Chapter 7 Central Force

บทที่ 7 แรงศนู ยก์ ลาง 7.1 ความนาํ แรงสู่ศูนย์กลางเป็นหนึ่งในหัวข้อท่ีสําคัญและในบทน้ีจะกล่าวถึงการเคล่ือนท่ีเนื่องจากแรง ศูนย์กลาง โดยเร่ิมต้นศึกษาเกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างแรงศูนย์กลางและพลังงานศักย์ การ เคลอื่ นทเ่ี ขา้ ศูนย์กลางของอนุภาคเด่ียว สมบัตขิ องการเคลือ่ นทขี่ องวตั ถุภายใตแ้ รงแรงศนู ย์กลาง และ นาํ ไปสู่การอธบิ ายการโคจรของดาวเคราะห์โดยอาศัยกฎของเคปเลอร์ 7.2 แรงศนู ยก์ ลางและพลงั งานศกั ย์ (Central Force and Potential Energy) แรงศนู ย์กลางทกี่ ระทําต่อนภุ าคหนึ่ง จะพบว่ามีทิศเข้าหาจุดคงที่จดุ หนงึ่ เสมอ เรยี กจุดคงท่ีน้ี ว่าจดุ กาํ เนดิ นอกจากนั้น ถา้ อันตรกิริยาระหว่าง 2 วตั ถใุ ดๆ แทนดว้ ยแรงศนู ย์กลาง เม่ือแรงมที ศิ ตาม เส้นทางท่ีผ่านจุดศูนย์กลางของมวลทั้งสอง ดังนั้นแรงศูนย์กลางที่กระทําต่ออนุภาคที่มีระยะ r จาก จุดกําเนิดถูกแทนดว้ ยแรงศนู ย์กลางดงั น้ี F r   F r  rˆ 7.1 เม่ือ rˆ คือเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มีทิศตามแนวรัศมีรูปแบบของแรงนี้นําไปสู่ความสัมพันธ์ท่ีเก่ียวกับ โมเมนตัมเชงิ มุมของอนุภาคว่ามีการอนรุ ักษ์หรือไม่ และถา้ แรงศนู ยก์ ลางมีเพียงแรงเดยี ว น่ันคอื F r   F r rˆ 7.2 แรงศูนย์กลางเป็นแรงอนุรักษ์ ดังน้ัน พลังงานกลรวมของอนุภาคมีค่าคงท่ี จึงทําให้โมเมนตัมเชิงมุม และพลังงาน อนุรักษ์ไปด้วย ในกรณีนี้กฎการอนุรักษ์พลังงานเป็นผลมาจากความสมมาตรของรัศมี ทาํ ใหเ้ ขียนเวกเตอร์หนง่ึ หน่วยได้ rˆ  r / r ทาํ ใหเ้ ขยี นสมการ 7.2 ได้ใหม่ดงั นี้ F r  F r r 7.3 r เม่อื แรงศูนยก์ ลางขนึ้ กบั ตาํ แหน่งและเป็นแรงอนรุ กั ษ์ เพราะฉะน้นั สามารถเขียนเคริ ล์ ของแรง ศนู ย์กลางมีค่าเท่ากบั ศูนย์ ดังนี้ curl F    F  0 7.4 F  Fx iˆ  Fy ˆj  Fz kˆ 7.5 และจากสมการ 7.1 เขยี นในรูปขององค์ประกอบของเวกเตอรไ์ ด้ดังน้ี F  F r  x iˆ  F r  y ˆj  F r  z kˆ 7.6 r rr









240 ภาพที่ 7.2 ระบบทีป่ ระกอบด้วย m1 และ m2 อธิบายได้ดว้ ย 6 พกิ ัด ทมี่ า (Arya, 1990, p. 242) r1  r2   1  1  F r  rˆ 7.30  m1 m2  r1  r2   1  1  F r  rˆ 7.31  m1 m2   m1m2r1  r  F r rˆ 7.32 m1  m2 2 หรอื r  F r  rˆ 7.33 เม่ือ   m1m2 หรอื 1  1  1 7.34 m1  m2  m1 m2  คือ มวลลดทอน (Reduced Mass) สมการ 7.33 เหมือนกับสมการ 7.25 หรือ 7.26 ซึ่งเป็น สมการท่ีอธิบายการเคล่ือนที่ของอนุภาคเด่ียว m1 หรือ m2 ภายใต้อิทธิพลของแรงศูนย์กลาง F(r) ในสมการ 7.33 มวล m ถูกแทนท่ีด้วยมวลลดทอน  ดังนั้นสมการ 7.33 อธิบายได้ด้วยภาพท่ี 7.3 สําหรับกรณีท่ีมี 2 อนุภาคจะสามารถอธิบายได้เช่นเดียวกับปัญหาของอนุภาคเด่ียว โดยมวลท้ังสอง ถกู แทนด้วยมวลลดทอน  ภายใตอ้ ทิ ธพิ ลของแรงศูนยก์ ลาง F(r)









245 ภาพที่ 7.6 การเคลื่อนท่ีของอนภุ าคถูกอธิบายดว้ ยพิกัดเชงิ ขว้ั 7.57 ทม่ี า (Arya, 1990, p. 246) และจากกฎการอนรุ กั ษ์พลงั งาน เขยี นสมการไดด้ งั นี้ E  K V r  คงท่ี เม่ือ V r    F r  dr และ E หาไดจ้ ากเงอ่ื นไขเร่ิมตน้ จากภาพท่ี 7.6 E  1 mv2 V r  7.58 7.59 2  E  1 μ r 2  r 2 2  V r  2 แทนคา่   L / r จากสมการ 7.56 ลงใน 7.59 E  1  μr 2  r2 L2  V r   คงที่ 7.60 2  r2  สมการขา้ งต้นมคี วามสาํ คญั ในการวิเคราะห์ หาพลงั งานรวม ของระบบเนอื่ งด้วยระบบของวง โคจรโดยท่ัวไปนน้ั มกี ารอนรุ ักษพ์ ลงั งานน่ันคอื E จะต้องเปน็ คา่ คงทต่ี ลอดระยะเวลาการเคลื่อนที่ ซ่ึง สามารถนํามาใช้เปน็ ประโยชนใ์ นการวเิ คราะหก์ ารเคลื่อนทไ่ี ด้ ตัวอยา่ งที่ 1 จงแสดงว่าถ้าอนภุ าคเคลื่อนทภ่ี ายใตแ้ รงศูนยก์ ลาง แล้วเส้นทางการเคลอื่ นทถี่ กู จาํ กดั อยู่ ในระนาบ วิธีทํา ให้ F  F(r)rˆ เป็นแรงศูนยก์ ลาง นนั่ คือ r  F  F(r)r  rˆ  0









250 ภาพที่ 7.10 การแยกองค์ประกอบของ r r'2  (2ae  r cos )2  (r sin )2 7.72 r'2  4a2e2  4aer cos  r 2 cos2   r 2 sin2  r'2  4a2e2  4aer cos  r 2 (cos2   sin2  ) r'2  r2  4a2e2  4aer cos 7.73 แทน r'  2a  r 2a  r 2  r2  4a2e2  4aer cos 4a2  4a2e2  4ar  4aer cos 4a2 (1 e2 )  4ar(1 e cos ) r(1 e cos )  a(1 e2 ) จะไดร้ ะยะ r ดงั นี้ r  a(1 e2 ) 7.74 1 e cos หาพ้นื ทขี่ องวงรโี ดยเขียนสมการในระบบพิกัดคารท์ ีเซียนและให้จดุ C เป็นจดุ กาํ เนิดและใหพ้ ิกดั (x, y) เป็นตาํ แหนง่ ของจุด P จากภาพที่ 7.9 จะไดว้ ่า r'2  (x  ae)2  y2 7.76 7.75 7.77 7.78 r'2  x2  2aex  a2e2  y2 และ r2  (x  ae)2  y2 r2  x2  2aex  a2e2  y2 นาํ สมการ 7.75 และ 7.76 มาลบกัน r'2  r2  x2  2aex  a2e2  y2  x2  2aex  a2e2  y2









255 เมื่อพจิ ารณาชว่ งเวลานอ้ ยๆจะไดว้ า่ dA  1 rv 7.97 dt 2 7.98 dA  1 r2 d dt 2 dt dA  1 r2 d dt 2 dt จากสมการ 7.90 เม่ือ L และมวล mคงที่ เพราะฉะนนั้ L  rv  ค่าคงท่ี 7.99 m นําสมการ 7.99 แทนในสมการ 7.96 ไดว้ ่า dA  1 L  ค่าคงที่ 7.100 dt 2 m สมการ 7.100 คือกฎของพ้ืนท่ีของเคปเลอร์ ซ่ึงมากจากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม L และสมการ 7.100 สามารถนาํ ไปหาความเร็วของวัตถุดาวเคราะห์ทจี่ ุดเพอริฮีเลยี นและแอปฮเี ลียนได้ ดงั นี้ จากสมการ 7.100 เขียนใหมไ่ ด้เป็น  A1 L T dA dt 0 2m0 A1 LT 7.101 2m เมอื่ A คือพืน้ ท่ีของวงรี และ T คอื คาบของการโคจรครบ 1 รอบ ดังน้ันจะเขยี นสมการ 7.101 dA  A dt T หรือ dA  1 rv  A 7.102 dt 2 T ท่จี ุดเพอรฮิ เี ลยี นมีความเรว็ เป็น vp ดงั นนั้ ทีจ่ ุดเพอริฮีเลยี นมุม   0 และสมการ 7.74 เขียนเปน็ สมการของเพอรฮิ ีเลียน ไดด้ งั นี้









260 สมการ 7.118 คอื กฎข้อที่ 3 ของเคปเลอร์ ถา้ ให้ m1 เป็นมวลของดวงอาทิตย์ และมวล m2 เป็นมวล ของดาวเคราะห์ น่นั คอื m1 m2 ทาํ ให้เขียนสมการ 7.118 ได้ใหม่คือ T 2  4 2  a3 7.119 Gm1 สมการ 7.119 แสดงให้เหน็ วา่ T 2 แปรผนั ตรงกับ a3 ตวั อยา่ งที่ 1 ดาวเคราะห์ดวงหน่ึงโคจรรอบดวงอาทิตยเ์ ป็นวงรี โดยมคี า่ เยือ้ งศนู ย์กลางเทา่ กับ 0.967 และใช้เวลาในการโคจรครบหน่ึงรอบเท่ากับ 76 ปี จงหาระยะทางใกล้ที่สุดและไกลท่ีสุดของดาว เคราะห์น้จี ากดวงอาทติ ย์ เมอ่ื ให้มวลของดวงอาทติ ย์ เท่ากับ 1.991030 กิโลกรัม ตัวอย่างที่ 2 จงหามวลของดวงอาทิตย์ เมื่อรัศมีการโคจรของดาวเคราะห์เท่ากับ 1.51011 เมตร และเวลาในการโคจรครบหนง่ึ รอบเทา่ กับ 3.15107 วนิ าที ตวั อย่างท่ี 3 ดาวเทยี มดวงหนึ่งมีวงโคจรสงู จากผิวโลก 230 กโิ ลเมตร จงหาคาบของการโคจร โดยที่ รัศมีของโลกเท่ากับ 6370 กิโลเมตร