Chapter 4 Motion in Two Dimension

บทที่ 4 การเคลอ่ื นท่ีในสองมติ ิ 4.1 ความนาํ การเคล่ือนท่ีของลูกเทนนิสหลังจากตีออกจากไม้ การเคล่ือนที่ของรถเหาะตามแนวโค้ง หรือ การขว้างสิ่งของจากตึกสูงลงมา การเคล่ือนที่ดังกล่าวไม่สามารถอธิบายการเคลื่อนที่ด้วยสมการ สาํ หรบั การเคลอื่ นที่ในแนวตรง การที่จะอธิบายคําถาม 3 ขอ้ ขา้ งต้นได้ ตอ้ งอาศัยความรกู้ ารเคลื่อนท่ี ในสองมิติ ที่ยังคงใช้ปริมาณเวกเตอร์การกระจัด ความเร็ว และความเร่ง สําหรับในบทนี้จะเร่ิมต้น ด้วยเวกเตอร์ การกระจัด ความเร็ว และความเร่งในสองมิติ จากน้ันจะกล่าวถึงการเคล่ือนท่ีแบบโปร เจคไตล์และการเคลื่อนทใ่ี นแนววงกลมซึ่งเปน็ การเคลื่อนทีใ่ นสองมติ ิ 4.2 เวกเตอรก์ ารกระจัด และความเรว็ เพ่ือท่ีจะอธิบายการเคลื่อนที่ของอนุภาคในอวกาศ สิ่งแรกที่ต้องสามารถอธิบายได้คือ ตําแหน่งของอนุภาค พิจารณาอนุภาคขณะใดๆท่ีจุด P โดยเวกเตอร์ชี้ตําแหน่งเป็น r ชี้จากจุด กําเนิดไปยังจุด P ดังภาพที่ 4.1 และมีแกน x, y และ z จะเขียนเวกเตอร์ r ในเทอมของเวกเตอร์ หนง่ึ หน่วย (Young, 2012, p.70) ได้ดงั น้ี r  xiˆ  yˆj  zkˆ 4.1 ภาพที่ 4.1 ตําแหน่งของเวกเตอร์ r จากจุดกาํ เนดิ ท่มี า (Young, 2012, p.70)





64 4.3 เวกเตอรค์ วามเรง่ (the acceleration vector) ตอนนจ้ี ะมาพิจารณาความเร่งของอนภุ าคท่ีกําลงั เคลอื่ นทใ่ี นอวกาศ เชน่ เดียวกับการเคลื่อนท่ี ในแนวตรงที่ความเร่งอธิบายการเปลี่ยนแปลงความเร็วของอนุภาค ความเร็วเป็นปริมาณเวกเตอร์ ดังน้นั ความเร่งจะอธิบายการเปลีย่ นแปลงของความเร็วทัง้ ขนาดและทิศทาง พจิ ารณาการเคลื่อนท่ีของรถยนต์ ดงั ภาพที่ 4.3 กาํ ลังเคล่ือนทบี่ นทางโค้ง โดยมเี วกเตอร์ v1 และ v2 แทนความเร็วขณะใดๆ ท่เี วลา t1 เม่อื รถอย่ทู ่ี P1 และทเ่ี วลา t2 เม่อื รถอยู่ทีจ่ ดุ P2 ภาพท่ี 4.3 การเคล่ือนท่ีของรถยนต์จาก P1 ไปยงั จดุ P2 ทม่ี า (Young, 2012, p. 73) ความเร็วเวกเตอร์ v1 และ v2 มีความแตกต่างกันท้ังขนาดและทิศทาง ระหว่างช่วงเวลาท่ี t1 ถึง t2 การเปล่ียนแปลงเวกเตอรค์ วามเร็ว คือ Δv  v2  v1 หรือ v2  v1  Δv เพราะฉะน้ัน เรา จะนิยามความเร่งเฉลยี่ ของรถระหว่างช่วงเวลา t คือ การเปล่ียนแปลงความเรว็ ต่อช่วงเวลา t aav  v2  v1  Δv 4.8 t2  t1 Δt ความเร่งเฉลี่ยเป็นปริมาณเวกเตอร์ โดยมีทิศทางเดียวกันกับเวกเตอร์ v และความเร่งขณะใดๆ ที่ จุด P1 คือ ลิมิตของความเร็วเฉล่ีย เมื่อ P2 ใกล้กับ P1 ดังน้ัน Δv และ t ท้ังสองเข้าใกล้ศูนย์ ดงั นัน้ ความเร่งขณะใดๆเทา่ กับอตั ราการเปลยี่ นแปลงของความเรว็ เทียบกบั เวลา a  lim Δv  dv 4.9 t0 Δt dt และเขยี นองค์ประกอบของความเรง่ ในรูปอนุพันธไ์ ดด้ งั นี้





67 ตวั อยา่ งท่ี 1 จากตัวอย่างที่ 1 ของหวั ข้อท่ีผา่ นมา 1) องคป์ ระกอบของความเร่งเฉล่ียในช่วงเวลา t=0.0 s ถงึ t= 2.0 s 2) ความเรง่ ขณะใดๆ ท่เี วลา t=2.0 s 4.5 การเคลอ่ื นทแี่ บบโปรเจคไตล์ เพ่ือที่จะวิเคราะห์ตวั อยา่ งการเคลอ่ื นท่ีใน 2 มิติ เราจะกล่าวถึงแบบจําลองการเคลอ่ื นที่แบบ โปรเจคไตล์ ของอนุภาคท่ีเคล่ือนท่ีด้วยความเร่ง (เน่ืองจากความโน้มถ่วง) ซ่ึงมีค่าคงที่ท้ังขนาดและ ทิศทาง (ไม่พิจารณาถงึ แรงต้านอากาศ ความโค้งและการหมนุ ของโลก) การเคล่ือนท่ีแบบโปรเจคไตล์ คือ การเคล่ือนท่ีในแนว 2 มิติ และการเคลื่อนท่ีอยู่ในระนาบ xy โดยท่ีแนวแกน x เป็นแกนนอน และ แกน y เป็นแกนตั้ง (Serway, 2010, p. 79) การวิเคราะห์ การเคล่ือนที่แบบโปรเจคไตล์ ต้องแยกวิเคราะห์ระหว่างแกน x กับแกน y โดยท่ีแกน x จะมีการ เคล่อื นทด่ี ว้ ยความเร็วคงที่ และแกน y มีการเคล่อื นทีด่ ว้ ยความเร่งคงที่ และเทา่ กบั g เราสามารถแยกแสดงความสัมพันธ์ของเวกเตอร์ท่ีเก่ียวข้องกับการเคลื่อนท่ีแบบโปรเจคไตล์ เช่น ตําแหน่ง ความเร็ว และความเร่ง โดยแยกสมการตามแนว x, y องค์ประกอบของความเร่ง a แยกไดด้ งั นี้ ax  0, ay  g 3.14 สมมตทิ เ่ี วลา t  0อนภุ าคอยู่ท่ี x0, y0 และองค์ประกอบของความเรว็ จะเปน็ ความเร็วตน้ v0x, v0y และองค์ประกอบของความเร่ง ax  0, ay  g พจิ ารณาการเคลอ่ื นที่ของอนภุ าคใน แนวแกน x และ ax  0 จะไดว้ า่ vx  vox 3.15 x  x0  voxt 3.16 และแกน y vy  voy  gt 3.17





70 ตัวอย่างท่ี 2 ผลักวตั ถุออกจากขอบดาดฟ้าตกึ สงู 20 เมตร ดว้ ยความเรว็ ต้น 15 เมตรต่อวินาที ตาม แนวระดบั วัตถุจะตกถึงพ้นื ที่ระยะหา่ งจากฐานตึกกี่เมตร ตวั อย่างท่ี 3 ยงิ กระสนุ ปนื มวล 50 กรัม ดว้ ยความเรว็ ต้น 100 เมตรต่อวนิ าที ทาํ มุม 60๐ กบั แนว ระดับหลังจากนั้น 5 วินาที กระสุนตกกระทบเป้าหมายบนหนา้ ผา เป้าน้นั อยู่สงู จากพ้ืนระดับที่ยงิ เทา่ ไร ตัวอย่างที่ 4 ชายคนหนง่ึ ยนื อยบู่ นตึกสูง 15 เมตร จากพื้นดนิ ขวา้ งลกู บอลขึน้ ไปทาํ มมุ 30๐ กับแนว ระดบั ด้วยความเร็ว 20 เมตรต่อวนิ าที ถามวา่ ลูกบอลจะตกกระทบพนื้ ดนิ ห่างจากจุดขว้างในแนว ระดับกเี่ มตร ตัวอยา่ งที่ 5 นักขบั มอเตอร์ไซคผ์ ากโผนออกจากขอบหนา้ ผาขณะทค่ี วามเร็วของมอเตอรไ์ ซค์มีขนาด 9 เมตรตอ่ วนิ าที จงหาตาํ แหนง่ และระยะจากขอบหน้าผา ดงั ภาพท่ี 4.9 และความเร็วหลังจาก 0.5 วนิ าที หลงั จากท่ีหลุดจากขอบหนา้ ผา ภาพท่ี 4.9 นักขบั มอเตอร์ไซค์ผากโผนออกจากขอบหนา้ ผา ที่มา (Young, 2012, p.81)





73 ขนาดความเรง่ เฉลยี่ ในช่วงเวลา t คือ aav  v  v1 s t R t ขนาดของความเร่งขณะใดๆ ของ a ท่ีจดุ P1 คือ ลิมติ ของจุด P2 ใกล้กับจุด P1 a  lim v1 s  v1 lim s R t R t t 0 t 0 ถ้าช่วงเวลา t นอ้ ยๆ s คอื ระยะทางท่ีอนภุ าคเคลื่อนท่ีได้ตามเส้นโค้งนี้ ดงั นนั้ ลมิ ิตของ s / t คอื อัตราเรว็ v1 ทจี่ ดุ P1 ดงั นั้น จุดใดๆบนเสน้ โค้งจะมคี วามเรว็ v1  v เปน็ ความเร็วที่จุดใดๆ ดังนน้ั arad  v2 หรือ ac  v2 4.28 R R Rad บอกถึงทิศทางของความเร่งขณะใดๆ ที่แต่ละจุดมีทิศทางเข้าหาจุดศูนย์กลางของวงกลมเสมอ (บางคร้ังเรียกว่า ความเร่งสู่ศูนย์กลาง) และเราสามารถแสดงขนาดของความเร่ง สําหรับการ เคล่ือนที่สมํ่าเสมอในแนววงกลมในเทอมของ คาบ (T, period) คือ เวลาที่ใช้ในการเคล่ือนที่ครบ 1 รอบ มีหน่วยเปน็ วินาที (s) ทาํ ใหไ้ ดร้ ะยะทาง 2 R และจะได้ความเรว็ ดงั นี้ v  2 R 3.29 T นาํ ไปแทนในสมการของความเรง่ และเขียนสมการใหม่ไดว้ ่า arad  4 2R 3.30 T2 ตัวอยา่ งที่ 1 เคร่อื งเลน่ เคล่อื นท่ีดว้ ยอตั ราเร็วคงทใ่ี นแนววงกลมรัศมี 5.0 เมตร และครบรอบในเวลา 4.0 วนิ าที จงหาความเรง่ ตัวอย่างที่ 2 ดวงจนั ทร์โคจรรอบโลกครบ 1 รอบ ใช้เวลา 27.3 วนั สมมตวิ ่ารศั มวี งโคจรเปน็ วงกลม มคี ่าเท่ากบั 3.85 x 108 เมตร จงหาขนาดของความเร่งของดวงจันทร์ท่ีพงุ่ สูโ่ ลก





76 4.13 ชายคนหนึง่ อยูบ่ นพน้ื ราบ ขวา้ งลกู บอลไปในอากาศลูกบอลลอยอย่ใู นอากาศนาน 4.0 วินาที โดยไมค่ ิดแรงตา้ นอากาศ ถา้ ลูกบอลตกไปไกลในแนวระดบั เป็นระยะ 60.0 เมตร ความเร็วท่ีใชข้ ว้าง ลูกบอลมีค่าเท่าใด 4.14 วตั ถชุ ้ินหนึ่งเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยอัตราเรว็ 20 รอบในเวลา 4 วนิ าที จงหา 1) ความถ่ี 2) คาบ 3) ถา้ รศั มขี องการเคล่ือนทเี่ ป็น 2 เมตร จงหาอัตราเรว็ 4.15 โลกมีรศั มี 6380 กโิ ลเมตร และหมนุ รอบแกนตวั เอง 24 ชว่ั โมง จงหา 1) ความเรง่ เข้าศนู ย์กลาง 2) คาบของการเคลื่อนทคี่ รอบหนงึ่ รอบของโลก 4.16 รศั มีของโลกทโ่ี คจรรอบดวงอาทติ ย์ คือ 1.50 x 108 กิโลเมตร และเคลื่อนโคจรรอบดวงอาทิตย์ ใชเ้ วลา 365 วนั จงหา 1) ขนาดความเร็วของโลก 2) ความเร่งเขา้ ศูนย์กลาง