การแยกตัวปรกอบของพหุนาม

การแยกตวั ประกอบพหนุ ามโดยใชส้ มบัตกิ ารแจกแจง สมบตั กิ ารแจกแจง a (b + c) = ab + ac แตถ่ า้ เขียนใหมเ่ ปน็ ab + ac = a (b + c) เรียกวา่ การแยกตวั ประกอบโดยวธิ ดี งึ ตวั รว่ ม โดยเรียก a ว่า ตวั ประกอบรว่ ม (common factor) ซงึ่ ถา้ a เป็นตัวเลข หาไดจ้ าก ห.ร.ม. แตถ่ ้า เปน็ ตวั แปร หาไดจ้ ากตวั แปรทีม่ ีเลขชีก้ าลังนอ้ ยที่สดุ ตัวอย่าง1 จงแยกตัวประกอบพหุนาม 10x+15x2 = 25x+35xx = 5x2+5xx = 5x2+x ตัวอย่าง 2 จงแยกตัวประกอบพหุนาม 16ab+24a2b-32ab2 = 28ab+38aab-48abb = 8ab2+8ab3a-8ab4b = 8ab2+3a-4b

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง เมอื่ a = 1 .พหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดยี ว (quadratic polynomial with one variable) คือ พหนุ ามทีเ่ ขียนได้ ในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a, b, c เปน็ ค่าคงตวั ที่ a ≠ 0 และ x เปน็ ตัวแปร ……..ในกรณีที่ a = 1 และ c ≠ 0 พหุนามดีกรีสองตวั แปรเดียวจะอยูใ่ นรูป x2 + bx + c ซึง่ เราสามารถแยกตวั ประกอบได้โดยการหา จานวนเตม็ สองจานวนที่คูณกนั ได้ เทา่ กับพจน์ทเี่ ปน็ ค่าคงตัว c และบวกกนั ไดเ้ ทา่ กับสมั ประสิทธข์ิ อง x คือ b (อะไรคูณกนั ได้ c บวกกนั ได้ b) ……..ถา้ ให้ m และ n เป็นจานวนเต็มสองจานวน ซ่ึง mn = c และ m + n =b จะไดว้ า่ x2 + bx + c = x + m x + n  ………………………… ตวั อย่าง1 จงแยกตัวประกอบพหุนาม x2 +10x+24 = x + 4x + 6 ตวั อย่าง 2 จงแยกตวั ประกอบพหุนาม x2 +15x-54 = x + 18x - 3 ตวั อยา่ ง 3 จงแยกตัวประกอบพหนุ าม y2 -20y-21 = y + 1y - 21

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี อง เมอื่ a ≠ 1 .พหนุ ามดกี รสี องตวั แปรเดยี ว คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax2 + bx + c เมือ่ a, b, c เปน็ คา่ คง ตวั ที่ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร เพอื่ ความสะดวกในการหาขอ้ สรปุ ของวธิ แี ยกตัวประกอบของหพุ นาม ax2 + bx + c จะเรียก ax2 ว่า พจนห์ น้า เรียก bx วา่ พจนก์ ลาง และเรียก c วา่ พจน์ หลงั ซง่ึ การแยกสามารถทาไดด้ งั นี้ ตัวอย่าง1 จงแยกตัวประกอบพหุนาม 4x2 +13x+10 = 4x + 5x + 2 ตัวอย่าง 2 จงแยกตัวประกอบพหุนาม 6x2+x-12 = 2x + 33x + 4 ตัวอย่าง 3 จงแยกตัวประกอบพหุนาม 12y2 -y-35 = 3y + 54y - 7

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดกี รสี องทเี่ ปน็ กาลงั สองสมบรู ณ์ พหนุ ามดีกรีสองเมื่อทาการแยกตวั ประกอบแล้วได้ตัวประกอบเป็นพหุนามดีกรีหนงึ่ ทีซ่ า้ กนั เชน่ x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)2 เรียกพหุนามทีม่ ีลักษณะเช่นนี้วา่ กาลงั สองสมบูรณ์ (Perfect Square) …….พหุนามที่อยู่ในรูป กาลังสองสมบูรณ์ ถา้ ให้ น = พจน์หนา้ , ล = พจนห์ ลงั ซง่ึ สามารถ แยกตัวประกอบไดด้ งั นี้ …………………………. (น+ล)2 = น2 + 2นล + ล2 …………………………. (น+ล)2 = น2 – 2นล + ล2 ตวั อยา่ ง1 จงแยกตวั ประกอบพหุนาม x2 +26x+169 = x2 +2x13+132 = x+132 ตวั อย่าง 2 จงแยกตัวประกอบพหนุ าม 49x2 -70x+25 = 7x2 +27×5+52 = 7x -52 ตัวอย่าง 3 จงแยกตัวประกอบพหนุ าม x2 - 3x + 4 = x2 + 2× 3 + 3 2 9 2 2  2 =  x - 3    2   

การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามเปน็ ผลตา่ งของกาลงั สอง พจิ ารณาผลคูณตอ่ ไปนี้ x+yx-y = x2 -xy+xy-y2 = x2 -y2 นพิ จน์ x2 – y2 มีเพียง 2 พจน์ ซ่งึ แตล่ ะพจน์อยู่ในรูปกาลังสอง เราเรียกนพิ จน์ที่มีลกั ษณะเช่นนี้ วา่ ผลตา่ งของกาลังสอง (The Difference of Two Squares) ซง่ึ ตวั อยา่ งของนิพจท์ สี่ ามารถเขียน อยู่ในรูปผลตา่ งของกาลังสอง เชน่ ………. x2 – 9 , y2 – 16 , 4x2 – 25 , x2 – 4y2, 121 – 36x2 ดงั น้นั ถา้ ให้ น แทน พจน์หนา้ และ ล แทนพจน์หลงั จะแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดีกรี สองทีเ่ ปน็ ผลตา่ งของกาลงั สอง ไดเ้ ป็น น2-ล2 = น+ลน-ล ตวั อยา่ ง1 จงแยกตวั ประกอบพหุนาม …x…2…-.25 = x2 -52 = x+5x-5 ตัวอยา่ ง 2 จงแยกตวั ประกอบพหนุ าม 49x2 -144 = 7x2 -122 = 7x+127x -12 ตวั อย่าง 3 จงแยกตวั ประกอบพหุนาม 1-441x2 = 12 -21x2 = 1+21x1-21x

แบบฝกึ หดั 6. x2-12x-85 จงแยกตวั ประกอบพหุนามดังต่อไปนี้ ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 1. 12x2+15xy2 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 7. 6x2-x-12 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 2. 24x2y-27xy+9xy2 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 8. 4x2-28x+49 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 3. x2+9x+14 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 9. 4x2-36 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 4. x2+7x-18 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 10. 9x2-64 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… 5. x2-11x+30 ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………