kit

ยินดีต้อนรับ สู่ สื่อการเรียน โดยโปรแกรม PowerPoint วชิ าคณิตศาสตร์พนื้ ฐาน ค 41101

บทที่ 3 เร่ือง ระบบจานวนจริง ระดบั ช้ันมัธยมศึกษาปี ที่ 4

วัตถุประสงค์ของการจัดทาส่ือ 1. เพือ่ ใช้ประกอบการเรียนการสอนในรายวิชาคณิตศาสตร์ ค 41101 ระดบั ช้ันมัธยมศึกษาปี ท่ี 4 2. เพือ่ พฒั นาการเรียนการสอนให้น่าสนใจและมี ประสิทธภิ าพมากยง่ิ ขนึ้ 3. นกั เรียนรู้จกั ใช้เทคโนโลยีเพื่อพฒั นาการเรียนรู้ด้วย ตนเองได้

ผลการเรียนรู้ทค่ี าดหวัง นักเรียนสามารถ 1. แสดงความสัมพนั ธข์ องจานวนต่าง ๆ ในระบบจานวนจริงได้ 2. เขา้ ใจความหมายและหาผลลพั ธ์ท่ีเกิดจาก การบวก การลบ การคณู การหารจานวนจริง 3. เขา้ ใจสมบตั ิของจานวนจริงท่ีเกี่ยวขอ้ งกบั การบวก การคูณ การเทา่ กนั และการไมเ่ ทา่ กนั และนาไปใชไ้ ด้ 4. แกส้ มการและอสมการตวั แปรเดียวดีกรีไมเ่ กินสองได้ 5. มีความคิดรวบยอดเกี่ยวกบั ค่าสัมบรู ณ์ของจานวนจริง และหาค่าสัมบรู ณข์ องจานวนจริงได้

สาระการเรียนรู้ 1. จานวนจริง 2. สมบตั ขิ องจานวนจริงเกย่ี วกบั การบวกและการคูณ 3. การนาสมบัตขิ องจานวนจริงไปใช้ในการแก้สมการ กาลงั สอง 4. การไม่เท่ากนั 5. ค่าสัมบรู ณ์ของจานวนจริง

1. จานวนจริง มนษุ ย์รู้จกั ใช้จานวนมาต้งั แต่สมัยดกึ ดาบรรพ์โดยใช้ก้อน หนิ หรือใช้บากบนต้นไม้แทนจานวนสัตว์เลยี้ ง กล่าวได้ว่าจานวน ชนิดแรกทมี่ นุษย์รู้จกั คอื จานวนนบั ต่อมาเม่ือมีการพัฒนาขนึ้ มนุษย์จึงใช้จานวนอ่ืนๆ ขึน้ มาเพ่ือให้สามารถแทนปริมาณต่างๆ เช่น นา้ หนัก อณุ หภูมิ จานวนประชากร ความยาวของเส้นรอบวงของโลก ฯลฯ จานวนทแ่ี ทนส่ิงเหล่านไี้ ด้ เรียกว่า จานวนจริง

เซตของจานวนจริงประกอบด้วยสับเซตของจานวนต่าง ๆ ได้แก่ เซตของจานวนนบั หรือเซตของจานวนเต็มบวก เขียนไดด้ งั น้ี N = { 1 , 2 , 3 , … } หรือ I+ = { 1 , 2 , 3 , … } เซตของจานวนเต็มลบ เขียนไดด้ งั น้ี I- = { -1 , -2 , -3 , … } เซตของจานวนเตม็ ศูนย์ เขียนไดด้ งั น้ี I0 = { 0 } เซตของจานวนเตม็ เขียนไดด้ งั น้ี I = {…, -3 , -2 , -1 , 0, 1, 2, 3 … }

เซตของจานวนท่ีเขียนในรูปเศษส่วนโดยท่ีตวั ส่วนไม่เป็ นศูนย์ หรือ { x | x = p , p , q เป็นจานวนเตม็ และ q ไมเ่ ท่ากบั 0 } q เช่น 1 3 24 เซตของจานวนท่ีอยใู่ นรูปทศนิยมซ้า เช่น 2 = 2.0. = 2 1414 1000 1 1.414 = 1.4142000… = 0.3. = 0.333… = 1 3

 จานวนข้างต้น เรียกว่า จานวนตรรกยะ (rational number) ซ่ึงหมายถงึ จานวนจริงทส่ี ามารถ เขยี นในรูปเศษส่วนของจานวนเตม็ ท่ตี ัวส่วนไม่เป็ นศูนย์ จานวนอ่นื ที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนโดย ท่ีตวั ส่วนไม่เป็ นศูนย์ เรียกว่า จานวนอตรรกยะ (Irrational number) เช่น 2, 3, 4

จานวนอตรรกยะ เป็ นจานวนจริงท่ไี ม่ใช่ จานวนตรรกยะ ซึ่งไม่สามารถเขียนในรูป ทศนิยมซ้าหรื อเศษส่ วนของจานวนเต็มท่ีตัวส่ วน ไม่เป็ นศูนย์ได้ แต่เขยี นในรูปทศนยิ มไม่ซ้าได้ และกาหนดค่าประมาณได้ เช่น 2 1.4142135... มีค่าประมาณ 1.414 3  1.7320508... มคี ่าประมาณ 1.732

5  2.2360679... มคี ่าประมาณ 2.236 3 2 1.2599210... มคี ่าประมาณ 1.260 1  0.7071067... มีค่าประมาณ 0.707 2 3  5  3.9681187 ... มีค่าประมาณ 3.968   3.14159265 ... มคี ่าประมาณ 3.1416 0.1010010001 ... มคี ่าประมาณ 0.101

เซตของจานวนตรรกยะ ยเู นียน เซตของจานวนอตรรกยะ เรียกว่า เซตของจานวนจริง แทนด้วยสัญลกั ษณ์ R

แผนผงั แสดงความสัมพนั ธ์ของจานวนจริงชนิดต่างๆ จานวนจริง จานวนอตรรกยะ จานวนตรรกยะ จานวนตรรกยะที่ไม่ใช่จานวนเต็ม จานวนเตม็ จานวนเตม็ ลบ จานวนศูนย์ จานวนเตม็ บวก หรือจานวนนบั

นอกจากจานวนจริง ยงั มีจานวน อกี ประเภทหน่งึ เช่น จานวนทไ่ี ด้จาก การแก้สมการ x2 = - 1 ซึ่งบอกได้ว่า มากกว่า 0 หรือน้อยกว่า 0 จานวนชนดิ นี่ ไม่ใช่จานวนจริง ยูเนียนของจานวนจริง และเซตของจานวน ชนิดใหม่นี้ เรียกว่า จานวนเชิงซ้อน

ตัวอย่าง จงพจิ ารณาว่าจานวนต่อไปนี้เป็ นจานวนชนิดใด แล้วเขยี นเครื่องหมาย  จานวน จานวน จานวน จานวนลบ จานวน จานวน จานวน นับ เตม็ ตรรกยะ อตรรกยะ จริง -9    -7   2 5    2 3  2    0 

2. สมบตั ิของจานวนจริงเกี่ยวกบั การบวกและการคณู 2.1 การเท่ากนั ในระบบจานวน ใช้สัญลกั ษณ์ “ = ” แทนการเท่ากนั เช่น 5+2 = 7 24 = 16 0.8 = 8 9

สมบัติของการเท่ากนั กาหนด a, b, c เป็ นจานวนจริงใดๆ 1. สมบตั ิการสะทอ้ น a = a เช่น 5 = 5 2. สมบตั ิการสมมาตร ถา้ a = b แลว้ b = a เช่น ถา้ 3 = 2 + 1 แลว้ 2 + 1 = 3 3. สมบตั กิ ารถ่ายทอด ถา้ a = b และ b = c แลว้ a = c เช่น ถา้ 22 = 4 และ 4 = 3 + 1 แลว้ 22 = 3 + 1 4. สมบตั กิ ารบวกดว้ ยจานวนท่ีเท่ากนั ถา้ a = b แลว้ a + c = b + c เช่น ถา้ 2 x 3 = 6 และ c = 1 แลว้ (2 x 3) + 1 = 6 + 1 5. สมบตั ิการคูณดว้ ยจานวนที่เท่ากนั ถา้ a = b แลว้ ac = bc เช่น ถา้ 4 = 2 และ c = 3 แลว้ 4 x 3 = 2 x 3 22

2. สมบตั ิของจานวนจริงเกย่ี วกับการบวกและการคณู 2.2 การบวกและการคณู ในระบบจานวนจริง สมบัติของจานวนจริงเกย่ี วกบั การบวก ในระบบจานวนจริง เรียกจานวนทบ่ี วกกบั จานวนใดก็ ตามได้ผลลพั ธ์เป็ นจานวนจริงน้นั ว่า เอกลกั ษณ์การบวก ในระบบจานวนจริง มีเอกลกั ษณ์การบวกมี จานวนเดียว คอื 0 โดยท่ี a + 0 = 0 + a = a

ในระบบจานวนจริง อนิ เวอร์สการบวกของจานวนจริง a หมายถึง จานวนจริงทบี่ วกกบั a แล้วได้ผลลพั ธ์เป็ น 0 ใช้สัญลกั ษณ์ “ – a ” แทน อนิ เวอร์สการบวกของจานวนจริง a กล่าวคอื ถ้า a เป็ นจานวนจริงใด ๆ a + (-a) = (-a) + a = 0

ตัวอย่างของอินเวอร์สการบวกจานวนจริง จานวน (a) อนิ เวอร์สการบวก (-a) 5 5  0.3 0.3 3 3  2 2   1  1  11 2 3 23 1 2   1  2  หรือ 1 2 2 2 2 -0.1 0.1

สรุปสมบตั ิของจานวนจริงเก่ยี วกับการบวก เมื่อ a , b , c เป็ นจานวนจริงใด ๆ สมบัติ การบวก ตัวอย่าง ปิ ด 1. a+b  R 1. ถ้า 1 , 2  R แล้ว (1 + 2)R การสลบั ท่ี 2. a+b = b+a 2. 1+ 2 = 2 + 1 การเปลีย่ นกล่มุ 3. (a+b)+c = a+(b+c) 3. (1+ 2) + 3 = 1+ ( 2+ 3) การมีเอกลกั ษณ์ 4. a+0 = 0+a = a 4. 5 + 0 = 0 + 5 = 5 การมอี ินเวอร์ส 5. a+(-a) = (-a)+a = 0 5. (-5) + 5 = 5 + (-5) = 0

2. สมบัติของจานวนจริงเกีย่ วกับการบวกและการคูณ สมบัตขิ องจานวนจริงเกย่ี วกับการคณู ในระบบจานวนจริง เรียกจานวนทคี่ ณู กบั จานวนใดก็ ตามได้ผลลพั ธ์เป็ นจานวนจริงaน้นั ว่า เอกลกั ษณ์การคูณ ในระบบจานวนจริง มเี อกลกั ษณ์การคูณมี จานวนเดยี ว คือ 1 โดยท่ี 1·a=a=a·1

ในระบบจานวนจริง อนิ เวอร์สการคณู ของจานวนจริง a หมายถึง จานวนจริงทคี่ ูณกบั a แล้วได้ผลลพั ธ์เป็ น 1 ใช้สัญลกั ษณ์ “ a-1 ” แทน อนิ เวอร์สการคณู ของจานวนจริง a กล่าวคอื ถ้า a เป็ นจานวนจริงใด ๆ a-1 · a = a · a-1 = 1

ตัวอย่างของอินเวอร์สการคณู จานวนจริง จานวน (a) อนิ เวอร์สการคณู (a-1) 8 1 1 8 2 2 3 1 3 1.3 หรือ 13 10 1 หรือ 10 1.3 13

สรุปสมบัติของจานวนจริงเก่ียวกับการคูณ เมื่อ a , b , c เป็ นจานวนจริงใด ๆ สมบตั ิ การคณู ตวั อย่าง ปิ ด 1. ab  R 1. ถ้า 1 , 2  R แล้ว (1 x 2) R การสลบั ที่ 2. ab = ba 2. 1 x 2 = 2 x 1 การเปลยี่ นกลุ่ม 3. (ab)c = a(bc) 3. (1 x 2) x 3 = 1 x ( 2 x 3) การมเี อกลกั ษณ์ 4. a x 0 = 0 x a = a 4. 5 x 1 = 1 x 5 = 5 การมอี นิ เวอร์ส 5. a-1 · a = a · a-1 = 1 5. 1 3  3 1 1 33

นอกจากสมบัตเิ กย่ี วกบั การบวกและการคณู แล้วยังมสี มบัตทิ ่ี เกยี่ วข้องทง้ั การบวกและการคูณ คอื สมบตั ิการแจกแจง กล่าวคอื นอกจากสมบัติเกยี่ วกบั การบวกและการคณู แล้วยงั มีสมบัตทิ ี่ เกย่ี วข้องท้งั การบวกและการคูณ คอื สมบัตกิ ารแจกแจง กล่าวคือ เม่ือ a , b , c เป็ นจานวนจริงใด ๆ a( b + c ) = ab + ac ( b + c )a = ba + ca เช่น 2 · ( 5 + 8 ) = 2 · 5 + 2 · 8 หรือ ( 5 + 8 ) · 2 = 5 · 2 + 8 · 2

3. การนาสมบัติของจานวนจริงไปใช้ในการแก้สมการ กาลงั สอง 3.1 การแยกตัวประกอบของพหนุ าม ในการเขียนสัญลกั ษณ์แทนจานวน ใช้อกั ษรภาษาองั กฤษ ตวั เลก็ เช่น x, y แทนจานวน เรียกว่า ตวั แปร ตัวเลขทแ่ี ทนจานวน เช่น 1, 2, 3 เรียกว่า ค่าคงตัว ข้อความในรูปสัญลกั ษณ์ เช่น 2 , 2x, 5 + x เรียกว่า นพิ จน์

นพิ จน์ทเี่ ขียนอยู่ในรูปการคูณของค่าคงตัวกบั ตวั แปรต้งั แต่หนึง่ ตัว ขึน้ ไปทม่ี ีเลขชีก้ าลงั ของตวั แปรเป็ นจานวนเตม็ บวก หรือ ศูนย์ เช่น -3 , 2x , 3xy , x2 เรียกว่า เอกนาม นิพจน์ทเ่ี ขยี นอยู่ในรูปของเอกนาม หรือ การบวกเอกนามต้งั แต่ สองเอกนามขนึ้ ไป เรียกว่า พหนุ าม ตวั อย่าง 1) x2 + 2x + 1 4) 3x4 2) 2x + 3y 3) 5x3 + 15x2 +10x + 5

สาหรับเอกนามใดๆ เรียกผลบวกของเลขชี้กาลงั ของตวั แปรในเอกนามว่า ดกี รี ตัวอย่าง 1) x2 เป็ นเอกนามดกี รี สอง 2) -5xy เป็ นเอกนามดีกรีสอง 3) 2x เป็ นเอกนามดีกรีหนง่ึ 4) -4x3 y2 เป็ นเอกนามดกี รี ห้า 4) 3 เป็ นเอกนามดีกรี …ศ…ูน…ย์ .. พจิ ารณา เน่ืองจาก 3 = 3x0

ในการเขียนพหนุ ามให้อยู่ในรูปพหุนามดกี รีต่ากว่า เรียกว่า การแยกตวั ประกอบของพหนุ าม ตัวอย่าง 1) 3x2 + 3x = 3x ( x + 1) 2) 5x3 + 15x2 + 10x + 5 = 5 ( x3 + 3x2 + 2x + 1) 3) 8x - 4y = 4 ( 2x - y)

พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดยี ว คอื พหนุ ามทเี่ ขยี นในรูป ax2 + bx + c เมื่อ a , b , c เป็ นค่าคงตัวท่ี a  0 และ x เป็ น ตัวแปร การแยกตวั ประกอบของพหนุ ามดงั กล่าว สามารถ อาศัยแนวคดิ ดังนี้ พจิ ารณาผลคณู ของพหุนาม ( x + 1 )( x + 2 ) = ( x + 1 )x + ( x + 1 )( 2 ) = x2 + x + 2x + 2 = x2 + (1 + 2)x + 2 = x2 + 3x + 2

จากวธิ ีการหาผลคูณของ ( x + 1)( x + 2) จะได้ข้ันตอน การแยกตัวประกอบของ x2 + 3x + 2 ดังนี้ การแยกตัวประกอบของพหนุ ามดังกล่าว สามารถอาศัย แนวคดิ ดังนี้ พจิ ารณาผลคณู ของพหนุ าม x2 + 3x + 2 = x2 + (2 + 1)x + 2 = x2 + (2x + x) + 2 = (x2 + 2x) + (x + 2) = x(x + 2) + (x + 2) = (x + 2) (x + 1)

ในกรณีทว่ั ไป การแยกตัวประกอบของ x2 + bx + c เมื่อ b และ c เป็ นค่าคงตัวที่ c  0 ทาได้โดยการหา d และ e ทค่ี ูณกนั เท่ากบั c และบวกกนั เท่ากบั b ทาให้ x2 + bx + c = ( x + d )( x + e )

ตัวอย่างท่ี 1 จงแยกตัวประกอบของ x2 + 7x + 10 วธิ ที า หาจานวนทคี่ ณู กนั เท่ากบั 10 และบวกกนั เท่ากบั 7 จะได้ 5 × 2 = 10 และ 5 + 2 = 7 ดังน้นั x2 + 7x + 10 = ( x + 5 )( x + 2) ตัวอย่างท่ี 2 จงแยกตัวประกอบของ x2 + x - 6 วธิ ีทา หาจานวนทค่ี ณู กนั เท่ากบั - 6 และบวกกนั เท่ากบั 1 จะได้ 3 × (- 2) = - 6 และ 3 + (- 2) = -1 ดงั น้นั x2 + x - 6 = ( x + 3 )( x - 2)

ตวั อย่างท่ี 3 จงแยกตวั ประกอบของ x2 - 3x + 2 วธิ ีทา หาจานวนทค่ี ณู กนั เท่ากบั 2 และบวกกนั เท่ากบั -3 จะได้ (-1) × (-2) = 2 และ (-1) + (-2) = -3 ดังน้นั x2 - 3x + 2 = ( x - 1 )( x - 2) ตัวอย่างท่ี 4 จงแยกตวั ประกอบของ x2 - 9 วธิ ีทา หาจานวนทคี่ ณู กนั เท่ากบั - 9 และบวกกนั เท่ากบั 0 จะได้ (-3) (3) = - 9 และ ( -3) + 3 = 0 ดังน้นั x2 - 9 = ( x + 3 )( x - 3)

หมายเหตุ ในกรณีทว่ั ไป x2 - a2 = ( x – a )( x + a) เมื่อ a เป็ น ค่าคงตัวทไ่ี ม่เท่ากบั ศูนย์ สาหรับการแยกตัวประกอบของพหุนามในรูป ax2 + bx + c เม่ือ a , b และ c เป็ นค่าคงตัวที่ a  0 , c  0 ได้ดงั ตัวอย่างเช่น 4x2 - 4x + 1 ข้นั ที่ 1 หาพหนุ ามดกี รีหนึง่ สองพหุนามที่คูณกันได้ 4x2 เช่น (2x)(2x) หรือ (4x)(x) เขียนพหุนามสองพหุนามท่ีได้ให้เป็ นพจน์หน้าของผล คูณของพหุนามใหม่ดังนี้ (2x )(2x ) หรือ (4x )(x )

ข้นั ท่ี 2 หาจานวนสองจานวนทผี่ ลคณู 4x2 - 4x + 1 เท่ากบั 1 ได้แก่ (1)(1) หรือ (-1)(-1) = ............ ? เขียนจานวนสองจานวนทีไ่ ด้ให้เป็ นพจน์ หลงั ของผลคณู ของพหุนามในข้อ 1 ดังนี้ (2x + 1 )(2x + 1) หรือ (4x + 1 )(x + 1 ) (2x - 1 )(2x - 1 ) หรือ (4x - 1 )(x - 1 )

ข้ันที่ 3 หาพจน์กลางของพหุนามจากผลคณู ของ 4x2 - 4x + 1 พหุนามแต่ละค่ใู นข้อ 2 ทม่ี ผี ลบวกเท่ากบั -4x = …… ? จะได้ 2x 2x+2x = 4x  x x + 4x = 5x  (2x + 1 )(2x + 1) (4x + 1 )(x + 1 ) 2x 4x (-x) + (-4x) = -5x  -x -2x (4x - 1 )(x - 1) (2x - 1 )(2x - 1 ) -2x (-2x) +(-2x) = -4x  -4x

-2x (-2x) +(-2x) = -4x  (2x - 1 )(2x - 1 ) -2x ดงั น้ัน 4x2 - 4x + 1 = (2x - 1)(2x - 1 ) หรือ (2x – 1 )2

ตัวอย่างที่ 5 จงแยกตัวประกอบของพหุนาม 1) 6x2 - 10x - 4 2) 2x2 + 9x - 81 3) 20x2 + 10x -10 วธิ ีทา 1) 6x2 - 10x - 4 = (2x - 4 )(3x + 1 ) หรือ = (6x + 2 )(x - 2 ) 2) 2x2 + 9x – 81 = (2x - 9 )(x + 9 ) 3) 20x2 + 10x -10 = (4x - 2 )(5x + 5 ) หรือ = (10x - 5 )(2x + 2 )

การแยกตัวประกอบพหุนามที่เป็ นกาลงั สองสมบรู ณ์ ในกรณีทพี่ หนุ ามดกี รีสองแยกตัวประกอบแล้วได้ตัว ประกอบเป็ นพหุนามดกี รีหนึ่งซา้ กนั เช่น x2 + 4x + 4 = (x + 2 )(x + 2 ) = ( x + 2)2 x2 - 4x + 4 = (x - 2 )(x - 2 ) = (x - 2 )2 เรียกพหนุ ามท่มี ีดกี รีลกั ษณะนีว้ ่า กาลังสองสมบูรณ์

ในกรณีทวั่ ไป พหนุ ามดีกรีสองทเ่ี ป็ นกาลงั สองสมบูรณ์ แยกตัวประกอบได้ดงั นี้ x2 + 2ax + a2 = ( x + a)2 x2 + 4x + 4 = (x + 2 )2 x2 + 6x + 9 = (x + 3 )2 x2 - 2ax + a2 = ( x - a)2 x2 - 2x + 1 = (x - 1 )2 x2 - 8x + 16 = (x - 4 )2

ตัวอย่างที่ 6 จงแยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ 1) x2 + 6x + 9 2) x2 - 12x + 36 วธิ ีทา 1) x2 + 6x + 9 = x2 + (2)(3)x + (3)2 = (x + 2 )2 2) x2 - 12x + 36 = x2 - (2)(6)x + (6)2 = (x - 6 )2

การแยกตัวประกอบพหุนามโดยทาให้เป็ นกาลงั สองสมบรู ณ์ สามารถทาได้โดยอาศัยแนวคดิ ดังนี้ (x + 1 )2 = (x + 1)(x + 1 ) = x2 + (2)(1)x + 1 (1)2 (x + 2)2 = (x + 2)(x + 2 ) = x2 + (2)(2)x + 4 (2)2 (x + 3)2 = (x + 3)(x + 3 ) = x2 + (2)(3)x + 9 (3)2 (x + 4)2 = (x + 4)(x + 4 ) = x2 + (2)(4)x + 16 (4)2

The ent