دروس مادة الرياضيات للفصل الاول اداب و فلسفة سنة ثانية ثانوي

‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻭﺍﻷﺴﺎﺱ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺘﻀﻤﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜل ﺤﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ‪.‬‬ ‫ﺩ‪ .‬ﺨﺎﺼﺔ ﺜﻼﺜﺔ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ a,b,c‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﻨﺎ )‪ b a  (b  a‬ﻭ )‪ c b  (c  b‬ﻤﻨﻪ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ‪ b‬ﻨﻀﻴﻑ ﺇﻟﻰ ‪a‬‬‫ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪ (b  a‬ﻭﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ‪ c‬ﻨﻀﻴﻑ ﺇﻟﻰ ‪ b‬ﺍﻟﻌﺩﺩ )‪ (c  b‬ﻭﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ‬‫‪ a,b,c‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺤﺩﻭﺩﺍ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‬ ‫ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪b  a c  b‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪ 2b a  c‬ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻗﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪.‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪ ،‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ a,b,c‬ﺃﻋﺩﺍﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪،‬‬‫‪ -‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ a,b,c‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ –ﺤﺩﻭﺩﺍ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪ ،‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪a  c 2b‬‬‫‪ -‬ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﻜﻭﻥ \" ‪ \" a  c 2b‬ﻨﻘﻭل \" ‪ b‬ﻫﻭ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪a‬‬ ‫ﻭ ‪.\" c‬‬

‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫‪U0 U2‬‬ ‫½‪4‬‬‫و‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، N‬ﻭﻜﺎﻥ ¾‪°‬‬‫‪U0 7‬‬ ‫‪¿°‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ ‪ U1‬ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ U0‬ﻭ ‪ U 2‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬‫ﻴﻜﻭﻥ ‪ 2U1 U 0  U 2‬ﺇﺫﻥ ‪ 2U1 4‬ﺇﺫﻥ ‪ U1 2‬ﻭ ‪ r‬ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬‫ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ  ‪ U n‬ﻫﻭ ‪ U1 U 0‬ﺇﺫﻥ ‪ r 2  7‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ r 5‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬ ‫ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻓﻲ ‪ U n U 0  n.r ، N‬ﺃﻱ ‪U n 5n  7‬‬ ‫ﻫـ‪ .‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ U1;U 2 ;U3;.........;U n‬ﺃﻋﺩﺍﺩﺍ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬‫ﻟﻨﻔﺭﺽ ‪ - U1;U 2 ;U3;.........;U n1;U n‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‬‫ﺤﺩﻭﺩﺍ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ r‬ﻭﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪S‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪U1  U 2  U 3  .........  U n1  U n :‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪a‬‬ ‫‪U1  r‬‬ ‫‪U2  r‬‬ ‫‪U3  r‬‬ ‫‪... U n1  r‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪Un r‬‬ ‫‪U n1  r‬‬ ‫‪U n2‬‬ ‫ﻗﻴﻡ ‪b‬‬ ‫‪U1 Un‬‬ ‫‪U1 Un‬‬ ‫‪... U 2  r‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫‪U1 Un‬‬ ‫ﻗﻴﻡ‬ ‫‪... U1  U n U1  U n‬‬‫)‪(a  b‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻁﺭ ﺍﻷﻭل ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻨﻨﺘﻘل ﻤﻥ ﺨﺎﻨﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ ‪r‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﺴﻁﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻤﻥ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻨﻨﺘﻘل ﻤﻥ ﺨﺎﻨﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻴﺔ ﺒﺈﻀﺎﻓﺔ ‪- r‬‬

‫ﻤﻨﻪ ﻗﻴﻤﺔ )‪ (a  b‬ﻻ ﺘﺘﻐﻴﺭ‪.‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻴﻡ ‪ a‬ﻫﻭ ‪ ، S‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻴﻡ ‪ b‬ﻫﻭ ‪ ، S‬ﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻴﻡ )‪ (a  b‬ﻫﻭ ‪.25‬‬‫‪25‬‬ ‫ ‪U1  U n   U1  U n   ....  U1  U n‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫ﺣﺤﺪ‪n‬‬‫‪S‬‬ ‫ ‪n u U1  U n‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪25‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪n.U1  U n  :‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ U1;U 2 ;U3;.........;U n‬ﺃﻋﺩﺍﺩﺍ‬ ‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ - U1;U 2 ;U3;.........;U n1;U n‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‬ ‫ﺤﺩﻭﺩﺍ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪U1  U 2  U 3  .........  U n‬‬ ‫) ‪n(U1  U n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ‪:‬‬‫ﻓﻲ ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ﻟﻠﻤﺴﺎﻭﺍﺓ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺍﻟﺫﻜﺭ ‪ n‬ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻁﺭﻑ ﺍﻷﻭل‪ U1 ،‬ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﻭ ‪ U n‬ﺤﺩﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭ‪.‬‬

‫ﻭﺒﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﻋﺎﻤﺔ ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺘﺼﺒﺢ‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻴﺴﺎﻭﻱ‬‫)ﻋﺩﺩ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ(‪) x‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ +‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻉ(‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﻟﻨﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ S‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻤﻥ ‪ 8‬ﺇﻟﻰ ‪.103‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ S 8  9 10  ..... 101 102 103 :‬ﻭﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ‬ ‫ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪1‬‬‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ S‬ﻫﻭ ‪8‬ﻭﺤﺩﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭ ﻫﻭ ‪.103‬‬‫ﻋﺩﺩ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ S‬ﻫﻭ ‪)103  8 1‬ﺃﻨﻅﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪(05‬‬ ‫ﻭ ‪103  8  1 96‬‬‫‪S‬‬ ‫‪ S‬ﻤﻨﻪ ‪5328‬‬ ‫‪(103  8) u 96‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪ /3‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ‬‫ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻔﻘﺭﺓ ﻜﺫﻟﻙ‪ ،‬ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻨﻬﺎ ﻤﺸﻜﻠﺔ ﻤﻥ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻁﺒﻴﻌﻴﺔ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ‪.‬‬ ‫ﺃ‪ .‬ﺘﻌﺭﻴﻑ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻤﻌﺘﺒﺭﺓ‪ ،‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪، D‬‬‫ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ‬‫ﺜﺎﺒﺕ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ ، D‬ﻴﺤﻘﻕ ‪ n 1 D‬ﻴﻜﻭﻥ‪:‬‬ ‫‪ U n1 q.U n‬ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ‪ q‬ﻴﺴﻤﻰ ﺃﺴﺎﺱ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ  ‪. U n‬‬ ‫ﺒﻌﺒﺭﺍﺕ ﺃﺨﺭﻯ‪:‬‬‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻜل ﺤﺩ‪ ،‬ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺩ‬‫ﺍﻷﻭل‪ ،‬ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﺒﻀﺭﺏ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﻬﺫﺍ ﺍﻟﺤﺩ ﺩﺍﺌﻤﺎ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻕ‬ ‫ﻭﻋﻨﺩﺌﺫ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﻴﺴﻤﻰ ﺃﺴﺎﺱ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‪:‬‬‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ 1;3;9;27;81;243‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ – ﻫﻲ ﺤﺩﻭﺩ‬‫ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ 3‬ﻷﻨﻨﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻜل ﺤﺩ ﻴﺨﺘﻠﻑ‬ ‫ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل‪ ،‬ﺒﻀﺭﺏ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﻪ ﻓﻲ ‪.3‬‬‫‪Un‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ N‬ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‪ ،‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪U n1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪:N‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫‪2 n 1‬‬

‫‪5‬‬ ‫‪2 n.2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪.U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ ،U n1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪N‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪2‬‬‫‪1‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ‬ ‫ ‪U n‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬‫‪2‬‬ ‫ﺏ‪ .‬ﺇﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﻤﻭﺠﺒﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ q‬ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬‫ﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻷﻨﻨﺎ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻜل ﺤﺩ ﺒﻀﺭﺏ ﺍﻟﺤﺩ‬ ‫ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﻪ ﻓﻲ ‪ q‬ﻭﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ﺠﺩﺍﺀ ﺃﻋﺩﺍﺩ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻫﻭ ﻋﺩﺩ ﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻬﻤﺎ ﻴﻜﻥ ﺍﻟﻌﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ D‬ﺍﻟﻤﺤﻘﻕ ﻟـ ‪: n 1 D‬‬ ‫‪U n1 q.U n‬‬ ‫‪U n1  .U n q..U n  U n‬‬ ‫)‪U n1  .U n U n (q  1‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ U n1  .U n 0 : q 1‬ﻤﻨﻪ ‪ U n1 .U n‬ﻭﻤﻨﻪ  ‪ U n‬ﺜﺎﺒﺘﺔ‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q 1  0 :1 ! q ! 0‬ﻭ ‪ U n ! 0‬ﻭ ‪U n1  U n  0‬‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q 1 ! 0 : q ! 1‬ﻭ ‪ U n ! 0‬ﻭ ‪U n1  U n ! 0‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ‪ U n1 ! U n‬ﻭﻤﻨﻪ  ‪ U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺕ‬

‫ﻟﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ q‬ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ﺘﻤﺎﻤﺎ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ 0  q  1‬ﺘﻜﻭﻥ  ‪ U n‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q 1‬ﺘﻜﻭﻥ  ‪ U n‬ﺜﺎﺒﺘﺔ‬ ‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ q ! 1‬ﺘﻜﻭﻥ  ‪ U n‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬‫ﺠـ‪ .‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺇﻋﺘﻤﺎﺩﺍ ﻋﻠﻰ ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‪:‬‬ ‫ﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ q‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪U n‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪U n‬‬ ‫ﻫﻭ ‪U1‬‬ ‫ﻫﻭ ‪U 0‬‬ ‫‪ U1 U1‬ﻤﻨﻪ ‪U1 U1.q11‬‬ ‫‪ U 0 U 0‬ﻤﻨﻪ ‪U 0 U 0 .q 0‬‬ ‫‪ U 2 U1.q‬ﻤﻨﻪ ‪U 2 U1.q 21‬‬ ‫‪ U1 U 0 .q‬ﻤﻨﻪ ‪U1 U 0 .q1‬‬ ‫‪ U 3 U 2 .q‬ﻤﻨﻪ ‪U 3 U1.q31‬‬ ‫‪ U 2 U1.q‬ﻤﻨﻪ ‪U 2 U1.q 2‬‬‫ﻭﻴﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪n‬‬ ‫ﻭﻴﺒﺭﻫﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪n‬‬ ‫ﻤﻥ ‪D U n U 0 .q n1‬‬ ‫ﻤﻥ ‪D U n U 0 .q n‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ D‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ‬ ‫ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ  ‪ Un‬ﻫﻭ ‪ :U0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫‪ n‬ﻤﻥ ‪D U n U 0 .q n‬‬‫‪ -‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ  ‪ Un‬ﻫﻭ ‪ :U1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ‬ ‫‪ n‬ﻤﻥ ‪D U n U 0 .q n1‬‬

‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ  ‪ U n‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ N‬ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ ‪U n 2.(3)n‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ‪ U n‬ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ U 0.qn‬ﺤﻴﺙ ‪ U 0 2‬ﻭ ‪q 3‬‬‫ﻤﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪ ، N‬ﺍﻟﺤﺩ ﺫﻭ ﺍﻟﺩﻟﻴل ‪ n‬ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻫﻭ‬‫ﺍﻟﺤﺩ ﺫﻭ ﺍﻟﺩﻟﻴل ‪ n‬ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، N‬ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ 2‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫)‪ (3‬ﻤﻨﻪ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ )‪(3‬‬ ‫¶ ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻭﺍﻷﺴﺎﺱ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺘﻀﻤﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺃﻱ ﺤﺩ ﻤﻥ‬ ‫ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ‪.‬‬ ‫ﺩ‪ .‬ﺨﺎﺼﺔ ﺜﻼﺜﺔ ﺤﺩﻭﺩ )ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ( ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ a,b,c‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ‬‫‪b‬‬ ‫‪ c‬ﻤﻨﻪ ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ‪ b‬ﻨﻀﺭﺏ ‪ a‬ﻓﻲ‬ ‫‪b‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻤﻨﻪ‬ ‫‪c‬‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻨﻀﺭﺏ‬ ‫‪c‬‬ ‫ﻭﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ‬ ‫‪b‬‬‫ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ - a,b,c‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ – ﺤﺩﻭﺩﺍ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ‬ ‫‪a.c‬‬ ‫‪b2‬‬ ‫ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫ﺃﻥ‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪ ،‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ‬ ‫‪a‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﻟﻘﺩ ﺒﺭﻫﻨﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬

‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬ ‫ﺘﻜﻥ ‪ a,b,c‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ‪،‬‬‫‪ -‬ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ - a,b,c‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ – ﺤﺩﻭﺩﺍ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪ ،‬ﻴﻠﺯﻡ ﻭﻴﻜﻔﻲ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪a.c b2‬‬ ‫‪ -‬ﻟﻠﺘﻌﺒﻴﺭ ﻋﻠﻰ ﻜﻭﻥ \" ‪ a.c b2‬ﻨﻘﻭل \" ‪ b‬ﻭﺴﻁ ﻫﻨﺩﺴﻲ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪\" c‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ  ‪ ϑn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ – ﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬‫‪ ،ϑ3 uϑ5 49‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ϑ4‬ﻭﺴﻁ ﻫﻨﺩﺴﻲ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ ‪ϑ3‬ﻭ ‪ ϑ5‬ﻤﻨﻪ‪ϑ3 uϑ5 ϑ42 :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ ϑ42 49‬ﻭﻫﺫﺍ ﻤﻌﻨﺎﻩ ‪ϑ42 49‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ ϑ4 7‬ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ ϑ4 t 0‬ﻓﺈﻥ ‪ϑ4 7‬‬ ‫ﻫـ‪ .‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺎ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ U 2 ,U3 ,....,U n1,U n‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﺔ‬‫ﻟﻨﻔﺭﺽ ﺃﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ - U1,U 2 ,U3 ,....,U n1,U n‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ‬‫ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ – ﻫﻲ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ q‬ﻭﻟﻨﺤﺴﺏ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ S‬ﺤﻴﺙ‪S U1  U 2  U 3  ....  U n1  U n :‬‬ ‫ﻟﻨﺴﺘﻌﻤل ﺍﻟﺠﺩﻭل‪:‬‬‫ﻗﻴﻡ ‪a‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫‪U2‬‬ ‫‪U3‬‬ ‫‪... U n1 U n‬‬‫ﻗﻴﻡ ‪a.q‬‬ ‫‪U2‬‬ ‫‪U3‬‬ ‫‪U4‬‬ ‫‪... U n q.U n‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻴﻡ ‪ a‬ﻫﻭ ‪ S‬ﻭﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻴﻡ ‪ a.q‬ﻫﻭ ‪qS‬‬

‫ﻭ‪) :‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻴﻡ ‪) – ( a‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻗﻴﻡ ‪ ( a.q‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪U1  qU n‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪S  q.S U1  qU n :‬‬ ‫ﺃﻱ ‪S(1  q) U1  qU n‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ U n U1.q n1 : q z 0‬ﻤﻨﻪ ‪q.U n U1.q n‬‬ ‫‪S(1  q) U1  qU n‬‬‫)‪S(1  q‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ : q 0‬ﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩ ‪ S‬ﺒﺎﺴﺘﺜﻨﺎﺀ ﺭﺒﻤﺎ ‪ U1‬ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﻤﻨﻪ ‪S‬‬ ‫ﻭ ‪ U1  U1q n U1‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪S(1  q) U1  U1q n‬‬ ‫)‪S(1  q‬‬ ‫ﻤﻨﻪ ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ‪U1  U1qn :‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪1‬‬ ‫§¨¨©‬ ‫‪1 qn‬‬ ‫¸¸·‪¹‬‬ ‫‪:q z0‬‬ ‫ﻜﺎﻥ‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ‬ ‫‪1 q‬‬ ‫ﻭﻫﻜﺫﺍ ﺒﺭﻫﻨﺕ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ ﻭﻟﺘﻜﻥ ‪ U1,U 2 ,U3 ,....,U n1,U n‬ﺃﻋﺩﺍﺩ‬‫ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ‪ ،‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ - U1,U 2 ,U3 ,....,U n1,U n‬ﻓﻲ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ‬‫ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ – ﺤﺩﻭﺩﺍ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺴﺎﺱ ‪ q‬ﺒﺤﻴﺙ ‪، q z 0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪U1  U 2  U 3  ....  U n1  U n‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫©¨¨§‬ ‫‪1 qn‬‬ ‫¸¸‪·¹‬‬ ‫‪1 q‬‬ ‫ﺒﻌﺒﺎﺭﺍﺕ ﻋﺎﻤﺔ‪:‬‬‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪ ،‬ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪ q‬ﻻ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ ،1‬ﻴﺴﺎﻭﻱ‪:‬‬

‫ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻉ(‬ ‫ﺍﻷﻭل‬ ‫)ﺍﻟﺤﺩ‬ ‫‪u‬‬ ‫¨§©¨‬ ‫‪1 qn‬‬ ‫¸·‪¸¹‬‬ ‫‪1 q‬‬ ‫ﻤﺜﺎل‪:‬‬‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ S‬ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﻴﺙ‪S 1  2  22  23  24  25  26 :‬‬‫‪ S‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻷﺱ ‪ 2‬ﻋﺩﺩ ﺤﺩﻭﺩ ‪S‬‬‫ﻫﻭ‪ 7‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ S‬ﻫﻭ ‪ 1‬ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪S‬‬ ‫‪1u‬‬ ‫‪1 27‬‬ ‫‪1 2‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪S 127‬‬‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪2‬‬‫ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ ﺤﻼ ﻤﻔﺼﻼ ﻭﺘﺴﻠﻁ ﺍﻷﻀﻭﺍﺀ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺒﻭﻗﺔ ﺒﺎﻹﺸﺎﺭﺓ‬ ‫ﻁﺭﺍﺌﻕ‪.‬‬ ‫ﺤﻭل ﺍﻟﻌﻤﻭﻤﻴﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬‫ ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪ ،‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻔﻬﺎ ‪ ، N‬ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪ 3‬ﻭﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ‬‫ﻜل ﺤﺩ‪ ،‬ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل‪ ،‬ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ‪ :‬ﻨﻀﺭﺏ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﻪ ﻓﻲ‬ ‫‪  2‬ﻭﻨﻀﻴﻑ ‪ 5‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻪ‪.‬‬ ‫‪ 1‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ‪U 0‬؟‬ ‫‪ 2‬ﻤﺎ ﻫﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ U n1‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪U n‬‬ ‫‪ 3‬ﺃﺤﺴﺏ ‪U 4 ،U 3 ،U 2 ،U1‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫‪Un‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫* ‪ ، N‬ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ ‪U n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﺭﺒﻌﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪U n‬‬ ‫‪ 2‬ﺃﻭﻀﻊ ﺘﺨﻤﻴﻨﺎ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪U n‬‬ ‫‪ 3‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻨﻅﺭﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ ‪ Wn  ، ϑn  ، U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪ ،‬ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻨﻬﺎ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪N‬‬‫‪Un‬‬ ‫‪n2  n ،ϑn‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪،Wn‬‬ ‫‪3n  1‬‬ ‫ﻴﻠﻲ‪:‬‬ ‫ﻜﻤﺎ‬ ‫ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫ﺒﺤﺩﻫﺎ‬ ‫‪2n  3‬‬ ‫‪5n  1‬‬‫‪ 1‬ﺃﺤﺴﺏ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ  ‪، ϑn  ، Wn‬‬ ‫ ‪U n‬‬‫‪ 2‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ  ‪U n  ، ϑn  ، Wn‬‬ ‫ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬‫ﻗل ﻋﻥ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ  ‪ ، Wn  ، ϑn  ، U n‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪ ، N‬ﺇﻥ ﻜﺎﻨﺕ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﻡ ﻻ ﻭﺫﻟﻙ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﺒﺭﻴﺭ‪.‬‬ ‫‪­®¯ϑ5U0‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪3  5U n‬‬ ‫‪،ϑn‬‬ ‫‪n2  3n ،U n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪6‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n1‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬‫ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ، N‬ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل‬ ‫ ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪2‬‬‫‪1‬‬ ‫ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫)‪(3‬‬ ‫‪ ، N‬ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ϑn ،  2‬‬‫‪4‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ  ‪ U n‬ﻭ ‪ϑn‬‬‫‪ 2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻡ ‪ ، n‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ n‬ﺤﺩﺍ ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻭﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ n‬ﺤﺩﺍ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪. ϑn‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:6‬‬ ‫ ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، N‬ﺒﺤﻴﺙ‪ U6 5 :‬ﻭ ‪U15 40‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻭﺠﺩ ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ  ‪ U n‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل‬ ‫‪ 2‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ  ‪U n‬‬ ‫‪ 3‬ﻫل ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 135‬ﺤﺩ ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ  ‪ U n‬؟‬‫‪ 4‬ﺃﺤﺴﺏ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺨﻤﺴﺔ ﻭﺍﻟﻌﺸﺭﻴﻥ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‬ ‫ ‪U n‬‬ ‫‪ n 5‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪،3‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ ، n‬ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ Sn‬ﺤﻴﺙ‪Sn U3  U 4  ...  U n :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬‫ﻋﻴﻥ ﺜﻼﺜﺔ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻋﻠﻤﺎ ﺃﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 414‬ﻭﺃﻥ ﻭﺍﺤﺩ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪.117‬‬

‫ﺤﻭل ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬‫ ‪ Wn  ، ϑn  ، U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ N‬ﺒﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻤﺔ‪:‬‬ ‫‪Wn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪،ϑn‬‬ ‫‪7,5n‬‬ ‫‪،Un‬‬ ‫‪3.5n‬‬ ‫‪7n‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ 1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻫﻲ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪.‬‬‫‪ 2‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ  ‪Wn  ، ϑn  ، U n‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬‫ ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، N‬ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل ‪  2‬ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪4‬‬‫ﻭﺃﺴﺎﺴﻬﺎ ‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ، N‬ﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ ‪ϑn‬‬ ‫‪3‬‬‫‪ 1‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ  ‪ U n‬ﻭ ‪ϑn‬‬ ‫‪ 2‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‪،‬‬‫ﺃﺤﺴﺏ ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ ، n‬ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ n‬ﺤﺩﺍ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻭﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ n‬ﺤﺩﺍ‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ϑn‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:10‬‬‫ ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، N‬ﻭﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻭﻫﻲ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪ U 3 uU 5 2304‬ﻭ ‪3U 3  U 4 24‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻭﺠﺩ ‪ U 4‬ﺜﻡ ‪ U3‬ﺜﻡ ‪ q‬ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ  ‪U n‬‬

‫‪ 2‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪U n‬‬‫‪ 3‬ﺃﺤﺴﺏ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ Sn‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪Sn U 0  U1  ...  U 2n1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:11‬‬‫‪ 1‬ﻫل ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ 10 ، x ،-5‬ﻓﻲ ﻫﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺤﺩﻭﺩﺍ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ؟‬‫ﻓﻲ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪،α‬‬ ‫‪ α‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪،2‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻗﻴﻤﺔ )ﺃﻭ ﻗﻴﻡ( ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺤﺩﻭﺩﺍ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:12‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬‫‪ 1‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ ، x z 1‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻉ )‪ A(x‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪A(x) 1  x  x2  x3  x 4‬‬‫‪ 2‬ﻨﻔﺭﺽ ‪ ، x z 1‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻉ )‪ B(x‬ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪B(x) x3  x4  x5  x6  x7  x8  x9‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:13‬‬‫ﻓﻲ ‪ 1989/01/01‬ﻜﺎﻥ ﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ ﻤﺩﻴﻨﺔ ‪ 400000A‬ﻨﺴﻤﺔ ﻭﻜﺎﻥ ﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ‬‫ﻤﺩﻴﻨﺔ ‪ B 350000‬ﻨﺴﻤﺔ‪ ،‬ﻟﻭﺤﻅ ﺃﻥ ﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺩﻴﻨﺔ ‪ A‬ﻴﻨﻘﺹ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ‬ ‫‪ 0,5%‬ﻓﻲ ﻜل ﺴﻨﺔ ﻭﺍﻥ ﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺩﻴﻨﺔ ‪ B‬ﻴﺯﺩﺍﺩ ﺒﻨﺴﺒﺔ ﻗﺩﺭﻫﺎ ‪.1%‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ ، n‬ﻨﺴﻤﻲ ‪ an‬ﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺩﻴﻨﺔ ‪ A‬ﻭﻨﺴﻤﻲ ‪bn‬‬ ‫ﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺩﻴﻨﺔ ‪ B‬ﻓﻲ ‪1989  n/01/01‬‬

‫‪ 1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ) ‪ (an‬ﻭ ) ‪ (bn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﺎﻥ ﻫﻨﺩﺴﻴﺘﺎﻥ‬ ‫‪ 2‬ﺃﻋﻁ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ ) ‪ (an‬ﻭ ) ‪(bn‬‬‫‪ 3‬ﻓﻲ ﺃﻭل ﺠﺎﻨﻔﻲ ﻤﻥ ﺃﻴﺔ ﺴﻨﺔ ﻴﺼﺒﺢ ﻋﺩﺩ ﺴﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺩﻴﻨﺔ ‪ B‬ﺃﻜﺒﺭ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺴﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺩﻴﻨﺔ ‪ A‬ﻷﻭل ﻤﺭﺓ؟‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻭﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:14‬‬‫‪Un‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 5n  1‬‬ ‫ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫‪N‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ ‪U n‬‬ ‫‪3n‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﺜﺒﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬‫‪ 2‬ﺃﺤﺴﺏ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n‬ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ Sn‬ﺤﻴﺙ‪Sn U 0  U1  ...  U n :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:15‬‬‫ﺍﺴﺘﺄﺠﺭ ﺸﺨﺹ ﻤﻨﺯﻻ ﺍﺒﺘﺩﺍﺀﺍ ﻤﻥ ‪ 2006/01/01‬ﻟﻤﺩﺓ ﺴﺕ ﺴﻨﻭﺍﺕ‪ ،‬ﺍﻟﺸﺨﺹ‬ ‫ﺃﻤﺎﻤﻪ ﺍﺨﺘﻴﺎﺭﺍﻥ ﻟﻌﻘﺩ ﺍﻹﻴﺠﺎﺭ‪.‬‬‫‪ x‬ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻷﻭل‪ :‬ﻴﺩﻓﻊ ﺍﻟﺸﺨﺹ ‪ 18000DA‬ﻤﻘﺎﺒل ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻴﻘﺒل ﻫﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﺎ ﺴﻨﻭﻴﺎ ﻴﻘﺩﺭ ﺒـ ‪1500DA‬‬‫‪ x‬ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‪ :‬ﻴﺩﻓﻊ ﺍﻟﺸﺨﺹ ‪ 16000DA‬ﻤﻘﺎﺒل ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻭﻴﻘﺒل ﻫﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﺸﺨﺹ ﺍﺭﺘﻔﺎﻋﺎ ﺴﻨﻭﻴﺎ ﻴﻘﺩﺭ ﺒﻨﺴﺒﺔ ‪ 5%‬ﺴﻨﻭﻴﺎ ﻤﻥ ﺇﻴﺠﺎﺭ ﺍﻟﺴﻨﺔ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ‪.‬‬ ‫ﺃﺫﻜﺭ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل ﺍﻻﺨﺘﻴﺎﺭ ﺍﻟﻤﻨﺎﺴﺏ‬

‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻌﻤﻭﻤﻴﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬ ‫‪ 1‬ﻗﻴﻤﺔ ‪:U 0‬‬ ‫™ ﻭﻗﻔﺔ‪:‬‬‫)* ﻨﺒﺩﺃ ﺒﻤﻌﺭﻓﺔ ﺍﻟﺘﺭﻤﻴﺯ ﺍﻟﻤﻭﺍﻗﻑ ﻟﻠﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻭﻫﺫﺍ ﺒﺎﻟﺘﻌﺭﻑ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ  ‪U n‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺘﺭﺠﻤﺔ ﺒﺎﻟﺭﻤﻭﺯ ﻟﻠﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﺍﻟﻠﻐﻭﻴﺔ ﺘﺭﺠﻤﺔ ﺩﻗﻴﻘﺔ(‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ‪ U0‬ﻫﻭ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻭﻤﻨﻪ‪U0 3 :‬‬ ‫‪ 2‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ U n1‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪U n‬‬ ‫ﺇﻋ‪1‬ﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ‪ U n1‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪ U n‬ﻴﻨﺘﺞ ﻋﻥ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‬‫\" ﻟﻠﺤﺼﻭل ﻋﻠﻰ ﻜل ﺤﺩ‪ ،‬ﻴﺨﺘﻠﻑ ﻋﻥ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل‪ ،‬ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪، U n‬‬ ‫ﻨﻀﺭﺏ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻟﻪ ﻓﻲ ‪  2‬ﻭﻨﻀﻴﻑ ‪ 5‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺠﺩﺍﺀ ﺍﻟﻤﺤﺼل ﻋﻠﻴﻪ \"‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻤﻥ ‪ N‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪U n1 2U n  5‬‬ ‫‪ 3‬ﺤﺴﺎﺏ ﻜل ﻤﻥ‪U 4 ،U3 ،U 2 ،U1 :‬‬ ‫ﺒﺎ‪2‬ﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ ﺍﻟﻤﻭﺠﻭﺩﺓ ﻓﻲ ﺍﻟﻔﺭﻉ ﺍﻟﺴﺎﺒﻕ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪U1 2U 0  5 : n 0‬‬ ‫‪2(3)  5‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪U 2 2U1  5 : n 1‬‬ ‫‪2(1)  5‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪U3 2U 2  5 : n 2‬‬ ‫‪2(7)  5‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪U 4 2U3  5 : n 3‬‬ ‫‪2(9)  5‬‬ ‫‪23‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫‪Un‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫* ‪ ، N‬ﺒﺤﺩﻫﺎ ﺍﻟﻌﺎﻡ‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫ ‪U n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 1‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﺭﺒﻌﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪U n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫™ ﻭﻗﻔﺔ‪:‬‬‫)ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻻ ﻴﻌﻨﻲ ‪ U0‬ﻓﻲ ﺠﻤﻴﻊ ﺍﻟﺤﺎﻻﺕ ﻓﻼﺒﺩ ﺃﻥ ﻴﺘﻭﻗﻑ ﻋﻠﻰ‬‫ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻓﻔﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ ‪(U1‬‬ ‫‪U1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ‪ U1 :‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪2 :‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪U2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪ U 2‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪U3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪ U3‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪U4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪17‬‬ ‫‪ U 4‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﻫﻭ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬‫ ‪U n‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﻭﻀﻊ ﺘﺨﻤﻴﻥ ﻓﻴﻤﺎ ﻴﺨﺹ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻷﺭﺒﻌﺔ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﻤ‪1‬ﻥ‬ ‫ﻨﺠﺩ‪ U1  U 2 :‬ﻭ ‪ U 2  U 3‬ﻭ ‪U 3  U 4‬‬ ‫ﻭﻟﺫﺍ ﻨﻘﻭل‪ :‬ﻴﺒﺩﻭ ﻭﻜﺄﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬ ‫‪3‬‬‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻨﻅﺭﻴﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻔﺭﻕ‪U n1  U n :‬‬ ‫‪U n1  U n‬‬ ‫‪§¨n 1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫‬ ‫§¨‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪n‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫©‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫ ‪n(n‬‬ ‫‪n(n  1) 1‬‬ ‫)‪n(n  1‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ n  N * :‬ﻓﺈﻥ‪n(n  1) ! 2 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪n(n  1) 1 ! 1:‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪n(n  1) 1 ! 0 :‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪U n1  U n ! 0 :‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪U n1 ! U n :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ Un‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬‫ ‪، ϑn‬‬ ‫ ‪، U n‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫ﻭﺍﺤﺩﺓ‬ ‫ﻟﻜل‬ ‫ﺍﻷﻭﻟﻰ‬ ‫ﺍﻟﺜﻼﺜﺔ‬ ‫ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‪W3n‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ U 0 0 :‬ﻭ ‪ U1 2‬ﻭ ‪U 2 6‬‬ ‫‪ϑ2‬‬ ‫‪ ϑ1‬ﻭ ‪0‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪ϑ0‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪W2‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪W0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪W0‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪1 :‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻌﺘﺒﺭ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ‪Wn  ، ϑn  ، U n  :‬‬ ‫‪ 1-‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻷﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪N‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ U n1  U n 2n  2 :‬ﻭ ‪2n  2 ! 0‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ ϑn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﻷﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪N‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻭ‪! 0‬‬ ‫‪ϑn1‬‬ ‫‪ ϑn‬‬ ‫‪7‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫)‪(2n  5)(2n  3‬‬ ‫)‪(2n  5)(2n  3‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ Wn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﻷﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﻨﺼﺭ ‪ n‬ﻤﻥ ‪N‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭ ‪U n‬‬ ‫‪Wn1‬‬ ‫‪ Wn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫)‪(5n  6)(5n  1‬‬ ‫)‪(5n  6)(5n  1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:4‬‬ ‫ﺘﻭﻀﻴﺢ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺜﻼﺙ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﺒﺭﻴﺭ‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪6‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ n‬ﻤﻥ ‪ N‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ U n :‬ﺘﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‪:‬‬ ‫‪U n U 0  n.r‬‬

‫‪U0‬‬ ‫‪ r‬ﻭ ‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪2‬‬‫‪1‬‬ ‫ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫ ‪U n‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬‫‪2‬‬ ‫‪ϑn n2  3n -‬‬‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ ϑn‬ﻟﻴﺴﺕ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻷﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻤﻥ ‪ ، N‬ﺍﻟﻔﺭﻕ ‪ ϑn1 ϑn‬ﻟﻴﺱ‬ ‫ﺜﺎﺒﺘﺎ‬ ‫ﺇﺫ‪ϑn1  ϑn 2n  4 :‬‬‫‪ ®¯­W5W0 n17 3  5Wn -‬ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ﻴﻤﻜﻨﻨﺎ ﻜﺘﺎﺒﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﺤﻭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪°­W0 7‬‬ ‫‪Wn‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫‪¯®°5Wn1‬‬ ‫‪5‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﻻ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ ‪ r‬ﻴﺤﻘﻕ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻭﻟﺫﺍ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ W1‬ﻟﻴﺴﺕ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬‫ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪U n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬‫ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻨﺠﺩ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻤﻥ ‪ N ) ، N‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪( U n‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬‫ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﻨﺠﺩ‪:‬‬

‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻤﻥ * ‪ N * ) ، N‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪( ϑn‬‬ ‫‪ϑn‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪13‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬‫‪ 2‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ n‬ﺤﺩﺍ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻭﻫﺫﺍ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫‪ 1n‬ﻭ ‪n z 0‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ Sn‬ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫‪Sn U 0  U 2  .......  U n1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(U‬‬ ‫‪0‬‬ ‫) ‪ U n1‬‬ ‫‪2‬‬‫‪n‬‬ ‫ §¨‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪2n‬‬ ‫‬ ‫‪3‬‬ ‫·¸‬‫‪2‬‬ ‫©‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫)‪ n(2n  3‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ n‬ﺤﺩﺍ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ ϑn‬ﻭﻫﺫﺍ ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪n‬‬ ‫ﻭ‪n z 0‬‬‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ S'n‬ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫‪S'n ϑ1  ϑ2  .......  ϑn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪(ϑ1‬‬ ‫‬ ‫‪ϑn‬‬ ‫)‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪n(n  25‬‬ ‫‪8‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 6‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ U n  :‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ N‬ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬‫‪ U 6 5‬ﻭ ‪U15 40‬‬‫‪ 1‬ﺍﻴﺠﺎﺩ ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻭﺤﺩﻫﺎ ﺍﻷﻭل‪:‬‬

‫™ ﻭﻗﻔﺔ‪:‬‬‫)ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺇﺫﺍ ﺃﻋﻁﻲ ﺤﺩﺍﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﺍﻥ ﻓﺈﻨﻪ ﺒﺎﻹﻤﻜﺎﻥ ﺍﻴﺠﺎﺩ‬‫ﺍﻷﺴﺎﺱ ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻤﻊ ﺘﻭﻅﻴﻑ ﻫﺫﻴﻥ ﺍﻟﺤﺩﻴﻥ ﻭﻟﻴﺴﺕ‬ ‫ﻫﻨﺎﻙ ﻀﺭﻭﺭﺓ ﻻﻴﺠﺎﺩ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻷﻭل ﺃﻭﻻ(‬ ‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ U15 U 6  (15  6)r :‬ﺤﻴﺙ ‪ r‬ﻫﻭ ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪U n‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪ 40 5  9r :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪r 5 :‬‬ ‫‪ -‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪U 6 U 0 (6  0)r :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪U 0 U 6  6r :‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪U 0 5  6(5) :‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‪ 2‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ  ‪U n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪N‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪U n U 0  nr :‬‬ ‫)‪35  n(5‬‬ ‫‪5n  35‬‬ ‫‪ 3‬ﻟﻨﺒﺤﺙ ﺇﻥ ﻜﺎﻥ )‪ (135‬ﺤﺩﺍ ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪U n‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ )‪ (135‬ﺤﺩﺍ ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪n0‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪U n0 135‬‬ ‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ‪ U n0 135 :‬ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪ 5n0  35 135 :‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪n0 34 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ )‪ (135‬ﺤﺩ ﻤﻥ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﺇﺫ‪135 U34 :‬‬‫‪ 4‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﺨﻤﺴﺔ ﻭﺍﻟﻌﺸﺭﻴﻥ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻴﺔ‬ ‫ ‪U n‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ‪ S‬ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪S U 0  U1  .....  U 24‬‬ ‫™ ﻭﻗﻔﺔ‪:‬‬‫)ﺃﻱ ﺤﺩ ﻨﺭﻴﺩ ﺤﺴﺎﺒﻪ ﻴﻜﻭﻥ ﺍﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻓﻲ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪( U n‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪U 0‬‬ ‫‪ U 24‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪35‬‬ ‫‬ ‫)‪(85‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪625‬‬‫‪ 5‬ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ ﺍﻜﺒﺭ ﻤﻥ ‪3‬‬‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ Sn‬ﺤﻴﺙ‪Sn U 3  U 4  ........  U n :‬‬‫ﻋﺩﺩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ﻫﻭ‪ n  31 :‬ﺃﻱ‪n  2 :‬‬‫‪Sn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(U 3‬‬ ‫‪Un‬‬ ‫)‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(20‬‬ ‫‬ ‫‪(5n‬‬ ‫‬ ‫))‪35‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪n  2(5n  55‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:7‬‬

‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺜﻼﺜﺔ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺔ ﺒﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫ﻤﺠﻤﻭﻉ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 414‬ﻭﺃﺤﺩ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪117‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‪ a,b,c :‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪a  b  c 414 -‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺤﺴﺎﺒﻲ ﻨﺠﺩ‪a  c 2b :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻭﺒﺎﻟﺘﻌﻭﻴﺽ ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪2b  b 414‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪b 138 :‬‬ ‫‪ -‬ﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ a 117‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪ a  b  c 414‬ﺘﻌﻨﻲ‪117  138  c 414 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪c 159 :‬‬ ‫ﻭﻓﻲ ﺤﺎﻟﺔ ‪ c 117‬ﻨﺠﺩ‪:‬‬ ‫‪ a  b  c 414‬ﺘﻌﻨﻲ ‪a  138  117 414‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪a 159 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻨﺠﺩ‪:‬‬‫) ‪ a 117‬ﻭ ‪ b 138‬ﻭ ‪ ( c 159‬ﺃﻭ ) ‪ a 159‬ﻭ ‪ b 138‬ﻭ ‪( c 117‬‬

‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﻜﻼ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ‪ Wn  ، ϑn  ، U n  :‬ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ n‬ﻤﻥ ‪U n 3.5n : N‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪U n1 3.5n1 3 u 5n u 5 5 uU n :‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪ 5‬ﻫﻭ ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ  ‪U n‬‬ ‫‪ϑn‬‬ ‫‪7,5n‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪N‬‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ϑn1‬‬ ‫‪7,5n‬‬ ‫‪7,5n u 7,5‬‬ ‫‪7,5n‬‬ ‫‪u 7,5‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪ϑ1n 7,5 uϑn :‬‬‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ ϑn‬ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ ‪ 7,5‬ﻫﻭ ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ϑn‬‬ ‫‪Wn‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ n‬ﻤﻥ ‪: N‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل‬ ‫‪7n‬‬ ‫‪Wn1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬ ‫‪7 n1‬‬ ‫‪7n‬‬ ‫‪7‬‬‫ ‪Wn‬‬ ‫ﻫﻭ ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ Wn‬ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ﺍﻟﺜﺎﺒﺕ‬ ‫‪7‬‬ ‫‪ 2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﻜل ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺎﺕ  ‪Wn  ، ϑn  ، U n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻤﻥ ‪: N‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪U n1  U n 3 u 5n u 5  3u 5n :‬‬ ‫)‪3u 5n (5 1‬‬ ‫‪3u5n u 4‬‬

‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪ 3u 5n u 4 ! 0 :‬ﻓﺈﻥ‪U n1  U n ! 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬‫‪ϑn1  ϑn‬‬ ‫‪7,5n‬‬ ‫‪u 7,5‬‬ ‫‬ ‫‪7,5n‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7,5n‬‬ ‫‪7,5‬‬ ‫‪ 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪7,5n‬‬ ‫‪u 6,5‬‬ ‫‪2‬‬‫‪ϑn1  ϑn ! 0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫‪7,5n‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪6,5‬‬ ‫!‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ ϑn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬‫‪Wn1  Wn‬‬ ‫‪21 2‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪7n u 7  7n‬‬ ‫‪2‬‬ ‫¨§‬ ‫‪1‬‬ ‫·¸‪ 1‬‬ ‫‪7n‬‬ ‫©‬ ‫‪7‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ¨§‬ ‫‪6‬‬ ‫¸·‬ ‫‪7n‬‬ ‫©‬ ‫‪7‬‬ ‫‪¹‬‬‫‪Wn1  Wn‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ ¨§‬ ‫‪6‬‬ ‫¸·‬ ‫‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪7n‬‬ ‫©‬ ‫‪7‬‬ ‫‪¹‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ Wn‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬‫‪ 1‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺘﻴﻥ  ‪ U n‬ﻭ ‪ϑn‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ‪N‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪U n U1 u 4n1 :‬‬ ‫‪ϑn‬‬ ‫‪ϑ0 u 5n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬

‫‪ 2‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ n‬ﺤﺩﺍ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪Sn U1  U 2  ......  U n :‬‬‫‪U1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪4n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ(‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫) ‪Sn‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ ‪4n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(4n‬‬ ‫)‪ 1‬‬ ‫‪3‬‬‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ n‬ﺤﺩﺍ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ ϑn‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ﻏﻴﺭ‬ ‫ﻤﻌﺩﻭﻡ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪S'n ϑ0  ϑ1  ......  ϑn1 :‬‬‫‪ϑ0‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ(‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ‬ ‫) ‪Sn‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪(5n‬‬ ‫)‪ 1‬‬ ‫‪12‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:10‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ  ‪ U n‬ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪ ،‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ ، N‬ﻭﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩﻫﺎ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪ U 3 uU 5 2304‬ﻭ ‪3U 3  U 4 24‬‬ ‫‪ 1‬ﺇﻴﺠﺎﺩ ‪ U 4‬ﺜﻡ ‪ U3‬ﺜﻡ ‪ q‬ﺃﺴﺎﺱ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ  ‪U n‬‬ ‫‪ -‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ U 4 :‬ﻭﺴﻁ ﻫﻨﺩﺴﻲ ﻟﻠﻌﺩﺩﻴﻥ‪ U3 :‬ﻭ ‪U5‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‪U 3 uU 5 U 42 :‬‬

‫ﻭﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪U3 uU5 2304 :‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‪U 42 2304 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪ U 4 48 :‬ﺃﻭ ‪U 4 48‬‬‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺠﻤﻴﻊ ﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪ U n‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻓﺈﻥ‪U 4 48 :‬‬‫‪ -‬ﻭﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺴﺎﻭﺍﺓ‪3U3  U 4 24 :‬‬ ‫ﻨﺠﺩ‪3U 3 U 4  24 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪U3 24 :‬‬‫‪ -‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺘﻌﻭﻴﺽ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻴﺔ‪:‬‬ ‫‪U4 U3 uq‬‬ ‫‪q‬‬ ‫‪U4‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪U3‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪q 2 :‬‬‫‪ 2‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩ ﺍﻟﻌﺎﻡ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪U n‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‪ ،‬ﻋﻨﺩﺌﺫ‪:‬‬‫‪Un‬‬ ‫‪U 3 u q n3‬‬ ‫‪24 u 2n3‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪23‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪U n 3u 2n :‬‬‫‪ 3‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ Sn‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻁﺒﻴﻌﻲ ‪n‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪Sn U 0  U1  ...  U 2n1 :‬‬‫‪ Sn‬ﻫﻭ ﻤﺠﻤﻭﻉ ‪ 2n  2‬ﺤﺩﺍ ﺍﻷﻭﻟﻰ ﻟﻠﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ  ‪U n‬‬ ‫‪Sn‬‬ ‫‪U‬‬ ‫‪u‬‬ ‫ ‪q2n2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪q 1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﻟﻜﻥ‪U 3 U 0 u q3 :‬‬

‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪24 U 0 u 23 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪U 0 3 :‬‬ ‫‪ Sn‬‬ ‫‪22n2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2 1‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ‪3 22n2 1 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:11‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻟﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺇﻤﻜﺎﻨﻴﺔ ﻭﺠﻭﺩ ‪x‬‬‫ﺍﻟﺠﻤﻠﺔ ‪ 10 ، x ،-5‬ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺤﺩﻭﺩﺍ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‬ ‫ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪) 10 u (5) x2 :‬ﺤﺴﺏ ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ(‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ‪x2 50 :‬‬ ‫ﻭﻫﺫﻩ ﺍﻷﺨﻴﺭﺓ ﻗﻀﻴﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻻ ﺘﻭﺠﺩ ﻗﻴﻡ ﻟـ ‪ x‬ﺘﺤﻘﻕ ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺏ‬‫ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫ﻫﺫﺍ‬ ‫ﻓﻲ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪،x‬‬ ‫‪،2‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﻗﻴﻡ‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻤﻥ ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪،x‬‬ ‫‪،2‬‬ ‫ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ(‬ ‫ﺍﻟﻭﺴﻁ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬ ‫)ﺤﺴﺏ‬ ‫‪8‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺘﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪x2 :‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪16‬‬ ‫ﺃﻥ‪:‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭﻫﺫﺍ ﻴﻌﻨﻲ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫­‬ ‫‪4‬‬ ‫‪,‬‬ ‫½‪4‬‬ ‫ﻫﻲ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻁﻠﻭﺒﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻗﻴﻡ‬ ‫®‬ ‫‪3‬‬ ‫¾‬ ‫¯‬ ‫‪3‬‬ ‫¿‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:12‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ x‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ‬‫‪ 1‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻉ )‪ A(x‬ﻤﻊ ﺍﻟﻔﺭﺽ ﺃﻥ ‪x z 1‬‬ ‫)ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ(‬ ‫‪A(x) x5 1‬‬ ‫‪x 1‬‬‫‪ 2‬ﺇﻋﻁﺎﺀ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺃﺨﺭﻯ ﻟﻠﻤﺠﻤﻭﻉ )‪ B(x‬ﻤﻊ ﺍﻟﻔﺭﺽ ﺃﻥ‪x z 1 :‬‬ ‫)ﺒﺎﻻﺴﺘﻔﺎﺩﺓ ﻤﻥ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺤﺩﻭﺩ ﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ(‬ ‫)‪B(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪u‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:13‬‬ ‫™ ﻭﻗﻔﺔ‪:‬‬‫)ﺃﻫﻡ ﻤﺎ ﻓﻲ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻨﻭﻉ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻫﻭ ﺍﻟﺘﺭﺠﻤﺔ ﺍﻟﺴﻠﻤﻴﺔ ﻟﻠﻤﻘﺩﻤﺔ ﺍﻟﻠﻐﻭﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻌﻠﻘﺔ ﺒﺎﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺇﻟﻰ ﻋﺒﺎﺭﺍﺕ ﺭﻴﺎﻀﻴﺔ(‬ ‫‪ 1‬ﺍﻹﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ  ‪ Qn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ‪ n‬ﻋﺩﺩﺍ ﻁﺒﻴﻌﻴﺎ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺔ ﺍﻟﻤﻌﻁﺎﺓ ﻋﻥ ﺴﻜﺎﻥ ﺍﻟﻤﺩﻴﻨﺔ ‪ A‬ﻨﺠﺩ ﺃﻥ‪:‬‬ ‫‪Qn5‬‬ ‫‪Qn‬‬ ‫‬ ‫‪5‬‬ ‫‪Qn‬‬ ‫‪100‬‬ ‫‪95‬‬ ‫‪Qn‬‬ ‫‪100‬‬‫‪q1‬‬ ‫‪95‬‬ ‫ﺤﻴﺙ‪:‬‬ ‫‪q1‬‬ ‫ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ ﺃﺴﺎﺴﻬﺎ‬ ‫ ‪Qn‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ‬ ‫‪100‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻻﺜﺒﺎﺕ ﺍﻥ ) ‪ (bn‬ﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ ﻫﻨﺩﺴﻴﺔ‬