Chapter 6 System of Particles and Momentum

บทที่ 6 ระบบอนุภาค โมเมนตมั และการชน 6.1 ความนาํ ในการศึกษาของบทที่ผ่านมาเป็นการพิจารณาอนุภาคเสมือนหน่ึงอนุภาค สําหรับในบทนี้ กล่าวถึงการเคล่ือนท่ีของระบบอนุภาค โมเมนตัม และการชน ซ่ึงกล่าวถึงรายละเอียดเก่ียวกับ ตําแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล ความเร็ว ความเร่งของจุดศูนย์กลางมวล กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิง เสน้ การชนแบบยืดหยนุ่ และไมย่ ืดหย่นุ และการชนของอนุภาคใน 2 มิติ เนอ้ื หาขา้ งตน้ ไปประยุกต์ใช้ ในทางฟสิ ิกส์ เช่น การเคลือ่ นที่ของจรวด และพาหนะทีม่ สี ายพาน 6.2 จุดศนู ย์กลางมวล (Center of Mass) ในส่วนนี้จะอธิบายถึงการเคลื่อนที่ของระบบในเทอมของ จุดศูนย์กลางมวลของระบบ พิจารณาระบบท่ีประกอบด้วยอนุภาค 2 อนุภาคที่มีมวลต่างกันและเชื่อมต่อด้วยแท่งไม้ดังภาพที่ 6.1 ตาํ แหน่งของจุดศูนยก์ ลางมวลของระบบ สามารถอธิบายโดยใชต้ าํ แหนง่ เฉลยี่ ของระบบมวล ภาพท่ี 6.1 จุดศูนย์กลางมวล ทีม่ า (Serway & Jewett, 2010, p. 254) จุดศนู ยก์ ลางของมวล 2 อนภุ าคเช่อื มต่อดว้ ยคานไม้ ดังภาพที่ 6.2 ตําแหน่งบนแกน ‫ ݔ‬จะมี พิกดั ดังนี้ xCM  m1x1  m2 x2 6.1 m1  m2 และใชแ้ นวคิดนส้ี าํ หรับอธบิ ายระบบท่มี ีอนภุ าคจาํ นวนมากท่มี มี วล mi ใน 3 มติ ิ พิกัดตาํ แหน่ง x ของจดุ ศูนยก์ ลางมวลทม่ี ี n อนภุ าค นิยามไดด้ งั นี้ xCM  m1x1  m2 x2  m3x3   mn xn m1  m2  m3  mn











193 I  Ptot 6.12 สมการ 6.12 คือ กฎการดล-โมเมนตัม สาํ หรบั ระบบอนุภาค และ ܲሬ⃑௧௢௧ คือ โมเมนตัมของระบบ และ เมื่อให้แรงภายนอกเทา่ กบั ศนู ย์ จากสมการ 6.11 เขียนได้ดังนี้ MaCM  0 M dvCM  0 dt dMvCM  0 dt ดังน้นั MvCM  Ptot  คา่ คงที่ 6.13 เมอ่ื Fext  0 ตัวอย่างท่ี 1 ปล่อยลูกตุ้มมวล 3,000 kg ของเคร่ืองตอกเสาเข็ม จากท่ีสูง 5 เมตรเหนือเสาเข็ม และ เสาเข็มมมี วล 1,000 kg เม่อื ลกู ต้มุ กระทบเสาเข็ม มันจะไมก่ ระดอนจากหัวเสา ถ้าเสาเข็มลงไปในดิน ได้ 20 เซนติเมจร แรงตา้ นทานเฉล่ยี ของดินเปน็ กีน่ วิ ตัน ตัวอย่างท่ี 2 พิจารณาอนุภาค m1, m2, m3 วางท่รี ะยะ R1, R2, R3 จากจดุ กําเนดิ และให้ m1  2kg, m2  3kg, m3  4kg R1  2t2  iˆ  3tˆj  4kˆ  R2  1 t2 iˆ  2  5 ˆj    R3  1 2t2  3t3 iˆ  3t  4t2 kˆ จงคํานวณปริมาณต่อไปนีท้ ี่เวลา 10 วินาที 1) ตาํ แหน่งของจดุ ศนู ยก์ ลางมวล











199 สมการ 6.26 แสดงให้เหน็ วา่ v1i  v1f และนําไปแทนใน 6.21 ดงั น้ี  v22f  m1 v12f  v12f m2 v22 f  0 เมอ่ื ‫ݒ‬ଵ௜ = ‫ݒ‬ଵ௙ บง่ ช้วี ่าวตั ถุทั้งสองไม่มีการชน กรณเี ป็นลบ จะได้วา่ v1 f  m1   m2  v1i m1  m2 1 m1  v1 f  m1  m1  m2 v1i m1  m2 m1  m2 m1 v1 f  m1  m2 v1i m1  m2 m1  m2 v1 f  m1  m2 v1i m1  m2 v1 f   m1  m2  v1i 6.27  m1  m2    นาํ สมการ ‫ݒ‬ଵ௙ แทนในสมการ 6.21  v22f  m1 v12f  v12f m2 v22 f  m1    m1  m2 2 v12i  m2  v12i  m1  m2      m1    m12  2m1m2  m22  m2  v12i  m1  m2  v12i   v22 f 2     v22f    m1  v12i m12  2m1m2  m22  m12  2m1m2  m22 v12i  m1  m2 2 m2  











205 cos2    m12  m22  6.43  m12  และถ้าปริมาณภายในรากมคี ่าเทา่ กบั ศนู ย์ จะไดว้ ่า   และมีความสอดคล้องกับสมการ 6.24 m นัน่ คือ cos 2   m12  m22 1 m22 , 0     6.44 m m12 m12 m 2 การกระเจงิ ของมุม  ต้องน้อยกวา่  เพราะถา้    และ    ปริมาณท่ีอยู่ในราก m m 2 จะมคี า่ เป็นลบ ดงั นนั้ m แทนมุมท่ีมากท่ีสดุ คือ max (เพราะวา่ cosθ ลดลงเมือ่ มุม  เพ่ิมขึ้น) ดังนั้น    และ 0    max max 2 ภาพท่ี 6.10 กราฟแสดงความสัมพนั ธร์ ะกวา่ งการกระเจงิ ของมมุ max และอตั ราสว่ นของมวล ท่มี า (Arya, 1990, p. 313) จากภาพท่ี 6.10 เป็นกราฟแสดงการกระเจิงมุม  กับอัตราส่วนระหว่างมวล m2 / m1 ถ้า max m1 m2 จะเกิดการมุมกระเจิงของมุมน้อยๆ นั่นคือ มวลใหญ่ๆ จะไม่เคล่ือนท่ีเน่ืองจากมวลเล็กๆ นอกจากน้ัน สําหรับ   ทําให้ค่าของ v2 f / v1i มีค่ามากซ่ึงสอดคล้องกับการชนกันแบบแฉลบ max (Glancing Collision) ขณะที่ v2 f / v1i ค่าน้อยจะสอดคล้องกับการชนแบบตรงๆ (Head on Collision)











211 Q  K3  m3 K3  K1  m1 K1  2  m1m3 K1K 3 1/ 2 cos3 m4 m4  m42    Q  K3   m3    m1 1   m1m3 K1 K3 1/ 2 cos  6.62 1 m4  K1  m4 2  m42  3  ดังน้ัน เม่ืออนุภาคมวล m1 และมีความเร็ว v1i เข้าชนกับมวล m2 สมการ 6.62 ใช้สําหรับ คํานวณหาค่า Q เม่ือรู้ค่าของ  และความเร็ว v3f ของอนุภาคมวล m3 และถ้ารู้ค่า m4 และจาก 3 สมการ 6.62 พบวา่ ไมม่ ี v4 f เน่ืองจากการเกดิ ปฏิกิริยานิวเคลยี รค์ ่าของ v4 f วัดไดย้ าก พจิ ารณาการชนระหว่างวัตถุ 2 กอ้ น หลังจากชนแลว้ วตั ถุจะตดิ กนั ไป ดงั ภาพท่ี 6.14.จากกฎ การอนุรักษ์โมเมนตัม ‫⃑ݒ‬ଶ௜ = 0 ܸሬ⃑ ‫⃑ݒ‬ଵ௜ ݉ଵ ൅ ݉ଶ ݉ଵ ݉ଶ หลงั ชน ก่อนชน ภาพที่ 6.14 การชนแบบไม่ยืดหยุ่น ผลรวมของโมเมนตัมก่อนชน = ผลรวมของโมเมนตัมหลังชนชน m1v1  m1  m2 V V  m1v1 m1  m2 และพลังงานจลนก์ อ่ นชน คือ Ki  1 m1v12 2 พลงั งานจลน์หลังชน คือ











217 สมมตทิ ่ี t  0 ,v0  0และ u มที ิศทางตรงข้ามกับ v และเขียนสมการ 6.84 ในรปู ของสเกลาร์ ดงั น้ี v  u ln m0  gt 6.85 m จากสมการ 6.84 เห็นได้ว่าสามารถหาอัตราเร็วของจรวดขณะที่มวลของระบบเป็น m 6.7 การเคล่ือนทขี่ องสายพานส่งของ (A Conveyor Belt) พิจารณาภาพท่ี 6.16 ส่ิงทสี่ นใจ คือ การคํานวณแรง ‫ ⃑ܨ‬ท่ตี อ้ งการทาํ ใหส้ ายพานส่งของมีการ เคลื่อนท่ตี ามแนวราบดว้ ยความเร็ว v อย่างสม่าํ เสมอ ขณะท่ีทรายหรอื วตั ถุอ่ืน มีการตกบนสายพาน อยา่ งต่อเนือ่ ง จากกรวยใส่วัสดทุ ่ีอยู่น่ิงในอัตรา dm dt ภาพท่ี 6.17 การเคลอ่ื นทขี่ องสายพานสง่ ของ ทมี่ า (Arya, 1990, p. 304) ให้ M คอื มวลของสายพาน 6.86 ݉ คือ มวลของทรายหรือวัตถบุ นสายพาน โมเมนตัมรวมของระบบ เขยี นได้ดังนี้ P mM v แต่ ‫ ܯ‬และ ‫ ݒ‬มีค่าคงท่ี ขณะที่ ݉ มกี ารเปลย่ี นแปลง จะเขยี นแรงทีท่ ําต่อระบบ คือ F  dP  vdm 6.87 dt dt F คือ แรงทก่ี ระทาํ สายพาน ดงั นั้นกําลังทต่ี ้องใชส้ ําหรับแรงท่ีจะรกั ษาการเคล่ือนที่ของสายพานให้มี ความเร็วสมา่ํ เสมอ ‫ ݒ‬คอื กาํ ลัง  P  Fv  vdm .v 6.88 dt











223 6.17 ลูกกระสุนมวล 3.50 g เข้าหากล่อง 2 ใบ ที่วางบนโต๊ะราบไม่มีความฝืด ลูกกระสุนผ่านทะลุ กล่องท่ี 1 ซึ่งมีมวล 1.20kg เข้าไปในกล่องที่ 2 ที่มีมวล 1.80kg และเมื่อลูกกระสุนผ่านท่ีปลาย กล่องที่ 1 มีความเร็ว v1  0.63 m / s และ ความเร็วกล่องที่ 2 เป็น v2 1.40 m / s ดังภาพท่ี 6.25 จงหาความเรว็ ของลูกกระสนุ ขณะทีอ่ อกและเขา้ กล่องที่ 1 ภาพที่ 6.25 แบบฝึกหัดข้อที่ 6.17 ท่ีมา (Halliday & Resnick, 2011 p. 235) 6.18 วัตถทุ รงกลม A มวล 0.02 kg ทรงกลม B มวล 0.03 kg และ ทรงกลม C มวล 0.05 kg เขา้ หาจดุ กาํ เนดิ ดังภาพที่ 6.26 ความเร็วต้นของทรงกลม A, B เป็นดังภาพ ทรงกลมทง้ั สามมาถงึ จุด กาํ เนิดทีเ่ วลาเดยี วกันและชนตดิ กับทรงกลมอ่ืน จงหา 1) ความเร็วต้นของทรงกลม C ในองค์ประกอบของ x, y ถา้ ทรงกลมทงั้ สามเคลื่อนท่ีไป ตามแนวแกน x ด้วยอตั ราเร็ว 0.50 m / s 2) จากความเร็วในข้อที่ 1 ของทรงกลม C จงหาการเปลี่ยนแปลงพลังงานจลนข์ องระบบ ของทรงกลมทั้งสามซ่ึงเปน็ ผลมาจากการชน ภาพท่ี 6.26 แบบฝกึ หดั ข้อที่ 6.18 ทีม่ า (Young & Freedman, 2012, p. 273)