دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني سنة ثالثة متوسط

‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻋّﻴﻦ آ ّﻞ اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﺙ ّﻢ اآﺘﺐ ﻋﻼﻗﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻲ آ ّﻞ ﻡﻨﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪ .2‬ﻋّﻴﻦ‪ ،‬ﺑﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﺤﺎﺱﺒﺔ‪ ،‬اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻀﺒﻮﻃﺔ ﻟﻜ ّﻞ ﻡﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ 169‬؛ ‪ 625‬؛ ‪ 0, 452‬؛ ‪ 5, 29‬؛ ‪ ( 7 )2‬؛ ‪. 5, 62 + 5, 22‬‬ ‫‪ .3‬أﺣﺴﺐ ﻓﻲ آ ّﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﻡﻦ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻀﺒﻮﻃﺔ ﻟﻠﻄﻮل ‪: BC‬‬ ‫أ( ‪ BC2 = 122 +162‬؛ ﺑ( ‪ 7, 42 + BC2 = 7, 62‬؛ ﺤ( ‪. 4, 52 + 62 = BC2‬‬‫‪ .4‬ﻋّﻴﻦ‪ ،‬ﻓﻲ آﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﻡﻦ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ وﺑﺎﺱﺘﻌﻤﺎل اﻟﺤﺎﺱﺒﺔ ‪ ،‬اﻟﻤﺪ ّور إﻟﻰ اﻟﺠﺰء ﻡﻦ اﻟﻤﺎﺋﺔ ﻟﻠﻄﻮل ‪: EF‬‬ ‫‪ EF 2 = 62 +102‬؛ ‪ EF 2 = 72 − 42‬؛ ‪ 52 + EF 2 = 112‬؛ ‪ EF 2 + 82 = 152‬؛‬ ‫‪. ( 13)2 + 32 = EF 2‬‬ ‫‪ ABCD .5‬هﻮ ﺷﺒﻪ ﻡﻨﺤﺮف ﻗﺎﺋﻢ‪.‬‬ ‫أﺗﻤﻢ اﻟﺠﻤﻞ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺤﺴﺎب ‪ ، AC‬ﻥﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ...‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ ...‬و اﻟﻄﻮﻟﻴﻦ‪. .... ،...‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺤﺴﺎب ‪ ، BD‬ﻥﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ...‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ ...‬و اﻟﻄﻮﻟﻴﻦ‪. ... ،...‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺤﺴﺎب ‪ ، CD‬ﻥﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ...‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ ...‬و اﻟﻄﻮﻟﻴﻦ‪. ... ،...‬‬

‫‪ .6‬ﻻﺣﻆ اﻟ ّﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﻥﻌﻠﻢ أ ّن ‪ 32 + 42 = 52‬و ‪. 3, 752 + 52 = 6, 252‬‬ ‫أوﺟﺪ اﻷﻃﻮال ‪ BC ، BD ، CD ، AC ، AB‬ﻡﻦ ﺑﻴﻦ اﻷﻋﺪاد اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ 3‬؛ ‪ 3, 75‬؛ ‪ 4‬؛ ‪ 5‬؛ ‪ 6‬؛ ‪. 6, 25‬‬‫‪7, 2 dm‬‬ ‫‪ .7‬أﺗﻤﻢ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ اﻟﺬي ﻳﻤﺜﻞ أﻃﻮال أﺿﻼع ﻡﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. C‬‬‫‪... dm‬‬‫‪7, 4 dm‬‬ ‫‪...m 8cm 2 cm AC‬‬ ‫‪12 m ...cm 3cm BC‬‬ ‫‪15 m 11cm ...cm AB‬‬ ‫‪ .8‬أﺣﺴﺐ ﻓﻲ آ ّﻞ ﺣﺎﻟﺔ ﻡﻦ اﻟﺤﺎﻻت اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻃﻮل اﻟﻀﻠﻊ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ‪:‬‬ ‫)ﻳﻌﻄﻰ ﺗﺪوﻳﺮ آ ّﻞ ﻥﺘﻴﺠﺔ إﻟﻰ اﻟﻤﻴﻠﻴﻤﺘﺮ(‪.‬‬

‫‪ .9‬أﺣﺴﺐ ﻃﻮل ﺿﻠﻊ ﻡﻌّﻴﻦ ﺣﻴﺚ ﻃﻮﻻ ﻗﻄﺮﻳﻪ ‪ 13cm‬و ‪.11cm‬‬ ‫‪ .10‬ﺑﺮهﻦ ﻓﻲ آ ّﻞ ﻡﻦ اﻟﺤﺎﻟﺘﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ أ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EFG‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪: F‬‬ ‫‪ EF = 8cm (1‬؛ ‪ FG = 15cm‬؛ ‪. EG = 17 cm‬‬ ‫‪ EF = 0, 7 cm (2‬؛ ‪ FG = 2, 4 cm‬؛ ‪. EG = 2,5cm‬‬ ‫‪ ABC .11‬ﻡﺜﻠﺚ ﺣﻴﺚ ‪ AB = 10, 4 cm‬؛ ‪ AC = 9, 6 cm‬؛ ‪. BC = 4 cm‬‬ ‫‪ (1‬أرﺱﻢ ﺷﻜﻼ وأﺗﻤﻤﻪ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺑﺮهﻦ أ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ‪.‬‬‫‪ (3‬ﻋّﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ D‬ﻡﻦ اﻟﻘﻄﻌﺔ ‪ AB‬ﺣﻴﺚ ‪ AD = 7,8 cm‬ﺙﻢ أرﺱﻢ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻗﻄﺮهﺎ ‪[ ] [ ]AD‬‬ ‫واﻟﺘﻲ ﺗﻘﻄﻊ ]‪ [ AC‬ﻓﻲ ‪. E‬‬ ‫ﻡﺎ ﻥﻮع اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ AED‬؟ ﻋّﻠﻞ‪.‬‬ ‫‪ (4‬ﺑﺮهﻦ أ ّن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ (BC‬و )‪ (DE‬ﻡﺘﻮازﻳﺎن‪.‬‬ ‫‪ .12‬ﻥﺴﻤﻲ اﻟ ّﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ \" ﺣﻠﺰون ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس\"‪:‬‬ ‫آ ّﻞ ﻡﻦ اﻷﻃﻮال ‪ JK ،...، CD ، BC ، AB ، OA‬ﻳﺴﺎوي ‪.1cm‬‬ ‫أﺣﺴﺐ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻀﺒﻮﻃﺔ ﻟﻜﻞ ﻡﻦ اﻷﻃﻮال ‪. OK ،...، OD ، OC ، OB‬‬ ‫)اﺱﺘﻌﻤﻞ اﻟﺮﻡﺰ ﻋﻨﺪ اﻟﺤﺎﺟﺔ(‪.‬‬

‫• ﺡﻠﻮل اﻟﺘﻤﺎریﻦ و اﻟﻤﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت اﻟﻘﺎﺋﻤﺔ‪ GEF :‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ HGE ، G‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ HGF ، H‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. H‬‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ GEF‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. EF 2 = GE2 + GF 2 : G‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ HGF‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. GF 2 = HG2 + HF 2 : H‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ HGE‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. EG2 = HE2 + HG2 : H‬‬ ‫‪.2‬‬‫‪ 169 = 13‬؛ ‪ 625 = 25‬؛ ‪ 0, 452 = 0, 2025‬؛ ‪ 5, 29 = 2,3‬؛ ‪ ( 7)2 = 7‬؛‬ ‫‪. 5, 62 + 5, 22 = 58, 4‬‬ ‫‪.3‬‬‫أ( ‪ ، BC2 = 122 +162 = 144 + 256 = 400‬إذن ‪ BC = 400‬أي أ ّن ‪. BC = 20‬‬ ‫ﺑ( ‪ 3, 92 + BC 2 = 6, 52‬أي أ ّن ‪. BC2 = 6, 52 − 3, 92 = 27, 04‬‬ ‫و ﻡﻨﻪ ‪ BC = 27, 04‬أي أ ّن ‪. BC = 5, 2‬‬ ‫ﺤ( ‪ 4, 52 + 62 = BC2‬أي أ ّن ‪. BC2 = 20, 25 + 36 = 56, 25‬‬ ‫و ﻡﻨﻪ ‪ BC = 56, 25‬أي أ ّن ‪. BC = 7, 5‬‬ ‫‪.4‬‬ ‫• ‪ EF 2 = 62 +102 = 36 +100 = 136‬أي أ ّن ‪. EF = 136‬‬ ‫ﻡﻨﻪ ‪. EF ≈ 11, 66‬‬ ‫• ‪ EF 2 = 72 − 42 = 49 −16 = 33‬أي أ ّن ‪. EF = 33‬‬

‫ﻡﻨﻪ ‪. EF ≈ 5, 74‬‬‫• ‪ 52 + EF 2 = 112‬أي أ ّن ‪ EF 2 = 112 − 52 = 121− 25 = 96‬أي أ ّن ‪EF = 96‬‬ ‫‪ .‬ﻡﻨﻪ ‪. EF ≈ 9,80‬‬ ‫•‬‫‪ EF 2 + 82 = 152‬أي أ ّن ‪ EF 2 = 152 − 82 = 225 − 64 = 161‬أي أ ّن ‪EF = 161‬‬ ‫‪ .‬ﻡﻨﻪ ‪. EF ≈ 12, 69‬‬ ‫• ‪ ( 13)2 + 32 = EF 2‬أي أ ّن ‪ EF 2 = 13 + 9 = 22‬أي أ ّن ‪EF = 22‬‬ ‫ﻡﻨﻪ ‪. EF ≈ 4, 69‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺤﺴﺎب ‪ ، AC‬ﻥﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ B‬واﻟﻄﻮﻟﻴﻦ ‪. BC ، AB‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺤﺴﺎب ‪ ، BD‬ﻥﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABD‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ A‬واﻟﻄﻮﻟﻴﻦ ‪. AD ، AB‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺤﺴﺎب ‪ ، CD‬ﻥﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ DCB‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ D‬واﻟﻄﻮﻟﻴﻦ ‪. DB ، DC‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪ AB = 3‬؛ ‪ AC = 4‬؛ ‪ CD = 6, 25‬؛ ‪ BD = 3, 75‬؛ ‪. BC = 5‬‬‫‪7, 2 dm‬‬ ‫‪9m‬‬ ‫‪8 cm‬‬ ‫‪2 cm‬‬ ‫‪.7‬‬‫‪2,92 dm‬‬ ‫‪12 m‬‬ ‫‪3 cm‬‬‫‪7, 4 dm‬‬ ‫‪57 cm‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪15 m‬‬ ‫‪11cm‬‬ ‫‪13 cm‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ A‬ﻥﺠﺪ‪:‬‬ ‫‪ BC2 = AB2 + AC2‬أي ‪. AC2 = BC2 − AB2 = 3,12 − 2, 72 = 2,32‬‬ ‫و ﻡﻨﻪ ‪ AC = 2,32‬أي أ ّن ‪. AC ≈ 1,5 cm‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ DEF‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ D‬ﻥﺠﺪ‪:‬‬‫‪ EF 2 = DE2 + DF 2‬أي أ ّن ‪ DE2 = EF 2 − DF 2 = 3, 32 − 2, 72 = 3, 60‬وﻡﻨﻪ‬ ‫‪ DE = 3, 6‬أي أ ّن ‪. DE ≈ 1,9 cm‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ GHI‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ G‬ﻥﺠﺪ‪:‬‬ ‫‪ HI 2 = GH 2 + GI 2‬أي أ ّن ‪. HI 2 = 2,32 +1, 62 = 6,89‬‬ ‫وﻡﻨﻪ ‪ HI = 6,89‬أي أ ّن ‪. HI ≈ 2, 6 cm‬‬ ‫‪ .9‬ﻥﺴﻤﻲ ‪ ABCD‬اﻟﻤﻌّﻴﻦ و ‪ O‬ﻥﻘﻄﺔ ﺗﻘﺎﻃﻊ ﻗﻄﺮﻳﻪ‪ .‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ) ﻓﻲ اﻟﺸﻜﻞ (‬ ‫‪ BD = 13cm‬و ‪. AC = 11cm‬‬

‫ﺑﻤﺎ أ ّن ‪ ABCD‬ﻡﻌّﻴﻦ‪ ،‬ﻓﺈ ّن ﻗﻄﺮﻳﻪ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪان‪.‬‬ ‫وﻡﻨﻪ‪ ،‬اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪) AOD‬ﻡﺜﻼ( ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. O‬‬‫‪OA = 5,5cm‬‬ ‫أي‬ ‫= ‪OA‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫=‬ ‫‪11‬‬ ‫ﻡﻌّﻴﻦ‪ ،‬ﻓﺈ ّن ﻗﻄﺮﻳﻪ ﻡﺘﻨﺎﺻﻔﺎن‪ .‬وﻡﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ABCD‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أ ّن‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪. OD‬‬ ‫=‬ ‫‪6, 5 cm‬‬ ‫أي‬ ‫‪OD‬‬ ‫=‬ ‫‪BD‬‬ ‫=‬ ‫‪13‬‬ ‫و‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ AOD‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ ، O‬ﻥﺠﺪ‪:‬‬ ‫‪ . AD2 = OA2 + OD2 = 5, 52 + 6, 52 = 72, 5‬وﻡﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪ AD = 72,5‬أي ‪. AD ≈ 8,5cm‬‬ ‫إذن ﻃﻮل ﺿﻠﻊ اﻟﻤﻌّﻴﻦ هﻮ ‪) 8, 5 cm‬ﺑﺎﻟﺘﺪوﻳﺮ إﻟﻰ اﻟﻤﻴﻠﻴﻤﺘﺮ(‪.‬‬ ‫‪ EG (1 .10‬هﻮ أآﺒﺮ ﺿﻠﻊ‪ ،‬ﻥﺤﺴﺐ ﻡﺮﺑﻊ ﻃﻮﻟﻪ ‪[ ]. EG2 = 172 = 289 :‬‬ ‫ﻥﺤﺴﺐ ﻡﺠﻤﻮع ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﻴﻦ اﻵﺧﺮﻳﻦ‪:‬‬ ‫‪EF 2 + FG2 = 82 +152 = 64 + 225 = 289‬‬ ‫ﻥﻼﺣﻆ أ ّن ‪EG2 = EF 2 + FG2‬‬ ‫ﺣﺴﺐ ﻋﻜﺲ ﻥﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‪ ،‬ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EFG‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. F‬‬ ‫‪ (2‬ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﻥﺠﺪ ‪EG2 = 2, 52 = 6, 25 :‬‬ ‫و ‪. EF 2 + FG2 = 0, 72 + 2, 42 = 0, 49 + 5, 76 = 6, 25‬‬ ‫ﻥﻼﺣﻆ أ ّن ‪. EG2 = EF 2 + FG2‬‬ ‫ﺣﺴﺐ ﻋﻜﺲ ﻥﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‪ ،‬ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EFG‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. F‬‬ ‫‪.11‬‬

‫‪ AB‬هﻮ أآﺒﺮ ﺿﻠﻊ‪ ،‬ﻥﺤﺴﺐ ﻡﺮﺑﻊ ﻃﻮﻟﻪ ‪[ ]. AB2 = 10, 42 = 108,16 :‬‬ ‫ﻥﺤﺴﺐ ﻡﺠﻤﻮع ﻡﺮﺑﻌﻲ ﻃﻮﻟﻲ اﻟﻀﻠﻌﻴﻦ اﻵﺧﺮﻳﻦ‪:‬‬ ‫‪. AC2 + BC2 = 9, 62 + 42 = 92,16 +16 = 108,16‬‬ ‫ﻥﻼﺣﻆ أ ّن ‪. AB2 = AC 2 + BC 2‬‬ ‫ﺣﺴﺐ ﻋﻜﺲ ﻥﻈﺮﻳﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس‪ ،‬ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪. C‬‬ ‫‪ (3‬ﺑﻤﺎ أ ّن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ AED‬ﻡﺮﺱﻮم ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ ، AD‬ﻓﺈ ّن هﺬا اﻟﻤﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪[ ]. E‬‬ ‫‪ ABC (4‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ C‬ﻳﻌﻨﻲ أ ّن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ ( AC‬و )‪ (BC‬ﻡﺘﻌﺎﻡﺪان‪.‬‬ ‫‪ AED‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ E‬ﻳﻌﻨﻲ أ ّن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﻴﻦ )‪ ( AE‬و )‪ (DE‬ﻡﺘﻌﺎﻡﺪان‪.‬‬‫ﻟﻜﻦ )‪ ( AC‬و )‪ ( AE‬ﻡﺘﻄﺎﺑﻘﺎن‪ ،‬إذن ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ أ ّن اﻟﻤﺴﺘﻘﻤﻴﻦ )‪ (BC‬و )‪ (DE‬ﻳﻌﺎﻡﺪان ﻥﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‪.‬‬ ‫ﻓﺈّﻥﻬﻤﺎ ﻡﺘﻮازﻳﺎن‪.‬‬ ‫‪.12‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ OAB‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ A‬ﻥﺠﺪ‪:‬‬ ‫‪ OB2 = OA2 + AB2 = 12 +12 = 2‬وﻡﻨﻪ ‪. OB = 2 cm‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ OBC‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ B‬ﻥﺠﺪ‪:‬‬ ‫‪ OC2 = OB2 + BC2 = 2 +12 = 3‬وﻡﻨﻪ ‪OB = 3 cm‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرس ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ OCD‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ C‬ﻥﺠﺪ‪:‬‬ ‫‪ OD2 = OC2 + BD2 = 3 +12 = 4‬وﻡﻨﻪ ‪.( OD = 2 cm ). OD = 4‬‬ ‫ﺑﻨﻔﺲ اﻟﻄﺮﻳﻘﺔ ﺱﻨﺠﺪ‪:‬‬ ‫‪OH = 8 cm ، OG = 7 cm ، OF = 6 cm ، OE = 5 cm‬‬ ‫‪. OK = 11 cm ، OJ = 10 cm ، ( OI = 3cm ) OI = 9 cm‬‬

‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺭﻓﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﺒﺴﻴﻁ ‪ ،‬ﺍﻟﻨﺸﺭ‪،‬ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻭ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﺒﺴﻴﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺠﺒﺭﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺸﺭ ﻋﺒﺎﺭﺍﺕ ﺠﺒﺭﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪ (a + b)(c + d ) :‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ c‬ﻭ ‪ d‬ﺃﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﻨﺴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺤﺴﺎﺏ ﺤﺭﻓﻲ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻘﺎﺭﻨﺔ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻨﺎﻁﻘﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺎﺕ)ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ( ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ ﻭﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ ﻓﻲ‬ ‫ﻭﻀﻌﻴﺎﺕ ﺒﺴﻴﻁﺔ‪.‬‬‫‪ -‬ﺤﺼﺭ ﻋﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ ﻤﻜﺘﻭﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﺩﻭﻴﺭ ﺇﻟﻰ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• ﺘﺒﺴﻴﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺠﺒﺭﻴﺔ‬ ‫• ﻨﺸﺭ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺠﺒﺭﻴﺔ‬ ‫• ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺤﺴﺎﺏ ﺤﺭﻓﻲ‬ ‫• ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺎﺕ‪-‬ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺎﺕ ﻭﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺎﺕ‬‫• ﺤﺼﺭ ﻋﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ ﻤﻜﺘﻭﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﺸﻜل ﺍﻟﻌﺸﺭﻱ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﺩﻭﻴﺭ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﺭﺘﺒﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ‬ ‫• ﺗﻤﺎریﻦ وﻡﺸﻜﻼت‬ ‫• ﺣﻠﻮل ﺗﻤﺎریﻦ وﻡﺸﻜﻼت‬

‫• ﺗﺒﺴﻴﻂ ﻋﺒﺎرة ﺟﺒﺮیﺔ ‪:‬‬‫؛ )‪ka − kb = k (a − b‬‬ ‫• ﺧﺎﺹﻴﺔ‬ ‫‪ b ، a ، k‬أﻋﺪاد ﻧﺴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫)‪ka + kb = k (a + b‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‬ ‫ﺑ ّﺴﻂ اﻟﻌﺒﺎرة‪E = 8 x + 6 x − 3x :‬‬‫‪E = 8x + 6x − 3x‬‬‫‪= (8 + 6 − 3) x‬‬‫‪= 11x‬‬ ‫‪ E = 11x‬هﻮ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﺒ ّﺴﻂ ﻟﻠﻌﺒﺎرة ‪. E‬‬ ‫• ﺣﺬف اﻷﻗﻮاس‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‬‫ƒ ﻋﻨﺪﻡﺎ ﺗﻜﻮن اﻷﻗﻮاس ﻡﺴﺒﻮﻗﺔ ﺏﺎﻹﺵﺎرة ‪ ، +‬یﻤﻜﻦ ﺣﺬﻓﻬﺎ ﻡﻊ اﻻﺣﺘﻔﺎظ ﺏﺎﻹﺵﺎرات اﻟﻤﻮﺟﻮدة داﺧﻞ‬ ‫اﻷﻗﻮاس‪.‬‬ ‫‪ a + (b + c) = a + b + c‬؛ ‪a + (b − c) = a + b − c‬‬‫ﻋﻨﺪﻡﺎ ﺗﻜﻮن اﻷﻗﻮاس ﻡﺴﺒﻮﻗﺔ ﺏﺎﻹﺵﺎرة ‪ ، -‬یﻤﻜﻦ ﺣﺬﻓﻬﺎ ﻡﻊ ﺗﻐﻴﻴﺮ اﻹﺵﺎرات اﻟﻤﻮﺟﻮدة داﺧﻞ‬ ‫ƒ‬ ‫اﻷﻗﻮاس‪.‬‬ ‫‪ a − (b + c) = a − b − c‬؛ ‪a − (b − c) = a − b + c‬‬ ‫ﺗﻄﺒﻴﻖ‬‫ﺑ ّﺴﻂ اﻟﻌﺒﺎرة ‪A = ( x² + x) − (3x² + 2x − 1) + 2‬‬

‫اﻟﺤ ّﻞ‬ ‫ﻧﺤﺬف اﻷﻗﻮاس ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﻗﺎﻋﺪة ﺣﺬف اﻷﻗﻮاس‪:‬‬‫‪A = ( x² + x) − (3x² + 2x − 1) + 2‬‬‫‪= x² + x − 3x² − 2x + 1 + 2‬‬ ‫ﻧﺠ ّﻤﻊ اﻟﺤﺪود اﻟﻤﺘﺸﺎﺑﻬﺔ‪:‬‬‫‪A = 1x4² −2 343x² + 1x −2 32x + 1{+ 2‬‬ ‫ﻧﺒ ّﺴﻂ ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ ﺧﺎﺻﻴﺔ ﺕﺒﺴﻴﻂ ﻋﺒﺎرة ﺝﺒﺮیﺔ‪:‬‬‫‪A = (1 − 2) x² + (1 − 2) x + 3‬‬ ‫‪= x² − x + 3‬‬

‫• ﻧﺸﺮ ﻋﺒﺎرة ﺟﺒﺮیﺔ ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‬ ‫ﻧﻌﻨﻲ ﺏﻨﺸﺮ ﺟﺪاء‪ ،‬آﺘﺎﺏﺘﻪ ﻋﻠﻰ ﺵﻜﻞ ﻡﺠﻤﻮع أو ﻓﺮق‪.‬‬ ‫• ﺧﺎﺹﻴﺔ‬ ‫‪ b ، a ، k‬أﻋﺪاد ﻧﺴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ k (a + b) = ka + kb‬؛ ‪k (a − b) = ka − kb‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‬ ‫اﻧﺸﺮ اﻟﻌﺒﺎرة )‪E = 3 × ( x − 2‬‬ ‫ﺑﺘﻄﺒﻴﻖ اﻟﺨﺎﺻﻴﺔ أﻋﻼﻩ‪ ،‬ﻧﺠﺪ‪:‬‬ ‫‪E = 3×(x − 2) = 3x − 3× 2 = 3x −6‬‬ ‫• ﻧﺸﺮ اﻟﺠﺪاء ) ‪(a + b)(c + d‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‬ ‫‪ d ، c ، b ، a‬أﻋﺪاد ﻧﺴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪(a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd‬‬ ‫ﺗﻔﺴﻴﺮ‬ ‫‪ .1‬ﻧﻌّﺒﺮ ﻋﻦ ﻡﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫‪ ABCD‬آﺠﺪاء ﻃﻮﻟﻪ ﻓﻲ ﻋﺮﺿﻪ‪:‬‬ ‫)‪A = (a + b)(c + d‬‬ ‫‪ .2‬ﻧﻌّﺒﺮ ﻋﻦ ﻡﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫‪ ABCD‬آﻤﺠﻮع ﻡﺴﺎﺣﺎت اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت ‪:4 ،3 ،2 ،1‬‬ ‫‪A = ac + bc + ad + bd‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أ ّن ‪. (a + b)(c + d ) = ac + ad + bc + bd‬‬ ‫ﻡﻼﺣﻈﺔ‬‫اﻟﺒﺮهﺎن اﻟﺴﺎﺑﻖ ﻻ ی ّﺼﺢ إﻻ ﻡﻦ أﺝﻞ أﻋﺪاد ﻡﻮﺝﺒﺔ‪ .‬ﻟﻠﺒﺮهﺎن أ ّن اﻟﻤﺴﺎواة ﺻﺤﻴﺤﺔ ﻡﻬﻤﺎ آﺎﻧﺖ اﻷﻋﺪاد ‪a‬‬ ‫‪ d ، c ، b ،‬ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ ﺧﺎﺻﻴﺔ اﻟﺘﻮزیﻊ ﻟﻠﻀﺮب‪.‬‬

‫• اﺧﺘﺒﺎر ﻧﺘﻴﺠﺔ ﺣﺴﺎب ﺣﺮﻓﻲ ‪:‬‬ ‫ﺗﻤﺮیﻦ‬‫اﻧﺸﺮ وﺑ ّﺴﻂ اﻟﻌﺒﺎرة ) ‪ E = x ( x − 2) − ( x − 3x²‬ﺛ ّﻢ اﺧﺘﺒﺮ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻡﻦ أﺝﻞ ‪. x = 2‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫اﻟﺤ ّﻞ‬‫) ‪E = x ( x − 2) − ( x − 3x²‬‬‫‪= x × x − 2 × x − x + 3x²‬‬‫‪= x² − 2x − x + 3x²‬‬‫‪= x² + 3x² − 2x − x‬‬‫‪= (1 + 3) x² − (2 + 1) x‬‬‫‪= 4x² − 3x‬‬‫• ﻧﻌ ّﻮض ‪ x‬ﺑﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 2‬ﻓﻲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﻨﺎﺕﺠﺔ‪:‬‬ ‫ﻧﺨﺘﺒﺮ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻡﻦ أﺝﻞ ‪: x = 2‬‬ ‫‪E = 4 × 2² − 3 × 2‬‬ ‫• ﻧﻌ ّﻮض ‪ x‬ﺑﺎﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 2‬ﻓﻲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﻤﻌﻄﺎة‪:‬‬ ‫‪= 4×4 −6‬‬ ‫) ‪E = 2(2 − 2) − (2 − 3 × 2²‬‬ ‫‪= 16 − 6‬‬ ‫)‪= 2×0 −(2 − 3×4‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫‪= 0 − 2 + 12‬‬ ‫‪= 10‬‬ ‫ﻧﻼﺣﻆ أ ّن اﻻﺧﺘﺒﺎر ﻡﺤﻘﻖ‪.‬‬ ‫ــــــــــــــــــــــــــــــــــــ‬ ‫ﻃﺮیﻘﺔ‬‫ﻻﺧﺘﺒﺎر ﺹﺤﺔ ﺣﺴﺎب ﺣﺮﻓﻲ ‪ ،‬یﻜﻔﻲ ﺗﻌﻮیﺾ اﻟﺤﺮف ‪ x‬ﺏﻨﻔﺲ اﻟﻘﻴﻤﺔ ﻓﻲ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﻤﻌﻄﺎة وﻓﻲ اﻟﻌﺒﺎرة‬ ‫اﻟﻨﺎﺗﺠﺔ‪:‬‬ ‫‪ -‬إذا أﻋﻄﻰ اﻻﺧﺘﺒﺎر ﻧﺘﻴﺠﺘﻴﻦ ﻡﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ‪ ،‬ﻓﺈ ّن اﻟﺤﺴﺎب ﺧﺎﻃﺊ ‪.‬‬ ‫‪ -‬إذا آﺎن اﻻﺧﺘﺒﺎر ﻡﺤﻘﻖ‪ ،‬ﻓﻬﺬا یﺠﻌﻞ اﻟﺤﺴﺎب ﻡﻌﻘﻮﻻ وﻟﻜﻦ ذﻟﻚ ﻻ یﻜﻮن آﺎﻓﻴﺎ ﻟﻠﺠﺰم ﻡﻦ ﺹﺤﺘﻪ‪.‬‬

‫• اﻟﻤﺴﺎویﺎت‪-‬اﻟﻤﺘﺒﺎیﻨﺎت واﻟﻌﻤﻠﻴﺎت ‪:‬‬ ‫• ﻡﻘﺎرﻧﺔ ﻋﺪدیﻦ ﻧﺎﻃﻘﻴﻦ‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ‬ ‫‪ d ، c ، b ، a‬أﻋﺪاد ﻧﺴﺒﻴﺔ ﻡﻊ ‪ b‬و ‪ d‬ﻏﻴﺮ ﻡﻌﺪوﻡﻴﻦ‪:‬‬ ‫یﻌﻨﻲ ‪ad = bc‬‬ ‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪c‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‬‫‪( 2 × 26‬‬ ‫≠‬ ‫‪5 × 13‬‬ ‫)ﻷ ّن‪،‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≠‬ ‫‪5‬‬ ‫)ﻷ ّن‪ ( 5 × 18 = 6 × 15 ،‬؛‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪15‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪26‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪18‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‬ ‫‪ y ، x‬ﻋﺪدان ﻧﺎﻃﻘﺎن‪.‬‬ ‫‪ x ≤ y‬یﻌﻨﻲ ‪ x − y ≤ 0‬؛ ‪ x ≥ y‬یﻌﻨﻲ ‪x − y ≥ 0‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‬‫= ‪x− y‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪14‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪15‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ‪:‬‬ ‫؛‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪5‬‬ ‫= ‪،x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻡﻦ أﺝﻞ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أي أ ّن ‪. x − y ≤ 0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪2‬‬ ‫≤‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻡﻨﻪ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻡﻼﺣﻈﺔ‬ ‫یﻤﻜﻦ اﺱﺘﺒﺪال ≤ )أو ≥ ( ﺑﺎﻟﺮﻡﺰ <)أو >( ﻓﻲ اﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﺴﺎﺑﻘﺔ‪.‬‬ ‫• اﻟﻤﺴﺎویﺎت‪-‬اﻟﻤﺘﺒﺎیﻨﺎت واﻟﻌﻤﻠﻴﺎت‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة ‪1‬‬ ‫‪ c ، b ، a‬أﻋﺪاد ﻧﺴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ ، a ≤ b‬ﻓﺈ ّن ‪a + c ≤ b + c‬‬ ‫ﻧﻘﻮل أیﻀﺎ‪:‬‬ ‫اﻟﻌﺪدان ‪ b + c ، a + c‬ﻡﺮﺕﺒﺎن ﻓﻲ ﻧﻔﺲ ﺕﺮﺕﻴﺐ اﻟﻌﺪدیﻦ ‪. b ، a‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‬ ‫‪ .1‬إذا آﺎن ‪ ، a < −1‬ﻓﺈ ّن )‪. a − (−5) < −1 − (−5‬‬ ‫أي أ ّن ‪. a + 5 < 4‬‬ ‫‪ .2‬إذا آﺎن ‪ ، x + 3 = −1‬ﻓﺈ ّن ) ‪. x + 3 + ( −3 ) = −1 + ( −3‬‬ ‫أي أ ّن ‪. x = −4‬‬

‫ﻗﺎﻋﺪة ‪1‬‬ ‫‪ k ، b ، a‬أﻋﺪاد ﻧﺴﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬إذا آﺎن ‪ a ≤ b‬و ‪ ، k > 0‬ﻓﺈ ّن ‪. ka ≤ kb‬‬ ‫‪ -‬إذا آﺎن ‪ a ≤ b‬و ‪ ، k < 0‬ﻓﺈ ّن ‪. ka ≥ kb‬‬ ‫ﻧﻘﻮل أیﻀﺎ‪:‬‬‫ƒ ﻋﻨﺪﻡﺎ یﻜﻮن ‪ k‬ﻡﻮﺝﺒﺎ ﺕﻤﺎﻡﺎ‪ ،‬ﻓﺈ ّن اﻟﻌﺪدیﻦ ‪ ka‬و ‪ kb‬ﻡﺮﺕﺒﺎن ﻓﻲ ﻧﻔﺲ ﺕﺮﺕﻴﺐ اﻟﻌﺪدیﻦ ‪. b ، a‬‬‫ƒ ﻋﻨﺪﻡﺎ یﻜﻮن ‪ k‬ﺱﺎﻟﺒﺎ ﺕﻤﺎﻡﺎ‪ ،‬ﻓﺈ ّن اﻟﻌﺪدیﻦ ‪ ka‬و ‪ kb‬ﻡﺮﺕﺒﺎن ﻓﻲ ﻋﻜﺲ ﺕﺮﺕﻴﺐ اﻟﻌﺪدیﻦ ‪. b ، a‬‬ ‫أﻡﺜﻠﺔ‬‫‪.‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫×‬ ‫‪x‬‬ ‫≥‬ ‫‪−‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻓﺈ ّن‬ ‫‪،x‬‬ ‫≤‬ ‫‪−1‬‬ ‫إذا آﺎن‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬