Chapter 2 Newtonian Mechanics

บทท่ี 2 กลศาสตร์พ้นื ฐานของนวิ ตัน 2.1 ความนาํ กลศาสตร์เป็นหนึ่งในวิชาท่ีเก่าแก่และเป็นที่รู้จักของสาขาฟิสิกส์ เป็นการศึกษาเกี่ยวกับการ อยูน่ ่งิ และการเคลื่อนที่ของวัตถเุ มื่อวัตถุอยูภ่ ายใต้อิทธิพลของแรงภายในและแรงภายนอกกฎของการ เคลื่อนที่สามารถนําไปใช้ได้กับวัตถุทุกชนิดจากวัตถุที่มีขนาดเล็กระดับอิเล็กตรอนในอะตอมจนถึง ระดบั ของดาวเคราะห์ในอวกาศ หรอื กาแลค็ ซที ี่เปน็ สว่ นหนึง่ ของเอกภพ การศึกษาวิชากลศาสตร์น้ันอาจแบ่งได้เป็น 2 ส่วน คือ จลนศาสตร์ (Kinematics) และ พลศาสตร์ (Dynamics) โดยที่ จลนศาสตร์ เป็นการศึกษาการเคล่ือนที่ของวัตถุที่ไม่ได้คํานึงถึงแรง ที่มากระทํา แต่จะศึกษาเก่ียวกับความสัมพันธ์ของตําแหน่ง ความเร็ว ความเร่งและเวลา ส่วน พลศาสตร์เป็นการศึกษาการเปล่ียนแปลงเคลื่อนที่ของวัตถุท่ีคํานึงถึงผลของแรงที่มากระทําหรือการ เปล่ียนแปลงจากคุณสมบัติอื่นๆ เช่น การเปล่ียนรูปร่างและขนาดของวัตถุ สิ่งน้ีจะนําไปสู่ แนวความคิดของแรงและมวล กฎของนิวตันจะใช้แรงในการอธิบายการเคล่ือนท่ีของวัตถุ แต่ นอกเหนือจากกฎของนิวตันแล้วยังมีสมการท่ีสําคัญสําหรับการอธิบายการเคล่ือนท่ีได้ถูกต้อง เช่นเดียวกับกฎการเคลื่อนที่ของนิวตัน สมการดังกล่าวคือ สมการของลากรานจ์ ซ่ึงใช้พลังงานเป็น แนวคิดหลกั ในการอธิบายการเคล่อื นท่ขี องวตั ถุ ในช่วงต้นศตวรรษท่ีย่ีสิบ กฎของนิวตันได้ประสบผลสําเร็จในการอธิบายการเคลื่อนของวตั ถุ ได้เป็นอย่างดี แต่ความยุ่งยากก็เกิดขึ้นเม่ือนํากฎของนิวตันไปใช้กับเหตุการณ์ต่อไปนี้ 1) กรณีวัตถุ เคล่ือนที่ด้วยความเร็วใกล้กับความเร็วแสง 2) กรณีที่วัตถุมีขนาดเล็ก เช่นในระดับอิเล็กตรอนใน อะตอม ความซับซ้อนของเหตุการณ์เหล่านี้นําไปสู่การพัฒนากฎทางกลศาสตร์ของนิวตัน คือ 1) พัฒนาทฤษฎีสัมพันธภาพ สําหรับการเคล่ือนท่ีของวัตถุด้วยความเร็วแสง 2) พัฒนาทฤษฎีกลศาสตร์ ควอนตัม สําหรับการศึกษาวัตถุท่ีมีขนาดเล็ก และก่อนท่ีจะเร่ิมศึกษากลศาสตร์ให้ลึกซ้ึง ในบทนี้จะ กลา่ วถงึ แนวความคิดทีส่ ําคญั ของวิชากลศาสตร์ โดยเฉพาะอย่างย่ิง ความสาํ คญั ของกฎการเคลื่อนท่ี ของนวิ ตัน 2.2 หน่วยและมิติ (Unit and Dimensions) หนว่ ย (Unit) การวัดปริมาณต่างๆในทางฟิสิกส์ เช่น ความเร็ว ความเร่ง แรง พลังงาน อุณหภูมิ กระแสไฟฟ้า สนามแมเ่ หล็ก และปริมาณอนื่ ๆ โดยส่วนใหญ่แล้วหน่วยเหลา่ นส้ี ามารถแสดงไดใ้ นเทอม









38 F  dp 2.6 dt สมการ 2.6 เปน็ สมการท่มี ีรปู แบบง่าย ถา้ มวล m คงที่ที่ทุกอัตราเรว็ และถ้าความเร็ว v มีค่าน้อย มากเมื่อเทยี บกบั อัตราเร็วแสง ขณะท่ีมวล m คงท่ีไมม่ ีการเปล่ียนแปลง ดังน้นั เราจะเขียนสมการได้ ว่า F  d mv  dt  m dv 2.7 dt  ma น่ันคือสมการ 2.7 แสดงถึงแรงเท่ากับผลคูณของมวลและความเร่ง เหมือนกับสมการ 2.4 และจะ พบว่ากฎการเคล่ือนท่ีขอ้ ทหี่ นง่ึ ของนวิ ตันเป็นเพยี งสว่ นหน่ึงของกฎข้อที่สองของนิวตัน เม่อื F  0 ในตอนน้ีจะกลา่ วถึงสงิ่ ท่สี อดคล้องกบั กฎข้อทส่ี ามของนัวตนั ทีว่ ่า ต้องมแี รงคเู่ สมอ ดงั น้ัน ถ้า วตั ถุ A และ B มอี นั ตรกิรยิ าต่อกัน และนนั่ คือ แรง FA ทกÉี ระทาํ บนวตั ถุ A กจ็ ะตอ้ งมแี รง FB ทกÉี ระทาํ บนวตั ถุ B ดงั นนัÊ FA  FB 2.8 2.4 การเคลอ่ื นทข่ี องวตั ถุ (Motion of Objects) จากสมการ 2.7 คือ สมการพื้นฐานของการเคลื่อนท่ีสาํ หรับวัตถภุ ายใตอ้ ทิ ธิพลของแรงลัพธ์ F ซ่ึงเปน็ ผลรวมของเวกเตอรแ์ รงลพั ธท์ ่กี ระทําต่อวัตถุ F   Fi  m d2 r  ma 2.9 dt 2 โดยท่ัวไปแล้วการแก้ปัญหาในทางพลศาสตร์จะมีแนวทางดังน้ี เมื่อรู้แรงท่ีมากระทําต่อวัตถุ ทําให้สามารถหาความเร่งของวัตถุได้ และเม่ือรู้ความเร่ง ก็สามารถหาความเร็วและตําแหน่งของวัตถุ ในเทอมฟังก์ชันของเวลาได้ จากสมการ 2.9 เป็นสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสอง การจะหาคําตอบได้ ต้องรู้ค่าเงื่อนไขขอบเขตเริ่มต้นก่อน เช่น ความเร็วและตําแหน่งของวัตถุที่เวลา t  0 ในบางครั้ง ปญั หามีความซบั ซอ้ นการหาคาํ ตอบอาจต้องใชว้ ธิ ีเชิงตวั เลขในการหาคาํ ตอบ









43 วิธีทาํ ทําการแตกแรงและแยกองค์ประกอบให้อยู่ในแนวแกน x และ y ภาพที่ 2.8 แผนภาพของแรง F1 และ F2 กระทําต่อลูกบอล แรงองค์ประกอบในแนวแกน x  Fx  F1x  F2x  F1 cos 20  F2 cos 60  5(0.940  8.00.5  8.7 N  Fy  F1y  F2 y  F1 sin 20  F2 sin 60  5.00.342  8.00.866  5.2 N และหาความเรง่ ของแต่ละแกน ไดด้ ังน้ี ax   Fx  8.7  29 m / s2 m 0.30 ay   Fy  5.2  17 m / s2 m 0.30 ขนาดของความเร่ง a ax2  a 2  292 172  34 m / s2 y ทศิ ทางของความเรง่ หาได้จาก θ  tan1  ay   tan1  17   30  ax  29  









48 T  m1m2g 1 sin  m1  m2 ตวั อยา่ งที่ 4 จากรูปวตั ถุมวล m อยูบ่ นพน้ื เอียงทํามมุ β กบั แนวราบดังภาพที่ 2.15 จงหาความเรง่ เม่ือ 1) วตั ถกุ ําลังเคลือ่ นทล่ี ง 2) วัตถุกาํ ลงั เคลือ่ นท่ีขึ้น 3) วตั ถเุ คล่อื นท่ลี งดว้ ยความเร็วคงท่ี ภาพท่ี 2.15 วตั ถุมวล m วางบนพื้นเอียงทาํ β กับแนวราบ วิธที าํ 1) กรณีกาํ ลงั เคลื่อนทล่ี ง ภาพท่ี 2.16 แผนภาพของแรงทก่ี ระทําต่อมวล m ท่ีวางบนพ้ืนเอียงทํามมุ β ขอ้ ย่อยท่ี 1) พจิ ารณาแรงในแนวพืน้ เอยี ง  Fx  ma (1) mg sin   f  ma พจิ ารณาแรงในแนวตง้ั ฉาก  Fy  0 N  mg cos   0 N  mg cos  (2) และ f  N









53 และจะหาคําตอบของสมการไดจ้ าก x  b  b2  4ac ดังน้นั จะหาค่าของ sin ߚ ไดด้ ังน้ี 2a     sin   2mM    2mM 2 4 1 2 M2 m2   2 M 2 k k 2 1  2 M2 k     sin   2mM   2  2 4m2M 2  4M 2 1  k m2 k M 2 2M 2 1  2 k พิจารณาที่มวล m  M  m แล้วจะได้ว่า     2m2  2 2  sin   k k 4m4  4m2 1  m2  m2 2m2 1  2 k     2m2  2  2  sin   k k 4m4  4m2m2 1  1 2m2 1  2 k   2m2  2 2  sin   k k 4m4  4m4 1  1  2m2 1  2 k   sin   2m2   4 4m4  4m4 1 k 2m2 1  2 k     sin  4   2m2 4m4 1 1 k 2m2 1  2 k    sin 4   2m2  2m2 1 1 k 2m2 1  2 k sin   11 11 4 k 1 2 k

54 sin   1 4 1 k 2 k sin   1 2 1 k 2 k และสามารถแยกไดเ้ ปน็ สองคําตอบ ดงั นี้ sin   1 2 1 k 2 k  1  2 1  k 2 k   sin1 1 ดงั น้นั   90 sin   1 2 1 k 2 k เม่อื   0.3 จะได้ว่า k sin   1  0.32 1  0.32  0.91  0.83 1.09   sin1 0.83   56.51 เมอื่ พิจารณามุมทัง้ สองจะพบวา่ มมุ   90 ไมใ่ ช่คาํ ตอบท่ีถูกต้อง เพราะเป็นพนื้ เอียง   90 ดงั นน้ั มุม   56.51 คอื มุมที่ทําให้วตั ถุท้งั สองเคลอ่ื นที่ดว้ ยความเรว็ สมา่ํ เสมอ







58 แบบฝึกหัดบทที่ 2 2.1 ตําแหนง่ ของอนภุ าคกําลังเคล่อื นที่ด้วยความสมํ่าเสมออยใู่ นรปู ฟังกช์ นั ของเวลาและความเรง่ สมมติใหต้ าํ แหน่งของอนภุ าคมสี มการ คือ s  kamtn เม่ือ k คือค่าคงท่ี 2.2 สมการแรงโน้มถว่ งเขียนไดว้ า่ F  GMm / r2 เมื่อ F คอื ขนาดของแรงโนม้ ถว่ ง M , m คอื มวล ของวตั ถุ r คือ ระยะทาง และหนว่ ยของแรง F คือ kg.m / s2 จงหาหนว่ ยของคา่ คงท่ี G 2.3 ความสมั พนั ธร์ ะหวา่ งความกดดัน P ของอากาศ ณ อณุ หภมู ิทกี่ าํ หนดใหแ้ ละปรมิ าตร V  เป็นไป ตามสมการของ Vander Waals คือ  P  a  V  b  k; a,b, k เป็นคา่ คงท่ี และ v v2 เปน็ อตั ราเร็ว จงหามติ ิของ a,b และ k 2.4 แรง F กระทําต่อวัตถมุ วล m1 ทาํ ใหเ้ กิดความเรง่ 3.0 m / s2 เม่ือนาํ แรง F น้ีมากระทํากับมวล m2 จะทําให้เกิดความเรง่ 1.0 m / s2 จงหา 1) อตั ราส่วนของ 2) ถ้านาํ มวลท้งั สองมารวมกันจงหาความเรง่ ท่ีเกดิ จากแรงนี้ 2.5 อเิ ล็กตรอนมวล 9.111031 kg มอี ัตราเรว็ ตน้ 3.0105 m / s เคล่ือนทีเ่ ปน็ แนวตรงระยะทาง 5 cm ทาํ ให้ความเรว็ เพ่ิมข้ึนเปน็ 7.0105 m / s เมอ่ื ความเร่งคงที่ จงหา 1) แรงที่กระทําต่อนุภาคอเิ ล็กตรอน 2) จงเปรยี บเทยี บแรงน้กี บั นํา้ หนกั ของอเิ ล็กตรอน 2.6 แรง    F1  2iˆ  2 ˆj N,F2  5iˆ  3 ˆj N และ F3  45iˆ  N กระทาํ ต่อวัตถุทําให้เกิด ความเรง่ 3.75 m/s2 จงหา 1) ทิศทางของความเรง่ 2) ขนาดมวลของวัตถุ 3) จงหาองค์ประกอบของความเร็วหลงั จาก 10 วินาที 4) ถ้าวัตถเุ คล่อื นที่จากหยดุ นิ่ง จงหาอตั ราเร็วหลงั จาก 10 วนิ าที 2.7 แรง F1 และ F2 กระทําต่อมวล 5 kg ถา้ F1  20.0 N และ F2 15.0 N จงหาความเร่งจาก ภาพท่ี 2.23