เรขาคณิต

จากหลกั ฐานท่ีพบบอกเราวา่ เรขาคณิตเกิดข้ึนในอียปิ ตโ์ บราณเมื่อประมาณ 1,700 ปี ก่อนคริสตศ์ กั ราช ชาวอียปิ ตแ์ ละชาวบาบิโลนต่างกส็ นใจเรขาคณิตในแง่การนาไปใช้ ใหเ้ ป็นประโยชนแ์ ก่การดารงชีวติ เช่น การหาพ้ืนท่ี เป็นตน้ จึงทาใหค้ วามรู้เกี่ยวกบั เรขาคณิตสมยั อียปิ ตแ์ ละบาบิโลนจากดั วงแคบ เป็นความรู้ท่ีไดเ้ ฉพาะจากการใช้ สญั ชาตญาณ การทดลองและการคาดคะเนเทา่ น้นั ต่อมาราว 600 ถึง 200 ปี ก่อนคริสตศ์ กั ราช ชาวกรีกใหค้ วามสนใจเรขาคณิต แตกต่างไปจากชาวอียปิ ตแ์ ละชาวบาบิโลนโดยสิ้นเชิง ชาวกรีกสนใจศึกษาเร่ืองราว และปรากฏการณ์ของธรรมชาติ นกั คณิตศาสตร์ชาวกรีกในขณะเดียวกนั กเ็ ป็นนกั ปรัชญาดว้ ย มีความตอ้ งการท่ีจะคน้ หารูปแบบต่าง ๆ ของธรรมชาติ เพราะเช่ือวา่ เรขาคณิตเป็นแกนกลางของรูปแบบของธรรมชาติ และในฐานะท่ีเป็นนกั ปรัชญา ดว้ ย วิธีการแสวงหาความจริงเหล่าน้นั จึงอยใู่ นรูปของการใชเ้ หตุผล นกั คณิตศาสตร์ชาวกรีกผมู้ ีช่ือเสียงและมีบทบาทสาคญั ในการพฒั นาเรขาคณิต ท่านหน่ึงคือ \"ยคู ลิด (Euclid)\" ท่านไดร้ วบรวมเขียนตาราคณิตศาสตร์ข้นั ตน้ ข้ึนมา 13 เล่ม รู้จกั กนั ในชื่อ \"เอลเลเมนท์ (Elements)\" ในจานวนน้ีมีถึง 7 เล่มท่ีวา่ ดว้ ยเร่ือง เรขาคณิต เป็นตาราที่วางพ้ืนฐานการเรียนเรขาคณิตท่ีใชก้ ารพิสูจนอ์ ยา่ งมีเหตุผลจาก สจั พจน์ ( axiom หรือ postulate )

ยุคลดิ (Euclid) หรือ ยุคลดิ แห่งอเลก็ ซานเดรีย นักคณติ ศาสตร์ชาวกรีก ท่ีมาของภาพ : http://th.wikipedia.org/wiki/ยคุ ลิด เรขาคณิตมีววิ ฒั นาการต่อมาเร่ือยๆ เร่ิมจากการกาเนิดของเรขาคณิตโพรเจคทีฟ ( projective geometry ) และเรขาคณิตวิเคราะห์ ( analytic geometry ) จนถึงทุกวนั น้ีมี เรขาคณิตเกิดข้ึนหลายแขนง เช่น โทโพโลยี ( topology ) ซ่ึงเป็นเรขาคณิตท่ีเอ้ือให้ รูปเรขาคณิตสามารถเปลี่ยนแปลงรูปร่างไดเ้ ม่ือไดร้ ับการกระทา เช่น การบิด การ บีบ หรือการยดื ไดม้ ีการจาแนกเรขาคณิตออกเป็น 2 ระบบ คือ เรขาคณิตระบบ ยคู ลิด ( Euclidean geometry ) และเรขาคณิตนอกระบบยคู ลิด ( non-Euclidean geometry ) เรขาคณิตท้งั 2 ระบบน้ี เป็นผลงานที่แสดงถึงความพยายามของนกั คณิตศาสตร์ท่ีจะอธิบายเรื่องราวของธรรมชาติ ความรู้เกี่ยวกบั เรขาคณิต มีส่วนเกี่ยวขอ้ งสมั พนั ธ์กบั ชีวิตประจาวนั ของมนุษย์ เราอยา่ งมาก เราใชเ้ รขาคณิตในชีวิตจริงเพือ่ ทาความเขา้ ใจ หรืออธิบายส่ิงตา่ งๆ รอบตวั เช่น ใชเ้ รขาคณิตในการสารวจพ้ืนท่ี สร้างผงั เมือง สร้างถนน หนทาง สารวจโลกและอวกาศ หรือบางคร้ังเราอาจแทนความคิดหรือสิ่งต่างๆ ดว้ ย รูปเรขาคณิต เรขาคณิตช่วยพฒั นาทกั ษะท่ีสาคญั หลายประการ เช่น ทกั ษะเชิงมิติ

สมั พนั ธ์ หรือความรู้สึกเชิงปริภูมิ ( spatial sense ) การคิด การใหเ้ หตุผล และการคิด สร้างสรรค์ ซ่ึงทกั ษะเหลา่ น้ีเป็นพ้ืนฐานการเรียนรู้คณิตศาสตร์เร่ือง อื่นๆ เช่น จานวน การวดั ตลอดจนเน้ือหาคณิตศาสตร์ข้นั สูงต่อไป นอกจากน้ี เรขาคณิตยงั เป็นพ้ืนฐานในการเช่ือมโยงความรู้ทางคณิตศาสตร์กบั ความรู้แขนงอ่ืนๆ อีกดว้ ย - จุด ( point ) เราใชจ้ ุดแสดงตาแหน่งของส่ิงต่างๆ เช่น ตาแหน่งของสถานที่ ในแผนท่ี ตาแหน่งของดวงดาว ในทางเรขาคณิต \"จุด\" เป็นคาอนิยาม (undefined term) ไม่ตอ้ งอธิบายความหมายวา่ คืออะไร ในอดีตยคู ลิดเคยพยายามใหค้ วามหมาย ของจุดไวว้ า่ หมายถึง สิ่งท่ีไม่มีความกวา้ งและความยาว ซ่ึงเป็นการใหน้ ิยามที่ยงั ไม่ สมบูรณ์ เพราะตอ้ งใชค้ าที่ไม่สามารถใหน้ ิยามไดอ้ ีก ไดแ้ ก่ คาวา่ \"ความกวา้ งและ ความยาว\" เพ่ือช่วยใหเ้ ขา้ ใจตรงกนั จึงต้งั ช่ือจุดโดยใชต้ วั อกั ษรภาษาไทย หรือ ตวั อกั ษรภาษาองั กฤษตวั พิมพใ์ หญ่ เช่น ก ข หรือ A เช่น · ก อ่านวา่ จุด ก · ข อ่านวา่ จุด ข · A อ่านวา่ จุด A - ระนาบ ( plane ) หมายถึง พ้ืนที่ผวิ แบนและเรียบที่แผข่ ยายออกไปอยา่ งไม่ มีท่ีสิ้นสุด ส่วนของพ้นื ท่ีผวิ ที่เราเห็นขอบเขตไดจ้ ึงเป็น \"ส่วนของระนาบ\" เท่าน้นั การกาหนดระนาบจะตอ้ งใชจ้ ุดอยา่ งนอ้ ย 3 จุด และท้งั 3 จุดน้นั จะตอ้ งไม่อยู่ ร่วมเสน้ ตรงเดียวกนั

ที่มาของภาพ : http://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?ID=5105 - เส้นตรง ( line ) เสน้ ตรงเป็นคาอนิยาม - ส่วนของเส้นตรง ( line segment ) กาหนดจุดข้ึนมา 2 จุด เช่น จุด A และ จุด B แลว้ นาไมบ้ รรทดั หรือสนั ตรงมาวางทาบใหผ้ า่ นจุดท้งั สอง และใชด้ ินสอจรดท่ี จุด A แลว้ ลากดินสอไปตามสนั ของไมบ้ รรทดั หรือสนั ตรงจนถึงจดุ B เสน้ ท่ีเกิดข้ึน เรียกวา่ \" ส่วนของเสน้ ตรง AB \" ( line segment AB ) โดยมีจุด A และ จุด B เป็น \" จุด ปลาย \" ( end points ) ท่ีมาของภาพ : http://www.myfirstbrain.com/student_view.aspx?ID=59758 - เส้นโค้ง ( curve ) ถา้ จรดดินสอบนกระดาษแลว้ ลากไปในลกั ษณะใดก็ ได้ เสน้ ที่เกิดข้ึนเรียกวา่ \"curve\" ซ่ึงแปลเป็นภาษาไทยตามหนงั สือศพั ทค์ ณิตศาสตร์ ฉบบั ราชบณั ฑิตยสถานวา่ \"เสน้ โคง้ \" แต่ curve ในความหมายของนกั คณิตศาสตร์ ไม่ จาเป็นที่จะตอ้ งมีลกั ษณะโคง้ งอสมดงั ชื่อเสมอไป ส่วนของเสน้ ตรง รูป สามเหล่ียม รูปส่ีเหลี่ยม ฯลฯ ลว้ นเป็น curve ดว้ ยกนั ท้งั สิ้น

- รังสี ( ray ) ถา้ ใชด้ ินสอจรดที่จุด A แลว้ ลากเสน้ ตามขอบของสนั ตรงไป เร่ือยๆ เสน้ ที่เกิดข้ึน เรียกวา่ \"รังสี\" เรียกจุด A วา่ \"จุดปลายของรงั สี\" ถา้ ลากเสน้ จาก จุด A ใหผ้ า่ นจุด B แลว้ ต่อเสน้ ออกไปเร่ือยๆ เสน้ ที่เกิดข้ึนเรียกวา่ \"รังสี AB\" - มุม ( angle ) มุมเกิดจากรังสีสองเสน้ ท่ีมีจุดปลายเป็นจุดเดียวกนั จุดน้ี เรียกวา่ \"จุดยอดมุม\" รังสีแต่ละเสน้ เรียกวา่ \"แขนของมุม\" ชนิดของมุม - มุมฉาก เป็นมุมที่มีขนาด 90 องศา - มุมแหลม เป็นมุมที่มีขนาดเลก็ กวา่ มุมฉาก - มุมป้าน เป็นมุมท่ีมีขนาดใหญ่กวา่ มุมฉากแต่ไม่ถึงสองมุมฉาก - มุมตรง เป็นมุมท่ีมีขนาดเป็นสองเท่าของมุมฉาก - มุมกลบั เป็นมุมท่ีมีขนาดใหญ่กวา่ สองมุมฉาก แต่ไม่ถึงสี่มุมฉาก โดยทว่ั ไปเราเขียน \"o\" แทนคาวา่ \" องศา \" เช่น 90o อ่านวา่ เกา้ สิบองศา และ 35o อ่านวา่ สามสิบหา้ องศา

รูปเรขาคณติ สองมติ ิ ( two - dimensional geometric figure ) แบ่งออกเป็น 2 กลุ่มใหญ่ๆ ตามลกั ษณะของขอบหรือดา้ นของรูป ไดแ้ ก่ กลุ่มท่ีมีขอบหรือดา้ นของ รูปเป็นส่วนของเสน้ ตรง กลุ่มน้ีคือ \"รูปหลายเหลี่ยม ( polygon )\" และกลุ่มที่มีขอบ หรือดา้ นเป็นเสน้ โคง้ งอ เช่น รูปวงกลม และรูปวงรี เป็นตน้ กลุ่มน้ีไม่มีช่ือเรียก โดยเฉพาะ รูปหลายเหลย่ี ม (Polygon) เป็นรูปปิ ดที่เกิดจากส่วนของเสน้ ตรงต้งั แต่ 3 เสน้ ข้ึนไป โดยที่จุด A, B, C, … , P, Q,... เป็นจุดที่แตกตา่ งกนั บนระนาบ และไม่มี 3 จุดใดอยรู่ ่วมส่วนของเสน้ ตรงเดียวกนั เรียกวา่ \"ด้านของรูปหลายเหลยี่ ม\" จุด A, B, C, … , P, Q,... เรียกวา่ \"จุดยอด\" จานวนมุมในรูปหลายเหลย่ี มจะเท่ากบั จานวน ด้านของรูปหลายเหลยี่ ม ส่วนของเสน้ ตรงที่ลากเช่ือมจุดยอดท่ีไมใ่ ช่ปลายของส่วน ของเสน้ ตรงเดียวกนั เรียกวา่ \"เส้นทแยงมุม ( diagonal )\" รูปหลายเหลยี่ มด้านเท่ามุมเท่า ( regular polygon ) คือ รูปหลายเหลี่ยมที่ มีดา้ นทุกดา้ นยาวเท่ากนั และมุมทุกมุมมีขนาดเท่ากนั รูปสามเหลย่ี ม (Triangle) เป็นรูปหลายเหล่ียมชนิดหน่ึง ประกอบดว้ ยดา้ นท่ี เป็นส่วนของเสน้ ตรง 3 เสน้ ส่วนของเสน้ ตรงท้งั สามน้ีตอ้ งอยบู่ นระนาบเดียวกนั ซ่ึง ทาใหเ้ กิดมุม 3 มุม

ข้อสังเกต 1. ความสูงของรูปสามเหลี่ยมเป็นเท่าใด ข้ึนอยกู่ บั วา่ ใหด้ า้ นใด เป็นฐานของรูปสามเหล่ียม ความสูงมีได้ 3 ค่า ซ่ึงอาจจะมีคา่ ตา่ งกนั 2. ส่วนสูงของรูปสามเหล่ียม อาจจะอยใู่ นหรือนอกรูปสามเหลี่ยม กไ็ ด้ ชนิดของรูปสามเหลยี่ ม การจาแนกรูปสามเหลี่ยม มีเกณฑใ์ นการ พิจารณาดงั น้ี 1. พจิ ารณาจากความยาวของด้านจาแนกได้ดงั นี้ 1.1 รูปสามเหลย่ี มด้านเท่า ( equilateral triangle ) คือ รูป สามเหลี่ยมที่มีดา้ นท้งั สามยาวเท่ากนั 1.2 รูปสามเหลยี่ มหน้าจวั่ ( isosceles triangle ) คือ รูป สามเหล่ียมท่ีมีดา้ นสองดา้ นยาวเท่ากนั 1.3 รูปสามเหลยี่ มด้านไม่เท่า ( scalene triangle) คือ รูป สามเหลี่ยมท่ีไม่มีดา้ น 2 ดา้ นใดยาวเทา่ กนั 2. พจิ ารณาจากขนาดของมุม จาแนกได้ดงั นี้ 2.1 รูปสามเหลย่ี มมุมแหลม ( acute triangle ) คือ รูป สามเหล่ียมท่ีมีมุมท้งั สามมีขนาดเลก็ กวา่ มุมฉาก 2.2 รูปสามเหลยี่ มมุมฉาก ( right triangle ) คือ รูป สามเหล่ียมที่มีมุมมุมหน่ึงมีขนาดเท่ากบั มุมฉาก 2.3 รูปสามเหลยี่ มมุมป้าน ( obtuse triangle ) คือ รูป สามเหลี่ยมท่ีมีมุมมุมหน่ึงมีขนาดใหญ่กวา่ มุมฉาก

หมายเหตุ รูปสามเหล่ียมมุมแหลมนอกระบบยคู ลิด คือ รูปสามเหลี่ยมที่ มุมท้งั สามมีขนาดเลก็ กวา่ มุมฉาก ซ่ึงเป็นรูปสามเหลี่ยมท่ีไม่ไดเ้ กิดจากส่วนของ เสน้ ตรงสามเสน้ และมุมภายในท้งั สามรวมกนั ไดน้ อ้ ยกวา่ 180o รูปส่ีเหลย่ี ม (Quadrilateral) เป็นเสน้ โคง้ ปิ ดเชิงเดียว ประกอบดว้ ยส่วน ของเสน้ ตรง 4 เสน้ ท่ีอยบู่ นระนาบเดียวกนั ส่วนของเสน้ ตรงแต่ละเสน้ เรียกวา่ ด้าน ของรูปสี่เหลยี่ ม รูปสี่เหล่ียมใดๆ ประกอบดว้ ยดา้ น 4 ดา้ น และมุม 4 มุม ที่มาของภาพ : http://www.myfirstbrain.com/teacher_view.aspx?ID=45982 - ส่วนประกอบของรูปสี่เหลยี่ ม 1. ด้านประชิด ( adjacent sides ) คือ ดา้ นสองดา้ นของรูป ส่ีเหล่ียมที่มีจุดปลายร่วมกนั 1 จุด 2. ด้านตรงข้าม ( opposite sides ) คือ ดา้ นสองดา้ นของรูป ส่ีเหลี่ยมท่ีไม่มีจุดปลายร่วมกนั 3. มุมประชิด ( adjacent angles ) คือ มุมสองมุมของรูปส่ีเหลี่ยม ท่ีมีแขนของมุมร่วมกนั อยแู่ ขนหน่ึง

4. มุมตรงข้าม ( opposite angles ) คือ มุมสองมุมของรูปส่ีเหลี่ยม ที่ไม่มีแขนของมุมร่วมกนั 5. มุมภายในของรูปสี่เหลยี่ ม ขนาดของมุมภายในท้งั สี่รวมกนั ได้ 360o 6. เส้นทแยงมุม ( diagonal ) คือ ส่วนของเสน้ ตรงที่มีจุดปลายท้งั สองอยทู่ ี่จุดยอดของมมุ ตรงขา้ ม - ชนิดของรูปสี่เหลยี่ ม 1. รูปสี่เหลยี่ มด้านขนาน ( parallelogram ) คือ รูปส่ีเหลี่ยมที่ดา้ น ตรงขา้ มขนานกนั ท้งั 2 คู่ ซ่ึงทาใหด้ า้ นตรงขา้ มยาวเท่ากนั ดว้ ย เสน้ ทแยงมุมท้งั สอง แบ่งคร่ึงซ่ึงกนั และกนั แต่ยาวไม่เท่ากนั 2. รูปส่ีเหลยี่ มคางหมู( trapezoid ) คือ รูปสี่เหล่ียมท่ีมีดา้ นตรง ขา้ มขนานกนั เพียงคูเ่ ดียว 3. รูปสี่เหลย่ี มผืนผ้า ( rectangle ) คือ รูปส่ีเหล่ียมดา้ นขนานท่ีมี มุมเป็นมุมฉาก ดา้ นประชิดยาวไม่เท่ากนั มีผลทาใหด้ า้ นตรงขา้ มขนานกนั และยาว เท่ากนั เสน้ ทแยงมุมยาวเท่ากนั และแบ่งคร่ึงซ่ึงกนั และกนั 4. รูปสี่เหลยี่ มจตั ุรัส ( square ) คือ รูปสี่เหล่ียมผนื ผา้ ที่มีดา้ นท้งั สี่ ยาวเท่ากนั มีผลทาใหเ้ สน้ ทแยงมุมยาวเท่ากนั แบ่งคร่ึงซ่ึงกนั และกนั และตดั กนั เป็น มุมฉาก 5. รูปส่ีเหลย่ี มขนมเปี ยกปูน ( rhombus ) คือ รูปส่ีเหลี่ยมดา้ น ขนานท่ีมีดา้ นท้งั สี่ยาวเท่ากนั เสน้ ทแยงมุมยาวไม่เท่ากนั แต่แบ่งคร่ึงซ่ึงกนั และ กนั และตดั กนั เป็นมุมฉาก

6. รูปสี่เหลย่ี มรูปว่าว ( kite ) คือ รูปส่ีเหล่ียมท่ีมีดา้ นประชิดยาว เท่ากนั เพียง 2 คูเ่ ท่าน้นั เสน้ ทแยงมุมยาวไม่เท่ากนั ไม่แบ่งคร่ึงซ่ึงกนั และกนั แต่ตดั กนั เป็นมุมฉาก ที่มาของภาพ : nilubon120.wordpress.com

รูปเรขาคณติ สามมิติ ( three - dimensional geometric figure ) คือ ส่ิงต่างๆ รอบตวั เราที่มีลกั ษณะสาคญั คือ มีความกวา้ ง ความยาว และความหนาหรือความ สูง การจาแนกรูปเรขาคณิตสามมิติ พิจารณาจากรูปร่างลกั ษณะของรูปเรขาคณิตที่ ประกอบกนั เป็นทรง 1. ปริซมึ (Prism) คือ รูปเรขาคณิตสามมติ ิท่ีมหี น้าตดั (ฐาน) ทงั้ สองเป็นรูปหลายเหลยี่ มท่ีเทา่ กนั ทกุ ประการ และอยใู่ นระนาบที่ขนานกนั มีหน้าข้าง เป็นรูปสี่เหล่ียมด้านขนาน ปริมาตรของปริซึม = พ้นื ท่ีฐาน x สูง ที่มาของภาพ : http://www.thaigoodview.com/node/132600?page=0,10 2. ทรงกระบอก (cylinder) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมีหนา้ ตดั (ฐาน) ท้งั สองเป็นรูปวงกลมท่ีเทา่ กนั ทุกประการ และอยใู่ นระนาบที่ขนานกนั มีผวิ โคง้ เม่ือคล่ีหนา้ ขา้ งของทรงกระบอกตามแนวความสูง จะไดร้ ูปสี่เหล่ียมมุมฉาก ปริมาตรของทรงกระบอก = พ้ืนท่ีฐาน  สูง =  r2h

ที่มาของภาพ : http://ganitasastra.wordpress.com/2013/06/15/circle-sphere-cylinder/ 3. พรี ะมดิ (Pyramid) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปหลาย เหล่ียม มียอดแหลม ซ่ึงไม่อยบู่ นระนาบเดียวกนั กบั ฐาน และมีหนา้ ขา้ งเป็นรูป สามเหล่ียม การเรียกชื่อพีระมิดเรียกตามลกั ษณะของรูปหลายเหลี่ยมท่ีเป็น ฐาน เช่น พีระมิดฐานสามเหล่ียม หมายถึง พีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม ปริมาตรของพีระมิด = 1/3 × พ้ืนที่ฐาน × สูง ท่ีมาของภาพ : http://ganitasastra.wordpress.com/2013/04/02/pyramid/ 4. กรวย (Cone) คือ รูปเรขาคณิตสามมิติที่มีฐานเป็นรูปวงกลม มียอดแหลม ซ่ึงไม่อยบู่ นระนาบเดียวกบั ฐาน และมีผวิ โคง้ เมื่อคลี่หนา้ ขา้ งของกรวยออก จะได้ รูปสามเหล่ียมฐานโคง้ ปริมาตรของกรวย = 1 r2h 3

ท่ีมาของภาพ : http://www.thaigoodview.com/node/46868?page=0%2C12 5. ทรงกลม คือ รูปเรขาคณิตสามมิติท่ีมีดา้ นขา้ งเป็นผวิ โคง้ เรียบ และจุดทุก จุดบนผวิ โคง้ อยหู่ ่างจากจุดคงท่ีจุดหน่ึงเป็นระยะเท่ากนั เรียกจุดคงท่ีวา่ \"จุดศูนยก์ ลาง ของทรงกลม\" เรียกระยะท่ีเท่ากนั วา่ \"รัศมีของทรงกลม\" ปริมาตรทรงกลม = 4 r3 3 ที่มาของภาพ : http://ganitasastra.wordpress.com/2013/06/15/circle-sphere-cylinder/