หน่วยที่ 8

แผนการจดั การเรียนรู้ท่ี ๘ สอนคร้ังที่ ๘ เร่ือง โมเมนตค์ วามเฉื่อย

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ ๘ ช่ือเรื่อง ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม เวลาเรียนรวม ๕๔ ชั่วโมง ช่ือหน่วย โมเมนตค์ วามเฉื่อย สอนคร้ังท่ี ๑๗ โมเมนตค์ วามเฉ่ือย จานวน ๓ ชั่วโมง หวั ข้อเรือ่ ง ๑. โมเมนตค์ วามเฉ่ือยพ้ืนที่ ๒. รัศมีไจเรชน่ั สาระสาคญั 1. โมเมนต์ความเฉ่อื ยพื้นทคี่ ือ โมเมนต์ของความเฉ่ือยของมวล(Mass moment of inertia or moment of inertia of mass) ซ่งึ ก็ เปน็ ปรมิ าณที่ใช้ในการวดั ความต้านทานเฉ่ือย อันเน่ืองจากการ หมุนของวัตถุมวล ด้วยความเรง่ เชงิ มมุ 2. รศั มีไจเรช่ันคอื การนาเอาคา่ คงท่ี 2 คา่ ของแตล่ ะหน้าตัดคอื ค่า L lและ A มาหารแลว้ หาราก ท่ีสองจะได่คา้ ท่ีมีมติ ทิ ่ีเป็น ความยาวท่คี งทีเ่ ขียนเป็นสมการได้ 3. ทฤษฎแี กนขนาน คือค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยจะขึ้นอยกู่ บั แกนอา้ งอิง ดัง่นน้ คา่ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นท่ีเดียวกัน รอบ แกนอ้างอิงทีต่ ่างกันจะมคี ่าไมเ่ ท่ากัน แต่ค่าโมเมนต์ความเฉือ่ ย รอบแกนท่ผี ่านจุดเซนทรอยดข์องพ้ืนท่ี (ซ่งึ เป็นคา่ คงท)ี่ จะ เปน็ ค่าคงท่ี สมรรถนะหลกั (สมรรถนะประจาหน่วย) แสดงความรู้เกี่ยวกบั โมเมนตค์ วามเฉ่ือย สมรรถนะย่อย (สมรรถนะการเรียนรู้) สมรรถนะทว่ั ไป (ทฤษฏี) ๑. แสดงความรู้เก่ียวกบั โมเมนตค์ วามเฉ่ือย ๒. แสดงความรู้เก่ียวกบั จุดศนู ยถ์ ่วงและจุดศนู ยก์ ลางของมวล สมรรถนะทีพ่ ึงประสงค์ (ทฤษฏี) เมอ่ื ผเู้ รียนไดศ้ ึกษาเน้ือหาในบทน้ีแลว้ ผเู้ รียนสามารถ ๑. คานวณหาค่าค่าโมเมนตค์ วามเฉ่ือยของพ้นื ทไ่ี ดถ้ ูกตอ้ ง ๒. คานวณหาค่าค่าโมเมนตค์ วามเฉ่ือยไจเรชนั่ ไดถ้ ูกตอ้ ง

แผนการจัดการเรียนรู้ท่ี ๘ ช่ือเร่ือง ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม เวลาเรียนรวม ๕๔ ช่ัวโมง ช่ือหน่วย โมเมนตค์ วามเฉื่อย สอนคร้ังท่ี ๑๗ โมเมนตค์ วามเฉื่อย จานวน ๓ ช่ัวโมง กจิ กรรมการเรียนการสอน ในการจดั การเรียนการสอนรายวิชา กลศาสตร์วศิ วกรรม ไดก้ าหนดกิจกรรมการเรียนการสอนให้ผเู้ รียนเกิดการ เรียนรู้โดยใชว้ ิธีการจดั การเรียนรู้ฐานสมรรถนะเชิงรุก ดา้ นเทคนิคการจดั การเรียนการสอนแบบ MAIP โดยมีข้นั ตอนใน การดาเนินกิจกรรมการเรียนการสอน ดงั น้ี กจิ กรรมการเรียนการสอน (สอนคร้ังท่ี ๑๗) เวลา ๓ ชวั่ โมง/สปั ดาห์ ๑.ผสู้ อนแจง้ จุดประสงคก์ ารเรียนประจาสัปดาห์ และนาเขา้ สู่บทเรียน ๒.ผสู้ อนถ่ายทอดความรู้ในหน่วยท่ี ๗ เรื่อง โมเมนตค์ วามเฉ่ือย ๓.ผสู้ อนแสดงตวั อยา่ งเกี่ยวกบั โมเมนตค์ วามเฉื่อย ๔.ผสู้ อนมอบหมายงานใหผ้ เู้ รียนนาความรู้ความเขา้ ใจทีเ่ กิดข้ึนไปใชใ้ นการทาแบบฝึกหดั ประจาหน่วยการเรียนรู้ท่ี ๘ ๕.ผสู้ อนให้ผเู้ รียนเขียนสรุปสาระสาคญั ของเร่ืองท่เี รียนประจาสัปดาห์ ๖.ผสู้ อนวดั ประเมินผลการเรียนรู้ของผเู้ รียน

แผนการจดั การเรียนรู้ที่ ๘ ชื่อเรื่อง ช่ือวชิ า กลศาสตร์วศิ วกรรม เวลาเรียนรวม ๕๔ ช่ัวโมง ชื่อหน่วย โมเมนตค์ วามเฉื่อย สอนคร้ังท่ี ๑๗ โมเมนตค์ วามเฉ่ือย จานวน ๓ ชั่วโมง สื่อการสอน ๑.เอกสารประกอบการสอน ๒.เอกสารประกอบการเรียน ๓.ส่ือนาเสนอ PowerPoint ๔. ใบแบบฝึกหัด ๕.ใบเฉลยแบบฝึ กหดั ๖. แบบทดสอบ ๗.ใบเฉลยแบบทดสอบ งานทม่ี อบหมาย/กิจกรรม ให้นกั เรียนทาแบบฝึกเสริมทกั ษะทา้ ยหน่วยการเรียนที่ ๘ การวดั และประเมนิ ผล วธิ ีการ เคร่ืองมอื เกณฑ์ วดั ผล/ประเมนิ ผล - ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ ๖๐ - ทาแบบฝึกเสริมทกั ษะ - แบบฝึกเสริมทกั ษะทา้ ย ๑.สมรรถนะทพ่ี ึงประสงค์ - ผา่ นเกณฑร์ ้อยละ ๘๐ ทา้ ยหน่วย หน่วย ๒.คุณลกั ษณะอนั พึง ประสงค์ (Attitude) - ประเมนิ คุณลกั ษณะอนั พึง - แบบประเมินคุณลกั ษณะ ประสงค์ อนั พึงประสงค์



300 เนือ้ หาสาระ 7.4 โมเมนต์ความเฉ่ือยของพนื้ ท่ี (Moments of Inertia of Area) ในการศึกษาวชิ ากลศาสตร์วิศวกรรม ตลอดจนวชิ ากลศาสตร์วสั ดุหรือกาลงั วสั ดุ ขนาด และรูปร่างของหนา้ ตดั มีความสาคญั ต่อการคานวณอยา่ งยิ่ง นอกจากขนาดของพ้ืนท่ีหนา้ ตดั แลว้ คุณสมบตั ิอ่ืน ๆ ของพ้ืนที่ เช่น จุดเซนทรอยด์ โมเมนต์ของพ้ืนท่ี โมเมนต์ของความเฉ่ือยของ พ้ืนที่ รัศมีไจเรชน่ั ลว้ นเป็ นค่าคงท่ีท่ีตอ้ งใช้ในการคานวณค่าแรงเคน้ ดดั แรงเคน้ เฉือน และการ โก่งของโครงสร้างท้งั สิ้น โดยทว่ั ไปคาวา่ “โมเมนตข์ องความเฉ่ือย” มกั จะหมายถึง “โมเมนตข์ องความเฉ่ือยของ มวล” (Mass moment of inertia or moment of inertia of mass) ซ่ึงกค็ ือปริมาณที่ใชใ้ นการวดั ความตา้ นทานเฉ่ือย อนั เนื่องจากการหมุนของวตั ถุมวล dm ดว้ ยความเร่งเชิงมุม คงท่ี  รัศมีของการหมุน r ดงั น้นั แรงบนวตั ถุท้งั กอ้ น F   adm   (rαrα) , a  ความเร่ง โมเมนตข์ องวตั ถุรอบแกนหมุน M  Fr   r(rα(rα    r 2dm m ค่า  r 2dm เรียกวา่ “โมเมนตข์ องความเฉื่อยของมวล” m y A x dA r y O x รูปที่ 1

301 1.โมเมนต์ของความเฉื่อยของพนื้ ที่ (Moment of inertia of area) ปัญหาทางวิศวกรรมมกั จะเกี่ยวขอ้ งกบั ท่อนวสั ดุหรือคานที่ทาด้วยวสั ดุอย่างเดียวกนั หรือมีคุณสมบตั ิสม่าเสมอตลอด (Homogeneous) มีพ้ืนที่หนา้ ตดั ความยาวสม่าเสมอตลอดความ ยาว ดงั น้นั ค่า  r2dA หรือ  x2dA ซ่ึงมีรูปแบบคลา้ ยกบั  r2dm จึงถูกเรียกวา่ “โมเมนตข์ อง AA m ความเฉ่ือยของพ้นื ท่ี” (Moment of inertia of area or area moment of inertia) เราเรียกค่า  x2dA อีกช่ือหน่ึงวา่ “โมเมนตท์ ี่สองของพ้ืนที่” (Second moment of area) A เพ่ือความสะดวกในบทน้ีจะใชค้ าวา่ “โมเมนตข์ องความเฉ่ือย” แทนคาว่า “โมเมนต์ของความเฉ่ือยของพ้ืนท่ี” หรือ “โมเมนต์ท่ีสองของพ้ืนที่” ในกรณีที่ไม่ ตอ้ งการให้เกิดความสบั สน ควรจะตอ้ งระบุใหช้ ดั เจนวา่ เป็ นโมเมนตข์ องความเฉื่อยของ “พ้ืนที่” หรือ “ของมวล” จากรูปที่ 6.9 โมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้นื ท่ี A รอบแกน x คือ Ix  y2dA .................... (6.1) A โมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้ืนท่ี A รอบแกน y คือ Iy  x2dA .................... (6.1) A โมเมนต์ของความเฉ่ือยเชิงข้ัวของพนื้ ที่ (Polar moment of inertia of area) ในกรณีท่ีคา่ โมเมนตข์ องความเฉ่ือยรอบแกนที่ต้งั ฉากกบั พ้นื ที่ เช่น รอบแกน z ท่ีผา่ นจุด o ในรูปที่ 6.1 เรียกวา่ “โมเมนตข์ องความเฉื่อยของพ้ืนที่ (Jo ) ” Jo  r 2dA ................... (6.2) A จะเห็นวา่ Jo   r2dA   (x2  y2 )dA AA  Iy  Ix ................ (6.3) นน่ั คือ โมเมนตข์ องความเฉื่อยเชิงข้วั = ผลบวกของโมเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบแกนฉาก (x และ y)

302 7.5 รัศมไี จเรช่ัน (Radius of gyration) ในการเปรียบเทียบหนา้ ตดั รูปร่างตา่ ง ๆ ของท่อนวสั ดุ นอกจากจะเปรียบเทียบขนาด ของพ้นื ที่แลว้ เราอาจเปรียบเทียบมิติทางดา้ นขา้ งของพ้ืนที่ที่เหมือนกนั เช่น ความกวา้ ง ความยาว หรือ รัศมีของวงกลม เป็นตน้ แตใ่ นกรณีที่จะเปรียบเทียบสองหนา้ ตดั ที่ไม่เหมือนกนั เช่น รูปสามเหลี่ยมและรูปหลายเหล่ียม เราไม่สามารถเปรียบเทียบมิติดา้ นขา้ งท่ีเหมือนกนั หรือ ใกลเ้ คียงกนั ได้ เพื่อใหส้ ามารถเปรียบเทียบกนั ไดจ้ าเป็ นตอ้ งเปรียบเทียบคุณสมบตั ิท่ีคงที่ของท้งั สองหนา้ ตดั ในท่ีน้ีถา้ นาเอาค่าคงที่ 2 ค่า ของแตล่ ะหนา้ ตดั คือค่า I และ A มาหารแลว้ หารากที่สองจะ ไดค้ ่าท่ีมีมิติท่ีเป็นความยาวที่คงที่ เรียกวา่ “รัศมีไจเรชนั่ ” (radius of gyration) ดงั น้ี รัศมีไจเรชนั่ ของพ้ืนที่ A รอบแกน x คือ rx  Ix รัศมีไจเรชน่ั ของพ้ืนท่ี A รอบแกน y คือ A ry  Iy รัศมีไจเรชน่ั ของพ้นื ที่ A รอบแกน z (ซ่ึงต้งั ฉากกบั พ้ืนท่ี) คือ A rz  Jo  rx2  ry2 .................... (6.4) A คา่ รัศมีไจเรชน่ั ของพ้ืนท่ีน้ี สามารถนาไปใชเ้ ปรียบเทียบมิติดา้ นขา้ งของพ้ืนท่ีที่มีรูปร่าง ไมเ่ หมือนกนั เช่น ในการพจิ ารณาเสาส้นั -เสายาว ในวชิ ากลศาสตร์วสั ดุหรืกาลงั วสั ดุเป็นตน้ ตัวอย่างที่ 6.5 จงหาคา่ Ix , Iy , rx , ry และ Jo ของพ้ืนที่หนา้ ตดั รูปส่ีเหลี่ยมผนื ผา้ ดงั รูป

303 วธิ ีทา แบง่ พ้นื ที่เดิมออกเป็นพ้นื ที่ยอ่ ย dA ท่ีหนา dy กวา้ ง b แลว้ อินทิเกรต dA  bdy h  Ix  y 2 (bdy )  by3  2 c  3 h A 2 Ix  bh 3 12 bh 3 rx  Ix  12 h A bh 12 ในทานองเดียวกนั ถา้ แบง่ พ้ืนที่ยอ่ ยท่ีหนา dx กวา้ ง h กจ็ ะได้ Iy  hb 3 และ ry  b 12 12 จากสมการ (5.3) กจ็ ะได้ Jo  Ix  Iy  bh 3  hb3 12 12  bh (h 3  b 2 )  A (h 2  b 2 ) 12 12 ตัวอย่างที่ 6.6 จงหาคา่ โมเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบฐานของรูปสามเหลี่ยม วธิ ีทา แบ่งรูปสามเหล่ียมออกเป็นรูปยอ่ ย dA ท่ีหนา dy กวา้ ง x ดงั รูป dA  xdy b(h  y)dy h  Ixy 2 dA  h y2 b(h  y)dy c 0h A  b  hy3  y4 h  b h4  h4  h  4  h  4   3 0  3   bh 3 12

304 ตัวอย่างที่ 6.7 จงหาค่า Ix , Iy , rx , ry และ Jo ของรูปวงกลมท่ีมีเส้นผ่าศูนยก์ ลาง d ( = 2R) วธิ ีทา แบง่ รูปวงกลมออกเป็นรูปยอ่ ยที่เป็นวงแหวนหนา dr รัศมี r ห่างจากจุดศนู ยก์ ลางดงั รูป  พ้ืนท่ีของรูปวงแหวนคือ dA  2π r dr dd r 2dA 2 πr4 2 A 2π r3dr  Jo   2  0 0 Jo  πd4 หรือ πr4 32 2 เน่ืองจากวงกลมมีลกั ษณะสมมาตรรอบแกน x และ y ท่ีผา่ นจุดศนู ยก์ ลาง o  Ix  Iy แต่ (จากสมการ(6.3)) Jo  Ix  Iy  Ix  Iy  Jo  π d4 หรือ π r 4 2 64 4 πd4 รัศมีไจเรชนั่ rx  ry  Ix  64 A π d2 4  d หรือ r 42

305 4. ทฤษฎแี กนขนาน (Parallel – Axis Theorem) ค่าโมเมนต์ความเฉ่ือยจะข้ึนอยกู่ บั แกนอา้ งอิง ดงั น้ันค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของพ้ืนที่ เดียวกนั รอบแกนอา้ งอิงท่ีต่างกนั จะมีค่าไม่เท่ากนั แต่ค่าโมเมนตค์ วามเฉ่ือยรอบแกนท่ีผา่ นจุด เซนทรอยด์ของพ้ืนที่ (ซ่ึงเป็ นค่าคงท่ี) จะเป็ นค่าคงท่ี ในทางปฏิบตั ิเรามกั จะหาค่าโมเมนตข์ อง ความเฉื่อย ของพ้ืนที่รอบแกนใด ๆ ที่ขนานกบั แกนท่ีผ่านจุดเซนทรอยด์ โดยใช้ “ทฤษฎีแกน ขนาน” (Parallel – Axis Theorem) หรือ “ทฤษฎีการยา้ ยแกน” (Transfer Theorem) รูปท่ี 6.2 ลองพิจารณาพ้ืนท่ี A ในรูปที่ 6.2 ซ่ึงมีจุดเซนทรอยด์อยทู่ ่ี C และ Ixc , Iyc , Jo เป็ นค่า โมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้นื ที่ A รอบแกน x , y และ z ที่ผา่ นจุดเซนทรอยดต์ ามลาดบั สมมติวา่ เราตอ้ งการหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้ืนที่รอบแกน x, y และ zซ่ึงขนานกบั แกน x , y และ z และมีระยะห่าง d1, d2 และ ρ ตามลาดบั  Ix  (y)2 dA  (y  d1)2 dA AA    y2dA  2d1 ydA d12 dA A AA เนื่องจากแกน x ผา่ นจุดเซนทรอยด์ C   ydA  0 A  และ d12 dA  Ad12 , y2dA  Ix c AA Ix  Ix c  Ad12 ................. (6.5) ในทานองเดียวกนั จะพิสูจน์ไดว้ า่ I y  I yc  Ad22 ...................... (6.6) และ Jo  Ix  Iy

306  I x  I y  A(d12  d 2 ) .................. (6.7) 2 แสดงวา่ “โมเมนตข์ องความเฉื่อยของพ้ืนที่รอบแกนใด ๆ มีค่าเท่ากบั โมเมนตข์ องความ เฉื่อยรอบแกนที่ผ่านจุดเซนทรอยด์ท่ีขนานกัน บวกกับผลคูณของพ้ืนท่ีและกาลงั สองของ ระยะทางระหวา่ งแกนท้งั สองน้นั ” 5. โมเมนต์ของของความเฉ่ือยของรูปผสม (Moment of inertia of composite areas) สาหรับพ้นื ท่ีรูปผสมซ่ึงประกอบข้ึนดว้ ย พ้ืนที่ยอ่ ยหลายรูปท่ีมีรูปทรงเรขาคณิตแตกต่าง กนั การหาโมเมนตค์ วามเฉ่ือยของรูปทรงผสม จะหาไดโ้ ดยทฤษฎีแกนขนาน หาคา่ โมเมนตข์ อง ความเฉ่ือยของแต่พ้ืนท่ียอ่ ยรอบแกนที่ผา่ นจุดเซนทรอยด์ของพ้ืนท่ีน้นั ซ่ึงเป็ นค่าคงท่ีหาไวแ้ ลว้ เป็ นสูตรมาตรฐานดงั แสดงไวใ้ นตารางของภาคผนวก แลว้ ยา้ ยแกนมายงั แกนดงั เดียวกนั และนา ค่าเหล่าน้ีมาบวกกนั (หรือลบกนั ในกรณีท่ีเป็ นรูปยอ่ ยที่ตอ้ งตดั ออกหรือเจาะรู) เป็ นค่าโมเมนต์ ของความเฉื่อยของรูปผสมรอบแกนที่ตอ้ งการ ดงั น้นั n Ix  (Ixc  Ad12 )i i1 n I y  (I yc  Ad22 )i i1 n Jo  (Jc  Aρ2 )i i1 ตัวอย่างท่ี 1. จงหาโมเมนต์ความเฉ่ือยของพ้ืนที่รูปส่ีเหลี่ยมผืนผา้ ในตวั อย่างที่ 6.1 รอบแกน x, y และ z

307 วธิ ีทา จากตวั อยา่ งท่ี 6.1 I xc  bh 2 , I yc  hb 3 12 12 และ Jc  bh (b2  h 2 ) 12 แทนคา่ ในสมการ (6.5) จะได้ I x  I xc  A d12  bh 3  (bh) h 2 12  2   bh3  bh3 12 4 I x  bh 3 3 ในทานองเดียวกนั I y  hb 3 3 และ Jo  Jc  Aρ2  bh (b 2  h2 )  (bh) b  2   h  2   12  2   2   Jo  bh (b2  h 2 ) 3 ตวั อย่างท่ี 2. จงหาค่าโมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้ืนท่ีรูปสามเหลี่ยมในตวั อยา่ งท่ี 6.2 รอบแกน x ท่ีผา่ นจุด C วิธีทา จากตวั อย่างท่ี 6.2 ค่า Ix ซ่ึงในที่น้ี คือ Ix รอบแกนท่ีผา่ นฐานสามเหล่ียม คือ I x  bh 3 12 จากสมการ (6.5) Ix  Ixc  Ad12 bh 3  Ixc   1 bh  h  2 12  2  3   Ixc  bh 3  bh 3 12 18 Ixc  bh 3 36 ตัวอย่างท่ี 3. จงหาค่าโมเมนตข์ องความเฉ่ือย

308 ของพ้นื ท่ีในรูปรอบแกน x และ y ท่ีผา่ นจุดเซนทรอยดข์ องมนั เอง วธิ ีทา แบ่งพ้นื ท่ียอ่ ย คือ สี่เหล่ียมผนื ผา้ – วงกลม แลว้ หาจุดเซนทรอยดข์ องรูปผสมแลว้ หาจุด เซนทรอยดข์ องรูปผสมซ่ึงหาไดจ้ ากสมการ x  Ax  A1x1  A2 x2  A A1  A2 (120 120)(60)   π (40)2 (30)  8263  62.9 mm 4  1314.3  (120 120)   π (40)2  4  โดยลกั ษณะสมมาตรของรูป y  x  62.9 mm ใชท้ ฤษฎีแกนขนานหาค่าโมเมนตข์ องความเฉื่อยของแต่ละรูปยอ่ ยรอบแกน x และ y ท่ี ผา่ นจุดเซนทรอยดข์ องรูปผสมดงั น้ี รูปส่ีเหล่ียมผนื ผา้ Ix  Ixc  Ad12  1 (120)(120)3  (120)(120)(62.9  60)2 12  17.28(106 )  0.121(106 )  17.4 106 mm4 รูปวงกลม Ix  π (40)4   π (40)2 (62.9  30)2 12  4   0.127(106 ) 1.360(106 )  1.487 106 mm4  Ix ของรูปผสม  17.4(106 ) 1.487(106 )  15.91106 mm4 Iy  Ix  15.69 106 mm4 โดยลกั ษณะสมมาตรของรูป

311 แบบฝึ กหดั 1. จงหาคา่ โมเมนตข์ องความเฉื่อยของพ้ืนที่ในรูปผสมรอบแกน x

313 แบบทดสอบสัปดาห์ท่ี 17 1. จงหาค่าโมเมนตข์ องความเฉ่ือยของพ้ืนท่ีในรูปผสมรอบแกน x