(คู่มือ)หนังสือเรียนสสวท พื้นฐานคณิตศาสตร์ม.3 ล.2

ค่มู อื ครู รายวิชาพื้นฐาน คณติ ศาสตร์ ช้นั มัธยมศกึ ษาปีที่ ๓ เล่ม ๒ ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตัวชี้วดั กลุม่ สาระการเรยี นรู้คณติ ศาสตร์ (ฉบับปรับปรงุ พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศึกษาขนั้ พ้ืนฐาน พทุ ธศกั ราช ๒๕๕๑ จดั ทำ�โดย สถาบนั ส่งเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คำ�น�ำ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี (สสวท.) มีพันธกิจในการศึกษาค้นคว้า วิจัยและพัฒนาหลักสูตร วิธีการเรียนรู้ วิธีสอนและการประเมินผลการจัดการเรียนรู้ รวมท้ังจัดทำ�หนังสือเรียน คู่มือครู แบบฝึกทักษะ กิจกรรม และ ส่อื การเรยี นรเู้ พื่อใช้ประกอบการจดั การศึกษาขนั้ พ้ืนฐานด้านวทิ ยาศาสตร์ คณิตศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐานคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศกึ ษาปที ี่ ๓ เลม่ ๒ นี้ จัดทำ�ขึน้ ตามพันธกจิ และพฒั นาให้สอดคลอ้ งกับ ตัวช้ีวัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตรแกนกลาง การศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมุ่งหวังให้ผู้สอนนำ�ไปใช้ประกอบการจัดการเรียนรู้ควบคู่กับการใช้หนังสือเรียน รายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร์ ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที ี่ ๓ เลม่ ๒ เพอ่ื ใหผ้ เู้ รยี นสามารถคดิ วเิ คราะหแ์ ละแกป้ ญั หาอยา่ งเปน็ คณติ ศาสตร์ เกิดทักษะที่จำ�เป็นสำ�หรับการดำ�รงชีวิตในศตวรรษท่ี ๒๑ และประยุกต์ใช้ความรู้และทักษะต่าง ๆ เพื่อพัฒนาคุณภาพชีวิตของ ตนเอง สสวท. หวงั เปน็ อยา่ งยงิ่ วา่ คมู่ อื ครเู ลม่ นจ้ี ะเปน็ ประโยชนต์ อ่ การจดั การเรยี นรู้ และเปน็ สว่ นส�ำ คญั ในการพฒั นาคณุ ภาพ และมาตรฐานการศึกษา กลมุ่ สาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ขอขอบคุณผูท้ รงคุณวฒุ ิ บุคลากรทางการศึกษาและหนว่ ยงานตา่ ง ๆ ทีม่ ีสว่ นเกี่ยวขอ้ งในการจดั ท�ำ ไว้ ณ โอกาสนี้ (ศาสตราจารยช์ กู จิ ลมิ ปจิ �ำ นงค)์ ผู้อ�ำ นวยการสถาบนั สง่ เสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

ค�ำ ช้ีแจง สถาบนั สง่ เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ์ ละเทคโนโลยี (สสวท.) ไดจ้ ดั ท�ำ ตวั ชวี้ ดั และสาระการเรยี นรแู้ กนกลาง กลมุ่ สาระ การเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐานพุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมี จุดเน้นเพื่อต้องการพัฒนาผู้เรียนให้มีความรู้ความสามารถท่ีทัดเทียมกับนานาชาติ ได้เรียนรู้คณิตศาสตร์ท่ีเช่ือมโยงความรู้กับ กระบวนการคดิ มคี วามคดิ รเิ รมิ่ สรา้ งสรรค์ คดิ อยา่ งมเี หตผุ ล เปน็ ระบบ สามารถวเิ คราะหป์ ญั หาหรอื สถานการณไ์ ดอ้ ยา่ งรอบคอบ และถี่ถ้วน ช่วยให้คาดการณ์ วางแผน ตัดสินใจ แก้ปัญหา ได้อย่างถูกต้องเหมาะสม และสามารถนำ�ไปใช้ในชีวิตจริงได้อย่างมี ประสิทธิภาพ จึงได้จัดทำ�คู่มือครูสำ�หรับผู้สอน ใช้ประกอบกับหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ ๓ เล่ม ๒ ในการจัดการเรยี นรู้ในช้นั เรยี น เพอ่ื ให้ผูเ้ รียนบรรลมุ าตรฐานการเรียนรทู้ กี่ ำ�หนดไวใ้ นหลักสูตร คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี ๓ เลม่ ๒ น้ี ประกอบดว้ ยค�ำ แนะน�ำ การใชค้ มู่ อื คร ู ก�ำ หนดเวลา สอนโดยประมาณในแต่ละบท ในทุก ๆ บทจะกล่าวถึงสาระ มาตรฐานการเรียนรู้ และตัวช้ีวัดที่เกี่ยวข้อง จุดประสงค์ของ บทเรียน การวิเคราะห์ความเชื่อมโยงระหว่างตัวช้ีวัดกับจุดประสงค์ของบทเรียน ความคิดรวบยอดของบทเรียน ทักษะและ กระบวนการทางคณติ ศาสตร ์ ความเชอื่ มโยงของความร ู้ ล�ำ ดบั การจดั กจิ กรรมการเรยี นรขู้ องบทเรยี น กจิ กรรมเสนอแนะ เฉลย ชวนคิดและแบบฝกึ หดั ต่าง ๆ ตวั อย่างแบบทดสอบท้ายบท รวมท้ังความร้เู พมิ่ เตมิ ในบางเนือ้ หาสำ�หรบั ผสู้ อน ผ้สู อนสามารถ นำ�คู่มือครูเล่มนี้ไปใช้ประกอบการวางแผนการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ให้บรรลุจุดประสงค์ที่ต้ังไว้ เลือกและประยุกต์ใช้กิจกรรม การเรียนรู้ใหเ้ หมาะสมกับผเู้ รียน ชน้ั เรียนและบรบิ ทของโรงเรยี นท่มี คี วามแตกต่างกัน ในการจัดทำ�คู่มือครูเล่มนี้ สสวท. ได้รับความร่วมมือเป็นอย่างดียิ่งจากผู้ทรงคุณวุฒิ นักวิชาการอิสระ คณาจารย์ รวมท้ัง ครผู สู้ อน นกั วิชาการ จากสถาบัน และสถานศกึ ษาทั้งภาครัฐและเอกชน จึงขอขอบคณุ มา ณ ที่น้ี และหวงั เป็นอยา่ งยงิ่ วา่ คู่มือครูรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์เล่มนี้ จะเป็นประโยชน์แก่ผู้สอน และผู้ท่ีเกี่ยวข้องทุกฝ่าย ที่จะช่วยให้การจัดการศึกษา ด้านคณิตศาสตร์ได้อย่างมีประสิทธิภาพ หากมีข้อเสนอแนะใดที่จะทำ�ให้คู่มือครูเล่มน้ีมีความสมบูรณ์ยิ่งขึ้น โปรดแจ้ง สสวท. ทราบด้วย จะขอบคณุ ยง่ิ สถาบันส่งเสรมิ การสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

คำ�แนะนำ�การใช้คมู่ ือครู คูม่ ือครูรายวชิ าพน้ื ฐานคณิตศาสตร ์ ชัน้ มัธยมศกึ ษาปีท่ี 3 เลม่ 2 จดั ทำ�ขึน้ เพื่อเป็นคมู่ ือส�ำ หรบั การใช้หนังสอื เรียน รายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่ม 2 ในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ในชั้นเรียนให้เกิดประสิทธิภาพสูงสุด มุ่งส่งเสริมให้ผู้เรียนมีพัฒนาการด้านความรู้ทางคณิตศาสตร์ ด้านทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ และด้านคุณธรรม จริยธรรม และค่านิยม ตามมาตรฐานการเรียนรู้และตัวช้ีวัดที่กำ�หนดไว้ในหลักสูตรอย่างครบถ้วน ครูจึงควรศึกษาคู่มือครู ใหเ้ ขา้ ใจอยา่ งถอ่ งแท ้ และทดลองปฏบิ ตั กิ จิ กรรมเพอื่ ใหเ้ กดิ ความพรอ้ มกอ่ นสอนจรงิ และเขา้ ใจล�ำ ดบั การด�ำ เนนิ กจิ กรรมตามท่ี เสนอแนะไว้ ท้ังนี้ ครูอาจปรับเปล่ียนกิจกรรมหรือวิธีการจัดการเรียนการสอนได้ตามความเหมาะสมโดยคำ�นึงถึงศักยภาพของ นกั เรียนเปน็ สำ�คัญ จำ�นวนช่ัวโมงเรียนที่แนะนำ�ให้ใช้ในการจัดการเรียนการสอนสำ�หรับหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ในแต่ละ เล่ม คือ 60–100 ชั่วโมง/ภาคเรียน เพ่ือเปิดโอกาสให้ครูสามารถปรับรายละเอียดของเนื้อหาและเวลาเรียนให้เหมาะสมกับ ท้งั ศักยภาพของนักเรียนและบรบิ ทของชั้นเรยี น ทง้ั น้ี ครอู าจใช้หนงั สอื เรยี นรายวชิ าพนื้ ฐานคณติ ศาสตร์ ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 เล่ม 2 เป็นสอื่ ประกอบการจัดการเรยี นการสอนกับท้งั รายวิชาพืน้ ฐานและเพมิ่ เตมิ โดยอาจจัดเนอ้ื หาบางส่วนของหนงั สอื เรียน ทีม่ ีขอบเขตของเนือ้ หา และความซับซอ้ นมากกวา่ ทีต่ ัวชี้วัดก�ำ หนด ใหน้ กั เรยี นได้เรียนเป็นรายวิชาเพิม่ เติม คูม่ อื ครูเลม่ นปี้ ระกอบด้วยหัวขอ้ ต่อไปน้ี 1 เป็นส่วนท่ีประกอบด้วยชื่อบทเรียน พร้อมท้ังหัวข้อย่อยของบทเรียนและจำ�นวนชั่วโมงที่แนะนำ� ให้ใช้ในการจัดการเรียนการสอนโดยประมาณ เพื่อให้ครูสามารถนำ�ไปประกอบการวางแผน ชื่อบทเรยี น การจัดกิจกรรมการเรียนรู้รายภาค และเพ่ือให้เวลาเรียนสอดคล้องกับโครงสร้างเวลาเรียนของ รายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 2 คู่มือครูนี้ จึงกำ�หนดจำ�นวนช่ัวโมงเรียนที่แนะนำ�ให้ใช้ในการจัดการเรียนการสอนของทุกหัวข้อไว้ รวม 60 ชว่ั โมง/ภาคเรียน สาระและมาตรฐาน การเรยี นรู้ เป็นสาระและมาตรฐานการเรียนรู้ตามที่ปรากฏอยู่ในตัวช้ีวัดและสาระการเรียนรู้แกนกลาง กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา ขัน้ พ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 เพอื่ ให้ครูได้ตรวจสอบความสอดคล้องและครอบคลมุ กับหลกั สตู ร สถานศกึ ษา

3 เปน็ ตวั ชว้ี ดั ตามทป่ี รากฏอยใู่ นตวั ชว้ี ดั และสาระการเรยี นรแู้ กนกลาง กลมุ่ สาระการเรยี นรคู้ ณติ ศาสตร์ (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช 2551 ตัวชี้วดั เพ่ือให้ครูได้คำ�นึงถึงว่าจะต้องจัดกิจกรรมการเรียนรู้ให้นักเรียนได้เรียนรู้ตามตัวช้ีวัด และวัด และประเมนิ ผลตามตวั ช้วี ัด 4 เป็นจุดประสงค์ตามท่ีปรากฏอยู่ในหนังสือเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 3 เลม่ 2 ของแตล่ ะบทเรยี น เพอ่ื ใหค้ รไู ดต้ ระหนกั ถงึ ความรทู้ น่ี กั เรยี นพงึ มหี ลงั สน้ิ สดุ การเรยี นการสอน จดุ ประสงค์ รวมทั้งน�ำ ไปใชใ้ นการวัดและประเมินผลของครู ของบทเรียน เปน็ การอธิบายหรือขยายความตวั ชี้วัด โดยเชอื่ มโยงกบั จุดประสงคข์ องบทเรยี น เพื่อใหค้ รูไดเ้ ห็น 5 ว่าการจดั การเรยี นรู้ตามแต่ละจดุ ประสงค์จะท�ำ ใหน้ ักเรยี นบรรลุการเรยี นรตู้ ามตวั ชวี้ ดั อย่างไร ความเช่ือมโยง ระหวา่ งตัวชี้วดั กบั จดุ ประสงคข์ องบทเรยี น 6 เปน็ ความคดิ รวมยอดของบทเรยี นโดยภาพรวม เพอ่ื ใหค้ รไู ดท้ ราบเกย่ี วกบั ความรทู้ เ่ี ปน็ แนวคดิ หลกั ของเนื้อหาที่นกั เรียนจำ�เป็นต้องรู้หลังจากเรยี นจบบทเรียนนน้ั ๆ ความคิดรวบยอด ของบทเรยี น 7 เป็นทักษะและกระบวนการที่นักเรียนควรจะได้รับจากการเรียนในแต่ละหัวข้อเป็นอย่างน้อย โดยรายละเอียดในการจัดการเรียนการสอนที่ช่วยส่งเสริมทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ ทกั ษะและ จะแทรกอยู่ในข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ ทั้งน้ี การพัฒนาทักษะและกระบวนการ กระบวนการทาง ทางคณิตศาสตร์ให้กับนักเรียนจะเกิดขึ้นได้มากหรือน้อยน้ัน ข้ึนอยู่กับกระบวนการจัดการเรียน การสอนของครเู ป็นสำ�คญั คณติ ศาสตร์

8 เปน็ สว่ นทต่ี อ้ งการสะทอ้ นใหค้ รเู หน็ ภาพความตอ่ เนอื่ งและเชอ่ื มโยงของความรทู้ ง้ั สามลกั ษณะ ไดแ้ ก่ 1) ความรพู้ น้ื ฐาน เปน็ หวั ขอ้ ความรทู้ น่ี กั เรยี นจะตอ้ งมกี อ่ นการเรยี นในแตล่ ะบท ซงึ่ ครอู าจ ความเช่ือมโยง ของความรู้ เรมิ่ ตน้ จากการใชแ้ บบทดสอบกอ่ นเรยี นออนไลน์ เพอื่ ตรวจสอบและประเมนิ ความรเู้ ดมิ ของผู้เรียน แล้วทบทวนหรือจัดกิจกรรมให้กับนักเรียนในกรณีที่นักเรียนขาดความรู้ 9 ในส่วนน้ี ท้ังนี้เพ่ือกระตุ้นให้เกิดความเชื่อมโยงของประสบการณ์เดิมจนเกิดเป็น องคค์ วามรู้ท่ีเปน็ พ้นื ฐาน เพ่ือพัฒนาเปน็ ความร้ทู ่สี ำ�คัญในบทเรียนต่อไป ล�ำ ดับการจดั 2) ความรใู้ นบทเรยี น เปน็ ความคดิ รวบยอดตา่ ง ๆ ของบทเรยี นในภาพรวม เพอ่ื ใหค้ รไู ดท้ ราบ กจิ กรรมการเรียนรู้ เก่ียวกับความรู้ที่เป็นแนวคิดหลักของเน้ือหาท่ีนักเรียนจำ�เป็นต้องรู้หลังจากเรียนจบ บทเรียนน้ัน ๆ ของบทเรยี น 3) ความรู้ในอนาคต เปน็ หวั ข้อความรู้ที่นกั เรยี นจะได้ศึกษาตอ่ ไปในอนาคต ซง่ึ ชี้นำ�ใหค้ รู ได้เห็นว่าความรู้ท่ีเกิดขึ้นจากแต่ละบทเรียนนั้นมีความสำ�คัญสำ�หรับการพัฒนาความรู้ ในหวั ขอ้ อ่ืนใดบ้าง ในระดบั ช้ันเดยี วกนั หรอื ระดับชัน้ ท่ีสูงข้นึ เปน็ ล�ำ ดบั ของแนวทางการจดั กจิ กรรมทค่ี วรเกดิ ขนึ้ ในแตล่ ะบทเรยี น ทงั้ นลี้ �ำ ดบั ของแนวทางการจดั กจิ กรรมจะสอดคล้องกับลำ�ดับของหัวขอ้ และกิจกรรมตา่ ง ๆ ที่ปรากฏในหนังสอื เรยี น 10 เป็นหวั ขอ้ ภายใต้หัวข้อยอ่ ยของบทเรยี นประกอบด้วยหัวขอ้ ดงั น้ี 1) ชื่อหัวข้อย่อย เป็นหัวข้อย่อยพร้อมท้ังจำ�นวนชั่วโมงท่ีแนะนำ�ให้ใช้ในการกิจกรรม ขอ้ เสนอแนะ ในการจดั กิจกรรม การเรียนรู้โดยประมาณ เพื่อให้ครูสามารถนำ�ไปประกอบการวางแผนการจัดการเรียน การสอนรายคาบ ท้ังนี้ ครูอาจยดื หยุ่นได้ตามทีเ่ หน็ สมควร การเรยี นรู้ 2) จุดประสงค์ เป็นจุดประสงค์รายหัวข้อย่อยของบทเรียน โดยระบุไว้เพื่อให้ครูคำ�นึงถึง การจดั กจิ กรรมการเรียนรู้ ใหน้ กั เรียนไดม้ คี วามรูแ้ ละความสามารถตรงตามจดุ ประสงค์ ทวี่ างไว ้ จุดประสงคใ์ นส่วนน้เี ป็นจดุ ประสงค์เชิงพฤตกิ รรมท่สี ามารถสะท้อนกลบั ไปยงั จุดประสงคข์ องบทเรียนและตัวชวี้ ัด ทง้ั น้ี ครอู าจปรบั เปลีย่ นจุดประสงคน์ ไี้ ด้ตามท่ีเห็น สมควร แตจ่ ะตอ้ งเปน็ จดุ ประสงคท์ สี่ ะทอ้ นความสามารถของนกั เรยี นวา่ ผา่ นจดุ ประสงค์ ของบทเรยี นและตัวชว้ี ัดได้

นอกจากนี้ ครคู วรประเมนิ ผลใหต้ รงตามจดุ ประสงคโ์ ดยใชว้ ธิ กี ารทห่ี ลากหลาย เชน่ การตอบคำ�ถามในชั้นเรียน การทำ�แบบฝึกหัด การทำ�ใบกิจกรรม ช้ินงาน หรือการ ทดสอบยอ่ ย โดยถา้ จุดประสงคใ์ ดทค่ี รูเหน็ ว่านักเรยี นส่วนใหญ่ยังไมผ่ า่ น ในช่วั โมงตอ่ ไปครูควรนำ�บทเรยี นนน้ั มาสอนซอ่ มเสรมิ ใหม่ 3) ความเข้าใจท่ีคลาดเคลื่อน เป็นตัวอย่างเนื้อหาที่นักเรียนมักเข้าใจคลาดเคลื่อน หรือ เขา้ ใจผิด เพือ่ ใหค้ รูไดท้ ราบและปอ้ งกันไมใ่ หน้ กั เรียนเกิดความเขา้ ใจท่ีคลาดเคลื่อน 4) สื่อที่แนะนำ�ให้ใช้ในข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ เป็นสื่อท่ีแนะนำ�ให้ ครูใช้สำ�หรับการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ เพื่อให้ครูได้จัดเตรียมส่ือหรืออุปกรณ์ต่าง ๆ ล่วงหน้า ทั้งนี้ สื่อดังกล่าว เป็นส่ือท่ีแนะนำ�ให้ใช้ตามข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรม การเรียนร ู้ 5) ขอ้ เสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ เปน็ จดุ เนน้ หรอื แนวทางในการจดั กจิ กรรม การเรียนรู้ที่สำ�คัญอย่างเป็นลำ�ดับข้ันตอนในแต่ละหัวข้อย่อย ซึ่งครูควรศึกษาและ ทำ�ความเข้าใจควบคู่ไปกับหนังสือเรียน เพื่อจะได้เตรียมการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ให้ สอดคล้องกับจดุ ประสงค์และเหมาะสมกบั ศกั ยภาพของนกั เรยี น 6) กิจกรรม เป็นกิจกรรมท่ีปรากฏอยู่ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีท่ี 3 เล่ม 2 โดยขยายข้ันตอนการทำ�กิจกรรมท่ีอยู่ในหนังสือเรียน รวมทงั้ มตี วั อย่างหรอื ใบกิจกรรม เพอื่ ให้ครสู ามารถนำ�ไปใช้ประกอบการจัดกจิ กรรมใน ชั้นเรียนไดอ้ ย่างมปี ระสทิ ธิภาพ 7) กิจกรรมเสนอแนะ เป็นกิจกรรมท่ีแนะนำ�ให้ครูนำ�ไปใช้กับนักเรียนในการจัดกิจกรรม การเรียนร ู้ ซงึ่ มอี ยหู่ ลายลกั ษณะ ท้ังกจิ กรรมเพือ่ นำ�เขา้ สูเ่ นื้อหา กจิ กรรมเสรมิ เน้อื หา ในบทเรียน เพ่อื ให้เข้าใจเนอ้ื หาในบทเรียนนน้ั ๆ ได้มากข้ึน โดยแตล่ ะกิจกรรมจะสอด แทรกทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ์ หน้ กั เรยี นไดพ้ ฒั นาทกั ษะและกระบวนการ อยา่ งตอ่ เนอื่ ง ทงั้ น้ี ครอู าจพจิ ารณาปรบั เปลยี่ นการจดั กจิ กรรมใหเ้ หมาะสมกบั เวลาและ ศกั ยภาพของนักเรยี น 8) เฉลยชวนคิด เป็นการอธิบายแนวคิดและคำ�ตอบของกรอบชวนคิดที่ปรากฏอยู่ ในหนังสอื เรียนรายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร์ ช้นั มธั ยมศึกษาปที ี่ 3 เลม่ 2 เพื่อให้ครูใช้ เป็นแนวทางในการอภิปรายรว่ มกันกับนักเรยี นถึงแนวคดิ ในการแกป้ ัญหานัน้ ๆ 9) เฉลยมุมเทคโนโลยี เป็นการอธิบายแนวคิดและคำ�ตอบของกรอบมุมเทคโนโลยี ที่ปรากฏอยู่ในหนังสือเรียนรายวิชาพ้ืนฐานคณิตศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีท่ี 3 เล่ม 2 เพอ่ื ใหค้ รใู ชเ้ ปน็ แนวทางในการอภปิ รายรว่ มกนั กบั นกั เรยี นถงึ แนวคดิ ในการแกป้ ญั หานน้ั ๆ

11 10) เฉลยแบบฝกึ หดั เปน็ ค�ำ ตอบของแบบฝกึ หดั ในหนงั สอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร์ ช้ันมัธยมศึกษาปีที่ 3 เล่ม 2 เพื่อให้ครูได้ใช้เป็นแนวทางในการตรวจแบบฝึกหัดของ เฉลยกจิ กรรม นกั เรยี น ซง่ึ ในบางขอ้ จะมแี นวคดิ ไว้ เพอื่ เปน็ แนวทางหนง่ึ ในการหาค�ำ ตอบ และในบาง ทา้ ยบท ข้ออาจมีหลายค�ำ ตอบ แต่ให้ไว้เพียงตวั อย่างคำ�ตอบท่ถี ูกต้องและเปน็ ไปได ้ ทั้งน้ี เพราะ แบบฝึกหัดดังกล่าว ได้สอดแทรกปัญหาที่เปิดโอกาสให้นักเรียนได้คิดอย่างหลากหลาย และฝกึ การใหเ้ หตผุ ล ซงึ่ ค�ำ อธบิ ายของนกั เรยี นอาจแตกตา่ งจากทเ่ี ฉลยไว ้ ดงั นนั้ ในการ ตรวจแบบฝกึ หัดครูควรพจิ ารณาอยา่ งรอบคอบ และยอมรับคำ�ตอบท่ีเหน็ ว่ามีความถกู ตอ้ งและเปน็ ไปไดท้ ี่แตกตา่ งไปจากทเี่ ฉลยไวน้ ้ี สำ�หรับแบบฝึกหัดในหนังสือเรียน ครูควรเลือกให้นักเรียนได้ฝึกฝนตามความรู้ ความสามารถ ซง่ึ ในหลายแบบฝกึ หดั ครอู าจใชเ้ พอ่ื การตรวจสอบความเขา้ ใจในชน้ั เรยี น โดยอาจใช้การถาม–ตอบร่วมกันในชั้นเรียน สำ�หรับแบบฝึกหัดที่เป็นข้อท้าทายน้ัน จะมีความยากและซับซ้อนมากข้ึน ซ่ึงนักเรียนทั่วไปอาจยังไม่สามารถทำ�ได้ ดังน้ัน ครคู วรพจิ ารณาความเหมาะสมของการใชง้ านกบั ระดบั ความรคู้ วามสามารถของนกั เรยี น ในชนั้ เรยี น และไมค่ วรน�ำ แบบฝกึ หดั ทม่ี คี วามยากในระดบั นไี้ ปสรา้ งแบบทดสอบเพอ่ื วดั และประเมินผลกบั นกั เรยี นโดยท่ัวไป เปน็ ค�ำ ตอบ หรอื แนวคดิ ในการท�ำ กจิ กรรมทา้ ยบท เพอื่ เปน็ แนวทางใหค้ รใู ชอ้ ภปิ รายรว่ มกบั นกั เรยี น และโดยบางกิจกรรมที่มีลักษณะเป็นปัญหาปลายเปิดจะมีตัวอย่างแนวคิดหรือคำ�ตอบที่ถูกต้อง และเป็นไปได้ใหไ้ ว้ 12 เปน็ ค�ำ ตอบของแบบฝกึ หดั ทา้ ยบทในหนงั สอื เรยี นรายวชิ าพน้ื ฐานคณติ ศาสตร์ ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที ่ี 3 เลม่ 2 เพอื่ ใหค้ รไู ดใ้ ชเ้ ปน็ แนวทางในการตรวจแบบฝกึ หดั ของนกั เรยี น ซงึ่ มแี นวคดิ เชน่ เดยี วกบั ใน เฉลยแบบฝกึ หัด ส่วนของเฉลยแบบฝึกหัดทีอ่ ยู่ในแต่ละหวั ขอ้ ยอ่ ย ท้ายบท ส�ำ หรบั แบบฝกึ หดั ทา้ ยบทในหนงั สอื เรยี นน้ี มไี วเ้ พอ่ื ใหน้ กั เรยี นไดฝ้ กึ ท�ำ โจทยแ์ บบบรู ณาการความรู้ โดยไม่จำ�แนกความรู้ที่ใช้ในการแก้ปัญหาตามหัวข้อย่อย ซึ่งครูควรเลือกให้นักเรียนได้ฝึกฝน ตามระดับความรู้ความสามารถ

13 เป็นตัวอย่างของแบบทดสอบประจำ�บทท่ีเน้นการประยุกต์ใช้ความรู้ท่ีเรียนมาท้ังบท และให้เห็น รูปแบบของแบบทดสอบท่ีมีความหลากหลาย รวมท้ังมีตัวอย่างเกณฑ์การให้คะแนนท่ีครูสามารถ ตัวอย่าง นำ�ไปปรับใช้ให้เข้ากับบรบิ ทของชั้นเรียน อย่างไรก็ตามครสู ามารถใช้ตวั อย่างแบบทดสอบทา้ ยบท แบบทดสอบท้ายบท เปน็ แนวทางในการสรา้ งแบบทดสอบส�ำ หรบั วดั และประเมนิ ผลนกั เรยี นในแตล่ ะบทเรยี น ซง่ึ ตวั อยา่ ง แบบทดสอบท้ายบทน้ี จะครอบคลุมและสอดคล้องกับจุดประสงค์ของบทเรียนและตัวชี้วัดของ หลักสูตร ทั้งนี้ ความซับซอ้ นของแบบทดสอบทจ่ี ะใช้ควรเหมาะสมกบั ศักยภาพของนักเรยี น 14 เปน็ กจิ กรรมทเ่ี นน้ การประยกุ ตใ์ ชค้ วามรคู้ ณติ ศาสตร์ บรู ณาการเขา้ กบั ความรใู้ นศาสตรอ์ น่ื ๆ เพอ่ื แก้ ปัญหาสถานการณ์ที่กำ�หนดให้ภายใต้เง่ือนไขและข้อจำ�กัดต่าง ๆ โดยในการแก้ปัญหานั้นจะต้อง กิจกรรมคณิตศาสตร์ อาศยั กระบวนการออกแบบเชงิ วิศวกรรม (Engineering Design Process) เปน็ เคร่ืองมือ เชงิ สะเต็ม 15 เปน็ ความรทู้ ค่ี รคู วรทราบเพม่ิ เตมิ ไปจากบทเรยี น เชน่ ตวั อยา่ งการใชเ้ ทคโนโลยเี ปน็ เครอ่ื งมอื ในการ จัดการเรียนร้เู รอ่ื งหน่งึ ๆ ทเี่ ก่ียวขอ้ งกบั บทเรยี น ความรู้เพ่ิมเติม สำ�หรับครู

กำ�หนดเวลาสอน เนอื่ งจากสถานศกึ ษาสามารถปรบั เกลยี่ จ�ำ นวนชว่ั โมงเรยี นของรายวชิ าพนื้ ฐานไดเ้ อง ดงั นนั้ สถานศกึ ษาแตล่ ะแหง่ อาจ กำ�หนดจำ�นวนช่ัวโมงเรียนรายวิชาพื้นฐานคณิตศาสตร์ไม่เท่ากัน สำ�หรับหนังสือชุดนี้ จะแนะนำ�จำ�นวนช่ัวโมงเรียงท่ีอิงตาม โครงสร้างหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาขั้นพน้ื ฐาน พทุ ธศักราช 2551 คอื 60 ช่วั โมง/ภาคเรยี น เป็นหลกั ท้ังนี้ สถานศึกษา สามารถปรบั จ�ำ นวนชัว่ โมงนี้ ให้สอดคลอ้ งกบั บรบิ ทของตนเองไดต้ ามความเหมาะสม หน่วยการเรยี นรู้ จำ�นวนชว่ั โมงท่ีแนะน�ำ ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร 12 วงกลม 15 พรี ะมิด กรวย และทรงกลม 15 ความนา่ จะเป็น 8 อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ 10

สารบัญ บทท่ี 1–3 หนา้ บทที่ เนอ้ื หา 13 17 1 บทท่ี 1 ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 32 1.1 แนะน�ำ ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 44 1.2 การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 1.3 การแกโ้ จทย์ปัญหาโดยใชร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 89 93 ระบบสมการเชิงเส้น บทที่ 2 วงกลม 112 สองตัวแปร 2.1 มมุ ทจ่ี ดุ ศนู ย์กลางและมุมในส่วนโคง้ ของวงกลม 126 2.2 คอรด์ ของวงกลม 2 2.3 เส้นสมั ผัสวงกลม วงกลม บทที่ 3 พีระมดิ กรวย และทรงกลม 175 3.1 ปรมิ าตรและพ้นื ท่ผี วิ ของพีระมิด 179 3 3.2 ปริมาตรและพ้นื ทีผ่ ิวของกรวย 198 3.3 ปริมาตรและพ้ืนท่ผี วิ ของทรงกลม 212 พรี ะมดิ กรวย และทรงกลม

สารบัญ บทท่ี 4–5 หน้า บทที่ เนอ้ื หา 267 271 4 บทที่ 4 ความนา่ จะเปน็ 275 4.1 โอกาสของเหตกุ ารณ์ 4.2 ความน่าจะเป็น 305 309 ความน่าจะเปน็ บทท่ี 5 อตั ราสว่ นตรีโกณมิติ 317 5.1 ความหมายของอตั ราส่วนตรโี กณมติ ิ 338 5 5.2 อตั ราส่วนตรีโกณมติ ิของมมุ แหลม 5.3 การน�ำ อตั ราส่วนตรโี กณมติ ไิ ปใช้ในการแกป้ ญั หา 372 374 อัตราส่วนตรีโกณมติ ิ กจิ กรรมคณติ ศาสตรเ์ ชงิ สะเต็ม 380 ความรเู้ พ่ิมเติมสำ�หรับคร ู 381 บรรณานุกรม คณะผจู้ ดั ทำ�

คูม่ อื ครูรายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 13 บทท่ี 1 ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ในบทระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรนี้ ประกอบด้วยหัวข้อย่อย ดงั ตอ่ ไปนี้ 1.1 แนะน�ำ ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 2 ช่วั โมง 1.2 การแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 5 ชั่วโมง 1.3 การแก้โจทย์ปัญหาโดยใชร้ ะบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 5 ชว่ั โมง สาระและมาตรฐานการเรียนรู้ สาระที่ 1 จ�ำ นวนและพชี คณิต มาตรฐาน ค 1.3 ใชน้ พิ จน์ สมการ และอสมการ อธิบายความสัมพันธ์หรอื ช่วยแกป้ ัญหาทกี่ �ำ หนดให้ ตัวชีว้ ัด ประยุกต์ใชร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรในการแกป้ ญั หาคณิตศาสตร์ จุดประสงค์ของบทเรียน นกั เรยี นสามารถ 1. ใชก้ ราฟเพ่ือวเิ คราะหเ์ ก่ียวกบั คำ�ตอบของระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร 2. แก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 3. น�ำ ความรเู้ กีย่ วกบั ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรไปใช้ในการแก้ปัญหา ความเช่ือมโยงระหว่างตวั ชว้ี ดั กับจดุ ประสงคข์ องบทเรียน เนอ่ื งจากตวั ชว้ี ดั น้ี กลา่ วถงึ การประยุกต์ใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในการแก้ปัญหาคณิตศาสตร์ ดังนั้น เพ่ือให้ การเรียนรขู้ องนักเรยี นในเรอ่ื งระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรสอดคล้องกับตัวชี้วดั ครคู วรจัดประสบการณใ์ ห้นกั เรยี นสามารถ น�ำ ความรเู้ กี่ยวกบั ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรไปใช้ในการแกป้ ญั หาซงึ่ สะทอ้ นได้จากการท่ีนักเรยี นสามารถ ✤ รู้จักและเข้าใจเก่ียวกับระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยสามารถอธิบายลักษณะของระบบสมการเชิงเส้น สองตัวแปร ลักษณะของคำ�ตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจากการสังเกตกราฟ รวมทั้งใช้กราฟ ในการวิเคราะหค์ �ำ ตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

14 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คู่มือครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ✤ แก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใชส้ มบัติของการเท่ากัน ✤ สรา้ งระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรแทนสถานการณห์ รอื โจทยป์ ญั หา และหาค�ำ ตอบพรอ้ มทง้ั ตรวจสอบค�ำ ตอบ และความสมเหตสุ มผลของคำ�ตอบ ความคิดรวบยอดของบทเรยี น ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คือ ชุดของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรอย่างน้อย 2 สมการ ที่แต่ละสมการเขียนแสดง ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งปรมิ าณสองปรมิ าณ ค�ำ ตอบของระบบสมการเปน็ ค�ำ ตอบของแตล่ ะสมการในระบบสมการ เราใชร้ ะบบสมการ แทนสถานการณ์หรือปัญหาเพื่อนำ�ไปสู่การหาคำ�ตอบ ซ่ึงคำ�ตอบท่ีสอดคล้องกับทุกเง่ือนไขและมีความสมเหตุสมผลจะเป็น คำ�ตอบของปญั หาหรือสถานการณ์ ทักษะและกระบวนการทางคณิตศาสตร์ หัวข้อ ทกั ษะและ 1.1 1.2 1.3 กจิ กรรมทา้ ยบท/ กระบวนการ แนะนำ�ระบบ การแกร้ ะบบ การแก้ แบบฝกึ หัด ทางคณิตศาสตร์ สมการเชิงเส้น สมการเชงิ เสน้ โจทยป์ ญั หา ท้ายบท สองตัวแปร สองตวั แปร โดยใชร้ ะบบ การแก้ปญั หา สมการเชงิ เสน้ การส่อื สารและ สองตวั แปร การส่ือความหมาย ทางคณิตศาสตร์ ✤✤ การเช่อื มโยง การใหเ้ หตุผล ✤✤ การคิดสรา้ งสรรค์ ✤ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 15 ความเชือ่ มโยงของความรู้ ความรพู ื้นฐาน ✤ การแก้สมการโดยใช้สมบัติของการเท่ากัน เช่น สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก และสมบัติของการเท่ากันเก่ียวกับการคูณ เพอ่ื เปน็ พ้นื ฐานในการแก้ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ✤ สมการเชงิ เส้นสองตัวแปรที่อยู่ในรปู y = mx + b เมอ่ื x และ y เป็นตวั แปร ทแี่ ทนจ�ำ นวนจริงใด ๆ โดยท่ี m และ b เป็นค่าคงตวั จะมีกราฟเป็นเสน้ ตรงทีม่ ี ความชนั เท่ากบั m โดยมีลกั ษณะของกราฟ 3 ลักษณะ เม่อื m > 0 , m < 0 และ m = 0 เพื่อเป็นพ้ืนฐานในการนึกภาพเกี่ยวกับลักษณะของกราฟท่ีจะใช้ หาค�ำ ตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ความรู ✤ ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรที่มี x และ y เปน็ ตวั แปร โดยที่ a, b, c, d, ในบทเรยี น e และ f เปน็ จำ�นวนจรงิ ท่ี a, b ไม่เปน็ ศูนย์พรอ้ มกนั และ c, d ไมเ่ ป็นศนู ย์ พรอ้ มกัน เป็นระบบทป่ี ระกอบดว้ ยสมการ ax + by = e cx + dy = f ✤ คำ�ตอบของระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร คือ คอู่ นั ดบั (x, y) ที่สอดคล้องกับ สมการทั้งสองของระบบสมการ ซึ่งค่า x และค่า y ทำ�ให้ได้สมการที่เป็นจริง ทัง้ สองสมการ ✤ ลักษณะคำ�ตอบของระบบสมการเชิงเส้น มี 3 แบบ คอื มคี ำ�ตอบเดยี ว มคี ำ�ตอบ มากมายไม่จ�ำ กดั และไม่มคี �ำ ตอบ ✤ การแกร้ ะบบสมการเปน็ การหาค�ำ ตอบของระบบสมการ ซง่ึ สามารถหาไดจ้ ากกราฟ หรือใช้สมบัตขิ องการเทา่ กนั ได้แก่ สมบัตสิ มมาตร สมบตั ิถ่ายทอด สมบัติของ การเทา่ กันเก่ียวกบั การบวก และสมบัตขิ องการเท่ากันเก่ียวกบั การคูณ ✤ การแกโ้ จทยป์ ญั หาเกยี่ วกบั ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร จะสรา้ งสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปรแทนสถานการณ์หรือปัญหา แล้วแก้ระบบสมการเพื่อหาคำ�ตอบ พร้อมท้ังตรวจสอบคำ�ตอบและความสมเหตุสมผล ความรใู นอนาคต การใชค้ วามรเู้ กยี่ วกบั ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรในการสรา้ งระบบสมการ ที่มากกว่าสองตัวแปรแทนปัญหาที่มีเง่ือนไขและความซับซ้อนมากข้ึน นอกจากนี้ ยงั ใชเ้ ปน็ ความรพู้ น้ื ฐานในการศกึ ษาคณติ ศาสตรเ์ รอื่ งอน่ื ๆ เชน่ เมทรกิ ซ์ ก�ำ หนดการ เชงิ เส้น และความสัมพันธ์เชิงฟงั กช์ ันระหวา่ งขอ้ มูล สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

16 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร ค่มู อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ล�ำ ดับการจดั กจิ กรรมการเรียนรขู้ องบทเรียน ทบทวนความร้เู รือ่ ง สมการเชงิ เส้นสองตวั แปร รปู ทั่วไปของสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร กราฟของสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร และค�ำ ตอบของสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ท�ำ กจิ กรรมเพอ่ื ส�ำ รวจค�ำ ตอบของสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรจ�ำ นวนสองสมการทม่ี ตี วั แปรชดุ เดยี วกนั จากกราฟ อภปิ รายลกั ษณะค�ำ ตอบ 3 แบบ ของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร คือ มีค�ำ ตอบเดยี ว มีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด และ ไม่มคี ำ�ตอบ แนะน�ำ และอภิปรายเกี่ยวกับลักษณะของสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรสองสมการท่ีหาค�ำ ตอบร่วมกนั เรียกวา่ ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ทบทวนการหาค�ำ ตอบของสมการโดยใชส้ มบัติของการเท่ากนั แนะน�ำ และอภิปรายเกย่ี วกบั การหาค�ำ ตอบ ของระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร โดยใชส้ มบัติการเท่ากัน ซึ่งอาจท�ำ ได้โดยวิธกี ารก�ำ จัดตวั แปร และวธิ กี ารแทนคา่ แก้ปญั หาเกย่ี วกับระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร โดยสร้างระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร แทนสถานการณ์หรือโจทยป์ ัญหา และแก้ระบบสมการเพือ่ หาค�ำ ตอบ พร้อมทง้ั ตรวจสอบค�ำ ตอบและความสมเหตุสมผลของคำ�ตอบ สรปุ บทเรยี น เร่ือง ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร และฝึกแกป้ ัญหาโดยทำ�กจิ กรรมท้ายบทและแบบฝึกหัดท้ายบท สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร 17 1.1 แนะนำ�ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร (2 ช่ัวโมง) จุดประสงค์ นกั เรียนสามารถ 1. อธบิ ายลกั ษณะของระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร 2. อธิบายลักษณะคำ�ตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรจากการสงั เกตกราฟหรือระบบสมการ 3. ใชก้ ราฟในการวิเคราะหห์ าคำ�ตอบของระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร ความเขา้ ใจท่คี ลาดเคล่ือน Y นักเรียนมักเข้าใจคลาดเคลื่อนว่า คำ�ตอบของระบบสมการ 10 ทีไ่ ดจ้ ากกราฟจะตอ้ งเป็นจดุ ที่กราฟตัดกนั เท่าน้ัน ดังน้นั ในกรณีท่ี 8 กราฟเปน็ เสน้ ตรงทท่ี บั กนั หรอื เปน็ เสน้ ตรงเดยี วกนั ซง่ึ จะไมเ่ หน็ จดุ ตดั 6 ชัดเจน ทำ�ให้เข้าใจว่าระบบสมการไม่มีคำ�ตอบ ซึ่งในความเป็นจริง ระบบสมการนม้ี คี �ำ ตอบมากมายไม่จ�ำ กัด 4 2x – 4y = 2 2 -10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X -2 -4 -6 x – 2y = 1 -8 -10 สื่อที่แนะนำ�ให้ใช้ในขอ้ เสนอแนะในการจัดกจิ กรรมการเรียนรู้ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 : ค�ำ ตอบของเธอกับฉัน ข้อเสนอแนะในการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้ ในหวั ขอ้ นจ้ี ะมงุ่ ใหน้ กั เรยี นไดร้ จู้ กั และเขา้ ใจเกย่ี วกบั ลกั ษณะของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร พรอ้ มทงั้ อธบิ ายลกั ษณะ คำ�ตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจากกราฟ ซ่ึงมี 3 แบบ ได้แก่ มีคำ�ตอบเดียว มีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด และ ไม่มีคำ�ตอบ รวมท้ังหาคำ�ตอบของสมการจากกราฟได้ นอกจากนี้ ยังมุ่งฝึกการนึกภาพเกี่ยวกับกราฟของสมการเชิงเส้น สองตวั แปรก่อนวเิ คราะหห์ าค�ำ ตอบ แนวทางการจดั กิจกรรมการเรียนรู้อาจท�ำ ไดด้ ังน้ี 1. ครสู นทนากบั นักเรยี นเพื่อทบทวนรูปทัว่ ไปของสมการเชิงเส้นสองตวั แปร Ax + By + C = 0 เมือ่ x และ y เปน็ ตัวแปร A, B และ C เป็นค่าคงตัว โดยท่ี A และ B ไม่เปน็ ศนู ย์พร้อมกนั โดยครอู าจใหน้ ักเรียนชว่ ยกนั ยกตวั อยา่ งสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร เชน่ 3x – 2y = 6 เพอ่ื น�ำ ไปสกู่ ารเขยี นกราฟของสมการ การหาคอู่ นั ดบั ตา่ ง ๆ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

18 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร ค่มู ือครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 ที่สอดคล้องกับสมการ และคำ�ตอบของสมการจากกราฟ โดยเน้นยำ้�ว่าคำ�ตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร มีจ�ำ นวนมากมายไมจ่ �ำ กัด 2. ครูใช้ “กจิ กรรม : ดูกราฟทราบค�ำ ตอบ” ในหนังสอื เรยี น หน้า 14–16 เพือ่ ให้นกั เรยี นพจิ ารณาสมการเชิงเส้น สองตัวแปร 2 สมการ และกราฟของสมการท้งั สองบนแกนค่เู ดยี วกนั ครใู หน้ กั เรยี นระบุพกิ ดั ของจดุ ทเ่ี ปน็ คำ�ตอบ ของสมการแต่ละสมการ และพิกัดของจุดร่วมท่ีเป็นคำ�ตอบของท้ังสองสมการ เพื่อให้นักเรียนสังเกตลักษณะ คำ�ตอบจากกราฟวา่ มี 3 แบบ คอื มีคำ�ตอบเดียว มีคำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัด และไมม่ คี ำ�ตอบ ครูอาจใช้มุมเทคโนโลยี ในหนังสือเรียน หน้า 17 โดยดาวน์โหลดส่ือสำ�เร็จรูปสำ�หรับซอฟต์แวร์ The Geometer’s Sketchpad (GSP) เพื่อพจิ ารณากราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 2 สมการอ่นื ๆ เพม่ิ เตมิ 3. ครยู กตวั อย่างปัญหาเกี่ยวกบั จ�ำ นวนในหนังสอื เรียน หนา้ 17 เพ่อื ใหน้ กั เรียนพิจารณาวา่ เราสามารถเขียนสมการ แสดงความความสัมพันธ์ของปริมาณสองปริมาณแทนแต่ละเง่ือนไขโดยใช้ตัวแปรชุดเดียวกันได้ แต่คำ�ตอบของ แตล่ ะสมการจะมมี ากมาย ซงึ่ อาจไมส่ อดคลอ้ งกบั เงอื่ นไขทง้ั หมดของปญั หา จงึ ตอ้ งน�ำ ชดุ สมการทง้ั สองมาพจิ ารณา หาคำ�ตอบร่วมกัน เราเรียกชุดของสมการทั้งสองท่ีพิจารณาคำ�ตอบร่วมกันว่า “ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร” ซึ่งในบทน้ี จะเนน้ เฉพาะสมการเชงิ เส้นทีม่ ีตัวแปรเพียงสองตัวและมีสมการเพียงสองสมการเท่านั้น 4. ครูอาจยกตัวอย่างระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในหนังสือเรียน หน้า 18–20 โดยให้นักเรียนนึกภาพ (visualize) ของกราฟจากแต่ละสมการที่กำ�หนดก่อนท่ีจะลงมือเขียนกราฟ เพื่อหาคำ�ตอบของระบบสมการ จากกราฟ และเนน้ วา่ จ�ำ นวนค�ำ ตอบของระบบสมการจะเปน็ แบบใดแบบหนงึ่ ใน 3 แบบเทา่ นนั้ คอื มคี �ำ ตอบเดยี ว มีค�ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กดั หรอื ไม่มีค�ำ ตอบ นอกจากนี้ ครูอาจให้นักเรียนสังเกตเพิ่มเติมเก่ียวกับความสัมพันธ์ของสัมประสิทธ์ิและค่าคงตัวของสมการ ท้ังสองกับคำ�ตอบของระบบสมการท่ีได้ จากบทสนทนาของข้าวสวยและข้าวหอม ในหนังสือเรียน หน้า 20–21 เพอ่ื ใหไ้ ด้ข้อสงั เกตท่ีวา่ ✤ ถา้ สมั ประสทิ ธข์ิ องตวั แปรตวั เดยี วกนั และคา่ คงตวั ในแตล่ ะสมการมคี วามสมั พนั ธท์ ที่ �ำ ใหส้ มการทง้ั สอง สมมลู กนั กราฟของสมการทง้ั สองจะทบั กนั สนทิ ระบบสมการนจ้ี ะมคี �ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กดั ซง่ึ ในกรณนี ้ี นกั เรยี นมกั คดิ วา่ ระบบสมการนไี้ มม่ คี �ำ ตอบ เพราะไมเ่ หน็ พกิ ดั ของจดุ ตดั ทเี่ ปน็ ค�ำ ตอบของระบบสมการ ดังนั้น ครูควรเน้นให้นักเรียนสังเกตพิกัดของจุดท่ีทับกัน โดยสังเกตว่าคู่อันดับที่สอดคล้องกับสมการ ดงั กล่าว มีมากมายไมจ่ ำ�กัด ✤ ถา้ สมั ประสทิ ธขิ์ องตวั แปรตวั เดยี วกนั เทา่ กนั หรอื สามารถท�ำ ใหเ้ ทา่ กนั ได้ แตค่ า่ คงตวั ของสมการทงั้ สอง ไม่เท่ากัน กราฟของสมการทงั้ สองจะขนานกนั ท�ำ ใหร้ ะบบสมการนไี้ มม่ คี �ำ ตอบ 5. ครูอาจใช้ “กิจกรรมเสนอแนะ 1.1 : คำ�ตอบของเธอกับฉัน” ในคู่มือครู หน้า 21–25 เพื่อสรุปความเข้าใจ ในการหาค�ำ ตอบของระบบสมการ โดยการก�ำ หนดเงอ่ื นไขทเ่ี กย่ี วขอ้ งกนั สองเงอ่ื นไข เพอ่ื ใหไ้ ดค้ �ำ ตอบของจ�ำ นวนสอง จ�ำ นวนตามเงือ่ นไขท่กี ำ�หนดให้ 6. ครูอาจใช้คำ�ถามชวนคิด 1.1 ในหนังสือเรียน หน้า 24 เพ่ือนำ�ไปสู่การอภิปรายท่ีว่า การเขียนหรืออ่านจุดตัด ท่ีเป็นพิกัดของคำ�ตอบอาจมีความคลาดเคล่ือน ทำ�ให้เราต้องหาแนวทางอ่ืนในการหาคำ�ตอบท่ีถูกต้องของ ระบบสมการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ อื ครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 19 กจิ กรรม : ดูกราฟทราบคำ�ตอบ กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่ต้องการให้นักเรียนพิจารณากราฟของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร และสังเกตเก่ียวกับ คำ�ตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจากกราฟ แล้วสร้างข้อความคาดการณ์เกี่ยวกับจำ�นวนคำ�ตอบว่าเป็นไปได้ก่ีแบบ โดยมขี ั้นตอนการด�ำ เนินกิจกรรม ดงั นี้ ส่ือ/อุปกรณ์ - ขน้ั ตอนการดำ�เนินกจิ กรรม 1. ครใู หน้ ักเรยี นท�ำ “กิจกรรม : ดกู ราฟทราบค�ำ ตอบ” ขอ้ 1–3 ในหนังสือเรยี น หนา้ 14–16 แล้วระบพุ กิ ดั ของจุด ทีเ่ ปน็ คำ�ตอบของสมการท่กี ำ�หนดให้ 2. ครูนำ�นักเรียนอภิปรายเก่ียวกับพิกัดของจุดที่เป็นคำ�ตอบของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่ได้จากการทำ�กิจกรรม ในแตล่ ะขอ้ วา่ ไดค้ �ำ ตอบเหมอื นกนั หรอื ไม่ อยา่ งไร จากนน้ั ใหน้ กั เรยี นตอบค�ำ ถามทา้ ยกจิ กรรมในหนงั สอื เรยี น หนา้ 16 โดยสังเกตลักษณะคำ�ตอบที่ได้จากการทำ�กิจกรรมแต่ละข้อ และอภิปรายร่วมกันเพื่อนำ�ไปสู่ข้อสรุปเกี่ยวกับ ความสมั พันธร์ ะหว่างกราฟของชุดสมการกบั คำ�ตอบของชุดสมการ 3. ครูนำ�อภิปรายเพ่ิมเติมเก่ียวกับคำ�ตอบของระบบสมการที่มีจำ�นวนมากมายซึ่งสามารถเขียนคำ�ตอบในรูปพิกัดของ ( )คอู่ ันดับ (x, y) ให้เหมือนกันได้ เชน่ เขียนพิกดั ในรูป (5 – 2y, y) หรอื x, 5–—–2 x สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

20 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 เฉลยกจิ กรรม : ดูกราฟทราบคำ�ตอบ 1. 1) ตัวอย่างคำ�ตอบ (-2, 10) , (-1, 9) , (0, 8) , (1, 7) , (2, 6) , (3, 5) , (4, 4) , (5, 3) , (6, 2) , (7, 1) , (8, 0) , (9, -1) , (10, -2) 2) ตัวอยา่ งค�ำ ตอบ (-2, -11) , (-1, -9) , (0, -7) , (1, -5) , (2, -3) , (3, -1) , (4, 1) , (5, 3) , (6, 5) , (7, 7) , (8, 9) 3) (5, 3) ( )2. 1) ตัวอยา่ งคำ�ตอบ (-3, 4) , (-1, 3) , 0, 2–21 , (1, 2) , (3, 1) , (5, 0) , (7, -1) ( ) 2) ตวั อย่างคำ�ตอบ (-3, 4) , (-1, 3) , 0, 21–2 , (1, 2) , (3, 1) , (5, 0) , (7, -1) 3) ค�ำ ตอบมีไดห้ ลากหลาย เช่น ( ) ✤ มคี ำ�ตอบมากมาย เชน่ (-3, 4) , (-1, 3) , 0, 2–12 , (1, 2) , (3, 1) , (5, 0) , (7, -1) ( ) ✤ คำ�ตอบของทั้งสองสมการเหมือนกัน เชน่ (-3, 4) , (-1, 3) , 0, 21–2 , (1, 2) , (3, 1) , (5, 0) , (7, -1) 3. 1) ตวั อยา่ งค�ำ ตอบ (-4, -1) , (-2, 2) , (0, 5) , (2, 8) 2) ตัวอยา่ งคำ�ตอบ (-6, -7) , (-4, -4) , (-2, -1) , (0, 2) , (2, 5) , (4, 8) 3) ไมม่ ี เฉลยค�ำ ถามท้ายกิจกรรม : ดกู ราฟทราบคำ�ตอบ ตวั อยา่ งค�ำ ตอบ จากกจิ กรรมในแต่ละข้อ เมอื่ สังเกตกราฟเก่ียวกับค�ำ ตอบของสมการเชิงเสน้ สองตัวแปรทั้งสองสมการ พบวา่ ✤ ข้อ 1 กราฟของสมการท้ังสองตัดกันจุดเดียว แสดงว่าคำ�ตอบของสมการท้ังสองมีเพียงคำ�ตอบเดียว คือ พกิ ดั ของจดุ ตัดนน้ั ✤ ขอ้ 2 กราฟของสมการทงั้ สองทับกนั สนทิ และคำ�ตอบทกุ ค�ำ ตอบของสมการ x + 2y = 5 เปน็ คำ�ตอบ ของสมการ 3x + 6y = 15 ด้วย แสดงวา่ คำ�ตอบของสมการท้งั สองมมี ากมายไม่จำ�กดั ✤ ข้อ 3 กราฟของสมการทัง้ สองขนานกัน ไม่มจี ุดตดั และไมท่ ับกนั แสดงวา่ ไม่มีพิกัดของจุดที่เปน็ ค�ำ ตอบ ร่วมของสมการทั้งสอง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู ือครูรายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 21 กจิ กรรมเสนอแนะ 1.1 : คำ�ตอบของเธอกบั ฉัน กิจกรรมน้ี เป็นกิจกรรมที่เน้นย้ำ�ความเข้าใจเกี่ยวกับการหาคำ�ตอบของระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรจากกราฟ โดยฝกึ การสรา้ งระบบสมการ เขียนกราฟ สงั เกตจุดตัดของกราฟ และหาคำ�ตอบของระบบสมการจากกราฟ โดยมีส่ือ/อปุ กรณ์ และข้นั ตอนการด�ำ เนนิ กิจกรรม ดงั น้ี สอ่ื /อุปกรณ์ ใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 : คำ�ตอบของเธอกบั ฉนั ขัน้ ตอนการด�ำ เนินกจิ กรรม 1. ครูให้นักเรียนแต่ละคนทำ�ใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 : คำ�ตอบของเธอกับฉัน ข้อ 1 แล้วสุ่มนักเรียนเฉลยคำ�ตอบ ในขอ้ 1 ข้อยอ่ ย 1) และ 2) เก่ยี วกับตวั อย่างของจำ�นวนสองจ�ำ นวนท่รี วมกันได้ 10 และจำ�นวนสองจ�ำ นวนทมี่ คี า่ ต่างกันอยู่ 2 จากน้ันร่วมกันอภิปรายว่าคำ�ตอบที่ได้ของนักเรียนแต่ละคนนั้นเหมือนกันหรือแตกต่างกัน และ เปน็ คำ�ตอบท่ีถกู ตอ้ งหรอื ไม่ เพราะเหตุใด สำ�หรับขอ้ ย่อย 3) นกั เรียนทกุ คนควรไดค้ �ำ ตอบเหมอื นกนั 2. ครใู หน้ กั เรยี นท�ำ กจิ กรรมขอ้ 2 โดยเขยี นสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรแทนประโยค “จ�ำ นวนสองจ�ำ นวนทร่ี วมกนั ได้ 10” และ “จำ�นวนสองจ�ำ นวนท่ีมคี า่ ต่างกนั อยู่ 2” เมอ่ื กำ�หนดให้ x แทนจ�ำ นวนแรก และ y แทนจำ�นวนที่สอง แล้ว สุ่มนกั เรยี นมาน�ำ เสนอค�ำ ตอบ และใหน้ กั เรยี นคนอน่ื ๆ รว่ มกันพจิ ารณาความถกู ตอ้ ง 3. ครูใหน้ กั เรยี นทำ�กิจกรรมข้อ 3–5 แล้วอภิปรายค�ำ ตอบที่ไดร้ ่วมกัน ส�ำ หรับข้อ 5 นกั เรยี นควรตอบไดว้ ่าเราสามารถ เขียนกราฟของสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรเพ่อื หาคำ�ตอบของจำ�นวนสองจำ�นวนท่มี ีเงอื่ นไขตามท่ีก�ำ หนดให้ได้ เพราะ คำ�ตอบที่ได้เหมือนกัน และมีความสะดวกมากกว่าที่จะยกตัวอย่างจำ�นวนตามเง่ือนไขที่กำ�หนดให้ แล้วพิจารณาว่า มีค�ำ ตอบเหมือนกนั หรือไม่ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

22 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร คู่มอื ครรู ายวชิ าพ้นื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 ใบกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 : ค�ำ ตอบของเธอกบั ฉัน 1. ใหน้ กั เรยี นเติมคำ�ตอบในแตล่ ะข้อต่อไปน้ี 1) จงยกตวั อยา่ งจ�ำ นวนสองจำ�นวนท่รี วมกันได้ 10 มา 6 คู่ 2) จงยกตัวอย่างจำ�นวนสองจ�ำ นวนทมี่ ีค่าต่างกนั อยู่ 2 มา 6 คู่ 3) จงหาจ�ำ นวนสองจำ�นวนทีส่ อดคลอ้ งกบั เงอ่ื นไขในข้อ 1) และ 2) 2. ถ้าให้ x แทนจำ�นวนแรก และ y แทนจ�ำ นวนที่สอง ให้นกั เรยี นเติมค�ำ ตอบในแตล่ ะขอ้ ต่อไปนี้ 1) จงเขยี นสมการแทนประโยค “จ�ำ นวนสองจ�ำ นวนที่รวมกนั ได้ 10” 2) จงเขียนสมการแทนประโยค “จ�ำ นวนสองจำ�นวนท่มี คี า่ ตา่ งกนั อยู่ 2” 3. ให้นักเรียนใช้ความรู้เรื่องการเขียนกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในการเขียนกราฟของสมการท่ีได้ ในข้อ 2 โดยใช้แกนคเู่ ดยี วกัน สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คมู่ ือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 23 4. จากกราฟในขอ้ 3 จงเติมคำ�ตอบในแตล่ ะข้อต่อไปนี้ 1) จงระบุพิกัดของจดุ ตดั ของกราฟท่ีไดใ้ นข้อ 3 2) พกิ ัดของจดุ ตดั ทไี่ ด้กบั คำ�ตอบในขอ้ 1 ขอ้ ยอ่ ย 3) สัมพนั ธก์ นั อยา่ งไร 5. นักเรียนคิดว่าเราสามารถใช้การเขียนกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในการหาคำ�ตอบของจำ�นวน สองจ�ำ นวนที่มเี ง่ือนไขตามที่ก�ำ หนดให้ในข้อ 1 ขอ้ ยอ่ ย 1) และ 2) ไดห้ รอื ไม่ เพราะเหตใุ ด สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

24 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คู่มอื ครรู ายวิชาพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เฉลยใบกจิ กรรมเสนอแนะ 1.1 : คำ�ตอบของเธอกับฉนั 1. ให้นกั เรยี นเตมิ ค�ำ ตอบในแตล่ ะข้อตอ่ ไปนี้ 1) จงยกตัวอยา่ งจ�ำ นวนสองจำ�นวนทรี่ วมกันได้ 10 มา 6 คู่ ตัวอย่างคำ�ตอบ 9 กบั 1 8 กับ 2 7 กับ 3 6 กบั 4 5 กับ 5 -4 กบั 14 2) จงยกตวั อย่างจำ�นวนสองจ�ำ นวนทีม่ คี า่ ตา่ งกนั อยู่ 2 มา 6 คู่ ตัวอย่างคำ�ตอบ 3 กบั 1 4 กับ 2 5 กับ 3 6 กับ 4 7 กับ 5 8 กับ 6 3) จงหาจ�ำ นวนสองจำ�นวนที่สอดคลอ้ งกบั เงื่อนไขในข้อ 1) และ 2) 6 กบั 4 (สำ�หรับขอ้ น้ี นักเรียนอาจตอบ 4 กับ 6 กไ็ ด้ ขนึ้ อย่กู บั คำ�ตอบของนักเรยี นในข้อ 1) และ 2) ) 2. ถ้าให้ x แทนจำ�นวนแรก และ y แทนจำ�นวนทสี่ อง ให้นักเรียนเตมิ คำ�ตอบในแต่ละขอ้ ต่อไปนี้ 1) จงเขียนสมการแทนประโยค “จำ�นวนสองจำ�นวนทร่ี วมกันได้ 10” x + y = 10 2) จงเขียนสมการแทนประโยค “จำ�นวนสองจำ�นวนทมี่ คี า่ ตา่ งกันอยู่ 2” x – y = 2 หรือ y – x = 2 3. ให้นักเรียนใช้ความรู้เร่ืองการเขียนกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในการเขียนกราฟของสมการที่ได้ ในขอ้ 2 โดยใช้แกนคเู่ ดียวกัน กรณี x + y = 10 และ x – y = 2 กรณี x + y = 10 และ y – x = 2 Y Y 10 x + y = 10 10 x + y = 10 8 6 2 4 6 8 10 8 4 6 2 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 O X -10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X -2 -2 -4 -4 x–y = 2 -6 y–x = 2 -6 -8 -8 -10 -10 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 25 4. จากกราฟในข้อ 3 จงเติมค�ำ ตอบในแต่ละข้อตอ่ ไปน้ี หรอื 1) จงระบุพิกัดของจดุ ตดั ของกราฟทไี่ ด้ในขอ้ 3 กรณี x + y = 10 และ x – y = 2 จะไดพ้ กิ ดั ของจุดตดั คือ (6, 4) กรณี x + y = 10 และ y – x = 2 จะได้พิกัดของจุดตดั คอื (4, 6) 2) พกิ ดั ของจดุ ตดั ท่ีไดก้ ับค�ำ ตอบในข้อ 1 ข้อย่อย 3) สมั พนั ธ์กนั อย่างไร มคี �ำ ตอบเหมอื นกนั คอื 6 กบั 4 5. นักเรียนคิดว่าเราสามารถใช้การเขียนกราฟของสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในการหาคำ�ตอบของจำ�นวน สองจำ�นวนทมี่ เี งอื่ นไขตามท่ีก�ำ หนดให้ในขอ้ 1 ขอ้ ย่อย 1) และ 2) ไดห้ รอื ไม่ เพราะเหตุใด ได้ เพราะไดค้ �ำ ตอบเหมอื นกนั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

26 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร คูม่ อื ครูรายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 เฉลยชวนคิด ชวนคิด 1.1 เขยี นกราฟของระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรทป่ี ระกอบดว้ ยสมการ 2x + 3y = 1 และ 3x – 2y = 18 ipst.me/11417 ไดด้ ังน้ี Y 10 3x – 2y = 18 8 2x + 3y = 1 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X -2 -4 -6 -8 -10 จากกราฟ จะเห็นว่าพิกัดที่หนึ่งและพิกัดท่ีสองของจุดตัดของกราฟไม่เป็นจำ�นวนเต็ม ทำ�ให้อ่านได้เพียง ค่าประมาณเท่านน้ั ค�ำ ตอบทอ่ี า่ นได้จากกราฟจงึ อาจไม่ใช่คำ�ตอบท่ีถกู ต้องของระบบสมการทกี่ �ำ หนดให้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวชิ าพืน้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร 27 เฉลยแบบฝกึ หัด แบบฝกึ หัด 1.1 1. 1) แนวคดิ ก�ำ หนดให ้ x + 2y = 4 1 2 2x + 3y = 7 เขยี นกราฟของสมการทง้ั สองได้ดังน้ี Y 2x + 3y = 7 10 x + 2y = 4 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X -2 -4 -6 -8 -10 จากกราฟ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรนมี้ ีคำ�ตอบเพียงคำ�ตอบเดียว คือ (2, 1) 2) แนวคดิ ก�ำ หนดให้ y + x = -2 1 2 2y + 2x = -4 เขียนกราฟของสมการทง้ั สองไดด้ ังน้ี สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

28 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร คมู่ ือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 Y 10 2 4 6 8 10 X 2y + 2x = -4 8 y + x = -2 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 O -2 -4 -6 -8 -10 จากกราฟ ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรน้มี ีค�ำ ตอบมากมายไมจ่ ำ�กัด 3) แนวคิด กำ�หนดให้ x – 3y = 6 1 2 2x – 6y = 8 เขียนกราฟของสมการทั้งสองไดด้ ังน้ี Y 10 2x – 6y = 8 X 8 6 2 4 6 8 10 4 2 x – 3y = 6 -10 -8 -6 -4 -2 O -2 -4 -6 -8 -10 จากกราฟ ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปรนไี้ ม่มคี ำ�ตอบ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปร 29 4) แนวคิด กำ�หนดให้ 2x – y = -3 1 2 -4x + 2y = 6 เขยี นกราฟของสมการทั้งสองไดด้ ังน้ี Y 10 -4x + 2y = 6 8 6 2 4 6 8 10 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 O X -2 2x – y = -3 -4 -6 -8 -10 จากกราฟ ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรนมี้ ีค�ำ ตอบมากมายไมจ่ ำ�กดั 5) แนวคิด ก�ำ หนดให้ -x + 2y = 6 1 2 2y – 4 = x เขยี นกราฟของสมการทั้งสองไดด้ งั นี้ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

30 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร คมู่ ือครรู ายวิชาพ้นื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 Y 10 8 -x + 2y = 6 6 4 2 2y – 4 = x -10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X -2 -4 -6 -8 -10 จากกราฟ ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรนีไ้ มม่ คี �ำ ตอบ 6) แนวคิด ก�ำ หนดให้ 2x – 3y – 14 = 0 1 2 3x + 2y = 8 เขยี นกราฟของสมการทัง้ สองไดด้ งั น้ี Y 3x + 2y = 8 10 8 6 4 2 -10 -8 -6 -4 -2 O 2 4 6 8 10 X -2 -4 2x – 3y – 14 = 0 -6 -8 -10 จากกราฟ ระบบสมการเชงิ เส้นสองตวั แปรน้ีมคี �ำ ตอบเพยี งค�ำ ตอบเดียว คอื (4, -2) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ อื ครรู ายวิชาพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 31 2. 1) มคี ำ�ตอบเพยี งค�ำ ตอบเดียว คือ (2, 1) 2) มคี �ำ ตอบเพียงคำ�ตอบเดียว คือ (3, -3) 3) มคี �ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กดั 4) ไมม่ ีค�ำ ตอบ 5) มีคำ�ตอบเพยี งค�ำ ตอบเดียว คอื (-2, 3) 6) มคี ำ�ตอบมากมายไมจ่ �ำ กดั 3. 1) เติมหมายเลขของสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรลงใน ได้ดังนี้ Y 10 3 8 X 6 4 2 4 6 8 10 2 21 -10 -8 -6 -4 -2 O 5 4 -2 -4 -6 -8 -10 จาก ขอ้ 1) สามารถตอบค�ำ ถามข้อ 2)–6) ได้ดงั น้ี 2) มคี ำ�ตอบเดียว คือ (0, 6) 3) ไม่มีคำ�ตอบ 4) มีค�ำ ตอบเดยี ว คือ (2, -2) 5) มีค�ำ ตอบเดยี ว คือ (4, -2) 6) มคี ำ�ตอบเดยี ว คือ (2, 2) สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

32 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คู่มือครรู ายวิชาพื้นฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 1.2 การแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร (5 ช่วั โมง) จดุ ประสงค์ นกั เรยี นสามารถแกร้ ะบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรโดยใชส้ มบตั ิของการเท่ากนั ความเขา้ ใจท่คี ลาดเคลือ่ น - สอื่ ท่แี นะนำ�ใหใ้ ช้ในขอ้ เสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ - ขอ้ เสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ ในหวั ขอ้ นเี้ ปน็ เรอื่ งการแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร โดยเนน้ ใหน้ กั เรยี นสามารถแกร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร โดยใช้สมบัติของการเท่ากัน เช่น สมบัติสมมาตร สมบัติถ่ายทอด สมบัติของการเท่ากันเกี่ยวกับการบวก และสมบัติของ การเทา่ กนั เกยี่ วกบั การคณู มาชว่ ยในการหาค�ำ ตอบของระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรชดุ ใหม่ จะสมมูลกับระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรที่กำ�หนดให้ ดังนั้น จึงไม่เน้นการตรวจสอบคำ�ตอบ แต่ควรเน้นความรอบคอบใน การแก้ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปรของนกั เรยี น แนวทางการจดั กจิ กรรมการเรยี นรู้อาจท�ำ ได้ดังนี้ ( ) 1. ครูยกตัวอย่างกราฟของระบบสมการ เช่น x + 6y = 10 และ 2x + 3y = 12 ซ่ึงมีคำ�ตอบเป็น 1—34 , –89 เพอ่ื ชใ้ี หน้ กั เรยี นเหน็ วา่ การเขยี นและอา่ นพกิ ดั ของคอู่ นั ดบั ทเ่ี ปน็ ค�ำ ตอบจากกราฟ อาจมโี อกาสคลาดเคลอื่ นจาก คา่ ทแ่ี ทจ้ รงิ ได้ จากนน้ั ครแู นะน�ำ การแกส้ มการโดยใชส้ มบตั กิ ารเทา่ กนั มาชว่ ยในการหาค�ำ ตอบของระบบสมการ เชงิ เสน้ สองตัวแปร 2. ครูอาจใช้ตัวอย่างที่ 1–6 ในหนังสือเรียน หน้า 24–27 เพ่ืออภิปรายร่วมกันถึงวิธีแก้ระบบสมการเชิงเส้น สองตัวแปร ซ่ึงอาจใช้วิธีการกำ�จัดตัวแปรหรือวิธีการแทนค่า ซึ่งหลังจากแก้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรแล้ว ครคู วรใหน้ กั เรยี นสงั เกตลกั ษณะค�ำ ตอบของระบบสมการทอี่ าจมคี �ำ ตอบเดยี ว มคี �ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กดั หรอื ไมม่ ี ค�ำ ตอบ นอกจากน้ี ครูควรเน้นย�ำ้ เพม่ิ เตมิ ในประเดน็ ต่อไปนี้ ✤ เม่ือแก้ระบบสมการแล้วได้สมการท่ีไม่เป็นจริง แสดงว่าไม่มีคำ�ตอบที่สอดคล้องกับสมการท้ังสอง ดังน้ัน ระบบสมการไมม่ คี ำ�ตอบ ดงั ในตวั อย่างที่ 4 ✤ ถ้าจดั รปู สมการเชงิ เสน้ สองตัวแปร แล้วพบว่าสมการทั้งสองเป็นสมการเดียวกัน หรือถ้าแกส้ มการแล้วได้ สมการทเี่ ป็นจรงิ แสดงว่าระบบสมการน้ีมีค�ำ ตอบมากมายไม่จ�ำ กดั ดังในตัวอย่างท่ี 5 และสำ�หรบั ตวั อย่าง ท่ี 5 น้ี ถา้ เราใช้วธิ ีก�ำ จดั ตัวแปร จะได้ 0 = 0 ซงึ่ เปน็ สมการที่เปน็ จริง สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครรู ายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร 33 ✤ ในกรณีที่ระบบสมการมีคำ�ตอบมากมาย ครูควรยำ้�ให้นักเรียนระบุคำ�ตอบในรูปท่ัวไป ซึ่งในชั้นนี้นักเรียน สามารถเขยี นคำ�ตอบใหอ้ ยูใ่ นรูปค่อู ันดบั ของตัวแปรใดตวั แปรหน่งึ ดังในตัวอย่างท่ี 5 3. ครูอาจให้นักเรียนร่วมกันอภิปรายถึงการเลือกใช้วิธีแก้ระบบสมการด้วยวิธีการกำ�จัดตัวแปรและวิธีการแทนค่า โดยช้ใี ห้เหน็ ว่า การจะเลือกใชว้ ิธกี ารใด มักพิจารณาจากลกั ษณะของแตล่ ะสมการในระบบสมการน้นั ทัง้ น้ีครูอาจ ยกตวั อยา่ งระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรเพมิ่ เตมิ เพอ่ื ใหน้ กั เรยี นพจิ ารณาและเลอื กวธิ แี กร้ ะบบสมการ โดยยงั ไม่ ลงมอื แก้ระบบสมการ 4. ครูอาจตั้งประเด็นเพิ่มเติมให้นักเรียนใช้ความรู้เก่ียวกับสมการเชิงเส้นท่ีเรียนมาแล้ว มาช่วยในการนึกภาพเพื่อ หาค�ำ ตอบของระบบสมการ ทแ่ี ตล่ ะสมการมลี กั ษณะเฉพาะ เชน่ x = 4 , y = 6 ซง่ึ จะมคี �ำ ตอบของระบบสมการ คือ (4, 6) ท�ำ ใหน้ กั เรียนขยายความคิดเก่ยี วกบั การใช้กราฟช่วยในการหาคำ�ตอบของระบบสมการ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

34 บทที่ 1 | ระบบสมการเชงิ เส้นสองตัวแปร คมู่ อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 เฉลยแบบฝึกหัด แบบฝึกหัด 1.2 1. 1) แนวคดิ 3x – 4y = 0 1 2 3x + 4y = -24 1 1 + 2 ; 6x = -24 2 3 x = -4 4 5 แทน x ด้วย -4 ในสมการ 1 จะได้ 1 3(-4) – 4y = 0 2 3 -4y = 12 y = -3 ดังนัน้ ระบบสมการนมี้ ีคำ�ตอบ คือ (-4, -3) 2) แนวคดิ 3x – y = 7 4x – 3y – 11 = 0 จากสมการ 2 4x – 3y = 11 1 × 3 ; 9x – 3y = 21 4 – 3 ; 5x = 10 x = 2 แทน x ดว้ ย 2 ในสมการ 1 จะได้ 3(2) – y = 7 -y = 1 y = -1 ดังนั้น ระบบสมการนี้มคี �ำ ตอบ คือ (2, -1) 3) แนวคดิ 1 x + 7y = 8 3x + 2y = 5 จากสมการ 1 x = 8 – 7y แทน x ดว้ ย 8 – 7y ในสมการ 2 จะได้ 3(8 – 7y) + 2y = 5 24 – 21y + 2y = 5 -19y = -19 y = 1 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวชิ าพน้ื ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร 35 แทน y ดว้ ย 1 ในสมการ 1 จะได้ x + 7(1) = 8 x = 1 ดงั น้นั ระบบสมการนี้มคี ำ�ตอบ คือ (1, 1) แนวคดิ 2 x + 7y = 8 1 2 3x + 2y = 5 3 1 × 3 ; 3x + 21y = 24 3 – 2 ; 19y = 19 y = 1 แทน y ดว้ ย 1 ในสมการ 1 จะได้ x + 7(1) = 8 x = 1 ดังน้นั ระบบสมการนม้ี ีค�ำ ตอบ คอื (1, 1) 4) แนวคดิ x + 2y – 1 = 0 1 2 2x + 4y – 5 = 0 3 ซ่งึ เป็นสมการทีไ่ มเ่ ปน็ จริง 1 × 2 ; 2x + 4y – 2 = 0 2 – 3 ; -3 = 0 ดังน้ัน ระบบสมการนไี้ ม่มคี �ำ ตอบ 5) แนวคิด 1 4x = 3y + 12 1 x = –43y + 3 2 2 × 4 ; 4x = 3y + 12 3 จะเห็นวา่ สมการ 3 ที่ได้จากสมการ 2 เป็นสมการเดียวกนั กับสมการ 1 แสดงว่าสมการ 1 และสมการ 2 มคี ำ�ตอบเหมือนกนั และมคี �ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กัด ( )ดงั น้นั ระบบสมการนมี้ คี ำ�ตอบมากมายไม่จำ�กดั อยูใ่ นรูป –43y + 3 , y เมื่อ y แทนจ�ำ นวนจริงใด ๆ แนวคิด 2 4x = 3y + 12 1 2 x = 4–3y + 3 จะได้ แทน x ดว้ ย 4–3y + 3 ในสมการ 1 4 4–3y + 3 = 3y + 12 ( ) 3y + 12 = 3y + 12 12 = 12 ซ่ึงเปน็ สมการท่ีเปน็ จรงิ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

36 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร คมู่ ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 แสดงวา่ สมการ 1 และสมการ 2 มีค�ำ ตอบเหมือนกัน และมีคำ�ตอบมากมายไมจ่ �ำ กดั ( )ดงั นั้น ระบบสมการนมี้ คี ำ�ตอบมากมายไมจ่ ำ�กัดอยใู่ นรูป 4–3y + 3 , y เม่อื y แทนจ�ำ นวนจริงใด ๆ 6) แนวคิด x + y = –21 1 x – 3y = 1–6 2 1 – 2 ; 4y = –31 y = 1—12 แทน y ดว้ ย 1—12 ในสมการ 1 จะได้ x + 1—12 = –21 x = 1—52 ( )ดังนน้ั ระบบสมการน้ีมีค�ำ ตอบ คือ 1—52 , 1—12 7) แนวคดิ 5x + 3y = 10 1 2 4x – 2y = 8 3 4 1 × 2 ; 10x + 6y = 20 2 × 3 ; 12x – 6y = 24 3 + 4 ; 22x = 44 x = 2 แทน x ดว้ ย 2 ในสมการ 1 จะได้ 5(2) + 3y = 10 3y = 0 y = 0 ดงั นั้น ระบบสมการนี้มีค�ำ ตอบ คอื (2, 0) 8) แนวคดิ -2x – 5y = 5 1 2 2y = 4 – 2x 3 จากสมการ 2 ; 2x + 2y = 4 1 + 3 ; -3y = 9 y = -3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 37 แทน y ด้วย -3 ในสมการ 1 จะได้ -2x – 5(-3) = 5 -2x = -10 x = 5 ดงั นน้ั ระบบสมการนมี้ ีค�ำ ตอบ คอื (5, -3) 9) แนวคดิ 2x – 3y = 5 1 2 -6x + 9y = -12 3 ซ่ึงเปน็ สมการทีไ่ มเ่ ปน็ จริง 1 × (-3) ; -6x + 9y = -15 2 – 3 ; 0 = 3 ดังนั้น ระบบสมการนไ้ี มม่ ีคำ�ตอบ 10) แนวคิด 1 x – 2–1y = 2 1 y – 2x = -4 2 1 × 2 ; 2x – y = 4 3 2 + 3 ; 0 = 0 ซ่งึ เปน็ สมการทีเ่ ป็นจรงิ แสดงว่า สมการ 1 และสมการ 2 มคี ำ�ตอบเหมือนกัน และมคี ำ�ตอบมากมายไมจ่ �ำ กัด หาคอู่ ันดบั ที่เปน็ คำ�ตอบของระบบสมการนีไ้ ด้จากสมการใดสมการหนงึ่ ดังนี้ จากสมการ 2 จะได้ y = 2x – 4 ดังนั้น ระบบสมการนมี้ คี ำ�ตอบมากมายไม่จำ�กดั อย่ใู นรูป (x , 2x – 4) เมื่อ x แทนจ�ำ นวนจริงใด ๆ แนวคิด 2 x – 2–1y = 2 1 y – 2x = -4 2 1 × (-2) ; -2x + y = -4 3 จะเห็นว่า สมการ 3 ทีไ่ ดจ้ ากสมการ 2 เป็นสมการเดยี วกนั กบั สมการ 1 แสดงว่า สมการ 1 และสมการ 2 มคี ำ�ตอบเหมอื นกัน และมีค�ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กัด หาคอู่ ันดบั ทเี่ ป็นค�ำ ตอบของระบบสมการนี้ได้จากสมการใดสมการหน่งึ ดังน้ี จากสมการ 2 จะได ้ y = 2x – 4 ดังน้ัน ระบบสมการนม้ี ีคำ�ตอบมากมายไม่จ�ำ กดั อยใู่ นรปู (x , 2x – 4) เมื่อ x แทนจำ�นวนจรงิ ใด ๆ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

38 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร คู่มือครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 2. 1) แนวคดิ 5x – 4y = 1 1 2 x – y = -7 3 2 × 5 ; 5x – 5y = -35 1 2 1 – 3 ; y = 36 ซึง่ เปน็ สมการทไี่ ม่เป็นจริง แทน y ด้วย 36 ในสมการ 2 จะได้ x – 36 = -7 x = 29 ดังน้ัน ระบบสมการนี้มีคำ�ตอบ คือ (29, 36) 2) แนวคดิ x = –32y – 5 12y – 8x = -12 แทน x ด้ว1ย2–32yy––85–32ใyน–สม5ก าร=2 จะได้ -12 ( ) 12y – 12y + 40 = -12 40 = -12 ดังน้นั ระบบสมการนไ้ี มม่ คี �ำ ตอบ 3) แนวคิด -2x = 2(y – 2) 1 2x + 2y = 4 2 จากสมการ 1 ; -2x – 2y = -4 3 2 + 3 ; 0 = 0 ซ่ึงเป็นสมการทีเ่ ปน็ จริง แสดงวา่ สมการ 1 และสมการ 2 มีค�ำ ตอบเหมือนกัน และมีค�ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กัด หาคอู่ ันดับทเี่ ป็นค�ำ ตอบของระบบสมการน้ีไดจ้ ากสมการใดสมการหน่งึ ดังน้ี จากสมการ 2 จะได ้ y = 2 – x ดงั นนั้ ระบบสมการนี้มคี �ำ ตอบมากมายไมจ่ ำ�กัดอยู่ในรูป (x , 2 – x) เมื่อ x แทนจ�ำ นวนจรงิ ใด ๆ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร 39 4) แนวคิด 11x + 8y = 31 1 2 13x – 6y = 83 3 4 1 × 3 ; 33x + 24y = 93 2 × 4 ; 52x – 24y = 332 3 + 4 ; 85x = 425 x = 5 แทน x ดว้ ย 5 ในสมการ 1 จะได้ 11(5) + 8y = 31 8y = -24 y = -3 ดังนน้ั ระบบสมการน้ีมีค�ำ ตอบ คอื (5, -3) 5) แนวคิด 4x – 3y = 12 1 –31x – 4–1y = 1 2 4x – 3y = 12 3 2 × 12 ; จะเห็นวา่ สมการ 3 ที่ไดจ้ ากสมการ 2 เปน็ สมการเดยี วกันกบั สมการ 1 แสดงว่า สมการ 1 และสมการ 2 มคี ำ�ตอบเหมือนกัน และมีค�ำ ตอบมากมายไมจ่ �ำ กัด หาคอู่ นั ดบั ทีเ่ ป็นค�ำ ตอบของระบบสมการน้ไี ด้จากสมการใดสมการหนึง่ ดังน้ี จากสมการ 1 ; 4x – 3y = 12 y = 4x – 12 3 ( )ดงั นน้ั ระบบสมการน้ีมคี ำ�ตอบมากมายไม่จำ�กัดอย่ใู นรปู x, 4x – 12 เมื่อ x แทนจำ�นวนจรงิ ใด ๆ 3 6) แนวคิด 2x + 3y = 1.6 1 3x – 4y = 4.1 2 8x + 12y = 6.4 3 9x – 12y = 12.3 4 1 × 4 ; 17x = 18.7 2 × 3 ; x = 1.1 3 + 4 ; สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

40 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร คู่มือครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 แทน x ด้วย 1.1 ในสมการ 1 จะได้ 2(1.1) + 3y = 1.6 3y = -0.6 y = -0.2 ดังน้ัน ระบบสมการนม้ี ีค�ำ ตอบ คอื (1.1, -0.2) 7) แนวคดิ 0.2x + 0.3y = 0.7 1 2 0.5x – 0.2y = 0.8 3 4 1 × 10 ; 2x + 3y = 7 5 6 2 × 10 ; 5x – 2y = 8 3 × 2 ; 4x + 6y = 14 4 × 3 ; 15x – 6y = 24 5 + 6 ; 19x = 38 x = 2 แทน x ดว้ ย 2 ในสมการ 3 จะได้ 2(2) + 3y = 7 3y = 3 y = 1 ดังนัน้ ระบบสมการนี้มคี ำ�ตอบ คอื (2, 1) 8) แนวคดิ 3x + 3 = 23 – 4y 1 4–x + –3y = 4 2 จากสมการ 1 ; 3x + 4y = 20 3 4 2 × 12 ; 3x + 4y = 48 ซึ่งเปน็ สมการท่ไี ม่เปน็ จริง 3 – 4 ; 0 = -28 ดังนัน้ ระบบสมการนไ้ี มม่ คี ำ�ตอบ 9) แนวคิด 4x + 9y – 7 = 0 1 12x – 27y + 21 = 0 2 12x + 27y – 21 = 0 3 1 × 3 ; 24x = 0 x = 0 2 + 3 ; สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

ค่มู อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 41 แทน x ด้วย 0 ในสมการ 1 จะได้ 4(0) + 9y – 7 = 0 9y = 7 y = –97 ( )ดงั น้นั ระบบสมการนีม้ ีคำ�ตอบ คอื 0 , 7–9 10) แนวคดิ 26x + 3y + 4 = 0 1 2 1–5(x – 2) = –41(1 – y) 4(x – 2) = 5(1 – y) 3 2 × 20 ; 4 5 4x – 8 = 5 – 5y 1 4x + 5y – 13 = 0 2 ; 130x + 15y + 20 = 0 3 1 ×5 ; 12x + 15y – 39 = 0 4 5 3 ×3 4 – 5 ; 118x + 59 = 0 x = - –12 แทน x ด้วย - 2–1 ในสมการ 1 จะได้ ( )26 - 21– + 3y + 4 = 0 -13 + 3y + 4 = 0 3y = 9 y = 3 ( )ดังนั้น ระบบสมการนม้ี คี �ำ ตอบ คอื - 21– , 3 11) แนวคดิ 2x – 3y = -9 3(x – 1) = 5(y – 4) + 2 จากสมการ 2 ; 3x – 3 = 5y – 20 + 2 3x – 5y = -15 6x – 9y = -27 1 × 3 ; 6x – 10y = -30 3 × 2 ; 4 – 5 ; y = 3 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

42 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร ค่มู อื ครูรายวชิ าพนื้ ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 แทน y ด้วย 3 ในสมการ 1 จะได้ 2x – 3(3) = -9 2x = 0 x = 0 ดงั นั้น ระบบสมการน้ีมคี ำ�ตอบ คอื (0, 3) 12) แนวคดิ 1 5(y – 2) – 6x = 7 1 2 2(x + 5) – (y – 1) = 4 3 จากสมการ 2 ; 2x + 10 – y + 1 = 4 1 2 2x – y = -7 3 4 y = 2x + 7 5 แทน y ดว้ ย 2x + 7 ในสมการ 1 จะได้ 5[(2x + 7) – 2] – 6x = 7 5(2x + 5) – 6x = 7 10x + 25 – 6x = 7 4x = -18 x = - –29 จะได้ = 2 - –29 + 7 แทน x ดว้ ย - –29 ในสมการ 3 y ( ) y = -2 ( )ดงั น้นั ระบบสมการน้มี ีค�ำ ตอบ คอื - –29 , -2 แนวคิด 2 5(y – 2) – 6x = 7 2(x + 5) – (y – 1) = 4 จากสมการ 1 ; 5y – 10 – 6x = 7 -6x + 5y = 17 จากสมการ 2 ; 2x + 10 – y + 1 = 4 2x – y = -7 4 × 3 ; 6x – 3y = -21 3 + 5 ; 2y = -4 y = -2 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครูรายวชิ าพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เล่ม 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร 43 แทน y ด้วย -2 ในสมการ 1 จะได้ 5[(-2) – 2] – 6x = 7 -20 – 6x = 7 -6x = 27 –29 x = - ( ) - –29 , -2 ดงั นน้ั ระบบสมการน้ีมคี ำ�ตอบ คือ สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

44 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตัวแปร ค่มู อื ครรู ายวชิ าพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 1.3 การแกโ้ จทยป์ ญั หาโดยใชร้ ะบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร (5 ชว่ั โมง) จุดประสงค์ นกั เรยี นสามารถ 1. เขียนระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปรแทนโจทยป์ ญั หา 2. แก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร พร้อมท้ังตรวจสอบคำ�ตอบและความสมเหตุสมผลของ ค�ำ ตอบทไี่ ด้ ความเข้าใจท่คี ลาดเคลอื่ น - ส่อื ท่ีแนะนำ�ให้ใชใ้ นข้อเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนรู้ - ขอ้ เสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยี นรู้ ในหัวข้อนี้ เป็นเร่ืองเกี่ยวกับการแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยเน้นให้นักเรียนฝึกวิเคราะห์ ความสัมพันธ์ของข้อมูลในโจทย์ปัญหา แล้วเขียนแทนความสัมพันธ์นั้นด้วยสมการ เพื่อนำ�มาสร้างเป็นระบบสมการเชิงเส้น สองตัวแปร ซ่ึงจะนำ�ไปสู่การแก้ระบบสมการเพื่อหาคำ�ตอบและตรวจสอบความสมเหตุสมผลของคำ�ตอบ แนวทางการจัด กจิ กรรมการเรยี นรอู้ าจทำ�ได้ดงั นี้ 1. ครูและนักเรียนร่วมกันอภิปรายเก่ียวกับข้ันตอนการแก้โจทย์ปัญหาโดยใช้ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร โดยเชื่อมโยงกับกระบวนการแก้ปัญหาท่ีนักเรียนเคยเรียนมาแล้ว คือ การวิเคราะห์เพื่อทำ�ความเข้าใจปัญหา วางแผนและสรา้ งระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปรแทนปญั หา แกร้ ะบบสมการหาค�ำ ตอบ และตรวจสอบค�ำ ตอบกบั เง่ือนไข รวมถึงความสมเหตุสมผลของคำ�ตอบ นอกจากน้ี นักเรียนอาจเลือกใช้ยุทธวิธีในการแก้ปัญหา เช่น การวาดรูป การสร้างตาราง การสร้างผังความคิด มาช่วยในการทำ�ความเข้าใจปัญหาและเขียนระบบสมการ แทนความสมั พันธ์ได้ 2. ครคู วรชีใ้ หน้ ักเรียนเห็นว่า การแกโ้ จทยป์ ัญหาบางปัญหาอาจใชค้ วามรู้เรื่องสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี วหรอื ระบบ สมการเชิงเส้นสองตัวแปรก็ได้ โดยใช้ “ชวนคิด 1.2” ในหนังสือเรียน หน้า 31 ซึ่งการจะเลือกใช้ความรู้ เร่ืองใดในการแก้ปัญหาข้ึนอยู่กับหลายปัจจัย เช่น ความซับซ้อนของเง่ือนไขในปัญหา ความยากง่ายของการแก้ สมการหรือระบบสมการท่สี รา้ งข้นึ รวมถึงความถนดั และประสบการณใ์ นการแก้ปัญหาของนักเรียน 3. ครูอาจใช้ “ชวนคิด 1.3” ในหนังสือเรียน หน้า 36 เป็นตัวอย่างให้นักเรียนฝึกคิดแก้ปัญหาโดยใช้ยุทธวิธี ที่หลากหลาย และใช้ “ชวนคดิ 1.4” ในหนงั สือเรยี น หนา้ 38 ใหน้ ักเรียนฝกึ สร้างระบบสมการทแ่ี ตกตา่ งกนั ในการแก้ปญั หา สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คูม่ ือครรู ายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เลม่ 2 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร 45 เฉลยชวนคดิ ชวนคิด 1.2 ตัวอย่างคำ�ตอบ ipst .me /114 18 ✤ เห็นดว้ ยกับแนวคิดของขา้ วปนั้ เพราะใชเ้ พียงสมการเดียวในการหาคำ�ตอบ ซงึ่ งา่ ยกว่า ✤ เห็นด้วยกับแนวคดิ ของขา้ วหอม เพราะก�ำ หนดสมการทใี่ ชใ้ นการหาคำ�ตอบได้งา่ ยกวา่ ✤ เหน็ ดว้ ยกบั แนวคดิ ของทง้ั ขา้ วปน้ั และขา้ วหอม เพราะสามารถหาค�ำ ตอบไดเ้ หมอื นกนั และความยากงา่ ย ในการหาค�ำ ตอบของทัง้ สองคนไมต่ ่างกนั เนอื่ งจากโจทยไ์ ม่ไดซ้ บั ซ้อน แนวคดิ ของข้าวปนั้ ข้าวป้ันใช้ความรู้เรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวในการแก้โจทย์ปัญหา “ครอบครัวหนึ่งมีลูกสาวสองคน พ่ีสาวและน้องสาวอายุรวมกันเท่ากับ 20 ปี ถ้าพ่ีสาวอายุมากกว่าน้องสาว 6 ปี แต่ละคนจะมีอายุเท่าไร” ไดด้ งั น้ี ให้ m แทนอายุของนอ้ งสาว เนอ่ื งจาก พี่สาวอายุมากกว่านอ้ งสาว 6 ปี ดังนัน้ พ่ีสาวอายุ m + 6 ปี เนือ่ งจาก พีส่ าวและนอ้ งสาวอายรุ วมกันเทา่ กบั 20 ปี จะไดส้ มการเปน็ (m + 6) + m = 20 2m + 6 = 20 2m = 14 m = 7 ดังนนั้ น้องสาวอายุ 7 ปี และพสี่ าวอายุ 7 + 6 = 13 ปี แนวคิดของข้าวหอม ข้าวหอมใช้ความรู้เร่ืองระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปรในการแก้โจทย์ปัญหา “ครอบครัวหน่ึงมีลูกสาว สองคน พีส่ าวและน้องสาวอายรุ วมกนั เท่ากับ 20 ปี ถ้าพสี่ าวอายมุ ากกว่าน้องสาว 6 ปี แตล่ ะคนจะมอี ายุ เท่าไร” ไดด้ งั น้ี ให้ x และ y แทนอายุของพส่ี าวและน้องสาวตามล�ำ ดับ เนื่องจาก พ่ีสาวอายุมากกวา่ นอ้ งสาว 6 ปี จะไดส้ มการเป็น x – y = 6 1 เนื่องจาก พีส่ าวและนอ้ งสาวอายุรวมกันเทา่ กบั 20 ปี จะได้สมการเปน็ x + y = 20 2 1 + 2 ; 2x = 26 x = 13 สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

46 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเสน้ สองตวั แปร คมู่ อื ครูรายวิชาพน้ื ฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 แทน x ดว้ ย 13 ในสมการ 2 จะได้ 13 + y = 20 y = 7 ดังนั้น น้องสาวอายุ 7 ปี และพส่ี าวอายุ 13 ปี ชวนคิด 1.3 แนวคดิ 1 ใชต้ ารางแจกแจงกรณีในการหาค�ำ ตอบ โดยใหจ้ �ำ นวนยรี าฟและนกกระจอกเทศรวมกันได้ ipst .me/ 114 19 35 ตวั เสมอ แลว้ พิจารณาจ�ำ นวนขาของสัตวท์ ัง้ สองว่ารวมกันได้ 90 ขา หรือไม่ ดงั น้ี ✤ ถา้ จ�ำ นวนขารวมกนั มากกวา่ 90 ขา ใหล้ ดจ�ำ นวนยรี าฟและเพม่ิ จ�ำ นวนนกกระจอกเทศ ✤ ถา้ จ�ำ นวนขารวมกนั นอ้ ยกวา่ 90 ขา ใหเ้ พม่ิ จ�ำ นวนยรี าฟและลดจ�ำ นวนนกกระจอกเทศ กรณีท่ี จำ�นวนตัว รวม จำ�นวนขา รวม หมายเหตุ ยรี าฟ นกกระจอกเทศ (ตวั ) ยีราฟ นกกระจอกเทศ (ขา) มากกว่า 90 ขา 1 15 20 35 60 40 100 มากกวา่ 90 ขา นอ้ ยกว่า 90 ขา 2 12 23 35 48 46 94 90 ขาพอดี 39 26 35 36 52 88 4 10 25 35 40 50 90 ดงั น้ัน มียรี าฟ 10 ตวั และนกกระจอกเทศ 25 ตัว แนวคิด 2 ใชค้ วามรเู้ รอื่ งสมการเชงิ เส้นตัวแปรเดยี ว ให้ k แทนจำ�นวนยรี าฟ จะไดจ้ ำ�นวนขาของยรี าฟทัง้ หมด 4k ขา เน่อื งจาก มยี รี าฟและนกกระจอกเทศรวมกนั 35 ตวั ดังน้ัน มีนกกระจอกเทศ 35 – k ตัว และมีจำ�นวนขาของนกกระจอกเทศทั้งหมด 2(35 – k) ขา เนอ่ื งจาก นบั จำ�นวนขาของยรี าฟและนกกระจอกเทศรวมกนั ได้ 90 ขา จะได้สมการเปน็ 4k + 2(35 – k) = 90 4k + 70 – 2k = 90 2k = 20 k = 10 ดงั น้ัน มียีราฟ 10 ตัว และมนี กกระจอกเทศ 35 – 10 = 25 ตวั สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มือครูรายวิชาพื้นฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร 47 แนวคดิ 3 ใช้ความรเู้ ร่อื งระบบสมการเชงิ เสน้ สองตวั แปร ให้ x แทนจำ�นวนยรี าฟ จะไดจ้ ำ�นวนขาของยีราฟท้งั หมด 4x ขา และ y แทนจำ�นวนนกกระจอกเทศ จะไดจ้ ำ�นวนขาของนกกระจอกเทศท้งั หมด 2y ขา เน่อื งจาก มียรี าฟและนกกระจอกเทศรวมกัน 35 ตัว จะไดส้ มการเป็น x + y = 35 1 เนอ่ื งจาก นับจำ�นวนขาของยรี าฟและนกกระจอกเทศรวมกันได้ 90 ขา จะได้สมการเปน็ 4x + 2y = 90 2 1 × 2 ; 2x + 2y = 70 3 2 – 3 ; 2x = 20 x = 10 แทน x ด้วย 10 ในสมการ 1 จะได้ 10 + y = 35 y = 25 ดังน้ัน มยี ีราฟ 10 ตวั และมีนกกระจอกเทศ 25 ตัว แนวคิด 4 ใช้รปู ภาพ โดยให้ แทนยีราฟ 1 ตวั มขี า 4 ขา และ แทนนกกระจอกเทศ 1 ตวั มขี า 2 ขา ดังนี้ 1. วาด จ�ำ นวน 35 รปู จะไดน้ กกระจอกเทศ 35 ตวั และไดจ้ �ำ นวนขาทง้ั หมด 70 ขา 2. เพ่มิ จำ�นวนขาสแี ดงรูปละ 2 ขา จะไดเ้ ปน็ ยีราฟ โดยเพ่มิ จำ�นวนขาจนครบ 90 ขา จากรูป จะมียรี าฟ 10 ตัว และมีนกกระจอกเทศ 25 ตัว สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

48 บทท่ี 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร ค่มู ือครูรายวชิ าพ้ืนฐาน | คณติ ศาสตร์ เล่ม 2 ชวนคิด 1.4 แนวคดิ 1 เน่อื งจาก พนกั งานขายมรี ายไดแ้ ตล่ ะเดอื นเปน็ ผลรวมของเงนิ เดอื นกบั เปอรเ์ ซน็ ตจ์ ากยอดขาย ipst.m e/114 20 ตลอดเดือนของตนเอง ใหพ้ นักงานขายคนน้ีมีเงนิ เดอื นเดือนละ x บาท และ ได้เปอร์เซ็นต์จากยอดขายแต่ละเดอื นอีก y% ของยอดขายแตล่ ะเดอื น ( )ดงั นนั้ พนกั งานขายคนนม้ี รี ายไดแ้ ตล่ ะเดอื นเทา่ กบั x + 1—0y0 ของยอดขายแตล่ ะเดอื น บาท เน่อื งจาก เดือนแรกมีรายได้ 15,000 บาท จากยอดขายตลอดเดือน 156,000 บาท จะได้สมการเปน็ x + 1—0y0(156,000) = 15,000 1 เนอ่ื งจาก เ ดือนท่ีสองมรี ายได้ 17,200 บาท จากยอดขายตลอดเดอื น 200,000 บาท จะได้สมการเปน็ x + 1—0y0(200,000) = 17,200 2 2 – 1 ; 440y = 2,200 y = 5 แทน y ด้วย 5 ในสมการ 1 จะได้ x + 1—050(156,000) = 15,000 x = 7,200 ดังนนั้ พนักงานขายคนนี้มีเงินเดือนเดือนละ 7,200 บาท และได้เปอร์เซ็นต์จากยอดขาย ตลอดเดอื นของตนเองอีกเดือนละ 5% จะได้ สมการแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งรายไดแ้ ตล่ ะเดอื นกบั ยอดขายตลอดเดอื นของพนกั งานขาย ( )คนน้ีคอื รายไดแ้ ต่ละเดือน = 7,200 + 1—050 ของยอดขายตลอดเดอื น ถา้ คาดว่ายอดขายตลอดเดือนน้เี ปน็ 250,500 บาท ในเดอื นนเ้ี ขาจะมีรายได้ 7,200 + 1—050(250,500) = 19,725 บาท แนวคดิ 2 ให ้ x แทนยอดขายตลอดเดอื น y แทนรายได้แต่ละเดอื น a แทนเปอร์เซน็ ต์จากยอดขายตลอดเดอื น b แทนเงนิ เดอื นท่ีไดร้ ับ จากส่ิงที่กำ�หนดให้ข้างต้น เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ระหว่างรายได้แต่ละเดือนกับ ยอดขายตลอดเดือนของพนกั งานขายคนน้ี ได้เปน็ y = ax + b สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี

คู่มอื ครรู ายวิชาพืน้ ฐาน | คณิตศาสตร์ เลม่ 2 บทที่ 1 | ระบบสมการเชิงเส้นสองตวั แปร 49 เน่อื งจาก เดอื นแรกมรี ายได้ 15,000 บาท จากยอดขายตลอดเดือน 156,000 บาท จะได้สมการเปน็ 15,000 = 156,000a + b 1 เนอื่ งจาก เดือนที่สองมรี ายได้ 17,200 บาท จากยอดขายตลอดเดือน 200,000 บาท จะไดส้ มการเป็น 17,200 = 200,000a + b 2 2 – 1 ; 2,200 = 44,000a a = 0.05 แทน a ด้วย 0.05 ในสมการ 1 จะได้ 15,000 = 156,000(0.05) + b b = 7,200 แทน a ดว้ ย 0.05 และแทน b ดว้ ย 7,200 ในสมการ y = ax + b จะได ้ y = 0.05x + 7,200 ดงั นน้ั สมการแสดงความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งรายไดแ้ ตล่ ะเดอื นกบั ยอดขายตลอดเดอื นของพนกั งานขาย คนน้คี ือ y = 0.05x + 7,200 ถา้ คาดว่ายอดขายตลอดเดือนน้ีเป็น 250,500 บาท แทน x ด้วย 250,500 ในสมการ y = 0.05x + 7,200 จะได้ y = 0.05(250,500) + 7,200 = 19,725 ดงั นน้ั ถา้ คาดวา่ ยอดขายตลอดเดอื นนเ้ี ปน็ 250,500 บาท ในเดอื นนเ้ี ขาจะมรี ายได้ 19,725 บาท สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี