Chapter 4 Harmonic Oscillators

บทที่ 4 การเคลอ่ื นที่แบบฮาร์มอนกิ 4.1 ความนาํ พิจารณาระบบในสภาพสมดุล เมอื่ ทําให้มีการเคลือ่ นที่เล็กน้อยจากจดุ สมดุลผลลัพธท์ ี่เกิดข้ึน ทําให้มีการเคล่ือนท่ีแบบส่ัน ซึ่งเรียกว่า การเคลื่อนท่ีแบบฮาร์มอนิก (Harmonic Motion) เช่น การ เคลื่อนที่ของวัตถุติดสปริง, การเคลื่อนท่ีของลูกตุ้มนาฬิกา, การสั่นของเส้นเชือก หรือการเคล่ือนที่ เหล่านี้จะเรียกอีกอย่างว่า การเคลื่อนท่ีแบบคาบ ในบทน้ีจะกล่าวถึง การเคล่ือนท่ีแบบอาร์มอนิก พลังงานของการสั่นแบบฮาร์มอนิก การเคลอ่ื นท่ีแบบคาบของลูกตุ้มนาฬิกา การเคล่ือนที่แบบฮาร์มอ นิกเมื่อมีแรงหน่วง พลังงานการส่ันแบบแดมพ์ฮาร์มอนิก และการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกเม่ือมีแรง ภายนอกมากระทาํ 4.2 การเคล่อื นทแี่ บบฮาร์มอนกิ (Harmonic Motion) ภาพท่ี 4.1 การเคล่ือนทเ่ี ชิงเส้นแบบฮารม์ อนิก ทมี่ า (Arya, 1990, p. 63) ตารางท่ี 4.1 ความเร็ว ความเร่ง และแรง ทต่ี าํ แหน่งของการกระจัดต่างๆ x  A x0 x  A v  vmax v0 v0 a  amax a0 a  amax F 0 F  kA F  kA พิจารณาการเคล่ือนท่ีแบบฮาร์มอนกิ ดังภาพที่ 4.1 ประกอบด้วย มวล m ตดิ กบั สปริงท่ีมี ค่าคงที่ k ระบบของมวลและสปริง มกี ารเคลื่อนท่ีตามยาวในหน่ึงมิติตามแนวแกน x บนพ้ืนท่ไี ม่มี







107 ตัวอย่างที่ 3 รถยนตม์ วล 1300 กโิ ลกรมั มีโครงสร้างรับแรงกระแทกประกอบดว้ ยสปริง 4 ตัว แต่ละ ตัวมีคา่ นจิ ของสปริง 20000 นิวตนั ตอ่ เมตร และมีผูโ้ ดยสาร 2 คน มวลรวมกนั 160 กิโลกรัม จงหา ความถีข่ องการสน่ั เม่ือรถลงกระแทกหลมุ บนถนน ตวั อยา่ ที่ 4 รถทดลองมวล 500 กรัม ติดอยู่กับปลายสปรงิ เม่อื ดงึ ด้วยแรง 5 นวิ ตัน ในทศิ ขนานกบั พน้ื จะทําใหส้ ปรงิ ยดื ออก 10 เซนติเมตร เมอื่ ปลอ่ ยรถจะเคลอ่ื นท่ีกลบั ไปมาบนพ้นื เกลี้ยงแบบซิมเปิ ลฮาร์โมนิกจะมคี าบเท่าไร ตัวอย่างท่ี 5 จากภาพที่ 4.2 สปริงถูกดึงไปทางขวาด้วยแรง 6.0 N ทําให้เกิดการกระจัด 0.03 m จากนน้ั ทําการเปลี่ยนเป็นแทง่ มวล 0.50 kg และดงึ ไปทางขวา 0.020 m แล้วปลอ่ ยจากอย่นู ่งิ จงหา 1) ค่าคงทข่ี องสปรงิ 2) ความถ่ีเชงิ มุม ความถ่ี และ คาบของการส่นั ภาพท่ี 4.2 สปริงถกู ดงึ บนรางลมไร้แรงเสยี ดทาน ทีม่ า (Young & Freedman, 2012, p. 442)







111 ตัวอย่างที่ 1 จากตัวอย่างข้อท่ี 5 จงหา 1) ความเรว็ มากสดุ และความเร็วนอ้ ยสุดของแท่งมวล 2) ความเร่งมากสุดและความเร่งน้อยสุด 3) ความเร็ว และความเร่ง เมื่อการกระจดั ลดลงเปน็ ครงึ่ หนึ่งของการกระจัดเรมิ่ ต้น 4) พลังงานรวม พลงั งานศักย์และพลงั งานจลนท์ ี่ตาํ แหนง่ น้ี ตวั อยา่ งท่ี 2 จงแสดงวา่ การส่นั แบบซิมเปลิ ฮาร์มอนิกของสปรงิ ทต่ี ิดมวล m มีพลังงานรวม คือ E  1 mv2  1 kx2 22 ตัวอย่าง 3 รถเด็กเลน่ มวล 0.5 กโิ ลกรมั ผกู ตดิ กับสปรงิ ทีม่ ีค่านจิ ของสปรงิ 20 นิวตนั ตอ่ เมตร ส่นั บน พ้ืนลน่ื จงหา 1) อัตราเรว็ สงู สดุ ของรถ ถา้ แอมปลิจูดของการเคลื่อนท่ี คือ 3 เซนตเิ มตร 2) ความเร็วของรถที่ตําแหน่ง 2 เซนตเิ มตร 3) พลังงานจลนแ์ ละพลังงานศกั ย์ของระบบทีต่ าํ แหน่งของรถอยทู่ ่ี 2 เซนตเิ มตร

112 4.4 ลูกตุ้มนาฬิกา (The Pendulum) ลูกตุ้มนาฬิกาเป็นรูปแบบหน่ึงของการเคล่ือนที่แบบคาบ ประกอบด้วยอนุภาคมวล m แขวนด้วยเชือกเบายาว L ดังภาพที่ 4.3 แรงที่กระทําต่ออนุภาคมวล m คือ แรงตึงเชือก T และ แรงโน้มถ่วง mg สําหรับแรงในแนวเส้นสัมผัส mg sin เป็นแรงดึงกลับ ดังน้ัน สามารถนํากฎการ เคลื่อนท่ีข้อ 2 ของนิวตัน (Young & Freedman, 2012, p. 436) มาอธิบายแรงในแนวเส้นสัมผัสได้ ดงั น้ี Ft  mat 4.22 mg sin  m d 2s dt 2 ภาพที่ 4.3 การแกวง่ ของลูกตุ้มนาฬิกา ทมี่ า (Serway & Jewett, 2010, p. 448) เม่ือ s   L เครื่องหมายลบ(-) แสดงถงึ ทิศทางตรงข้ามกับทิศทางการเพิ่มของมุม สมการ 4.22 เขียนใหม่ไดเ้ ป็น d 2 L  g sin   0 4.23 dt 2 4.24 d 2  g sin  0 dt2 L เม่ือพิจารณามุม  เล็กๆ สามารถประมาณได้วา่ sin  





115 E  1 mv2  mgL1 cos  4.40 4.41 2 กรณมี ุม  มขี นาดน้อยๆ จะได้ว่า cos  1  2 2 1 cos  1    2   2   12 2 จะได้พลงั งานรวมเป็นดังน้ี E  1 mv2  1 mgL 2 22 และ จาก s   L แทนคา่ ในสมการ E  1 mv2  1 mgL  s 2 2 2  L   1 mv2  1 m g s2 2 2L  1 mv2  1 m2s2 4.42 22 เมอ่ื 2  g L ตวั อยา่ งที่ 1 1) จงหาความยาวเชือกทแ่ี ขวนลูกตมุ้ นาฬกิ าอยา่ งง่าย กําหนดใหค้ าบเทา่ กับ 1 วนิ าที 2) ถ้าลกู ตุ้มนาฬิกานี้ถูกนําไปแขวนที่ดวงจนั ทรท์ ่ีมีค่าความเรง่ เนื่องจากความโนม้ ถ่วง เทา่ กับ 1.67 เมตร/วนิ าท2ี 4.5 การเคลอ่ื นแบบซิมเปิลฮาร์มอนิกเม่ือถกู หน่วง (Damped Harmonic Oscillator) จากที่กล่าวต้นเป็นการเคล่ือนที่ท่ีมีการสั่นอย่างอิสระไม่มีแรงเสียดทาน หรือแรงอื่นๆมา กระทํา แต่ในความเป็นจริงแล้ว การเคลื่อนท่ีของวัตถุต่างๆ จะมีแรงเสียดทานเข้ามาเกี่ยวข้องด้วย แรงนี้เรียกวา่ แรงหน่วง (Damping Force) มาต้านการเคลื่อนท่ีทําให้การสั่นของวัตถุจะกลับมาหยุด นิ่ง กรณีการสั่นแบบอิสระ จะใช้สมการเชิงอนุพันธ์ในการหาคําตอบ แต่ถ้ามีแรงเสียดทานมา เก่ียวขอ้ ง เราต้องปรับสมการให้ใชไ้ ด้ครอบคลุมกรณีทีม่ ีแรงเสยี ดทานดว้ ย จากท่ีเรยี นผ่านมาทราบว่า แรงเสียดทาน แปรผนั ตรงกบั ความเรว็ แตม่ ีทิศทางตรงกันข้าม พิจารณามวล m ผกู ตดิ กบั สปริงดงั ภาพที่ 4.5 สมมติให้ Fd เป็นแรงหน่วง และ Fd  bv  bx 4.43







119 ภาพที่ 4.6 การเคล่ือนท่ีฮาร์มอนกิ แบบแดมพ์ ทีม่ า (การเคลอ่ื นทฮี่ าร์มอนิกแบบแดมพ,์ ม.ป.ป.) กรณี 2 การส่ันแบบครทิ ิคอลลี ( Critically Damped ) การส่ันแบบครทิ ิคอลลี ให้ 2 2 จะได้คาํ ตอบเป็น 2 ราก คือ  และ  จากสมการ 0 1 2 4.55 จะไดว้ า่      จะเขียนผลเฉลยทัว่ ไปของสมการ 4.56 ไดว้ ่า 1 2 x t    A1  A2  et  B1e t 4.63 เมอ่ื B1  A1  A2 เทา่ กับคา่ คงที่ และยงั ไม่ใชค้ ําตอบท่วั ไปเพราะวา่ มีค่าคงที่เพยี งหนึ่งตัว และจะหา ผลเฉลยน้ไี ด้ โดยกําหนดให้ et คือผลเฉลยของสมการ x  tet 4.64 หาอนพุ ันธ์อนั ดบั หน่ึงและสองของสมการ 4.64 เทียบกับเวลา ดงั นี้ x  d tet 4.65 dt  t d et  et dt dt dt   tet  e t  x  d  tet  et dt   d tet  d et dt dt







123 E t   1 kA2e2γt 4.77 2 ขณะท่พี ลงั งานเร่มิ ต้นของระบบท่เี วลา t  0 คือ E0  1 kA2 4.78 2 ดงั น้ันจะเขียนสมการ 4.77 ใหมไ่ ด้ คือ E t   E0e2γt 4.79 สมการ 4.79 แสดงให้เห็นวา่ พลังงานมีการลดลงแบบเอกซ์โพเนนเชยี ล ( e2t ) ซึ่งลดลงเร็วกวา่ การ ลดลงของแอมปลิจูด ( et ) สองเท่า ตวั อยา่ งท่ี 1 อนุภาคมวล m ผูกตดิ กบั สปรงิ ท่ีมีค่าคงท่ี k ถา้ การเคล่ือนท่ีของมวลนี้เกิดการแดมพ์ขนึ้  โดยท่ี γ  0 จงหาความถีข่ องการเคลือ่ นท่ี 4 4.7 การเคล่อื นทแ่ี บบฮารม์ อนกิ เมื่อมแี รงกระทํา (Force Harmonic Oscillator) รูปแบบการสั่นแบบอิสระจะมีการสั่นตลอดไป แต่ในความเป็นจริงแล้ว ทุกระบบมีการ สูญเสียพลังงาน เช่น สูญเสียในรูปของความร้อน และระบบจะหยดุ ส่ันในที่สุด เพื่อที่ทาํ ใหร้ ะบบมกี าร สนั่ ต่อไปจึงตอ้ งมีพลังงานจากภายนอกทาํ ให้ระบบมีการสั่นโดยท่พี ลังงานนน้ั มีคา่ กับพลังงานทสี่ ูญเสีย ไป และเรียกแรงภายนอกน้ีว่า แรงฮาร์มอนิก (Force Harmonic) ดังนั้นแรงลัพธ์ Fnet ที่กระทําต่อ ระบบ (Arya, 1990, p. 85) จะเขยี นเป็นสมการได้ดงั นี้ Fnet  Fs  Ff  Fd 4.80 เมอื่ Fs คือ แรงดึงกลบั เทา่ กับ kx, Ff คอื แรงหน่วง เทา่ กับ bx และ Fd คอื แรงภายนอกที่มากระทํา เทา่ กบั F0 cos t    และจากกฎการเคลื่อนทขี่ องนิวตนั 0 Fnet  mx นําสมการทัง้ สองมาเทา่ กัน ดังน้ี t  mx  kx  bx  F0 cos   0 F0 cos t     mx  kx  bx 4.81 0 สมการ 4.81 สมการเชงิ เสน้ อนุพันธ์อับดบั สอง ผลเฉลยท่ัวไปของสมการจะประกอบดว้ ยสองส่วน ดงั น้ี







127   F0 1 cost  m 4.107 2 2 2  4 22 0 สมการ 4.107 เป็นผลเฉลยท่ีประกอบด้วยค่าคงท่ี Ah และ  หาได้จากเง่ือนไขเร่ิมต้น h ขณะท่ี  ไม่คงท่ีและหาได้จากสมการ 4.106 เทอมแรกทางขวามือของสมการ 4.107 ลดลงอย่าง เอกซ์โพเนนเชียล และเป็นศูนย์เม่ือเวลาผ่านไป เรียกเทอมนี้ว่า เทอมสภาวะช่ัวครู่ ส่วนเทอมที่สอง ทางขวามือจะทําให้เกิดการสั่นด้วยแอมปลิจูดคงตัวด้วยความถ่ีเท่ากับความถ่ีของแรงภายนอกท่ีมา กระทาํ เรยี กเทอมทส่ี องน้วี ่า เทอมภาวะคงตวั ตัวอยา่ งท่ี 1 พจิ ารณาการสั่นแบบแดมพ์ สําหรับ   ถกู กระทําด้วยแรงอารม์ อนกิ 0 4 F  F0 cost จงหาผลเฉลยทัว่ ไป x t