Chapter 5 Motion in Two and Three Dimension

บทที่ 5 การเคลื่อนทใี่ น 2 มิติ และ 3 มิติ 5.1 ความนาํ ก่อนหน้าเราได้ศึกษาการเคล่ือนที่ใน 1 มิติไปแล้วโดยใช้ระบบพิกัดฉากในการอธิบาย และ เพ่ือใหเ้ ข้าใจเหตุการณท์ ่ีมคี วามซับซอ้ นหรือไม่สามารถอธิบายดว้ ยสมการการเคล่อื นที่ใน 1 มิติ ดังน้ัน ในบทน้จี ะกล่าวถึงการเคล่อื นทแี่ บบ 2 มิติ และ 3 มิติ แต่บ่อยคร้ังที่ระบบพิกดั ฉากไมส่ ามารถอธบิ าย เหตุการณ์ท่ีสําคัญทางฟิสิกส์ได้ เพ่ือจะแก้ปัญหาน้ีจึงต้องมีการศึกษาระบบพิกัดแบบอ่ืนๆ เช่น พิกัด เชิงข้ัว (Polar Coordinate) พิกัดทรงกระบอก (Cylindrical Coordinate) และพิกัดทรงกลม (Spherical Coordinate) จากนนั้ จะกลา่ วการเคลอื่ นท่ีแบบสนั่ และแบบโปรเจคไทล์ใน 2 และ 3 มติ ิ 5.2 ระบบพกิ ดั ต่างๆ การอธิบายตําแหน่งและการเคลื่อนที่ของวัตถุต่างๆในอวกาศ จําเป็นจะต้องมีระบบพิกัดที่ เหมาะสมสําหรับอธิบายการเคลื่อนที่ของวัตถุนั้น เช่น ระบบพิกัดฉาก พิกัดเชิงขั้ว พิกัดทรงกระบอก และพิกดั ทรงกลม ซ่ึงมีรายละเอยี ด ดงั ตอ่ ไปน้ี 5.2.1 ระบบพกิ ัดฉาก (Rectangular Coordinator System) พิจารณาระบบพิกดั ฉากใน 2 มิติ ทปี่ ระกอบดว้ ยแกนท่ีต้ังฉากกัน 2 แกน ดังภาพที่ 5.1 และ ตําแหน่งของจดุ P อธิบายโดยใชพ้ ิกดั  x, y ซึง่ ลากเส้นตรงจากตาํ แหนง่ P ลงมาต้ังฉากกบั แกน X ,Y ภาพท่ี 5.1 พิกัดฉาก  x, y ของจุด P ใน 2 มิติ ท่มี า (Arya, 1990, p. 189)











147 5.14 5.15 x  r sin cos 5.16 y  r sin sin z  r cos 5.17 5.18 ยกกําลังสองสมการ 5.14, 5.15 และ 5.16 5.19 x2  x2cos2sin2 y2  x2sin2sin2 z2  x2cos2 จากนน้ั นํามาบวกกัน และดึงตวั รว่ ม r2 ออกมา  x2  y2  z2  r 2 cos2 sin2θ  sin2 sin2  cos2θ   r2  cos2  sin2 sin2  cos2    r 2 sin2θ  cos2θ ดงั นนั้ จะได้ r  x2  y2  z2 และ tan  x2  y2 z tan  y x พกิ ดั ทรงกลมนจ้ี ะถูกใช้ในการอธิบายการเคลื่อนท่ีใน 3 มิติ











153 ภาพที่ 5.9 การแปรคา่ rˆ กบั θ และ ˆ กับ θ ที่มา (Arya, 1990, p. 198) จากภาพที่ 5.9 แสดงตําแหน่งของ rˆ และ ˆ สําหรับมุม θและมุมที่เปล่ียนไป คือ θ  d มุม θเพิ่มข้ึน d ขณะที่เวกเตอร์หน่ึงหน่วยของรัศมี rˆ มีการเปล่ียนจาก rˆ   ถึง rˆ  d  คือ drˆ ในทํานองเดียวกนั กับเวกเตอร์ของมุม มกี ารเปลยี่ นจาก ˆ  ถงึ ˆ  d  คอื dˆ และ drˆ ช้ีตามทิศทางของ ˆ ขณะท่ี dˆ มที ศิ ช้ตี รงข้ามกับ rˆ น่ันคอื rˆ ให้ r เปน็ เวกเตอรข์ ตี้ ําแหน่งในเทอมของพิกัดเชิงข้ัว เขียนได้ว่า r  rrˆ  rrˆ   5.36 เมือ่ rˆ  rˆ  และการเคล่ือนท่ีของอนุภาคถกู กําหนดโดยพิกดั r t  และ  t  ในพิกดั เชิงขั้ว ทาํ ใหส้ ามารถหาความเร็วของอนภุ าคได้ดงั น้ี v  dr  d rrˆ dt dt v  dr rˆ  r drˆ dt dt v  dr rˆ  drˆ i d dt d dt v  rrˆ  rˆ 5.37 5.38 v  vr rˆ  vˆ











159 ตวั อยา่ งที่ 1 ลกู ปดั ลูกหนงึ่ เลื่อนอยบู่ นเส้นลวดขดเปน็ เกลียว ตาํ แหนง่ ของลูกปัดในระบบพกิ ดั เชงิ ข้วั ทรงกระบอกทีเ่ วลาใดๆ เป็นดังน้ี ρ  b,   t, z  ct เมือ่ b,c เปน็ คา่ คงท่ี จงหาความเร็วและความเรง่ ของลูกปัดท่เี วลาใดๆ พร้อมทั้งอธบิ ายการเคลื่อนท่ี ของลูกปดั วธิ ที ํา จากสมการ v  ˆ  ˆ  zzˆ (1) หาคา่ ,ˆ และ z ไดด้ ังนี้ z  cdt  c dt   db  0,   dt  , dt dt (2) นาํ คา่ นีไ้ ปแทนในสมการ (1) จะได้ว่า v  bˆ  czˆ และความเรง่ ได้จากสมการ (3) a      2  ˆ  2   ˆ  zzˆ หาค่า , และ z ไดด้ ังนี้   0,   0, z  0 นําคา่ ไปแทนในสมการ (2) a  0  b 2  ˆ  20  b 0ˆ  0 zˆ a  b2ˆ (4) จากสมการ (2), (4) จะเห็นวา่ ลูกปัดเคล่ือนท่เี ปน็ รูปเกลียว โดยหมนุ เปน็ วงกลมด้วยอตั ราเชงิ มุม  และมีขนาดความเร่งเขา้ สูศ่ ูนย์กลางเท่ากับ b 2 ขณะท่ีกําลงั เคล่ือนทดี่ ว้ ยความเรว็ cในทศิ ทางของ แกน z 5.3.4 พิกัดเชงิ ขั้วทรงกลม (Spherical Polar Coordinates) พิกัดทรงกลมส่วนใหญ่จะใชอ้ ธบิ ายรูปทรงทมี่ ีความสมมาตรมาก เชน่ แรงคลู อมบใ์ นอะตอม และแรงโนม้ ถว่ งจากภาพที่ 5.13 ให้ P เป็นจุดใดๆในอวกาศและมพี ิกัดเปน็ r, ,ˆ และมรี ัศมี r











165 สมการ 5.75 จะเขียนสมการได้ดังเชน่ การเคลื่อนทีใ่ น 1 มิติ ดังนี้ 5.76 5.77 x2x  0 y 2y  0 เมือ่ 2  k m สมการ 5.76, 5.77 จะมีผลเฉลยของสมการคือ x  Acos t    5.78 x 5.79 y  B cos t    y เมื่อ A, B,x และ  คอื ค่าคงที่ และการสนั่ มคี วามถ่ีเหมือนกัน แต่มีแอมปลิจดู และเฟสต่างกัน y ดงั น้ันการจะหาเสน้ ทางการเคลอื่ นที่ของอนุภาคต้องตัดตัวแปร t ออกจากสมการ ดังต่อไปน้ี จากสมการ 5.78 จะได้วา่ x  cos t    5.80 A x 5.81 x2  cos2 t x  A2 และจากสมการ 5.79 y  cos t    5.82 B y  y cos  t   x    5.83 y x B  y cos t         5.84 x y x B และใช้สมบตั ทิ างตรีโกณ cos  A  B  cos Acos B ∓ sin Asin B ทําใหเ้ ขยี นสมการใหม่ได้ดงั นี้    y t    t   5.85 y x x B  cos   cos  sin  sin   x yx











171 z  v0z x  g x2 5.113 v0x 2v0 x สมการ 5.113 เป็นสมการพาราโบลา แสดงให้เห็นว่าการเคลื่อนท่ีแบบโปรเจคไทล์เป็นการเคล่ือนที่ โค้งแบบพาราโบลา ทําให้สามารถหาเวลาท่ีอนุภาคใช้ขึ้นไปได้สูงสุด, ระยะสูงสุดท่ีอนุภาคขึ้นไปได้ และระยะที่อนภุ าคตกไกลสดุ ไดด้ ังนี้ หาเวลาสงู สุดทอี่ นภุ าคใช้ในการขน้ึ ไปไดส้ ูงสุด จากสมการ 5.108 vz  v0z  gt เม่ืออนภุ าคอยู่ท่ีจุดสูงสดุ vz  0 และ v0z  v0 sin  แลว้ นาํ คา่ เหล่านแ้ี ทนลงในสมการ 5.108 จะได้ว่า 0  v0 sin  gt 5.114 ทาํ ให้ได้เวลาสูงสุดเปน็ ดงั นี้ t  v0 sin  5.115 g สมการ 5.115 ใชห้ าเวลาทจี่ ุดสงู สดุ สาํ หรับเวลาทั้งหมดที่อนภุ าคอยู่ในอากาศหาได้ ดังนี้ t  2v0 sin  5.116 g หาระยะทอ่ี นภุ าคขนึ้ ไปไดส้ งู สดุ ในแนวด่งิ ได้ดงั น้ี นาํ สมการ 5.115 แทนลงใน 5.110 จะไดส้ มการดังน้ี z  v0 sin  v0 sin   1 g  v0 sin  2 g 2  g  z  v02 sin2   v02 sin2  g 2g z  v02 sin2  5.117 2g สมการ 5.117 เปน็ สมการทใ่ี ช้สําหรับการหาความสงู ที่อนุภาคขึ้นไปไดส้ งู สดุ ในแนวดิง่ การหา ระยะไกลสดุ ท่ีอนุภาคเคล่ือนทต่ี กในแนวระดบั หาได้ดงั นี้











177 5.5.3 การเคลอื่ นทโี่ ปรเจคไทล์ใน 3 มิติ (Projectile Motion in Three Dimension) สาํ หรับการเคลอื่ นทโี่ ปรเจคไทล์แบบ 3 มติ ิ ทงั้ แบบไม่มแี รงตา้ นและมีแรงต้านทเ่ี ปน็ สัดส่วน โดยตรงกับความเร็ว วธิ กี ารหาผลเฉลยของสมการสาํ หรบั การเคลอ่ื นที่ใน 3 มิติ ไม่ได้มคี วามแตกตา่ ง จากกรณีของ 2 มติ ิ พิจารณากระแสลมทีต่ ้านการเคลื่อนที่เรียกวา่ แรงลอยลอ่ ง (Drift Force, Fd ) ที่ มีทิศทางตามแนวแกน Y ดงั ภาพที่ 5.20 ทําใหเ้ ขียนสมการการเคล่อื นท่ีได้ดังนี้ d 2r  mg kˆ  bv  Fd ˆj 5.141 m dt 2 ภาพที่ 5.20 แรงลอยลอ่ งเน่ืองจากกระแสสมที่มากระทาํ ในทศิ ทางของแกน Y ของการเคล่ือนท่ี โปรเจคไทล์ดว้ ยความเรว็ ต้น v0 ในระนาบ XY ทีม่ า (Arya, 1990, p. 230) เม่ือพิจารณาภาพท่ี 5.20 จะเห็นวา่ แนวแกน X วัตถุมกี ารเคล่ือนท่ีดว้ ยความเร็วคงท่ี และมีเฉพาะ แรงต้านของกระลมทเ่ี รยี กวา่ แรงลอยล่อง เทา่ น้ัน ทําใหเ้ ขียนสมการสําหรับแกน X ได้ดังน้ี m d2x  bx 5.142 dt 2 5.143 mx  bx 5.144 สาํ หรับการเคล่อื นทใ่ี นแนวแกนY และ Z จะเขียนสมการได้ดงั น้ี my  by  Fd mz  bz  mg 5.145 ผลเฉลยของสมการ 5.143, 5.144 และ 5.145 สามารถหาไดด้ ้วยวิธกี ารเดยี วกับการหาผล เฉลยของสมการในการเคล่ือนแบบโปรเจคไทลใ์ น 2 มติ ิ