สนามไฟฟ้า

บทที่ 1 สนามไฟฟ้า

กฎของคูลอมบ์ • กฎของแรงระหวา่ งประจุ โดยนกั วทิ ยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ชื่อ Charles Coulomb ปัจจุบนั เรียกวา่ กฎของคูลอมบ์ (Coulomb’s law) • แรงระหวา่ ง 2 จุดประจุ คือ q1 และ q2 ท่ีวา่ ห่างกนั เป็นระยะ r • q หน่วยเป็น คูลอมบ์ • r หน่วยเป็น เมตร 1   K q1q 2 หน่วยเป็น นิวตนั (N) F r2

• k เป็นคา่ งคงที่ เรkียกวา่ 4pπ1erm0ittivkity • ในระบบ SI 8.988109 N.m2/C2 • 0 เป็นคา่ คงที่ in vacuum (สภาพยอมในสุญญากาศ) •  เป็นค่าคงท่ี เรียกวา่ permittivity in ……. ตารางแสดงคา่ ประจุและมวลของอิเลก็ ตรอน โปรตอนและนิวตอน อนุภาค ประจุ (C) มวล (kg) อิเลก็ ตรอน (e) - 1.6021917 x 10-19 9.1095 x 10-31 โปรตอน (p) + 1.6021917 x 10-19 1.67261 x 10-27 นิวตรอน (n) 1.67492 x 10-27 0

• แรงเป็นปริมาณเวกเตอร์ ดงั น้นั การจะใชก้ ฎของคูลอมบต์ อ้ งคานึงถึง ทิศทางของแรงดว้ ย r  F F q1 r q2   F F q1 q2 q1 r  q2  F F • เคร่ืองหมาย - หมายถึงทิศทาง

• ถา้ มีประจุมากกวา่ 2 ประจุข้ึนไป q1 , q2 , q3 , … • สามารถคานวณหาค่าแรงที่กระทาบนประจุตวั ที่ 1 ได้ โดย    FF11เ2ป็นแFร13งลFพั1Fธ1์ท4้Fงัห12.ม..ดบFเป1น3็ นปแรระFงจ1บ4ุตนวั ปท..รี่ 1.ะจุตวั ที่ • เม่ือ ที่กระทาโดยประจุ • และ q1 , q2 , q3 , q4 … • การรวมแรงลพั ธใ์ นทิศทางที่ทามุมต่างกนั ตอ้ งรวมแบบเวกเตอร์  • และขนาดของแรงลพั ธ์ คือ F Fx2  Fy2 2 • การบอกทิศทางของแรงลพั ธ์   tan1 Fy 3 Fx

• ตวั อยา่ ง • ประจุ q1  2109 C q2  4109 C และ q3  5109C • วางที่มุมของสามเหล่ียมดงั รูป จงหาขนาดและทิศของแรงลพั ธ์บนประจุ q1 q2 r13 = 5 cm r23 = 3 cm q3 r12 = 4 cm q1   k q1q 2 F r2

y r23 = 3 cm  r13 = 5 cm  F F13 x  r12 = 4 cm F12

ลองทาดู q1  2109 C q2  4 109 C q3  5109 C • ประจุ วางท่ีมุมของสามเหล่ียมดงั รูป จงหาขนาดและทิศของแรงลพั ธบ์ น ประจุ q1 F12  1 q1q2 q3 r122 4 ε 0 r13 = 5 cm 1 q1q3 r123 r23 = 3 cm F13  4 ε 0 q2 r12 = 4 cm q1

F12  1 q1q2  4.5105 N r122 4 ε 0 F13  1 q1q3  3.6105 N r123 4 ε 0 หาทศิ ของ F12 และ F13 sin  3/ 5 cos  4 / 5 F12x  4.5105 N F12y  0 F13x  F13 cos  F13y  F13 sin  และขนาดของ F คือ F  Fx2  Fy2

สนามไฟฟ้า  F • วางประจุทดสอบ q0 ท่ีจุด P พบวา่ มีแรงไฟฟ้า มากระทาต่อประจุ ทดสอบ q0 กล่าวไดว้ า่ บริเวณจุ P น้นั มีสนามไฟฟ้า (electric field) • นิยามสนามไฟฟ้าE ท่ีจุด P  4  F หน่วย นิวตนั ต่อคูลอมบ์ N/C E q0 • ทิศทางของสนามไฟฟ้ามีทิศเดียวกนั กบั ทิศของแรงที่กระทาต่อประจุบวก   F q E • ทิศทางของสนามไฟฟ้ามีทิศตรงขา้ มกบั ทิศของแรงที่กระทาต่อประจุลบ  -q  F E

สนามไฟฟ้าท่ีเกิดจากจุดประจุ • ในการหาสนามไฟฟ้าท่ีเกิดจากจุดประจุ q เราวางประจุทดสอบบวก q0 ห่างจากจุดประจุ q เป็นระยะทาง r     k qq 0 E F F r2 q0 k  1 F  1 qq 0 r2 4π 0 4π 0 • ขนาดของสนามไฟฟ้า   1 q 5 E r2 4π 0

• ทิศของแรง  บน q0 ช้ีออกจากจุดประจุ q เมื่อ q เป็ นประจุบวก • F  บน q0 ช้ีเขา้ หาจากจุดประจุ q เมื่อ q เป็นประจุลบ F และทิศของแรง • ทิศของ  ที่ออกจากจุดประจุ จะช้ีในทุกทิศทางตามแนวรัศมี E • ท่ีระยะห่างเท่ากนั จากจุดประจุ จะมีคา่ สนามไฟฟ้าเท่ากนั



• ในการหาค่าสนามไฟฟ้าซ่ึงเกิดจากจุดประจุ n ตวั ท่ีจุดหน่ึง – คานวณหาค่าสนามไฟฟ้าท่ีเกิดจากประจุแตล่ ะตวั – นาคา่ สนามไฟฟ้าแต่ละตวั มาบวกแบบเวกเตอร์ เพือ่ หาคา่ สนามไฟฟ้ารวม    6 E  E1  E2  E3 ...

ตวั อยา่ ง • จุดประจุ – 6 x 10-6 คูลอมบ์ และ 10 x 10-6 คูลอมบว์ างอยหู่ ่างกนั 4 เซนติเมตร ท่ีตาแหน่ง A และ B ตามลาดบั สนามไฟฟ้าท่ีจุด C ซ่ึงห่าง จากจุด A 3 เซนติเมตร จะมีขนาดเท่าใด C 3 cm A EA  k qA -6 x 10-6 C r12 5 cm 4 cm EB  k qB cos(3/5) r22 E E 2  E 2  2EA E Bcosθ A B 10 x 10-6 C B

งาน • จุดประจุ 8 x 10-6 คูลอมบ์ และ –10 x 10-6 คูลอมบว์ างอยหู่ ่างกนั 4 เซนติเมตร ที่ตาแหน่ง A และ B ตามลาดบั สนามไฟฟ้าที่จุด C ซ่ึงห่างจากจุด A 3 เซนติเมตร จะมีขนาดเท่าใด C 3 cm A EA  k qA 8 x 10-6 C r12 5 cm 4 cm EB  k qB r22 E E 2  E 2  2EA E Bcosθ A B -10 x 10-6 C B

สนามไฟฟ้าที่เกิดจากไดโพลไฟฟ้า • ลกั ษณะของไดโพลไฟฟ้า คือ มีจุดประจุคู่หน่ึงท่ีมีขนาดประจุ q เท่ากนั แต่เป็นประจุต่างชนิดกนั วางอยหู่ ่างกนั เป็นระยะทาง d

• ตอ้ งการหาสนามไฟฟ้าท่ีเกิดจากไดโพลที่จุด P ซ่ึงอยบู่ นแนวแกน และ ห่างจากจุดก่ึงกลางของไดโพล เป็นระยะทาง z • ให้ E เป็นขนาดของสนามไฟฟ้าที่จุด P E  E  E

E  1  q   1  q  r2 r2 40 40    q  1 1  E   d 2  d 2  40   ดึงตวั ร่วมออก  z  z  2   2      q  1 1  E  z2 1 40  2 2   z 2 1  d d    2z   2z   q 1  d 2  1 d  2   2z   2z  E  40 z2   7

• ผลทางไฟฟ้าของไดโพลที่ระยะห่างจากไดโพลมากๆ z>>d ที่ระยะห่าง มากๆ น้ีจะไดว้ า่ d/2z << 1 a 1 d 2  1  2d  ... 1 d  ...  2z  2z z b 1 d 2  1  2d  ... 1 d  ...  2z  2z z

• แทนค่าสมการ a และ b ลงในสมการที่ 7 จะได้ E  qd 8 2π 0 z3 • สมการท่ี 8 เป็นขนาดของสนามไฟฟ้าตามแกนของไดโพล ที่จุดซ่ึงอยไู่ กล จากไดโพล • qd เป็นขนาดของปริมาณเวกเตอร์ท่ีเรียกวา่ ไดโพลโมเมนตไ์ ฟฟ้า • เขียนสมการท่ี 8 ใหม่ p  qd คูลอมบเ์ มตร C.m 9 E  1 p 10 z3 2π 0 • ที่ระยะไกลมากจะหาคา่ ผลคูณของ qd เท่าน้นั ซ่ึงเป็นสมบตั ิพ้ืนฐานไดโพล

• ควอดรูโพลไฟฟ้า (electric quadrupole) ประกอบดว้ ยไดโพล 2 ไดโพล ที่มีไดโพลโมเมนตข์ นาดเท่ากนั แต่ทิศตรงขา้ มกนั E  3Q 11 4π0 z4 • เม่ือ Q = 2qd2 เรียกวา่ ควอดรูโพลโมเมนต์ (quadrupole momemt) ของ การกระจายของประจุ

สนามไฟฟ้าท่ีเกิดจากประจุกระจายอยา่ งต่อเนื่อง • กรณีประจุกระจายอยา่ งต่อเนื่องไม่เป็นจุดประจุ • การหาสนามไฟฟ้าทาไดโ้ ดยแบ่งประจุเป็นประจุยอ่ ยๆ dq • ใหค้ ิดวา่ dq เป็ นจุดประจุ แต่ละ dq ทาใหเ้ กิดสนามไฟฟ้า  dE   1 dq 12 dE r2 13 40 • สนามไฟฟ้ารวมท่ีเกิดจากประจุส่วนยอ่ ยท้งั หมดคือ  E   dE

• กรณีประจุกระจายอยา่ งต่อเนื่องตามแนวเสน้ ประจุยอ่ ยๆบนความยาวเชิง เสน้ นอ้ ยๆ ds dq  λds 14 • เมื่อ λ เป็นความหนาแน่นประจุเชิงเสน้ มีคา่ เป็น q/L มีหน่วยเป็นC/m • ดงั น้นั dq   q ds 15 L • กรณีประจุกระจายอยา่ งต่อเน่ืองตามพ้นื ผวิ ประจุยอ่ ยๆบนพ้นื ผวิ นอ้ ยๆ dA • ดงั น้นั dq   dA 16 • เม่ือ  เป็นความหนาแน่นประจุเชิงพ้นื ท่ี มีคา่ เป็น q/A มีหน่วยเป็นC/m2 • ดงั น้นั dq  q dA 17 A

• กรณีประจุกระจายอยา่ งต่อเน่ืองตามปริมาตร ประจุ dq บนปริมาตร นอ้ ยๆ dV คือ dq   dV 18 • เม่ือ  เป็นความหนาแน่นประจุเชิงปริมาตร มีหน่วยเป็นC/m3 • ดงั น้นั dq  q dV 19 V ตัวอย่าง • รูปแสดงวงแหวงพลาสติกขอบบางวงหน่ึงมีรัศมี R และมีประจุ q  กระจายสม่าเสมอบนวงแหวน จงหาสนามไฟฟ้า E ที่จุด P ซ่ึงอยบู่ นเสน้ แกนของวงแหวนห่างจากจุดศูนยก์ ลางของวงแหวนเป็นระยะ z

  1 dq dE r2 40 จากสมการที่ 14 dq  λds   1 ds dE 40 r2

• จากรูป dE แยกไดเ้ ป็นสองส่วน คือส่วนที่ขนานกบั แกนของวงแหวน และส่วนที่ต้งั ฉากกบั วงแหวน • จากการสมมาตรของประจุ  ในแนวต้งั ฉากหกั ลา้ งกนั หมด dE • มีเฉพาะส่วนของ  ในแนวขนาน ซ่ึงมีขนาด dEco s θ dE cosθ  z r r2  z2  R2 r  z2  R2 λz z2  R2  dEcosθ  (1/2)1 ds 4π 0

• ให้ E เป็นขนาดของสนามไฟฟ้ารวมที่จุด P จะได้ E   dEcosθ E 4π 0   λz 2πR (3/2) ds ds z2  R2 0  λz2R 4π0 z2  R2  E (3/2)  q 2R • จะได้  qz 20 z2  R2  E (3/2) 4π 0  • ทิศของ E ช้ีออกจากวงแหวน เพราะประจุบนวงแหวนเป็ นบวก

ไดโพลในสนามไฟฟ้า • นิยามไดโพลโมเมนต์ p ของไดโพลวา่ เป็นเวกเตอร์ที่มีทิศช้ีจาก –q ไป ยงั +q และมีขนาด p = qd เมื่อ d เป็นระยะห่างระหวา่ งประจุท้งั สอง • พจิ ารณาไดโพลท่ีวางอยใู่ นสนามไฟฟ้าสม่าเสมอ Eดงั รูป

• โครงสร้างไดโพลแขง็ เกร็ง  E • ไดโพลโมเมนต์ p ทามุม θ กบั แรงไฟฟ้าที่กระทาต่อประจุท้งั สองมี ขนาด    แต่มีทิศตรงกนั ขา้ มกนั ดงั น้นั แรงลพั ธ์บนไดโพลเป็นศูนย์ F qE • แต่แรงท้งั สองไม่อยใู่ นแนวเสน้ ตรงเดียวกนั • จึงเกิดทอร์กบนไดโพลรอบจุดศูนยก์ ลางมวล (cm) ของไดโพล • ซ่ึงจะหมุนไดโพลในทิศตามเขม็ นาฬิกา

• ให้ τ เป็นทอร์กลพั ธบ์ นไดโพลรอบจุดศูนยก์ ลางมวล ซ่ึงคือ จุดก่ึงกลาง ในแนวเสน้ ตรงที่เชื่อมประจุท้งั สอง • ขนาดของทอร์ก τ  F d sinθ  F d sinθ 2  2  τ  Fdsin θ  F  qE τ  qEdsin θ  qdEsinθ p  qd τ  pEsin θ 21 22 • สามารถเขียนสมการท่ี 21 ในรูปของเวกเตอร์  τ  p  E

พลงั งานศกั ยข์ องไดโพลในสนามไฟฟ้าภายนอก • พิจารณางานท่ีกระทาโดยสนามไฟฟ้าภายนอก  ในการหมุนไดโพล E จากมุมเริ่มตน้ θ0 ไปเป็นมุมสุดทา้ ย θ งานน้ีสะสมเป็นพลงั งานศกั ยใ์ น ระบบของไดโพล กบั สนาม • งาน dW ในการหมุนไดโพลไปเป็นมุมdθ dW  τdθ τ  pEsin θ dW  pEsin θdθ • หมุนจากมุมเริ่มตน้ θ0 ไปเป็นมุมสุดทา้ ย θ จะมีการเปล่ียนแปลง พลงั งานศกั ย์

θ 23 Uθ Uθ0    pEsin θ dθ θ0  90 θ0 θ 24 25 Uθ Uθ0   pE  sinθ dθ θ0 Uθ Uθ0   pEcosθ0  cosθ • เพ่อื สะดวก ใหเ้ ทอม pEเปc็นoคsา่ θค0งท่ี และให้ • cosθ0  cos90  0 และให้ Uθ0ม่ีค่าเป็ น • ศูนย์ ที่มุมน้ี Uθ   pEcosθ • พลงั งานศกั ยท์ ี่มุมใดๆ U   pEcosθ • เขียนในรูปเวกเตอร์ U   p   E

• สมการที่ 24 แสดงใหเ้ ห็นวา่ พลงั งานศกั ยข์ องไดโพลมีคา่ ต่าสุดเมื่อ • θ  0 ซ่ึง p และE ช้ีทิศทางเดียวกนั  และE • พลงั งานศกั ยข์ องไดโพลมีค่าสูงสุดเม่ือ θ  180 ซ่ึง p ช้ี ทิศทางตรงกนั ขา้ มกนั • สมการท่ี 24 ติดลบ แสดงถึงทิศทาง

 • ไดโพลไฟฟ้าซ่ึงมีไดโพลโมเมนตเ์ ป็ นp  3ˆi  4ˆj  1.21030C.m อยใู่ นสนามไฟฟ้า   3000N/Cˆi  E E – จงหาพลงั งานศกั ยข์ องไดโพลไฟฟ้า U   E  1.081026 – จงหาทอร์กกระทาบนไดโพลไฟฟ้า p  1.441026 τ  p  kˆ • แหวงพลาสติกขอบบางวงหน่ึงมีรัศมี R 10 cm. และมีประจุ +q 12 ตวั กระจายสม่าเสมอบนวงแหวน จงหาสนามไฟฟ้า ที่จุด ซ่ึงอยบู่ นเสน้ แกน ของวงแหวนห่างจากจุดศูนยก์ ลางของวงแหวนเป็นระยะ z = 5 cm. qz = 6.2195e-007 z2  R2  E  (3/2) 4π 0