Chapter 8 Rotational Motion

บทท่ี 8 การหมนุ ของวัตถุแข็งเกรง็ 8.1 ความนาํ เมอ่ื ลอ้ หมุนรอบแกน เราจะไมส่ ามารถวเิ คราะห์ได้เหมือนกบั การเคลื่อนที่เชน่ อนุภาค เนือ่ งจากที่ เวลาใดๆ ส่วนต่างๆของวัตถุท่ีมีความเร็วเชิงเส้นและความเร่งเชิงเส้นที่ต่างกัน อย่างไรก็ตามจะวิเคราะห์ ได้ถ้าพิจารณาส่วนต่างๆของวัตถุ เป็นอนุภาคก้อนเดียวกัน และในบทน้ีจะกล่าวถึงการหมุนของวัตถุแข็ง เกร็ง วัตถุแข็งเกร็ง คือ วัตถุทีไ่ ม่สามารถเปลย่ี นแปลงรปู ร่างได้ ซ่ึงสัมพันธ์กบั ตาํ แหน่งของวัตถุทง้ั หมด 8.2 การกระจัดเชิงมุม ความเร็วเชงิ มุม และความเรง่ เชงิ มุม การกระจดั เชงิ มุม พิจารณาภาพที่ 8.1 วงกลมรัศมี r เริ่มต้นให้วัตถุอยู่ P จากน้ันวตั ถเุ ปลย่ี นไปทจ่ี ดุ P' ส่วนโคง้ ทีไ่ ด้เป็นระยะ s และมีมมุ  จะสามารถหาระยะส่วนโค้งระยะ s ได้ดงั น้ี ภาพท่ี 8.1 การหมุนของแผ่นดสิ รอบจุดคงท่ี O 8.1 ทม่ี า (Serway, 2008, p.269 ) มุม  เท่ากบั ส่วนของความโค้ง /รศั มขี องวงกลม เขียนเปน็ สมการไดด้ ังนี้   s หรอื s   r r เมือ่  คอื การกระจดั เชงิ มุม (rad) s คือ ระยะของสว่ นโคง้ (m)







165   d    d 0 0 2  2       0 0 2  2  02  2  0  8.9 ตารางท่ี 8.1 สมการการเคล่ือนที่แบบหมนุ และแบบเชงิ เส้นดว้ ยความเร่งคงท่ี ทม่ี า (Serway, 2008, p.272) ตวั อย่างท่ี 1 ลอ้ รถหมุนดว้ ยความเร่งเชงิ มมุ คงที่ 3.5 rad / s2 1) ถ้าอัตราเรว็ เชงิ มมุ ของล้อท่ีเวลา ti  0 เปน็ 2 rad / s จงหาการกระจดั เชิงมมุ ของล้อใน 2 วนิ าทนี ี้ 2) จากการกระจัดเชงิ มมุ ในข้อที่ 1 จงหาจํานวนรอบ 3) อตั ราเรว็ เชิงมุมของล้อท่ีเวลา t  2.0 s







169 เมอื่ I  miri2 เรยี กว่า โมเมนความเฉื่อย มีหนว่ ยเปน็ kgim2 KR  1 I2 คือ พลังงานจลน์เนือ่ งจากการหมนุ 2 ตวั อย่างที่ 1 จากภาพท่ี 8.6 1) ถา้ ระบบหมุนรอบแกน y ดว้ ยอัตราเร็วเชงิ มุม  จงหาโมเมนความเฉื่อยและพลงั งานจลน์ ของการหมนุ รอบแกนนี้ 2) สมมตริ ะบบหมนุ ในระนาบ xy รอบแกน z ผา่ นจดุ O จงหาโมเมนความเฉื่อยและพลงั งาน จลนข์ องการหมุนรอบแกนนี้ ภาพที่ 8.6 การหมนุ ของลกู ทรงกลม ท่ีมา (Serway, 2008, p. 277) 8.6 การคาํ นวณค่าของโมเมนตค์ วามเฉอื่ ย การหาโมเมนต์ความเฉ่ือยของวตั ถุแขง็ เกร็งได้โดยการแบ่งส่วนของวัตถุออกเป็นมวลยอ่ ยๆ ที่มี มวลเปน็ mi และจะนยิ าม I   ri 2 mi เมอ่ื mi น้อยๆ เขา้ ใกลศ้ นู ย์ทาํ ใหต้ อ้ งใชล้ มิ ติ ดังนี้ i I  lim ri2mi mi 0 i I   r2dm 8.18







173 8.7 ทอรก์ (Torque) ในบทนี้ได้กล่าวถึงการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุ รวมถึงการเคล่ือนที่แบบเล่ือนท่ีเกิดจากแรง และพลังงาน ในส่วนน้ีจะมากล่าวถึงแรงที่ทําให้เกิดการหมุน ทําให้ต้องมารู้จักคําว่า ทอร์ก (Torque, )  อ่านว่า เทา (tau) เป็นปริมาณเวกเตอร์ และในที่น้ีจะกล่าวถึงขนาดของทอร์กอย่างเดียว พิจารณา ประแจ ดังภาพที่ 8.11 แรง F ท่ีกระทําต่อประแจเป็นมุม  กับแนวราบ จะนิยาม  ท่ีสัมพันธ์กับแรง ผา่ นจุดหมุน ดังน้ี ภาพท่ี 8.11 แรง F กระทําต่อจุดหมนุ รอบจุด O 8.26 ท่ีมา (Serway, 2008, p. 282) 8.26   rF sin   Fd การคาํ นวณ  ต้องใชอ้ งค์ประกอบในแนวตัง้ ฉาก เมื่อ r  ระยะระหว่างจุดหมนุ ถึงจุดที่แรงกระทาํ d  ระยะท่ีต้งั ฉากกับเส้นของแรง d  r sin คือ โมเมนต์ของแรง F







177 8.9 งาน กาํ ลัง และพลังในการหมนุ พจิ ารณาภาพท่ี 8.16 สมมตใิ ห้แรงภายนอก F กระทาํ ทจ่ี ุด P งานทที่ าํ โดย F ทท่ี าํ ให้วตั ถุ หมุนไดร้ ะยะทางน้อยๆ ds  rd คือ dW  Fid s dW  F sin ird เมอ่ื F sin องค์ประกอบในแนวเสน้ สมั ผสั ของแรง F และขนาดของทอร์กเน่อื งจาก F รอบ จุด 0 นิยามคือ rF sin และทาํ ใหส้ ามารถเขยี นงานในขณะที่หมนุ คือ ภาพท่ี 8.16 วัตถุแขง็ เกร็งหมุนรอบจุด O เนอื่ งจากแรง F กระทําที่จดุ P ทมี่ า (Serway, 2004, p.312) dW   d 8.37 dW   d 8.38 dt dt เมื่อ dW คอื กาํ ลังขณะใดๆ และ d   dt dt PR  dW   8.39 dt







181 8.8 จากภาพท.ี่ 8.19 มวล m เชอ่ื มต่อด้วยแทง่ ไมส้ มํา่ เสมอยาว L และไม่มมี วล จงหา 1) โมเมนต์ความเฉือ่ ยเมอื่ แกนหมนุ อยู่ตรงกลาง 2) โมเมนตค์ วามเฉอื่ ยเมื่อแกนหมุนอยูต่ รงปลาย ภาพที่ 8.19 สาํ หรับแบบฝึกหัดข้อที่ 8.8 ที่มา (Halliday, 2011, p. 256) 8.9 จากภาพที่ I=20 แผ่นซีดีบางสมํ่าเสมอ มวล m  2.5kg และมีรัศมี R  20cm มีกล่องมวล m  1.2kg แขวนในแนวด่ิง จงหาความเร่งของกล่องขณะท่ีกําลังตก, ความเร่งเชิงมุมของแผ่นซีดีและ แรงตึงเชือก ภาพที่ 8.20 สาํ หรบั แบบฝึกหัดขอ้ ท่ี 8.9 ที่มา (Halliday, 2011, p. 261) 8.10 จากภาพข้อท่ี 9 ถ้าเริ่มจากหยดุ นิง่ ท่เี วลา t  0 และแรงตึงเชอื ก 6.0N และมคี วามเร่งเชิงมุม 24 rad / s2 จงหา พลังงานจลนข์ องการหมนุ ท่ีเวลา t  2.5 s