke k dengan faktor skala k k 1 pa a pusa O( ) maka en ukan i a asi i ik A( ) o e D D2 D3 . . . D . 172 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Alternatif Penyelesaian: engan menggunakan konsep komposisi i a asi pa a pusa ang sama maka x' M D1 D2 D3 ... D10 x y' y x' M D1 M D2 M D3 ...M D10 11 y' 55 x' 1 2 3 ... 10 11 y' 55 1 1 2 1 3 1 10 1 x ' 1 2 3 ... 10 11 y ' 2 3 4 11 55 x ' 1 11 y ' 11 55 x' 1 y' 5 Jadi, posisi akhir titik A ersebu se e a i a asi a a a A ( ). Uji Kompetensi 4.3 . engan konsep komposisi rans ormasi en ukan koor ina i ik A setelah i rans asi beriku a. Titik A( 2) i rans asikan engan T ( 2) kemu ian i an u kan dengan translasi T2( 2 ). b. Titik B( 4) i rans asikan engan T ( 2) kemu ian i an u kan dengan translasi T2(4 ) i an u kan agi engan rans asi T3( 2 ). c. i ik C( ) i rans asikan engan T2 T dimana T (3, 4) dan T2(4 ). MATEMATIKA 173

d. Titik D( 2 ) i rans asikan engan T T2 dimana T ( 2 4) an T2( ). e. Titik E( ) i rans asikan engan T2 T T2 dimana T (2 ) an T2( 2). 2. engan konsep komposisi rans ormasi en ukan persamaan sua u ob ek se e a i rans asi beriku a. Garis 2x – 3y 4 i rans asikan engan T ( 2) kemu ian i an u kan engan rans asi T2(2 ). b. Garis –3x y i rans asikan engan T ( 4) kemu ian i an u kan engan rans asi T2(4 ) i an u kan agi engan rans asi T3( ). c. Garis x + 3y i rans asikan engan T T2 dimana T ( 2) dan T2( 2 ). d. Parabola y – 2x2 + 3x 4 i rans asikan engan T2 T dimana T ( 2 2) an T2( ). e. Parabola 2y = 2x2 – 4x i rans asikan engan T T T2 dimana T (2 ) an T2( 2). 3. Jika C a a a pencerminan er a ap i ik O( ) C2 a a a pencerminan er a ap sumbu x, C3 a a a pencerminan er a ap sumbu y, C4 adalah pencerminan er a ap garis y = x, dan C a a a pencerminan er a ap garis y x maka en ukan koor ina ba angan i ik o e komposisi pencerminan beriku a. Titik A(2 2) icerminkan engan C2 C b. Titik B( 2 2) icerminkan engan C C2 c. i ik C( 4 ) icerminkan engan C3 C4 d. Titik D( ) icerminkan engan C C2 C3 e. Titik E( ) icerminkan engan C4 C C 174 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

4. Jika C a a a pencerminan er a ap i ik O( ) C2 a a a pencerminan er a ap sumbu x, C3 a a a pencerminan er a ap sumbu y, C4 adalah pencerminan er a ap garis y = x, dan C a a a pencerminan er a ap garis y x maka en ukan koor ina ba angan ob ek o e komposisi pencerminan beriku a. Garis 2x + 4y 7 icerminkan engan C C2 b. Garis –x + 3y icerminkan engan C3 C c. Garis x + 2y icerminkan engan C C C4 d. Parabola y = –x2 + 3x 2 icerminkan engan C C4 e. Parabola –y + 2x2 x icerminkan engan C2 C3 C4 . ika R a a a ro asi se au ber a anan ara arum am engan pusa O( ) R2 a a a ro asi se au 27 ber a anan ara arum am engan pusa O( ) R3 a a a ro asi se au seara arum am engan pusa P( ) an R4 a a a ro asi se au seara arum am engan pusa P( ) maka en ukan posisi ob ek o e komposisi ro asi beriku a. Titik A(2 2) iro asi engan R R2 b. Titik B( 2) iro asi engan R2 R c. i ik C( ) iro asi engan R3 R4 d. Garis –x y iro asi engan R2 R e. Parabola 2y = 2x2 – 3x + 4 dirotasi dengan R4 R3 . emukan ormu a komposisi ro asi R R2 terhadap titik A(x, y) dimana a a a ro asi engan su u an pusa ro asi P (a, b) dan R2 adalah rotasi engan su u 2 an pusa i a asi P2(c, d). 7. ika Rk a a a ro asi ke k se au seara arum am engan masing masing pa a pusa O( )maka en ukan ro asi i ik A( 2 4) o e R R2 R3 . . . R . MATEMATIKA 175

. ika D a a a i a asi engan ak or ska a 2 pa a pusa O( ) D2 adalah i a asi engan ak or ska a pa a pusa O( ) D3 adalah dilatasi dengan ak or ska a 2 pa a pusa P( ) an D4 adalah dilatasi dengan faktor ska a 4 pa a pusa P( ) maka en ukan posisi ob ek o e komposisi i a asi beriku a. Titik A( 2 4) i i a asi engan D D2 b. Titik B( 4) i i a asi engan D3 D4 c. i ik C( 2) i i a asi engan D D4 d. Garis 3x + 2y i i a asi engan D2 D e. Parabola 3y = 2x2 i i a asi engan D4 D3 . emukan ormu a komposisi i a asi D D2 terhadap titik A(x, y) dimana D adalah dilatasi dengan faktor skala k an pusa i a asi P (a, b) dan D2 adalah dilatasi dengan faktor skala k2 an pusa i a asi P2(c, d). . ika Dk a a a i a asi ke k dengan faktor skala h pa a pusa P( ) maka en ukan i a asi i ik A( 2 4) o e D D2 D2 . . . D . 176 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

D. Penutup e e a ki a memba as ma eri rans ormasi ki a membua kesimpu an sebagai asi pengama an pa a berbagai konsep an a uran rans ormasi sebagai beriku . rans ormasi ang ika i er iri ari rans asi (pergeseran) refleksi (pencerminan) ro asi (perpu aran) an i a asi (perka ian) ser a komposisinya. 2. Ma riks rans ormasi ang ipero e a a a No. Transformasi Matriks Transformasi . Translasi T(a, b) 2. Refleksi i ik O( ) a 3. Refleksi umbu x b 4. Refleksi umbu y . Refleksi Garis y = x 10 6. Refleksi Garis y = –x 01 7. Ro asi sebesar su u . Dilatasi [k,P(a,b)] 10 01 10 01 01 10 01 10 cos sin sin cos x' k x a a y' y b b MATEMATIKA 177

MT Ma riks rans asi M M MT2 T1 T2 T1 MT Ma riks rans ormasi M M MT2 T1 T2 T1 . rans ormasi mempun ai si a si a sebagai beriku Translasi angun ang igeser ( rans asi) i ak menga ami peruba an ben uk an ukuran. e e si angun ang icerminkan (refleksi) engan cermin a ar i ak menga ami peruba an ben uk an ukuran. arak bangun engan cermin (cermin a ar) a a a sama engan arak ba angan engan cermin ersebu . Rotasi angun ang ipu ar (ro asi) i ak menga ami peruba an ben uk an ukuran. Dilatasi angun ang iperbesar a au iperkeci ( i a asi) engan ska a k apa menguba ukuran a au e ap ukurann a e api i ak menguba ben uk. Jika k maka bangun akan iperbesar an er e ak seara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a. Jika k maka bangun i ak menga ami peruba an ukuran an e ak. ika k maka bangun akan iperkeci an er e ak seara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a. ika k maka bangun akan iperkeci an er e ak ber a anan ara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a. Jika k = maka bangun i ak akan menga ami peruba an ben uk an ukuran an er e ak ber a anan ara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a. Jika k < maka bangun akan iperbesar an er e ak ber a anan ara er a ap pusa i a asi engan bangun semu a. 178 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

e an u n a ki a akan memba as en ang ma eri barisan an ere . Ma eri pras ara ang arus kamu kuasai a a a impunan ungsi an operasi i ung bi angan. a ini sanga berguna a am penen uan ungsi ari barisan ersebu . emua apa ang kamu su a pe a ari sanga berguna un uk me an u kan ba asan beriku n a an se uru konsep an a uran a uran ma ema ika ibangun ari si uasi n a a an i erapkan a am pemeca an masa a ke i upan. MATEMATIKA 179

BAB 5 Barisan A. Kompetensi Dasar dan Pengalaman Belajar Kompetensi Dasar Pengalaman Belajar Setelah mengikuti pembelajaran barisan, siswa Melalui pembelajaran materi barisan , siswa mampu: memperoleh pengalaman belajar: 3.6 Menggeneralisasi pola bilangan dan 1. Menemukan konsep dan pola barisan jumlah pada barisan Aritmetika dan melalui pemecahan masalah autentik. Geometri. 2. Berkolaborasi memecahkan masalah aktual 4.6 Menggunakan pola barisan Aritmetika dengan pola interaksi sosial kultur. dan Geometri untuk menyajikan dan menyelesaikan masalah kontekstual 3. Berpikir tingkat tinggi (berpikir kritis, kreatif) (termasuk pertumbuhan, peluruhan, bunga dalam menyelidiki dan mengaplikasikan majemuk, dan anuitas) konsep dan pola barisan dalam memecahkan masalah autentik. • Pola BilanganIstilah Penting • Beda • Rasio • Aritmetika • Geometri 180 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

B. Diagram Alir Fungsi Materi Prasyarat Masalah Barisan Autentik Bilangan Suku awal U Syarat Suku awal U Rasio n Barisan Barisan n s Aritmetika Geometri s Rasio u u Deret r Suku ke-n Suku ke-n r Geometri Deret Aritmetika Jumlah n suku Jumlah n suku pertama pertama MATEMATIKA 181

C. Materi Pembelajaran 5.1 Menemukan Pola Barisan Amati dan kritisi masalah nyata kehidupan yang dapat dipecahkan secara arif dan kreatif melalui pros- es matematisasi. Dalam proses pembelajaran barisan, berbagai konsep dan aturan matematika terkait barisan akan ditemukan melalui pemecahan masalah, melihat pola susunan bilangan, menemukan berbagai strategi sebagai alternatif pemecahan masalah. Perhatikan ilustrasi berikut. Data uang saku seorang anak sekolah setiap hari adalah Rp10.000,00 dan untuk menumbuhkan niat menabung orang tuanya menambahkan sebesar Rp1.000,00 tiap harinya. Jika uang saku tersebut disusun dengan bilangan-bilangan maka kita akan memperoleh susunan bilangan seperti berikut. 10.000, 11.000, 12.000, 13.000, ... +1000 +1000 +1000 Perhatikan bilangan tersebut mempunyai keteraturan dari urutan pertama, kedua, ketiga, keempat, dan seterusnya, yaitu bilangan berikutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah 1.000. Bilangan-bilangan yang disusun berurut dengan aturan tertentu seperti itulah dikenal dengan nama barisan bilangan. Konsep tentang fungsi akan kita gunakan dalam penerapan menemukan pola dari barisan, karena barisan merupakan suatu fungsi dengan domain bilangan bulat positif dan range bilangan real. Materi tentang fungsi sudah dipelajari i ab ke as . Pa a bab ersebu i u iskan efinisi ungsi ai u Misa kan A dan B himpunan, Fungsi f dari A ke B adalah suatu aturan pengaitan yang memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Jika kita perhatikan sebuah barisan maka suku ke-n dengan n merupakan bilangan bulat positif disebut sebagai domain akan berpasangan terhadap rumus suku ke-n dari barisan itu dan disebut range, yang merupakan bilangan real. 182 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Misalkan barisan bilangan ditulis lambang U untuk menyatakan urutan suku-sukunya maka bilangan pertama ditulis U(1) atau U1, bilangan kedua di- tulis U(2) atau U2, dan seterusnya. Maka kita dapat membuat aturan pengaitan seperti berikut ini. 11.000 12.000 13.000 14.000 ... n U1 U2 U3 U4 ... Un Dari pasangan di atas diperoleh bentuk umum barisan bilangan adalah U1, U2, U3, ..., Un, ... Dengan Un = f(n) yang disebut dengan rumus umum suku ke-n dari barisan bilangan. Untuk memahami barisan dan pola barisan mari perhatikan masalah-masalah berikut ini. Masalah 5.1 Beberapa kelereng dikelompokkan dan disusun sehingga setiap kelompok tersusun dalam bentuk persegi sebagai berikut. Gambar 5.1: Susunan Kelereng Kelereng dihitung pada setiap kelompok dan diperoleh barisan : 1, 4, 9, 16, 25. K1 K2 K3 K4 K5 14 9 16 25 Gambar 5.1: Jumlah Kelereng pada Setiap Kelompok MATEMATIKA 183

Permasalahan: Dapatkah kamu temukan bilangan berikutnya pada barisan tersebut? Dapatkah kamu temukan pola barisan tersebut? Tentukan banyak kelereng pada kelompok ke-15? Alternatif Penyelesaian: 1. Kemungkinan metode yang dapat digunakan adalah membuat susunan benda berikutnya dan menghitung kembali banyak kelereng pada susunan itu. erna i pen e esaian ini i ak efisien karena arus men usun kemba i banyak kelereng untuk kelompok berikutnya. K6 36 Gambar 5.2: Jumlah Kelereng pada Kelompok ke-6 2. Alternatif penyelesaian lainnya adalah menemukan pola barisan tersebut. Perhatikan tabel berikut dan lengkapilah! Tabel 5.1: Pola Banyak Kelereng Pada Setiap Kelompok Kelompok Banyak Kelereng Pola K1 1 1=1×1 K2 4 4=2×2 K3 … … = … K4 … … = … K5 … … = … ... ... ... Kn … … = … Dengan pola barisan pada tabel yang kamu lengkapi di atas, dapatkah kamu menentukan bilangan berikutnya? Berapakah bilangan untuk kelompok ke-15? 184 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Apakah mungkin ada pola lain untuk menyelesaikan masalah di atas? Coba kamu lengkapi tabel berikut. Tabel 5.2: Pola Banyak Kelereng pada Setiap Kelompok Kelompok Banyak Kelereng Pola 1 K1 …=… K2 4 K3 …=… K4 9 K5 …=… . … . …=… . … …=… Kn . . . . . ? . …=… Bagaimana pola barisan dari tabel yang kamu lengkapi di atas? Dapatkah kamu menentukan bilangan berikutnya? Berapakah bilangan untuk kelompok ke-15? Kamu dapat dengan mudah menentukan bilangan-bilangan berikutnya pada sebuah barisan bilangan jika dapat menemukan pola barisannya. Silahkan pelajari pola barisan pada beberapa contoh berikut. Contoh 5.1 Perhatikan barisan huruf berikut: ABBCCCDDDDABBCCCDDDDABBCCCDDDD... Amatilah barisan huruf tersebut terlebih dahulu! Tentukanlah huruf pada urutan 25 × 33! Alternatif Penyelesaian: Pertama, kita perlihatkan urutan setiap huruf pada barisan, sebagai berikut. A B B C C C D D D D A B B C C C D D D D ... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ... MATEMATIKA 185

Jika kamu amati dengan teliti, kelompok huruf ABBCCCDDDD pada urutan 1 sampai 10 berulang, bukan? Perulangan kelompok huruf terjadi pada setiap kelipatan 10 huruf pertama. Jadi, huruf pada urutan 1 sama dengan huruf pada urutan 11, urutan 21, urutan 31, dan seterusnya. Kedua, huruf pada urutan 25 × 33 adalah huruf pada urutan 32 × 27 = 864 atau 864 = 860 + 4 = 86 × 10 + 4 sehingga perulangan kelompok huruf tersebut mengalami perulangan sebanyak 86 kali. Dengan demikian, huruf pada urutan ke-864 sama dengan huruf pada urutan ke-4 atau C, bukan? Perhatikan tabel di bawah ini! Tabel 5.3: Urutan Barisan Huruf Urutan Huruf Urutan Huruf ... Urutan Huruf Urutan Huruf ke- ke- ke- ke- 1 A 11 A ... 851 A 861 A 2 B 12 B ... 852 B 862 B 3 B 13 B ... 853 B 863 B 4 C 14 C ... 854 C 864 C 5 C 15 C ... 855 C 6 C 16 C ... 856 C 7 D 17 D ... 857 D 8 D 18 D ... 858 D 9 D 19 D ... 859 D 10 D 20 D ... 860 D Contoh 5.2 Sebuah barisan bilangan asli dituliskan sebagai berikut: 12345678910111 21314151617181920212223242526... sehingga suku ke-10 = 1, suku ke-11 = 0, suku ke-12 = 1, dan seterusnya. Dapatkah kamu temukan angka yang menempati suku ke-2004? 186 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Alternatif Penyelesaian: ? Mari kita amati kembali barisan tersebut, sebagai berikut. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 ... u u u u u u u u u u u u u u u u u u ... u un menyatakan suku ke-n pada barisan dengan n = 1, 2, 3, 4, ... Kita akan mencari angka yang menempati suku ke-2004 dengan menghitung banyak suku pada bilangan satuan, puluhan, dan ratusan sebagai berikut. Langkah 1. Mencari banyak suku pada barisan bilangan satuan (1 sampai 9): 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Banyak suku pada barisan bilangan satuan adalah 1 × 9 = 9 suku. Langkah 2. Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan (10 sampai 99) 10, 11, 12, 13, ..., 19 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku 20, 21, 22, 23, ..., 29 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku ... 90, 91, 92, 93, ..., 99 terdapat 2 × 10 suku = 20 suku Banyak suku pada barisan bilangan puluhan adalah 9 × 20 = 180 suku. Jadi, banyak suku pada barisan 1 sampai 99 adalah 9 + 180 = 189 suku. Langkah 3. Mencari banyak suku pada barisan bilangan puluhan (100 sampai 999) Jika ratusan (1 sampai 6) 100, 101, 102, 103, ..., 109 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku 110, 111, 112, 113, ..., 119 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku 120, 121, 122, 123, ..., 129 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku ... 690, 691, 692, 693, ..., 699 terdapat 3 × 10 suku = 30 suku Banyak suku untuk barisan bilangan ratusan dengan ratusan 1 sampai 6 adalah 6 × 10 × 30 = 1800 suku. MATEMATIKA 187

Jadi terdapat sebanyak 9 + 180 + 1800 = 1989 suku pada barisan bilangan 1 sampai dengan 699 sehingga suku ke-1989 adalah 9. Suku berikutnya (suku ke-1990) adalah barisan bilangan dengan ratusan 7 sebagai berikut. 9700701702703704 uuuuuuuuuuuuuuuu Angka pada suku ke-2004 adalah 4. Contoh 5.3 Tentukan pola barisan pada 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ..., 1 . Tentukanlah banyak 2 6 12 20 30 42 9900 suku pada barisan tersebut. Alternatif Penyelesaian: = 1, 2, 3,... maka barisan di Jika un adalah suku ke-n sebuah barisan dengan atas disajikan dalam tabel berikut. Tabel 5.4: Pola Barisan Suku ke Nilai Pola Berdasarkan pola barisan u1 u2 1 11 un 1 n yang telah diperoleh u3 2 u4 2 12 1 n2 u5 1 pada tabel di samping maka 6 11 6 22 2 un 1 atau 1 12 11 9900 12 32 3 1 1 = 1 20 11 n2 n 9900 20 42 4 1 n2 + n = 9900 30 11 n2 + n − 9900 = 0 30 52 5 (n − 99)(n +100) = 0 n 99 188 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

Suku ke Nilai Pola u6 1 11 42 42 62 6 ... ... ... un ? ? 1 n2 n Barisan 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , 1 , ..., 1 terdiri atas 99 suku. 2 6 12 20 30 42 9900 Diskusikan dengan temanmu mengapa yang digunakan n = 99? Jika sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... maka dari barisan di atas disajikan dalam tabel berikut. Tabel 5.5: Pola Suku Jumlah suku-suku Nilai s1 u1 1 2 s2 u1 + u2 2 3 s3 u1 + u2 + u3 3 4 s4 u1 + u2 + u3 + u4 4 5 s5 u1 + u2 + u3 + u4 + u5 5 6 s6 u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 6 ... ... 7 ... MATEMATIKA 189

Suku Jumlah suku-suku Nilai sn u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + ... + un sn n n1 Berdasarkan tabel di atas, s1, s2, s3, ..., snn, ... yaitu 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ,..., 99 ,... adalah sebuah barisan dengan pola sn n1 . 2 3 4 5 6 100 Karena n = 99 maka s99 1 1 1 1 1 1 ... 1 99 2 6 12 20 30 42 9900 100 Jika sn adalah jumlah n suku pertama dari sebuah barisan dengan n = 1, 2, 3, ... atau sn = u1 + u2 + u3 + ... + un–1 + un dan sn–1 = u1 + u2 + u3 + ... + un–1 maka sn = sn–1 + un atau un = sn – sn–1. Contoh 5.4 Suatu barisan dengan pola sn = 2n3 – 3n2. Tentukan pola barisan tersebut kemudian tentukanlah suku ke-10. Alternatif Penyelesaian: Dengan rumus un = sn – sn–1 maka dapat ditentukan sn = 2n3 – 3n2 atau sm = 2m3 – 3m2. Misalkan m = n – 1 maka sn 1 2 n 1 3 3 n 1 2 sn 1 2n3 6n2 6n 2 3n2 6n 3 sn 1 2n3 9n2 12n 5 Jadi, un sn sn 1 2n3 3n2 2n3 9n2 12n 5 un 6n2 12n 5 Pola barisan tersebut adalah un 6n2 12n 5 sehingga: u10 = 6(10)2 −12(10) + 5 = 600 −120 + 5 = 485 Jadi, suku ke-10 pada barisan tersebut adalah 485. 190 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK

5.2 Menemukan Konsep Barisan Aritmetika Pada subbab di atas, kita telah membicarakan masalah pola dari barisan bilangan secara umum. Berikutnya, kita akan belajar menemukan konsep barisan aritmetika. Masalah 5.2 Perhatikan gambar tumpukan jeruk di samping ini! Bagaimana cara menentukan atau menduga banyak jeruk dalam satu tumpukan? Gambar 5.3: Tumpukan Buah Jeruk Alternatif Penyelesaian: Jika diperhatikan gambar di atas, maka diperoleh susunan dari beberapa jeruk. Jeruk itu dapat disusun membentuk sebuah piramida. Gambar 5.4: Susunan piramida jeruk Jumlah jeruk pada bagian bawah tumpukan akan lebih banyak dibandingkan pada susunan paling atas. Misalkan susunan jeruk tersebut disederhanakan menjadi sebuah susunan segitiga, seperti gambar di bawah ini. Gambar 5.5: Susunan bulatan bentuk segitiga MATEMATIKA 191

• Mengapa harus dengan susunan segitiga, coba lakukan dengan susunan segi empat. Apa yang kamu temukan? Banyaknya bulatan yang tersusun dari setiap kelompok dapat dituliskan dengan bilangan, yaitu 1, 3, 6, 10, 15. Bilangan tersebut membentuk barisan. Perhatikan polanya pada Gambar 5.4: 13 6 10 15 +2 +3 +4 +5 Gambar 5.5: Pola susunan jumlah jeruk dalam tumpukan Ternyata beda antara setiap dua bilangan yang berdekatan membentuk barisan yang baru yaitu 2, 3, 4, 5,... Perhatikan skema berikut. 1 3 6 10 15 +2 +3 +4 +5 +1 +1 +1 Gambar 5.7: Pola turunan jumlah jeruk dalam tumpukan Beda setiap dua bilangan yang berdekatan pada barisan 2, 3, 4, 5,... adalah tetap yaitu 1. Dengan demikian barisan 2, 3, 4, 5,... disebut ”Barisan Aritmetika” dan barisan 1, 3, 6, 10, 15, ... disebut ”Barisan Aritmetika Tingkat Dua”. • Coba kamu bentuk sebuah barisan aritmetika tingkat tiga? Masalah 5.3 Perhatikan masalah disamping! Jika tinggi satu anak tangga adalah 20 cm, berapakah tinggi tangga jika terdapat 15 anak tangga? Tentukanlah pola barisannya! Gambar 5.8: Tangga 192 Kelas XI SMA/MA/SMK/MAK