สื่อจำนวนเชิงซ้อน

แบบฝึ กทกั ษะคณติ ศาสตร์ เล่มท่ี 4 หน่วยการเรียนรู้ท่ี 1 จานวนเชิงซ้อน เรื่อง รากที่ 2 ของจานวนเชิงซ้อน ช้ันมธั ยมศึกษาปี ที่ 5 จัดทาโดย นางจาเนียร จันทร์ศิริ ตำแหน่ง ครู วิทยฐำนะ ครูชำนำญกำรพิเศษ โรงเรียนปทุมวไิ ล อาเภอเมือง จงั หวดั ปทุมธานี

คำนำ แบบฝึกเสริมทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ืองรากท่ี 2 ของจานวนเชิงซอ้ น จดั ทาข้ึนเพือ่ ใชใ้ นการพฒั นาการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์ช้นั มธั ยมศึกษาปี ที่ 5 เพ่ือใหน้ กั เรียนมี ความรู้ความเขา้ ใจในเรื่องของจานวนเชิงซอ้ น แบบฝึ กเสริมทกั ษะเล่มน้ี ประกอบดว้ ย คาแนะนาในการใชแ้ บบฝึกเสริมทกั ษะ เน้ือหาแบบทดสอบก่อนเรียน แบบฝึ กทกั ษะ และแบบทดสอบหลงั เรียน พร้อมเฉลยคาตอบ นกั เรียนสามารถศกึ ษาไดด้ ว้ ยตนเอง เม่ือ นาแบบฝึกเสริมทกั ษะเล่มน้ีไปใชใ้ นการจดั การเรียนการสอนแลว้ จะทาใหน้ กั เรียนมี ความรู้ความเขา้ ใจเกี่ยวกบั จานวนจานวนเชิงซอ้ นมากยงิ่ ข้ึน และส่งผลใหน้ กั เรียนมี ผลสมั ฤทธ์ิทางการเรียนในวิชาคณิตศาสตร์สูงข้ึนดว้ ย หวงั ว่าแบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์เล่มน้ี จะเป็นส่วนหน่ึงของเคร่ืองมือที่จะช่วย ให้ผูเ้ รียนเกิดการเรียนรู้อย่างสมบูรณ์ มีประสิทธิภาพ และเอ้ือประโยชน์แก่นักเรียน ครูผสู้ อนคณิตศาสตร์และผทู้ สี่ นใจตามสมควร นางจาเนียร จนั ทร์ศิริ

คานา หนา้ คาแนะนาในการใชแ้ บบฝึกเสริมทกั ษะ จุดประสงค์ 1 แบบทดสอบก่อนเรียน 2 เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 3 รากที่ 2 ของจานวนเชิงซอ้ น 5 แบบฝึกทกั ษะที่ 4.1 6 เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 4.1 9 แบบฝึกทกั ษะท่ี 4.2 10 เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 4.2 12 สมการกาลงั สอง 13 แบบฝึกทกั ษะท่ี 4.3 14 เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 4.3 15 แบบฝึกทกั ษะท่ี 4.4 17 เฉลยแบบฝึกทกั ษะที่ 4.4 18 แบบทดสอบหลงั เรียน 19 เฉลยแบบทดสอบหลงั เรียน 20 บรรณานุกรม 22 23

คาแนะนาในการใช้แบบฝึ กทักษะ 1. ก่อนศึกษาแบบฝึ กทกั ษะคณิตศาสตร์ เร่ือง รากท่ี 2 ของจานวนเชิงซอ้ น ใหน้ กั เรียนทาแบบทดสอบก่อนเรียน 2. ใหน้ กั เรียนศึกษาเน้ือหาจากใบความรู้เรื่องรากที่ 2 ของจานวนเชิงซอ้ น 3. แลว้ ปฏิบตั ิตามกิจกรรมในแบบฝึ กทกั ษะ 4. เมื่อทากิจกรรมในแบบฝึ กทกั ษะเสร็จหมดทกุ แบบฝึกแลว้ ให้ นกั เรียนทาแบบทดสอบหลงั เรียน 5. นกั เรียนนาคะแนนเปรียบเทียบคะแนนจากการทาแบบทดสอบก่อนเรียน และหลงั เรียนเรื่องการบวกและการคูณจานวนเชิงซอ้ นโดยใชแ้ บบฝึกทกั ษะ เพือ่ ตรวจดูความกา้ วหนา้ ของตนเอง

จดุ ประสงค์การเรียนรู้ 1.บอกควำมหมำยของรำกที่ 2 ของจำนวนเชิงซอ้ นได้ 2.บอกสูตรกำรหำรำกที่ 2 ของจำนวนเชิงซอ้ นและนำไปใชไ้ ด้

แบบทดสอบก่อนเรียน 8 เรื่อง รากที่ 2 ของจานวนเชิงซ้อน คาชี้แจง 1. แบบทดสอบก่อนเรียน ใชท้ ดสอบความรู้ของนกั เรียนก่อนเรียน เร่ืองการคูณและ การหารจานวนเชิงซอ้ น จานวน 10 ขอ้ 2. ใหน้ กั เรียนกาเครื่องหมายกากบาท ( ) ลงในช่อง ใตต้ วั อกั ษร ก, ข, ค และ ง ที่เป็นคาตอบทถี่ ูกท่สี ุดเพยี งคาตอบเดียว ลงในกระดาษคาตอบในสมุดแบบฝึก ทกั ษะ โดยใชเ้ วลาสอบ 20 นาที 1. รากท่สี องของ -3- 4i คือจานวนในขอ้ ใด 5. จงหาคาตอบของสมการ ก. -1 - 2i และ 1 + 2 i ข. 1 - 2 i และ -1 + 2 i x 2 - 2x  3  0 ค. -1 + 2 i และ -1 - 2 i ง. 1+- 2 i และ -1 + 2i ก. -1- 2 i , 1 + 2 i ข. -1- 2 i , -1 + 2 i 2. รากทสี่ องของ 8 + 6 i คอื จานวนในขอ้ ใด ค. 1+ 2 i , -1 + 2 i ก. 3 - i และ -3 + i ง. -1- 2 i , 1 + 2 i ข. 3 + i และ -3 - i 6. ผลบวกของคา่ สมั บูรณ์ของรากที่ 2 ของ ค. 1 - 3 i และ -1 + 3i 8 + 6 i ทีเ่ ป็ นจานวนเชิงซอ้ นมีค่าเท่ากบั ง. 1 + 3 i และ -1 - 3i ขอ้ ใด ก. 0 3. รากที่สองของ 5 - 12 i คือจานวนใน ข. 2 10 ขอ้ ใด ค. 4 ก. -3 -2i และ 3 + 2 i ง. 8 ข. -3 -2i และ -3 + 2 i 7. จงหาคาตอบของสมการ x2  4  0 ค. 3 -2 i และ -3 + 2 i ก. 2i , -2 i ง. 3 + 2 i และ 3 - 2 i ข. 2 , -2 i ค. 4i , -4 i 4. รากทีส่ องของ - 80 คือจานวนใด ง. 4 , -4i ก. 3 5 i และ -3 5 i ข. 4 5 i และ -4 5 i ค. 16 5 i และ -16 5 i ง. 40 5 i และ -40 5 i

9 8. จงหาคาตอบของสมการ x2  -16 ง. -1 + 2 i , -1 + 3 i ก. 2 i , -2i 10. ผลคูณของคาตอบของสมการ ข. 4 i , -4 i ค. 4 , -4 i 4x2  2x 1  0 คอื จานวนในขอ้ ใด ง. 2 , -2i ก. 1 9. จงหาคาตอบของสมการ x2  2x  4  0 ก. 1 + 3 i , -1 + 3 i 12 ข. -1 - 3 i , -1 + 3 i ค. -1 + 2 i , -1 - 2 i ข. 1 8 ค. 1 6 ง. 1 4

เฉลยแบบทดสอบก่อนเรียน 1) ก 6) ค 2) ข 7) ค 3) ค 8) ก 4) ข 9) ข 5) ง 10) ค

รากท่ี 2 ของจานวนเชิงซ้อน รากท่ี 2 ของจานวนเชิงซอ้ น z คือ จานวนเชิงซ้อน a เม่ือ a2 = z ซ่ึงสามารถนาไปใชใ้ นการ หาคาตอบของสมการพหุนามกาลงั สองได้ ทฤษฎบี ท กาหนดจานวนเชิงซอ้ น z = x + y i และให้ r = x2  y2 จะไดว้ า่ รากที่ 2 ของ z คือ    rx  r x i เม่ือ y  0   2  2   rx   2 i เม่ือ y  0    r x  2 ตวั อย่างท่ี 1 จงหารากทีส่ องของ -15 – 8 i วธิ ีทา ให้ z = -15 – 8 i เม่อื เปรียบเทยี บกบั x + y i ในทฤษฎีบท จะไดว้ า่ x = -15 และ y = -8 และ r = (-15) 2  (-8) 2 = 225  64 = 17 เนื่องจาก y < 0 ดงั น้นั รากท่ี 2 ของ -15 – 8 i คือ   17  (-15)  17 - (-15) i  =   2 32 i  2 2 2 2 =  (1- 4 i ) ดงั น้นั รากที่ 2 ของ -15 – 8i คือ 1 – 4 i และ -1 + 4 i ตอบ ตวั อย่างที่ 2 จงหารากที่ 2 ของ 5 + 12 i วธิ ที า ให้ z เป็นรากทส่ี องของ 5 + 12i z = 5 + 12 i เม่ือเปรียบเทียบกบั x + yi ในทฤษฎีบท จะไดว้ ่า x = 5 และ y = 12 และ r = (5) 2  (12) 2 = 25  144 = 13

เนื่องจาก y  0 ดงั น้นั รากที่ 2 ของ 5 + 12i คอื   13  5  13 - 5 i =   18  8 i  2 2  2 2 =  (3  2 i ) ดงั น้นั รากที่ 2 ของ 5 + 12i คือ 3 + 2 i และ -3 – 2i ตอบ ตวั อย่างที่ 3 จงหารากท่ี 2 ของ 18i วธิ ที า ให้ z เป็นรากที่สองของ 18 i z = 0 + 18i เมื่อเปรียบเทยี บกบั x + y i ในทฤษฎีบท จะไดว้ า่ x = 0 และ y = 18 และ r = (0) 2  (18) 2 = 0  324 = 18 เนื่องจาก y  0 ดงั น้นั รากที่ 2 ของ 18 i คือ   18  0  18 - 0 i  =   9  9 i 2 2 =  (3  3 i ) ดงั น้นั รากท่ี 2 ของ 18i คือ 3 + 3i และ -3+ 3i ตอบ ในกรณีท่จี านวนเชิงซอ้ นเป็นจานวนจริงลบ การหารากท่ีสองสามารถทาไดด้ งั น้ี ให้ z = -a เมอ่ื a เป็นจานวนจริงบวกจะไดว้ า่ รากที่สองของ z คือ a i และ - a i เช่น 1) รากท่ี 2 ของ -4 คือ 2i และ -2 i 2) รากท่ี 2 ของ -16 คือ 4 i และ -4 i 3) รากที่ 2 ของ -48 คือ 4 3 i และ -4 3 i เป็นตน้ สรุป 1) ถา้ z เป็นจานวนเชิงซอ้ นใด ๆ และ a เป็นรากทส่ี องของ z จะไดว้ า่ -a เป็นรากท่ี 2 ของ z ดว้ ย 2) รากที่ 2 ของจานวนเชิงซอ้ น z ใด ๆ ทไี่ ม่ใช่ศูนย์ จะมเี พยี ง สองจานวนเทา่ น้นั

แบบฝึ กทกั ษะ 4.1 คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนหารากท่ี 2 ของจานวนเชิงซ้อนตอ่ ไปน้ี 1. 2i วธิ ีทา ให้ z = .......................... เมอื่ เปรียบเทียบกบั x + yi ในทฤษฎีบท จะไดว้ ่า x = ............ และ y = …….. และ r = …………………….. = ……………………. = …………………….. เน่ืองจาก ................................................ ดงั น้นั รากท่ี 2 ของ .......................... คือ .................................................................................................................... .................................................... ............................................................................................................................. .......................................... ................................................................................................................................................................ ........ .......................................................................................................................... .............................................. ............................................................................................................................. ........................................... ดงั น้นั รากที่สองของ 2i คือ.............................และ........................................................ ตอบ 2. 7 + 24i วธิ ีทา ให้ z = .......................... เม่ือเปรียบเทียบกบั x + yi ในทฤษฎีบท จะไดว้ า่ x = ............ และ y = …….. และ r = …………………….. = ……………………. = …………………….. เน่ืองจาก ................................................ ดงั น้นั รากท่ี 2 ของ .......................... คือ ........................................................................................................................................ ................................ .................................................................................................. ..................................................................... ............................................................................................................................. ........................................... .............................................................................................................................................. .......................... ........................................................................................................ ................................................................ ดงั น้นั รากท่ีสองของ ................................ คือ.............................และ............................................. ตอบ

3. 1 3 i วิธีทา ให้ z = .......................... เมือ่ เปรียบเทียบกบั x + yi ในทฤษฎีบท จะไดว้ ่า x = ............ และ y = …….. และ r = …………………….. = ……………………. = …………………….. เน่ืองจาก ................................................ ดงั น้นั รากท่ี 2 ของ .......................... คอื ............................................................................................................................. ........................................... ............................................................................................................................. .......................................... ........................................................................................................................................................................ ............................................................................................................................. ........................................... ............................................................................................................................. ........................................... ดงั น้นั รากทส่ี องของ .............................. คือ.............................และ............................................... ตอบ 4. 4  4 3 i วิธีทา ให้ z = .......................... เม่ือเปรียบเทียบกบั x + yi ในทฤษฎีบท จะไดว้ า่ x = ............ และ y = …….. และ r = …………………….. = ……………………. = …………………….. เน่ืองจาก ................................................ ดงั น้นั รากท่ี 2 ของ .......................... คอื ............................................................................................................................. ........................................... ....................................................................................................................................................................... ............................................................................................................................. ........................................... ............................................................................................................................. ........................................... ............................................................................ ............................................................................................ ดงั น้นั รากที่สองของ ................................. คือ.............................และ........................................................ ตอบ

แบบฝึ กทกั ษะ 4.2 คาช้ีแจง ใหน้ กั เรียนแสดงวธิ ีทา 1. จงหารากที่สองของ -9i ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 2. จงหารากที่สองของ -4i ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 3. จงหารากทส่ี องของ -3-4i ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….

4. จงหารากท่ีสองของ 8 - 15i ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 5. จงหารากทส่ี องของ -1+ 3 i ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 6. จงหารากทสี่ องของ -9-9 3 i ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….

แบบฝึ กทกั ษะ 4.3 คาชี้แจง จงเตมิ คาตอบลงในตารางใหถ้ ูกตอ้ งสมบรู ณ์ ขอ้ ท่ี z = a+bi r = a2  b2 รากที่ 2 ของ z r =……………… 1 z = 3 + 4i …………………. …………………………………………… …………………. …………………………………………… 2 z = -8 – 6 i …………………………………………… 3 z = 6 - 8i r =……………… …………………………………………… …………………. …………………………………………… 4 z = -8+15i …………………. …………………………………………… …………………………………………… 5 z = 7 –24 i r =……………… …………………………………………… 6 z = 9 – 40 i …………………. 7 z = 1+ 3 i …………………. …………………………………………… …………………………………………… 8 z = -i r =……………… …………………………………………… …………………. …………………………………………… …………………. …………………………………………… …………………………………………… r =……………… …………………………………………… …………………. …………………………………………… …………………. …………………………………………… r =……………… …………………………………………… …………………. …………………………………………… …………………. …………………………………………… …………………………………………… r =……………… …………………………………………… …………………. …………………………………………… …………………. …………………………………………… r =……………… …………………………………………… …………………. …………………………………………… …………………. …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………