دروس مادة الرياضيات للفصل الاول للشعب الادبية سنة ثالثة ثانوي

‫‪Un +1 = 6 (2)n‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫‪U n1‬‬ ‫‪6(2 )n‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪3(2 )n‬‬ ‫‪3‬‬ ‫إذن )‪ (Un‬هﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺱﻴﺔ أﺱﺎﺱﻬﺎ ‪q = 2‬‬ ‫‪2) Un = (-4) (3)n‬‬ ‫إﻳﺠﺎد ‪ : Un +1‬ﻟﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪Un +1 = (-4) (3)n +1‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪Un +1 = (-4) (3)n(3) = (-4) (3) (3)n‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫‪Un +1 = (-12) (3)n‬‬‫‪U n1‬‬ ‫‪(12)(3 )n‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪(12)(3 )n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫إذن )‪ (Un‬هﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺱﻴﺔ أﺱﺎﺱﻬﺎ ‪q = 3‬‬ ‫)‪Un = n2 3‬‬ ‫إﻳﺠﺎد اﻟﺤﺪ ‪:Un +1‬‬ ‫‪Un +1 = (n+1)2 = n2 + 2n + 1‬‬‫‪U n1‬‬ ‫‪n2 2n1‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‬ ‫‪2n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪n2‬‬‫‪U n1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫إذن )‪ (Un‬ﻟﻴﺴﺖ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺱﻴﺔ‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 14‬‬ ‫)‪q =2, U0 =3 1‬‬ ‫‪ -1‬آﺘﺎﺏﺔ ‪ Un‬ﺏﺪﻻﻟﺔ ‪: n‬‬

‫‪Un = U0.qn‬‬ ‫ﻟﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪Un = 3 .(2)n‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪ -2‬دراﺱﺔ اﺗﺠﺎﻩ ﺗﻐﻴﺮ )‪: (Un‬‬ ‫‪Un+1 – Un = 3 (2)n+1 – (3) (2)n‬‬ ‫ﻟﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪= 3(2)n (2) – (3) (2)n‬‬ ‫)‪= 3 .(2)n [ 2-1 ] = 3.(2)n (1‬‬ ‫ﻋﺎﻣﻞ ﻣﺸﺘﺮك‬‫و ﺏﻤﺎ أن ‪ 3.(2)n(1) :‬هﻮ ﻋﺪد ﻣﻮﺝﺐ ﻋﺎﻣﺎ ﻣﻦ أﺝﻞ آﻞ ‪ n‬ﻃﺒﻴﻌﻲ ﻓﺎن‪:‬‬ ‫‪Un+1 - Un >0‬‬ ‫إذن‪ (Un) :‬ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﺗﻤﺎﻣﺎ ﻋﻠﻰ ‪N‬‬‫‪3)q 2, U 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬آﺘﺎﺏﺔ ‪ Un‬ﺏﺪﻻﻟﺔ ‪: n‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪Un = U0.qn‬‬ ‫‪ U n‬‬‫‪1‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫دراﺱﺔ اﺗﺠﺎﻩ ﺗﻐﻴﺮ )‪(Un‬‬ ‫ ‪ 2 n1‬‬ ‫‪ 2n‬‬‫‪   Un1Un‬‬‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪   U n1  U n‬‬ ‫‪2n‬‬‫‪1‬‬ ‫ ‪ 2n 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪:‬‬‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ U n1  U n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2n 21‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ U n1  U n‬‬‫‪1‬‬ ‫‪ 2n 3‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻥﻤﻴﺰ ﺣﺎﻟﺘﻴﻦ‪:‬‬ ‫* إذا آﺎن ‪ n‬زوﺝﻲ ﻓﺎن ‪ (-2)n‬ﻋﺪد ﻣﻮﺝﺐ ﺗﻤﺎﻣﺎ و ﻣﻨﻪ‪:‬‬

‫‪ 1‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪ 3 ¢ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫إذن )‪ (Un‬ﻣﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺗﻤﺎﻣﺎ‬‫* إذا آﺎن ‪ n‬ﻓﺮدي ﻓﺎن‪ (-2)n :‬ﺱﺎﻟﺐ ﺗﻤﺎﻣﺎ و ﻣﻨﻪ‪:‬‬‫‪ 1‬‬‫‪ 2n 3²0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أي أن )‪ (Un‬ﻣﺘﺰاﻳﺪة ﺗﻤﺎﻣﺎ‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪:15‬‬ ‫) ‪ (Un‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺱﻴﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ *‪N‬‬ ‫آﺘﺎﺏﺔ ‪ ) Un‬اﻟﺤﺪ اﻟﻌﺎم( ﺏﺪﻻﻟﺔ ‪: n‬‬ ‫‪1) q = 2 , U1 = -3‬‬ ‫‪Un = U1 . qn -1‬‬ ‫ﻟﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪Un = (-3) (2)n -1‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫‪2)q‬‬ ‫§©¨‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪·¹¸,‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Un = U1 . qn-1‬‬ ‫ﻟﻨﺎ‪:‬‬ ‫إذن‬ ‫‪ U n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬‫‪3) q= -3 , U1 = +2‬‬ ‫ﻟﻨﺎ ‪:‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪Un = U0.qn-1‬‬ ‫‪Un = (+2)(-3)n-1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 16‬‬ ‫‪ (1‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪: q‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ U2=3 , U4=12 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪U4=U2 q(4-2) :‬‬

‫‪q2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ 12=3.q2‬ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ q‬ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻓﺈﻥ ‪q=2 :‬‬ ‫‪ (2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ‪: U0‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ Un=U0.qn :‬ﻭﻤﻨﻪ ﺒﺘﻌﻭﻴﺽ ‪ n=2‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬‫‪U0‬‬ ‫‪U2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ U2=U0.q2‬ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪q2‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪(3‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ Un‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪: n‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Un=U0.qn :‬‬ ‫‪ Un‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2n‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬‫‪Sn U0 U1 ...U n‬‬ ‫ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺠﻤﻮع ‪:Sn‬‬‫‪> @Sn‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬‫‪U0‬‬ ‫‪q(n1) 1‬‬ ‫‪q 1‬‬ ‫وﻣﻨﻪ‪:‬‬‫‪> @Sn‬‬ ‫§¨©‬ ‫‪3‬‬ ‫¸‪·¹‬‬ ‫‪2(n1) 1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪21‬‬‫‪> @Sn‬‬ ‫¨©§‬ ‫·‪¸¹‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2n1 1‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫‪4‬‬‫§¨©‬‫‪> @S6‬‬‫‪·¸¹‬‬ ‫إﺱﺘﻨﺘﺎج ‪: S6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪261 1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬‫¨©§‬‫‪> @ > @S6‬‬‫‪¸·¹‬‬ ‫§©¨‬ ‫‪3‬‬ ‫¸·‪¹‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪261 1‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1281‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪S6‬‬ ‫¨§©‬ ‫‪381‬‬ ‫¸·‪¹‬‬ ‫إذن‬ ‫‪4‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 18‬‬‫)‪ (Un‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺱﻴﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ أﺱﺎﺱﻬﺎ ‪ (q>0) q‬ﺏﺤﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪U0 = 1‬‬ ‫‪U0 + U1 + U2 = 13‬‬ ‫‪-1‬ﺣﺴﺎب اﻷﺱﺎس ‪:q‬‬‫ﻥﻜﺘﺐ آﻞ ﺣﺪ ﻓﻲ اﻟﻤﺠﻤﻮع ﺏﺪﻻﻟﺔ اﻷﺱﺎس ‪ q‬و اﻟﺤﺪ اﻷول ‪: U0‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‪Un = U0 .qn :‬‬ ‫‪U0 = U0 = 1‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ‪ :‬ﻟﻤﺎ ‪ n = 0‬ﻓﺈن‬ ‫‪U1 = U0 .q = q‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ n = 1‬ﻓﺈن‬‫‪U2 = U0 . q2 = 1.q2 = q2‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ n = 2‬ﻓﺈن‬ ‫ﺏﺎﻟﺘﻌﻮﻳﺾ ﻓﻲ ﻋﺒﺎرة اﻟﻤﺠﻤﻮع ﻥﺠﺪ ‪:‬‬ ‫‪1+q+q2 = 13‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ‪q2 + q +1 – 13 = 0 :‬‬ ‫إذن‪q2 + q -12 = 0 :‬‬ ‫و هﻲ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ اﻟﺪرﺝﺔ اﻟﺜﺎﻥﻴﺔ ذات اﻟﻤﺠﻬﻮل ‪q‬‬ ‫ﺣﺴﺎب اﻟﻤﻤﻴﺰ ∆‪:‬‬ ‫‪a = 1, b = 1, c = -12‬‬ ‫)‪∆ = b2 – 4ac = (1)2 – 4(1)(-12‬‬ ‫‪∆ = 1+48 = 49,‬‬ ‫إذن ‪' 7 :‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ ﺣﻠﻴﻦ ﻣﺘﻤﺎﻳﺰﻳﻦ ‪:‬‬‫‪q1‬‬ ‫' ‪b‬‬ ‫‪1 7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪q2‬‬ ‫' ‪b‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺏﻤﺎ أن اﻷﺱﺎس ﻣﻮﺝﺐ ﻓﺈن ‪q=3 :‬‬

‫آﺘﺎﺑﺔ ‪ Un‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪: n‬‬ ‫‪Un = U0 .qn‬‬ ‫‪Un = 1. (3)n‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫‪Un = 3n‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺠﻤﻮع ‪:Sn‬‬‫‪Sn U 0 U1 ...U n‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪:‬‬‫‪> @Sn‬‬‫‪U0‬‬ ‫‪q(n1) 1‬‬ ‫‪q 1‬‬‫‪> @Sn‬‬‫‪1‬‬ ‫‪3(n1) 1‬‬ ‫‪31‬‬‫‪> @Sn‬‬ ‫‪3n1 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 19‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻣﺒﻠﻎ اﻟﻤﻮدع هﻮ ‪ V0‬و ﻣﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪V0 = 11000 DA‬‬ ‫اﻟﻤﺒﻠﻎ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﺎم ‪ 2001‬و ﻟﻴﻜﻦ ‪: V1‬‬ ‫)‪V1 =V0 +( 0.06)V0 = V0 (1+0.06‬‬ ‫‪V1 = (11000) (1.06) = 11660 DA‬‬‫اﻟﻤﺒﻠﻎ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﺎم ‪ 2002‬و ﻟﻴﻜﻦ ‪: V2‬‬ ‫) ‪V2 = 11660 . (1.06) = V1( 1 + 0.06‬‬ ‫‪V2 = (11660 )(1.06) = 12359.6 DA‬‬ ‫اﻟﻤﺒﻠﻎ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﻋﺎم ‪ 2003‬و ﻟﻴﻜﻦ ‪:V3‬‬ ‫) ‪V3 = V2 + (0.06)V2 = V2 ( 1 + 0.06‬‬‫و ﻣﻨﻪ‪V3 = V2 (1.06) = ( 12359.6 ) ( 1.06 ) :‬‬ ‫إذن ‪V3 = 13101.76 DA :‬‬

‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ‪ Vn+1‬و ‪: Vn‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ : Vn+1‬اﻟﻤﺒﻠﻎ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﺏﻌﺪ )‪ (n+1‬ﺱﻨﺔ‬ ‫‪ : Vn‬اﻟﻤﺒﻠﻎ اﻟﻤﺤﺼﻞ ﺏﻌﺪ ‪ n‬ﺱﻨﺔ‬ ‫و ﻣﻨﻪ‪Vn+1 = Vn + 0.06 Vn :‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫)‪Vn+1 = Vn (1+0.06‬‬ ‫أي ‪Vn+1 = Vn (1.06) :‬‬‫و ﻣﻨﻪ اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ )‪ (Vn‬هﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺱﻴﺔ أﺱﺎﺱﻬﺎ ‪ q = 1. 06‬و ﺣﺪهﺎ اﻷول ‪V0 = 11000‬‬‫آﺘﺎﺑﺔ ‪ Vn‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪: n‬‬‫‪Vn = V0 . qn‬‬ ‫ﻟﻨﺎ ‪:‬‬‫و ﻣﻨﻪ‪Vn = ( 11000 ) (1.06)n :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:20‬‬‫اﻹﻥﺘﺎج ﻋﺎم ‪ 2006‬هﻮ ‪ V0 = 3000‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫اﻹﻧﺘﺎج ﻋﺎم ‪ 2007‬هﻮ ‪:V1‬‬‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪V1 = V0 + (0.02)V0 :‬‬‫)‪V1 = V0 ( 1 + 0.02 ) = V0 ( 1.02‬‬‫إذن ‪V1 = 3000(1.02) = 3060 :‬‬‫اﻹﻧﺘﺎج ﻋﺎم ‪ 2008‬و هﻮ ‪:V2‬‬‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‪V2 = V 1 + 0.02. V1 :‬‬‫) ‪V2 = V1 ( 1 + 0. 02‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ‪:‬‬‫‪V2 = 3060 . 1.02‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ‪:‬‬‫ﻃﻦ ‪V2 = 3121.2‬‬ ‫إذن‪:‬‬ ‫اﻟﻌﻼﻗﺔ ﺑﻴﻦ ‪ Vn+1‬و ‪:Vn‬‬‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ : Vn+1‬اﻹﻥﺘﺎج ﺏﻌﺪ )‪ (n+1‬ﺱﻨﺔ‬ ‫‪ : Vn‬اﻹﻥﺘﺎج ﺏﻌﺪ ‪ n‬ﺱﻨﺔ‬

‫‪Vn+1 = Vn + 0.02Vn‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪:‬‬ ‫) ‪Vn+1 = Vn( 1 + 0.02‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫) ‪Vn+1 = Vn ( 1.02‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻥﺴﺘﻨﺘﺞ ان ‪:‬‬ ‫)‪ (Vn‬هﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺱﻴﺔ أﺱﺎﺱﻬﺎ ‪ q = 1.02‬و ﺣﺪهﺎ اﻷول هﻮ‬ ‫‪V0 = 3000‬‬ ‫آﺘﺎﺑﺔ ‪ Vn‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪: n‬‬ ‫‪Vn = V0.qn‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪Vn = 3000 ( 1.02 )n :‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪: Sn‬‬ ‫‪Sn U0 U1 ...U n‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪> @Sn‬‬ ‫‪U0‬‬ ‫‪q(n1) 1‬‬ ‫‪q 1‬‬ ‫‪> @Sn‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪(1.02)(n1) 1‬‬ ‫‪1.021‬‬‫‪> @ > @Sn‬‬‫‪300‬‬ ‫)‪(1.02 ) ( n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪300‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪(1.02)(n1) 1‬‬ ‫‪0.02‬‬ ‫‪2‬‬ ‫وﺏﻌﺪ اﻹﺧﺘﺰال ﻥﺠﺪ ‪:‬‬‫‪> @S n 300 u 50 (1.02)(n1) 1‬‬‫‪> @S n 15000 (1.02)(n1) 1‬‬

‫ﺍﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 21‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﺴﺎب ‪U3،U2،U1‬‬ ‫‪U0 = 1‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪Un+1 = -3Un + 2‬‬ ‫اذا وﺿﻌﻨﺎ ‪ n = 0 :‬ﻥﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪U0+1 = -3 + 2‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪U1 = -3U0 + 2‬‬ ‫إذن ‪U1 = -3(1) + 2 = -3 + 2 :‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪U1 = -1 :‬‬ ‫اذا وﺿﻌﻨﺎ ‪ n = 1‬ﻥﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪Un+1 = -3Un + 2‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪U2 = -3U1 + 2 :‬‬ ‫اذن ‪U2 = -3 (-1) + 2 = 3 + 2 :‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪U2 = 5 :‬‬ ‫إذا وﺿﻌﻨﺎ ‪ n = 2‬ﻥﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬ ‫‪U2+1 = -3U2 + 2‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ ‪U3 = -3U2 + 2 :‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫‪U3 = -3(5) + 2 = -15 + 2‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ‪U3 = -13 :‬‬ ‫‪ Vn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫ ‪Un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ‪ -‬ﺣﺴﺎب ‪V2 ، V1 ،V0‬‬‫‪ V0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪U0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ V1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2 1‬‬ ‫‪3‬‬‫ ‪U1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ V2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10 1‬‬ ‫‪9‬‬‫ ‪U2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪α‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ب‪ -‬ﺏﻤﺎ أن ‪ a=-3 , b=2 :‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪1 a‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬‫‪V0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫هﻮ‬ ‫‪ q = -3‬و ﺣﺪهﺎ اﻷول‬ ‫ﻓﺈن اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ )‪ (Vn‬هﻲ ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺱﻴﺔ أﺱﺎﺱﻬﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺝ‪ -‬ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ Vn‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪n‬‬ ‫‪Vn = V0 .qn‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪Vn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫د‪ -‬آﺘﺎﺑﺔ ‪ Un‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪n‬‬ ‫‪   Un‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪Vn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ Vn‬وﻣﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ ‪Un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪Sn = V0 + …+Vn‬‬ ‫ﻩ‪ -‬ﺣﺴﺎب اﻟﻤﺠﻤﻮع ‪:‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ ‫‪> @Sn‬‬ ‫‪V0‬‬ ‫‪q(n1) 1‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪q 1‬‬‫‪> @Sn‬‬ ‫‪1 (3)(n1) 1‬‬ ‫‪2 31‬‬‫‪> @ > @Sn‬‬ ‫‪1 (3)(n1) 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(3)(n1) 1‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪> @Sn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪(3)(n1) 1‬‬ ‫إذن ‪:‬‬

Sn/ ‫و – اﻟﻤﺠﻤﻮع‬> @Scn Sn/ = U0 + … +UnV0 q(n1) 1  1 (n  1) : ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ‬ q 1 21> @Scn 18 (3)(n1) 1  2 (n  1) : ‫وﻣﻨﻪ‬

‫ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪Z‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﻓﻲ ‪Z‬‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻭ ﺒﺎﻗﻴﻬﺎ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺼﺭ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻤﻀﺎﻋﻔﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﻴﻥ ﻟﻌﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻗﻭﺍﻨﻴﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺼﺤﻴﺤﻴﻥ )ﺃﻭ ﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﻋﺩﺩ ﻟﻌﺩﺩ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪.(n‬‬ ‫‪ -‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﻭ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﺤل ﻤﺸﺎﻜل‪.‬‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ - I‬ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪.Z‬‬ ‫‪ -II‬ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪Z‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﻓﻲ ‪Z‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫‪ -III‬ﺍﻟﺘﺸﻔﻴﺭ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪) II‬ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﻓﻲ ‪(Z‬‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬

‫‪ – I‬ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪Z‬‬ ‫ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ ‪:‬‬ ‫♦ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ 3Z‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪.3‬‬ ‫ﻭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ -3Z‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪-3‬‬ ‫ﻨﺭﻴﺩ ﺘﺒﻴﺎﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ‪ 3Z‬ﻭ ‪ -3Z‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺘﺎﻥ‪.‬‬ ‫♦ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 730‬ﻋﻠﻰ ‪ 8‬ﻤﺴﺘﻨﺘﺠﺎ ﺃﻨﻪ ﺘﻭﺠﺩ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ )‪ (q,r‬ﺤﻴﺙ ‪ q Z‬ﻭ ‪r N‬‬ ‫ﻭ ‪ r < 18‬ﻤﻊ ‪730= 18q + r‬‬ ‫♦ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃﻋﻁ ﻜل ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪36‬‬ ‫ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل ‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ 3Z‬ﺘﻜﺘﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ :‬ﺤﻴﺙ ‪ k‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪Z‬‬ ‫ﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ -3Z‬ﺘﻜﺘﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ’‪ k‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪.Z‬‬‫ﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ 3Z = -3Z‬ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﻋﻨﺼﺭﺍ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ 3Z‬ﻫﻭ ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪-3Z‬‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ﻋﻨﺼﺭﺍ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ -3Z‬ﻫﻭ ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪3Z‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ‪ x 3Z‬ﺇﺫﻥ ‪ x‬ﻴﻜﺘﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ :3k‬ﺤﻴﺙ ‪kZ‬‬ ‫‪ x=3k‬ﻭﻤﻨﻪ )‪ x= -(-3k‬ﺇﺫﻥ ﺒﻭﻀﻊ ‪k’ = -k‬‬ ‫ﺃﻱ )‪ x= -3(-k‬ﺇﺫﻥ '‪x= -3k‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪x-3Z‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﻤﺜل ﻨﻔﺭﺽ ‪ x-3Z‬ﺇﺫﻥ ‪ x‬ﻴﻜﺘﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ -3k’:‬ﺤﻴﺙ ‪k’ Z‬‬ ‫’‪ x= -3k‬ﻭﻤﻨﻪ ) '‪ x= 3(-k‬ﺒﻭﻀﻊ ‪-k’ = k‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ x=3k‬ﺃﻱ ‪x3Z‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻰ ﺫﻟﻙ ﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﺃﻥ ‪-3Z =3Z‬‬

‫ﺃﻱ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﺘﺴﺎﻭﻱ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪-3‬‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪:‬‬‫‪730 18‬‬ ‫ﻨﻘﺴﻡ ‪ 730‬ﻋﻠﻰ ‪18‬‬‫‪10 40‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪730= 40x18+10‬‬ ‫ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ‪ 10N‬ﻭ ‪10<18‬‬ ‫ﻭ ﺒﺎﻟﻤﻁﺎﺒﻘﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪730= 18q + r :‬‬ ‫ﻨﺠﺩ ‪َ q=40‬ﻭ ‪r=10‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺯﻭﺝ )‪ (q,r‬ﻫﻭ)‪ (40,10‬ﻭ ﻫﻭ ﺯﻭﺠﺎ ﻭﺤﻴﺩﺍ‪.‬‬ ‫*ﻨﺘﻴﺠﺔ ‪:‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ )‪ (q,r‬ﺒﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‪.Z‬‬ ‫•ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪:‬‬‫‪36 2‬‬ ‫ﻨﺤﻠل ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 36‬ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤﻠﻪ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ‬‫‪18 2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪36= 2² x 3²‬‬‫‪93‬‬ ‫ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﺃﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﻫﻭ ‪2‬‬‫‪33‬‬ ‫ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﺃﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻫﻭ ‪2‬‬‫ﻭ ﻟﻨﺎ ‪1 (2+1)(2+1) =9‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 9‬ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪36‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: 36‬‬ ‫ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﻫﻲ ‪22 ، 21 ، 20‬‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻫﻲ ‪32 ، 31 ، 30‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺃﺨﺫﻨﺎ ﺠﺩﺍﺀ ﺃﻱ ﻋﻨﺼﺭﻴﻥ ﻤﻥ ﺘﺤﻠﻴل ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 36‬ﻨﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺃﺤﺩ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 36‬ﻤﺜل ‪:‬‬ ‫‪20 x 30 = 1‬‬ ‫‪20 x 31 = 3‬‬ ‫‪20 x 32 = 9‬‬ ‫‪21 x 30 = 2‬‬ ‫‪21 x 31 = 6‬‬ ‫‪21 x 32 = 18‬‬ ‫‪22 x 30 = 4‬‬ ‫‪22 x 31 = 12‬‬

‫‪22 x 32 = 36‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 36‬ﻫﻲ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪E‬‬ ‫ﺤﻴﺙ }‪E= {1,2,3,4,6,9,12,18,36‬‬ ‫ﻫﻨﺎﻙ ‪ 9‬ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 36‬ﻤﻥ ﺒﻴﻨﻬﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪.36‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪:‬‬ ‫ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﺃﻭﻟﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪ 1‬ﻴﺤﻠل ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤل ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪A=aDbEcG:‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ c,b,a‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺃﻭﻟﻴﺔ ﻭ‪ D ,E,G‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﻗﻭﺍﺴﻡ ‪ A‬ﻫﻭ ‪(D+1)(E+1)(G+1) :‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﺫﻜﻴﺭ ﺒﺒﻌﺽ ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ‪ N‬ﻭ ‪: Z‬‬‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ N‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ }‪ {0,1,2,3,…….‬ﻭ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ‪ Z‬ﻫﻲ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪{….,-3,-2,-1,0,1,2,3,…..} :‬‬ ‫‪ -‬ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ‪NZ‬‬‫‪ -‬ﻜل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ‪ N‬ﻏﻴﺭ ﺨﺎﻟﻴﺔ ﺘﻘﺒل ﻋﻨﺼﺭﺍ ﺃﺼﻐﺭ ﻤﺜل ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ }‪ A={3,6,9,12‬ﻫﻲ‬ ‫ﺠﺯﺀ ﻤﻥ ‪ N‬ﻋﻨﺼﺭﻫﺎ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻫﻭ ‪3‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ B‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ ﻤﻥ ‪ N‬ﻋﻨﺼﺭﻫﺎ ﺍﻷﺼﻐﺭ ﻫﻭ ‪.1‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ‪ Z‬ﻟﻴﺱ ﻟﻬﺎ ﻋﻨﺼﺭﺍ ﺃﺼﻐﺭ ﺒﺎﻟﻀﺭﻭﺭﺓ‬ ‫ﻤﺜل ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ@‪@ -v , 3‬‬ ‫‪ -2‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ b,a‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪ k‬ﺤﻴﺙ ‪ b=k . a‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ‪ b‬ﻫﻭ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻫﻭ ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪. b‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﻠﻘﻭل ﺃﻥ ‪ a‬ﻫﻭ ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ b‬ﻨﻜﺘﺏ ‪ a/b‬ﻭ ﺘﻘﺭﺃ ‪ a‬ﻴﻘﺴﻡ ‪.b‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ‪ 72 = 8 x 9‬ﺘﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ 8‬ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 72‬ﻜﺫﻟﻙ ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 72‬ﻭ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ‪ 9 ، 8‬ﻫﻤﺎ ﻗﺎﺴﻤﺎﻥ‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 72‬ﺃﻱ ‪ 8/72 :‬ﻭ ‪.9/72‬‬

‫‪ -3‬ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻓﻲ ‪: Z‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ )ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ( ﻭ ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ a‬ﻋﺩﺩﺍ ﺼﺤﻴﺤﺎ ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ ﺘﻭﺠﺩ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ )‪ (q,r‬ﺤﻴﺙ ‪ q Z‬ﻭ ‪r N‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ a = bq + r‬ﻤﻊ ‪r<b‬‬ ‫‪ a‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻘﺴﻭﻡ‬ ‫‪ b‬ﻫﻭ ﺍﻟﻘﺎﺴﻡ )ﺃﻭ ﺍﻟﻤﻘﺴﻭﻡ ﻋﻠﻴﻪ(‬ ‫‪ q‬ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻭ ‪ r‬ﺒﺎﻗﻴﻬﺎ‬ ‫ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﺯﻭﺝ ﺍﻟﻭﺤﻴﺩ )‪ (q,r‬ﻫﻭ ﻨﺎﺘﺞ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪b‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 1‬‬ ‫ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 614‬ﻋﻠﻰ ‪ 37‬ﺘﻜﺘﺏ‬ ‫‪614 = 37 x 16 + 22‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ )‪ (q,r) = (16,22‬ﻤﻊ ‪22<37‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ )‪ (-786‬ﻋﻠﻰ ‪45‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ‪ +786 = 45(+16) + 11‬ﻭ ﺒﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻓﻲ )‪ (-1‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪-786 = 45 (-16) -11‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ -11‬ﻏﻴﺭ ﻤﻘﺒﻭل ﻜﺒﺎﻗﻲ ﻷﻨﻪ ﺴﺎﻟﺒﺎ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ﻨﺘﺒﻊ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪-786 = 45(-16)-45 + 45 -11‬‬ ‫)‪-786 = 45(-16-1)+(45-11‬‬ ‫‪-786 = 45(-17)+34‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ q = -17‬ﻭ ‪ r = 34‬ﻤﻊ ‪34<45‬‬‫ﺘﻁﺒﻴﻕ ‪ :‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ‪ x‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻫﻭ ‪ 2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ x²‬ﻋﻠﻰ ‪7‬؟‬ ‫ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪x = 7q + 2 :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪x² = (7q + 2)² :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ x² = 49 q² + 28q + 4‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪x² = 7(7q² + 4 q) + 4‬‬ ‫ﻭ ﺒﻭﻀﻊ ‪ q’ = 7q² + 4q‬ﻨﺠﺩ ‪x² = 7q’ + 4‬‬ ‫ﻭ ‪ 7>4‬ﺇﺫﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ x²‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻫﻭ ‪.4‬‬

‫‪ -4‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻵﻟﺔ ﺍﻟﺤﺎﺴﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﺒﺭﻤﺠﺔ ﺤﺎﺴﺒﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﻤﻥ ﻨﻭﻉ » ‪ « TI83+‬ﻹﻨﺠﺎﺯﺍﻟﻘﺴﻤﺔﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻓﻲ ‪Z‬‬ ‫‪ -I‬ﺘﻬﻴﺌﺔ ﺍﻵﻟﺔ ﻻﺴﺘﻘﺒﺎل ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻨﻰ‬‫‪n PRGM‬‬ ‫ﻓﺘﺢ ﻨﺎﻓﺫﺓ ﺍﻟﺒﺭﺍﻤﺞ‬‫‪Y New‬‬ ‫ﻓﺘﺢ ﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺠﺩﻴﺩ‬ ‫‪ENTER‬‬ ‫ﺘﺴﻤﻴﺔ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ‬ ‫ﻓﻲ ﻤﻜﺎﻥ ‪ ...‬ﻨﻀﻊ‬‫……=‪Z AME‬‬ ‫ﺍﺴﻡ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ )‪NA‬‬ ‫ﻤﺜﻼ(‬ ‫‪ENTER‬‬ ‫ﺒﻌﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ‬ ‫)ﺍﻵﻟﺔ ﺠﺎﻫﺯﺓ ﻻﺴﺘﻘﺒﺎل‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ(‬ ‫‪PROGRAMME : NA‬‬ ‫‪:‬‬

‫‪ -II‬ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ‪ :‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ Q‬ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ A‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ B‬ﻭ ‪ R‬ﺒﺎﻗﻴﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﻨﻰ‬ ‫ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ‬‫‪n PRGM‬‬ ‫ﺇﺩﺨﺎل ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ A‬ﺜﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪: PROGRAMME : NA‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪: Prompt A,B‬‬ ‫‪I/O‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪: Prompt‬‬ ‫‪A ;B‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ENTER‬‬ ‫ﺘﺨﺯﻴﻥ ﺍﻟﺠﺯﺀ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ‬ ‫‪: PROGRAMME : NA‬‬ ‫‪: Prompt A,B‬‬‫‪Y‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪: int (A/B) Æ C‬‬ ‫‪MATH‬‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪B‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪NUM‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺫﺍﻜﺭﺓ ‪C‬‬ ‫)‪int(A÷B‬‬ ‫‪5 STO ÆC‬‬‫‪Z A- B x C‬‬ ‫ﺘﺨﺯﻴﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪ENTER‬‬ ‫‪A-BxC‬‬ ‫‪Sto Æ D‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺫﺍﻜﺭﺓ ‪D‬‬ ‫‪ENTER‬‬‫‪[ PRGM I/O‬‬ ‫ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪Q = C‬‬ ‫‪3 DISP‬‬‫’‘ ‪Q‘’ 2nd MATH 1‬‬ ‫‪;C‬‬ ‫‪Enter‬‬

‫‪5‬‬ ‫ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪R=D‬‬ ‫‪: PROGRAMME : NA‬‬‫‪I/O PRGM‬‬ ‫‪: Prompt A,B‬‬ ‫‪3 DISP‬‬ ‫‪: int (A/B) Æ C‬‬ ‫‪: A-B*C Æ D‬‬‫’‘ ‪;R‘’ 2nd MATH 1‬‬ ‫‪: Disp “Q=”; D‬‬‫‪D‬‬‫‪Enter‬‬‫‪2nd‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻐﺎﺩﺭﺓ‬ ‫‪Quit‬‬‫‪mode‬‬ ‫ﺘﻨﺒﻴﻪ ‪ :‬ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ; ﺘﻌﻨﻲ ﻓﺎﺼﻠﺔ‬‫‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﺘﻜﻭﻥ ﻁﻠﺒﻴﺎﺕ ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ ﻻ ﺘﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪ Clean‬ﻟﻠﻤﻐﺎﺩﺭﺓ ﺍﺴﺘﻌﻤل‬ ‫ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪Quit‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﺍﻟﺤﺭﻭﻑ ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪ ALPHA‬ﻓﻲ ﻜل ﻤﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﺭﺍﺤل‬ ‫ﺍﻟﺨﻼﺼﺔ ‪:‬‬ ‫‪PRGM ; EXEC ; NA ENTER‬‬ ‫? =‪A‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪:‬‬ ‫‪ENTER‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ﻤﺜﻼ )‪(4273‬‬ ‫‪ENTER‬‬ ‫? =‪B‬‬ ‫) ‪(Q=1 9‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ﻤﺜﻼ )‪(221‬‬ ‫) ‪(R=74‬‬ ‫ﻓﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ‬ ‫) ‪ Q‬ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ‬ ‫ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ A‬ﻋﻠﻰ ‪ B‬ﻭ ‪ R‬ﺒﺎﻗﻴﻬﺎ(‬

‫‪ -5‬ﺤﺼﺭ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﺒﻴﻥ ﻤﻀﺎﻋﻔﻴﻥ ﻤﺘﻌﺎﻗﺒﻴﻥ ﻟﻌﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ‪:‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ b‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪ a=bq +r‬ﻤﻊ ‪0dr b‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪ 0dr b‬ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ ‪ bq‬ﺇﻟﻰ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺒﺎﻴﻨﺔ ﻨﺠﺩ‬ ‫‪bq drb+qb+bq‬‬ ‫)‪bq drb+qb(1+q‬‬ ‫‪ bq‬ﻭ )‪ b(1+q‬ﻤﻀﺎﻋﻔﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﻴﻥ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪b‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪bq dab(1+q) :‬‬ ‫ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬‫)‪ bq dab(1+q‬ﺤﻴﺙ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺼﺤﻴﺢ ‪ a‬ﻭ ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ b‬ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪ q‬ﻫﻭ ﺤﺎﺼل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟـ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪.b‬‬‫*ﻨﺘﻴﺠﺔ ‪ :‬ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺘﻤﻜﻨﻨﺎ ﻤﻥ ﺤﺼﺭ ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﺒﻴﻥ ﻤﻀﺎﻋﻔﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﻴﻥ ﻟﻌﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ : 1‬ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 273‬ﻋﻠﻰ ‪41‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 273 = 41(6) + 27 :‬ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫)‪41(6) ≤ 273 < 41(6+1‬‬ ‫‪246 ≤ 273 < 287‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ 246‬ﻭ ‪ 287‬ﻫﻤﺎ ﻤﻀﺎﻋﻔﻴﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﻴﻥ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.41‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ : 2‬ﻓﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ -335‬ﻋﻠﻰ ‪25‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪-335 = 25(-14) + 15 :‬‬ ‫)‪25(-1-14) ≤ -335 < 25(-14‬‬ ‫‪-375 ≤ -335 < -350‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ‪ -375‬ﻭ ‪ -350‬ﻫﻤﺎ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﻥ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺎﻥ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪25‬‬ ‫‪ -6‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻨﺘﺒﻊ ﺍﻟﺨﻁﻭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻨﺤﻠل ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺇﻟﻰ ﺠﺩﺍﺀ ﻋﻭﺍﻤﻠﻪ ﺍﻷﻭﻟﻴﺔ‬ ‫ﻨﻌﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ‬ ‫‪x‬‬‫ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﻭ ﺫﻟﻙ ﺒﻀﺭﺏ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻤﻥ ﻋﻭﺍﻤل ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﻓﻲ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺒﺎﻗﻴﺔ )ﻤﺜﻼ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪24‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻫﻲ ‪(24 ،23 ،22 ،21 ،20‬‬

‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺼﻔﺭ ﻫﻲ ‪N‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﻫﻲ }‪{1‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﻋﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﻭ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪252‬‬ ‫ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬‫‪252 2‬‬ ‫ﻨﺤﻠل ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ : 252‬ﺇﺫﻥ ‪252 = 2² x 3² x 7‬‬‫‪126 2‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﻭﺍﺴﻡ ﻫﻭ ‪:‬‬‫‪63 3‬‬ ‫‪(2+1)(2+1)(1+1) = 18‬‬‫‪21 3‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 252‬ﻴﻘﺒل ‪ 18‬ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻤﻨﻬﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪252‬‬ ‫‪77‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪252‬‬ ‫ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﻫﻲ ‪22 ،21 ،20 :‬‬ ‫ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻫﻲ ‪32 ،31 ،30 :‬‬ ‫ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 7‬ﻫﻲ ‪71 ،70 :‬‬‫‪ -‬ﻨﻀﺭﺏ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﻓﻲ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﺜﻡ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 7‬ﻜﺫﻟﻙ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻓﻲ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪7‬‬ ‫ﺜﻡ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 7‬ﻓﻲ ﻗﻭﻯ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﻭ ‪3‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪21 x 31 = 6‬‬ ‫‪20 x 21 = 2‬‬ ‫‪21 x 32 = 18‬‬ ‫‪20 x 22 = 4‬‬ ‫‪21 x 7 = 14‬‬ ‫‪20 x 31 = 3‬‬ ‫‪22 x 31 = 12‬‬ ‫‪20 x 32 = 9‬‬ ‫‪22 x 32 = 36‬‬ ‫‪20 x 71 = 7‬‬ ‫‪22 x 7 = 28‬‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ‪:‬‬ ‫‪31 x 71 = 21‬‬ ‫‪32 x 71 = 63‬‬ ‫‪7 x 21 x 31 = 42‬‬ ‫‪7 x 22 x 31 = 84‬‬ ‫‪7 x 21 x 32 = 126‬‬ ‫‪7 x 22 x 32 = 152‬‬ ‫‪20 x 30 x 70 = 1‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 252‬ﻫﻲ‬

‫}‪E ={1,2,3,4,7,9,12,14,18,21,28,36,42,63,84,126,252‬‬ ‫ﻹﻴﺠﺎﺩ ﻗﻭﺍﺴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 252‬ﻁﺭﻴﻘﺔ ‪: 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬‫‪33‬‬ ‫‪6 12‬‬‫‪39‬‬ ‫‪18 36‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻴﻀﺭﺏ ﻓﻲ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻴﺴﺒﻘﻪ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪14 28‬‬ ‫‪21 42 84‬‬‫‪7‬‬ ‫‪63 126‬‬ ‫‪252‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 7‬ﻴﻀﺭﺏ ﻓﻲ ﻜل ﻋﺩﺩ ﻴﺴﺒﻘﻪ‬ ‫‪ -II‬ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪Z‬‬ ‫ﺍﻷﻨﺸﻁــﺔ‬ ‫♦ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 1‬‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 128‬ﻭ ‪ 86‬ﻟﻬﻤﺎ ﻨﻔﺱ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪.7‬‬ ‫♦ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 2‬‬ ‫‪ A‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭ ‪b = 219‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ a‬ﺤﺘﻰ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﻪ ﻨﻔﺱ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ b‬ﻋﻠﻰ ‪ 6‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪200< a < b‬‬ ‫♦ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 3‬‬‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻡ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪،6 ،5 ،4 ،3 ،2 ،1 ،0 : n‬‬ ‫‪ 8 ،7‬؛ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫‪ (2‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ؟‬

‫ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‬ ‫•ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪128 = 7(18) + 2‬‬ ‫ﻭ ‪86 = 7(12) + 2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ﻨﻔﺱ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻭ ﻫﻭ ‪2‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﻜﻭﻥ ﺃﻨﻨﺎ ﻭﺠﺩﻨﺎ ﺃﻥ ﻟﻠﻌﺩﻴﻥ ‪ 128‬ﻭ ‪ 86‬ﻨﻔﺱ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﻤﺘﻭﺍﻓﻘﻴﻥ‬ ‫ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪ 7‬ﻭ ﻨﻜﺘﺏ‬ ‫]‪128 {86[7‬‬ ‫• ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ b = 219 = 6(36) + 3 :‬ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻫﻭ ‪3‬‬ ‫ﻭ ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪) a = 6q + 3‬ﻟـ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ(‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 200< a < b‬ﺇﺫﻥ‬ ‫‪ 200< 6q + 3 < 219‬ﻨﻀﻴﻑ )‪(-3‬‬‫‪197‬‬ ‫‪¢‬‬ ‫‪6q‬‬ ‫‪¢‬‬ ‫‪216‬‬ ‫‪ 197 < 6q < 216‬ﻨﻘﺴﻡ ﻋﻠﻰ ‪ 6‬ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪32,7 < q < 36:‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ q‬ﻋﺩﺩ ﺼﺤﻴﺢ ﺇﺫﻥ ‪q^33 , 34 ,35` :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪a = 6q + 3‬‬ ‫‪ a = 6(33) + 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪a = 201‬‬ ‫‪ a = 6(34) + 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪a = 207‬‬ ‫‪ a = 6(35) + 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ‪a = 213‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ `‪a^201,207,213‬‬ ‫•ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪:‬‬‫‪ 30 = 1‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻫﻭ ‪ 1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪n = 0‬‬ ‫‪(1‬‬‫‪ 31 = 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻫﻭ ‪ 3‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪n = 1‬‬‫‪ 32 = 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻫﻭ ‪ 2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪n = 2‬‬‫‪ 33 = 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻫﻭ ‪ 6‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪n = 3‬‬‫‪ 34 = 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻫﻭ ‪ 4‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪n = 4‬‬‫‪ 35 = 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻫﻭ ‪ 5‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪n = 5‬‬

‫‪ 36 = 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻫﻭ ‪ 1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪n = 6‬‬‫‪ 37 = 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻫﻭ ‪ 3‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪n = 7‬‬‫‪ 38 = 3‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 3n‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻫﻭ ‪ 2‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪n = 8‬‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 36‬ﻭ ‪ 30‬ﻫﻭ ‪1‬‬ ‫‪(2‬‬‫ﻜﺫﻟﻙ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 37‬ﻭ ‪ 31‬ﻫﻭ ‪3‬‬‫ﻜﺫﻟﻙ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ 38‬ﻭ ‪ 32‬ﻫﻭ ‪2‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ 36‬ﻭ ‪ 30‬ﻤﺘﻭﺍﻓﻘﺎﻥ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪7‬‬‫ﻜﺫﻟﻙ ‪ 37‬ﻭ ‪ 31‬ﻭ ‪ 38‬ﻭ ‪ 32‬ﻤﺘﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪.7‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬‫‪ N‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ‪ a,b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪n ≥ 2‬‬‫ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ‪ a‬ﻴﻭﺍﻓﻕ ‪ b‬ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪ n‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻨﻔﺱ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ‪n‬‬‫ﻭ ﻨﻜﺘﺏ ]‪ a{ b[n‬ﻭ ﺘﻘﺭﺃ ‪ a‬ﻴﻭﺍﻓﻕ ‪ b‬ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪.n‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪ n‬ﺒﺎﻟﺸﻜل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ a :‬ﻴﻭﺍﻓﻕ ‪ b‬ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪ n‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ (a – b‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ‬‫ﻋﻠﻰ ‪ b ، a ، n‬ﺼﺤﻴﺤﺎﻥ ﻭ ‪ n ≠ 0‬ﻭ‬ ‫‪n≥2‬‬‫ﻤﺜﺎل ‪10 { 6[4] : 1‬‬‫ﻷﻥ ‪ 10 = 4 u 2 + 2‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 10‬ﻋﻠﻰ ‪ 4‬ﻫﻭ ‪2‬‬‫ﻜﺫﻟﻙ ‪ 6 = 4 u 1 + 2‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 6‬ﻋﻠﻰ ‪ 4‬ﻫﻭ ‪2‬‬‫ﻤﺜﺎل ‪21 { -11[8] : 2‬‬ ‫‪21 = 8 . 2 + 5‬‬‫‪-11 = 8 (- 2) + 5‬‬ ‫‪ -2‬ﻨﺘﺎﺌﺞ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ r ،b ،a‬ﻓﻲ ‪ Z‬ﻭ ‪ n‬ﻓﻲ *‪ N‬ﻤﻊ ‪n ≥ 2‬‬‫]‪ a { b[n‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ]‪b { a[n‬‬ ‫‪(1‬‬‫]‪ a { 0[n‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ n‬ﻗﺎﺴﻤﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪a‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ]‪ a { r[n‬ﻭ ‪0 ≤ r < n‬‬ ‫‪(3‬‬‫إذن ‪ r‬هﻮ ﺑﺎﻗﻲ اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻹﻗﻠﻴﺪﻳﺔ ﻟﻠﻌﺪد ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪n‬‬‫ﻡﺜﻞ ‪ 23 { 3[20] :‬ﺤﻴﺙ ‪ r = 3‬ﻭ ‪0 ≤ 3 < 20‬‬

‫‪ -3‬ﺨﺼﺎﺌﺹ ‪:‬‬ ‫‪ a { b[n] (1‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ﺃﻥ )‪ (a – b‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.n‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪ a { b[n] :‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ a = qn + r‬ﻭ ‪b = q’n + r‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ )‪ a – b = (qn + r) – (q’n + r‬ﺇﺫﻥ ‪a – b = qn – q’n‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ a – b = (q – q’)n‬ﻭ ﻤﻨﻪ )‪ (a-b‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪n‬‬ ‫‪ c ،b ،A (2‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺼﺤﻴﺤﺔ‪ n ،‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n≠0‬ﻭ ‪n≥2‬‬ ‫‪ (3‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ]‪a { b[n‬‬ ‫]‪) a { c[n‬ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺘﻌﺩﻱ (‬ ‫ﻭ ]‪ b { c[n‬ﻓﺈﻥ‬ ‫‪ (4‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ@‪ a{b>n‬ﻭ @‪a’{b’>n‬‬ ‫@‪a+a'{b+b'>n‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫@‪a-a'{b-b' > n‬‬ ‫@‪a.a'{b.b' > n‬‬ ‫@‪ap{bp>n‬‬ ‫*‪pN‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ : 2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ]‪ a { b[n‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a ،b‬ﻨﻔﺱ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪.n‬‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ]‪ a { c[n‬ﺇﺫﻥ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a ،b‬ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻋﻠﻰ ‪n‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a ،c‬ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻋﻠﻰ ‪n‬‬ ‫ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ a { b[n] : 3‬ﻭ @‪ac{bc> n‬‬ ‫@‪a  ac { b  bc>n‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪b nqcr‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a=nq+r :‬ﻭ‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ‪ ac nq1rc‬ﻭ ‪bc nq2  rc‬‬‫ﻭ‬ ‫‪a  ac‬‬ ‫‪n(q‬‬ ‫‬ ‫) ‪q1‬‬ ‫‬ ‫‪r‬‬ ‫‬ ‫‪rc‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪b  bc n(qc  q2 )  r  rc‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ aac‬ﻭ ‪ b  bc‬ﻨﻔﺱ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪n‬‬

‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪> @a  ac { b  bc n‬‬ ‫ﻭ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺘﻴﻥ ﺍﻟﺒﺎﻗﻴﺘﻴﻥ‪.‬‬‫ﺒﺭﻫﺎﻥ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ‪ a { b [n] :‬ﺇﺫﻥ ]‪ ap { bp [n‬ﺤﻴﺙ *‪pN‬‬ ‫ﺘﺒﺭﻫﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺒﺎﻟﺘﺭﺍﺠﻊ ﻋﻠﻰ ‪ p‬ﻤﻥ *‪N‬‬‫ﻨﻀﻊ ﺍﻟﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﺍﺩ ﺒﺭﻫﺎﻨﻬﺎ )‪A(n‬‬‫‪ (1‬ﻨﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ )‪ A(n0‬ﺤﻴﺙ ‪n0 = 1‬‬‫]‪ a { b [n‬ﻤﺤﻘﻘﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ‬‫ﺇﺫﻥ ﻨﺘﺤﻘﻕ ﻤﻥ ﺼﺤﺔ )‪ A(n0‬ﺤﻴﺙ ‪n0 = 2‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ]‪ a { b [n‬ﻭ ]‪a { b [n‬‬ ‫ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻀﺭﺏ‬‫ﻴﻨﺘﺞ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a u a { b u b n‬ﺃﻱ ]‪ a2 { b2 [n‬ﺇﺫﻥ )‪ A(n0‬ﻤﺤﻘﻘﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل@ >‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪n0 = 2‬‬ ‫ﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ )‪ A(n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺼﺤﺔ )‪ A(n+1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪n ≥ n0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ ap { bp [n] :‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﻭ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ]‪ap+1 { bp+1 [n‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ap { bp [n] :‬ﻭ ]‪a { b [n‬‬ ‫‪> @p p‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬‫‪a ua { b ub n‬‬‫ﺇﺫﻥ ]‪ ap+1 { bp+1 [n‬ﻭ ﻤﻨﻪ )‪ A(n+1‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ))‪ (A(n‬ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ n‬ﻤﻥ *‪N‬‬ ‫*ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪ n‬ﻤﺘﻼﺌﻤﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﻤﻊ ﻭ ﻤﻊ ﺍﻟﻁﺭﺡ ﻭ ﻤﻊ ﺍﻟﻀﺭﺏ ﻭﻤﻊ ﺍﻟﺭﻓﻊ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭﺓ‪.‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻫﺎﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪ n‬ﻟﻴﺴﺕ ﻤﺘﻼﺌﻤﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻭ ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪:‬‬‫‪ 24{ 36 [6] (1‬ﻟﻜﻥ ﻻ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﻘﻭل ﺃﻥ‬‫ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪6‬‬ ‫‪36‬‬ ‫ﺃﻨﻪ ﻴﻭﺍﻓﻕ‬ ‫‪24‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬

‫ﻷﻥ ]‪4 { 6 [6‬‬ ‫‪ (2‬ﻜﺫﻟﻙ ‪16 { 4 [12] :‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ‪ 16‬ﻻﻴﻭﺍﻓﻕ ‪ 4‬ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪12‬‬ ‫ﻷﻥ ‪4 { 2>12@:‬‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭل ‪:‬‬‫ﻤﺎ ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ n‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ }‪ ،{0,1,2,3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪ 264 – 1‬ﻋﻠﻰ ‪7‬‬ ‫ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬‫]‪20{ 1 [7‬‬ ‫‪ 20 = 1‬ﺇﺫﻥ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫]‪21{ 2 [7‬‬ ‫‪ 21 = 2‬ﺇﺫﻥ‬‫]‪22{ 4 [7‬‬ ‫‪ 22 = 4‬ﺇﺫﻥ‬‫]‪23{ 1 [7‬‬ ‫‪ 23 = 8‬ﺇﺫﻥ‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 264 – 1‬ﻋﻠﻰ ‪7‬‬‫]‪ 23{ 1 [7‬ﻭ ﺤﺴﺏ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺘﻼﺅﻡ ﻤﻊ ﺍﻟﺭﻓﻊ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭﺓ ﻴﻨﺘﺞ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬‫]‪ 23n {1n [7‬ﺃﻱ ]‪23n { 1 [7‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ‪64 = 3(21) + 1 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪64 = 3 n + 1‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ 264 – 1‬ﻴﻜﺘﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪23(21)+1 – 1‬‬ ‫ﺃﻱ ]‪264 – 1 { 23(21) x 21 – 1 [7‬‬ ‫]‪264 – 1 { 1 x 2 – 1 [7‬‬ ‫]‪264 – 1 { (2 – 1) [7‬‬ ‫]‪264 – 1 { 1 [7‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 264 – 1‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻫﻭ ‪1‬‬ ‫ﻁﺭﻴﻘﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺤﺴﺎﺏ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﻟﻠﻌﺩ ‪n‬‬‫ﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2n‬ﺜﻡ ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﺜﻡ ﻨﻜﺘﺏ ]‪2n { r [7‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ r‬ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪.7‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ ﻓﻲ ‪Z‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 01‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﺘﺒﻌﺎ ﻟﻘﻴﻡ ‪ n‬ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪2n‬ﻋﻠﻰ ‪.5‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪c = 65532007 ، b = 3722764 ، a = 23562‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 02‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 85‬ﻋﻠﻰ ‪ 11‬؟‬ ‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 810‬ﻋﻠﻰ ‪.11‬‬ ‫‪ (3‬ﺒﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 82002 + 2‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.11‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 03‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﺘﺒﻊ ﻟﻘﻴﻡ ‪ n‬ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﺒﺎﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪.7‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ n‬ﻟﻴﺱ ﻤﻥ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪ 22n + 2n + 1‬ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪.7‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 04‬‬ ‫ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫]‪32n+1 + 52n+1 { 0 [4‬‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 01‬‬ ‫‪ (1‬ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪5‬‬ ‫]‪20 { 1 [5‬‬ ‫]‪21 { 2 [5‬‬ ‫]‪22 { 4 [5‬‬ ‫]‪23 { 3 [5‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺤﺴﺏ ﺨﺎﺼﻴﺔ ﺍﻟﺭﻓﻊ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭﺓ ]‪24k { 1 [5‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ]‪ 24k { 1 [5‬ﻨﻀﺭﺏ ﻁﺭﻓﻲ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪2α‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ]‪ 24k+α { 2α [5‬ﻋﻠﻤﺎ أن }‪α  {0,1,2,3‬‬ ‫اﻟﺘﻌﻤﻴﻢ ‪:‬‬ ‫@‪­24k { 1>5‬‬ ‫®‬ ‫]‪24k { 1 [5‬‬ ‫¯‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫]‪{ 1[5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫@‪­24k { 1>5‬‬ ‫®‬ ‫‪24k+1‬‬ ‫{‬ ‫]‪2 [5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫¯‬ ‫‪21‬‬ ‫{‬ ‫]‪2[5‬‬ ‫@‪­24k { 1>5‬‬ ‫]‪ ®¯22 { 4[5‬ﺇﺫﻥ ]‪24k+2 { 4 [5‬‬ ‫@‪­24k { 1>5‬‬ ‫®‬ ‫]‪24k+3 { 3 [5‬‬ ‫¯‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫]‪{ 3[5‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﻨﻌﻤﻡ ﻤﺎ ﺴﺒﻕ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻭ ﻨﺴﺘﺨﻠﺹ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ‪:‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪n‬‬ ‫‪4k‬‬ ‫‪4k + 1‬‬ ‫‪4k + 2‬‬ ‫‪4k + 3‬‬‫ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪5‬‬ ‫‪1243‬‬

‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ c ،b ،a‬ﻋﻠﻰ ‪5‬‬‫‪a = 23562‬‬ ‫‪x‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 3562 = 890(4) + 2‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪4k + 2‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ]‪23562 { 24(890)+2 [5‬‬‫]‪ a { 44k+2 [5‬ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻟﺠﺩﻭل‬‫]‪a { 4 [5‬‬‫ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻫﻭ ‪4‬‬‫ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ b = 3722‬ﻋﻠﻰ ‪5‬‬ ‫‪x‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪3722 = 744(5) + 2‬‬‫ﺇﺫﻥ ]‪3722 { 2 [5‬‬‫ﻜﺫﻟﻙ ‪ 764 = 4(191) + 0‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪4k‬‬‫ﺇﺫﻥ ]‪ 3722764 { 24(191) [5‬ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻟﺠﺩﻭل‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ]‪b { 1 [5‬‬‫ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ b‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻫﻭ ‪1‬‬‫ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ c = 65532007‬ﻋﻠﻰ ‪5‬‬ ‫‪x‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪6553 = 5(1310) + 3‬‬‫ﺇﺫﻥ ]‪6553 { 3 [5‬‬‫ﻴﻤﻜﻨﻙ ﺃﻥ ﺘﻼﺤﻅ ﺃﻥ ]‪3 { -2 [5‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ]‪6553 { -2 [5‬‬‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ]‪65532007 { (-2)2007 [5‬‬‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 2007‬ﻋﺩﺩ ﻓﺭﺩﻴﺎ ﺇﺫﻥ ]‪65532007 { (-2)2007 [5‬‬‫ﻜﺫﻟﻙ ‪ 2007 = 4(501) + 3 :‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪4k + 3‬‬‫ﺃﻱ ]‪65532007 { -24k+3 [5‬‬‫]‪c { -(3) [5‬‬ ‫]‪c { 2 [5‬‬‫ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ c‬ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻫﻭ ‪.2‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 02‬‬ ‫‪ (1‬ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 85‬ﻋﻠﻰ ‪11‬‬ ‫]‪80 { 1 [11‬‬ ‫]‪81 { 8 [11‬‬ ‫]‪82 { 9 [11‬‬ ‫]‪83 { 6 [11‬‬ ‫]‪84 { 4 [11‬‬ ‫]‪85 { 10 [11‬‬ ‫ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 85‬ﻋﻠﻰ ‪ 11‬ﻫﻭ ‪10‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 810‬ﻋﻠﻰ ‪11‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ]‪ 85 { 10 [11‬ﻭ ]‪10 { -1 [11‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ]‪ 85 { -1 [11‬ﻭ ﺒﺎﻟﺭﻓﻊ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻘﻭﺓ ‪ 2‬ﻨﺠﺩ‬ ‫]‪ (85)2 { (-1)2 [11‬ﻭ ﻤﻨﻪ ]‪810 { 1 [11‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ]‪ 810k { 1 [11‬ﺤﻴﺙ ‪kN‬‬ ‫‪ (3‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ]‪82002 + 2 { 0 [11‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 2002 = 10(200) + 2‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪10k + 2‬‬ ‫‪82002 = 810(200) x 82‬‬ ‫]‪82002 { 810(200) x 82 [11‬‬ ‫]‪82002 { 1 x 9 [11‬‬ ‫]‪82002 { 9 [11‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ]‪82002 + 2 { 9 + 2 [11‬‬ ‫ﺃﻱ ]‪82002 + 2 { 0 [11‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 03‬‬‫‪ (1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﺍﻹﻗﻠﻴﺩﻴﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪2n‬ﻋﻠﻰ ‪7‬‬‫]‪20 { 1 [7‬‬ ‫]‪21 { 2 [7‬‬‫]‪22 { 4 [7‬‬ ‫]‪23 { 1 [7‬‬‫ﺇﺫﻥ ‪ 23k { [7] 1‬ﺤﻴﺙ ‪kN‬‬‫]‪ 23k { 1[7‬ﻨﻀﺭﺏ ﺍﻟﻁﺭﻓﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪2α‬‬‫ﺇﺫﻥ ]‪ 23k+α { 2α[7‬ﻡﻊ }‪α = {0,1,2‬‬

‫اﻟﺘﻌﻤﻴﻢ ‪:‬‬ ‫‪> @23k‬‬ ‫]‪{ 1 [7‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪­23k { 1 7‬‬ ‫®‬ ‫¯‬ ‫‪20‬‬ ‫{‬ ‫]‪1[7‬‬ ‫‪> @23k+1‬‬ ‫]‪{ 2 [7‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪­23k { 1 7‬‬ ‫®‬ ‫¯‬ ‫‪21‬‬ ‫{‬ ‫]‪2[7‬‬ ‫‪> @23k+2‬‬ ‫]‪{ 4 [7‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪­23k { 1 7‬‬ ‫®‬ ‫¯‬ ‫‪22‬‬ ‫{‬ ‫]‪4[7‬‬ ‫ﺘﻠﺨﻴﺹ ﺒﻭﺍﻗﻲ ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪7‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪n‬‬ ‫‪3k‬‬ ‫‪3k + 1‬‬ ‫‪3k + 2‬‬‫ﺒﻭﺍﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ 2n‬ﻋﻠﻰ ‪7‬‬ ‫‪124‬‬ ‫‪ n (2‬ﻟﻴﺱ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﺃﻱ ‪ n ≠ 3k‬ﻭ ﻤﻨﻪ‬ ‫‪ n = 3k +1‬ﺃﻭ ‪n = 3k + 2‬‬ ‫ﻨﻀﻊ ‪An = 22n + 2n + 1‬‬ ‫) ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻟﺠﺩﻭل(‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪n = 3k + 1‬‬ ‫]‪An { 22(3k+1) + 23k+1 + 1 [7‬‬ ‫]‪An { 22(3k)+2 + 23k+1 + 1 [7‬‬ ‫]‪An { 22 + 21 + 1 [7‬‬ ‫]‪An { 4 + 2 + 1 [7‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ]‪An { 0 [7‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪n = 3k + 2‬‬ ‫]‪An { 22(3k+2) + 23k+2 + 1 [7‬‬ ‫]‪An { 22(3k)+4 + 23k+2 + 1 [7‬‬ ‫]‪An { 22(3k)x 23 x 21 + 23k+2 + 1 [7‬‬ ‫]‪An { 1 x 1 x 2 + 4 + 1 [7‬‬ ‫]‪An { 0[7‬‬ ‫]‪ An { 7 [7‬ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n ≠ 3k‬ﻓﺈﻥ ]‪An { 0 [7‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪ : 04‬ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬‫]‪32n+1 + 52n+1 { 0 [4‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ]‪ 3 { -1 [4‬ﺇﺫﻥ ]‪32n+1 { (-1)2n+1 [4‬‬‫‪ 2n+1‬ﻋﺩﺩ ﻓﺭﺩﻱ ﺇﺫﻥ ]‪32n+1 { -1 [4‬‬‫ﻜﺫﻟﻙ ‪ 5 { 1 [4] :‬ﺇﺫﻥ ]‪52n+1 { (1)2n+1 [4‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ]‪52n+1 { 1 [4‬‬‫ﺇﺫﻥ ]‪32n+1 + 52n+1{(-1+1) [4‬‬‫]‪32n+1 + 52n+1{0 [4‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬

‫‪ – III‬ﺍﻟﺘﺸﻔﻴﺭ ‪« Cryptage » :‬‬‫ﺍﺴﺘﺨﺩﻡ ﺍﻟﺘﺸﻔﻴﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﺤﻀﺎﺭﺍﺕ ﺍﻟﻘﺩﻴﻤﺔ ﻹﺨﻔﺎﺀ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ﻭ ﺍﻟﻤﺭﺍﺴﻼﺕ‪ ،‬ﻭ ﻗﺩ ﺸﺎﻉ ﻓﻲ ﺃﻴﺎﻤﻨﺎ ﺍﺴﺘﺨﺩﺍﻡ‬‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺼﻁﻠﺢ‪ .‬ﻭ ﺘﻭﺠﺩ ﻋﺩﺓ ﻁﺭﻕ ﻟﻠﺘﺸﻔﻴﺭ‪ ،‬ﻨﻘﺘﺼﺭ ﻋﻠﻰ ﺃﺤﺩﻫﺎ ﻭ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﺸﻔﻴﺭ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻲ ﻻﻋﺘﻤﺎﺩﻩ ﺍﻟﻤﺒﺎﺸﺭ‬‫ﻋﻠﻰ ﻋﻼﻗﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﺘﺘﺨﻠﺹ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺘﺸﻔﻴﺭ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻲ ﻓﻲ ﺇﺭﻓﺎﻕ ﻜل ﺤﺭﻑ ﺃﺒﺠﺩﻱ ﻤﺭﻗﻡ ﺒﻌﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪x‬‬‫)ﻤﺤﺼﻭﺭ ﺒﻴﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪ 27‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺍﻷﺒﺠﺩﻴﺔ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ( ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ y‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒـ ‪ y = ax + b‬ﺤﻴﺙ‬ ‫‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎﻥ ﻤﻌﻠﻭﻤﺎﻥ ﻓﻘﻁ ﻤﻥ ﻁﺭﻑ ﺍﻟﻤﺭﺴل ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﺒل‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺔ )‪ (a,b‬ﺘﺴﻤﻰ ﻤﻔﺘﺎﺡ ﺍﻟﺸﻔﺭﺓ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺭﻭﻑ ﺍﻷﺒﺠﺩﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺃ ﺏ ﺝ ﺩ ﻫـ ﻭ ﺯ ﺡ ﻁ ﻱ ﻙ ل‬ ‫‪11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0‬‬ ‫ﻡ ﻥ ﺱ ﻉ ﻑﺹ ﻕ ﺭ ﺵ ﺕ ﺙ ﺥ‬ ‫‪23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12‬‬ ‫ﺫ ﺽﻅ ﻍ‬ ‫‪27 26 25 24‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻴﻜﻭﻥ ﻓﻙ ﺭﺴﺎﻟﺔ ﻤﺸﻔﺭﺓ ﺃﻋﻁﻰ ﻤﻔﺘﺎﺡ ﺸﻔﺭﺘﻬﺎ )‪ (a,b‬ﺒﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = ax + b‬ﺫﺍﺕ‬‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﺤﻼﻑ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺴﺎﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﻔﺭﺓ )‪ y‬ﻫﻭ ﺭﻗﻡ ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻡ ﻭ ‪ x‬ﻫﻭ ﺭﻗﻡ ﺍﻟﺤﺭﻑ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻕ ﻟﻠﺤﺭﻑ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻡ(‬ ‫ﺘﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ‪y = ax + b‬‬ ‫‪ x‬ﺒﺘﻭﻅﻴﻑ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺔ )ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪ 28‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺤﺭﻭﻑ ﺍﻟﻌﺭﺒﻴﺔ(‬ ‫)ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪ 26‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺤﺭﻭﻑ ﺍﻟﻼﺘﻴﻨﻴﺔ(‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﺍﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ )‪ (3,5‬ﻟﺘﻘﺭﺃ ﺍﻟﺭﺴﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﺙ ﻫـ ﺱ ﻭ ﻙ ﻭ ﺭ ﻡ ل ﻙ ﻭ ﻙ‬ ‫ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ ﻫﻭ )‪ (3,5‬ﺃﻱ ‪ b = 5 ، a = 3‬ﻭﻤﻨﻪ ﻟﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻨﺠﺩ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y = 3x + 5 :‬‬ ‫‪ x‬ﺘﻭﻅﻑ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺔ ﺒﺘﺭﺩﻴﺩ ‪28‬‬ ‫‪ -‬ﻨﻘﺭﺃ ﻜل ﺤﺭﻑ ﻤﺸﻔﺭ‪.‬‬

‫‪ (1‬ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺙ ﺭﻗﻤﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ 22‬ﻭ ﻤﻨﻪ‬‫]‪3x+5{22[28‬‬‫]‪3x{17[28‬‬ ‫ﻨﺴﺘﻌﻤل ﺨﻭﺍﺹ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻘﺎﺕ‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ]‪x { 15[28‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺏ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 15‬ﻫﻭ ﻉ ﺇﺫﻥ ﻗﺭﺍﺀﺓ ﺙ ﻫﻭ ﻉ‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺤﺭﻑ ﻫـ ‪ :‬ﺭﻗﻤﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪4‬‬‫ﻭ ﻤﻨﻪ ]‪ 3x + 5 { 4[28‬ﺃﻱ ‪3 x { 27[28] :‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ]‪x { 9[28‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺏ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 9‬ﻫﻭ ﻱ ﺇﺫﻥ ﻗﺭﺍﺀﺓ ﻫـ ﻫﻭ ﻱ‬‫‪ (3‬ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺱ ﺭﻗﻤﻪ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ‪ 14‬ﻭ ﻤﻨﻪ ]‪3x + 5 { 14[28‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ]‪3x { 9 >28‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ]‪x { 3[28‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺏ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻫﻭ ل ﺇﺫﻥ ﻗﺭﺍﺀﺓ ﺱ ﻫﻭ ﺩ‬ ‫ﻭ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻴﻤﻜﻨﻙ ﻗﺭﺍﺀﺓ ﻜل ﺤﺭﻑ‬‫‪ x‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﻗﺭﺍﺀﺓ ﺍﻷﺤﺭﻑ ‪ :‬ﻭ‪ ،‬ﻙ‪ ،‬ﺭ‪ ،‬ﻡ‪ ،‬ﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻫﻭ ‪ :‬ﺃ‪ ،‬ل‪ ،‬ﺱ‪ ،‬ﺕ‪ ،‬ﻕ‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻗﺭﺍﺀﺓ ﺍﻟﺭﺴﺎﻟﺔ ﻤﺭﺘﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ‪:‬‬‫ﺙ ﻫـ ﺱ ﻭ ﻙ ﻭ ﺭ ‪ 0‬ﻡ ﺩ ﻙ ﻭ ﻙ‬ ‫ﻫﻭ‬‫ﻉ ﻱ ﺩ ﺃ ل ﺃ ﺱﺕ ﻕ ل ﺃ ل‬‫ﻋﻴﺩ ﺍﻻﺴﺘﻘﻼل‬‫ﻤﺜﺎل‪ : 2‬ﺃﻋﻁ ﺘﺸﻔﻴﺭﺍ ﻟﻠﺭﺴﺎﻟﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ )‪ \" : (5,4‬ﺍﻟﻌﻠﻡ ﻨﻭﺭ \"‬ ‫ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ x‬ﻤﻌﻠﻭﻡ ﻭ ‪ y‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y = 5x + 4‬‬ ‫ﻨﺸﻔﺭ ﻜل ﺤﺭﻑ ﺍﺴﺘﻨﺎﺩﺍ ﺇﻟﻰ ﺭﻗﻤﻪ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﺍﻷﺒﺠﺩﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺃ ﺭﻗﻤﻪ ‪: 0‬‬ ‫]‪y { 5(0) + 4[28‬‬‫]‪y { 4[28‬‬

‫]‪y { 5(11) + 4[28‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺏ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 4‬ﻫﻭ هـ‬ ‫]‪y { 3[28‬‬ ‫ﺘﺸﻔﻴﺭ ﺃ ﻫﻭ هـ‬ ‫‪ (2‬ﺍﻟﺤﺭﻑ ل ﺭﻗﻤﻪ ‪11‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺏ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻫﻭ ﺩ‬ ‫ﺘﺸﻔﻴﺭ ل ﻫﻭ ﺩ‬‫]‪y { 5(15) + 4[28‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟﺤﺭﻑ ﻉ ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ‬ ‫]‪y { 23[28‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺏ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 23‬ﻫﻭ ﺥ‬ ‫ﺘﺸﻔﻴﺭ ﻉ ﻫﻭ ﺥ‬‫]‪y { 5(11) + 4[28‬‬ ‫‪ (4‬ﺘﺸﻔﻴﺭ ﺍﻟﺤﺭﻑ ل ‪:‬‬ ‫@‪y{55+4>28‬‬ ‫ﻭ ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬ ‫@‪y{59>28‬‬ ‫@‪y{3>28‬‬ ‫ﺘﺸﻔﻴﺭ ل ﻫﻭ ﺩ‬ ‫]‪y { 5(12) + 4[28‬‬ ‫‪ (5‬ﺘﺸﻔﻴﺭ ﺍﻟﺤﺭﻑ ﻡ ‪:‬‬‫]‪y { 8[28‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﺤﺭﻑ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺏ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 8‬ﻫﻭ ﻁ‬ ‫ﺘﺸﻔﻴﺭ ﻡ ﻫﻭ ﻁ‬‫ﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﺠﺩ ﺘﺸﻔﻴﺭﺍ ﻟﻸﺤﺭﻑ ﻥ ﻭ ﺭ ﻫﻲ ﻜﺎﻵﺘﻲ ‪ :‬ﻥ ﺏ ﻉ‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺘﺸﻔﻴﺭ ﺍﻟﺭﺴﺎﻟﺔ ﺍﻟﻌﻠﻡ ﻨﻭﺭ ﻫﻭ ‪:‬‬‫ﻁ ﻥ ﺏﻉ‬ ‫ﺥﺩ‬ ‫ﻫـ ﺩ‬‫ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻠﻌﻤل ‪ :‬ﻟﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y = ax + b‬‬‫‪ x‬ﻟﻔﻙ ﺭﺴﺎﻟﺔ ﻤﺸﻔﺭﺓ ‪ x :‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪.‬‬ ‫‪ x‬ﻟﺘﺸﻔﻴﺭ ﺭﺴﺎﻟﺔ ‪ y :‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل‪.‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﻁﺭﺡ ﺍﻟﻤﺸﻜﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺘﺢ ﻤﻥ ﺸﻬﺭ ﺃﻭﺕ ﻤﻥ ﺴﻨﺔ ‪ 2008‬ﺴﻴﻭﺍﻓﻕ ﻴﻭﻡ ﺍﻟﺠﻤﻌﺔ‪.‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻬﺩﻑ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﻫﻭ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻔﺎﺘﺢ ﻤﻥ ﺸﻬﺭ ﺃﻭﺕ ﻤﻥ ﻋﺎﻡ ‪ 2031‬ﻭ ﻤﻥ ﻋﺎﻡ ‪ 1990‬ﻭ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻫﺫﺍ‬‫ﻫﻨﺎﻙ ﺴﻨﻭﺍﺕ ﻜﺎﺒﺴﺔ ﻭ ﻋﺩﺩ ﺃﻴﺎﻤﻬﺎ ‪ 366‬ﻴﻭﻤﺎ ﻭ ﺴﻨﻭﺍﺕ ﻏﻴﺭ ﻜﺎﺒﺴﺔ ﻭ ﻋﺩﺩ ﺃﻴﺎﻤﻬﺎ ‪ 365‬ﻴﻭﻤﺎ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ‬‫ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﻜﺎﺒﺴﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺭﻗﻤﻬﺎ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 4‬ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪100‬‬‫ﺍﺴﺘﺜﻨﺎ ًﺀ ﺍﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﺭﻗﻤﻬﺎ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 400‬ﻓﺘﻜﻭﻥ ﻜﺎﺒﺴﺔ ﻤﺜﻼ )‪(... ،2024 ،1996 ،1980‬‬ ‫ﻜﻠﻬﺎ ﺴﻨﻭﺍﺕ ﻜﺎﺒﺴﺔ‪ (2100 ،1900) .‬ﻟﻴﺴﺕ ﻜﺎﺒﺴﺔ‪ (2400 ،2000) ،‬ﻜﺎﺒﺴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﻋﻁ ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺍﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ﺍﻟﻜﺎﺒﺴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﻋﺎﻡ ‪ 2008‬ﻭ ﻋﺎﻡ ‪.2031‬‬ ‫‪ (2‬ﺃ( ﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ]‪365 { 1[7‬‬ ‫ﻭ ]‪366 { 2[7‬‬‫ﺏ( ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﺎﺘﺢ ﺃﻭﺕ ﻤﻥ ﻋﺎﻡ ‪ 2010‬ﺴﻴﻜﻭﻥ ﻴﻭﻡ ﺍﻹﺜﻨﻴﻥ ﻭ ﺍﻟﻔﺎﺘﺢ ﺃﻭﺕ ﻤﻥ ﻋﺎﻡ ‪2012‬‬ ‫ﺴﻴﻜﻭﻥ ﻴﻭﻡ ﺍﻟﺨﻤﻴﺱ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﺤﺩﺩ ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻕ ﻟﻠﻔﺎﺘﺢ ﺃﻭﺕ ﻤﻥ ﻋﺎﻡ ‪.2031‬‬ ‫‪ (4‬ﻓﻲ ﺃﻱ ﻴﻭﻡ ﻤﻥ ﺃﻴﺎﻡ ﺍﻷﺴﺒﻭﻉ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻔﺎﺘﺢ ﺃﻭﺕ ﻤﻥ ﻋﺎﻡ ‪ 1990‬؟‬ ‫ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (1‬ﻗﺎﺌﻤﺔ ﺍﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ﺍﻟﻜﺎﺒﺴﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼﻭﺭﺓ ﺒﻴﻥ ﻋﺎﻡ ‪ 2008‬ﻭ ‪: 2031‬‬ ‫‪2028 ،2024 ،2020 ،2016 ،2012 ،2008‬‬ ‫‪ (2‬ﺃ( ﺒﻘﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 365‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻫﻭ ‪1‬‬ ‫ﺒﻘﺴﻤﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 366‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻨﺠﺩ ﺍﻟﺒﺎﻗﻲ ﻫﻭ ‪2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ]‪ 365 { 1[7‬ﻭ ]‪366 { 2[7‬‬ ‫ﺏ( ﺍﻟﻔﺎﺘﺢ ﺃﻭﺕ ﻤﻥ ﻋﺎﻡ ‪2010‬‬ ‫ﻓﺭﻕ ﺍﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ﺒﻴﻥ ‪ 2008‬ﻭ ‪ 2010‬ﺴﻨﺘﺎﻥ‪ ،‬ﺴﻨﺔ ﻜﺎﺒﺴﺔ ﻭ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻏﻴﺭ ﻜﺎﺒﺴﺔ‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ 2008 :‬ﻜﺎﺒﺴﺔ ﻭ ‪ 2009‬ﻏﻴﺭ ﻜﺎﺒﺴﺔ‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪ :‬ﻋﺩﺩ ﺃﻴﺎﻡ ﺍﻷﺴﺒﻭﻉ ﻫﻭ ‪ 7‬ﺇﺫﻥ ﻨﺩﺭﺱ ﺒﺎﻗﻲ ﻗﺴﻤﺔ ‪ x‬ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ‪ x‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫)ﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ﺍﻟﻜﺎﺒﺴﺔ ‪)+(366‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺴﻨﻭﺍﺕ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻜﺎﺒﺴﺔ ‪u u( 365‬‬



‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻔﺎﺘﺢ ﺃﻭﺕ ﻤﻥ ﻋﺎﻡ ‪ 2008‬ﺴﻴﻜﻭﻥ ﻴﻭﻡ ﺍﻟﺠﻤﻌﺔ ﺇﺫﻥ ﻨﺭﺘﺏ ﺍﻷﻴﺎﻡ ﺒﺎﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺍﻟﻌﻜﺴﻲ )ﺍﻟﻌﻭﺩﺓ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﻭﺭﺍﺀ(‬ ‫ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻜﺎﻥ ﻗﺒل ﻴﻭﻡ ﺍﻟﺠﻤﻌﺔ ﻫﻭ ﻴﻭﻡ ﺍﻟﺨﻤﻴﺱ‬ ‫ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻜﺎﻥ ﻗﺒل ﻴﻭﻡ ﺍﻟﺨﻤﻴﺱ ﻫﻭ ﻴﻭﻡ ﺍﻷﺭﺒﻌﺎﺀ‬ ‫ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ‪:‬‬ ‫‪V J Mer Mar L D S‬‬ ‫‪0123456‬‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪x { 2[7] :‬‬ ‫ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻕ ﻟﻠﺭﻗﻡ ‪ 2‬ﻫﻭ ﻴﻭﻡ ﺍﻷﺭﺒﻌﺎﺀ ﺃﻱ ﺍﻟﻔﺎﺘﺢ ﻤﻥ ﺃﻭﺕ ﻋﺎﻡ ‪ 1990‬ﻜﺎﻥ ﻴﻭﻡ ﺍﻷﺭﺒﻌﺎﺀ‪.‬‬‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻫﺎﻤﺔ ‪ :‬ﺘﺒﻘﻰ ﻁﺭﻴﻘﺔ ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻴﻭﻡ ﻤﻥ ﺃﻴﺎﻡ ﺍﻟﺸﻬﺭ ﻭ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻔﺎﺘﺢ ﻓﻘﻁ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﻼ ‪ :‬ﻜل ﺸﺨﺹ ﻴﻤﻜﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﻟﺩ ﻓﻴﻪ ﺒﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻴﻭﻡ ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻕ ﻟﻤﻴﻼﺩﻩ ﻤﻥ ﺴﻨﺔ ﻤﻌﻴﻨﺔ‪.‬‬ ‫\" ﻤﻔﺎﺘﻴﺢ ﺍﻟﻤﺭﺍﻗﺒﺔ \"‬‫ﺘﻤﻬﻴﺩ ‪ :‬ﻓﻲ ﺠﻬﺎﺯ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻟﻤﺒﺎﻋﺔ ﻓﻲ ﺍﻷﺴﻭﺍﻕ ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ )ﻤﻌﺘﺭﻑ ﺒﻬﺎ( ﻴﺴﺘﻌﻤﻠﻭﻥ‬‫ﺍﻟﺭﻗﻤﻨﺔ )‪ (Codes barres‬ﻭ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ ‪ 12‬ﺭﻗﻤﺎ ﻴﺘﺭﺍﻭﺡ ﺒﻴﻥ ‪ 0‬ﻭ ‪ 9‬ﻤﺴﺒﻘﺎ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ﻋﺸﺭ‬ ‫ﻭﻴﺴﻤﻰ ﺒﻤﻔﺘﺎﺡ ﺍﻟﺭﻗﻤﻨﺔ ﻭ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺴﺎﻋﺩ ﻓﻲ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﻤﺒﺎﻋﺔ‪.‬‬ ‫ﻨﻌﺒﺭ ﻋﻥ ﻨﻅﺎﻡ ﺍﻟﺭﻗﻤﻨﺔ ﻫﺫﻩ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫‪R C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12‬‬ ‫‪ R‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ ‪la clé du code‬‬ ‫‪ ... C2 ، C1‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﺍﻟﺭﻗﻤﻨﺔ )‪(les chiffres du code‬‬ ‫‪ ... C5 ، C3 ، C1‬ﻫﻲ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺍﺘﺏ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ‬ ‫‪ ... C6 ، C4 ، C2‬ﻫﻲ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺍﺘﺏ ﺍﻟﺯﻭﺠﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻔﺘﺎﺡ ‪ R‬ﻴﻌﻁﻰ ﺒﺎﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫)ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺍﺘﺏ ﺍﻟﺯﻭﺠﻴﺔ(‪)+‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺍﺘﺏ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ(‪[ 10 ]0 ≡ R+ 3x‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺍﺘﺏ ﺍﻟﻔﺭﺩﻴﺔ‬ ‫‪ Y‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺭﺍﺘﺏ ﺍﻟﺯﻭﺠﻴﺔ‬ ‫ﻓﺈﻥ ]‪3x + y + R { 0[10‬‬ ‫ﺘﻁﺒﻴﻘﺎﺕ ‪ :‬ﻓﻲ ﻤﻠﺼﻘﺔ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪C5=7 ،C4 = 4،C3 = 0 ،C2 = 3 ،C1 = 1 ،R = 6‬‬ ‫‪C10=2 ،C9 = 0،C8 = 0 ،C7 = 0 ،C6 = 2‬‬ ‫‪C12=3 ،C11 = 2‬‬