Chapter 1 Vector

บทที่ 1 เวกเตอร์ 1.1 ความนาํ การเคล่ือนที่ของระบบทางพลศาสตร์ โดยปกติแล้วถูกอธิบายอยู่ในเทอมปริมาณพ้ืนฐาน 2 ปรมิ าณ คอื ปริมาณสเกลาร์ และเวกเตอร์ ปริมาณสเกลาร์ คือ ปรมิ าณท่ีบอกเพียงขนาดอย่างเดียวก็ สามารถเข้าใจได้ เช่น มวล เวลา ค่าเหล่านี้จะไม่ข้ึนกับพิกัดใดๆ สําหรับการอธิบายการเคล่ือนท่ีของ ระบบ ปริมาณสเกลาร์อื่นๆ เชน่ ความหนาแน่น ปริมาตร อุณหภมู ิ และระยะทาง ในทางคณิตศาสตร์ สเกลาร์ คือ จํานวนจริงท่ี สามารถนํามาบวก ลบ คูณ หาร ตามหลักพีชคณิต ปริมาณเวกเตอร์ คือ ปริมาณท่ีต้องมีทั้งขนาดและทิศทาง เช่น การกระจัดจากจุดหนึ่งในอวกาศไปยังจุดอ่ืนๆ ปริมาณ เวกเตอร์จะเป็นชุดของจํานวนสําหรับการระบุโดยเฉพาะ และค่าของจํานวนเหล่านี้ โดยท่ัวไปจะ ขึ้นอยู่กับระบบพิกัดนอกจากการกระจัดแล้วยังมีปริมาณเวกเตอร์อื่นๆ เช่น ความเร็ว ความเร่ง แรง โมเมนตัม เป็นต้น ในทางคณิตศาสตร์ เวกเตอร์สามารถรวมกันได้ตามกฎของรูปส่ีเหล่ียมด้านขนาน นอกจากนจ้ี ะไดม้ กี ารอภปิ รายในบทนี้ แนวคิดของเวกเตอร์ ทําให้เกิดสาขาของคณิตศาสตร์ที่จําเป็นสําหรับการพัฒนาวิชา กลศาสตร์ และเวกเตอร์ทําให้การอธิบายพฤติกรรมของเหตุการณ์ที่มีความซับซ้อนของระบบน้ันง่าย ขึ้น นอกจากน้ียังใช้นําเวกเตอร์ไปประยุกต์ใช้กับกฎทางกายภาพ (Physical Law) ท่ีมีผลลัพธ์ ปราศจากการเลือกใช้ระบบพกิ ัด 1.2 สัญลกั ษณ์ของเวกเตอร์ สัญลักษณ์ของเวกเตอร์ที่ใช้มีหลายแบบ เช่น ตัวหนา A และตัวหนามีขีดด้านบน A หรือตัว เอียงสําหรับปริมาณสเกลาร์ A สําหรับตําราเล่มน้ีจะใช้สัญลักษณ์ ตัวบางมีขีดด้านบนแทนปริมาณ ของเวกเตอร์ เช่น A อา่ นว่า เวกเตอร์ A , R อา่ นวา่ เวกเตอร์ R เป็นตน้ กําหนดให้เวกเตอร์ A มีท้ังขนาดและทิศทางสัมพันธ์กับจุดใดๆในระบบพิกัด ซึ่งแทนด้วย ลูกศรพุง่ ออกจากจดุ กําเนดิ ดังภาพที่ 1.1 โดยมีองค์ประกอบของเวกเตอรเ์ ปน็ Ax, Ay และ Az









6 1.5 เวกเตอรห์ นงึ่ หน่วย (Unit Vector) เวกเตอร์หน่ึงหน่วย คือ เวกเตอรท์ ่ีมีขนาดเป็น 1 หน่วย นยิ ามได้ดงั น้ี iˆ เป็นเวกเตอร์หนึง่ หนว่ ย ในแนวแกน x, iˆ  1,0,0 ˆj เปน็ เวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ย ในแนวแกน y , ˆj  0,1,0 kˆ เปน็ เวกเตอรห์ น่งึ หนว่ ย ในแนวแกน z , kˆ  0,0,1 และเทอมของเวกเตอร์ใดๆ สามารถเขียนแสดงองค์ประกอบของผลรวมเวกเตอรไ์ ด้ดงั นี้ ให้  A  Ax , Ay , Az 1.10  A   Ax , 0, 0  0, Ay , 0  0, 0, Az  A  Ax 1, 0, 0  Ay 0,1, 0  Az 0, 0,1 A  Ax iˆ  Ay ˆj  Az kˆ ทิศทางของเวกเตอรห์ น่ึงหน่วย จะแสดงได้ดังภาพที่ 1.5 ภาพที่ 1.5 เวกเตอร์หนึ่งหนว่ ย iˆ, ˆj และ kˆ แสดงทิศทางตามแกน x, y และ z ที่มา (Serway & Jewett, 2010, p. 62)









11 1.9 กฏของโคไซน์ (Law of Cosines) ภาพท่ี 1.9 กฎโคไซน์ สําหรบั A  B และ A  B ท่ีมา (Arya, 1990, p. 147) จากภาพท่ี 1.9 เวกเตอรล์ ัพธ์ คือ R  A  B และนําเวกเตอรล์ ัพธม์ ายกกาํ ลงั สอง จะไดว้ า่ R2  RR  A BA B  A A2AB BB  A2  B2  2 AB cos 1.23 และจาก cos  cos   ดงั นน้ั cos  cos cos  sin sin  cos   cos  R2  A2  B2  2 AB cos  1.24 ในทาํ นองเดยี วกนั กบั เวกเตอร์ลพั ธ์ D  A  B ดงั นัน้ D2  D D  A BA B  A A2AB BB D2  A2  B2  2 AB cos 1.25









16  21 2  1  iˆ ˆj kˆ1  1 A  B  2 1 1 2   2 1iˆ  1 4 ˆj  2 1 kˆ  iˆ  5 ˆj  3kˆ ตวั อยา่ งท่ี 2 จากตัวอย่างที่ 1.6 จงหาเวกเตอรห์ นึง่ หนว่ ยท่ีต้ังฉากกบั ระนาบของเวกเตอร์ A และ B วิธีทาํ nˆ  A B A B   iˆ  5 ˆj  3kˆ 12  52  32 1/2  iˆ  5 ˆj  3kˆ 35 35 35 ตวั อยา่ งท่ี 3 จงหามุมระหว่างเวกเตอร์ A  2iˆ  ˆj  kˆ และ B  iˆ  ˆj  2kˆ วธิ ที ํา AiB  A B cos cos  AiB AB    1 22 12  12 12   12  22  1 6 6









21  T T T kˆ  x y z i =  iˆ  ˆj  dxiˆ  dy ˆj  dz kˆ เม่อื ให้ dl  dxiˆ  dy ˆj  dz kˆ และ T  T iˆ  T ˆj  T kˆ x y z T อ่านวา่ เกรเดียนท์ ของ T ผลลพั ธ์จะได้เปน็ ปริมาณเวกเตอร์ ดงั น้ัน 1.55 dT  T dl  เกรเดียนท์ ของ T เปน็ เวกเตอร์ มีท้ังขนาดและทิศทาง 1.56 dT  T idl  T dl cos เม่ือ  เป็นมมุ ระหว่าง T และ dl ถ้าให้ dl คงท่ี คา่ T มากทีส่ ุดเมื่อ   0 ตวั อยา่ งที่ 1 จงหาเกรเดยี นท์ของ r  x2  y2  z2 วิธที าํ r  r iˆ  r ˆj  r kˆ x y z      r 1  1  1  x x2  y2  z2 2 iˆ  y x2  y2  z2 2 ˆj  z x2  y2  z2 2 kˆ        r  1 1  1  2 2 2 x2  y2  z2 x x2  y2  z2 iˆ  1 x2  y2  z2 y x2  y2  z2 ˆj 2     1 1  kˆ 2 2 z x2  y2  z2 x2  y2  z2  r  1 1 i2 x iˆ  y ˆj  z kˆ  2 x2  y2  z2 2 xiˆ  y ˆj  z kˆ 1  r  x2  y2  z2 2 r  r r r  rˆ









26   V  อา่ นวา่ เคิรล์ ของเคริ ล์ V จาก ไดเวอรเ์ จนซ์ ของ เกรเดยี นท์ T เขียนได้ว่า  i T    iˆ   ˆj   kˆ  T iˆ  T ˆj  T kˆ   x y z i x y z    2T   2T   2T x2 y 2 z 2 2T  ลาปลาเชยี น ของT ดังน้นั 2  2  2  2 1.71 x2 y 2 z 2 1.72 = ตัวดาํ เนนิ การลาปลาเชยี น (Laplacian Operator) 1.73 1.74 สมบัติของเดลที่ควรรู้ T   0 i V   0    V    iV   2V









31 1.17 เมื่อV r   k เมื่อ r  x2  y2  z2 จงหาองค์ประกอบของแรงเม่อื F  V r 1.18 จงหา ir ของเวกเตอร์ต่อไปนี้ 1) r  xiˆ  yˆj 2) r  xiˆ  yˆj  zkˆ 3) r  yiˆ  xˆj  zkˆ 4) r  4xiˆ  2 ˆj  4 ykˆ 1.19 จงหาไดเวอร์เจนซ์ ของเวกเตอรฟ์ ังกช์ นั ต่อไปน้ี 1) Va  x2iˆ  3xz2 ˆj  2xzkˆ 2) Vb  xy iˆ  2yz ˆj  3zx kˆ  3) Vc  y2 iˆ  2xy  z2 ˆj  2 yz kˆ 1.20 จงหา  F ต่อไปน้ี 1) F  Fxiˆ  Fy ˆj  Fzkˆ    2) F  4abyz2 10bx2 y2 iˆ  9abxz2  6bx2 y ˆj  8abxyz  kˆ 1.21 จงหาเคริ ์ลของเวกเตอร์ฟังก์ชนั ต่อไปน้ี 1) Va  x2iˆ  3xz2 ˆj  2xzkˆ 2) Vb  xy iˆ  2yz ˆj  3zx kˆ  3) Vc  y2 iˆ  2xy  z2 ˆj  2 yz kˆ 1.22 จงหาลาปลาเชยี นของฟังก์ชนั ตอ่ ไปน้ี 1) Ta  x2  2xy  3z  4 2) Tb  sin xsin ysin z 3) Tc  e5x sin 4y cos 3z 4) V  x2 iˆ  3xz2 ˆj  2xz kˆ