دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث سنة رابعة متوسط

‫‪ .3‬ﻡﻘﻄﻊ ﻟﻜﺮة ﺑﻤﺴﺘﻮى ‪:‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻣﻘﻄﻊ آﺮة ﺑﻤﺴﺘﻮى هﻮ داﺋﺮة‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ ‪:‬‬‫]‪ [NS‬ﻗﻄﺮ آﺮة ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ P ، 0‬هﻮ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ]‪ [NS‬ﻓﻲ ‪I‬‬ ‫ﻧﻘﻮل أن ‪ OI :‬هﻲ اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ‪ 0‬و‪. P‬‬ ‫‪O < OI < R‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: 1‬‬‫اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﻨﺎﺕﺞ ﻣﻦ ﻗﻄﻊ اﻟﻜﺮة ﺑﻤﺴﺘﻮى ‪، P‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪P‬‬ ‫ﻣﺮآﺰهﺎ ‪.I‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪M‬‬ ‫ﻣﻦ أﺝﻞ آﻞ ﻧﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻦ هﺬﻩ اﻟﺪاﺋﺮة ‪،‬‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ OMI‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪M‬‬ ‫‪O‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪OI = O : 2‬‬ ‫‪S‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻤﻥ ﻗﻁﻊ ﺍﻟﻜﺭﺓ ﺒﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ ، P‬ﻟﻬﺎ‬‫ﻟﻠﻜﺭﺓ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ ‪ 0‬ﻭﻨﻔﺱ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻘﻁﺭ‪R‬‬ ‫ﻟﻠﻜﺭﺓ ‪ ،‬ﻨﻘﻭل ﺃﻨﻬﺎ ‪ :‬ﺃﻜﺒﺭ ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻟﻠﻜﺭﺓ ‪.‬‬‫‪N‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪OI = R : 3‬‬‫‪RΘ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪MR Θ‬‬ ‫‪P‬‬ ‫‪S‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻨﺎﺘﺠﺔ ﻋﻥ ﻗﻁﻊ ﺍﻟﻜﺭﺓ‬ ‫ﺒﺎﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ P‬ﻟﻬﺎ ﻤﺭﻜﺯ ‪ ) S‬ﺃﻭ ‪(N‬‬ ‫ﻭﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ ) 0‬ﺍﻟﺼﻔﺭ(‪.‬‬‫ﻨﻘﻭل ﺃﻥ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ‪ P‬ﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻜﺭﺓ ﻓﻲ‬ ‫‪ ) S‬ﺃﻭ ‪.(N‬‬ ‫ﻣﻼﺡﻈﺔ ‪ :‬إذا آﺎن ‪ OI > R‬ﻓﺈن اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪ P‬ﻻ یﻘﻄﻊ اﻟﻜﺮة ‪.‬‬

‫‪ .4‬ﻡﻘﻄﻊ ﻡﻮﺷﻮر ﻗﺎﺋﻢ و اﺱﻄﻮاﻧﺔ ﺑﻤﺴﺘﻮى ‪:‬‬ ‫‪ 1 . 4‬ﻡﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت ‪:‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﻘﻁﻊ ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﻤﺴﺘﻁﻴﻼﺕ ﺒﻤﺴﺘﻭﻯ‬ ‫*‪ /‬ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻷﺤﺩ ﺍﻷﻭﺠﻪ ﻓﻬﻭ ﻤﺴﺘﻁﻴل‬ ‫*‪ /‬ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻷﺤﺩ ﺍﻷﺤﺭﻑ ﻓﻬﻭ ﻤﺴﺘﻁﻴل‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪2‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪1‬‬‫‪I‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪LA‬‬‫‪J‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪JA‬‬ ‫‪LH‬‬ ‫‪KE‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪E‬‬‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻮازي‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻮازي‬ ‫ﻟﻠﺤﺪف ]‪[AE‬‬ ‫ﻟﻠﻮﺝﻪ ‪ADHE‬‬ ‫‪ 2 .4‬اﻷﺱﻄﻮاﻧﺔ ‪:‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻣﻘﻄﻊ أﺱﻄﻮاﻧﺔ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ R‬ﺑﻤﺴﺘﻮى‬‫*‪ /‬ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺤﻮر ‪ :‬هﻮ داﺋﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ R‬ﻣﺮآﺰهﺎ یﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ اﻟﻤﺤﻮر‪.‬‬ ‫*‪ /‬ﻣﻮازي ﻟﻠﻤﺤﻮر ‪ :‬هﻮ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬

‫‪R‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: 1‬‬ ‫‪R‬‬ ‫اﻟﺤﺎﻟﺔ ‪: 2‬‬ ‫)‪(P‬‬‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻋﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ﻡﺤﻮر اﻷﺱﻄﻮاﻧﺔ‬ ‫)‪(P‬‬ ‫‪R‬‬‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻡﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷﺱﻄﻮاﻧﺔ‬

‫‪ .5‬ﻡﻘﻄﻊ هﺮم وﻡﺨﺮوط دوراﻧﻲ ‪:‬‬ ‫‪ 1. 5‬ﻡﻘﻄﻊ هﺮم‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﻘﻁﻊ ﻫﺭﻡ ﺒﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﻘﺎﻋﺩﺘﻪ ﻫﻭ ﺘﺼﻐﻴﺭ‬‫ﻟﻘﺎﻋﺩﺘﻪ ‪ ،‬ﺃﻀﻼﻋﻬﺎ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻷﻀﻼﻉ ﻗﺎﻋﺩﺓ ﺍﻟﻬﺭﻡ‬ ‫‪S‬‬‫هﺮم ﻣﺼﻐﺮ‬ ‫‪LK‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪I‬‬‫‪A‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪B‬‬‫‪SI‬‬ ‫=‬ ‫‪SL‬‬ ‫=‬ ‫‪SK‬‬ ‫=‬ ‫‪SJ‬‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ اﻟﺘﺼﻐﻴﺮ ‪:‬‬‫‪SA‬‬ ‫‪SD‬‬ ‫‪SC‬‬ ‫‪SB‬‬ ‫‪ 2 .5‬ﻡﻘﻄﻊ ﻡﺨﺮوط دوراﻧﻲ ‪:‬‬ ‫ﺧﺎﺹﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻤﻘﻁﻊ ﻤﺨﺭﻭﻁ ﺩﻭﺭﺍﻨﻲ ﺒﻤﺴﺘﻭﻯ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﻘﺎﻋﺩﺘﻪ ﻫﻭ‬ ‫ﺩﺍﺌﺭﺓ ﻤﺼﻐﺭﺓ ﻟﻘﺎﻋﺩﺘﻪ ‪ ،‬ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﻴﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﺭﺘﻔﺎﻉ‬ ‫ﺍﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ‪.‬‬

S JI(P)A

‫• ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺤﻠﻭﻟﺔ ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﻤﺤﻠﻮل ‪: 1‬‬‫) ‪ (ε‬اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪. H‬‬ ‫آﺮة ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ 0‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ ، 4cm‬یﻘﻄﻌﻬﺎ ﻣﺴﺘﻮى وﻓﻖ اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ‪ OH‬ﺑﻴﻦ ﻣﺮآﺰ‬ ‫اﻟﺪاﺋﺮة واﻟﻤﺴﺘﻮى ﺕﺴﺎوي ‪2,4 cm‬‬ ‫‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة ) ‪(ε‬‬ ‫* أرﺱﻢ ﺑﺎﻟﻘﻴﺎﺱﺎت اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫‪ HOA‬اﻟﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪H‬‬ ‫* أﺡﺴﺐ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ) ‪(ε‬‬ ‫‪O‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬‫‪(E) H‬‬ ‫‪ /1‬اﻟﺮﺱﻢ‬ ‫ﻧﺮﺱﻢ ]‪ [OA‬ﻃﻮﻟﻪ ‪ ، 4cm‬اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪H‬‬ ‫هﻲ ﻧﻘﻄﺔ ﺕﻘﺎﻃﻊ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻗﻄﺮهﺎ ]‪[OA‬‬ ‫واﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ 0‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪2,4cm‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪H‬‬‫‪2,4 Cm‬‬‫‪ AOH /2‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ H‬ﺡﺴﺐ ﻧﻈﺮیﺔ ﻓﻴﺘﺎﻏﻮرث ‪Θ A‬‬ ‫‪4 Cm AH 2 + (2,4)² = (4)²‬‬ ‫‪; AH ² + HO² = OA²‬‬ ‫‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻜﺮة‬ ‫إذن ‪OA = 4 cm :‬‬ ‫‪AH ² = 10,24‬‬ ‫‪AH = 10,24 = 3,2cm‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة ) ‪ (ε‬هﻮ ‪3,2 cm‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﻤﺤﻠﻮل ‪: 2‬‬ ‫ﻣﺨﺮوط دوراﻧﻲ رأﺱﻪ ‪ ، S‬ﻗﺎﻋﺪﺕﻪ ﻗﺮص ﻣﺮآﺰﻩ ‪ 0‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻩ ‪5cm‬‬ ‫و ‪SO = 10cm‬‬ ‫‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻹرﺕﻔﺎع ]‪ [SO‬ﺡﻴﺚ ‪SA = 7 cm‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻤﻮدي ﻋﻠﻰ ]‪ [OS‬یﻘﻄﻊ ﻣﻮﻟﺪ ]‪ [MS‬ﻓﻲ ‪M‬‬ ‫اﺡﺴﺐ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻣﻘﻄﻊ اﻟﻤﺨﺮوط ﺑﻬﺬا اﻟﻤﺴﺘﻮى ‪.‬‬‫‪S‬‬ ‫‪I‬‬ ‫اﻟﺤﻞ ‪:‬‬ ‫‪J‬‬ ‫ﻣﻘﻄﻊ ﻣﺨﺮوط دوراﻧﻲ‬ ‫‪O‬‬‫‪M‬‬ ‫ﺑﻤﺴﺘﻮى هﻮ ﺕﺼﻐﻴﺮ ﻟﻘﺎﻋﺪة‬ ‫‪H‬‬ ‫اﻟﻤﺨﺮوط‬ ‫‪E‬‬ ‫‪SN‬‬ ‫=‬ ‫‪SA‬‬ ‫=‬ ‫‪AN‬‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ اﻟﺘﺼﻐﻴﺮ ‪:‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪SM‬‬ ‫‪SO‬‬ ‫‪OM‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪7‬‬ ‫=‬ ‫‪AN‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪AN‬‬ ‫=‬ ‫‪5X 7‬‬ ‫أي‪:‬‬ ‫‪10‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪AN = 3 ,5 cm :‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪L‬‬ ‫إذن ‪ :‬اﻟﻤﻘﻄﻊ هﻮ داﺋﺮة‬ ‫ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ A‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪3,5 cm‬‬ ‫‪J‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮیﻦ اﻟﻤﺤﻠﻮل ‪: 3‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪ ABCDEFGH‬ﻣﻜﻌﺐ ﻃﻮل ﺡﺮﻓﻪ ‪6 cm‬‬ ‫‪ J‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺤﺮف ]‪ [CG‬ﺑﺤﻴﺚ ‪GJ = 4cm‬‬ ‫ﻧﻘﻄﻊ اﻟﻬﺮم اﻟﺬي رأﺱﻪ ‪ G‬وﻗﺎﻋﺪﺕﻪ ‪BCD‬‬ ‫ﺑﻤﺴﺘﻮى یﻤﺮ ﺑـ ‪ J‬وﻣﻮازي ﻟﻬﺬﻩ اﻟﻘﺎﻋﺪة‬ ‫ﻓﺘﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﻘﻄﻊ ‪JKL‬‬ ‫*‪ /‬ﻣﺎ هﻲ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ JKL‬؟‬ ‫*‪ /‬أﺡﺴﺐ ‪JK :‬‬ ‫*‪ /‬أرﺱﻢ اﻟﻤﻘﻄﻊ ‪ JKL‬ﺑﺎﻟﻘﻴﺎﺱﺎت اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬ ‫اﻟﺤﻞ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪JKL‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ‪ ABCD :‬وﺝﻪ ﻟﻤﻜﻌﺐ ﻓﻬﻮ ﻣﺮﺑﻊ‬ ‫إذن‪ :‬اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ BCD‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ C‬ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‪.‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻤﺎر ﺑـ ‪ J‬ﻣﻮاز ﻟﻠﻘﺎﻋﺪة‬ ‫ﻓﺎﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ JKL‬هﻮ ﺕﺼﻐﻴﺮ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪BCD‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪ :‬اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ JKL‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ J‬ﻣﺘﺴﺎوي‬ ‫اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ‪JK = JL‬‬ ‫‪ -‬ﺡﺴﺎب ‪JK‬‬ ‫‪ JKL‬ﺕﺼﻐﻴﺮ ﻟـ ‪ BCD‬إذن‬‫‪4‬‬ ‫=‬ ‫‪JK‬‬ ‫أي‬ ‫‪GJ‬‬ ‫=‬ ‫‪JK‬‬ ‫‪:‬‬ ‫هﻲ‬ ‫اﻟﺘﺼﻐﻴﺮ‬ ‫ﻧﺴﺒﺔ‬‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪GC‬‬ ‫‪CB‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪JK = 4cm‬‬ ‫ﺡـ‪ /‬رﺱﻢ اﻟﻤﻘﻄﻊ ‪ JKL‬ﺑﺎﻟﻘﻴﺎﺱﺎت اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‬ ‫‪L‬‬ ‫‪4 Cm‬‬ ‫‪K‬‬ ‫‪J‬‬ ‫‪4 Cm‬‬

‫• ﺍﻟﺘﻤــﺎﺭﻴﻥ ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻷول ‪:‬‬ ‫‪ -‬اﺡﺴﺐ اﻟﻤﺪور اﻟﻰ ‪ 1/100‬ﻟﻠﻤﺴﺎﺡﺔ ‪A‬‬ ‫ﻟﻜﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ R‬یﺴﺎوي‬ ‫أ‪ R= 2,5 cm /‬ب‪R = 7 cm /‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪:‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺡﺔ آﺮة یﺴﺎوي ‪172 cm²‬‬ ‫اﺡﺴﺐ اﻟﻤﺪور اﻟﻰ ‪ 1/10‬ﻟﻘﻄﺮ هﺬﻩ اﻟﻜﺮة‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪:‬‬ ‫ﺕﻌﺘﺒﺮ اﻷرض آﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪6400 Km‬‬ ‫اﺡﺴﺐ ﻣﺴﺎﺡﺘﻬﺎ وﺡﺠﻤﻬﺎ ) أﻋﻂ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﺑﺎﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ‪a x 10n‬‬ ‫ﺡﻴﺚ ‪ a‬ﻣﺪور اﻟﻰ ‪.( 1/10‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪:‬‬ ‫ﻣﺨﺮوط ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺕﻪ ‪R‬‬ ‫ﻣﻐﻤﻮر آﻠﻴﺎ داﺧﻞ ﻧﺼﻒ آﺮة‬ ‫ﻗﺎرن ﺡﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط وﺡﺠﻢ ﻧﺼﻒ اﻟﻜﺮة‬‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺨﺎﻡﺲ ‪R :‬‬ ‫‪ /‬آﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ 5 cm‬ﻣﻤﻠﻮءة ﺑﺎﻟﻤﺎء‬ ‫ﻣﻜﻌﺐ ﻣﺠﻮف ﻃﻮل أﺡﺪ أﺡﺮﻓﻪ ‪8cm‬‬ ‫‪ -‬هﻞ یﻤﻜﻦ ﻟﻠﻤﻜﻌﺐ أن یﺤﻮي اﻟﻤﺎء اﻟﻤﻮﺝﻮد ﻓﻲ اﻟﻜﺮة ؟‬ ‫‪ -‬أیﻬﻤﺎ ﻟﻪ أآﺒﺮ ﻣﺴﺎﺡﺔ ؟‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺴﺎدس ‪:‬‬ ‫آﺮة ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ 0‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ ،7,5 cm‬ﻣﻘﻄﻮﻋﺔ ﺑﻤﺴﺘﻮى یﺒﻌﺪ ﺑـ‬ ‫‪ 6cm‬ﻋﻦ اﻟﻤﺮآﺰ ‪ ، 0‬اﻟﻤﻘﻄﻊ هﻮ داﺋﺮة )ع( ﻣﺮآﺰهﺎ ‪. H‬‬ ‫‪ -‬أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ ﻣﻊ ﺕﻌﻴﻴﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ M‬ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة )ع(‬ ‫‪ -‬أﺡﺴﺐ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة )ع(‪.‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺴﺎﺑﻊ ‪:‬‬‫ﻣﺨﺮوط دوراﻧﻲ ارﺕﻔﺎﻋﻪ ‪ 10cm‬ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ 0‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ ،8cm‬اﻟﻤﺨﺮوط ﻣﻘﻄﻮع ﺑﻤﺴﺘﻮى‬ ‫ﻣﻮازي ﻟﻘﺎﻋﺪﺕﻪ یﻤﺮ ﺑـ ‪ 7 cm‬ﻋﻦ رأﺱﻪ ‪S‬‬ ‫‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻘﺎﻋﺪة ‪ ،‬اﻟﻤﺴﺘﻮى یﻘﻄﻊ اﻟﻤﻮﻟﺪ ]‪S [AS‬‬ ‫ﻓﻲ ‪ B‬ویﻘﻄﻊ اﻻرﺕﻔﺎع ]‪ [OS‬ﻓﻲ ‪.I‬‬ ‫‪ -‬ﻣﺎ هﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻤﻘﻄﻊ‬ ‫اﻟﻨﺎﺕﺞ ﻋﻦ ﻗﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻟﻠﻤﺨﺮوط ؟‬ ‫‪I‬‬ ‫‪B‬‬‫‪AO‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻡﻦ ‪:‬‬ ‫ﻣﻘﻄﻊ ﻣﺨﺮوط دوراﻧﻲ ﺑﻤﺴﺘﻮى ﻣﻮازي ﻟﻘﺎﻋﺪﺕﻪ هﻮ ‪.‬‬ ‫ﺡـ‪ /‬ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫ﺑـ‪ /‬داﺋﺮة‬ ‫أ‪ /‬أهﻠﻴﺠﻲ‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺘﺎﺱﻊ ‪:‬‬‫هﺮم ﻗﺎﻋﺪﺕﻪ ﻣﺮﺑﻊ ﻃﻮل ﺿﻠﻌﻪ ‪ ، 6cm‬ﻣﻘﻄﻮع ﻓﻲ ﻣﻨﺘﺼﻒ ارﺕﻔﺎﻋﻪ ﺑﻤﺴﺘﻮى ﻣﻮازي ﻟﻘﺎﻋﺪﺕﻪ ‪ ،‬ﻣﺴﺎﺡﺔ‬ ‫اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺕﺞ یﺴﺎوي ‪:‬‬ ‫ﺡـ‪12cm² /‬‬ ‫ﺑـ‪9cm² /‬‬ ‫أ‪18cm² /‬‬ ‫ﺡـ‪113cm3 /‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﻌﺎﺷﺮ ‪:‬‬ ‫ﺡﺠﻢ آﺮة ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ 3cm‬یﺴﺎوي ‪:‬‬ ‫أ‪ 20,25πcm3 /‬ﺑـ‪36πcm3 /‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺤﺎدي ﻋﺸﺮ ‪:‬‬‫ﻣﺴﺘﻮى ) ﻏﻴﺮ ﻣﻤﺎس( یﻘﻄﻊ آﺮة ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ ، 0‬اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺕﺞ داﺋﺮة ﻣﺮآﺰهﺎ ‪ M ، I‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﺪاﺋﺮة‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ OIM‬هﻮ ﻣﺜﻠﺚ ‪.‬‬ ‫أ‪ /‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ ، I‬ﺑـ‪ /‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ ، 0‬ﺡـ‪ /‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪M‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻋﺸﺮ‪:‬‬ ‫ﻣﻘﻄﻊ اﺱﻄﻮاﻧﺔ ﺑﻤﺴﺘﻮى هﻮ ‪:‬‬

‫أ‪ /‬داﺋﻤﺎ ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫ﺑـ‪ /‬داﺋﻤﺎ داﺋﺮة‬ ‫ﺡـ‪ /‬یﻤﻜﻦ أن یﻜﻮن داﺋﺮة أو ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻋﺸﺮ ‪:‬‬ ‫‪6 cm‬‬ ‫‪66‬‬‫ﻧﺮیﺪ أن یﻜﻮن ﻟﻸﺝﺴﺎم اﻟﺜﻼﺙﺔ ﻧﻔﺲ اﻟﺤﺠﻢ ‪ ،‬ﻓﻜﻢ یﻠﺰم أن یﻜﻮن ارﺕﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط واﻷﺱﻄﻮاﻧﺔ ؟‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ﻋﺸﺮ ‪:‬‬ ‫ﻣﺨﺮوط دوراﻧﻲ ارﺕﻔﺎﻋﻪ ‪ SO = 8cm‬وﻣﻮﻟﺪﻩ ‪SA =10 cm‬‬ ‫أ‪ /‬أﺡﺴﺐ ﺡﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط‬ ‫ﺑـ‪ /‬أﺡﺴﺐ ‪ CosOSˆA‬واﺱﺘﻨﺘﺞ ‪ OSˆA‬ﺑﺎﻟﺘﻘﺮیﺐ اﻟﻰ اﻟﻮﺡﺪة‪.‬‬

‫• ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻷول ‪:‬‬ ‫ﺡﺴﺎب ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﻜﺮة‪:‬‬ ‫أ‪R = 2,5 cm /‬‬‫‪A ≈ 72,5cm2‬‬ ‫‪A ≈ 4x3,14x2,5 ,‬‬ ‫‪A = 4πR‬‬ ‫ﺑـ‪R = 7 /‬‬‫‪A ≈ b15,44cm²‬‬ ‫‪A ≈ 4x3,14x7‬‬ ‫‪A = 4πR²‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪:‬‬ ‫ﺡﺴﺎب اﻟﻤﺪور اﻟﻰ ‪ 1/10‬ﻟﻘﻄﺮ اﻟﻜﺮة‪.‬‬ ‫=‪R‬‬ ‫‪A‬‬ ‫أي‬ ‫‪R²‬‬ ‫=‬ ‫‪A‬‬ ‫أي‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ ‪A = 4πR² :‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪4π‬‬ ‫‪R ≈ 3,7cm‬‬ ‫وﻣﻨﻪ‬ ‫‪R‬‬ ‫≈‬ ‫‪1‬‬ ‫‪172‬‬ ‫أي ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3,14‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪:‬‬ ‫ﺡﺴﺎب ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻷرض ‪:‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ ‪ A = 4πR² :‬أي ‪A ≈ 4x3,14x(6400)²‬‬ ‫أي ‪A ≈ 514 457 600Km² :‬‬ ‫اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ‪A ≈ 5,1x108 Km² :‬‬ ‫ﺣﺴﺎب ﺣﺠﻢ اﻷرض ‪:‬‬ ‫‪V‬‬ ‫≈‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x3,14x(6400)3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪πR3‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أي ‪V ≈ 1097 509 300 000 :‬‬ ‫اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ‪V ≈ 1,1x1012 Km3 :‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﺑﻴﻦ ﺡﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط وﺡﺠﻢ ﻧﺼﻒ اﻟﻜﺮة اﻟﻤﻐﻤﻮر ﺑﺪاﺧﻠﻬﺎ آﻠﻴﺎ ‪.‬‬

‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪πR‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻟﺪیﻨﺎ ‪ :‬ﺡﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط هﻮ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫'‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪πR 3‬‬ ‫ﺡﺠﻢ اﻟﻜﺮة هﻮ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺡﺠﻢ ﻧﺼﻒ اﻟﻜﺮة هﻮ ‪:‬‬‫'‪V‬‬ ‫'‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪πR‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫أي ‪:‬‬ ‫' '‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪πR²‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪ :‬ﺡﺠﻢ ﻧﺼﻒ اﻟﻜﺮة یﺴﺎوي‬ ‫‪V‬‬ ‫ﺿﻌﻒ ﺡﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﻐﻤﻮر آﻠﻴﺎ داﺧﻠﻬﺎ ‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺨﺎﻡﺲ ‪:‬‬‫ﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ذﻟﻚ ﻧﺤﺴﺐ ﺡﺠﻢ اﻟﻤﺎء اﻟﻤﻮﺝﻮد ﻓﻲ اﻟﻜﺮة وﺡﺠﻢ اﻟﻤﺎء اﻟﺬي یﻤﻜﻦ أن یﺤﻤﻠﻪ اﻟﻤﻜﻌﺐ ﻟﺬﻟﻚ ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﻧﺤﺴﺐ ﺡﺠﻢ اﻟﻜﺮة ‪:‬‬‫‪V‬‬ ‫≈‬ ‫‪4‬‬ ‫‪x3,14x(5)3‬‬ ‫أي‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪πR²‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪V ≈ 510,25cm3 :‬‬ ‫‪ -‬ﻧﺤﺴﺐ ﺡﺠﻢ اﻟﻤﻜﻌﺐ اﻟﺬي ﻃﻮل ﺡﺮﻓﻪ ‪8 cm‬‬ ‫أي ‪V=(8)3‬‬ ‫‪V = C3‬‬ ‫‪V=518cm3‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪:‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪ :‬یﻤﻜﻦ ﻟﻠﻤﻜﻌﺐ أن یﺤﻮي ﺡﺠﻢ اﻟﻤﺎء اﻟﻤﻮﺝﻮد ﻓﻲ اﻟﻜﺮة‪.‬‬ ‫‪ -2‬اﻟﻤﻘﺎرﻧﺔ ﺑﻴﻦ ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﻜﺮة وﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﻤﻜﻌﺐ‬ ‫أ‪ /‬ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﻜﺮة اﻟﺘﻲ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪5cm‬‬ ‫أي ‪A1 ≈ 4x3,14(5)²‬‬ ‫‪A1 = 4πR²‬‬ ‫‪A1 = 314cm²‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺑـ‪ /‬ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﻤﻜﻌﺐ اﻟﺬي ﻃﻮل أﺡﺪ أﺡﺮﻓﻪ ‪8cm‬‬ ‫‪A2 = 6x(8)²‬‬ ‫‪A2 = 6C²‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪A2 = 384cm² :‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﻤﻜﻌﺐ أآﺒﺮ ﻣﻦ ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﻜﺮة‪.‬‬

‫‪M‬‬ ‫‪H‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺴﺎدس ‪:‬‬‫)‪(ξ‬‬ ‫‪O‬‬ ‫أ‪ -‬اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫)‪(P‬‬ ‫ﺑـ‪ /‬ﺡﺴﺎب ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﺪاﺋﺮة )ع(‬ ‫اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ OHM‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪H‬‬ ‫ﺡﺴﺐ ﻓﻴﺘﺎﻏﻮرث ‪:‬‬ ‫‪OM² = OH² + MH²‬‬ ‫‪MH ² = OM ² − OH ²‬‬ ‫]‪ [MH‬ﻫﻭ ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ )ﻉ(‬ ‫‪MH ² = (7,5)² − (6)²‬‬ ‫]‪ [OM‬ﻨﺼﻑ ﻗﻁﺭ ﺍﻟﻜﺭﺓ‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪MH = 4,5cm‬‬‫ﺒﻌﺩ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺭﻜﺯ]‪[OH‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺴﺎﺑﻊ ‪:‬‬‫أ‪ -‬ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻤﻘﻄﻊ اﻟﻨﺎﺕﺞ ﻋﻦ ﻗﻄﻊ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻟﻠﻤﺨﺮوط ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ I ، SOA‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ]‪ [OS‬و ‪B‬‬ ‫ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ]‪ [SA‬و )‪(OA)//(BI‬‬ ‫) ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻋﻤﻮدیﺎن ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪( (OS‬‬ ‫ﺡﺴﺐ ﻃﺎﻟﻴﺲ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪: SOA‬‬ ‫‪SI‬‬ ‫=‬ ‫‪BI‬‬ ‫أي‬ ‫‪SB‬‬ ‫=‬ ‫‪SI‬‬ ‫=‬ ‫‪BI‬‬ ‫‪SO‬‬ ‫‪AO‬‬ ‫‪SA‬‬ ‫‪SO‬‬ ‫‪AO‬‬ ‫‪BI = 5,6cm‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ‬ ‫‪7 BI‬‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻌﻮیﺾ ﻧﺠﺪ ‪10 = 8 :‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻡﻦ ‪:‬‬ ‫ﺑـ‪ /‬داﺋﺮة‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﺱﻊ ‪:‬‬ ‫ﺑـ‪9cm² /‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﻌﺎﺷﺮ ‪:‬‬ ‫ﺑـ‪36πcm² /‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺤﺎدي ﻋﺸﺮ ‪:‬‬ ‫أ‪ /‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪I‬‬

‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻧﻲ ﻋﺸﺮ ‪:‬‬ ‫ﺡـ یﻤﻜﻦ ان یﻜﻮن داﺋﺮة او ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺜﺎﻟﺚ ﻋﺸﺮ ‪:‬‬‫ﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ارﺕﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط واﻻﺱﻄﻮاﻧﺔ یﺠﺐ ان ﻧﻌﺮف ﺡﺠﻢ اﻟﻜﺮة ﻻن اﻟﺤﺠﻮم یﺠﺐ ان ﺕﻜﻮن ﻣﺘﺴﺎویﺔ‬ ‫ﺡﺴﺐ اﻟﻤﻄﻠﻮب‪.‬‬ ‫‪ (1‬ﺡﺴﺎب ﺡﺠﻢ اﻟﻜﺮة ‪:‬‬‫‪V = 288π cm3‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪π(6)3‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪πR3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (2‬ﺡﺴﺎب ارﺕﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪3V‬‬ ‫أي‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪πR2h‬‬ ‫‪πR 2‬‬ ‫‪3‬‬‫‪h = 24cm‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪3× 288π‬‬ ‫‪π(6)2‬‬ ‫‪ (3‬ﺡﺴﺎب ارﺕﻔﺎع اﻻﺱﻄﻮاﻧﺔ‪:‬‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪V‬‬ ‫‪ V = 2πR2h‬أي‬ ‫‪πR2‬‬ ‫أي ‪h = 8 cm‬‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪288π‬‬ ‫‪π(6)2‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ اﻟﺮاﺑﻊ ﻋﺸﺮ ‪:‬‬ ‫ﺡﺴﺎب ﺡﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط‪:‬‬‫ﻟﺤﺴﺎب ﺡﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط یﺠﺐ ان ﻧﻌﺮف‪ S‬ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺕﻪ‪:‬‬‫‪A‬‬ ‫‪O‬‬

‫ﺡﺴﺎب ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻟﻘﺎﻋﺪة ‪ :‬ﻟﺪیﻨﺎ ‪ SOA‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪0‬‬ ‫ﺡﺴﺐ ﻓﻴﺘﺎﻏﻮرت ‪:‬‬ ‫‪ SO2 + AO2 = SA2‬أي ‪AO 2 = SA2 − SO 2‬‬ ‫أي ‪AO 2 = SA2 − SO 2‬‬ ‫أي ‪AO 2 = 36‬‬ ‫‪AO = 6‬‬ ‫و ﻣﻨﻪ‬ ‫ﺡﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط‪:‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3,14‬‬ ‫×‬ ‫)‪(6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪×8‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪πR‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.h‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪V ≈ 30.1,44 cm3‬‬‫‪Cos‬‬ ‫‪ASˆO‬‬ ‫‪= 0,8‬‬ ‫أي‬ ‫‪Cos‬‬ ‫‪ASˆO‬‬ ‫=‬ ‫‪8‬‬ ‫أي‬ ‫‪Cos‬‬ ‫= ‪ASˆO‬‬ ‫‪SO‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪SA‬‬ ‫اﻻﺱﺘﻨﺘﺎج ‪ASˆO ≈ 37° :‬‬

‫ﺍﻟﻤﺫﻜﺭﺓ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻨﺎﻁﻘﺔ‬ ‫• ﺍﻟﺠﺫﺭ ﺍﻟﺘﺭﺒﻴﻌﻲ ﻟﻌﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ‬ ‫• ﺍﻟﻘﻭﻯ‬ ‫• ﺍﻟﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺭﻓﻲ‬ ‫• ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺨﻁﻴﺔ ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺄﻟﻔﻴﺔ‬ ‫• ﺨﻭﺍﺭﺯﻤﻴﺔ ﺍﻗﻠﻴﺩﺱ‬ ‫• ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‬ ‫• ﻁﺎﻟﻴﺱ‬ ‫• ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺍﻷﻀﻼﻉ‬ ‫• اﻷﺷﻌﺔ و اﻻﻧﺴﺤﺎب‬ ‫• اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ‬ ‫• اﻟﻤﺤﻮﻻت \" اﻟﺘﺤﻮﻳﻼت اﻟﻨﻘﻄﻴﺔ \"‬‫• اﻟﻤﺴﺎﺡﺎت )‪ (S‬وﻡﺤﻴﻄﺎت اﻷﺷﻜﺎل )‪(P‬‬ ‫• اﻟﺤﺠﻮم ‪ V‬واﻟﻤﺴﺎﺡﺎت ‪A‬‬

: ‫• ﻋﻤﻠﻴﺎت ﻋﻠﻰ اﻷﻋﺪاد اﻟﻨﺎﻃﻘﺔ‬ a + b = a+b a − b = a − b /k ≠0 k k k k k ka + b = ad + bc a − b = ad − bc / c ≠0c d cd c d cd d ≠0 a × c = ac a : c = a × d = abd≠ 00/ b d bd b d b c bc c≠ a = a×c a = a :c / b ≠ 0, c ≠ 0 b b×c b b :c

‫• اﻟﺠﺬر اﻟﺘﺮﺑﻴﻌﻲ ﻟﻌﺪد ﻡﻮﺝﺐ‪:‬‬ ‫‪a² = a‬‬ ‫‪a.b = a. b‬‬‫‪a‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫‪( )a ² = a‬‬‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬

‫• اﻟﻘﻮى ‪:‬‬ ‫أ‪ .‬ﻗﻮى اﻟﻌﺪد ‪: 10‬‬‫‪100 = 1‬‬ ‫‪10 n‬‬ ‫=‬ ‫‪10 ×10 × ........×10‬‬ ‫‪= 110.2...3..0‬‬ ‫‪ n‬ﻋﺎﻣﻞ‬ ‫‪ n‬ﺻﻔﺮ‬ ‫‪10 − n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪110 4× 140‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 10n‬‬ ‫‪×2..4....4. ×310‬‬ ‫‪114002..4.3..0‬‬ ‫‪ n‬ﻋﺎﻣﻞ‬ ‫‪ n‬ﺻﻔﺮ‬‫‪10 m × 10 n = 10 m+ n‬‬ ‫ب‪ .‬ﻗﻮاﻋﺪ اﻟﺤﺴﺎب ‪:‬‬ ‫‪( )10m n = 10m×n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= 10 −n‬‬ ‫‪10 m‬‬ ‫‪= 10 m−n‬‬ ‫‪10 n‬‬ ‫‪10 n‬‬ ‫ﺝـ‪ .‬اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ‪:‬‬‫ﺗﻜﻮن اﻟﻜﺘﺎﺑﺔ ‪ a×10p‬ﻋﻠﻤﻴﺔ اذا آﺎن اﻟﻌﺪد ‪ a‬ﻣﻜﺘﻮب ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ﻋﺸﺮي ﺑﺮﻗﻢ واﺣﺪ ﻗﺒﻞ اﻟﻔﺎﺻﻠﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺪوم‬ ‫‪ ،‬و ‪ p‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫د‪ /‬اﻟﻘﻮى اﻟﺼﺤﻴﺤﺔ ﻟﻌﺪد ‪:‬‬ ‫‪ a,b‬ﻋﺪدان ﺻﺤﻴﺤﺎن ﺗﺨﺘﻠﻔﺎن ﻋﻦ ‪ 0‬و ‪ n‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴﺒﻲ‬‫‪a0 = 1 a ≠ 0‬‬ ‫‪a1 = a‬‬ ‫‪1n = 1‬‬ ‫) ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺪوم ‪0n = 0 (n‬‬ ‫‪an = a1 ×44a 2× .4...4×3a‬‬ ‫‪a−n‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪an‬‬ ‫‪ n‬ﻋﺎﻣﻼ‬

an ×am = an+m an an−m am =(a n )m = a n×m ( a )n an (a.b)n = an × bn b bn =

:‫• اﻟﺤﺴﺎب اﻟﺤﺮﻓﻲ‬ . ‫ أﻋﺪاد‬k, d, c, b, a k(a+b) = ka + kb k(a-b) = ka - kb(a+b) (c+d) = ac+ ad+ bc + bd(‫ ﻋﺪدان ) اﻟﻤﺘﻄﺎﺑﻘﺎت اﻟﺸﻬﻴﺮة‬a, b (a+b)² = a² +2ab² +b² (a-b)² = a² - 2ab² +b ( a+b)(a-b) = a²-b²

‫• اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ واﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﺄﻟﻔﻴﺔ ‪:‬‬ ‫أ‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺨﻄﻴﺔ ‪x→ax :‬‬ ‫‪ a‬هﻮ ﻣﻌﺎﻣﻞ اﻟﺪاﻟﺔ و ‪ ax‬هﻮ ﺻﻮرة ‪x‬‬‫ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ‪ ،‬اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ ﺥﻄﻴﺔ هﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ یﺸﻤﻞ اﻟﻤﺒﺪأ )‪ 0(o,o‬و اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪.A(1,a‬‬ ‫ب‪ -‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺘﺄﻟﻔﻴﺔ ‪x→ax+b :‬‬ ‫‪ ax+b‬هﻮ ﺻﻮرة ‪x‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ‪ ،‬اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﺪاﻟﺔ ﺗﺂﻟﻔﻴﺔ هﻮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ یﺸﻤﻞ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪، A(0 ;b‬‬ ‫‪−‬‬

‫• ﺥﻮارزﻡﻴﺔ اﻗﻠﻴﺪس ‪:‬‬ ‫ﻹیﺠﺎد ‪ PGCD‬ﻟﻠﻌﺪدیﻦ ‪ b‬و ‪ a‬ﻧﺘﺒﻊ اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻧﻨﺠﺰ ﻋﻤﻠﻴﺔ اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻹﻗﻠﻴﺪیﺔ ﻟـ ‪ a‬ﻋﻠﻰ ‪ b‬ﻧﺴﻤﻲ اﻟﺒﺎﻗﻲ ‪ r1‬واﻟﺤﺎﺻﻞ ‪. q1‬‬‫‪ -‬ﻧﻨﺠﺰ ﻋﻤﻠﻴﺔ اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻹﻗﻠﻴﺪیﺔ ﻟـ ‪ b‬ﻋﻠﻰ‪ r1‬ﻧﺴﻤﻲ اﻟﺒﺎﻗﻲ ‪ r2‬واﻟﺤﺎﺻﻞ ‪. q2‬‬ ‫وهﻜﺬا یﻜﻮن ‪ PGCD‬ﻟـ ‪ b‬و ‪ a‬ﺁﺥﺮ ﺑﺎﻗﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻌﺪوم ‪.‬‬ ‫‪ .7‬ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ‪:‬‬ ‫ﺃ( ﺍﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ﺍﻟﻤﻌﻴﻨﺔ ﺒﻤﻴﺘﻘﻴﻤﻴﻥ ﻤﺘﻭﺍﺯﻴﻴﻥ ﻴﻘﻁﻌﻬﻤﺎ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ‪.‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫‪A2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(d') 1‬‬ ‫‪2B‬‬ ‫‪ : Aˆ1 = Bˆ1‬ﺯﺍﻭﺍﻴﺎﻥ ﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺩﺍﺨﻠﻴﺎ‬ ‫‪ Bˆ1 = Aˆ2‬ﺯﺍﻭﻴﺘﺎﻥ ﻤﺘﻤﺎﺜﻠﺘﺎﻥ‬ ‫‪ Bˆ2 = Aˆ2‬ﺯﺍﻭﻴﺘﺎﻥ ﻤﺘﺒﺎﺩﻟﺘﺎﻥ ﺨﺎﺭﺠﻴﺎ‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺏ – ﺯﻭﺍﻴﺎ ﻤﺜﻠﺙ ‪:‬‬‫‪C‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺯﻭﺍﻴﺎ ﻤﺜﻠﺙ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪180°‬‬ ‫‪ -7‬اﻟﻤﺜﻠﺜﺎت ‪Aˆ + Bˆ + Cˆ = 180° :‬‬ ‫ا اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت اﻟﺨﺎﺻﺔ ‪:‬‬ ‫‪B‬‬

‫‪A‬‬ ‫ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺘﻪ ‪:‬‬‫‪CO‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﻫﻲ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺃﻀﻼﻋﻪ‬ ‫‪ -‬ﺘﺘﻘﺎﻁﻊ ﻤﺤﺎﻭﺭ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ ‫ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﻤﺤﻴﻁﺔ ﺒﻬﺫﻩ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻋﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻉ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫ﻴﺸﻤل ﺭﺃﺱ ﻭ ﻴﻌﺎﻤﺩ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل‬‫‪C‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻻﺭﺘﻔﺎﻋﺎﺕ ﺘﺘﻘﺎﻁﻊ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻭﺍﺤﺩﺓ‪.‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﺫﻱ ﻴﺸﻤل ﺭﺃﺱ‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻭﻤﻨﺘﺼﻑ ﺍﻟﻀﻠﻊ ﺍﻟﻤﻘﺎﺒل ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺭﺃﺱ‪G .‬‬ ‫‪C‬‬‫ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺎﺕ ﺘﺘﻘﺎﻁﻊ ﻓﻲ ﻤﺭﻜﺯﺍﻟﺜﻘل ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ‪C .‬‬‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪AG‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫'‪AA‬‬ ‫‪, BG‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫'‪BB‬‬ ‫‪,CG‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫'‪CC‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫ﺍﻟﻤﻨﺼﻔﺎﺕ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺼﻑ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﻟﻤﺜﻠﺙ ﻫﻭ ﻤﻨﺼﻑ ﺍﺤﺩﻯ ﺯﻭﻴﺎﻩ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﻨﺼﻔﺎﺕ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻟﺯﻭﺍﻴﺎ ‪A‬‬ ‫ﻤﺜﻠﺙ ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻴﺔ ﻟﻪ‪.‬‬‫‪CI‬‬ ‫‪B‬‬

‫• ﺍﻟﻤﺜﻠﺜﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺑـ ‪ -‬اﻟﻤﺜﻠﺚ اﻟﻘﺎﺋﻢ ‪:‬‬‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ﺍﻟﻘﺎﺌﻡ ﻭ ﺍﻟﺩﺍﺌﺭﺓ ‪M :‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ M‬ﻨﻘﻁﺔ )ﺘﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ‪ A‬ﻭ ‪M’ ( B‬‬‫‪Ao‬‬ ‫‪B‬‬ ‫ﻭﺘﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻗﻁﺭﻫﺎ ]‪[ AB‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ AMB‬ﻗﺎﺌﻡ ﻓﻲ‪M.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺜﻠﺙ ‪ AMB‬ﻗﺎﺌﻡ‪M’’ :‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﻟﻠﺩﺍﺌﺭﺓ ﺍﻟﺘﻲ ﻗﻁﺭﻫﺎ ]‪[ AB‬‬ ‫ﻭ ﻤﺭﻜﺯﻫﺎ ﻤﻨﺘﺼﻑ ]‪[ AB‬‬‫اﻟﻨﻈﺮیﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ﻟﻔﻴﺜﺎﻏﻮرث‬ ‫ﻧﻈﺮیﺔ ﻓﻴﺜﺎﻏﻮرث‬ ‫إذا آﺎن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ A‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﺣﻴﺚ‬ ‫‪BC2 = AB2 + AC 2‬‬ ‫‪BC2 = AB2 + AC 2‬‬ ‫ﻓﺈن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪A‬‬

Tan ‫ ﻇﻞ‬Cos ‫ ﺗﺠﺐ‬sin ‫ اﻟﻨﺴﺐ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﺔ ﺝﺐ‬- ‫ـ‬( ‫ﻋﻼﻗﺎت) ﻗﻮاﻧﻴﻦ‬ ‫ ﻗﻴﺲ زاویﺔ ﺣﺎدة‬x A ‫ ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ‬ABCCos²x + Sin²x = 1 CTan x = Sinx Cosx Cos Bˆ = AB BC SinBˆ A= AC ; TanBˆ = AC B BC AB

‫• ﻃﺎﻟﻴﺲ ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺜﻴﻼت ) ﻧﻈﺮیﺔ ﻃﺎﻟﻴﺲ (‬‫)‪(d‬‬ ‫)‪(d') (d‬‬ ‫)'‪(d‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫)'‪(d‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪NM‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪CB‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪N‬‬ ‫‪C‬‬ ‫اﻟﻨﻈﺮیﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ‬ ‫اﻟﻨﻈﺮیﺔ‬‫) ‪ (d‬و )' ‪ (d‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺎن ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن ﻓﻲ ‪ B ; A‬و‪ M‬ﻧﻘﻄﺘﺎن ﻣﻦ ) ‪ (d‬ﺗﺨﺘﻠﻔﺎن ﻋﻦ ‪ C . A‬و ‪ N‬ﻧﻘﻄﺘﺎن‬ ‫ﻣﻦ )' ‪ (d‬ﺗﺨﺘﻠﻔﺎن ﻣﻦ ‪A‬‬‫و آﺎﻧﺖ‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪AN‬‬ ‫=‬ ‫‪MN‬‬ ‫إذا آﺎن ‪:‬‬ ‫إذا آﺎن ) ‪ (MN ) // (BC‬ﻓﺈن ‪:‬‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫‪AM‬‬ ‫=‬ ‫‪AN‬‬ ‫=‬ ‫‪MN‬‬‫اﻟﻨﻘﻂ ‪ A , B , M :‬و‪ A , C , N‬ﺑﻨﻔﺲ اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‬ ‫‪AB‬‬ ‫‪AC‬‬ ‫‪BC‬‬ ‫ﻓﺈن )‪(MN )// (BC‬‬

‫• ﻡﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ‪:‬‬ ‫‪ ABCD‬ﺭﺒﺎﻋﻲ‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ (DC) // (AB‬ﻭ )‪A B (BC) // (AD‬‬‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ ‪O‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻘﻁﺭﺍﻥ ]‪[AB‬‬‫‪DC‬‬ ‫‪/‬ﻭ ‪[ABBDC]D‬رﺑﻓﺎﻋﻲﻲﻤﻏﻨﻴﺘﺮﺼ←ﻔﻣﻬﺘﻘﺎﻤﺎﻃﻊ→‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ‬ ‫‪ ABCD‬ﺭﺒﺎﻋﻲ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻘﺎﻁﻊ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ AB=CD‬ﻭ ‪AD=BC‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ AB=CD‬ﻭ ‪ (AB) //DC‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺭﺒﺎﻋﻲ ‪ABCD‬‬ ‫ﻤﺘﻭﺍﺯﻱ ﺃﻀﻼﻉ‬

‫• اﻷﺷﻌﺔ و اﻻﻧﺴﺤﺎب ‪:‬‬ ‫أ‪ -‬اﻻﻧﺴﺤﺎب ‪:‬‬‫' ‪ M‬ﺻﻮرة ‪ M‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﺗﺤﻮل ‪ A‬إﻟﻰ ‪ B‬ﻣﻌﻨﺎﻩ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABM ' M‬ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع‬ ‫'‪B M‬‬ ‫‪ MM '= AB‬ﻣﻌﻨﺎﻩ اﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي یﺤﻮل ‪ M‬إﻟﻰ ' ‪M‬‬‫‪A‬‬ ‫‪M‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﺑـ ‪ -‬ﺥﻮاص اﻻﻧﺴﺤﺎب ‪:‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ -‬اﻻﻧﺴﺤﺎب یﺤﻔﻆ اﻷﻃﻮال ‪ ،‬اﻟﻤﺴﺎﺣﺎت ‪ ،‬اﻟﺰوایﺎ و اﺱﺘﻘﺎﻣﻴﺔ اﻟﻨﻘﻂ‬ ‫‪ -‬ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب ﺻﻮرة ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ هﻲ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ یﻮازیﻪ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب ﺻﻮرة ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ هﻲ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺗﻘﺎیﺴﻬﺎ وﺗﻮازیﻪ‬ ‫‪ -‬ﺑﺎﻧﺴﺤﺎب ﺻﻮرة داﺋﺮة هﻲ داﺋﺮة ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ اﻟﻘﻄﺮ‪.‬‬ ‫ﺡـ‪ /‬اﻟﺠﻤﻊ اﻟﺸﻌﺎﻋﻲ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻼﻗﺔ ﺷﺎل ‪A AB + BC = AC :‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ -‬ﻗﺎﻋﺪة ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ‪C‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪AB + AC = AM‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ ABMC‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع‬ ‫‪M‬‬

‫د‪ -‬اﻟﻤﻨﺼﻒ واﻟﺸﻌﺎع ‪:‬‬ ‫‪ -‬إذا آﺎﻧﺖ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [AB‬ﻓﺈن ‪AI = IB‬‬ ‫‪ -‬إذا آﺎﻧﺖ ‪AI = IB‬‬ ‫ﻓﺎن ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪B [AB‬‬ ‫‪I‬‬‫‪A‬‬

‫• اﻟﻤﻌﺎﻟﻢ ‪:‬‬ ‫أ‪ /‬اﺣﺪاﺙﻴﺎ ﺷﻌﺎع‬‫ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ) ‪B(xb ; yB ); A(xA ; y A‬‬‫إذن ‪AB(xB − xA; yB − yA ) :‬‬ ‫ﺑـ‪ -‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ‬ ‫‪ I -‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]‪[AB‬‬ ‫‪xA‬‬ ‫‪xB‬‬ ‫‪yA‬‬ ‫‪yB‬‬‫‪I ‬‬ ‫‪+‬‬ ‫;‬ ‫‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬‫ﺝـ‪-‬ﻃﻮل ﻗﻄﻌﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﺔ ) اﻟﻤﺴﺎﻓﺔ ﺑﻴﻦ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ(‬ ‫إذا آﺎن اﻟﻤﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ وﻣﺘﺠﺎﻧﺲ‬‫‪AB = (xB − xA )² + (yB − yA )²‬‬

‫• اﻟﻤﺤﻮﻻت \" اﻟﺘﺤﻮﻳﻼت اﻟﻨﻘﻄﻴﺔ \" ‪:‬‬ ‫أ‪ -‬اﻟﺪوران‬ ‫' ‪ M‬ﺻﻮرة ‪ M‬ﺑﺎﻟﺪوران اﻟﺬي ﻣﺮآﺰﻩ ‪ 0‬وزاویﺘﻪ ‪α‬‬ ‫ﻓﻲ اﺗﺠﺎﻩ اﻟﺴﻬﻢ ‪:‬‬ ‫'‪M' OM = OM‬‬ ‫‪M O) M' = α‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪M‬‬ ‫)‪(d‬‬ ‫'‪M‬‬ ‫اﻟﺘﻨﺎﻇﺮ اﻟﻤﺤﻮري‬ ‫ﺑـ‪-‬‬‫‪M‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫)‪(d‬‬ ‫اﻟﻰ‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ‬ ‫ﺑﺎﻟﺘﻨﺎﻇﺮ‬ ‫' ‪ M‬ﺻﻮرة ‪M‬‬ ‫ﻣﻌﻨﺎﻩ )‪ (d‬ﻣﺤﻮر اﻟﻘﻄﻌﺔ ] ' ‪[ M M‬‬

‫• اﻟﻤﺴﺎﺡﺎت )‪ (S‬وﻡﺤﻴﻄﺎت اﻷﺷﻜﺎل )‪: (P‬‬ ‫ﺑـ‪ -‬اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫ا‪ -‬اﻟﻘﺮص‬ ‫اﻟﻤﺤﻴﻂ = ﻣﺠﻤﻮع أﻃﻮال ‪P‬‬ ‫‪ -‬اﻟﻤﺤﻴﻂ ‪p = 2πR :‬‬ ‫أﺿﻼﻋﻪ‬ ‫‪ -‬اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ‪S = πR² :‬‬‫‪h‬‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪h×b‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺎﺣﺔ ‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪2‬‬‫‪b‬‬ ‫د‪ -‬ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت‬ ‫‪C‬‬ ‫ﺝـ‪ -‬اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻞ واﻟﻤﺮﺑﻊ‬ ‫اﻟﻤﺤﻴﻂ = ﻣﺠﻤﻮع أﻃﻮال أﺿﻼﻋﻪ‬ ‫‪l‬‬ ‫‪P = 4C‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪S = C2‬‬ ‫‪Sb= b × h‬‬ ‫‪L‬‬ ‫‪P = (L + l)× 2‬‬ ‫‪S = L×l‬‬ ‫و‪ -‬ﺷﺒﻪ اﻟﻤﻨﺤﺮف‬ ‫هـ ‪ -‬اﻟﻤﻌﻴﻦ‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪(d‬‬ ‫×)‪+ b‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪S‬‬ ‫=‬ ‫‪d‬‬ ‫‪×DD‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬

‫• اﻟﺤﺠﻮم ‪ V‬واﻟﻤﺴﺎﺡﺎت ‪: A‬‬ ‫ﺑـ‪ -‬اﻟﻜﺮة‬ ‫ﻣﺘﻮازي اﻟﻤﺴﺘﻄﻴﻼت‬ ‫أ‪ -‬اﻟﻤﻜﻌﺐ‬ ‫‪A = 4 π R2‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪πR 3‬‬ ‫‪V = L×l×h‬‬ ‫‪V= 3‬‬ ‫‪Rh‬‬ ‫‪V = C3‬‬ ‫‪l‬‬ ‫‪C‬‬ ‫‪L‬‬ ‫د‪ -‬اﻟﻬﺮم‬ ‫ﺣـ‪ -‬اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﺋﻢ‬ ‫‪h‬‬ ‫‪ B‬ﻣﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ‬ ‫‪C‬‬ ‫و ‪ P‬ﻣﺤﻴﻂ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ‬ ‫ﻟﻤﺴﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ‪h A‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺣﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة ‪B‬‬ ‫‪V = B×h‬‬‫‪V =B13 B × h‬‬ ‫‪A= p×h‬‬ ‫و‪ -‬اﺱﻄﻮاﻧﺔ‬ ‫هـ ‪ -‬ﻣﺨﺮوط اﻟﺪوران‬‫‪R‬‬ ‫اﻟﻤﺴ‪h‬ﺎﺣﺔ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ‪A‬‬ ‫‪V‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪πR²h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪R‬‬‫‪A = 2πRh‬‬‫‪V = πR2h‬‬

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﻟﻠﻤﺭﺍﺠﻌﺔ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• اﻟﻤﻮﺿﻮع اﻷول‬ ‫• اﻟﻤﻮﺿﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫• اﻟﻤﻮﺿﻮع اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫• اﻟﻤﻮﺿﻮع اﻟﺮاﺑﻊ‬

‫• اﻟﻤﻮﺿﻮع اﻷول ‪:‬‬ ‫‪D = 18 × 6‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 1‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻌﺒﺎرﺗﻴﻦ اﻟﺠﺒﺮﻳﺘﻴﻦ اﻟﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻦ ‪:‬‬ ‫‪ C = 5 12 + 6 3 − 300‬؛‬ ‫‪ -‬أآﺘﺐ ‪ D,C‬ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪ a 3‬ﺣﻴﺚ ‪ a‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 2‬‬ ‫‪ -1‬أوﺝﺪ اﻟﻘﺎﺳﻢ اﻟﻤﺸﺘﺮك اﻷآﺒﺮ) ‪ (PGCD‬ﻟﻠﻌﺪدﻳﻦ ‪ 108‬و ‪135‬‬‫‪ - 2‬ﻷﻧﻔﺎل ‪ 108‬زهﺮة ﺣﻤﺮاء و ‪ 135‬زهﺮة ﺻﻔﺮاء ﺗﺮﻳﺪ أن ﺗﺸﻜﻞ ﻡﻨﻬﺎ ﺏﺎﻗﺎت ﺣﻴﺚ‪:‬‬ ‫*‪ /‬آﻞ اﻟﺒﺎﻗﺎت ﺗﺤﻮى ﻧﻔﺲ ﻋﺪد اﻷزهﺎر اﻟﺤﻤﺮاء‬ ‫*‪ /‬آﻞ اﻟﺒﺎﻗﺎت ﺗﺤﻮى ﻧﻔﺲ ﻋﺪد اﻷزهﺎر اﻟﺼﻔﺮاء‬ ‫*‪ /‬ﻡﻊ اﺳﺘﻌﻤﺎل آﻞ اﻷزهﺎر اﻟﺼﻔﺮاء واﻟﺤﻤﺮاء اﻟﺘﻲ ﺏﺤﻮزﺗﻬﺎ‬ ‫أ‪ -‬ﻡﺎهﻮ أآﺒﺮ ﻋﺪد ﻡﻦ اﻟﺒﺎﻗﺎت اﻟﺘﻲ ﻳﻤﻜﻦ أن ﺗﺸﻜﻠﻬﺎ أﻧﻔﺎل؟‬ ‫ب‪ -‬ﻡﺎ هﻮ ﻋﺪد اﻷزهﺎر اﻟﺤﻤﺮاء وﻋﺪد اﻷزهﺎر اﻟﺼﻔﺮاء ﻓﻲ آﻞ ﺏﺎﻗﺔ؟‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪:3‬‬ ‫إﻟﻴﻚ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺏﻞ‬‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪ -1‬أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ ‪ F1‬ﻧﻈﻴﺮ اﻟﺸﻜﻞ ‪ F‬ﺏﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻄﺔ ‪o‬‬ ‫‪ -2‬أﻧﺸﺊ ‪ F2‬ﺻﻮرة ‪ F‬ﺏﺎﻻﻧﺴﺤﺎب ذي اﻟﺸﻌﺎع ‪OA‬‬‫‪ -3‬أﻧﺸﺊ ‪ F3‬ﺻﻮرة ‪ F‬ﺏﺎﻟﺪوران اﻟﺬي ﻡﺮآﺰﻩ ‪ B‬وزاوﻳﺘﻪ ‪ °90‬ﻓﻲ اﺗﺠﺎﻩ ﻋﻘﺎرب اﻟﺴﺎﻋﺔ‪.‬‬

‫‪L‬‬ ‫ﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 4‬‬ ‫إﻟﻴﻚ اﻟﺸﻜﻞ‪:‬‬ ‫‪R‬‬ ‫‪M K SN‬‬ ‫ﻧﻌﻄﻲ ‪LN=6,4cm , ML= 4,8cm , MN= 8cm :‬‬ ‫‪ -1‬ﺏﻴﻦ أن اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ LMN :‬ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫‪ -2‬أﺣﺴﺐ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﻤﻘﺮﺏﺔ إﻟﻰ اﻟﻮﺣﺪة ﻟﻘﻴﺲ اﻟﺰاوﻳﺔ ‪ LMN‬ﺏﺎﻟﺪرﺝﺎت‬ ‫‪ - 3‬ﻟﻴﻜﻦ ]‪ [LK‬اﻻرﺗﻔﺎع اﻟﻤﺘﻌﻠﻖ ﺏﺎﻟﻀﻠﻊ ]‪ [MN‬ﺏﻴﻦ أن ‪LK=3,84 cm :‬‬‫‪ - 4‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ S‬ﻧﻘﻄﺔ ﻡﻦ ]‪ [MN‬ﺣﻴﺚ‪ NS =2 cm :‬اﻟﻌﻤﻮد ﻋﻠﻰ ]‪ [LN‬ﻳﺸﻤﻞ ‪ S‬و ﻳﻘﻄﻊ]‪ [LN‬ﻓﻲ ‪.R‬‬ ‫‪ -‬أﺣﺴﺐ ‪RS :‬‬

‫• اﻟﻤﻮﺿﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ‪: 1‬‬‫ﻟﺘﻜﻦ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺠﺒﺮﻳﺔ ‪A = (7x − 3)2 − 9 :‬‬ ‫أ‪ -‬أﻧﺸﺮ وﺏﺴﻂ اﻟﻌﺒﺎرة ‪A‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﻠﻞ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ A‬إﻟﻰ ﺝﺪاء ﻋﺎﻡﻠﻴﻦ ﻡﻦ اﻟﺪرﺝﺔ اﻷوﻟﻰ‬‫ﺣـ‪ -‬أوﺝﺪ ﻡﺠﻤﻮﻋﺔ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪7x(7x − 6) = 0‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 2‬‬‫أ‪ -‬أﻋﻂ اﻟﻤﺴﺎوات اﻟﺘﻲ ﺗﻌﺘﺒﺮ ﻋﻦ اﻟﻘﺴﻤﺔ اﻹﻗﻠﻴﺪﻳﺔ ﻟـ‪ 1512 :‬ﻋﻠﻰ ‪21‬‬‫ﻟﻼﺧﺘﺰال‬ ‫ﻗﺎﺏﻞ‬ ‫ﻏﻴﺮ‬ ‫‪720‬‬ ‫ب‪ -‬اﺝﻌﻞ اﻟﻜﺴﺮ‬ ‫‪1512‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺄﻟﺔ‪ :‬ﻧﺰود اﻟﻤﺴﺘﻮى ﺏﻤﻌﻠﻢ ﻡﺘﻌﺎﻡﺪ وﻡﺘﺠﺎﻧﺲ ‪( )O, I , J‬‬ ‫‪ /1‬ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻡﻴﻠﻴﻤﺘﺮﻳﺔ ﻋﻠﻢ اﻟﻨﻘﻂ )‪B (4;−1), A(4;4‬و )‪C(2;3‬‬ ‫‪ /2‬أ‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻷﻃﻮال ‪ BC ،AC،AB‬واﺳﺘﻨﺘﺞ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ABC‬‬ ‫ب‪ -‬أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ D‬ﺏﺤﻴﺚ ‪CD = CA + CB‬‬ ‫ﺝـ‪ -‬ﻡﺎهﻲ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺮﺏﺎﻋﻲ ‪ADBC‬؟‬ ‫‪ /3‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ E‬ﻧﻘﻄﺔ ﺏﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن ﻟﻠﺸﻌﺎع ‪ CE‬اﻹﺣﺪاﺙﻴﺎت )‪(4;2‬‬ ‫أ‪-‬ﻋﻴﻦ ‪ E‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ واﺳﺘﻨﺘﺞ اﺣﺪاﺙﻴﺎهﺎ‬ ‫ب‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ A‬ﻡﻨﺘﺼﻒ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [CE‬ﺝـ‪ -‬أﺣﺴﺐ اﻟﻄﻮل ‪CE‬‬‫‪ /4‬أ‪ -‬أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ F‬ﺻﻮرة ‪ E‬ﺏﺎﻟﺪوران اﻟﺬي ﻡﺮآﺰﻩ ‪ C‬وزاوﻳﺘﻪ ‪ 90°‬ﻓﻲ اﺗﺠﺎﻩ ﻋﻜﺲ ﻋﻘﺎرب‬ ‫اﻟﺴﺎﻋﺔ‬ ‫ب‪ /‬أﺣﺴﺐ ﻗﻴﺲ اﻟﺰاوﻳﺔ ‪ BCˆF‬ﻡﺎذا ﺗﺴﺘﻨﺘﺞ ﺏﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻨﻘﻂ ‪F,C,B‬‬ ‫ﺝـ‪ /‬ﺏﻴﻦ أن‪CE = CB :‬‬

‫• اﻟﻤﻮﺿﻮع اﻟﺜﺎﻟﺚ ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 1‬‬‫=‪A‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ اﻟﻌﺪد‬ ‫‪/1‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪21‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ -‬اﺣﺴﺐ اﻟﻌﺪد ‪ A‬ﻡﻊ اﻋﻄﺎء اﻟﻨﺎﺗﺞ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ آﺴﺮ‬‫‪B‬‬ ‫=‬ ‫‪107‬‬ ‫‪×10−3‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ اﻟﻌﺪد‬ ‫‪/2‬‬ ‫‪10‬‬‫‪ -‬اﺣﺴﺐ اﻟﻌﺪد ‪ B‬ﻡﻊ اﻋﻄﺎء اﻟﻨﺎﺗﺞ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪10n‬‬‫‪ /3‬اﻋﻂ اﻟﻜﺘﺎﺏﺔ اﻟﻌﻠﻤﻴﺔ ﻟﻠﻌﺪد ‪C = 0,007 ×102‬‬‫‪ /4‬أآﺘﺐ اﻟﻌﺪد ‪ D‬ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪ a b‬ﺣﻴﺚ ‪ b,a‬ﻋﺪدان ﺻﺤﻴﺤﺎن و ‪ b‬أﺻﻐﺮﻡﺎ ﻳﻤﻜﻦ ﺣﻴﺚ ‪:‬‬ ‫‪D = 5 8 − 50‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 2‬‬‫اﺷﺘﺮى ﻋﻤﺮ ‪ 6 kg‬ﺏﻄﺎﻃﺎ و‪ 2 kg‬ﺏﺼﻞ ﺏـ ‪ 84 DA‬واﺷﺘﺮى ﻋﺒﺪ اﻟﺮﺣﻴﻢ ‪ 3 kg‬ﺏﻄﺎﻃﺎ و ‪ 8 kg‬ﺏﺼﻞ ﺏـ‬ ‫‪. 147 DA‬‬ ‫أ‪ -‬ﻋﺒﺮ ﻋﻦ هﺬﻩ اﻟﻮﺽﻌﻴﺔ ﺏﺠﻤﻠﺔ ﻡﻌﺎدﻟﺘﻴﻦ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﻞ اﻟﺠﻤﻠﺔ ﻻﻳﺠﺎد ﺙﻤﻦ ‪ 1 kg‬ﻡﻦ اﻟﺒﻄﺎﻃﺎ و ﺙﻤﻦ ‪ 1 kg‬ﻡﻦ اﻟﺒﺼﻞ‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 3‬‬ ‫اﻟﻘﺎﻋﺪة ‪ ABC‬ﻟﻬﺮم ‪ SABC‬هﻲ ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﻡﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ ‪ ، A‬وارﺗﻔﺎع هﺬا اﻟﻬﺮم هﻮ ]‪[SA‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ SA = 5,5 cm‬و ‪. AB=AC=4 cm‬‬‫ﻡﺴﺘﻮي ﻡﻮازي ﻟﻘﺎﻋﺪة اﻟﻬﺮم ﻳﻘﻄﻊ اﻻﺣﺮف ]‪ [SB] ,[SA‬و ]‪ [SC‬ﻓﻲ ‪ O,N,M‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‪ .‬ﺣﻴﺚ‬ ‫‪. SM=4,4 cm‬‬‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺏﻞ ﻳﻤﺜﻞ اﻟﻬﺮم ﻡﻮﺽﻮع ﻋﻠﻰ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ‬ ‫أ‪ -‬اآﻤﻞ اﻟﺸﻜﻞ ﻡﻊ آﺘﺎﺏﺔ اﻟﺮؤوس‪.‬‬ ‫و ﻡﺜﻞ اﻟﻤﻘﻄﻊ ‪. MNO‬‬ ‫ب‪ -‬ﻡﺎ هﻲ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ MNO‬؟‬ ‫اﺣﺴﺐ ‪. MN‬‬

‫ﺝـ‪ -‬اﺣﺴﺐ ﻗﻴﺲ اﻟﺰاواﻳﺔ ‪ ) MSˆN‬ﺗﻌﻄﻲ اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ ﻡﻘﺮﺏﺔ اﻟﻰ اﻟﻮﺣﺪة(‬‫‪A‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 4‬‬ ‫اﻟﻴﻚ اﻟﺸﻜﻞ ‪F‬‬ ‫‪E‬‬‫‪30°‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪B‬‬‫‪D‬‬‫ﺣﻴﺚ‪DAˆ B = 30°, EF = 4cm ; AE = 7cm ; EG = 5cm ; FG = 3cm :‬‬ ‫اﻟﻨﻘﻂ ‪ A,E,G‬ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻡﺔ واﺣﺪة و اﻟﻨﻘﻂ ‪ D,E,F‬ﻋﻠﻰ اﺳﺘﻘﺎﻡﺔ واﺣﺪة و ﺏﻨﻔﺲ اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‬ ‫]‪ [AB‬هﻮ ارﺗﻔﺎع اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ABE‬ﻡﺘﻌﻠﻖ ﺏﺎﻟﻀﻠﻊ ]‪[BE‬‬ ‫‪ (1‬ﺏﻴﻦ ان اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ EFG‬ﻗﺎﺋﻢ‬ ‫‪ (2‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ان )‪ (FG‬ﻳﻮازي )‪. (AB‬‬ ‫‪ (3‬اﺣﺴﺐ ‪ BE‬و ‪AB‬‬ ‫= ‪Tan30°‬‬ ‫‪3‬‬ ‫اﺣﺴﺐ اﻟﻘﻴﻤﺔ اﻟﺘﺎﻡﺔ ﻟـ ‪ DB‬ﻧﺄﺧﺬ‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ (5‬اﺣﺴﺐ ﻡﺴﺎﺣﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪. AED‬‬

‫• اﻟﻤﻮﺿﻮع اﻟﺮاﺑﻊ ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 1‬‬ ‫إﻟﻴﻚ اﻟﻌﺒﺎرة اﻟﺠﺒﺮﻳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫)‪A = (5x −1)² − (5x −1)(x + 3‬‬ ‫‪ /1‬اﻧﺸﺮ وﺏﺴﻂ اﻟﻌﺒﺎرة ‪. A‬‬ ‫‪ /2‬ﺣﻠﻞ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ A‬اﻟﻰ ﺝﺪاء ﻋﺎﻡﻠﻴﻦ ﻡﻦ اﻟﺪرﺝﺔ اﻷوﻟﻰ ‪.‬‬ ‫‪ /3‬اﺣﺴﺐ ﻗﻴﻤﺔ اﻟﻌﺒﺎرة ‪ A‬ﻡﻦ أﺝﻞ ‪x = 2‬‬ ‫‪ /4‬ﻡﻦ أﺝﻞ أي ﻗﻴﻢ ﻟـ ‪ x‬ﺗﻜﻮن ‪A= 0‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪:2‬‬ ‫ﻡﻌﺪل درﺝﺎت اﻟﺤﺮارة اﻟﻤﺴﺠﻠﺔ ﻓﻲ اﻟﺠﺰاﺋﺮ اﻟﻌﺎﺻﻤﺔ ﻡﻦ ‪ 5‬اﻟﻰ ‪ 14‬ﻧﻮﻓﻤﺒﺮ ‪2000‬‬ ‫ﻡﻠﺨﺺ ﻓﻲ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫‪14 13 12 11 10 9 8 7 6 5‬‬ ‫اﻷﻳﺎم‬‫‪9°‬‬ ‫‪8°‬‬ ‫‪9° 12° 12° 10° 11° 12° 11° 13°‬‬ ‫درﺝﺎت‬ ‫اﻟﺤﺮارة‬ ‫ﻡﺎ هﻮ ﻡﺪى هﺬﻩ اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ اﻻﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ؟‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﻡﺎ هﻮ وﺳﻴﻂ هﺬﻩ اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ اﻻﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ؟‬ ‫‪-2‬‬ ‫ﻡﺎ هﻮ اﻟﻮﺳﻂ اﻟﺤﺴﺎﺏﻲ ﻟﻬﺬﻩ اﻟﺴﻠﺴﻠﺔ اﻻﺣﺼﺎﺋﻴﺔ ؟ ؟‬ ‫ﻡﺴﺄﻟﺔ ‪:‬‬ ‫اﻟﺠﺰء اﻷول ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﺗﺂﻟﻴﻔﻴﺔ ﻡﻌﺮﻓﺔ آﻤﺎ ﻳﻠﻲ‪:‬‬ ‫‪f (x) = 40 − 4x‬‬ ‫أ‪ -‬ﻡﺎ هﻲ ﺻﻮرة ‪ O‬ﺏﺎﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬؟‬ ‫ب‪ -‬ﻡﺎ هﻮ اﻟﻌﺪد اﻟﺬي ﺻﻮرﺗﻪ ‪ 16‬ﺏﺎﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬؟‬‫ﺣـ‪ -‬ﻋﻠﻰ ورﻗﺔ ﻡﻴﻠﻴﻤﺘﺮﻳﺔ أﻧﺸﻰء اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪) f‬ﻧﺄﺧﺬ ﻋﻠﻰ ﻡﺤﻮر اﻟﻔﻮاﺻﻞ ‪ 1 cm‬ﺗﻤﺜﻞ وﺣﺪة‬‫واﺣﺪة‪ ،‬و ﻋﻠﻰ ﻡﺤﻮر اﻟﺘﺮاﺗﻴﺐ ‪ 1 cm‬ﺗﻤﺜﻞ ‪ 5‬وﺣﺪات ( ﻡﻊ وﺽﻊ ﻡﺒﺪأ اﻟﻤﻌﻠﻢ أﺳﻔﻞ ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻟﻠﻮرﻗﺔ‬ ‫ﻡﻴﻠﻴﻤﺘﺮﻳﺔ‪.‬‬ ‫د‪ -‬ﻡﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴﻞ اﻟﺒﻴﺎﻧﻲ أوﺝﺪ ﻗﻴﻤﺔ ‪ x‬اﻟﺬي ﺻﻮرﺗﻪ ‪10‬‬ ‫‪D‬‬ ‫اﻟﺠﺰء ااﻟﺜﺎﻧﻲ ‪C :‬‬‫‪A‬‬ ‫اﺏﻌﺎد هﺬا اﻟﻤﻮﺷﻮر اﻟﻘﺎﺋﻢ هﻲ ‪:‬‬ ‫‪I‬‬ ‫‪ GH= 12 cm‬و ‪DH=10cm‬‬ ‫‪H‬‬ ‫‪B‬‬ ‫و ‪EH=8cm‬‬ ‫اﻟﺸﻜﻞ اﻟﻤﻘﺎﺏﻞ ﻟﻴﺲ ﺏﺎﻟﻘﻴﺎﺳﺎت اﻟﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ I‬ﻧﻘﻄﺔ ﻡﻦ اﻟﻘﻄﻌﺔ]‪[DH‬‬ ‫اﻟﻬﺮم اﻟﺬي رأﺳﻪ ‪ D‬و ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ‪ EFGH‬ﻡﻘﻄﻮع اﻟﻤﺴﺘﻮي )‪(F‬‬ ‫ﻡﻮاز ﻟﻘﺎﻋﺪﺗﻪ و ﻳﺸﻤﻞ )ﻳﻤﺮﺏـ( اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. I‬‬ ‫اﻟﻤﻘﻄﻊ هﻮ رﺏﺎﻋﻲ ‪G IJKL‬‬‫‪EF‬‬

‫ﺣﻴﺚ ‪ L, K, j‬ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ]‪ [DE‬و ]‪ [DF‬و]‪ [DG‬ﻋﻠﻰ‬ ‫اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ‪.‬‬ ‫‪ /1‬ﻡﺎ هﻲ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﺮﺏﺎﻋﻲ ‪ IJKL‬؟‬‫‪ /2‬اﻟﻤﺴﺘﻮي )‪ (F‬ﻳﻮازي اﻟﻘﺎﻋﺪة اذن )‪ (IJ‬و )‪ (EH‬ﻡﺘﻮازﻳﺎن و )‪ (IL‬و )‪ (GH‬ﻡﺘﻮازﻳﺎن أﻳﻀﺎ ﻧﻀﻊ‬ ‫‪. IH= 4 cm‬‬ ‫أ‪ -‬اﺣﺴﺐ ‪DI‬‬ ‫ب‪ -‬ﺏﻴﻦ أن ‪ IJ =4,8 cm‬ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ DEH‬و أن ‪ IL= 7,2 cm‬ﻧﺴﺘﻌﻤﻞ أﻳﻀﺎ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫‪DGH‬‬ ‫ﺝـ‪ -‬اﺣﺴﺐ اﻟﻤﺤﻴﻂ ‪ P‬ﻟﻠﺮﺏﺎﻋﻲ ‪IJKL‬‬ ‫‪ /3‬ﻓﻲ هﺬا اﻟﺠﺰء ﻧﻔﺮض )‪IH = x(cm‬‬ ‫أ‪ -‬ﺏﺎﺳﺘﻌﻤﺎل اﻟﺨﻄﻮات اﻟﺴﺎﺏﻘﺔ و ﺏﺪون ﺏﺮهﺎن اﺣﺴﺐ ‪ DI‬و ‪ IJ‬و ‪ IL‬ﺏﺪﻻﻟﺔ ‪.x‬‬ ‫ب‪ -‬ﻋﺒﺮ ﺏﺪﻻﻟﺔ ‪ x‬ﻋﻦ اﻟﻤﺤﻴﻂ ‪ P‬ﻟﻠﺮﺏﺎﻋﻲ ‪. IJKL‬‬ ‫ﺝـ ‪ -‬ﺏﺎﺳﺘﻌﻤﺎل ﻧﺘﻴﺠﺔ اﻟﺠﺰء اﻷول ﻟﻠﻤﺴﺄﻟﺔ أوﺝﺪ ﻡﻜﺎن ‪ I‬ﻋﻠﻰ اﻟﻘﻄﻌﺔ ]‪ [DH‬ﺏﺤﻴﺚ ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺤﻴﻂ ‪P‬‬ ‫ﻟﻠﺮﺏﺎﻋﻲ ‪ IJKL‬ﻳﺴﺎوي ‪.10 cm‬‬

‫ﺘﺼﺤﻴﺢ ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﻤﺨﺘﺎﺭﺓ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫• اﻟﻤﻮﺿﻮع اﻷول‬ ‫• اﻟﻤﻮﺿﻮع اﻟﺜﺎﻧﻲ‬ ‫• اﻟﻤﻮﺿﻮع اﻟﺜﺎﻟﺚ‬ ‫• اﻟﻤﻮﺿﻮع اﻟﺮاﺑﻊ‬

‫• ﺍﻟﻤﻭﻀﻭﻉ ﺍﻻﻭل ‪:‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 1‬‬ ‫آﺘﺎﺑﺔ ‪ C‬ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪: a 3‬‬ ‫ﻧﻮﻇﻒ اﻝﻌﻼﻗﺔ ‪a × b = a × b :‬‬ ‫‪C = 18 × 6‬‬ ‫‪= 18× 6‬‬ ‫‪= 108‬‬ ‫آﺘﺎﺑﺔ ‪ D‬ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪= 3× 36 : a 3‬‬ ‫‪= 3 × 36‬‬ ‫‪C D= 6= 53 12 + 6 3 − 300‬‬ ‫‪= 5 22 × 3 + 6 3 − 10² × 3‬‬ ‫‪= 5× 2 3 + 6 3 −10 3‬‬ ‫‪= 10 3 + 6 3 −10 3‬‬ ‫‪D=6 3‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 2‬‬ ‫إﻳﺠﺎد اﻝﻘﺎﺳﻢ اﻝﻤﺸﺘﺮك اﻷآﺒﺮ ) ‪ ( PGCD‬ﻝﻠﻌﺪدﻳﻦ ‪ 108‬و ‪:135‬‬ ‫ﻧﺘﺒﻊ ﺧﻮارزﻡﻴﺔ اﻗﻠﻴﺪس ‪:‬‬ ‫‪135= 1 x 108 + 27‬‬ ‫‪108 = 4 x 27 + 0‬‬ ‫ﺁﺧﺮ ﺑﺎﻗﻲ ﻏﻴﺮ ﻡﻌﺪوم هﻮ ‪27‬‬ ‫وﻡﻨﻪ ‪PGCD ( 135 ، 108 ) = 27 :‬‬ ‫‪ /2‬أ‪ -‬ﻝﺪﻳﻨﺎ ﻡﻦ اﻝﺴﺆال اﻻول ‪:‬‬ ‫‪ 135 = 5 × 27‬و ‪108 = 4 × 27‬‬ ‫اذن أﻧﻔﺎل ﻳﻤﻜﻨﻬﺎ ﺕﺸﻜﻴﻞ ‪ 27‬ﺑﺎﻗﺔ‬‫ﺑـ ‪ /‬آﻞ ﺑﺎﻗﺔ ﺕﺤﺘﻮي ‪ 5‬زهﺮات ﺻﻔﺮاء و ‪ 4‬زهﺮات ﺡﻤﺮاء‪.‬‬

‫‪F1‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 3‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪F2‬‬ ‫‪B‬‬ ‫‪F3‬‬ ‫اﻟﺘﻤﺮﻳﻦ ‪: 4‬‬ ‫‪ /1‬اﺛﺒﺎت أن اﻝﻤﺜﻠﺚ ‪ LMN‬ﻗﺎﺋﻢ ‪،‬‬ ‫ﻧﺤﺴﺐ ‪LM² = (6,4)² = 40,96‬‬ ‫‪ML² = (4,8)² = 23,04‬‬ ‫= ‪MN² = (8)²‬‬ ‫ﻧﻼﺡﻆ أن ‪64 = 40,96 + 23,04 :‬‬ ‫‪MN² = LN² + ML²‬‬ ‫إذن ‪:‬‬ ‫ﺡﺴﺐ اﻝﻨﻈﺮﻳﺔ اﻝﻌﻜﺴﻴﺔ ﻝﻔﻴﺘﺎﻏﻮرث اﻝﻤﺜﻠﺚ ‪ LMN‬ﻗﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪L‬‬ ‫‪ /2‬ﺡﺴﺎب اﻝﻘﻴﻤﺔ اﻝﻤﻘﺮﺑﺔ اﻝﻰ اﻝﻮﺡﺪة ﻝﻠﺰاوﻳﺔ ‪LMˆ N‬‬ ‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠﺚ ‪ LMN‬اﻝﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ L‬ﻝﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪TanLMˆ N‬‬ ‫=‬ ‫‪ML‬‬ ‫‪NL‬‬ ‫‪TanLMˆ N‬‬ ‫=‬ ‫‪4,8‬‬ ‫=‬ ‫‪0,75‬‬ ‫‪6,4‬‬‫‪LMˆN = 37°‬‬ ‫وﻡﻨﻪ اﻝﻘﻴﻤﺔ اﻝﻤﻘﺮﺑﺔ اﻝﻰ اﻝﻮﺡﺪة هﻲ‪:‬‬ ‫‪ /3‬اﺛﺒﺎت أن ‪LK = 3,84cm‬‬ ‫ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠﺚ ‪ LMN‬اﻝﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ L‬ﻝﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬‫‪SinLMˆ N‬‬ ‫=‬ ‫‪LM‬‬ ‫‪.....(1).....‬‬ ‫‪MN‬‬‫‪ -‬ﻓﻲ اﻝﻤﺜﻠﺚ ‪ LKN‬اﻝﻘﺎﺋﻢ ﻓﻲ ‪ ) K‬ﻻن ]‪ [LK‬اﻻرﺕﻔﺎع اﻝﻤﺘﻌﻠﻖ ﺑـ ]‪( [MN‬‬‫‪SinLMˆ K‬‬ ‫=‬ ‫‪LK‬‬ ‫‪.....(2)....‬‬ ‫‪LN‬‬ ‫ﻝﻜﻦ اﻝﺰاوﻳﺘﺎن ‪ LNˆK‬و ‪ LNˆM‬ﻡﺘﻘﺎﻳﺴﺘﺎن‬

‫‪LM‬‬ ‫=‬ ‫‪LK‬‬‫‪MN‬‬ ‫‪LN‬‬‫‪4,8‬‬ ‫=‬ ‫‪LK‬‬ ‫وﻡﻨﻪ ‪:‬‬‫‪8‬‬ ‫‪6,4‬‬‫‪LK‬‬ ‫=‬ ‫× ‪6,4‬‬ ‫‪4,8‬‬ ‫‪8‬‬ ‫وﻡﻨﻪ ‪LK = 3,84cm :‬‬ ‫‪ /4‬ﺡﺴﺎب ‪: RS‬‬‫اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن )‪ (ML‬و )‪ (SR‬ﻋﻤﻮدﻳﺎن ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻬﻤﺎ ﻡﺘﻮازﻳﺎن اﻝﻨﻘﻂ ‪ N,R,L‬ﻡﻦ‬‫اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪ (NL‬ﻋﻠﻰ ﻧﻔﺲ ﺕﺮﺕﻴﺐ اﻝﻨﻘﻂ ‪ N , S, M‬ﻡﻦ اﻝﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪(NM‬‬ ‫ﺡﺴﺐ ﻃﺎﻝﻴﺲ ﻝﺪﻳﻨﺎ ‪:‬‬‫‪NS‬‬ ‫=‬ ‫‪RS‬‬‫‪NM‬‬ ‫‪LM‬‬‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪RS‬‬‫‪8‬‬ ‫‪4,8‬‬‫‪RS‬‬ ‫=‬ ‫‪2 × 4,8‬‬ ‫‪8‬‬‫‪RS = 1,2cm‬‬