หนงั สือเรียนสาระความรู้พ้นื ฐาน รายวชิ า คณติ ศาสตร์ พค31001 ระดบั มัธยมศึกษาตอนปลาย (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. 2560) หลกั สูตรการศึกษานอกระบบระดบั การศึกษาข้นั พ้ืนฐาน พุทธศกั ราช 2551 สานกั งานส่งเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอธั ยาศยั สานกั งานปลดั กระทรวงศกึ ษาธิการ กระทรวงศกึ ษาธิการห้ามจาหน่ายหนงั สือเรียนเล่มน้ีจดั พมิ พด์ ว้ ยเงินงบประมาณแผน่ ดินเพ่ือการศึกษาตลอดชีวติ สาหรับประชาชน ลิขสิทธ์ิเป็นของ สานกั งาน กศน. สานกั งานปลดั กระทรวงศึกษาธิการเอกสารทางวชิ าการลาดบั ท่ี 8/2555
หนงั สือเรียนสาระความรู้พ้นื ฐานรายวชิ า คณิตศาสตร์ พค31001ระดบั มธั ยมศึกษาตอนปลายฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560ลิขสิทธ์ิเป็นของ สานกั งาน กศน. สานกั งานปลดั กระทรวงศึกษาธิการเอกสารทางวชิ าการลาดบั ท่ี 8/2555
คาํ นํา กระทรวงศึกษาธิการไดประกาศใชหลักสูตรการศึกษานอกระบบระดับการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551 เมื่อวันที่ 18 กนั ยายน พ.ศ. 2551 แทนหลกั เกณฑแ ละวิธกี ารจดั การศึกษานอกโรงเรียนตามหลกั สตู รการศกึ ษาขั้นพื้นฐาน พทุ ธศกั ราช 2544 ซ่งึ เปน หลักสูตรทพ่ี ัฒนาขึน้ ตามหลักปรชั ญาและความเชื่อพ้นื ฐานในการจัดการศึกษานอกโรงเรียนที่มีกลุมเปาหมายเปนผูใหญมีการเรยี นรแู ละส่งั สมความรแู ละประสบการณอ ยา งตอ เนอ่ื ง ในปงบประมาณ 2554 กระทรวงศึกษาธิการไดกําหนดแผนยุทธศาสตรในการขับเคลื่อนนโยบายทางการศกึ ษาเพ่ือเพ่มิ ศักยภาพและขดี ความสามารถในการแขง ขันใหประชาชนไดมีอาชีพท่ีสามารถสรา งรายไดทีม่ ง่ั คงั่ และม่นั คง เปน บุคลากรท่ีมีวินัย เปยมไปดวยคุณธรรมและจริยธรรมและมีจิตสํานึกรับผิดชอบตอตนเองและผูอื่น สํานักงาน กศน. จึงไดพิจารณาทบทวนหลักการจุดหมาย มาตรฐาน ผลการเรียนรูท่ีคาดหวัง และเนื้อหาสาระ ท้ัง 5 กลุมสาระการเรียนรู ของหลักสตู รการศกึ ษานอกระบบระดับการศึกษาขั้นพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551 ใหมีความสอดคลองตอบสนองนโยบายกระทรวงศึกษาธิการ ซึ่งสงผลใหตองปรับปรุงหนังสือเรียน โดยการเพิ่มและสอดแทรกเนอ้ื หาสาระเกี่ยวกับอาชพี คุณธรรม จรยิ ธรรมและการเตรียมพรอม เพื่อเขาสูประชาคมอาเซียน ในรายวิชาที่มีความเก่ียวของสัมพันธกัน แตยังคงหลักการและวิธีการเดิมในการพัฒนาหนังสือที่ใหผูเรียนศึกษาคนควาความรูดวยตนเอง ปฏิบัติกิจกรรม ทําแบบฝกหัด เพื่อทดสอบความรูค วามเขาใจ มีการอภปิ รายแลกเปลีย่ นเรียนรกู ับกลุม หรือศึกษาเพิ่มเติมจากภมู ปิ ญญาทองถนิ่แหลงการเรียนรูแ ละส่ืออ่นื การปรบั ปรุงหนงั สอื เรยี นในครงั้ นี้ ไดรบั ความรวมมืออยางดียิ่งจากผูทรงคุณวุฒิในแตละสาขาวชิ า และผเู กี่ยวขอ งในการจัดการเรียนการสอนทีศ่ กึ ษาคนควา รวบรวมขอ มลู องคความรจู ากสอ่ื ตา ง ๆ มาเรยี บเรียงเน้อื หาใหครบถวนสอดคลองกับมาตรฐาน ผลการเรียนรูที่คาดหวัง ตัวช้ีวัดและกรอบเนื้อหาสาระของรายวิชา สํานักงาน กศน.ขอขอบคุณผูมีสวนเก่ียวของทุกทานไว ณโอกาสน้ี และหวังวา หนังสอื เรยี น ชุดนจ้ี ะเปน ประโยชนแกผ ูเรยี น ครู ผูสอน และผูเ กย่ี วของในทุกระดบั หากมขี อ เสนอแนะประการใด สาํ นักงาน กศน. ขอนอ มรับดวยความขอบคณุ ย่ิง
สารบญั หนาคาํ นํา 1สารบญั 15คาํ แนะนาํ การใชห นงั สือ 29โครงสรางวิชาคณติ ศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลาย 53บทที่ 1 จาํ นวนและการดําเนนิ การ 65บทที่ 2 เลขยกกาํ ลังท่ีมเี ลขชก้ี าํ ลงั เปน จาํ นวนตรรกยะ 89บทท่ี 3 เซต 114บทท่ี 4 การใหเ หตผุ ล 145บทที่ 5 อัตราสวนตรีโกณมติ แิ ละการนําไปใช 164บทท6่ี การใชเ ครอ่ื งมือและการออกแบบผลิตภณั ฑบทท่ี 7 สถิติเบอ้ื งตนบทที่ 8 ความนา จะเปนบทท่ี 9 การใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ นงานอาชีพ
คาํ แนะนําการใชแ บบเรียน หนงั สอื เรยี นสาระความรพู น้ื ฐาน รายวชิ า คณติ ศาสตร (พค 31001) ระดับมธั ยมศกึ ษาตอนปลาย เปนหนังสือเรยี นที่จดั ทําขึน้ สําหรับผเู รียนทเ่ี ปน นักศกึ ษานอกระบบ ในการศึกษาหนังสอื เรียนสาระความรพู น้ื ฐาน รายวิชา คณติ ศาสตร ผเู รยี นควรปฏิบตั ดิ ังน้ี 1. ศกึ ษาโครงสรา งรายวชิ าใหเขา ใจในหวั ขอสาระสําคญั ผลการเรยี นรทู ี่คาดหวังและ ขอบขา ยเนื้อหา 2. ศกึ ษารายละเอียดเน้อื หาของแตล ะบทอยา งละเอยี ด และทาํ กจิ กรรมตามทกี่ าํ หนด แลวตรวจสอบกบั แนวตอบกจิ กรรมท่กี ําหนด ถาผูเ รยี นตอบผิดควรกลบั ไปศึกษา และทาํ ความเขาใจในเน้ือหาน้ันใหมใ หเ ขา ใจกอ นทีจ่ ะศกึ ษาเรอ่ื งตอไป 3. ปฏิบตั ิกิจกรรมทายเรอื่ งของแตล ะเรอ่ื ง เพ่ือเปน การสรุปความรคู วามเขา ใจของ เน้ือหาในเรือ่ งนัน้ ๆ อกี ครงั้ และการปฏบิ ตั กิ จิ กรรมของแตล ะเนอื้ หาในแตละเร่อื ง ผูเรยี นสามารถนาํ ไปตรวจสอบกบั ครูและเพอ่ื น ๆ ท่ีรวมเรยี นในรายวิชาและระดบั เดยี วกนั ไดแบบเรยี นเลม น้ีมี 9 บท คือ บทท่ี 1 จํานวนและการดาํ เนนิ การ บทท่ี 2 เลขยกกําลังที่มเี ลขชกี้ าํ ลังเปน จํานวนตรรกยะ บทท่ี 3 เซต บทท่ี 4 การใหเหตุผล บทท่ี 5 อัตราสว นตรโี กนมติ แิ ละการนาํ ไปใช บทที่ 6 การใชเคร่ืองมือและการออกแบบผลิตภณั ฑ บทท่ี 7 สถติ ิเบ้อื งตน บทที่ 8 ความนาจะเปน บทท่ี 9 การใชทกั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรใ นงานอาชีพ
โครงสรางรายวชิ าคณิตศาสตร ระดบั มธั ยมศกึ ษาตอนปลายสาระสําคัญ มคี วามรคู วามเขาใจเกยี่ วกับจาํ นวนและตวั เลข เศษสว น ทศนยิ มและรอ ยละการวดั เรขาคณติ สถิติ และความนา จะเปน เบือ้ งตนผลการเรยี นรทู ่คี าดหวงั 1. ระบหุ รอื ยกตวั อยา งเก่ียวกบั จาํ นวนและตวั เลข เศษสวน ทศนิยมและรอ ยละ การวดั เรขาคณติ สถติ ิ และความนาจะเปนเบ้ืองตน ได 2. สามารถคิดคาํ นวณและแกโจทยปญหาเกยี่ วกับจาํ นวนนับเศษสว น ทศนยิ ม รอ ยละ การวดั เรขาคณติ ไดขอบขา ยเนอื้ หา บทท่ี 1 จํานวนและการดาํ เนนิ การ บทที่ 2 เลขยกกาํ ลงั ทม่ี เี ลขชก้ี ําลงั เปน จาํ นวนตรรกยะ บทที่ 3 เซต บทที่ 4 การใหเ หตุผล บทท่ี 5 อตั ราสว นตรีโกนมติ ิและการนาํ ไปใช บทที่ 6 การใชเคร่ืองมือและการออกแบบผลติ ภณั ฑ บทที่ 7 สถติ เิ บื้องตน บทท่ี 8 ความนา จะเปน บทท่ี 9 การใชท กั ษะกระบวนการทางคณติ ศาสตรในงานอาชีพสอื่ การเรยี นรู 1. ใบงาน 2. หนงั สือเรียน
1 บทท่ี 1จํานวนและการดาํ เนินการสาระสําคญั 1. โครงสรางของจํานวนจริงประกอบไปดว ย จํานวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ และ จาํ นวนเต็ม 2. สมบัตขิ องจํานวนจริงท่เี กี่ยวกบั การบวกและการคณู ประกอบไปดว ยสมบัตปิ ด สมบตั ิการเปลย่ี นกลมุ สมบัตกิ ารสลบั ที่ การมีอินเวอรส การมเี อกลักษณแ ละสมบตั ิ การแจกแจง 3. สมบตั ิการเทากนั จะใชเคร่อื งหมาย “=” แทนการมคี าเทากนั 4. สมบตั กิ ารไมเทา กนั จะใชเครือ่ งหมาย “ ≠ , < , >, ≤ , ≥” 5. คาสมั บูรณใ ชสัญลกั ษณ “ | |” แทนคาสมั บูรณซึ่ง x ถา x >0 x 0 ถา x = 0 - x ถา x < 0ผลการเรียนรูท่ีคาดหวงั 1. แสดงความสัมพนั ธของจํานวนตาง ๆ ในระบบจํานวนจรงิ ได 2. อธิบายความหมายและหาผลลัพธที่เกิดจากการบวก การลบ การคณู การหารจาํ นวน จริงได 3. อธิบายสมบัตขิ องจาํ นวนจริงท่ีเกีย่ วกบั การบวก การคณู การเทากนั การไมเทากนั และนาํ ไปใชได 4. อธิบายเกยี่ วกบั คา สมั บูรณข องจํานวนจริงและหาคาสมบรู ณของจํานวนจรงิ ไดขอบขายเนือ้ หา เร่อื งที่ 1 ความสัมพนั ธของระบบจํานวนจริง เรอ่ื งท่ี 2 สมบตั ขิ องการบวก การลบ การคณู และการหารจาํ นวนจรงิ เรอ่ื งท่ี 3 สมบัตกิ ารไมเทากนั เรอ่ื งที่ 4 คา สัมบรู ณ
2เรอ่ื งที่ 1 ความสมั พนั ธของระบบจํานวนจริง 1.1. โครงสรา งของจํานวนจรงิ จาํ นวนจริงจาํ นวนอตรรกยะ จํานวนตรรกยะจาํ นวนทเี่ ขียนใน ทศนยิ ม จํานวนเต็ม ทศนิยมซํ้า เศษสวน รูปของกรณฑ ไมร ูจ บไมซาํ้ หรอื เรียกวา รากหรอื รูต จาํ นวนนับหรอื ศนู ย จาํ นวน จาํ นวนเตม็ บวก เตม็ ลบจาํ นวนจรงิ ( Real number ) ประกอบดว ยจาํ นวนตรรกยะและจาํ นวนอตรรกยะ1. จํานวนตรรกยะ ( Rational number ) ประกอบดวย จาํ นวนเต็ม ทศนิยมซํ้า และเศษสวน 1. จํานวนเตม็ ซ่ึงแบง เปน 3 ชนดิ คอื 1.1 จํานวนเต็มบวก (I+) หรอื จํานวนนับ (N) I+ = N = {1, 2, 3, …} 1.2 จาํ นวนเต็มศนู ย มีจาํ นวนเดยี ว คือ {0} 1.3 จํานวนเตม็ ลบ (I-) I- = {-1, -2, -3, …} 2. เศษสว น เชน 3 , 3 3 , - 5 เปน ตน 4 47 3. ทศนยิ มซา้ํ เชน 0.6 , 0.12 , 0.5322. จาํ นวนอตรรกยะ ( Irrational Number ) คอื จํานวนทไ่ี มใ ชจ าํ นวนตรรกยะ เขียนไดในรูปทศนิยมไมซ้ํา เชน 2 มีคาเทา กับ 1.414213… 3 มคี าเทา กบั 1.7320508… มีคาเทา กบั 3.14159265… 0.1010010001… มีคาประมาณ 1.101
3 แบบฝก หดั ท่ี 11.จาํ นวนทก่ี าํ หนดใหต อไปนี้จาํ นวนใดเปน จํานวนนบั จํานวนเตม็ จาํ นวนตรรกยะ หรือจาํ นวนอตรรกยะขอ จาํ นวนจรงิ จาํ นวนนบั จาํ นวนเต็ม จาํ นวนตรรกยะ จํานวนอตรรกยะ1) 9, 7 ,5 2 , 2,0,1 232) 5,7 7 ,3,12, 5 343) 2.01,0.666...,-13 ,4) 2.3030030003...,5) , 1 , 6 , 2 ,7.5 33 26) 25,17, 12 , 9,3,12, 1 522. จงพิจารณาวาขอความตอไปนี้เปน จริงหรอื เท็จ 1) 0.001001001001…เปน จาํ นวนตรรกยะ 2) 0.110110110110… เปน จาํ นวนตรรกยะ 3) 0.767667666766667… เปน จาํ นวนตรรกยะ 4) 0.59999…. เปน จํานวนตรรกยะ 5) 0 เปนจํานวนจรงิ 6) จาํ นวนทเี่ ขียนไดใ นรปู ทศนยิ มซ้าํ ไมเ ปน จาํ นวนตรรกยะ
42. สมบตั กิ ารบวก การลบ การคณู และการหารจํานวนจรงิ สมบตั ิของจาํ นวนจริง คอื การนาํ จํานวนจรงิ ใด ๆ มากระทําตอ กนั ในลักษณะ เชนการบวก การลบ การคณู การหาร หรือกระทาํ ดว ยลกั ษณะพิเศษทกี่ าํ หนดขนึ้ แลวมีผลลพั ธที่เกดิ ขนึ้ ในลกั ษณะหรือทาํ นองเดียวกัน สมบัตทิ ใ่ี ชใ นการบวก การลบ การคูณ และการหาร มดี ังน้ี2.1 สมบตั กิ ารเทากันของจํานวนจริง กาํ หนด a, b, c เปนจํานวนจรงิ ใดๆสมบัติการสะทอ น a=aสมบตั กิ ารสมมาตร ถา a = b แลว b = aสมบตั กิ ารถายทอด ถา a = b และ b = c แลว a = cสมบัตกิ ารบวกดว ยจาํ นวนท่เี ทากันทงั้ สองขา ง ถา a = b แลว a + c = b + cสมบัตกิ ารคณู ดว ยจํานวนท่ีเทา กนั ทัง้ สองขา ง ถา a = b แลว ac bc2.2 สมบตั กิ ารบวกและการคณู ในระบบจาํ นวนจริง เม่อื กําหนดให a, b และ c เปนจํานวนจรงิ ใดๆ2.2.1 สมบัตกิ ารบวกสมบัตปิ ด ถา a R และ b R แลว a b Rสมบัตกิ ารสลบั ที่ ab= baสมบัตกิ ารเปลี่ยนกลมุ a (b c) = (a b) cสมบัตกิ ารมเี อกลกั ษณก ารบวก คอื 0 0a a0aสมบตั กิ ารมีอนิ เวอรส การบวก a มอี นิ เวอรส การบวก คอื a และ a มีอินเวอรส การบวก คือ a จะได a (a) (a) a 0 นั่นคือจํานวนจรงิ a จะมี a เปน อนิ เวอรสของการบวก 2.2.2 สมบัติการคณู ถา a R และ b R แลว ab Rสมบัตปิ ด ab = baสมบัติการสลับท่ี a(bc) = (ab)cสมบัตกิ ารเปล่ียนกลมุ 1. a = a .1 = aสมบัตกิ ารมีเอกลกั ษณก ารบวก คอื 1สมบัตกิ ารมอี นิ เวอรส การคณู a มอี นิ เวอรส การคณู คอื 1 และ(ยกเวน 0 เพราะ 1 ไมม คี วามหมาย) a 0 1 มีอินเวอรส การคณู คอื a a
5สมบตั ิการแจกแจง จะได a 1 1 a 1 ; a 0 a a นั่นคอื จํานวนจริง a จะมี 1 เปน a อินเวอรส การคณู a(b c) ab ac (b c)a ba caจากสมบัตขิ องจาํ นวนจริงสามารถใชพิสจู นท ฤษฎีบทตอ ไปนไี้ ด ทฤษฎบี ทท่ี 1 กฎการตดั ออกสําหรับการบวก เมอื่ a, b, c เปน จํานวนจริงใดๆ ถา a + c = b + c แลว a = b ถา a + b = a + c แลว b = c ทฤษฎบี ทท่ี 2 กฎการตดั ออกสาํ หรับการคณู เม่ือ a, b, c เปนจํานวนจรงิ ใดๆ ถา ac = bc และ c ≠ 0 แลว a = b ถา ab = ac และ a ≠ 0 แลว b = c ทฤษฎบี ทท่ี 3 เม่ือ a เปนจาํ นวนจริงใด ๆ a·0=0 0·a=0 ทฤษฎบี ทท่ี 4 เม่อื a เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ (-1)a = -a a(-1) = -a ทฤษฎบี ทที่ 5 เมือ่ a, b เปน จาํ นวนจริงใด ๆ ถา ab = 0 แลว a = 0 หรือ b = 0 ทฤษฎบี ทที่ 6 เม่อื a เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ a(-b) = -ab (-a)b = -ab (-a)(-b) = ab
6การลบและการหารจาํ นวนจรงิ • การลบจํานวนจริง บทนยิ าม เมอื่ a, b เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ a - b = a + (-b) นั่นคือ a - b คอื ผลบวกของ a กับอนิ เวอรสการบวกของ b • การหารจํานวนจรงิ บทนิยาม เม่อื a, b เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ เม่ือ b ≠ 0 a = a(b1 ) b น่นั คอื a คือ ผลคูณของ a กับอินเวอรสการคณู ของ b b
7 แบบฝก หดั ที่ 21. ใหผ เู รียนเติมชอ งวา งโดยใชส มบัตกิ ารเทา กนั 1. ถา a = b แลว a +5 = ………………………………………………………..…………… 2. ถา a = b แลว -3a = …………………………………………………………………..… 3. ถา a + 4 = b + 4 แลว a =……………………………………………………….………… 4. ถา a +1 = b +2 และ b +2 = c -5 แลว a +1………………………………….…..……… 5. ถา x2 2x 1 x 12 แลว x 12 .…………………………………………… 6. ถา x 3 y แลว 2x = ………………………………………………………….………… 2 7. ถา x2 1 2x แลว x 12 = ……………………………………………….….……… 8. ถา ab a b แลว 1 ab= ……………………………………………….…………. 22. กําหนดให a , b และ c เปน จํานวนจริงใด ๆ จงบอกวาขอ ความในแตล ะขอ ตอ ไปนเ้ี ปนจรงิ ตามสมบัตใิ ด 1) 3 + 5 = 5 + 3 2) (1+2)+3 = 1+(2+3) 3) (-9)+5 = 5 +(-9) 4) (8 X 9) เปนจาํ นวนจริง 5) 5 X 3 = 15 = 3 X 5 6) 2(a+b) = 2a +2b 7) (a + b) + c = a+( b + c) 8) 9a +2a = 11 a = 2a + 9a 9) 4 X (5 + 6) = (4 X 5) + (4 X 6) 10) c(a +b) = ac +bc3 . เซตทีก่ าํ หนดใหในแตล ะขอตอ ไปนี้ มหี รอื ไมม ีสมบัตปิ ดของการบวกหรอื สมบัตปิ ด ของการคณู 1) { 1 , 3 , 5 } 2) { 0 } 3) เซตของจาํ นวนจรงิ 4) เซตของจาํ นวนตรรกยะ 5) เซตของจํานวนทีห่ ารดว ย 3 ลงตวั
84. จงหาอินเวอรส การบวกของจาํ นวนจริงในแตล ะขอ ตอ ไปน้ี 1) อนิ เวอรส การบวกของ 8 2) อินเวอรส การบวกของ - 5 3) อินเวอรส การบวกของ - 0.567 4) อนิ เวอรส การคูณของ 3 2 5) อนิ เวอรส การคณู ของ 1 5 3
93. สมบัติการไมเทากนั ใหผ เู รียนทบทวนเรือ่ งสมบตั กิ ารเทา กันในเรอื่ งทีผ่ านมาเพอื่ เปนความรูเ พิ่มเติม สว นในเร่อื งนีจ้ ะเนน เร่อื งสมบัตกิ ารไมเทา กันเทาน้นั ประโยคคณิตศาสตรจะใชสัญลักษณ > , < , ≥ , ≤ , ≠ แทนการไมเทา กนั เรยี กการไมเ ทากนัวา “อสมการ” (Inequalities) บทนยิ าม a < b หมายถึง a นอ ยกวา b a > b หมายถงึ a มากกวา bกําหนดให a, b, c เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ 1. สมบัติการถา ยทอด ถา a > b และ b > c แลว a > c 2. สมบตั กิ ารบวกดว ยจาํ นวนท่ีเทา กัน ถา a > b แลว a + c > b+ c 3. จาํ นวนจรงิ บวกและจํานวนจรงิ ลบ a เปนจาํ นวนจริงบวก กต็ อเม่อื a > 0 a เปน จํานวนจรงิ ลบ กต็ อ เมอ่ื a < 0 4. สมบตั กิ ารคณู ดว ยจํานวนเทา กนั ท่ีไมเทากบั ศนู ย กรณที ี่ 1 ถา a > b และ c > 0 แลว ac > bc กรณที ี่ 2 ถา a > b และ c < 0 แลว ac < bc 5. สมบัติการตัดออกสําหรับการบวก ถา a + c > b + c แลว a > b 6. สมบตั ิการตัดออกสาํ หรับการคูณ กรณีที่ 1 ถา ac > bc และ c > 0 แลว a > b กรณีท่ี 2 ถา ac > bc และ c < 0 แลว a < bบทนยิ าม a≤b หมายถงึ a นอยกวาหรอื เทากบั b a≥b หมายถงึ a มากกวาหรอื เทากับ b a<b<c หมายถงึ a < b และ b < c a≤b≤c หมายถึง a ≤ b และ b ≤ c
10ชวง (Interval) ชว ง หมายถึง เซตของจํานวนจริงทเ่ี ปนสว นใดสวนหนึง่ ของเสน จาํ นวน 3.1 ชวงของจาํ นวนจรงิ กําหนดให a, b เปน จาํ นวนจรงิ และ a < b1. ชว งเปด (a, b) (a, b) = { x | a < x < b }2. ชว งปด [a, b] [a, b] = { x | a ≤ x ≤ b }3. ชวงครึง่ เปด (a, b] (a, b] = { x | a < x ≤ b }4. ชวงครึ่งเปด [a, b) [a, b) = { x | a ≤ x < b}5. ชว ง (a, ∞) (a, ∞) = { x | x > a}6. ชว ง [a, ∞) [a, ∞) = { x | x ≥ a}7. ชวง (-∞, a) (-∞, a) = { x | x < a}8. ชว ง (-∞, a] (-∞, a] = { x | x ≤ a}
11 แบบฝกหดั ที่ 31. ใหผ ูเรียนบอกสมบตั กิ ารไมเ ทากนั (เม่อื ตวั แปรเปน จาํ นวนจริงใดๆ) 1. ถา x 3 แลว 2x 6 ……………………………………………………………….. 2. ถา y7 แลว -2y < 14 ……………………………………………………………….. 3. ถา x+1 6 แลว x+2 7 ………………………………………………………….. 4. ถา y+3 5 แลว y 2 ……………………………………………………………… 5. ถา x 7 และ 7 y แลว xy ………………………………………………………. 6. ถา a 0 แลว a+1 0 +1 …………………………………………………………. 7. ถา b 0 แลว b + (-2) 0+(-2) …………………………………………………… 8. ถา c -2 แลว (-1)c (-1)(-2) …………………………………………………….2. จงใชเ สน จาํ นวนแสดงลักษณะของชว งของจํานวนจริงตอ ไปนี้ 1) (2,7) 2) [3,6] 3) [-1,5) 4) (-1,4]
125) (2, )6) (- ,4)7) (0,8)8) [-5,4) -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
134. คา สมบูรณ คา สมั บรู ณข องจาํ นวนจริง หมายถงึ ระยะหา งจากจดุ ศนู ยบ นเสน จํานวน พิจารณาคาสมั บรู ณของ 4 และ -4 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 4 อยหู างจาก 0 4 หนว ย คาสัมบูรณข อง 4 คอื 4 -4 อยหู างจาก 0 4 หนว ย คาสัมบูรณของ -4 คือ 4 น่ันคือ คา สัมบรู ณข องจาํ นวนจริงใด ๆ ตอ งมีคามากกวา หรือเทา กบั ศนู ยเสมอ สัญลักษณแ ทนคาสัมบูรณค ือ | | เชน คา สมั บรู ณข อง 4 คอื |4| คาสมั บูรณของ – 4 คือ |-4|บทนิยาม กําหนดให a เปนจํานวนจริง4.1 สมบตั ขิ องคา สัมบูรณ 1. | x | = | -x | 2. | xy | = | x||y | 3. x = x yy 4. | x - y | = | y - x | 5. | x |2 = x2 6. | x + y | ≤ | x | +| y | 6.1 ถา xy > 0 แลว | x + y | = | x | + | y | 6.2 ถา xy < 0 แลว | x + y | < | x | + | y | 7. เมอื่ a เปน จาํ นวนจริงบวก | x | < a หมายถงึ -a < x < a | x | ≤ a หมายถงึ -a ≤ x ≤ a 8. เม่อื a เปนจาํ นวนจริงบวก | x | > a หมายถึง x < -a หรือ x > a | x | ≥ a หมายถงึ x ≤ -a หรอื x ≥ a
14 แบบฝกหดั ที่ 41) X 2 x -2 หรือ x -2 เซตคําตอบของอสมการ คือ ...........................................................................................................2) X < 3 -3 < X < 3 เซตคําตอบของอสมการ คือ.............................................................................................................3) X - 4 < 3 จะได -3 < X – 4 < 3 -3+4<X<3+4 1<X<7 เซตคาํ ตอบของอสมการ คอื ............................................................................................................4) 2 - X 3 จะได 2 – X - 3 หรอื 2 – X 3 - X -3 -2 หรือ - X - 3 -2 - X -5 หรอื –X 1 - X 5 หรอื X -1 เซตคําตอบของอสมการ คือ............................................................................................................
15 บทท่ี 2เลขยกกําลังทม่ี ีเลขชก้ี ําลงั เปนจํานวนตรรกยะสาระสําคัญ 1. อา นวา a ยกกําลัง n โดยมี a เปน ฐาน และ n เปน เลขชก้ี ําลงั 2. อานวา กรณฑที่ n ของ a หรืออา นวา รากท่ี n ของ a 3. จํานวนจรงิ ทอี่ ยูใ นรปู เลขยกกาํ ลังทมี่ เี ลขชก้ี าํ ลงั เปนจํานวนตรรกยะจะมคี วามสมั พันธก บั จาํ นวนจริงท่อี ยูในรูปของกรณฑหรอื ราก ( root ) ตามความสมั พันธดงั ตอไปนี้ และ 4. การบวก ลบ คณู หาร จาํ นวนที่มีเลขช้ีกําลงั เปนจํานวนตรรกยะโดยใชบทนยิ ามการบวก ลบ คูณ หาร เลขยกกําลงั ของจาํ นวนเต็มผลการเรยี นรทู ่คี าดหวงั 1. อธบิ ายความหมายและบอกความแตกตางของจาํ นวนตรรกยะและอตรรกยะได 2. อธบิ ายเก่ียวกับจาํ นวนจรงิ ท่ีอยใู นรปู เลขยกกําลงั ที่มีเลขชก้ี าํ ลงั เปนจํานวนตรรกยะ และ จาํ นวนจริงในรูปกรณฑได 3. อธบิ ายความหมายและหาผลลัพธท ่ีเกดิ จากการบวก การลบ การคณู การหาร จํานวนจริงท่ี อยใู นรปู เลขยกกาํ ลังทม่ี ีเลขชกี้ าํ ลังเปน จาํ นวนตรรกยะ และจํานวนจริงในรูปกรณฑไ ดขอบขา ยเนอ้ื หา เร่อื งท่ี 1 จาํ นวนตรรกยะและอตรรกยะ เรอ่ื งที่ 2 จาํ นวนจริงในรูปกรณฑ เรือ่ งที่ 3 การบวก การลบ การคณู การหาร จาํ นวนท่ีมเี ลขชี้กาํ ลังเปน จาํ นวนตรรกยะและ จาํ นวนจรงิ ในรูปกรณฑ
16เรอ่ื งท่ี 1 จํานวนตรรกยะ และจํานวนอตรรกยะ 1.1 จํานวนตรรกยะ หมายถงึ จํานวนทเ่ี ขียนแทนในรปู เศษสวน a เมื่อ a และ b เปน จาํ นวนเตม็ bและ b 0 ตัวอยาง จาํ นวนทเ่ี ปน จาํ นวนตรรกยะ เชน จํานวนเต็ม , เศษสว น , ทศนยิ มซาํ้ เปนตน 1.2 จาํ นวนอตรรกยะ หมายถึง จาํ นวนทไ่ี มส ามารถเขียนใหอยูใ นรูปของเศษสว น a เมื่อ a และ b bเปน จาํ นวนเตม็ และ b 0 จาํ นวนอตรรกยะประกอบดว ยจาํ นวนตอ ไปน้ี เปนทศนิยมแบบไมซ ้ํา เชน1.235478936... 5.223322233322223333...ความแตกตา งระหวางจาํ นวนตรรกยะ และจาํ นวนอตรรกยะจํานวน จํานวนเต็ม เศษสวน ความแตกตาง คา ทางพีชคณติตรรกยะ มี มี ทศนิยม - คา ทางพชี คณิตท่หี าคาไดอตรรกยะ ลงตวั หรือไดคาํ ตอบเปน ไมม ี ไมม ี - ทศนิยมรจู บ เศษสว น - ทศนิยมรจู บแบบซ้าํ - คาทางพชี คณิตทม่ี คี า เฉพาะ เชน - ทศนยิ มไมร จู บ 2, 3, 5, ,e เปน ตน1.3 เลขยกกําลังทีม่ เี ลขชี้กําลงั เปน จาํ นวนเต็มนิยามเลขยกกําลัง an หมายถึง a a a a…………….. a n ตวั เม่อื a เปนจาํ นวนใด ๆ และ n เปนจาํ นวนเต็มบวก เรยี ก an วาเลขยกกําลงั ทมี่ ี a เปน ฐาน และ n เปนเลขชีก้ ําลงั เชน 54 = 5 5 5 5 = 625ถา a,b เปนจาํ นวนจริงใด m และ n เปนจาํ นวนเต็มบวก จะไดก ฎของการยกกาํ ลงั ดังน้ีกฎขอ ที่ 1 =a m b n a mnกฎขอท่ี 2 (ab)n = a nbnกฎขอ ท่ี 3 =am n a mn
17กฎขอที่ 4 เมอ่ื x 0 am = 1 ถา m n bn = amn ถา m n =1 ถา n mกฎขอ ท่ี 5 a nm เมือ่ y 0 x n = xn y ynนิยาม a0 1 เม่อื a เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ ทีไ่ มเ ทา กับศนู ยนยิ าม an 1 เม่อื a เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่ไมเ ทากบั ศนู ยแ ละ n เปนจาํ นวนเตม็ บวก an
18 แบบฝก หดั ที่ 11. จงบอกฐานและเลขช้กี าํ ลงั ของเลขยกกาํ ลงั ตอ ไปนี้ 1) 63 ฐานคอื .....................................เลขชก้ี าํ ลังคือ.................................2) 1.25 ฐานคอื .................................เลขชีก้ าํ ลังคอื .................................3) 50 ฐานคอื .................................เลขชี้กาํ ลงั คอื ...................................4) 1 3 ฐานคือ.....................................เลขช้กี าํ ลังคอื ................................. 22. จงหาคา ของเลขยกกาํ ลงั ตอไปนี้1) 45 = ……………………….2) 1 4 = ………………………..…. 5 3) 1.23 = ………………………….4) 36 = ………………………….3. จงทาํ ใหอยใู นรูปอยางงา ยและเลขชี้กาํ ลงั เปน จาํ นวนเตม็1) a2 4 = …………………………. 2) 5 3 4 = …………………………. = ………………………….3) 2 4 5 = …………………………. 3 4) 1.15 3 5) x2 5 = ………………………….
19เรอ่ื งท่ี 2 จํานวนจรงิ ในรปู กรณฑ การเขียนเลขยกกาํ ลังเม่ือเลขชี้กาํ ลังเปน จาํ นวนตรรกยะสามารถทําไดโดยอาศัยความรเู รื่อง รากที่ nของจํานวนจรงิ a ( ซึ่งเขยี นแทนดว ยสญั ลกั ษณ a ) และมีบทนยิ ามดังนี้นยิ าม ให n เปน จํานวนเต็มบวกทีม่ ากกวา 1 a และ b เปนจาํ นวนจริง a เปนรากที่ n ของ b กต็ อ เม่ือ an bตัวอยางan b ก็ตอ เม่อื an b23 8 กต็ อ เม่ือ 23 8 3 5 243 ก็ตอ เม่ือ 35 243ลองทําดู 9 = 33 3 เปน รากที่ 2 ของ 9 3 8 = ………….……………………….. 4 81 = …………………………………… 5 32 = …………………………………….สมบตั ิของรากท่ี n ของจํานวนจริง เมอ่ื n เปน จาํ นวนเตม็ บวกทม่ี ากกวา 1 1 n a an 1. a เมือ่ a 0 เม่อื a 0 และ n เปน จํานวนค่ี2.) n an = a3) n ab เมอื่ a 0 และ n เปนจาํ นวนคู | a | = n a n b4). n a = n a ,b0 b nb
20ตวั อยาง 1 24 = 16 และ (-2)4 = 16 2 เปนรากท่ี 4 ของ 16 เพราะ 24 = 16 -2 เปน รากที่ 4 ของ 16 เพราะ (-2)4 = 16 รากที่ 4 ของ 16 คือ 2 และ -2ตัวอยา ง 2 23 = 8 2 เปน รากท่ี 3 ของ 8 เพราะ 23 = 8 แต -2 ไมใชเปนรากท่ี 3 ของ 8 เพราะ (-2)3 = -8 รากที่ 3 ของ 8 คือ 2 นิยาม ให a เปนจาํ นวนจริง และ n เปน จาํ นวนเตม็ บวกท่มี ากกวา 1 จะเรียก n a วา รากท่ี n ของ a หรอื กรณฑอันดับที่ n ของ a โดยที่ 1. ถา n เปนจํานวนคูแลว a ตอง 0 2. ถา n เปน จาํ นวนคแี่ ลว a เปนจาํ นวนจรงิหมายเหตุ 1. เคร่อื งหมาย “ ” เรยี กวา เครือ่ งหมาย กรณฑ เขยี น “n” วาเปน อันดบั ท่ี 2. เมอ่ื a เปน จาํ นวนจริงใด ๆ จํานวนจริงที่เขยี นในรูป n a เรียก กรณฑ เชน5, 3 25, 3 64
21 แบบฝกหัดท่ี 21. จงหาคาของรากท่ี n ของจํานวนจริงตอไปนี้ 1) 25 = ………………………. 2) 64 = ………………………. 3) 5 243 = ………………………. 4) 3 125 = ……………………….5) 8 = ………………………. 3 276) 4 16 = ……………………….7) 3 125 = ……………………….8) 64 = ……………………….9) 3 8 = ……………………….10) 4 16 = ……………………….2. จงเขียนจํานวนตอไปนใี้ หอยใู นรปู อยางงาย โดยใชส มบัติของ รากท่ี n1) 52 = ……………………..………… 2) 3 23 = ………………….………..3) 3 (2)3 = ……………………………. 4) 5 (2)5 =……………….………..5) (3)2 = ………………..…………… 6) 4 (2)4 =………………………..7) 200 = …………………………… 8) 75 = …………………..……….9) 3 240 = …………………………… 10) 45 = …………………..……….11) 5 15 = …………….……………. 12) 3 81 3 32 = …………………….13) 4 = 4 = ……………………. 14) 3 5 = ………………………….. 99 8
22เร่อื งท่ี 3 การบวก การลบ การคูณ การหาร จาํ นวนทมี่ เี ลขชกี้ าํ ลงั เปน จาํ นวนตรรกยะและจาํ นวนจรงิ ในรปู กรณฑ 3.1 การบวก และการลบจาํ นวนทีอ่ ยใู นรปู กรณฑ สมบตั ิของการบวกจํานวนจริง ขอ หนงึ่ ทสี่ ําคญั และมกี ารใชม าก คอื สมบตั ิการแจกแจงในการบวก พจนค ลา ย ดังตัวอยา ง 1) 3x 5x 3 5x 8x สมบัตขิ องการแจกแจง 2) 8a 3a 8 3a 5a ดวยวิธกี ารเชน น้ีเราสามารถนํามาใชใ นเรอื่ งการบวก การลบ ของจาํ นวนท่ีอยใู นรูปกรณฑท ี่เรยี กวา “พจนค ลา ย” ซึง่ เปนกรณฑอ นั ดบั เดียวกนั จาํ นวนท่อี ยภู ายในเครือ่ งหมายกรณฑเ ปน จํานวนเดยี วกนั เราทราบวา 3 2 3 2 และ 5 2 5 2 ดงั นั้น 3 2 5 2 3 2 5 2 3 5 2 (สมบัตกิ ารแจกแจง) 8 2 ตัวอยา งที่ 1 จงหาคา ของ 12 27 3 วธิ ที ํา 12 27 3 = 4 3 9 3 3 = 2 33 3 3 = 2 3 1 3 = 43 ตัวอยา งท่ี 2 จงหาคาของ 20 45 125 วธิ ีทาํ 20 45 125 = 4 5 9 5 25 5 = 2 53 55 5 = 2 3 5 5 =0 5 =0 ตวั อยางท่ี 3 จงหาคา ของ 3 20 2 18 45 8 วธิ ีทํา 3 20 2 18 45 8 = 32 5 23 2 3 5 2 2 = 6 56 23 52 2 = 6 53 56 22 2 = 3 58 2
233.2 การคณู และการหารจํานวนทอ่ี ยใู นรูปกรณฑ การคูณ จากสมบัติขอท่ี 3 ของรากท่ี n ทก่ี ลาววา n ab n a n b เมอ่ื n a และ n b เปน จาํ นวนจริงตวั อยา งที่ 2 (3 8)(5 2) = 3 8 5 2
24การหารใชสมบตั ิขอ 4 ของรากที่ n ท่ีกลา ววาna a เมื่อ b 0 nnb bหรอื ใชสมบตั ขิ อ 3 ของรากที่ n ท่กี ลา ววา =2หรือใชส มบัติทวี่ า ดว ยการคณู ตัวเศษและตวั สว นดวยจํานวนเดียวกัน = 20 5 = 100 = 10 5 55 =2
25 แบบฝกหัดที่ 3จงทาํ จาํ นวนตอ ไปนี้ใหอ ยใู นรูปอยางงา ย 1) 8x2 2) 4 256 3) 3 8 y6 4) 5 32 5) 3 8 2 32 6) 3 5 10 2 5 7) 3 2a 2 3 4a 8) 3 54 3 4
263.2 เลขยกกําลงั ทมี่ ีกําลงั เปน จํานวนตรรกยะ บทนิยาม เมอื่ a เปน จํานวนจรงิ n เปน จาํ นวนเตม็ ท่มี ากกวา 1 และ a มีรากท่ี n จะไดว า 1 an n aตวั อยา งท่ี 1 1 1 93 3 9 32 3 1 1 73 3 7 82 8บทนิยาม ให a เปน จาํ นวนเตม็ ท่ี n > 0 และ m เปน เศษสว นอยา งต่ําจะไดว า n
27 แบบฝก หดั ท่ี 41. จงทาํ จาํ นวนตอ ไปนใี้ หอยใู นรปู อยา งงาย1) 8x2……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 2) 3 3 27………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 3) ( 2 8 18 32)2……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….4) 5 32 26 3 27 3 (64) 2…………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………
28 215) 8 3 18 2 4 144 6……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………….
29บทท่ี 3 เซตสาระสาํ คัญ 1. เซต โดยท่วั ไปหมายถงึ กลมุ คน สัตว สง่ิ ของ ทร่ี วมกนั เปนกลมุ โดยมสี มบตั บิ างอยา ง รว มกนั และบรรดาสิ่งท้ังหลายท่อี ยใู นเซตเราเรยี กวา “ สมาชกิ ” ในการศกึ ษาเรือ่ งเซตจะ ประกอบไปดว ย เซต เอกภพสมั พัทธ สบั เซตและเพาเวอรเ ซต 2. การดาํ เนนิ การบนเซต คอื การนําเซตตาง ๆ มากระทํารวมกนั เพอื่ ใหเ กดิ เปน เซตใหม ซ่ึง ทาํ ได 4 วิธคี ือ การยูเน่ยี น การอนิ เตอรเซคชัน่ ผลตางระหวางเซต และการคอมพลเี มนต 3. แผนภาพเวนน – ออยเลอร จะชว ยใหก ารพจิ ารณาเกี่ยวกบั เซตไดง า ยข้นึ โดยใชหลกั การคือ 3.1 ใชรูปสเ่ี หล่ียมผืนผาแทนเอกภพสัมพทั ธ “U” 3.2 ใชว งกลมหรอื วงรแี ทนเซตตา ง ๆ ทเ่ี ปนสมาชกิ ของ “U” และเขียนภายในสเี่ หลยี่ มผนื ผาผลการเรียนรทู ่ีคาดหวงั 1. อธบิ ายความหมายเก่ียวกับเซตได 2. สามารถหายเู นี่ยน อนิ เตอรเ ซกช่ัน ผลตางของเซต และคอมพลีเมนต ได 3. เขยี นแผนภาพแทนเซตและนําไปใชแ กป ญ หาท่เี กย่ี วกบั การหาสมาชกิ ของเซตไดขอบขา ยเน้อื หา เรอ่ื งที่ 1 เซต เร่อื งท่ี 2 การดําเนนิ การของเซต เรอื่ งที่ 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรแ ละการแกป ญ หา
30เรอื่ งที่ 1 เซต (Sets) 1.1 ความหมายของเซต เซต หมายถึง กลมุ สงิ่ ของตาง ๆ ไมว าจะเปน คน สัตว ส่งิ ของหรือนิพจนท างคณติ ศาสตรซึ่งระบุสมาชิกในกลุม ได ยกตวั อยา ง เซต เชน 1) เซตของวิทยาลยั เทคนิคในประเทศไทย 2) เซตของพยญั ชนะในคาํ วา “คุณธรรม” 3) เซตของจาํ นวนเต็ม 4) เซตของโรงเรียนระดบั มธั ยมศึกษาในจงั หวดั สกลนคร เรยี กส่ิงตา ง ๆ ท่ีอยูใ นเซตวา “สมาชิก” ( Element ) ของเซตน้นั เชน 1) วทิ ยาลัยเทคนิคดอนเมืองเปนสมาชิกเซตวทิ ยาลัยเทคนิคในประเทศไทย 2) “ร” เปน สมาชิกเซตพยญั ชนะในคาํ วา “คุณธรรม” 3) 5 เปนสมาชกิ ของจํานวนเตม็ 4) โรงเรยี นดงมะไฟวทิ ยาเปนสมาชกิ เซตโรงเรยี นระดบั มธั ยมศึกษาในจงั หวดั สกลนคร 1.2 วิธกี ารเขยี นเซต การเขียนเซตเขยี นได 2 แบบ 1. แบบแจกแจงสมาชิกของเซต โดยเขยี นสมาชกิ ทกุ ตัวของเซตลงในเคร่ืองหมายวงเลบ็ปกกาและใชเครื่องหมายจุลภาค (,) ค่นั ระหวา งสมาชกิ แตล ะตวั น้นั ตวั อยา งเชน A = {1, 2, 3, 4, 5} B = { a, e, i, o, u} C = {...,-2,-1,0,1,2,...} 2. แบบบอกเง่ือนไขของสมาชิกในเซต โดยใชต วั แปรแทนสมาชิกของเซต และบอกสมบตั ขิ องสมาชิกในรปู ของตวั แปร ตัวอยา งเชน A = { x | x เปน จาํ นวนเต็มบวกท่ีมคี านอยกวาหรอื เทา กับ 5} B = { x | x เปนสระในภาษาอังกฤษ} C = {x | x เปน จาํ นวนเต็ม} สญั ลกั ษณเซต โดยท่วั ๆ ไป การเขยี นเซตหรอื การเรยี กชอ่ื ของเซตจะใชอ ักษรภาษาองั กฤษตวั พิมพใหญไ ดแก A , B , C , . . . , Y , Z เปน ตน ทงั้ นเ้ี พ่ือความสะดวกในการอางองิ เมื่อเขียนหรือกลาวถงึ เซตนัน้ ๆ ตอ ไป สาํ หรบั สมาชิกในเซตจะเขียนโดยใชอกั ษรภาษาองั กฤษตวั พิมพเล็ก
31 มสี ัญลักษณอ กี อยา งหนงึ่ ทีใ่ ชอยเู สมอ ๆในเร่ืองเซต คือสญั ลกั ษณ ( Epsilon)แทนความหมายวา อยูใน หรอื เปน สมาชิก เชน กาํ หนดให เซต A มสี มาชกิ คอื 2 , 3 , 4 , 8 , 10 ดงั นั้น 2 เปน สมาชิกของ A หรืออยูใ น A เขยี นแทนดวย 2 A 10 เปน สมาชิกของ A หรืออยใู น A เขยี นแทนดวย 10 A ใชส ญั ลกั ษณ แทนความหมาย “ไมอ ยู หรอื ไมเ ปนสมาชกิ ของเซต เชน 5 ไมเ ปน สมาชิกของเซต A เขยี นแทนดว ย 5 A 7 ไมเ ปน สมาชกิ ของเซต A เขยี นแทนดว ย 7 Aขอ สงั เกต 1. การเรยี งลาํ ดับของแตละสมาชกิ ไมถ ือเปนสิ่งสําคญั เชน A = { a , b , c } B = {b,c,a} ถอื วาเซต A และเซต B เปน เซตเดยี วกัน 2. การนับจาํ นวนสมาชกิ ของเซต จํานวนสมาชกิ ทเ่ี หมือนกนั จะนับเพยี งคร้ังเดยี ว ถงึ แมจ ะเขียนซํา้ ๆ กนั หลาย ๆ คร้ัง เชน A = { 0 , 1 , 2 , 1 , 3 } มีจาํ นวนสมาชกิ 4 ตัว คอื 0 , 1 , 2 , 3 เปนตน1.3 ชนดิ ของเซต 1.3.1 เซตวาง ( Empty Set or Null Set )บทนิยาม แทนเซตวาง เซตวาง คือ เซตทีไ่ มมีสมาชิก ใชสญั ลกั ษณ หรือ { } ( เปนอกั ษรกรกี อา นวา phi)ตวั อยา ง เชน A = { x | x เปนชอื่ ทะเลทรายในประเทศไทย } ดังนั้น A เปนเซตวา ง เนือ่ งจากประเทศไทยไมมที ะเลทราย B = { x | x I+ และ x + 2 = x } ดังนนั้ B เปน เซตวาง เนอื่ งจากไมมจี าํ นวนเต็มบวกทนี่ าํ มาบวกกบั 2 แลว ได ตวั มนั เอง เซต B จึงไมม ีสมาชิกขอสงั เกต 1. เซตวา งมจี ํานวนสมาชิก เทากบั ศนู ย ( ไมมสี มาชิกเลย ) 2. 0 Ø 3. { 0 } ไมเ ปน เซตวาง เพราะมจี ํานวนสมาชิก 1 ตัว
32 1.3.2 เซตจาํ กดั ( Finite Set ) บทนยิ าม เซตจาํ กดั คือ เซตทสี่ ามารถระบจุ าํ นวนสมาชิกในเซตได ตัวอยา งเชน A = { 1 , 2 , {3} } มีจาํ นวนสมาชกิ 3 ตวั หรือ n(A) = 3 B = { x | x เปน จาํ นวนเตม็ และ 1 ≤ x ≤ 100 } มีจํานวนสมาชกิ 100 ตัวหรอื n(B) = 100 C = { x | x เปนจํานวนเต็มที่อยูระหวา ง 0 กบั 1 } ดงั นนั้ C เปนเซตวา ง มจี าํ นวนสมาชกิ 0 ตัว หรือ n(C) = 0 D = { 1 , 2 , 3 , . . . , 99 } มีจํานวนสมาชกิ 99 ตวั หรอื n(D) = 99 E = { x | x เปน วนั ในหนึง่ สปั ดาห } มจี ํานวนสมาชิก 7 ตัว หรือ n(E) = 7 หมายเหตุ จาํ นวนสมาชกิ ของเซต A เขียนแทนดว ย n(A) 1.3.3 เซตอนนั ต ( Infinite Set ) บทนิยาม เซตอนันต คอื เซตทไ่ี มใชเซตจาํ กดั ( หรือเซตทีม่ ีจาํ นวนสมาชิกไมจาํ กดั น่นั คอื ไมส ามารถนับจาํ นวนสมาชกิ ไดแ นน อน )ตัวอยา งเชน A = { -1 , -2 , -3 , … } B = { x | x = 2n เมอื่ n เปนจํานวนนับ } C = { x | x เปนจาํ นวนจรงิ } T = { x | x เปน จํานวนนับ }ตวั อยา ง จงพจิ ารณาเซตตอ ไปน้ี เซตใดเปน เซตวาง เซตจาํ กดั หรอื เซตอนนั ต เซต เซตวา ง เซตจํากดั เซตอนันต1. เซตของผทู ี่เรยี นการศกึ ษานอกโรงเรียน / / /ปก ารศึกษา 25522. เซตของจาํ นวนเตม็ บวกค่ี3. เซตของสระในภาษาไทย /4. เซตของจํานวนเตม็ ท่ีหารดว ย 10 ลงตวั5. เซตของทะเลทรายในประเทศไทย / /
33 1.3.4 เซตท่ีเทากัน ( Equal Set ) เซตสองเซตจะเทากนั กต็ อ เมื่อท้งั สองเซตมสี มาชิกอยางเดยี วกนั และจํานวนเทากัน บทนิยาม เซต A เทากบั เซต B เขียนแทนดว ย A = B หมายความวา สมาชกิ ทกุ ตัวของเซต A เปนสมาชิกทกุ ตวั ของเซต B และสมาชิกของเซต B เปนสมาชกิ ทุกตัวของเซต A ถา สมาชิกตัวใดตัวหน่งึ ของเซต A ไมเปนสมาชิกของเซต B หรอื สมาชกิ บางตวั ของเซต Bไมเ ปน สมาชิกของเซต A เซต A ไมเทากับเซต B เขยี นแทนดว ย A ≠ B ตัวอยางเชน A = { 0 , { 1,2 } } B = { { 2 ,1 } , 0 } ดังนน้ั A = Bตัวอยา ง กําหนดให A = { 2 , 4 , 6 , 8 } B = { x | x เปน จํานวนเต็มบวกเลขคทู ่ีนอยกวา 10 }วิธีทาํ A = { 2 , 4 , 6 , 8 } พิจารณา B เปนจํานวนเตม็ บวกคูท ่ีนอ ยกวา 10 จะได B = { 2 , 4 , 6 , 8 } ดงั น้นั A = Bตัวอยาง กาํ หนดให A = { 2 , 3 , 5 } , B = { 5 , 2 , 3 , 5 } และ C = { x | x2 – 8x + 15 = 0 }วิธีทํา พจิ ารณา x2 - 8x + 15 = 0 ( x – 3 ) (x – 5 ) = 0 X = 3,5 C = {3,5} ดงั นนั้ A = B แต A ≠ C เพราะ 2 A แต 2 C B C เพราะ 2 B แต 2 C
34 1.3.5 เซตท่เี ทียบเทา กนั ( Equivalentl Sets ) เซตทีเ่ ทยี บเทา กัน คอื เซตทมี่ ีจํานวนสมาชิกเทา กันและสมาชิกของเชตจับคกู นั ไดพอดี แบบหน่ึงตอ แบบหน่ึง สญั ลักษณ เชต A เทียบเทา กับเชต B แทนดวย A ↔ B บทนิยาม เซต A เทยี บเทากบั เซต B เขียนแทนดว ย A ~ B หรือ A ↔ B หมายความวา สมาชิกของ A และสมาชิกของ B สามารถจบั คูห นง่ึ ตอหนง่ึ ไดพอดี ตัวอยา งเชน A = { 1 , 2 , 3 } B = {4,5,6} จะเหน็ วา จํานวนสมาชกิ ของเซต A เทากับจาํ นวนสมาชิกของ B ดังนน้ั A ↔ B C = { xy , ab } D = {0,1} ดังนั้น C ~ D เพราะจํานวนสมาชกิ เทา กนัตวั อยาง จงพิจารณาเซตแตละคูตอ ไปนวี้ า เซตคใู ดเทากนั หรือเซตคใู ดเทยี บเทา กนั 1) A = { x / x เปนจํานวนเต็ม x2 – 10x + 9 = 0 } B = {1,9} 2) C = { a , { b, c } , d } D = {1,2,{3}} 3) E = { 1 , 4 , 7 } F = {4,1,7}วิธที าํ 1) A = B และ A B เพราะมีจาํ นวนสมาชิกเทา กัน และสมาชิกเหมือนกนั ทกุ ตวั 2) C D แต C D เพราะมีจาํ นวนสมาชกิ เทา กนั แตส มาชิกแตละคูไมเหมือนกนั ทุกตวั 3) E = F และ E F เพราะมีจํานวนสมาชิกเทา กนั และสมาชิกเหมือนกนั ทกุ ตัวขอ สงั เกต1.312...6 เถถอาากภAAพส=ัมพBBทั แธแลลว ว A B B A ไมจ ําเปน ตอ งเทา กบั
35 บทนิยาม เอกภพสมั พัทธ คอื เซตท่กี ําหนดขน้ึ โดยมีขอ ตกลงกันวาจะไมกลาวถึง สิง่ อนื่ ใดนอกเหนือไปจากสมาชกิ ของเซตทีก่ ําหนด ใชส ัญลกั ษณ U แทน เอกภพสัมพทั ธ ตวั อยา งเชน กําหนดให U เปนเซตของจาํ นวนนับ และ A = x | x2 4 จงเขียนเซต A แบบแจกแจงสมาชิก ตอบ A = 2 กําหนดให U เปนเซตของจาํ นวนนับ และ A เปนจาํ นวนคู ตอบ A = 2,4,6,8,10ขอสังเกต ถาไมมกี ารกําหนดเอกภพสมั พัทธ ใหถอื วา เอกภพสัมพทั ธนั้นเปนเซตของจํานวนจรงิ
36 แบบฝก หดั ที่ 11. จงเขยี นเซตตอไปนี้แบบแจกแจงสมาชกิ 1) เซตของจังหวดั ในประเทศไทยท่มี ีช่ือขน้ึ ตนดวยพยญั ชนะ “ส” 2) เซตของสระในภาษาอังกฤษ 3) เซตของจํานวนเต็มบวกทมี่ ีสามหลัก 4) เซตของจาํ นวนคูบ วกทีม่ ีคา นอยกวา 20 5) เซตของจํานวนเตม็ ลบทมี่ คี า นอยกวา – 120 6) { x|x เปน จาํ นวนเตม็ ทีม่ ากกวา 5 และนอยกวา 15 } 7) { x|x เปนจาํ นวนเตม็ ท่ีอยูระหวาง 0 กบั 0 }2. จงบอกจาํ นวนสมาชิกของเซตตอไปน้ี 1) A = {3456} 2) B = {a,b,c,de,fg,hij,} 3) C = { x|x เปนจาํ นวนเตม็ บวกที่อยรู ะหวาง 10 ถึง 35 } 4) D = { x|x เปนจาํ นวนเตม็ บวกทน่ี อ ยกวา 9 }3. จงเขียนเซตตอไปน้แี บบบอกเง่อื นไข 1) K = { 2,4,6,8} 2) P = { 1,2,3,...} 3) H = { 1,4,9,16,25,...}4. จงพจิ ารณาเซตตอไปน้ี เปนเซตวางหรือเซตจาํ กดั หรอื เซตอนนั ต 1) เซตของสระในภาษาไทย 2) เซตของจาํ นวนเต็มท่ีอยรู ะหวาง 21 และ 300 3) A = { x | x เปนจาํ นวนเตม็ และ x 0 } 4) B = { x | x เปนจาํ นวนเต็มคทู ่นี อ ยกวา 2 } 5) C = { x | x = 9 และ x – 3 = 5 } 6) A = { x | x เปน จํานวนนับทน่ี อยกวา 1 } 7) E = { x | x เปน จาํ นวนเฉพาะ 1 x 3 } 8) F = { x | x เปนจํานวนเตม็ 4 x 5 } 9) B = { x | x เปน จํานวนนับ x2 + 3x + 2 = 0 } 10) D = { x | x เปน จํานวนเต็มทีห่ ารดวย 5 ลงตัว }
375. เซตตอไปนี้เซตใดบางท่เี ปนเซตทเ่ี ทากนั 1) A = { 2,4,6,8,10 } B = {x| x เปนจาํ นวนคูบ วก 2 ถึง 10 } 2) D = { 7,14,21,28,......343} E = {x|x = 7r และ r เปน จาํ นวนนบั ทม่ี ีคา นอ ยกวา 50 } 3) F = { x|x =3n และ n และ n } G = { 3,6,9} 4) Q = {4} H = { x|x เปน จาํ นวนเต็มและ x2 16 }
38เรื่องท่ี 2 การดําเนนิ การของเซต การดําเนนิ การที่สาํ คญั ของเซตท่จี าํ เปนตอ งรูแ ละทาํ ความเขา ใจใหถ อ งแทม ี 4 ชนดิ ไดแ ก 1. การยเู นียนของเซต 2. การอินเตอรเ ซคชน่ั ของเซต 3. คอมพลเี มน ทข องเซต 4. ผลตางของเซต 2.1 การยูเนยี นของเซต ใชส ญั ลกั ษณ “ ” บทนิยาม A B = { x | x A x B } เรียกวา ผลบวก หรอื ผลรวม (union)ของ A และ B ตัวอยา ง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A B = {0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 7} ตัวอยาง 2. ถา M = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได M L = M ตวั อยา ง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได W Z = {a , s , d , f , p , k , b} ตวั อยาง 4 A ={1,2,3} , B= {3,4,5} จะได A B = {1,2,3,4,5} 2.2 การอนิ เตอรเซคชนั ใชสัญลักษณ “ ” บทนยิ าม A B = { x|x A xB } เรยี กวา ผลตดั หรือผลทเี่ หมอื นกัน(Intersection) ของ A และ B ตวั อยา ง 1. ถา A = {0 , 1 , 2 , 3} และ B = {1 , 3 , 5 , 7} จะได A B = {1 , 3} ตัวอยา ง 2. ถา M = {x | x เปน จาํ นวนเตม็ บวก} และ L = {1 , 2 , 3 , 4} จะได M L = L
39 ตวั อยา ง 3. ถา W = {a , s , d , f} และ Z = {p , k , b} จะได W Z = { } 2.3 คอมพลเี มน ตข องเซต ใชสัญลักษณ “ / ” บทนยิ าม ถา U เปนเอกภพสัมพทั ธ คอมพลีเมนตของ A คอื เซตทีป่ ระกอบดวยสมาชกิทอี่ ยูใน แตไ มอยูใน A เขยี น A แทนคอมพลีเมน ทของ A ดงั น้ัน A = { x | x A } ตัวอยาง 1. ถา U = {0, 1, 2, 3, 4, 5} และ A = {0 ,2} จะได = {1, 3,4, 5} ตัวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปน จํานวนค}ู จะได = { x |x U และ x เปนจาํ นวนค่ี } 2.4 ผลตางของเซต ใชส ญั ลักษณ “ – ” บทนยิ าม ผลตา งระหวา งเซต A และเซต B คือ เซตท่ีประกอบดว ยสมาชกิ ของเซต A ซงึ่ไมเปนสมาชกิ ของเซต B ผลตางระหวา งเซต A และ B เขียนแทนดวย A – B ซง่ึ A - B = { x | x AxB} ตวั อยา ง 1. ถา A = {0, 1, 2, 3, 4} และ B = {3 , 4 , 5 , 6 , 7} จะได A - B = {0, 1, 2} และ B - A = {5 , 6 , 7}
40 ตัวอยาง 2. ถา U = {1, 2, 3, ... } และ C = { x|x เปน จํานวนคบู วก} จะได U – C = {x|x เปนจํานวนคบ่ี วก}สมบัติของเซตทค่ี วรทราบ ให A,B และ C เปน สบั เซตของเอกภพสมั พทั ธ U สมบัตติ อ ไปน้เี ปน จรงิ 1) กฎการสลับท่ี AB B A AB B A 2) กฎการเปลยี่ นกลมุ A B C A B C A B C A B C 3) กฎการแจงแจง A B C A B A C A B C A B A C 4) กฎเอกลักษณ A A A U A AU A 5) A A U 6) U และ U 7) A A 8) A A A และ A A A 9) A B A B 10) A และ A A
41แบบฝก หดั ท่ี 21) ถา A = { 0,1,2,3,4,5}, และ B { 1,2,3,4 } จงหา 1) A B ……………………………. 2). B A …………………………..…… 3). A B ............................................. 4). B A ……………………………..… 5). A – B……………………..…………. 6). B – A……………………………….….2). กาํ หนดให U = { 1,2,3, ... ,10 } A = { 2,4,6,8,10 } B = { 1,3,5,7,9} C = { 3,4,5,6,7 } จงหา 1. A B ……………………………………………………………………………………… 2. B C ……………………………………………………………………………………… 3. B C …………………………………………………………………………………….… 4. A C ..………………………………………………………………………………..…… 5. C ..………………………………………………………………………………..…………. 6. C A ………………………………………………………………………………..…….. 7. C B ..………………………………………………………………………………..…… 8. (A ……………………………………………….…………………………………
42เร่อื งท่ี 3 แผนภาพเวนน - ออยเลอรและการแกป ญ หา 3.1 แผนภาพเวนน - ออยเลอร การเขียนแผนภาพแทนเซตชว ยใหเขาใจเก่ียวกับความสัมพนั ธระหวา งเซตชดั เจนยงิ่ ขึน้ เรยี กแผนภาพแทนเซตวา แผนภาพของเวนน- ออยเลอร เพื่อเปน เกียรติแกน กั คณติ ศาสตรชาวองั กฤษ จอหนเวนน (John Venn พ.ศ.2377-2466) และนักคณติ ศาสตรชาวสวสิ เลโอนารด ออยเลอร (Leonard Eulerพ.ศ. 2250-2326) ซง่ึ เปนผูคดิ แผนภาพเพอื่ แสดงความสัมพนั ธร ะหวา งเซต การเขยี นแผนภาพของเวนน- ออยเลอร (Venn-Euler) เพือ่ แสดงความสัมพนั ธระหวางเซตนิยมเขยี นรูปสีเ่ หลย่ี มมุมฉากแทนเอกภพสมั พทั ธ (U) และใชรปู วงกลม วงรี หรอื รูปปดใด ๆ แทนเซตตา ง ๆ ซ่ึงเปนสบั เซตของ U ลักษณะตาง ๆ ของการเขยี นแผนภาพ มดี งั น้ี ซ่ึงแผนภาพเวนน- ออยเลอร เมอ่ื นํามาใชก บั การดาํ เนินการบนเซตแลว นน้ั จะทาํ ใหผ ูเรยี นเขา ใจในเรอ่ื งการดาํ เนินการบนเซตมากขนึ้ ดังตวั อยา งตอ ไปนี้ยเู นียน (Union) สามารถใชแ ผนภาพของเวนน- ออยเลอร แสดงใหเ ห็นกรณตี า ง ๆ ของเซตใหมท เ่ี กิดจาก ไดจากสว นที่แรเงา ดังน้ี (ระบายพื้นทข่ี องท้งั สองเซตไมวา จะมพี ้ืนทซี่ ้ํากันหรอื ไมซ ้ํากนั )
43อนิ เตอรเซกชนั (intersection) สามารถใชแ ผนภาพของเวนน- ออยเลอร แสดงใหเหน็ กรณีตา ง ๆ ของเซตใหมท ีเ่ กิดจาก ไดจ ากสวนท่ีแรเงา ดงั นี้คอมพลเี มนต (Complement) กําหนดให เซต A เปนสับเซตของเอกภพสมั พัทธ U คอมพลเี มนตของ A คือ เซตทีป่ ระกอบดว ยสมาชกิ ของเอกภพสัมพัทธ (U) แตไ มเปน สมาชิกของ A เขยี นแทนดว ย (อา นวา เอไพรม) และเพอ่ื ใหม องภาพไดช ดั ข้นึ อาจใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอรแสดงการคอมพลเี มนตข องเซต A ได ดังน้ี A คือ สวนท่ีแรเงาผลตาง (Relative Complement or Difference) สามารถใชแผนภาพของเวนน- ออยเลอร แสดงใหเห็นกรณตี า ง ๆ ของเซตใหมท ่ีเกดิ จาก A - Bไดจากสว นที่แรเงา ดังน้ี (ระบายสีเฉพาะพน้ื ท่ีของเซต A ท่ไี มใ ชพื้นทข่ี องเซต B)
Search
Read the Text Version
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- 26
- 27
- 28
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- 75
- 76
- 77
- 78
- 79
- 80
- 81
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- 87
- 88
- 89
- 90
- 91
- 92
- 93
- 94
- 95
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- 132
- 133
- 134
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- 140
- 141
- 142
- 143
- 144
- 145
- 146
- 147
- 148
- 149
- 150
- 151
- 152
- 153
- 154
- 155
- 156
- 157
- 158
- 159
- 160
- 161
- 162
- 163
- 164
- 165
- 166
- 167
- 168
- 169
- 170
- 171
- 172
- 173
- 174
- 175
- 176
- 177
- 178
- 179
- 180
- 181
- 182
- 183
- 184
- 185
- 186
- 187
- 188
- 189
- 190
- 191
- 192
- 193
- 194
- 195
- 196
- 197
- 198
- 199
- 200
- 201
- 202
- 203
- 204
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- 213
- 214
- 215
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- 223
- 224
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- 231
- 232
- 233
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- 239
- 240
- 241
- 242
- 243
- 244
- 245
- 246
- 247
- 248
- 249
- 250
- 251
- 252
- 253
- 254