دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث اداب و فلسفة سنة ثانية ثانوي

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻷﻋﻤﺩﺓ ‪ J , I, H‬ﻭﻜﺫﻟﻙ ﻤﻥ ﺨﻼل ﻤﻀﻠﻌﺎﺕ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‪ ،‬ﻨﻼﺤﻅ‬‫ﺘﻐﻴﻴﺭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻤﻥ ﻋﻴﻨﺔ ﺇﻟﻰ ﺃﺨﺭﻯ ﻫﻨﺎﻙ ﺇﺫﻥ ﺘﺫﺒﺫﺏ ﻟﻠﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ‪ ،‬ﻭﻴﻤﻜﻥ‬ ‫ﺘﺠﺴﻴﺩ ﺫﻟﻙ ﺃﻜﺜﺭ ﺒﺎﻟﻨﻘﺭ ﻋﺩﺓ ﻤﺭﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻠﻤﺴﺔ ‪F9‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪:2‬‬‫ﻤﺸﺎﻫﺩﺓ ﺍﺴﺘﻘﺭﺍﺭ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﻀﻭﺀ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻋﻴﻨﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺱ ‪300‬‬‫ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ \"ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ\" ﻗﺼﺩ ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺒﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ )‪ \" (P‬ﺒﻌﺩ ‪ n‬ﺭﻤﻴﺔ ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻥ ‪ n 1‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ‪n 300‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻭﺘﺴﺠﻴل ﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﻭﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ \"ﻅﻬﻭﺭ ﻅﻬﺭ\"‪:‬‬ ‫ﻨﺼﻁﻠﺢ ﺘﻤﺜﻴل \"ﻅﻬﺭ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 1‬ﻭ\"ﻭﺠﻪ\" ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪.2‬‬‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪ ، A‬ﺇﺒﺘﺩﺍﺀﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ A2‬ﻨﺴﺠل ﺭﻗﻡ ﺍﻟﺭﻤﻴﺔ )ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ‬ ‫‪(300‬‬ ‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪ B‬ﻨﺴﺠل ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻜل ﺭﻤﻴﺔ ﻭﻟﺫﻟﻙ‪:‬‬‫ﻨﺤﺠﺯ ﺍﻟﻁﻠﺒﻴﺔ )‪ ENT (ALEA()* 2 1‬ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ B2‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ ﻤﺤﺘﻭﻯ‬ ‫ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ B2‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪. B301‬‬‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪ C‬ﻨﺴﺠل ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻅﻬﺭﺕ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ \"ﻅﻬﺭ\" ﺃﻱ ‪1‬‬‫ﺒﻌﺩ ‪ n‬ﺭﻤﻴﺔ ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﺤﺠﺯ ﺍﻟﻁﻠﺒﻴﺔ )\"‪ NB.SI (B$2 : B2;\"1‬ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪C2‬‬ ‫ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ C2‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪. C301‬‬‫‪ x‬ﻓﻲ ﺍﻟﻌﻤﻭﺩ ‪ D‬ﻨﺴﺠل ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ \"ﻅﻬﺭ\" ﺃﻱ ‪ 1‬ﺒﻌﺩ ‪ n‬ﺭﻤﻴﺔ ﻭﻟﺫﻟﻙ ﻨﺤﺠﺯ‬‫ﺍﻟﻁﻠﺒﻴﺔ ‪ C2 / A2‬ﻓﻲ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ D2‬ﺜﻡ ﻨﻌﻤﻡ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪ D2‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺨﻠﻴﺔ ‪. D301‬‬ ‫ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ \"ﺍﻟﻭﺭﻗﺔ\" ﻤﺜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬

‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫ﺗﻜﺮار‬ ‫ﺗﻮاﺗﺮ‬ ‫رﻗﻢ اﻟﺮﻣﻴﺔ‬ ‫ﻧﺘﻴﺠﺔ ﻇﻬﻮر‪ 1‬أو‬ ‫ﻇﻬﻮر\"ﻇﻬﺮ\"ﺑﻌﺪ‬ ‫ﻇﻬﻮر\"ﻇﻬﺮ\"ﺑﻌﺪ‬‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫اﻟﺮﻣﻴﺔ ‪...‬‬ ‫اﻟﺮﻣﻴﺔ ‪...‬‬‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪0‬‬‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪0.33333333‬‬‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪0.5‬‬‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0.6‬‬‫‪7‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0.5‬‬‫‪8‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0.42857143‬‬‫‪9‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪0.5‬‬‫‪10‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0.55555556‬‬‫‪11‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪0.5‬‬‫‪12‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0.54545455‬‬‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪0.5‬‬‫‪14‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0.53846154‬‬‫‪15‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0.5‬‬‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪0.46666667‬‬‫‪17‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0.5‬‬‫‪18‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0.47058824‬‬‫‪19‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0.44444444‬‬‫‪20‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪0.42105263‬‬‫‪21‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪0.45‬‬‫‪22‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪0.42857143‬‬‫‪23‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪0.40909091‬‬‫‪24‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪0.43478261‬‬‫‪25‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪0.45833333‬‬‫‪26‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪0.44‬‬‫‪27‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪0.46153846‬‬‫‪28‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪0.44444444‬‬‫‪29‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪0.42857143‬‬‫‪30‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪0.4137931‬‬‫‪31‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪0.4‬‬‫‪32‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪0.38709677‬‬‫‪33‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪0.40625‬‬‫‪34‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪0.42424242‬‬‫‪35‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪0.41176471‬‬‫‪36‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪15‬‬ ‫‪0.42857143‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪0.44444444‬‬ ‫‪1‬‬

37 1 17 0.4594594638 1 18 0.4736842139 1 19 0.4871794940 2 19 0.47541 2 19 0.4634146342 2 19 0.4523809543 1 20 0.4651162844 2 20 0.4545454545 1 21 0.4666666746 1 22 0.4782608747 2 22 0.4680851148 1 23 0.4791666749 1 24 0.4897959250 1 25 0.551 1 26 0.5098039252 2 26 0.553 2 26 0.4905660454 2 26 0.4814814855 2 26 0.4727272756 1 27 0.4821428657 2 27 0.4736842158 2 27 0.4655172459 2 27 0.4576271260 1 28 0.4666666761 1 29 0.4754098462 1 30 0.4838709763 2 30 0.4761904864 2 30 0.4687565 1 31 0.4769230866 1 32 0.4848484867 1 33 0.4925373168 1 34 0.569 1 35 0.5072463870 2 35 0.571 2 35 0.4929577572 2 35 0.4861111173 1 36 0.4931506874 1 37 0.575 2 37 0.49333333

76 2 37 0.4868421177 2 37 0.4805194878 2 37 0.4743589779 1 38 0.4810126680 1 39 0.487581 1 40 0.4938271682 1 41 0.583 1 42 0.506024184 2 42 0.585 1 43 0.5058823586 2 43 0.587 1 44 0.5057471388 1 45 0.5113636489 1 46 0.5168539390 2 46 0.5111111191 1 47 0.5164835292 1 48 0.5217391393 2 48 0.5161290394 1 49 0.521276695 2 49 0.5157894796 2 49 0.5104166797 2 49 0.5051546498 2 49 0.599 1 50 0.50505051100 1 51 0.51101 1 52 0.51485149102 2 52 0.50980392103 2 52 0.50485437104 2 52 0.5105 2 52 0.4952381106 1 53 0.5107 1 54 0.5046729108 2 54 0.5109 1 55 0.50458716110 1 56 0.50909091111 1 57 0.51351351112 2 57 0.50892857113 2 57 0.50442478114 2 57 0.5

115 2 57 0.49565217116 1 58 0.5117 1 59 0.5042735118 2 59 0.5119 2 59 0.49579832120 1 60 0.5121 2 60 0.49586777122 1 61 0.5123 2 61 0.49593496124 1 62 0.5125 2 62 0.496126 2 62 0.49206349127 2 62 0.48818898128 1 63 0.4921875129 2 63 0.48837209130 1 64 0.49230769131 1 65 0.49618321132 1 66 0.5133 1 67 0.5037594134 2 67 0.5135 1 68 0.5037037136 1 69 0.50735294137 2 69 0.50364964138 2 69 0.5139 1 70 0.50359712140 2 70 0.5141 2 70 0.4964539142 1 71 0.5143 2 71 0.4965035144 1 72 0.5145 2 72 0.49655172146 2 72 0.49315068147 2 72 0.48979592148 1 73 0.49324324149 2 73 0.48993289150 1 74 0.49333333151 1 75 0.49668874152 2 75 0.49342105153 1 76 0.49673203

154 2 76 0.49350649155 2 76 0.49032258156 2 76 0.48717949157 2 76 0.48407643158 1 77 0.48734177159 1 78 0.49056604160 2 78 0.4875161 1 79 0.49068323162 1 80 0.49382716163 1 81 0.49693252164 1 82 0.5165 2 82 0.4969697166 2 82 0.4939759167 2 82 0.49101796168 1 83 0.49404762169 1 84 0.49704142170 1 85 0.5171 2 85 0.49707602172 2 85 0.49418605173 1 86 0.49710983174 2 86 0.49425287175 1 87 0.49714286176 2 87 0.49431818177 2 87 0.49152542178 1 88 0.49438202179 2 88 0.49162011180 1 89 0.49444444181 1 90 0.49723757182 1 91 0.5183 1 92 0.50273224184 2 92 0.5185 1 93 0.5027027186 1 94 0.50537634187 1 95 0.50802139188 1 96 0.5106383189 2 96 0.50793651190 1 97 0.51052632191 1 98 0.51308901192 1 99 0.515625

193 2 99 0.51295337194 2 99 0.51030928195 1 100 0.51282051196 1 101 0.51530612197 1 102 0.5177665198 2 102 0.51515152199 1 103 0.51758794200 1 104 0.52201 1 105 0.52238806202 1 106 0.52475248203 1 107 0.5270936204 2 107 0.5245098205 2 107 0.52195122206 1 108 0.52427184207 2 108 0.52173913208 2 108 0.51923077209 1 109 0.5215311210 2 109 0.51904762211 1 110 0.52132701212 1 111 0.52358491213 2 111 0.52112676214 1 112 0.52336449215 1 113 0.5255814216 1 114 0.52777778217 1 115 0.52995392218 2 115 0.52752294219 1 116 0.52968037220 1 117 0.53181818221 1 118 0.53393665222 1 119 0.53603604223 1 120 0.53811659224 1 121 0.54017857225 1 122 0.54222222226 1 123 0.54424779227 2 123 0.54185022228 1 124 0.54385965229 2 124 0.54148472230 2 124 0.53913043231 1 125 0.54112554

232 2 125 0.5387931233 2 125 0.53648069234 2 125 0.53418803235 1 126 0.53617021236 2 126 0.53389831237 2 126 0.53164557238 1 127 0.53361345239 2 127 0.53138075240 1 128 0.53333333241 2 128 0.53112033242 2 128 0.52892562243 1 129 0.5308642244 2 129 0.52868852245 1 130 0.53061224246 2 130 0.52845528247 2 130 0.52631579248 2 130 0.52419355249 2 130 0.52208835250 1 131 0.524251 1 132 0.52589641252 1 133 0.52777778253 2 133 0.5256917254 1 134 0.52755906255 2 134 0.5254902256 2 134 0.5234375257 1 135 0.52529183258 1 136 0.52713178259 2 136 0.52509653260 1 137 0.52692308261 2 137 0.52490421262 1 138 0.52671756263 1 139 0.52851711264 2 139 0.52651515265 1 140 0.52830189266 1 141 0.53007519267 1 142 0.53183521268 1 143 0.53358209269 2 143 0.53159851270 1 144 0.53333333

‫‪271 2‬‬ ‫‪144 0.53136531‬‬‫‪272 2‬‬ ‫‪144 0.52941176‬‬‫‪273 2‬‬ ‫‪144 0.52747253‬‬‫‪274 2‬‬ ‫‪144 0.52554745‬‬‫‪275 1‬‬ ‫‪145 0.52727273‬‬‫‪276 1‬‬ ‫‪146 0.52898551‬‬‫‪277 1‬‬ ‫‪147 0.53068592‬‬‫‪278 1‬‬ ‫‪148 0.5323741‬‬‫‪279 2‬‬ ‫‪148 0.53046595‬‬‫‪280 2‬‬ ‫‪148 0.52857143‬‬‫‪281 1‬‬ ‫‪149 0.53024911‬‬‫‪282 2‬‬ ‫‪149 0.52836879‬‬‫‪283 1‬‬ ‫‪150 0.53003534‬‬‫‪284 1‬‬ ‫‪151 0.53169014‬‬‫‪285 2‬‬ ‫‪151 0.52982456‬‬‫‪286 2‬‬ ‫‪151 0.52797203‬‬‫‪287 2‬‬ ‫‪151 0.5261324‬‬‫‪288 2‬‬ ‫‪151 0.52430556‬‬‫‪289 1‬‬ ‫‪152 0.52595156‬‬‫‪290 2‬‬ ‫‪152 0.52413793‬‬‫‪291 1‬‬ ‫‪153 0.5257732‬‬‫‪292 1‬‬ ‫‪154 0.52739726‬‬‫‪293 2‬‬ ‫‪154 0.52559727‬‬‫‪294 2‬‬ ‫‪154 0.52380952‬‬‫‪295 2‬‬ ‫‪154 0.5220339‬‬‫‪296 2‬‬ ‫‪154 0.52027027‬‬‫‪297 2‬‬ ‫‪154 0.51851852‬‬‫‪298 2‬‬ ‫‪154 0.51677852‬‬‫‪299 1‬‬ ‫‪155 0.51839465‬‬‫‪300 2‬‬ ‫‪155 0.51666667‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ )ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ \"ﻅﻬﺭ\" ﺒﻌﺩ ‪ n‬ﺭﻤﻴﺔ( ‪n o‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل‪:‬‬ ‫ﻨﺤﺩﺩ ﺍﻟﺨﻼﻴﺎ ﻤﻥ ‪ D2‬ﺇﻟﻰ ‪ D301‬ﺜﻡ ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ‪:‬‬

Terminer Suivant Insertion Graphique Nuage de joints :‫ﻓﻴﻅﻬﺭ ﺍﻟﺸﻜل ﻤﺜل ﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬

‫ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻘﺎﺱ ﺍﻟﻌﻴﻨﺔ ﻜﺒﻴﺭﺍ ﺠﺩﺍ ﻓﺈﻥ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻅﻬﻭﺭ \"ﻅﻬﺭ\"‬‫ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ‪ 0,5‬ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻤﺜل \"ﻤﻴﻭل ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭ ﻨﺤﻭ ﺍﻻﺴﺘﻘﺭﺍﺭ ﻋﻨﺩ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻋﻴﻨﺔ‬ ‫ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ\"‬

‫ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ‪ 07‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻘﺎﻋﺩﻴﺔ‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬ ‫ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ‪ ،‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺇﺘﺤﺎﺩ ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ‪ ،‬ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ‬ ‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ )ﺤﺎﻟﺔ ﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ(‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻭﺇﺘﺤﺎﺩ ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻭﺘﻘﺎﻁﻊ ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬‫‪ /2‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ‪ ،‬ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ /3‬ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬

‫ﺍﻷﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ : 01‬ﺍﻹﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻭﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ )‪(1‬‬ ‫• ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ ﺘﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﻭﺠﻬﻴﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯﻴﻥ ‪ P‬ﻭ ‪F‬‬‫‪ 1‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺘﻼﻤﻴﺫ ﻗﺴﻡ –ﻭﻋﺩﺩﻫﻡ ‪ -40‬ﺭﻤﻰ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ‪10‬‬‫ﻤﺭﺍﺕ ﻓﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 400‬ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ\" ﺘﻭﺯﻴﻊ‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺒﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪ P F‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪ 223 177‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻥ ‪ P‬ﻭ ‪F‬‬‫‪ 2‬ﺍﺴﺘﻌﻤﻠﻨﺎ ﻤﺠﺩﻭل ‪ Excel‬ﻟﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 10000‬ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ‬‫\"ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ\" ﻓﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪ P F‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪ 5022 4978‬ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬‫‪ -‬ﺃﺤﺴﺏ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻥ ‪ P‬ﻭ ‪F‬‬‫‪ 3‬ﻨﻅﺭﻴﺎ‪ ،‬ﻭﻜﻭﻥ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺔ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﺭﻤﻴﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﻤﺭﺓ‬‫ﻭﺍﺤﺩﺓ –ﺤﺩﺴﻴﺎ‪ -‬ﺒﻜﻡ ﺘﻘﺩﺭ ﺤﻅﻭﻅ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ P‬؟‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫‪0,5575‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪223‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪P‬‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪400‬‬

‫ﻭﻫﻭ ‪0,4425‬‬ ‫‪177‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪F‬‬ ‫ﻭﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪400‬‬ ‫‪0,5022‬‬ ‫ﻭﻫﻭ‬ ‫‪5022‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪P‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10000‬‬ ‫ﻭﻫﻭ ‪0,4978‬‬ ‫‪4978‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫‪F‬‬ ‫ﻭﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪10000‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺔ ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻁﺔ‬‫ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ\" ﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻥ ﻤﻤﻜﻨﺘﻴﻥ‪ ،‬ﻨﻅﺭﻴﺎ‪ :‬ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺔ \"ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ \" P‬ﺤﻅ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺤﻅﻴﻥ\"‬‫‪0,5‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪50‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪50%‬‬ ‫ﺒﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﺘﻘﺩﺭ‬ ‫‪\"P‬‬ ‫ﺤﻅﻭﻅ \"ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫‪100‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪ (3‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫\"ﺇﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \"ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ P‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪\" 0,5‬‬‫ﻭﻨﻼﺤﻅ –ﻤﻥ ﺨﻼل ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل )‪ -(2‬ﺃﻨﻪ‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﻋﻴﻨﺔ‬‫ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﻓﺈﻥ \"ﺘﻭﺍﺘﺭ ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ‪ \" P‬ﻴﻜﻭﻥ ﻗﺭﻴﺒﺎ ﻤﻥ \"ﺇﺤﺘﻤﺎل‬ ‫ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ‪ \" P‬ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻌﻘﻭل ﺠﺩﺍ )!!(‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :2‬ﺍﻹﺤﺘﻤﺎﻻﺕ ﻭﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ )‪(2‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﻟﺒﻴﺏ ﻭﺸﺭﻴﻑ ﻴﻠﻌﺒﻭﻥ ﻟﻌﺒﺔ ﺘﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺭﻤﻲ ﺯﻫﺭ ﻨﺭﺩ ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ‬ ‫ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪.6‬‬‫ﻋﻨﺩ ﺭﻤﻲ ﺯﻫﺭ ﻨﺭﺩ ‪ ، D1‬ﻻﺤﻅ ﻟﺒﻴﺏ ﻭﺸﺭﻴﻑ ﺘﻜﺭﺍﺭﺍ ﻏﻴﺭ ﻋﺎﺩﻱ ﻟﻅﻬﻭﺭ‬‫ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 6‬ﻭﻗﺼﺩ ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﻭﻀﻭﻉ‪ ،‬ﻗﺎﻡ ﻟﺒﻴﺏ ﺒﺠﻤﻊ‬

‫ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻋﻴﻨﺔ ﻤﻘﺎﺴﻬﺎ ‪ 1000‬ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﺯﻫﺭ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪) \" D1‬ﻟﻘﺩ ﺴﺎﻋﺩﻩ ﻋﻠﻰ‬‫ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﺫﻟﻙ ﺃﺼﺩﻗﺎﺀ ﻟﻪ( ﻓﺘﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﻱ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪123456‬‬ ‫‪150 135 145 130 140‬‬‫‪ 1‬ﻋﻴﻥ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 6‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﻌﻴﻨﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺩﺭﻭﺴﺔ‪.‬‬‫‪ 2‬ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﻤﺩﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ‬ ‫ﻫل ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺸﺭﻴﻑ ﻭﻟﺒﻴﺏ \"ﻤﺸﺭﻭﻋﺔ\"‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‪:‬‬‫‪ 1‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺎﻫﺩﺍﺕ )ﺃﻱ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻜﻠﻲ( ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 1000‬ﻤﻨﻪ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪6‬‬ ‫ﻫﻭ‪1000-(150+135+145+130+140) :‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 6‬ﻫﻭ ‪300‬‬ ‫ﻭﺠﺩﻭل ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﻴﻜﻭﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫)ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻗﻴﻤﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺘﻜﺭﺍﺭﻫﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ ﺍﻟﻜﻠﻲ( ﻭﻤﺠﻤﻭﻉ‬‫ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫ﺘﻭﺍﺘﺭﺍﺕ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪1‬‬‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪123456‬‬ ‫‪0,15 0,135 0,145 0,13 0,14 0,3‬‬ ‫‪ 2‬ﺇﺫﺍ ﺍﻋﺘﻤﺩﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻤﻭﺫﺝ ﺍﻟﺘﺠﺭﻴﺒﻲ ﺍﻟﺫﻱ ﺃﺨﺫﻩ ﻟﺒﻴﺏ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﺭﻤﻴﻨﺎ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ D1‬ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫ﻨﺴﺒﺔ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 1‬ﻫﻲ ‪15%‬‬ ‫ﻨﺴﺒﺔ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 2‬ﻫﻲ ‪13,5%‬‬ ‫ﻨﺴﺒﺔ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 3‬ﻫﻲ ‪14,5%‬‬

‫ﻨﺴﺒﺔ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 4‬ﻫﻲ ‪13%‬‬ ‫ﻨﺴﺒﺔ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 5‬ﻫﻲ ‪14%‬‬ ‫ﻨﺴﺒﺔ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 6‬ﻫﻲ ‪30%‬‬‫ﻤﻥ ﺨﻼل ﻫﺫﻩ ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ﺤﻅﻭﻅ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤل‬ ‫ﺍﻟﺭﻗﻡ ‪ 6‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﺤﻅﻭﻅ ﻅﻬﻭﺭ ﺍﻷﻭﺠﻪ ﺍﻷﺨﺭﻯ‪.‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻤﻼﺤﻅﺔ ﺸﺭﻴﻑ ﻭﻟﺒﻴﺏ ﻤﺸﺭﻭﻋﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ :4‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻏﻴﺭ ﺸﻔﺎﻑ ﻋﻠﻰ ‪ 12‬ﻜﺭﺓ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪ 12‬ﻻ ﻨﻔﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﺎ‬‫ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ )ﻜل ﻜﺭﺓ ﺘﺤﻤل ﺭﻗﻤﺎ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻭﻜل ﻜﺭﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ﺘﺤﻤﻼﻥ ﺭﻗﻤﻴﻥ‬‫ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ( ﻨﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻜﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺤﻤﻠﻪ‬ ‫ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ Ω‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻠﺴﺤﺏ؟‬‫‪\" 2‬ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ \"3‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪A‬‬‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻋﺩﺩ ﺯﻭﺠﻲ\" ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪B‬‬‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻟﻴﺱ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ \"3‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪C‬‬‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺯﻭﺠﻲ ﻭﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ \"3‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺘﻨﺘﻤﻲ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪D‬‬

‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺯﻭﺠﻲ ﺃﻭ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ \"3‬ﻴﻌﻨﻲ‪ :‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺘﻨﺘﻤﻲ‬ ‫ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪F‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ‪A, B,C, D, F‬‬ ‫ﺏ‪-‬ﺃﻋﻁ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ‪ C, D, F‬ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪B‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬‫‪ ،Ω 1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ )ﺃﻭ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺃﻭ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ‪. : ^1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12` :‬‬ ‫‪ 2‬ﺃ‪A ^3;6;9;12` -‬‬ ‫`‪B ^2;4;6;8;10;12‬‬ ‫`‪C ^1;2;4;5;7;8;10;11‬‬ ‫`‪D ^6;12‬‬ ‫`‪F ^2;3;4;6;8;9;10;12‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻜل ﻤﻥ ‪ A, B,C, D, F‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺎﺕ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪ C :‬ﻫﻲ ﻤﺘﻤﻤﺔ ‪ A‬ﺇﻟﻰ ‪ :‬ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ‪C A :‬‬ ‫‪ D‬ﻫﻲ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ‪D A ˆ B :‬‬ ‫‪ F‬ﻋﻲ ﺇﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ‪F A ‰ B :‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫* ﻭﺍﻟﻭﻀﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪ 3‬ﺴﺎﺌﺩ‪\" ،‬ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺭ\" ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪) A‬ﻋﻠﻰ ﺴﺒﻴل‬‫ﺍﻟﻤﺜﺎل( ﻴﻌﻭﺩ ﺇﻟﻰ \"ﺍﻟﺘﻔﻜﻴﺭ\" ﻓﻲ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ \"ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\"3‬‬‫ﻭﻟﻐﻭﻴﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﺘﻤﺜل \"ﺤﺎﺩﺜﺔ \" ﻟﺫﺍ ﻨﺴﻤﻲ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻜل‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬

‫** ﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺘﺤﺩﻴﺩ ﻭﺴﻴﻠﺔ ﺘﻤﻜﻨﻨﺎ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻘﻴﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ﻟﺤﻅﻭﻅ ﺘﺤﻘﻴﻕ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺎ‬‫ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ﻟﺩﻴﻨﺎ \"ﺴﻠﻡ ﻟﻠﺘﻨﻘﻴﻁ\" ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻏﻴﺭ ﺸﻔﺎﻑ ﻭﺍﻟﻜﺭﺍﺕ‬ ‫ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ ﻭﺍﻟﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﺃﻥ ﻨﺼﻁﻠﺢ‪:‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﺤﻅ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ‪ 12‬ﺤﻅﺎ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬‫‪ 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12‬ﻭﻟﺫﺍ ﻨﻘﻭل‪ :‬ﺇﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‬‫ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻜﻤﺎ‬ ‫\"ﺍﻟﺴﻠﻡ\"‬ ‫ﻫﺫﺍ‬ ‫ﻴﻠﺨﺹ‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬ ‫ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫‪12‬‬ ‫‪ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12‬ﺍﻟﻨﺘﻴﺠﺔ‬ ‫)ﺃﻭ‬‫ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺃﻭ‬‫ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ‬ ‫(‬ ‫‪xi‬‬‫‪ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1‬ﺍﻹﺤﺘﻤﺎ‬ ‫‪ 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12‬ل‬ ‫‪pi‬‬‫ﻭﺘﺤﺩﻴﺩ ﻤﺜل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻴﺴﻤﻰ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺇﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪) :‬ﻻﺤﻅ‬ ‫ﺃﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ pi‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﻬﺎ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪(1‬‬‫ﻭﺇﺫﺍ ﺃﺭﺩﻨﺎ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺴﻠﻡ ﻟﺤﺴﺎﺏ )‪ ، p(A‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻭﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺩﺱ‪ ،‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 4‬ﺤﻅﻭﻅ ﻤﻥ ‪ 12‬ﺤﻅﺎ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫)‪p( A‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫)‪p( A‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭﺤﺩﺴﻴﺎ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ `‪ A ^3;6;9;12‬ﻭ ‪p( A) p3  p6  p9  p12‬‬

‫*** ﻭﺒﺎﻹﻋﺘﻤﺎﺩ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﺍﻟﻤﺒﻨﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻭﺍﻗﻊ \"ﻤﻴﺩﺍﻨﻲ\" ﻴﻀﻊ‬ ‫ﺍﻟﻌﻠﻤﺎﺀ ﺍﻟﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ﻭﺍﻻﺼﻁﻼﺤﺎﺕ‪.‬‬ ‫‪ /1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ )ﺘﺫﻜﻴﺭ(‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻜل ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻨﻌﺭﻑ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻟﻬﺎ ﻭﻟﻜﻨﻪ ﻻ‬‫ﻨﺴﺘﻁﻴﻊ ﺃﻥ ﻨﺘﻨﺒﺄ ﺒﺼﻔﺔ ﻤﺅﻜﺩﺓ ﺃﻱ ﻨﺘﻴﺠﺔ ﺴﺘﺤﻘﻕ ﻓﻌﻼ ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ﻤﺨﺭﺠﺎ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ )ﺃﻭ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ( ﻜل ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻤﻤﻜﻨﺔ‬ ‫ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻀﻡ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻓﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻨﻜﻭﻥ ﻗﺩ ﺤﺼﻠﻨﺎ‬‫ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﻋﺎﺩﺓ ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ‬‫ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ :‬ﻭﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺩﺭﺍﺴﻴﺔ‪ ،‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻫﻲ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺨﺎﺭﺠﻬﺎ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ /2‬ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ‪ ،‬ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:1‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫`‪: ^ω1,ω2 ,.......,ωn‬‬

‫ﻨﻘﻭل ﺃﻨﻨﺎ ﻋﺭﻓﻨﺎ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ :‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﺭﻓﻕ ﺒﻜل‬ ‫ﻤﺨﺭﺝ ‪ ωi‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﺎ ﻤﻭﺠﺒﺎ ‪) pi‬ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻥ ‪ i 1‬ﺇﻟﻰ ﻏﺎﻴﺔ ‪( i n‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ‪ p1  p2  ......  pn 1 :‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، i‬ﺒﺤﻴﺙ‪ ، n t i t 1 :‬ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ pi‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﺤﺘﻤﺎل‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪ ωi‬ﻭﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﻜﺫﻟﻙ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ) ‪. P(ωi‬‬ ‫ﻴﻌﺭﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﺒﺠﺩﻭل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪ ω1 ω2 .......... ωn‬ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪ωi‬‬ ‫‪ p1 p2 .......... Pn‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪pi‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:2‬‬‫ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻴﻌﻨﻲ \"ﺇﺭﻓﺎﻕ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل‪-‬ﻤﻼﺌﻡ‪-‬‬ ‫ﻤﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ ، :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺨﺎﺭﺝ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ\"‬ ‫ﻤﺜﺎﻻﻥ‪:‬‬‫‪ *1‬ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 4‬ﻜﺭﺍﺕ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭ‪ 3‬ﻜﺭﺍﺕ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻭ‪ 6‬ﻜﺭﺍﺕ ﺼﻔﺭﺍﺀ‬‫ﻻ ﻨﻔﺭﻕ ﺒﻴﻨﻬﺎ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ‪ :‬ﻨﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻜﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻨﻬﺘﻡ‬ ‫ﺒﻠﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ‪.‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺍﻨﻨﺎ ﻨﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﻠﻭﻨﻬﺎ ﻓﺈﻨﻪ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻤﺨﺎﺭﺝ \"ﺍﻟﻜﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺤﻤﺭﺍﺀ\" ﻟﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ R‬ﺇﻟﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ‬ ‫\"ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺨﻀﺭﺍﺀ\" ﻟﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ V‬ﺇﻟﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ‬ ‫\"ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺼﻔﺭﺍﺀ\" ﻟﻨﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ J‬ﺇﻟﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ‬‫ﻤﻨﻪ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺨﺎﺭﺝ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ‪ : ^R.V.J` :‬ﻭﻟﻨﻤﺫﺠﺔ‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻫﻭ ‪13‬‬

‫ﻤﻨﻪ‪ :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 4‬ﺤﻅﻭﻅ ﻤﻥ ‪ 13‬ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺤﻤﺭﺍﺀ‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 3‬ﺤﻅﻭﻅ ﻤﻥ ‪ 13‬ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺨﻀﺭﺍﺀ‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 6‬ﺤﻅﻭﻅ ﻤﻥ ‪ 13‬ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺼﻔﺭﺍﺀ‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‪:‬‬‫‪ R V‬ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ‬ ‫‪J‬‬‫) ‪(ωi‬‬‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ) ‪( pi‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪13‬‬‫‪ *2‬ﻨﺭﻤﻲ ﺯﻫﺭ ﻨﺭﺩ ﻤﺘﻭﺍﺯﻥ ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪ 6‬ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ‬‫ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤﻠﻪ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﻗﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ‪.‬‬‫‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺨﺎﺭﺝ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﺭﻤﻲ ﻫﺫﻩ ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ‪ : ^1;2;3;4;5;6` :‬ﻭﺒﻤﺎ‬‫ﺃﻥ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﻤﺘﻭﺍﺯﻥ ﻓﺈﻥ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ‪ 1;2;3;4;5;6‬ﺤﻅ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ‪6‬‬‫ﺤﻅﻭﻅ ﻜﻲ ﺘﺘﺤﻘﻕ ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‪.‬‬‫‪ 1 2 3 4 5 6‬ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ) ‪(ωi‬‬‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ) ‪( pi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:3‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﻨﺘﻬﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪ : ^ω1,ω21,........,ωn` :‬ﻭﻟﻴﻜﻥ ‪ P‬ﻗﺎﻨﻭﻥ‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ‪ :‬ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪P(ω1) p1, P(ω2 ) p2 ,......, P(ωn ) pn‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﺃﻨﻪ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪p1 p2 ...... pn‬‬

‫ﻭﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﻴﺎﺕ ‪ p1 p2 ...... pn‬ﻨﻘﻭل ﻜﺫﻟﻙ ﺃﻥ ﺍﻹﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ‬ ‫‪ ω1,ω21,........,ωn‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‪.‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪ 3‬ﺴﺎﺌﺩ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻭﻀﻌﻨﺎ ‪p1 p2 ...... pn α‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪) p1 p2 ...... pn 1 :‬ﻤﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل(‬‫‪α‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪n.α‬‬ ‫‪ α  ....  α‬ﻤﻨﻪ‪1 :‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪1 :‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﺒﺤﻴﺙ‪ : ^ω1,ω21,........,ωn` :‬ﻭﻜﺎﻥ ‪P‬‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻋﻠﻰ‬ ‫) ‪P(ω1‬‬ ‫) ‪P(ω2‬‬ ‫‪......‬‬ ‫) ‪P(ωn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻋﻨﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺜﻼ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ‪ *2‬ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭ ﺃﻋﻼﻩ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻭﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﺎل ‪*1‬‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻴﺱ ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ‪.‬‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻻ ﺘﺴﻤﺢ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻟﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪ ،‬ﻨﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ‪:‬‬

‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻨﻘﻭﻡ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ‪ n‬ﻤﺭﺓ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻅﺭﻭﻑ ﻓﺈﻥ ﺘﻭﺍﺘﺭ ﻜل ﻤﺨﺭﺝ‬ ‫ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ﻋﻨﺩﻤﺎ ‪ n‬ﻴﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺎ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﺠﺩﺍ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ﻜﺭﺍﺕ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭﻋﻠﻰ ﻜﺭﺍﺕ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﻜﻠﻬﺎ ﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺔ ﻋﻨﺩ‬‫ﺍﻟﻠﻤﺱ‪ ،‬ﻨﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻜﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﻠﻭﻥ ﺍﻟﻜﺭﺓ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ‪.‬‬‫ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻻ ﺘﺴﻤﺢ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ ﻤﺒﺎﺸﺭﺓ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻷﻨﻬﺎ ﻻ ﺘﺤﺩﺩ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ‬ ‫ﺩﺍﺨل ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻻ ﺘﺤﺩﺩ ﺘﻭﺯﻴﻊ ﺍﻟﻠﻭﻨﻴﻥ‪.‬‬ ‫ﻟﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪،‬‬ ‫ﻨﻨﺠﺯ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻅﺭﻭﻑ ‪ 1000‬ﻤﺭﺓ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ‪ 315‬ﻤﺭﺓ ﻜﺭﺓ ﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭ‪ 685‬ﻤﺭﺓ ﻜﺭﺓ ﺨﻀﺭﺍﺀ ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻤﺫﺠﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫‪ R V‬ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ‬‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‬ ‫‪0,315‬‬ ‫‪0,685‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ R‬ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ \"ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺤﻤﺭﺍﺀ\"‬ ‫‪ V‬ﻴﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ \"ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺨﻀﺭﺍﺀ\"‬

‫‪ /3‬ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻜل ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﺯﺌﻴﺔ ﻤﻥ ‪. :‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻭﻜﺎﻥ ‪ ω‬ﻤﺨﺭﺠﺎ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ‪ ω  A‬ﻨﻘﻭل \"ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪ ω‬ﻴﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪\" A‬‬ ‫ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﻫﻲ ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻴﺤﻘﻘﻬﺎ ﻤﺨﺭﺝ ﻭﺍﺤﺩ ﻭﻭﺍﺤﺩ ﻓﻘﻁ‪.‬‬ ‫‪ φ‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺩﺍﺜﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﺤﻴﻠﺔ‬ ‫‪ :‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻷﻜﻴﺩﺓ‪.‬‬ ‫ﺏ‪-‬ﺘﻌﺎﺭﻴﻑ ﺃﺨﺭﻯ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻤﺘﻌﻠﻘﺘﻴﻥ‬ ‫ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻀﺎﺩﺓ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ‪) A‬ﺃﻭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ ( A‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﻻ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ A‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻀﺎﺩﺓ ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ‪. A‬‬‫ﺇﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﺃﻭ ‪. B‬‬‫ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ A ‰ B‬ﺇﻟﻰ ﺇﺘﺤﺎﺩ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A ‰ B‬ﺘﺴﻤﻰ‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ‪ A‬ﺃﻭ ‪.\" B‬‬

‫ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ ، B‬ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪.‬‬‫ﻴﺭﻤﺯ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ A ˆ B‬ﺇﻟﻰ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻭﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A ˆ B‬ﺘﺴﻤﻰ‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \" ‪ A‬ﺃﻭ ‪.\" B‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﻤﻨﻔﺼﻠﺘﺎﻥ )ﺃﻭ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ( ﻴﻌﻨﻲ ‪A ˆ B φ‬‬

‫‪: A AˆB‬‬ ‫‪: A A‰B : A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪:A A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪B‬‬‫ﺇﺘﺤﺎﺩ ‪ A ˆ B‬ﻫﻲ‬ ‫‪ A‬ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ‪ A‬ﻫﻲ‬‫ﺍﻟﻌﻜﺴﻴﺔ )ﺃﻭ ﻭ ‪ B‬ﻤﻨﻔﺼﻠﺘﺎﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﺘﻘﺎﻁﻊ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﺍﻟﻤﻀﺎﺩﺓ )ﺃﻭ‬‫ﻏﻴﺭ ﻭ ‪ A ‰ B ) B‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪A‬‬ ‫ﻟﻠﺤﺎﺩﺜﺔ ‪( A‬‬‫ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻭ ‪A ˆ B ) B‬‬ ‫ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ(‬‫ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫ﺃﻭ ‪( B‬‬‫ﻭ‪(B‬‬ ‫‪ /4‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ‪:‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪ ،‬ﺘﺭﻤﻴﺯ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻤﻨﺫﻤﺠﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻤﺨﺎﺭﺠﻬﺎ‬‫ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ ،‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﻤﺭﻤﺯ ﺇﻟﻴﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ )‪ P(A‬ﻭﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪P(φ) 0 : A φ‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ `‪) P(A) P(α ) : A ^α‬ﺤﻴﺙ ‪ α‬ﻤﺨﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ(‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‪P( A) P(α1)  P(α2 )  ......  P(αn ) A ^α1,α2 ,........αn ` :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪ α1,α21,.....,αn :‬ﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ(‬

‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﻨﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩﺍ ‪ D‬ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 6،5،4،3،2،1‬ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤﻠﻪ‬ ‫ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﻗﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ‪.‬‬‫ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﻤﻜﻨﻨﺎ ﻤﻥ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ \" D‬ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ‬‫ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪ωi‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻑ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪12 34 56‬‬‫‪ 0,15 0,12 0,07 0,23 0,24 0,19‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ) ‪P(ωi‬‬‫ﻟﻨﺴﻤﻲ ‪ A‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \"ﻅﻬﻭﺭ ﻭﺠﻪ ﻴﺤﻤل ﺭﻗﻤﺎ ﻓﺭﺩﻴﺎ\"‬ ‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ A ^1;3;5` :‬ﻤﻨﻪ ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫)‪P( A) P(1)  P(3)  P(5‬‬ ‫‪0,15  0,07  0,24‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻫﻭ ‪0,46‬‬‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﺭﻤﻴﻨﺎ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ D‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ 46%‬ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻅﻭﻅ ﻟﻜﻲ ﻴﻅﻬﺭ ﻭﺠﻪ‬ ‫ﻴﺤﻤل ﺭﻗﻤﺎ ﻓﺭﺩﻴﺎ‪.‬‬‫ﺏ‪-‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺎﺕ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﺔ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫`‪: ^ω1,ω2 ,.......,ωn‬‬‫ﻟﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻤﻨﻤﺫﺠﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻋﺩﺩ ﻤﺨﺎﺭﺝ‬‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻭ ‪ n‬ﻤﻨﻪ‪ -‬ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ )ﻓﻲ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ )‪ ((2‬ﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ‬ ‫) ‪P(ωi‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪A ^α1,α2 ,........αn` :‬‬

‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻫﻭ ‪ k‬ﻭﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫)‪P( A‬‬ ‫) ‪P(α1)  P(α2 )  ......  P(αn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪........‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ k‬ﺤﺩﺍ‬ ‫)‪P( A‬‬ ‫§¨‪k.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫©‬ ‫‪n‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫)‪P( A‬‬ ‫‪k‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪n‬‬‫** ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪ A φ :‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪ A‬ﻫﻭ ‪0‬‬ ‫ﻭ ‪) P(A) 0‬ﺤﺴﺏ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ(‬ ‫)‪(2‬‬ ‫)‪P( A‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫*** ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﺤﺎﺩﺜﺔ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪A ^α` :‬‬ ‫)‪P( A‬‬ ‫) ‪P(α‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ‪ A‬ﻫﻭ ‪(3) 1‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪A‬‬ ‫ﻤﻥ )‪ (1‬ﻭ)‪ (2‬ﻭ)‪:(3‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬‫)‪P( A‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪: A‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻤﻨﻤﺫﺠﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ : A‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪P(A) A‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬

‫)ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﺤﻘﻕ ‪ A‬ﻴﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ‪ ،‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ‪A‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻴﺴﻤﻰ ﻜﺫﻟﻙ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ(‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﺼﻨﺩﻭﻕ ﻋﻠﻰ ‪ 35‬ﺒﻁﺎﻗﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ ﻨﻌﻡ ﻭ‪ 72‬ﺒﻁﺎﻗﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ ﻻ‬‫ﻜﻠﻬﺎ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ‪ .‬ﻨﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﺒﻁﺎﻗﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ﻭﻨﻬﺘﻡ‬ ‫ﺒﺎﻟﻜﻠﻤﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻤﻠﻬﺎ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ‪.‬‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ \"ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺎﺕ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ\" ﻭ\"ﺍﻟﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ\" ﻨﻨﻤﺫﺝ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ‪.‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ N‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‪\" :‬ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ ﻻ\"‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ :‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻫﻭ ‪ 72+35‬ﻭﻫﻭ ‪107‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ N‬ﻫﻭ ‪72‬‬ ‫) ‪P( N‬‬ ‫‪72‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪107‬‬‫‪72‬‬ ‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺒﻁﺎﻗﺔ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻟﻜﻠﻤﺔ ﻻ ﻫﻭ‪:‬‬‫‪107‬‬ ‫ﺠـ‪ -‬ﺨﻭﺍﺹ )ﻤﺒﺭﻫﻨﺎﺕ ﻤﻘﺒﻭﻟﺔ(‪:‬‬‫ﻟﺘﻜﻥ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻤﻨﻤﺫﺠﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ‪ A‬ﻭ ‪P(A ‰ B) P(A)  P(B)  P(A ˆ B) : B‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ﻤﻨﻔﺼﻠﺘﻴﻥ )ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻼﺌﻤﺘﻴﻥ(‪:‬‬ ‫)‪P( A ‰ B) P( A)  P(B‬‬ ‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪P(A) 1 P(A) : A‬‬

‫ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪0 d P(A) d 1 : A‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 40‬ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻜﺘﺒﺕ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻤﻥ ‪ 11‬ﺇﻟﻰ ‪ 50‬ﻜﻠﻬﺎ‬‫ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ )ﻜل ﻗﺭﻴﺼﺔ ﺘﺤﻤل ﻋﺩﺩﺍ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻭﻜل ﻗﺭﻴﺼﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ‬‫ﺘﺤﻤﻼﻥ ﻋﺩﺩﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ(‪ .‬ﻨﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻨﻬﺘﻡ‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ‪ N‬ﺍﻟﻤﻜﺘﻭﺏ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻘﺭﻴﺼﺔ‪.‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ u‬ﺭﻗﻡ ﺁﺤﺎﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ N‬ﻭ ‪ d‬ﺭﻗﻡ ﻋﺸﺭﺍﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ N‬ﻭﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ‬ ‫‪ A, B,C, D, E‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬‫‪ u d 5 \" : C ،\" d d 3 \" : B ،\" u d 5 \" : A‬ﻭ ‪: E ،\" u ! 5 \" : D ،\" d d 3‬‬ ‫\" ‪ u d 5‬ﺃﻭ ‪.\" d d 3‬‬ ‫ﺍﻟﻬﺩﻑ ﻫﻭ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ‪. A, B,C, D, E‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ :‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫`‪: ^11;12;13;........;47;48;49;50‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ \"ﺍﻟﻘﺭﻴﺼﺎﺕ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ\" ﻭﺍﻟﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻲ ﻨﻨﻤﺫﺝ ﻫﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ‪.‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪X‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪P(X ) A‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻘﺭﻴﺼﺎﺕ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻫﻭ ‪40‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫`‪A ^11,12,13,14,15,20,21,22,23,24,25,30,31,32,33,34,35,40,41,42,43,44,45,50‬‬ ‫`‪B ^11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30‬‬

‫‪ C A ˆ B‬ﻤﻨﻪ‪C ^11,12,13,14,15,20,21,22,23,24,25,30` :‬‬‫ﻭﻫﻜﺫﺍ‪ :‬ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ‪ A‬ﻫﻭ ‪24‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ‪ B‬ﻫﻭ ‪20‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ‪ C‬ﻫﻭ ‪12‬‬‫)‪P(C‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫‪20‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪P( A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪5‬‬‫)‪P(C‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪P( A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪5‬‬‫‪ D‬ﻤﻨﻪ‪P(D) 1 P(A) :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺠﻬﺔ ﺃﺨﺭﻯ‪ ،‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪A :‬‬‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪P(D‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻭﺃﺨﻴﺭﺍ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ E A ‰ B :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ ‫)‪P(E) P( A)  P(B)  P( A ˆ B‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪653‬‬ ‫‪10‬‬ ‫)‪P(E‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫)‪P(E‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪10‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﻭﺠﻬﺔ‬‫ﺍﻟﻬﺩﻑ ﻫﻭ ﺇﻜﺘﺴﺎﺏ ﺒﻌﺽ \"ﺍﻟﻁﺭﻕ ﺍﻟﻌﻤﻠﻴﺔ\" ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻨﻬﺠﻲ ﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺒﻌﺽ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ‪.‬‬‫ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﺘﻡ ﻓﻲ ﻤﺭﺍﺤل ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﺃﻭ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺃﺩﻭﺍﺕ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﺴﻨﻭﻀﺢ‬ ‫ﻤﺒﺩﺃ \"ﺍﻟﻌﺩ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل \"ﺸﺠﺭﺓ\"‪ ،‬ﻭﻫﻭ ﻤﺒﺩﺃ ﻴﻌﺘﻤﺩ ﻋﻠﻰ ﻋﻤﻠﻴﺔ ﺍﻟﻀﺭﺏ‪.‬‬

‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﻭﺠﻪ ﺃﻭل‪ :‬ﻟﻌﺒﺔ \"ﻨﻌﻡ ﺃﻭ ﻻ\"‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﺘﻜﻤﻥ ﻟﻌﺒﺔ ﻓﻲ ﻁﺭﺡ ‪ 3‬ﺃﺴﺌﻠﺔ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻭﻋﻠﻰ ﺍﻟﻼﻋﺏ ﺃﻥ ﻴﺠﻴﺏ ﺇﻤﺎ \"ﺒﻨﻌﻡ\" )‪(0‬‬‫ﻭﺇﻤﺎ ﺒـ \"ﻻ\" )ﻻ( ﻋﻠﻰ ﻜل ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪ .‬ﻨﺘﻴﺠﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻠﻌﺒﺔ ﻫﻲ ﺇﺫﻥ ﺜﻼﺜﻴﺔ‬‫ﻤﺭﺘﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ) ‪ (R1, R2 , R3‬ﺤﻴﺙ ‪ R1‬ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻷﻭل ﻭ ‪R2‬‬ ‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻭ ‪ R3‬ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺴﺅﺍل ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻨﻘل ﺜﻡ ﺃﻜﻤل \"ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ\" ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪N‬‬‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪O R1‬‬‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪O N • • R2‬‬ ‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪• R3‬‬‫‪O NO‬‬ ‫• • •‪N‬‬‫) ‪(0,0,0) (0,0, N‬‬ ‫ﺨﺎﺭﺝ‬‫‪ 2‬ﺇﺫﺍ ﺸﺭﺤﻨﺎ ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺍﻟﻠﻌﺒﺔ ﻟﺸﺨﺹ ﻴﺠﻬل ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﻲ ﺒﻴﻨﺕ ﻋﻠﻴﻬﺎ‬‫ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﻭﺇﺠﺎﺒﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﻓﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل‬‫ﻜﻲ ﻴﺠﻴﺏ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺒﻨﻌﻡ ﻋﻠﻰ ﺇﺜﻨﻴﻥ ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻟﻤﻁﺭﻭﺤﺔ؟‬ ‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺘﻜﻤل ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬

‫‪N‬‬‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪O R1‬‬‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪O N • • R2‬‬ ‫ﺍﻹﺠﺎﺒﺔ ‪R3‬‬‫‪O NO‬‬ ‫• • •‪N‬‬ ‫•‬‫ﺍﻟﺨﺎﺭﺝ ) ‪(0,0, N ) (0, N,0) (0, N , N ) (N,0,0) (N,0, N ) (N, N,0) (N , N, N‬‬ ‫)‪(0,0,0‬‬‫‪ 2‬ﻜﻭﻥ \"ﺍﻟﺸﺨﺹ ﻴﺠﻬل ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﻭﻴﺠﻴﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ\" ﻴﻭﺤﻲ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻬﻤﺎ ﺘﻜﻥ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪X‬‬ ‫) ‪P(X‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ‪X‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﻜﻨﺔ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﻫﻭ ‪ 2u 2u 2‬ﻭﻫﻭ ‪ 8‬ﻭﺇﺫﺍ‬‫ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ A‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \"ﺍﻟﺸﺨﺹ ﻴﺠﻴﺏ ﺒﻨﻌﻡ ﻋﻠﻰ ﺴﺅﺍﻟﻴﻥ ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ\" ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‬‫ﺍﻟﻤﻼﺌﻤﺔ ﻟﺘﺤﻘﻴﻕ ‪ A‬ﺃﻱ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭ ﺇﻟﻴﻬﺎ‬ ‫ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ )*( ﻓﻲ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻭﻋﺩﺩﻫﺎ ‪3‬‬ ‫)‪P( A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪8‬‬‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﺠﻴﺏ ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺒﻨﻌﻡ ﻋﻠﻰ ﺴﺅﺍﻟﻴﻥ ﺒﺎﻟﻀﺒﻁ ﻤﻥ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ‬ ‫‪8‬‬

‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﻥ ﻨﻤﻭﺫﺝ ﺘﺠﺭﺒﺔ ﻤﺜل‬ ‫\"ﺭﻤﻲ ‪ 3‬ﻗﻁﻊ ﻨﻘﺩﻴﺔ ‪\" D3, D2 , D1‬‬‫ﺤﻴﺙ ﻴﻌﻭﺽ ‪ R1‬ﺒـ \"ﻭﺠﻪ ‪ R2 ،\" D1‬ﺒـ \"ﻭﺠﻪ ‪ \" D2‬ﻭ ‪ R3‬ﺒـ \"ﻭﺠﻪ ‪ \" D3‬ﻭ‪0‬‬ ‫ﺒـ ‪ F‬ﻭ ‪ N‬ﺒـ ‪) P‬ﻤﺜﻼ(‬‫‪ 2‬ﻋﻨﺩ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل \"ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ\" ﻋﺎﺩﺓ‪\" ،‬ﻻ ﺘﻜﺘﺏ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻷﻨﻬﺎ \"ﺘﻘﺭﺃ‬ ‫ﻀﻤﻨﻴﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺠﺭﺓ\"‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﻭﺠﻪ ﺜﺎﻨﻲ‪ :‬ﺍﻟﺴﺤﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻭﺒﺈﺭﺠﺎﻉ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﻜﻴﺱ ﻋﻠﻰ ‪ 5‬ﻗﺭﻴﺼﺎﺕ‪ ،‬ﻜﻠﻬﺎ ﻤﺘﺸﺎﺒﻬﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻠﻤﺱ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻤﻥ ‪1‬‬‫ﺇﻟﻰ ‪) 5‬ﻜل ﻗﺭﻴﺼﺔ ﺘﺤﻤل ﺭﻗﻤﺎ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻭﻜل ﻗﺭﻴﺼﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ﺘﺤﻤﻼﻥ ﺭﻗﻤﻴﻥ‬‫ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ(‪\" ،‬ﻨﺴﺤﺏ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ‪ ،‬ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻨﺴﺠل ﺭﻗﻤﻬﺎ ﺜﻡ ﻨﻌﻴﺩﻫﺎ ﺇﻟﻰ‬‫ﺍﻟﻜﻴﺱ ﺜﻡ ﻨﺨﻠﻁ ﻤﺤﺘﻭﻯ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﺜﻡ ﻨﺴﺤﺏ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻗﺭﻴﺼﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ ﻭﻨﺴﺠل‬‫ﺭﻗﻤﻬﺎ ﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﻤﺠل ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺴﺤﺏ ﺍﻷﻭل\" ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ‪ -‬ﺍﻟﻤﻜﻭﻥ ﻤﻥ‬ ‫ﺭﻗﻤﻴﻥ‪ -‬ﺍﻟﻤﺴﺠل ﺒﻌﺩ ﺍﻟﺴﺤﺒﻴﻥ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪3‬؟‬

‫‪ x‬ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ‪5‬ﺘﻜﻭﻥ ﻜﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪3 4:‬‬ ‫‪5...‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻴﻀﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬‫‪5u 51..2. 3‬‬ ‫‪45 12 3‬‬ ‫‪45 12 3‬‬ ‫‪45 12 3‬‬ ‫‪45‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺭﻴﻀﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫‪21 22 23‬‬ ‫*‬ ‫‪24 25 31 32 33‬‬ ‫‪34 35 41 42 43‬‬ ‫‪44 45 51 52 53‬‬ ‫‪54 55‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ‬ ‫**‬ ‫*‬ ‫**‬ ‫*‬ ‫‪1‬‬ ‫‪12 3‬‬ ‫‪45‬‬ ‫‪11 12 13‬‬ ‫‪14 15‬‬ ‫*‬ ‫*‬‫ﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﻜﻭﻥ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻤﺘﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺘﻭﺯﻴﻊ‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﺴﻤﻴﻨﺎ ‪ A‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \"ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻪ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\"3‬‬‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A‬ﻫﻲ ﺍﻟﻤﺸﺎﺭ ﺇﻟﻴﻬﺎ ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ )*( ﻭﻋﺩﺩﻫﺎ ﻫﻭ ‪9‬‬ ‫)‪P( A‬‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪5u5‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻫﻭ‬ ‫ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫ﻭﻋﺩﺩ‬ ‫‪25‬‬‫‪9‬‬ ‫ﻤﻀﺎﻋﻔﺎ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 3‬ﻫﻭ‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻪ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ‬‫‪25‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﻋﺎﺩﺓ ﻴﻌﺒﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫\"ﻨﺴﺤﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻭﺒﺎﺭﺠﺎﻉ ﻗﺭﻴﺼﺘﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﻴﺱ\"‬ ‫ﺘﻤﺭﻴﻥ ﻤﻭﺠﻪ ﺜﺎﻟﺙ‪ :‬ﺍﻟﺴﺤﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻭﺒﺩﻭﻥ ﺍﺭﺠﺎﻉ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‪:‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﺼﻨﺩﻭﻕ ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﻜﺭﺍﺕ ﻤﺭﻗﻤﺔ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪) 6‬ﻜل ﻜﺭﺓ‬‫ﺘﺤﻤل ﺭﻗﻤﺎ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻭﻜل ﻜﺭﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ﺘﺤﻤﻼﻥ ﺭﻗﻤﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﻴﻥ( ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﻜﻤﻥ‬

‫ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﺃﻭﻟﻰ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ﻭﺘﺴﺠﻴل ﺭﻗﻤﻬﺎ ﺜﻡ ﺒﺩﻭﻥ ﺍﺭﺠﺎﻉ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬‫ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ﻭﺘﺴﺠﻴل ﺭﻗﻤﻬﺎ ﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻷﻭل ﺍﻟﻤﺴﺠل ﺜﻡ‬‫ﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻻ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‪ ،‬ﺴﺤﺏ ﻜﺭﺓ ﺜﺎﻟﺜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ‬ ‫ﻭﺘﺴﺠﻴل ﺭﻗﻤﻬﺎ ﻴﻤﻴﻥ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻷﻭل ﺍﻟﻤﺴﺠل‪.‬‬ ‫ﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﻜل ﻤﻥ ‪ 3‬ﺃﺭﻗﺎﻡ‪ ،‬ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺇﺜﺭ ﺍﻟﺴﺤﺒﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ‪.‬‬ ‫ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺒﺩﺍﻴﺔ ﻟﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ‪ ،‬ﻋﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﻭﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻤﺨﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻭ ﺇﺫﻥ ﻋﺩﺩ ﻤﺸﻜل ﻤﻥ ‪ 3‬ﺃﺭﻗﺎﻡ ﻤﺨﺘﻠﻔﺔ ﻤﺜﻨﻰ ﻤﺜﻨﻰ‬ ‫ﻤﺄﺨﻭﺫﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ `‪^1;2;3;4;5;6;7‬‬‫ﻭﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﻨﻜﺘﻔﻲ ﺒﺘﻌﺩﺍﺩ ﺍﻟﺘﻲ ﺭﻗﻡ ﻤﺌﺎﺘﻬﺎ ‪ 1‬ﻭﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻤﺘﺒﻘﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻷﻭﻟﻰ ‪1‬‬ ‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬‫‪6... 2‬‬ ‫‪34‬‬ ‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ‪5‬‬‫‪6 u 5...3 4 5‬‬ ‫‪67 24 5‬‬ ‫‪67 23 5‬‬ ‫‪67 23 4‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪23 4‬‬ ‫‪57‬‬ ‫‪23 4‬‬ ‫‪56‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6u5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6u5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 3‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6u5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 4‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6u5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 5‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6u5‬‬

‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 6‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6u5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺒﺩﺃ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ‪ 7‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻫﻭ ‪6u5‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻋﺩﺩ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪ 6u 5 + 6u 5 + 6u 5 + 6u 5 + 6u 5 + 6u 5 + 6u 5‬ﻭﻫﻭ ) ‪7u ( 6u 5‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻋﺩﺩ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﻫﻭ ‪210‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬ ‫ﻴﻌﺒﺭ‪ ،‬ﻋﺎﺩﺓ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫\"ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ‪ 3‬ﻜﺭﺍﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻭﺍﻟﻲ ﻭﺒﺩﻭﻥ ﺇﺭﺠﺎﻉ\"‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ﻫﺎﻤﺔ‪:‬‬‫ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﻨﺼﻭﺹ ﻋﻠﻴﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﻭﺠﻬﺔ ﻫﺫﻩ‪ ،‬ﻤﺜل ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ ﺃﻭ ﺭﻤﻲ‬‫ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﺠﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺭﺠﻌﻴﺔ ﻭﻴﻤﻜﻥ ﺍﻋﺘﻤﺎﺩﻫﺎ ﻤﺤﺎﻜﺎﺓ ﺘﺠﺎﺭﺏ‬ ‫ﻤﻤﺎﺜﻠﺔ ﻟﻬﺎ‪.‬‬

‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬‫‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪ : ^α, β ,γ ` :‬ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫) ‪P(α‬‬ ‫‪1‬‬ ‫) ‪P(β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﺤﺴﺏ ) ‪P(γ‬‬‫‪ 2‬ﻋﻴﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜل‬ ‫ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻨﺭﺩ ﻤﻜﻌﺏ ‪ D‬ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 6،5،4،3،2،1‬ﺭﻤﻴﻨﺎ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪D‬‬‫ﺭﻗﻡ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻌﻠﻭﻱ‬ ‫‪ 2000‬ﻤﺭﺓ ﻓﺤﺼﻠﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭﺍﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻜﺭﺍﺭ‬ ‫‪123456‬‬ ‫‪301 513 136 457 304 289‬‬‫ﻨﺭﻤﻲ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ D‬ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻭﻨﻬﺘﻡ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤﻠﻪ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﻭﺠﻪ‬ ‫ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻘﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪. D‬‬‫‪ 1‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺜﻡ ﻗﻡ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ ﻟﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ 2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ‪.‬‬ ‫‪ \": A‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﻓﺭﺩﻱ\"‬ ‫‪ \": B‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\"3‬‬

‫‪ \": C‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\"3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ﻴﺤﺘﻭﻱ ﺼﻨﺩﻭﻕ ﻋﻠﻰ ﻋﺩﺩ ﻤﻌﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﻤﺭﺍﺀ ﻭﻋﺩﺩ ﻤﻌﻴﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ‬‫ﺍﻟﺒﻴﻀﺎﺀ ﻨﺴﺤﺏ ﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺼﻨﺩﻭﻕ ‪ 3‬ﻜﺭﺍﺕ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ ﻭﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل‬‫‪1‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫ﺤﻤﺭﺍﺀ\"‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ‬ ‫\"ﺠﻤﻴﻊ‬ ‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‬‫‪68‬‬‫ﻓﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ \"ﻭﺍﺤﺩﺓ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ\"؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬‫ﻴﺘﻜﻭﻥ ﻗﺴﻡ ﻤﻥ ‪ 40‬ﺘﻠﻤﻴﺫﺍ‪ 20% .‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﻻ ﻴﻤﺎﺭﺴﻭﻥ ﺃﻴﺔ ﺭﻴﺎﻀﺔ‪،‬‬‫‪ 50%‬ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻼﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺴﻭﻥ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻭ ‪ 42,5%‬ﻴﻤﺎﺭﺴﻭﻥ ﺃﻟﻌﺎﺏ ﺍﻟﻘﻭﻯ ﻭﻜل‬ ‫ﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﺭﻴﺎﻀﺘﻴﻥ ﻤﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻜﺜﺭ‪.‬‬ ‫ﻨﺄﺨﺫ‪ ،‬ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺎ‪ ،‬ﺘﻠﻤﻴﺫﺍ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻘﺴﻡ‬ ‫‪ 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻭﺃﻟﻌﺎﺏ ﺍﻟﻘﻭﻯ‬ ‫‪ 2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻟﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻓﻘﻁ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬‫‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‪ P ،‬ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻋﻠﻰ ‪ :‬ﻭ ‪ A‬ﻭ ‪B‬‬ ‫ﺤﺎﺩﺜﺘﺎﻥ ﻤﺘﻌﻠﻘﺘﺎﻥ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫‪ 1‬ﻨﻌﻁﻲ ‪ P(A) 0,3‬ﻭ ‪ P(A ‰ B) 0,7‬ﻭ‪P(A ˆ B) 0,1‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ )‪P(B‬‬‫‪ 2‬ﻨﻌﻁﻲ ‪ P(B) 0,2 ، P(A) 0,1‬ﻭ ‪P( A ˆ B) 0,5‬‬

‫ﺃﺤﺴﺏ )‪ P(A ‰ B‬؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 6‬‬‫ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ ‪ D‬ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 6،5،4،3،2،1‬ﻗﺼﺩ‬‫ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤﻠﻪ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﻗﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ‪ ،‬ﺘﻜﻭﻥ‬‫‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ `‪: ^1,2,3,4,5,6‬‬‫ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ D‬ﻤﺯﻴﻑ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﻓﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪P‬‬‫ﻴﺤﻘﻕ\" )‪ P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‬‫\"‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ‬ ‫‪2‬‬‫‪ 1‬ﺃﺤﺴﺏ )‪P(6), P(5), P(4), P(3), P(2), P(1‬‬‫‪ 2‬ﺇﺫﺍ ﺭﻤﻴﻨﺎ ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ D‬ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻓﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ‬ ‫ﺯﻭﺠﻲ ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬ ‫ﺘﻜﻤﻥ ﻟﻌﺒﺔ ﻓﻲ ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻭﻨﺭﺩ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻨﺸﻲﺀ ﺸﺠﺭﺓ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻠﺘﺠﺭﺒﺔ \"ﺭﻤﻲ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﺭﺩ\"‬‫‪ 2‬ﻗﻭﺍﻋﺩ ﺍﻟﻠﻌﺒﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﺇﺫﺍ ﻅﻬﺭ ‪ P‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﺍﻟﻼﻋﺏ ﻴﻜﺴﺏ‬‫ﻋﺩﺩﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﻭﺇﺫﺍ ﻅﻬﺭ ‪ F‬ﻋﻠﻰ‬‫ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﺍﻟﻼﻋﺏ ﻴﻜﺴﺏ ﻋﺩﺩﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁ ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻨﺭﺩ ﺍﻟﻨﺎﻗﺹ ‪.1‬‬

‫ﺍﻟﻨﺭﺩ ﺍﻷﺨﻀﺭ‬‫ﻨﻘﺒل ﺃﻥ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻘﻁﻌﺔ ﺍﻟﻨﻘﺩﻴﺔ ﻭﺍﻟﻨﺭﺩ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﺘﻭﺍﺯﻨﺎ ﻜﺎﻤل ﺇﺫﺍ ﻗﻤﻨﺎ ﺒﻬﺫﻩ‬ ‫ﺍﻟﻠﻌﺒﺔ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻨﻜﺴﺏ ‪ 3‬ﻨﻘﻁ؟‬ ‫‪ 2‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻨﻜﺴﺏ ‪ 6‬ﻨﻘﻁ؟‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪: 8‬‬‫ﻨﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩﻴﻥ ﻤﻜﻌﺒﻴﻥ ﻤﺘﻭﺍﺯﻨﺎﻥ ﺃﺤﺩﻫﻤﺎ ﺃﺼﻔﺭ ﻭﺍﻵﺨﺭ ﺃﺨﻀﺭ ﺃﻭﺠﻪ ﻜل ﻤﻨﻬﻤﺎ‬‫ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ﻤﻥ ‪ 1‬ﺇﻟﻰ ‪) 6‬ﺍﻟﻨﺭﺩﺍﻥ ﻋﺎﺩﻴﺎﻥ(‪ ،‬ﻤﺨﺎﺭﺝ \"ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻲ‬‫ﺍﻟﺜﻨﺎﺌﻴﺎﺕ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ a,b‬ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﺍﻷﺼﻔﺭ ﻭ ‪b‬‬ ‫ﺍﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺭﺩ ﺍﻷﺨﻀﺭ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻨﻘل ﺜﻡ ﺃﻜﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺭﺩ ﺍﻷﺼﻔﺭ‬ ‫‪1 23 456‬‬ ‫)‪1 (1,1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪3 (2,3‬‬ ‫)‪4 (4,4‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪6 (1,6‬‬ ‫‪ 1‬ﻤﺎ ﻫﻭ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺜﻨﺎﺌﻴﺔ ‪ a,b‬ﺒﺤﻴﺙ ﻴﻜﻭﻥ ‪ a  b t 8‬؟‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻻﺤﺘﻤﺎﻻﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬ ‫) ‪P(β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫) ‪P(α‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪r‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪^α, β ,γ ` :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬ﺤﺴﺎﺏ ) ‪P(γ‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪P(r) P(α )  P(β )  P(γ ) :‬‬ ‫ﻭ‪P(r) 1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪P(α )  P(β )  P(γ ) 1 :‬‬ ‫) ‪P(γ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪P(γ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪6‬‬‫‪ 2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺍﻟﻌﺸﻭﺍﺌﻴﺔ‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ E‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫`‪E ^φ,^α`,^β`,^γ `,^α, β`,^α,γ `,^β ,γ `,r‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ‬‫) ‪P(γ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫) ‪P(β‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫) ‪P(α‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫ﺴﺒﻕ‬ ‫ﻤﻤﺎ‬ ‫‪6‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪P(φ) 0‬‬ ‫` ‪P^α , β‬‬ ‫) ‪P(α )  P(β‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪6‬‬ ‫` ‪P^α,γ‬‬ ‫) ‪P(α )  P(γ‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬

‫` ‪P^β,γ‬‬ ‫) ‪P(β )  P(γ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪P(r) 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫‪ 1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ‪ r‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻟﺩﻴﻨﺎ‪r ^1,2,3,4,5,6` :‬‬ ‫ﻨﻤﺫﺠﺔ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ‬ ‫ﺘﻜﻭﻥ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‪:‬‬‫‪ 1 2 3 4 5 6‬ﺍﻟﻤﺨﺭﺝ ‪wi‬‬‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ) ‪P(wi‬‬ ‫‪301‬‬ ‫‪513‬‬ ‫‪136‬‬ ‫‪457‬‬ ‫‪304‬‬ ‫‪289‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪ 2‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜل ﺤﺎﺩﺜﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺤﻭﺍﺩﺙ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ‪.‬‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ \": A‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﻓﺭﺩﻱ\"‬‫)‪P( A‬‬ ‫)`‪P(^1,3,5‬‬ ‫)‪P(1)  P(3)  P(5‬‬ ‫‪741‬‬ ‫‪0,3705‬‬ ‫‪2000‬‬‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ \": B‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\"3‬‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫)`‪P(^3,6‬‬ ‫)‪P(3)  P(6‬‬ ‫‪425‬‬ ‫‪0,2125‬‬ ‫‪2000‬‬‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ \": C‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ ﺃﻭ ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﻤﻀﺎﻋﻑ ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪\"3‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪\":‬ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ\"‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ﻫﻲ ‪ A‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬

‫)‪P(C) P( A ‰ B) P( A)  P(B)  P( A ˆ B‬‬‫)‪1 P( A)  P(B)  P( A ˆ B‬‬‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪741‬‬ ‫‬ ‫‪425‬‬ ‫‬ ‫‪289‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬ ‫‪2000‬‬‫‪2000  741 425  289‬‬ ‫‪2000‬‬‫‪1395‬‬‫‪2000‬‬‫‪0,6975‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 3‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪B‬‬ ‫‪\": A‬ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺤﻤﺭﺍﺀ\"‬‫‪ \": B‬ﻭﺍﺤﺩﺓ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪ ،‬ﻤﻥ ﺍﻟﻜﺭﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺤﻭﺒﺔ ﺒﻴﻀﺎﺀ\"‬ ‫ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪B‬‬‫ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪ P‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪P(B) 1  P(A‬‬ ‫ﻷﻥ‪ B :‬ﻫﻲ ‪ A‬ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫)‪P(B‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪67‬‬ ‫‪68‬‬ ‫‪68‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 4‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺘﻴﻥ ‪ A‬ﻭ ‪ B‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪\": A‬ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ\"‬ ‫‪ \": B‬ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﺃﻟﻌﺎﺏ ﺍﻟﻘﻭﻯ\"‬‫‪ 1‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻭﺃﻟﻌﺎﺏ ﺍﻟﻘﻭﻯ‬

‫ﻨﻘﻭﻡ ﺒﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﺒﻘﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪P‬‬‫ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‪ \":‬ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻭﺃﻟﻌﺎﺏ ﺍﻟﻘﻭﻯ\" ﻫﻲ ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ ‪ A ˆ B‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪P( A ‰ B) P( A)  P(B)  P( A ˆ B‬‬ ‫)‪P( A ˆ B) P( A)  P(B)  P( A ‰ B‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪42,5‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪80‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‬ ‫‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪40‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‬ ‫‪42,5‬‬ ‫‬ ‫‪80‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0,125‬‬‫‪ 2‬ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﻜﻲ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻓﻘﻁ‬‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ C‬ﺍﻟﺤﺎﺩﺜﺔ‪ \":‬ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻴﻤﺎﺭﺱ ﻜﺭﺓ ﺍﻟﻘﺩﻡ ﻓﻘﻁ؟ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪ A C ‰ A ˆ B‬ﺤﻴﺙ‪A ˆ Bˆ C φ :‬‬ ‫)‪P( A) P(C)  P( A ˆ B‬‬ ‫)‪P(C) P( A)  P( A ˆ B‬‬ ‫‪50‬‬ ‫‬ ‫‪12,5‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪0,375‬‬‫)‪P(A ˆ B‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 5‬‬ ‫‪ 1‬ﺤﺴﺎﺏ )‪P(B‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ P(A) 0,3 :‬ﻭ ‪ P(A ‰ B) 0,7‬ﻭ‪0,1‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪P(B) 1 P(B‬‬ ‫)‪1 P( A ‰ B)  P( A)  P( A ˆ B‬‬ ‫)‪1 (0,7  0,3  0,1‬‬ ‫‪0,5‬‬

‫‪ 2‬ﺤﺴﺎﺏ )‪P(A ‰ B‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ P(B) 0,2 ، P(A) 0,1 :‬ﻭ ‪P( A ˆ B) 0,5‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫)‪P( A ‰ B) P( A)  P(B)  P( A ˆ B‬‬ ‫))‪(1 P( A))  (1 P(B ))  (1 P( A ˆ B‬‬ ‫)‪1 P(A)  P(B)  P(Aˆ B‬‬ ‫‪P( A ‰ B) 1 0,3  0,4  0,5‬‬ ‫‪0,8‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬‫ﺘﺠﺭﺒﺔ ﺘﻜﻤﻥ ﻓﻲ ﺭﻤﻲ ﻨﺭﺩ ‪ D‬ﺃﻭﺠﻬﻪ ﺘﺤﻤل ﺍﻷﺭﻗﺎﻡ ‪ 6،5،4،3،2،1‬ﻗﺼﺩ‬‫ﺍﻻﻫﺘﻤﺎﻡ ﺒﺎﻟﺭﻗﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺤﻤﻠﻪ ﺍﻟﻭﺠﻪ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻠﻭﺠﻪ ﺍﻟﺫﻱ ﻭﻗﻊ ﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﻨﺭﺩ‪ ،‬ﺘﻜﻭﻥ‬‫‪ :‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﻤﺨﺎﺭﺝ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ `‪: ^1,2,3,4,5,6‬‬‫ﺍﻟﻨﺭﺩ ‪ D‬ﻤﺯﻴﻑ ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﻨﻤﺫﺠﺔ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺘﺠﺭﺒﺔ ﻭﻓﻕ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﺤﺘﻤﺎل ‪P‬‬‫ﻴﺤﻘﻕ\" )‪ P(1), P(2), P(3), P(4), P(5), P(6‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‬ ‫\"‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 1‬ﺤﺴﺎﺏ ﻜﻼ ﻤﻥ‪P(6), P(5), P(4), P(3), P(2), P(1) :‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪P(1)  P(2)  P(3)  P(4)  P(5)  P(6) 1 :‬‬‫)‪P(1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪1 :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪63‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪1 :‬‬ ‫‪32‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‪32‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪63‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬

‫)‪P(2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‪16‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪63‬‬ ‫)‪P(3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪63‬‬ ‫)‪P(4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪63‬‬ ‫)‪P(5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪16‬‬ ‫‪63‬‬ ‫)‪P(6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪P(1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪32‬‬ ‫‪63‬‬‫‪ 2‬ﺍﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﺭﻗﻡ ﺯﻭﺠﻲ‬‫ﺍﻻﺤﺘﻤﺎل ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ ﻫﻭ‪ P^2,4,6` :‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫)‪P^2,4,6` P(2)  P(4)  P(6‬‬‫‪16‬‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬‫‪63‬‬ ‫‪63‬‬ ‫‪63‬‬‫‪21‬‬‫‪63‬‬‫‪1‬‬‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫ﺘﻜﻤﻥ ﻟﻌﺒﺔ ﻓﻲ ﺭﻤﻲ ﻗﻁﻌﺔ ﻨﻘﺩﻴﺔ ﻭﻨﺭﺩ ﻓﻲ ﺁﻥ ﻭﺍﺤﺩ‪.‬‬