Chapter 2 Vector

บทท่ี 2 เวกเตอร์ 2.1 ความนํา บางปริมาณในทางฟิสิกส์ เช่น เวลา, อุณหภูมิ, มวล และความหนาแน่น สามารถอธิบายให้ เข้าใจด้วยตัวเลขเพียงหน่ึงตัว กับหน่วย 1 หน่วย แต่มีปริมาณอื่นๆในทางฟิสิกส์ที่ต้องใช้ทิศทางใน การอธิบาย ซ่ึงจะไม่สามารถอธิบายด้วยตัวเลขตัวเดียวได้ ปริมาณท่ีถูกอธิบายตัวเลขใดๆ เรียกว่า ปริมาณสเกลาร์ (Scalar quantity) ในทางกลับกัน ปริมาณท่ีถูกอธิบายด้วยตัวเลขใดๆและมีทิศทาง ประกอบด้วย จะเรียกว่า ปริมาณเวกเตอร์ (Vector quantity) การคํานวณผลรวมของสเกลาร์ จะใช้ สมบัติการดําเนินการทางคณิตศาสตร์ เช่น 6 kg + 3 kg = 9 kg หรือ 4 x 2 s = 8 s สําหรับการรวม ของปริมาณเวกเตอร์ จะมกี ารดาํ เนินท่ตี ่างกัน เพอ่ื ความเขา้ ใจเก่ยี วกบั เวกเตอร์ และการรวมเวกเตอร์ ในที่นจ้ี ะเร่ิมจากปรมิ าณเวกเตอร์ การกระจดั (Displacement) 2.2 ความหมายของการกระจดั การกระจดั คือ การเปลยี่ นแปลงตาํ แหนง่ ของวัตถุ ซงึ่ แสดงไดด้ งั ภาพที่ 2.1 เปน็ การเปล่ยี น ตําแหน่งจาก P1 ไปยงั P2 และได้เปน็ การกระจัด A ภาพที่ 2.1 เวกเตอร์การกระจัด ที่มา (Young, 2012, p.11) สญั ลักษณข์ องเวกเตอร์สําหรับในเอกสารเล่มนใี้ ชส้ ญั ลกั ษณ์ ตัวบางมขี ีดด้านบนแทนปริมาณ ของเวกเตอร์ เช่น A อา่ นว่า เวกเตอร์ A , R อา่ นวา่ เวกเตอร์ R เปน็ ต้น 2.3 การบวก การลบเวกเตอร์ (Vector Addition and Subtraction) สมมติใหอ้ นภุ าคเคลื่อนทชี่ ่วงแรกได้การกระจดั A ตามดว้ ยชว่ งทส่ี องได้การกระจดั B ให้ ผลลพั ธท์ ีไ่ ดเ้ ป็น C แสดงไดด้ งั ภาพท่ี 2.2 และในทางกลับกนั ถ้าเวกเตอร์ B เปน็ เวกเตอรต์ ัวแรก และตามด้วยเวกเตอร์ A ผลลัพธท์ ไี่ ดจ้ ะเปน็ เวกเตอร์ C เหมอื นกนั ดงั นัน้ สรปุ ไดว้ า่ AB  B A 2.1



19 จากภาพท่ี 2.4 จะได้ว่า และ Ay  sin 2.3 และ A Ax  cos Ay  Asin A Ax  Acos หาขนาดของเวกเตอร์ ไดด้ ังน้ี A  Ax2  Ay2 2.4 และหาทศิ ทางของเวกเตอรล์ ัพธ์ ดงั น้ี A sin   Ay A cos  Ax tan  Ay Ax   tan 1  Ay  2.5    Ax  2.5 การคณู เวกเตอรด์ ้วยสเกลาร์ ถ้าคูณเวกเตอร์ A ด้วยสเกลาร์ c และให้ผลลัพธ์เป็น D จะมีค่าเท่ากบั cA เมอ่ื แยกเปน็ องคป์ ระกอบเป็นแนวแกน x, y จะได้องค์ประกอบของเวกเตอร์เปน็ ดงั นี้ Dx  cAx , Dy  cAy 2.6 สาํ หรับตัวอย่าง 2A คอื ขนาดของเวกเตอร์เปน็ สองเท่าของเวกเตอร์เดิม และยงั มีทิศทาง อยู่ในแนวเดิม , 3A คอื ขนาดของเวกเตอรเ์ ป็นสามเท่าของเวกเตอรเ์ ดิม และมีทิศทางตรงข้ามกับ เวกเตอร์ A



21 ตัวอย่างท่ี 3 นาย ก เดินทางได้ 72.4 เมตรในทิศทํามุม 32.0 กับทิศตะวันออกเฉียงเหนือ ให้เป็น เวกเตอร์ A จากน้ันเดินต่อไปอีก 57.3 เมตร ในทิศทํามุม 36.0 กับทิศตะวันตกเฉียงใต้ ให้เป็น เวกเตอร์ B และเดินตรงไปทางทิศใต้ 17.8 เมตร เป็นเวกเตอร์ C จงหาทิศทางและการกระจัด ลัพธ์ ภาพที่ 2.7 เวกเตอร์แสดงการเดินทางของนาย ก ที่มา (Young, 2012, p.18) 2.6 เวกเตอรห์ นงึ่ หน่วย (Unit Vectors) เวกเตอร์หน่ึงหน่วย คือ เวกเตอร์ท่ีมีขนาดเท่ากับ 1 หน่วย และ ไม่มีหน่วย ในระบบพิกัด ฉาก จะนิยามเวกเตอร์หนึ่งหน่วย iˆ ชี้ในแนวแกน x และเวกเตอร์หน่ึงหน่วย ˆj ช้ีในแนวแกน y ดงั น้นั ความสัมพนั ธ์ระหว่างองคป์ ระกอบของเวกเตอร์กับเวกเตอร์หนึง่ หนว่ ย (Serway, 2010, p. 26) เป็นดงั น้ี ภาพท่ี 2.8 เวกเตอรห์ น่ึงหนว่ ย iˆ, ˆj ในทิศทางของแกน x และ y ท่ีมา (Young, 2012, pp.19)



23 2.10 2.11  R   Ax  Bx  iˆ  Ay  By ˆj  Az  Bz  kˆ R  Rxiˆ  Ry ˆj  Rzkˆ ตัวอยา่ งที่ 1 เวกเตอร์การกระจดั D  6.0iˆ  3.0 ˆj 1.0kˆ เมตร และ E  4.0iˆ  5.0 ˆj  8.0 kˆ จงหาขนาดของการกระจัด 2D  E 2.7 การคูณของเวกเตอร์ (Products of Vectors) การคูณของเวกเตอร์แยกไดเ้ ป็น การคณู เชิงสเกลาร์ (scalar product) และการคูณเชงิ เวกเตอร์ (vector product) ซ่งึ จะกล่าวต่อไป 2.7.1 การคณู เชงิ สเกลาร์ (Scalar product) การคณู เวกเตอรเ์ ชงิ สเกลารข์ องสองเวกเตอร์ A และ B เขยี นได้วา่ A B การคูณแบบนี้ บางครัง้ เรียกวา่ การคณู แบบจุด (dot product) และนยิ ามการคูณเชิงสเกลาร์ ได้ดังนี้ A B  ABcos  A B cos 2.12 จากสมการ (2.12) จะพบวา่ A B มคี า่ เท่ากับขนาดของเวกเตอร์ A คูณกับภาพฉายของ เวกเตอร์ B และแสดงไดด้ ังภาพท่ี 2.10 ภาพท่ี 2.10 ภายฉายของเวกเตอร์ B ท่ีฉายลงบนเวกเตอร์ A ทีม่ า (Young, 2012, p.20) ผลคูณเชิงสเกลาร์ได้ผลเป็นสเกลาร์ ดังน้ันค่าที่ได้จะมีท้ังท่ีเป็น บวก ลบ และ ศูนย์ เม่ือ  อยู่ระหว่าง 0 และ 90 จะได้ว่า cos  0 ทําผลคูณเชิงสเกลาร์มีค่าเป็น บวก เม่ือ  อยู่ระหว่าง 90 และ 180 จะได้ว่า cos  0 ทําผลคูณเชิงสเกลารม์ ีคา่ เปน็ ลบ และสดุ ท้ายเมอื่   90 น่นั คือ A B  0 จะไดว้ า่ คผลคณู เชงิ สเกลาร์ของสองเวกเตอร์มีคา่ เท่ากับศนู ย์เสมอ



25 2.7.2 การคณู เวกเตอรแ์ บบเวกเตอร์ (Vector Product) การคณู เวกเตอร์ของสองเวกเตอร์แบบเวกเตอร์ หรือการคูณแบบครอส (cross product) เขยี นได้วา่ A B ผลคูณแบบเวกเตอร์ผลลัพธ์ทไี่ ด้จะเป็น เวกเตอร์ กําหนดใหเ้ วกเตอร์ C เปน็ ผล คูณของ A B ทต่ี ้ังฉากกับเวกเตอรท์ ้ังสอง และมีขนาดเท่ากบั ABsin แสดงไดด้ ังภาพที่ 2.11 และจะนิยามไดว้ า่ C  A B  AB sin  2.15 ภาพที่ 2.11 ผลคณู แบบเวกเตอรข์ อง A B ทม่ี า (Young, 2012, p. 23) มุม  วัดจากเวกเตอร์ A ไป B และเม่ือ  อยู่ระหว่าง 0 และ180 ทําให้ sin  0 ทํา ผลคูณเชิงเวกเตอร์จะเป็นบวก เมื่อ และถ้า   0 หรือ  180 ค่าของ C มีค่าเท่ากับศูนย์ การ หาทิศทางของเวกเตอร์ลัพธ์หาได้จากกฏมือขวา ดังภาพท่ี 2.12 และการหาผลคูณเชิงเวกเตอร์ของ B  A เป็นการวดั จากเวกเตอร์ B ไป A ดังน้ันจะเขยี นได้ว่า ภาพท่ี 2.12 การหาทศิ ทางของการคูณแบบเวกเตอรต์ ามกฎมอื ขวา ท่ีมา (Young, 2012, p. 23) A B  B A 2.15 การคาํ นวณผลคูณแบบเวกเตอร์ในเทอมของเวกเตอร์หนง่ึ หน่วย นิยามของเวกเตอรห์ น่ึงหน่วย สาํ หรับการคณู เชิงเวกเตอร์



27 แบบฝกึ หัดบทที่ 2 2.1 จากภาพที่ 2.13 จงหา A  B, A  B, A  B และ B  A ภาพท่ี 2.13 แบบฝกึ หัดข้อที่ 2.1 ท่มี า (Young, 2012, p. 29) 2.2 จากภาพท่ี 2.13 ในข้อ 2.1 จงหาองค์ประกอบของเวกเตอร์ A, B,C และ D 2.3 เวกเตอร์ A ทาํ มุม  กับแกน x ในทศิ ทวนเขม็ นาฬิกา จงหามุม  สาํ หรับองค์ประกอบของ เวกเตอรต์ ่อไปนี้ 1) Ax  2.0 m Ay  1.0 m 2) Ax  2.0 m Ay  1.0 m 3) Ax  2.0 m Ay  1.0 m 4) Ax  2.0 m Ay  1.0 m 2.4 เวกเตอร์ A มีองคป์ ระกอบในแนวแกน y องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ A คอื Ax  16.0m จงหา 1) องคป์ ระกอบของเวกเตอร์ A ในแนวแกน y 2) ขนาดของเวกเตอร์ A 2.5 เวกเตอร์ A มอี งค์ประกอบในแนวแกน y คือ Ay  13.0m เวกเตอร์ A ทาํ มุม เวกเตอร์ 32.0 ในทิศทางทวนเขม็ นาฬิกากับแกน  y จงหา 1) จงหาองค์ประกอบของเวกเตอร์ A ในแนวแกน x 2) ขนาดของเวกเตอร์ A



29 2.12 จากภาพท่ี 2.15 จงหาขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ A B ภาพท่ี 2.15 แบบฝกึ หัดข้อท่ี 2.12 ทีม่ า (Young, 2012, p.30) 2.13 ใหเ้ วกเตอร์ A  2.0iˆ  3.0 ˆj  4.0 kˆ และ B  3.0iˆ 1.0 ˆj  3.0 kˆ จงหา 1) ขนาดของเวกเตอร์แต่ละเวกเตอร์ 2) เขยี นเวกเตอร์ A  B ในเทอมของเวกเตอรห์ น่งึ หนว่ ย 3) ขนาดของเวกเตอร์ A  B