دروس مادة الرياضيات للفصل الثاني اداب و فلسفة سنة ثالثة ثانوي

‫ﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫ﻴﺘﻀﻤﻥ ﻫﺫﺍ ﺍﻹﺭﺴﺎل ﺍﻟﻤﻭﺍﻀﻴﻊ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ‬ ‫‪ -‬ﻤﻔﻬﻭﻡ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‬‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺩﻭﺍل ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻭﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ‬ ‫‪ -‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل‬ ‫‪ -‬ﺤﻠﻭل ﺍﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫ﺍﻟ ‪‬ﺩﻭﺍل ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺤﻭل ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ ‪:‬‬ ‫• ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫• ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻭﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ‬ ‫• ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺤل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﻭﻤﺘﺭﺍﺠﺤﺎﺕ‬ ‫• ﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‬ ‫• ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻻﻨﻌﻁﺎﻑ ﻟﻤﻨﺤﻥ‬ ‫• ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻟﺘﺨﻤﻴﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ﻋﻨﺩ‬ ‫∞ ‪ +‬ﻭ ∞ ‪ −‬ﻭﺘﺤﺩﻴﺩﻫﺎ‬ ‫ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻭﺘﻔﺴﻴﺭﻫﺎ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ -‬ﻤﻘﺩﻤﺔ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل )ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞‪ -‬ﺃﻭ ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞‪( +‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫‪ -‬ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‬‫‪ -‬ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ )ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻭﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ(‬

‫ﻤﻘﺩﻤﺔ‬ ‫ﻤﺎﺩﺓ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ‬ ‫ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺔ ﺘﺅﺜﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺒﻨﻴﺔ ﺍﻟﺫﻫﻨﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻌﹼﻠﻡ ﻷﻥ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻭﺴﻴﻠﺔ ﻟﺘﻜﻭﻴﻥ ﺍﻟﻔﻜﺭ ﻭﺃﺩﺍﺓ ﻻﻜﺘﺴﺎﺏ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺭﻑ‪.‬‬ ‫ﺘﺴﺎﻫﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻭﺍﺩ ﺍﻷﺨﺭﻯ ﻓﻲ ﺤﺼﺭ ﻤﻠﻤﺢ ﺍﻟﺘﻠﻤﻴﺫ ﻋﻨﺩ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﺭﺤﻠﺔ ﺩﺭﺍﺴﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ‬‫ﺘﻡ ﺒﻨﺎﺀ ﺒﺭﻨﺎﻤﺞ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻟﻠﺴﻨﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺜﺎﻨﻭﻱ ﺸﻌﺒﺘﻲ ﺁﺩﺍﺏ ﻭﻓﻠﺴﻔﺔ‪ ،‬ﺁﺩﺍﺏ ﻭﻟﻐﺎﺕ ﻭﻓﻕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‬ ‫ﺒﺎﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﺘﻲ ﻤﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﺎ ﺍﻷﺴﺎﺴﻴﺔ ﺍﻟﺘﻜﻴﻑ ﻤﻊ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ﻭﺍﻟﻭﺍﻗﻊ ﺍﻟﻤﻌﺎﺼﺭ ﺍﻟﻤﺘﺤﻭل ﺒﺎﺴﺘﻤﺭﺍﺭ‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﻓﻲ ﺘﻌﹼﻠﻡ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻴﺎﺕ ﻴﺴﺎﻫﻡ ﻓﻲ ﺒﻨﺎﺀ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻭﻀﺎ ﻋﻥ ﺇﻋﻁﺎﺌﻬﺎ ﺠﺎﻫﺯﺓ‪ ،‬ﻓﻌﻠﻴﻪ ﺭﺒﻁ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺭﻑ ﺒﺎﻟﻭﻀﻌﻴﺎﺕ ﻴﺠﻌل ﺍﻟﻤﺘﻌﹼﻠﻡ ﻴﺅﺜﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺩﺍﺨﻠﻲ ﻭﺍﻟﻭﺴﻁ ﺍﻟﺨﺎﺭﺠﻲ ﻟﻠﻤﺩﺭﺴﺔ‪.‬‬ ‫ﺘﺤﺘﻭﻱ ﻜل ﻭﺤﺩﺓ ﻤﻥ ﻭﺤﺩﺍﺕ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻜﺘﺎﺏ ﻋﻠﻰ ‪:‬‬‫ﺃﻨﺸﻁﺔ ﺘﻤﻬﻴﺩﻴﺔ ﺃﻭ ﻟﻠﻤﺭﺍﺠﻌﺔ ﺘﺘﺒﻌﻬﺎ ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﺘﻬﻴﺊ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺭﺱ ﺒﻨﺘﺎﺌﺠﻪ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺎﺕ ﻭ ﺃﻤﺜﻠﺔ‬ ‫‪2‬‬‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻤﺤﻠﻭﻟﺔ ﺤﻼ ﻤﻔﺼﻼ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺘﻁﺒﻴﻕ ﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺩﺭﺱ ﻭ ﺘﺴﻠﻁ ﺍﻷﻀﻭﺍﺀ ﻋﻠﻰ ﻁﺭﺍﺌﻕ‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻬﺠﻴﺎﺕ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪ /‬ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺒﺴﻴﻁﺔ ﺘﻤﻜﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﺘﻤ ‪‬ﺭﻥ ﻭ ﺍﺨﺘﺒﺎﺭ ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ‬ ‫‪5‬‬ ‫ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﻤﺸﻜﻼﺕ ﻟﻠﺒﺤﺙ ﻭﺍﻟﺘﻌﻤﻕ ﻗﻠﻴﻼ‬ ‫ﻭﻓﻲ ﻤﺅﺨﺭﺓ ﺍﻟﻭﺤﺩﺓ ﺍﻟﺤﻠﻭل )ﺃﻭ ﻨﺘﺎﺌﺞ ( ﻟﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﺃﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ ﻤﺨﺘﺎﺭﺓ‬

‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻷﻭل )ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞‪ -‬ﺃﻭ ﺒﺠﻭﺍﺭ ∞‪( +‬‬ ‫‪f(x)=2x2‬‬ ‫♦ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ - 1‬ﺸﻜل ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ - 2‬ﺃﻜﻤل ﺠﺩﻭل ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻭﺍﻟﻲ‪:‬‬‫‪x 10 102 103 104 105‬‬‫)‪f(x‬‬‫‪f ′(x) = 4x‬‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ؟‬ ‫‪ - 3‬ﺃﻋﺩ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪-105،-104، -103، -102، -10: x‬‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ؟‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‬ ‫‪ - 1‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ f، IR‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻭﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒـ‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x〉 0‬ﻓﺈﻥ ‪f ′( x)〉 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x〈0 :‬ﻓﺈﻥ ‪f ′( x)〈0 :‬‬

‫‪x‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻨﻠﺨﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f ′( x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫)‪f ′(x‬‬ ‫∞‪-∞ 0 +‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴــﺭﺍﺕ ‪:‬‬ ‫)‪f ′(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫∞‪0 +‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪+‬‬‫‪x 10‬‬ ‫‪102 103‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪f(0) =0 :‬‬ ‫‪ 2‬ﺇﻜﻤﺎل ﺠﺩﻭل ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪:‬‬ ‫‪104 105‬‬‫)‪f(x) 400=4(10‬‬ ‫‪40000‬‬ ‫‪4000000‬‬ ‫‪400000000‬‬ ‫‪40000000000‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫=‬ ‫‪4(10)4‬‬ ‫‪4(10)6‬‬ ‫‪4(10)8‬‬ ‫‪4(10)10‬‬ ‫*ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺄﺨﺫ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻓﺄﻜﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل[ ∞‪ ] 0 ،+‬ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻡ )‪ f(x‬ﺘﺼﺒﺢ ﺃﻜﺒﺭ ﻓﺄﻜﺒﺭ‬ ‫‪ - 3‬ﺠﺩﻭل ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل [ ‪] -∞ ، 0‬‬‫‪x‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪-102‬‬ ‫‪-103‬‬ ‫‪-104‬‬ ‫‪-105‬‬‫=‪f(x) 400=4(10)2 40000= 4000000= 400000000= 40000000000‬‬ ‫‪4(10)10‬‬ ‫‪4(10)4‬‬ ‫‪4(10)6‬‬ ‫‪4(10)8‬‬ ‫* ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺄﺨﺫ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﻓﺄﺼﻐﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل [ ‪ ] -∞ ، 0‬ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻡ )‪ f(x‬ﺘﺼﺒﺢ ﺃﻜﺒﺭ ﻓﺄﻜﺒﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﺨﻤﻴﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﺒﺘﺨﻤﻴﻥ ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ )‪ f(x‬ﻫﻲ ∞‪ +‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل‪ x‬ﺇﻟﻰ ∞‪+‬‬ ‫ﻜﺫﺍﻟﻙ ‪ :‬ﻨﻘﻭل ﺇﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ )‪ f(x‬ﻫﻲ ∞‪ +‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل‪ x‬ﺇﻟﻰ ∞‪-‬‬

‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ‬ ‫♦ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‬‫)‪g(x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x+2‬‬ ‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻠﻰ }‪ IR-{0‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬ ‫‪x‬‬‫‪ - 1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ )‪ g(x‬ﺘﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪g ( x)=a + b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ b ; a‬ﻋﺩﺩﻴﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﻴﻥ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﻤﺎ‬‫‪ - 2‬ﺃﺤﺴﺏ )‪ g ′( x‬ﻭﺃﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺘﻬﺎ ﺜﻡ ﺸﻜل ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫‪x -10 -103 -105 -107‬‬ ‫‪ - 3‬ﺃﻜﻤل ﺠﺩﻭل ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫)‪g(x‬‬ ‫‪10 103 105 107‬‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‬ ‫‪ - 1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ }‪ IR-{0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ‪b=2 , a= 3 :‬‬ ‫‪g(x) = 3 +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫)‪g (x‬‬ ‫=‬ ‫‪3 x/‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x/‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ - 2‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ )‪: g ′( x‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻗﺎﺒﻠﺘﻴﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ *‪، IR‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ‬‫) ‪g '( x ) = ( 3 x + 2 )' ( x ) − ( x )' ( 3 x + 2‬‬ ‫ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ *‪ IR‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬‫‪g '( x ) = − 2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ) ‪ g '( x ) = 3 ( x ) − 1 ( 3 x + 2‬ﺇﺫﻥ‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪: g ′( x‬‬ ‫‪g '( x)〈0‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ }‪ IR-{0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ [ ‪] 0 ،+∞ [ ، ] -∞ ، 0‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: g‬‬

‫‪x‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪g′(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬‫)‪g(x‬‬ ‫‪ -3‬ﺇﻜﻤﺎل ﺠﺩﻭل ﺍﻟﻘﻴﻡ ‪:‬‬ ‫‪x -10‬‬ ‫‪-103‬‬ ‫‪-105 10 103‬‬ ‫‪105‬‬ ‫‪g(x) 2.8 2.9998 2.99998 3.2 3.002 3.00002‬‬ ‫*ﺍﻟﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﻜﻠﻤﺎ ﻴﺄﺨﺫ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﻓﺄﺼﻐﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل[ ‪ ] -∞ ، 0‬ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻡ )‪ g(x‬ﺘﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪3‬‬‫ﻜﻠﻤﺎ ﻴﺄﺨﺫ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻓﺄﻜﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل[ ∞‪ ] 0 ،+‬ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻡ )‪ g(x‬ﺘﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪3‬‬ ‫*ﻨﺘﻴﺠﺔ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﻴﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0‬ﻷﻥ‬ ‫‪g (x) = 3 + x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ‬ ‫♦ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ f‬ﺒﺘﻤﺜﻴﻼﺘﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪ ،‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻯ ﺍﻟﻤﻨﺴﻭﺏ ﺇﻟﻰ ﻤﻌﻠﻡ‬ ‫ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪) (O ; I ; J‬ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻟﺸﻜل (‬ ‫‪y‬‬ ‫‪xa f (x)=x3‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫→‪1 J‬‬ ‫→‪I‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪12345678 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬

y xa ( x)= 18 x7 f654 (Cf)321 J→ I→-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 12345678 x-1-2-3-4y87 xa f (x)=x2654 (Cf)321 J→ →I-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 12345678 x-1-2-3-4y xa f (x)=−x24 (Cf)321J→ I→-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 12345678x-1-2-3-4-5-6-7-8

‫ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x‬ﻋﻨﺼﺭﺍ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ } ‪ {102 , 104 , 106‬ﺃﺤﺴﺏ )‪ f(x‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ‪.‬‬‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻘﺘﺭﺤﺔ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻷﻤﺜﻠﺔ‪ ،‬ﻭﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻹﺠﺎﺒﺎﺕ ‪ 1، 2، 3‬ﻤﺎ ﻫـﻲ ﺍﻹﺠﺎﺒـﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺨﺘﺎﺭﻫﺎ ﻹﺘﻤﺎﻡ ﺍﻟﺠﻤل ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺄﺨﺫ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻓﺄﻜﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل[ ∞‪ ] 0 ،+‬ﻓﺈﻥ ﻗﻴﻡ )‪ f(x‬ﺘﺼﺒﺢ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﻜﺒﺭ ﻓﺄﻜﺒﺭ‬ ‫‪ 2‬ﺘﻘﺘﺭﺏ ﻤﻥ ﻋﺩﺩ ﻤﻌﻴﻥ ‪،‬ﺤﺩﺩ ﻓﻲ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺤﺎﻟﺔ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪ 3‬ﺴﺎﻟﺒﺔ‪ ،‬ﻭﻟﻜﻥ ﻗﻴﻤﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ﻜﺒﻴﺭﺓ‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ 1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x a f ( x) = x‬‬ ‫‪x 102 104 106‬‬ ‫‪f(x) 106 1012 1018‬‬ ‫ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﺍﻷﻭل ‪1‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬‫‪x 102‬‬ ‫‪104 106‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.0001‬‬ ‫‪0.000001‬‬ ‫ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﺍﻟﺜﺎﻨﻲ ‪ 2‬ﻭﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺫﻱ ﺘﻘﺘﺭﺏ ﻤﻨﻪ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻫﻭ ‪ 0‬ﺒﻘﻴﻡ ﻤﻭﺠﺒﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x a f ( x) = x‬‬ ‫‪x 102 104 106‬‬ ‫‪f(x) 104 108 1012‬‬ ‫ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﺍﻷﻭل ‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 4‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x a f ( x) = − x‬‬ ‫‪x 102 104 106‬‬ ‫‪f(x) -104 -108 -1012‬‬

‫ﻨﺨﺘﺎﺭ ﺍﻟﺠﻭﺍﺏ ﺍﻟﺜﺎﻟﺙ ‪3‬‬ ‫ﻭﺒﺘﺨﻤﻴﻥ ﻨﻘﻭل‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪ +‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪+‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ 0‬ﺒﻘﻴﻡ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪+‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪ +‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪+‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞ ‪ -‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ∞‪+‬‬‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ )ﺍﻟﺭﺒﻁ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻭﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ(‬ ‫♦ ﺍﻟﻤﻌﻁﻴﺎﺕ ﻭ ﺍﻷﺴﺌﻠﺔ‬ ‫‪ 1‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪f(x)=x3-3x+2 :‬‬‫ﻤﻥ ﺒﻴﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﻴﻥ )ﺃﻨﻅﺭ ﺍﻟﺸﻜل(‪ ،‬ﺤﺩﺩ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫‪X‬‬ ‫‪-∞ -2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+-‬‬ ‫‪+‬‬‫)‪f ′(x‬‬‫‪f(x) 4‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪-∞ 0‬‬

‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(y=2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(1‬‬ ‫→‪J→ I‬‬‫‪-8‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل)‪(2‬‬ ‫)‪(y=2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪J→ →I‬‬‫‪-8‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪ 2‬ﺤل ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪f ( x)〈0, f ( x)〉 0, f ( x)=0, f ( x)=2 :‬‬ ‫‪ 3‬ﻭﺒﺼﻔﺔ ﻋﺎﻤﺔ ‪،‬ﻨﺎﻗﺵ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ f(x)=m‬ﺤﻴﺙ ‪m∈IR‬‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‬ ‫‪ 1‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻭﺍﻓﻕ ﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺃﻋﻼﻩ ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )ﺍﻟﺸﻜل ‪(2‬‬ ‫‪ 2‬ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬ ‫• ‪f(x)=0‬‬ ‫ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ)‪ (Cf‬ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻘﻁﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪،-2‬ﻭﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ 1‬ﺇﺫﻥ‬ ‫‪ f(x)=0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ )‪ (x=-2‬ﺃﻭ )‪(x=1‬‬‫• ‪ f ( x)〉 0‬ﻤﻌﻨﺎﻩ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ)‪ (Cf‬ﻴﻘﻊ ﻓﻭﻕ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪ ،‬ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ﻓﺈﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪] - 2 ،1 [∪]1,+‬‬‫• ‪ f ( x)〈 0‬ﻤﻌﻨﺎﻩ )‪ (Cf‬ﻴﻘﻊ ﺘﺤﺕ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‪ ،‬ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ﻓﺈﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋـﺔ ﺍﻟﺤﻠـﻭل ﻫـﻭ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل [ ‪] -∞ ، - 2‬‬ ‫• ‪ f ( x)=2‬ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻴﻘﻁﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆(‬

‫ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ ، y=2‬ﻭﻤﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ﻓﺈﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ x=0‬ﺃﻭ ‪ x= 3‬ﺃﻭ ‪x=− 3‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻴﻤﻜﻥ ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f ( x)=2‬ﺠﺒﺭﻴﺎ ﻟﻠﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ‪:‬‬ ‫‪ f ( x) = 2‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪x3-3x+2 =2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x3-3x =0 :‬ﺃﻱ ‪x(x2-3)=0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ (x=0):‬ﺃﻭ )‪ (x2-3=0‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪ x=0‬ﺃﻭ ‪ x= 3‬ﺃﻭ ‪x=− 3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f ( x) = 2‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪{ }x∈ − 3,0, 3‬‬ ‫‪ 3‬ﺍﻟﻤﻨﺎﻗﺸﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪:‬‬‫ﺇﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f(x)=m‬ﺤﻴﺙ ‪ m∈IR‬ﻴﺅﻭل ﺤﻠﻬﺎ ﻓﻲ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻓﻭﺍﺼل ﻨﻘﻁ ﺘﻘـﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨـﻰ )‪ (Cf‬ﻤـﻊ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )’∆( ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪y=m :‬‬ ‫‪ m∈]-∞,0[(1‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f(x)=m‬ﺤﻼ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﺴﺎﻟﺒﺎ‬ ‫‪ m=0 (2‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f(x)=m‬ﺤﻼﻥ ﻫﻤﺎ ‪) x=1:‬ﺤل ﻤﻀﺎﻋﻑ(‪x=-2،‬‬ ‫‪ m∈]0,2[ (3‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ f(x)=m‬ﺜﻼﺜﺔ ﺤﻠﻭل ‪:‬ﺤﻼﻥ ﻤﻭﺠﺒﺎﻥ ﻭﺤل ﺴﺎﻟﺏ‬ ‫‪ m=2(4‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f(x)=m‬ﺜﻼﺜﺔ ﺤﻠﻭل ﻫﻲ ‪:‬‬ ‫‪ x=0‬ﺃﻭ ‪ x= 3‬ﺃﻭ ‪x=− 3‬‬ ‫‪ m∈]2,4[ (5‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ f(x)=m‬ﺜﻼﺜﺔ ﺤﻠﻭل ‪ :‬ﺤﻼﻥ ﺴﺎﻟﺒﺎﻥ ﻭﺤل ﻤﻭﺠﺏ‬ ‫‪ m=4(6‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ f(x)=m‬ﺤﻼﻥ ﻫﻤﺎ‪) x= -1:‬ﺤل ﻤﻀﺎﻋﻑ(‪،‬ﻭﺤل ﻤﻭﺠﺏ‬ ‫‪ m∈]4,+∞[ (7‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‪ f(x)=m‬ﺤﻼ ﻭﺍﺤﺩﺍ ﻤﻭﺠﺒﺎ‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻭﺍﺘﺠﺎﻩ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭ‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﻨﻘﺒل ﺍﻟﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺩﻭﻥ ﺒﺭﻫﺎﻥ‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ‬ ‫ﺃ• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ f '( x)〉 0 ، I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﺏ• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ f ' ( x)〈0 ، I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﺝ• ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ f ' ( x) = 0 ، I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠﺔ‬ ‫‪ 1‬ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪f(x)=2x2+2x-5 :‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ' ‪ f‬ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪ f '( x)=4 x + 2‬ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f ' ( x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪2‬‬‫)‪f ' (x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x=−1‬‬ ‫‪ f '( x)=0‬ﻴﻜﺎﻓﺊ‬ ‫‪2‬‬ ‫⎤‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‬ ‫‪,−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎡‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫∈‪x‬‬ ‫⎤‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‬ ‫‪,−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎡‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪2‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪2‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫⎤‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‪1 , +‬‬ ‫⎡‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫∈‪x‬‬ ‫⎤‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‪1 ,+‬‬ ‫⎡‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪2‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪2‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ f ( − 1 ) = − 11‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻋﻅﻤﻰ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪ f 2‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪f(x)= -x3 +3x +4 :‬‬ ‫‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ f '( x ) = −3 x 2 + 3‬ﻭﻤﻨﻪ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '( x‬ﻤﻠﺨﺼﺔ ﺒﺎﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪+∞ 1 -1‬‬ ‫∞‪-‬‬‫)‪f ' (x‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫• ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ [‪ ]-∞,-1‬ﻭ[∞‪]1,+‬‬ ‫• ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪]-1 , +1‬‬ ‫• ‪ f '( x)=0‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x=-1‬ﺃﻭ ‪x=1‬‬ ‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﻗﻴﻤﺘﻴﻥ ﺤﺩﻴﺘﻴﻥ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺘﻴﻥ ‪ -1‬ﻭ ‪ 1‬ﻫﻤﺎ)‪ f(-1‬ﻭ)‪ f(1‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f(1)=6, f(-1)=2‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل‬ ‫ﻁﺭﻴﻘﺔ‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻤﻥ ‪IR‬‬ ‫ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺩﺭﺱ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫‪ -‬ﺇﻴﺠﺎﺩ ﻋﺒﺎﺭﺓ )‪ f '( x‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫‪ -‬ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f ' ( x‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬‫‪f ( x)= − 1 x3 + x 2 − x +1‬‬ ‫♦ ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪:‬‬ ‫ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪IR‬‬ ‫•ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪f ( x)= − 1 x3 + x 2 − x +1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﻷﻨﻬﺎ \" ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ \"‬ ‫ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f ' ( x ) = − x 2 + 2 x − 1 :‬‬ ‫)‪f '( x ) = − ( x 2 − 2 x +1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪f '( x ) = − ( x −1) 2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪( x − 1) ≥ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪− ( x − 1) ≤ 0‬‬

‫‪f '( x)≤0‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪IR‬‬ ‫♦ ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 2‬‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ −1,2‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪[ ]f(x)=2x3-3x2+2‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ]‪[ −1,2‬‬ ‫‪ 2‬ﻋﻴﻥ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ 3‬ﺸﻜل ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ 4‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻟﻠﻤﻤﺎﺱ )∆( ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪x = 1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫•ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ‬‫‪ 1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﻷﻨﻬﺎ \" ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ \" ‪،‬ﺇﺫﻥ ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠـﻰ ﺍﻟﻤﺠـﺎل‬ ‫]‪[ −1,2‬ﻷﻨﻪ ﺠﺯﺀ ﻤﻥ‪IR‬‬ ‫‪f '( x )= 6 x 2 − 6 x‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ‪ x‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪:‬‬‫ﺇﺫﻥ )‪ (x= 0‬ﺃﻭ )‪(x=1‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪ 6x2-6x=0‬ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪6x(x-1)=0‬‬ ‫ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '( x‬ﻨﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-1 0‬‬ ‫‪12‬‬‫)‪f ' (x‬‬ ‫‪+-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ 2‬ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f '( x)=0 :‬ﻴﻜﺎﻓﺊ )‪ (x=0‬ﺃﻭ )‪(x=1‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f(1)= 1 ، f(0)=2 :‬ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 2‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻜﺒﺭﻯ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x=0‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 1‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﺼﻐﺭﻯ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x=1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 3‬ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ‪:‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f(2)= 6 ، f(-1)= -3 :‬‬ ‫)‪f ' (x‬‬ ‫‪12‬‬ ‫)‪f(x‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪x=1‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ‬ ‫‪ A‬ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﻋﻨﺩ ﻨﻘﻁﺔ‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻤﻥ ‪ ، IR‬ﻭﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻴﻪ ‪ a،‬ﻋﻨﺼﺭ ﻤﻥ ‪I‬‬ ‫ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪a‬‬ ‫ﻨﺤﺴﺏ )‪ f '(a) ، f(a‬ﻭﻨﻌﻭﺽ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫)‪y = f '(a)( x−a)+ f (a‬‬‫ﻭﻤﻨﻪ ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻟﻠﻤﻤﺎﺱ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪a‬‬ ‫‪f '( 1 )= − 3; f ( 1 )= 3‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2 2 22‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪y=−3(x−1)+ 3=−3 x+ 3+ 3‬‬ ‫‪2 2 2 2 42‬‬ ‫‪y=− 3 x+ 9‬‬ ‫‪24‬‬

‫ﻤﻔﻬـﻭﻡ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴـﺔ‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ -‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﻭﺍل ﻤﺄﻟﻭﻓـﺔ‬ ‫‪ -1‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤـﺭﺒﻊ\"‬ ‫‪ -2‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻜﻌﺏ\"‬ ‫‪ -3‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤـﻘﻠﻭﺏ\"‬ ‫‪ -4‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﺃﻭ ∞‪−‬‬

‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﻭﺍل ﻤﺄﻟﻭﻓـﺔ ‪ :‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤـﺭﺒﻊ\"‬ ‫‪f(x)= x2‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﺒﻊ ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺄﺨﺫ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﻓﺈﻥ )‪ f(x‬ﺘﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻓﺄﻜﺒﺭ‪،‬ﻨﻘﻭل ﻋﻨﺩﺌﺫ‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ xa x 2‬ﻫﻲ ∞‪ +‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ∞‪+‬‬ ‫∞‪lim ( x 2 ) = +‬‬ ‫∞‪ lim x a f ( x ) = +‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ‬ ‫∞‪x a +‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪ x a‬ﻫﻲ ∞‪ +‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ∞ ‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ‪ lim x a f ( x ) = +∞ :‬ﺃﻱ ‪:‬‬‫∞‪x a −‬‬ ‫∞‪( x ) = +‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤﻜﻌﺏ\"‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻜﻌﺏ ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪f(x)= x3 :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪ ]0 , +‬ﻓﺈﻥ )‪ f(x‬ﺘﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﺼﻐﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪ ]-∞ , 0‬ﻓﺈﻥ )‪ f(x‬ﺘﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﻓﺄﺼﻐﺭ ﻨﻘﻭل ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x a x‬ﻫﻲ ∞‪ +‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ∞‪+‬‬ ‫‪lim ( x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫∞‪) = +‬‬ ‫∞‪ lim x a f ( x ) = +‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ‬ ‫∞‪x a +‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪ x‬ﻫﻲ ∞ ‪ -‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ∞ ‪-‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫∞‪f ( x ) = −‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫∞‪lim ( x ) = −‬‬‫∞‪x a −‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞‪−‬‬

‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ \"ﻤـﻘﻠﻭﺏ\"‬‫‪،‬ﻤﻨﺤﻨﺎﻫﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻴﺴﻤﻰ ﻗﻁﻌﺎ‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻜﻌﺏ ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ }‪ IR-{0‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪1 :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺯﺍﺌﺩﺍ ‪،‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫) ‪(O , I , J‬‬ ‫• ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﺃﻭ ∞‪-‬‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺄﺨﺫ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ ﺃﻜﺒﺭ ﻓﺄﻜﺒﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل[∞‪ ]0 , +‬ﻓﺎﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﻤﻭﺠﺒﺎ ﻭﻴﻘﺘﺭﺏ ﺃﻜﺜﺭ ﻓﺄﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﺇﻟﻰ ‪0‬‬ ‫‪x‬‬‫ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺄﺨﺫ ‪ x‬ﻗﻴﻤﺎ ﺃﺼﻐﺭ ﻓﺄﺼﻐﺭ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 0[ ]-∞ ,‬ﻓﺎﻟﻌﺩﺩ ‪ 1‬ﺴﺎﻟﺒﺎ ﻭﻴﻘﺘﺭﺏ ﺃﻜﺜﺭ ﻓﺄﻜﺜﺭ ﻤﻥ ﺇﻟﻰ ‪0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻨﻘﻭل ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x a x‬ﻫﻲ ‪ 0‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪ x‬ﺇﻟﻰ∞‪+‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪ lim‬ﺃﻱ ‪0 :‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪f ( x ) = 0 :‬‬ ‫∞‪x a +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺇﻟﻰ∞‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻴﺅﻭل‬ ‫ﻋﻨﺩﻤﺎ‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪ lim‬ﺃﻱ ‪0 :‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪f ( x ) = 0 :‬‬ ‫∞‪x a −‬‬ ‫)‪(x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪x‬‬ ‫• ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪0‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺠﺩﻭل ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫‪X -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001‬‬‫‪1 -10 -100 -1000 -10000 -100000‬‬‫‪x‬‬‫‪X 0.00001 0.0001 0.001‬‬ ‫‪0.01‬‬ ‫‪0.1‬‬‫‪1 100000 10000 1000 100‬‬ ‫‪10‬‬‫‪x‬‬ ‫‪ x a‬ﻏﻴﺭ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺇﻥ‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪ 0‬ﻓﻲ‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﻋﻨﺩ‬ ‫‪x‬‬

‫‪1‬‬ ‫[∞‪ ]0 , +‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﻜﺒﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ‪.‬‬ ‫‪1‬‬‫ﻋﻨﺩ ﺤﺴﺎﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺍﻟﻘﺭﻴﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪1‬‬ ‫[‪ ]-∞ , 0‬ﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﻗﻴﻡ ‪ x‬ﺼﻐﻴﺭﺓ ﺠﺩﺍ‪.‬ﻨﻘﻭل ﻋﻨﺩﺌﺫ ‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x a x‬ﻫﻲ ∞‪ +‬ﻋﻨﺩﺍﻟﻌﺩﺩ‪ 0‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‬ ‫‪1‬‬‫ﺃﻱ ‪ x :‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ∞‪ +‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪) x‬ﺍﻟﻤﻭﺠﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ( ﺇﻟﻰ ‪0‬‬‫∞‪lim( 1 ) = +‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫〉‬ ‫‪xa 0‬‬ ‫‪1‬‬‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x a x‬ﻫﻲ ∞ ‪ -‬ﻋﻨﺩﺍﻟﻌﺩﺩ‪ 0‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ‬ ‫‪1‬‬‫ﺃﻱ ‪ x :‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ∞ ‪ -‬ﻋﻨﺩﻤﺎ ﻴﺅﻭل ‪) x‬ﺍﻟﺴﺎﻟﺏ ﺘﻤﺎﻤﺎ( ﺇﻟﻰ ‪0‬‬‫∞‪lim( 1 ) = +‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫〈‬ ‫‪xa 0‬‬

‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﻘﻠﻭﺏ‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ }‪ IR-{0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f '( x ) = − 1 :‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ }‪ IR-{0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪− 1 〈 0 :‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ }‪ IR-{0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f '( x)〈0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ :‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ‪]0 , +∞[، ]-∞ , 0[ :‬‬ ‫ﻨﻠﺨﺹ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻓﻲ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪0‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫)‪f ′(x‬‬ ‫∞‪0 +‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪-∞ 0‬‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﺃﻭ ∞‪−‬‬ ‫♦ﻤﺜﺎل ﺘﻤﻬﻴﺩﻱ ‪:‬‬ ‫‪f(x)=2x3-x2+3x-1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪:‬‬ ‫ﺃﺤﺴﺏ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ∞‪−∞ ، +‬‬ ‫ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪ :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪32‬‬ ‫‪+ 3 x − 1 ) = lim x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim ( 2 x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫) ‪(2 − x + x2 − x3‬‬‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪lim x 3 = −‬‬ ‫ﻭﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪lim ( − 1 ) = lim ( 3 ) = lim ( − 1 ) = 0‬‬ ‫ﻭ‬‫‪x → −∞ x x → −∞ x 2 x → −∞ x 3‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪(2− 1 +‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪)= 2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x3‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪13‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪lim x‬‬ ‫∞‪( 2 − x + x 2 − x 3 ) = −‬‬‫∞‪x → −‬‬

‫‪32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫*ﻨﺘﻴﺠﺔ ‪:‬‬ ‫) ‪lim ( 2 x − x + 3 x − 1 ) = lim ( 2 x‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬‫ﺫﻭ ﺍﻷﻜﺒﺭ ﺩﺭﺠﺔ ﻓﻴﻪ‬ ‫ﺘﺨﻤﻴﻥ ‪:‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ﺃﻋﻼﻩ ﻫﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺤﺩ‬ ‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ‪،‬ﻓﻲ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﻨﺠﺩ‬ ‫‪32‬‬ ‫‪3‬‬ ‫) ‪lim ( 2 x − x + 3 x − 1) = lim ( 2 x‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨــﺔ‬‫ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ‪f‬ﻋﻨﺩ ∞‪ −∞ ، +‬ﻫﻲ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﺤﺩ ﺫﻭﺍ ﻷﻜﺒﺭ ﺩﺭﺠﺔ ﻓﻲ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺩﺴـﺘﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﻋﻠﻰ ‪: IR‬‬ ‫‪ f(x)= anxn +an-1 xn-1+an-2 xn-2 +….+a1x+a0‬ﻤﻊ ‪an=0‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f ( x ) = lim‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪(an‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪an −1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪an − 2‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫)‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫‪an −1‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫‪an−2‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪...‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫‪a0‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫ﻭ‪0‬‬ ‫∞‪→ +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪xn‬‬‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪an −1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪an−2‬‬ ‫‪+ ... +‬‬ ‫‪a1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫)‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x (a‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪x n −1‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫) ‪(an xn‬‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺘﺤﺩﺩ ﺤﺴﺏ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ ، an‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ an 〉 0‬ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫∞‪lim ( a x ) = +‬‬ ‫‪x → +∞ n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪a 〈0‬‬ ‫∞‪lim ( a x ) = −‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪x → +∞ n‬‬ ‫ﻭﺒﻨﻔﺱ ﺍﻟﻁﺭﻴﻘﺔ ﻨﺒﺭﻫﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ∞‪x→−‬‬ ‫ﺃﻤﺜﻠـﺔ‬ ‫‪f(x)= 2x2-x+1 (1‬‬

lim ( 2 x 2 − x + 1 ) = lim ( 2 x 2 ) = +∞ : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ x → +∞ x → +∞ 2 lim 2 = +∞ : ‫ﻭﻜﺫﺍﻟﻙ‬ lim ( 2 x − x + 1) = (2x ) x → −∞ x → −∞ f(x)=-x3+2x-3 (2lim f ( x ) = lim ( − x 3 + 2 x − 3 ) = lim ( − x 3 ) = +∞ : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬x → −∞ x → −∞ x → −∞ 33lim f ( x ) = lim ( − x + 2 x − 3 ) = lim ( − x ) = −∞x → +∞ x → +∞ x → +∞ f(x)= 3x3+x2+4 (3 :‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬lim f ( x)= lim (3x3 + x2 +4)= lim (3x3 )=−∞x → −∞ x → −∞ x → −∞ 32 3lim f ( x ) = lim ( 3 x + x + 4 ) = lim ( 3 x ) = +∞x → +∞ x → +∞ x → +∞

‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﻜﺜﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ‬ ‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫‪ -1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫‪ - 2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ ‫‪ xaax3+bx2 +cx+d‬ﺤﻴﺙ ‪a≠0‬‬ ‫‪ -3‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ‬

‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ‬ ‫‪ xa f ( x)=ax2 +bx+c‬ﺤﻴﺙ‪a≠0:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﻭﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، IR‬ﻨﻤﻴﺯ ﺤﺎﻟﺘﻴﻥ ﻓﻲ ﺩﺭﺍﺴﺘﻨﺎ ﻟﻬﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‪a 〈 0 a〉 0 ،‬‬ ‫‪a〈0 a〉0‬‬ ‫‪(1‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫‪(1‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬‫∞‪lim f ( x ) = lim (ax 2 ) = −‬‬ ‫∞‪lim f ( x ) = lim ( ax 2 ) = +‬‬‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫ﻭﻜﺫﻟﻙ‬ ‫ﻭﻜﺫﻟﻙ‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪lim f (x) = lim (ax2 ) = +‬‬‫∞‪lim f ( x) = lim (ax ) = −‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪ (2‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫‪ (2‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f '(x)=2ax+b :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f '(x)=2ax+b :‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '( x‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f '( x‬‬‫∞‪x - ∞ − b +‬‬ ‫∞‪x - ∞ − b +‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬‫‪f′(x) +‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪f′(x) - +‬‬ ‫⎤‬ ‫‪−b‬‬ ‫⎡‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫⎤‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫∞‪, +‬‬ ‫⎡‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪2‬‬ ‫‪a‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫∞‪, +‬‬ ‫⎤‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‬ ‫‪,‬‬ ‫‪−b‬‬ ‫⎡‬ ‫‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪⎤⎥⎦−∞,‬‬ ‫⎡‪−b‬‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪2a‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫⎣⎢‪2a‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬‫∞‪x - ∞ − b +‬‬ ‫∞‪x - ∞ − b +‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2a‬‬‫‪f′(x) + -‬‬ ‫‪f′(x) - +‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫∞ ‪f(x) +∞ +‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪− b 2 + 4 ac‬‬ ‫‪− b 2 + 4 ac‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫∞‪-‬‬

‫‪f (− b )= a ( b 2 )+ b(− b )+ c‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪2a 4a2‬‬ ‫‪2a‬‬‫‪f ( − b ) = b 2 − b 2 + c = − b 2 + 4 ac‬‬‫‪2a 4a 2a‬‬ ‫‪4a‬‬ ‫♦ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪1‬‬ ‫‪f(x)= 3x2-6x+3‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪:‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ (Cf‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫) ‪(O , I , J‬‬ ‫ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f(x)=0‬ﺜﻡ ﺃﺤﺴﺏ )‪f(0‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ) ‪(O , I , J‬‬ ‫‪4‬‬ ‫•ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫• ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﻭﻤﻨﻪ [∞‪Df=]-∞, +‬‬ ‫∞‪lim f ( x ) = lim ( 3 x 2 ) = +‬‬ ‫• ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪2‬‬‫∞‪lim f ( x ) = lim ( 3 x ) = +‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫•ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، IR‬‬ ‫‪f′(x)= 6x - 6‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f′(x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫∞‪x -‬‬ ‫‪-‬‬ ‫∞‪1 +‬‬‫)‪f′(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [‪]-∞ , 1‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل [∞‪]1 , +‬‬ ‫ﻭﺍﻟﻘﻴﻤﺔ )‪ f(1‬ﻫﻲ ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻜﺒﺭﻯ ﺒﺤﻴﺙ ‪f(1)=0 :‬‬

‫∞‪x -‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪ 2‬ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫)‪f′(x‬‬ ‫∞‪1 +‬‬‫∞‪f(x) +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ 3‬ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪f(x)=0‬‬ ‫ﺘﻜﺎﻓﺊ ‪3x2-6x+3=0‬‬ ‫‪f(x)=0‬‬ ‫• ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ ∆‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪∆=b2-4ac = (-6)2-4(3)(3) =36-36=0‬‬‫‪ x ′ = − b = − ( − 6 ) = 6 = 1‬ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤل ﻤﻀﺎﻋﻑ ‪ ، x′‬ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f(0)=3(0)2-6(0)+3 = 3‬‬ ‫‪2a 2×3 6‬‬ ‫‪ 4‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪(Cf‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫→‪1 J‬‬ ‫→‪I‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪12345678 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫♦ﺘﻤﺭﻴﻥ ‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ‪ f‬ﻭ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪g(x)=-2x2-2x+12 ، f(x)= x2+x-6‬‬‫ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ (Cf‬ﻭ )‪ (Cg‬ﻤﻨﺤﻨﻴﻬﻤﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪(O , I , J‬‬ ‫‪ 1‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ‪ f‬ﻭ‪g‬‬ ‫‪ 2‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ )‪ (Cf‬ﻭ )‪(Cg‬‬

‫‪ 3‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﻥ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ )‪ (Cf‬ﻭ )‪ (Cg‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪2‬‬ ‫‪ 4‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ )‪ (Cf‬ﻭ )‪ (Cg‬ﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﻥ ﻓﻲ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ‬ ‫• ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪ 1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫• ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ Df=IR‬ﺃﻱ [∞‪Df=]-∞ , +‬‬ ‫• ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫∞‪lim f ( x ) = lim ( x 2 ) = +‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪lim f ( x ) = lim ( x ) = +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫• ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، IR‬‬ ‫‪f′(x)= 2x + 1‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f′(x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬‫)‪f′(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫⎤‬ ‫∞‪−‬‬ ‫‪,−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎡‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪2‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫⎤‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪, +‬‬ ‫⎡‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪2‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫‪x‬‬ ‫∞‪− 1 +‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪2‬‬‫‪f′(x) -‬‬ ‫‪+‬‬‫∞‪f(x) +‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪−4‬‬

‫‪1 11‬‬ ‫‪1 − 2 − 24‬‬ ‫‪− 25‬‬ ‫‪f (− 2 ) = 4 − 2 − 6 = 4 = 4‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫• ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ Dg=IR‬ﺃﻱ [∞‪Dg=]-∞ , +‬‬ ‫‪2‬‬ ‫• ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬‫∞‪lim g ( x ) = lim ( − 2 x ) = −‬‬‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪lim g ( x ) = lim ( − 2 x ) = −‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫• ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، IR‬‬ ‫‪g′(x)= -4x - 2‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪:‬‬ ‫ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ g′(x‬ﺘﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪+‬‬‫)‪g′(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫⎤‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‬ ‫‪,−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎡‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪2‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫⎤‬ ‫‪−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪, +‬‬ ‫⎡‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫⎥⎦‬ ‫‪2‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪− 1 +‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪2‬‬‫‪g′(x) -‬‬ ‫‪+‬‬‫)‪g(x‬‬ ‫‪25‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪-‬‬‫‪g ( − 1 ) = − 2 ( 1 ) + 1 + 12 = − 1 + 13 = − 1 + 26 = 25‬‬ ‫‪24‬‬ ‫‪2 22‬‬

‫‪ 2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ )‪ (Cf‬ﻭ )‪(Cg‬‬ ‫)‪f(x)=g(x‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪x2+x-6= -2x2-2x+12‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪3x2+3x-18 =0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪x2+x-6=0‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻘﺴﻤﺔ ﻋﻠﻰ ‪ 3‬ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﻤﻴﺯ ∆‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪∆=b2-4ac=(1)2-4(1)(-6)=1+24=25:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻴﻥ ﻤﺘﻤﺎﻴﺯﻴﻥ ﻫﻤﺎ ‪:‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫∆ ‪−b−‬‬ ‫=‬ ‫‪−1− 5‬‬ ‫=‬ ‫‪−6‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪x1‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b+‬‬ ‫‪∆ = −1+ 5 = 4 = 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2 ×1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2a‬‬ ‫‪2×1 2‬‬ ‫})‪(Cf)∩(Cg)={A(2,0),B(-3,0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪ 3‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﻴﻥ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ )‪ (Cf‬ﻭ )‪(Cg‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ )∆( ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ)‪ (Cf‬ﻋﻨﺩ ‪A‬‬ ‫)‪y=f′(2)(x-2)+f(2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪f(2)=0 ، f′(2)=5‬‬ ‫‪y=5(x-2)+0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫ﺃﻱ )∆( ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻫﻲ ‪y= 5x – 10‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ )‪ (D‬ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ)‪ (Cg‬ﻋﻨﺩ ‪A‬‬ ‫)‪y=g′(2)(x-2)+g(2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪g(2)=0 ، g′(2)=-10‬‬ ‫‪y= -10(x-2)+0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫ﺃﻱ )‪ (D‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ﻫﻲ ‪y= -10x + 20‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)∆(‬ ‫‪ 4‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻴﻴﻥ )‪ (Cf‬ﻭ )‪(Cg‬‬ ‫‪13‬‬ ‫)‪12 (Cf‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪10‬‬ ‫‪9‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-17-16-15-14-13-12-11-10-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪(D‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-8‬‬ ‫)‪(Cg‬‬ ‫‪-9‬‬ ‫‪-10‬‬ ‫‪-11‬‬

‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ‬ ‫‪ xaax3+bx2+cx+d‬ﺤﻴﺙ ‪a≠0‬‬ ‫♦ ﻨﺸﺎﻁ ﺘﻤﻬﻴﺩﻱ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫‪f(x)=x3+3x2-4‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ (Cf‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫) ‪(O , I , J‬‬ ‫‪ 1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻓﺈﻥ)‪ f(x‬ﺘﻜﺘﺏ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫‪f(x)=(x-1)(x+2)2‬‬ ‫‪ 2‬ﺃﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪ 3‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻤﻊ ﺤﺎﻤﻠﻲ ﻤﺤﻭﺭﻱ ﺍﻹﺤﺩﺍﺜﻴﺎﺕ‬ ‫‪ 4‬ﺃﺤﺴﺏ )‪ f ' ' ( x‬ﺜﻡ ﺃﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺘﻬﺎ‬ ‫‪ 5‬ﻋﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪-1‬‬ ‫‪ 6‬ﺃﻨﺸﺊ )‪ (Cf‬ﻭﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ) ‪(O , I , J‬‬ ‫•ﺍﻷﺠﻭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ Df=IR:‬ﺃﻱ [∞‪Df=]-∞ , +‬‬ ‫‪ 1‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪f(x)=(x-1)(x+2)2‬‬ ‫)‪=(x-1)(x2+4x+4‬‬ ‫‪= x3 +4x2+4x-x2-4x-4‬‬ ‫‪=x3+3x2-4‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪x3+3x-4 = (x-1)(x+2)2 :‬‬ ‫‪ 2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫∞‪lim f ( x ) = lim ( x 3 ) = −‬‬ ‫ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪3‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪f ( x ) = lim ( x ) = +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬

‫ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، IR‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f '( x)=3x2 +6 x :‬‬ ‫)‪f '( x)=3x( x+2‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f′(x)=0‬ﻴﻜﺎﻓﺊ ‪3x(x+2)= 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ )‪ (3x=0‬ﺃﻭ )‪ (x+2 = 0‬ﺇﺫﻥ )‪ (x = 0‬ﺃﻭ )‪(x = -2‬‬ ‫ﻨﻠﺨﺹ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f '( x‬ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ‪:‬‬‫∞‪x -‬‬ ‫‪-2 0‬‬ ‫∞‪+‬‬‫‪f′(x) + - +‬‬‫∞‪x -‬‬ ‫‪-2 0‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫∞‪+‬‬‫‪f′(x) +‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬‫‪f(x) 0‬‬ ‫∞‪+‬‬‫‪-∞ -4‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f(-2)=0 ، f(0)=-4 :‬‬ ‫‪ 3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (Cf‬ﻤﻊ ﺤﺎﻤﻠﻲ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ‬ ‫• ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (Cf‬ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ )‪(Cf) ∩(x′ox‬‬ ‫‪f(x)=0‬‬ ‫ﻨﻀﻊ‬ ‫‪(x+2)2(x-1)=0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫)‪ (x+2=0‬ﺃﻭ )‪(x-1=0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫)‪ (x=-2‬ﺃﻭ )‪(x=1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ })‪(Cf) ∩(x′ox) ={B(-2 ,0),B′(1,0‬‬

‫• ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (Cf‬ﻤﻊ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫ﻨﺒﺤﺙ ﻋﻥ ﺍﻟﻤﺠﻤﻭﻋﺔ )‪(Cf) ∩ (y′oy‬‬ ‫ﻨﻀﻊ ‪ x=0 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪f(0)=(0)3+3(0)-4 = 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪(Cf) ∩ (y′oy)={c(0 ,-4)} :‬‬ ‫‪ 4‬ﺤﺴﺎﺏ )‪ f′′(x‬ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f′′(x‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f′‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪، IR‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f′′(x)=6x+6 :‬‬ ‫ﻨﻠﺨﺹ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﺎﻟﻲ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f′′(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪- ∞ -1‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f′′(x‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f(-1)=-2 :‬‬ ‫‪ 5‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪A(-1 , -2‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ )∆( ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬ ‫)‪y=f′(-1)(x+1)+f(-1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f(-1)= -2 :‬ﻭ ‪f′(-1)= -3‬‬ ‫‪y= -3(x+1) -2‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆( ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ﺍﻟﺩﻴﻜﺎﺭﺘﻴﺔ ‪y = -3x -5‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﻤﺴﺎﻋﺩ ﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬‫‪x -1 0‬‬‫‪y -2 -5‬‬ ‫‪ 6‬ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪(Cf‬‬ ‫‪y‬‬ ‫)‪5 (Cf‬‬ ‫‪4‬‬‫)∆(‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪→J →I‬‬‫‪-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8 9 10x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-7‬‬

‫ﻨﺘﺎﺌﺞ ﻭﻤﻼﺤﻅﺎﺕ‬ ‫‪(1‬ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻴﺨﺘﺭﻕ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪A(-1 ,-2‬‬ ‫‪ f′′(x) (2‬ﻴﻨﻌﺩﻡ ﻭﻴﻐﻴﺭ ﺇﺸﺎﺭﺘﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x=-1‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻻﻨﻌﻁﺎﻑ‬‫‪ F‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ Df‬ﻭﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻤﺭﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ‪Df‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻘﺒل ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻨﻌﻁﺎﻑ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪ x0‬ﻤﻥ ‪ Df‬ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﺘﺤﻘﻕ ‪:‬‬ ‫)‪ f′′(x‬ﻴﻨﻌﺩﻡ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻤﻐﻴﺭﺍ ﺇﺸﺎﺭﺘﻪ‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ))‪ A(x0 , f(x0‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻨﻌﻁﺎﻑ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪(Cf‬‬ ‫‪(3‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ A(-1 , -2‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪(Cf‬‬ ‫ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ‬‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ))‪ A(x0 , f(x0‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪f(x)= ax3+bx2+cx+d :‬‬ ‫) ‪(a≠0‬‬ ‫ﻁﺭﻴﻘﺔ ﻟﻠﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﻤﺭﻜﺯ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭ‬ ‫))‪ A(x0 , f(x0‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻨﻀﻊ )‪ y0=f(x0‬ﻭﻨﻐﻴﺭ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ) ‪ (O , I , J‬ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ) ‪(A , I , J‬‬ ‫‪{x= X + x0‬‬ ‫‪y=Y + y0‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﻨﻀﻊ ‪:‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﺠﺩﻴﺩ ‪،‬ﺜﻡ ﻨﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬‫)‪ Y=f(X‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ‪،‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ))‪ A(x0 , f(x0‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪(Cf‬‬‫‪f(x)=x3-3x+1‬‬ ‫♦ﻤﺜــﺎل‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﺔ ‪ f‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪:‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ )‪ (Cf‬ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫) ‪(O , I , J‬‬ ‫‪ 1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻨﻌﻁﺎﻑ ‪ A‬ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺎﻫﺎ‬ ‫‪ 2‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ A‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪(Cf‬‬

‫•ﺍﻷﺠﻭﺒــﺔ‬‫‪ 1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ‪،‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻤﺭﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ‪ ، IR‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪x‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ f′(x)= 3x2-3 :‬ﻭﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‪f′′(x)= 6x :‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f′′(x‬‬‫)‪f′′(x‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬‫ﺇﻥ )‪ f′′(x‬ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x0=0‬ﻭﺘﻐﻴﺭ ﺇﺸﺎﺭﺘﻬﺎ‪ ،‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ))‪ A(0,f(0‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻨﻌﻁﺎﻑ‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ)‪(Cf‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f(0)=1‬ﻓﺈﻥ )‪A(0,1‬‬ ‫‪ A(0 , 1) 2‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ)‪(Cf‬‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ) ‪، (A , I , J‬ﺃﻱ ﻨﻀﻊ ‪{ {:‬‬ ‫‪x=X‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪x= X + x0‬‬ ‫‪y =Y‬‬ ‫‪y=Y + y0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f(x)=y :‬ﻭﻤﻨﻪ )‪Y+1=f(X‬‬ ‫‪Y+1=X3-3X+1‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪Y=X3-3X‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫ﻨﻀﻊ ‪ g(X)=X3-3X‬ﻭﻨﺒﺭﻫﻥ ﺃﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪IR‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ X‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻓﺈﻥ )‪ (-X‬ﻤﻥ ‪ IR‬ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪g(-X)=(-X)3-3(-X)=-X3+3X‬‬ ‫)‪g(-X)=-(X3-3X)=-g(X‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ‪،‬ﻭﻤﻨﻪ ﻨﺴﺘﻨﺘﺞ ﺃﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ )‪ A(0 , 1‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ)‪(Cf‬‬

‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪a,b,c,d‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ax + b‬‬ ‫ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﻤﻥ‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻜل ﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ‬ ‫‪cx + d‬‬ ‫ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ﺜﺎﺒﺘﺔ‪ ،‬ﻤﻊ ‪ c≠0‬ﻭ‪ad-cb≠0‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ‬ ‫• ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻜﻭﻥ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻘﻁ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ cx+d≠ 0‬ﺃﻱ ‪x ≠ − d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪f‬‬ ‫=‬ ‫⎤‬ ‫‪−‬‬ ‫∞‬ ‫‪,−‬‬ ‫‪d‬‬ ‫⎡‬ ‫‪U‬‬ ‫⎤‬ ‫‪−‬‬ ‫‪d‬‬ ‫∞‪, +‬‬ ‫⎡‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪c‬‬ ‫⎣⎢‬ ‫⎦⎥‬ ‫‪c‬‬ ‫⎢⎣‬ ‫• ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ ‫‪a+b‬‬ ‫‪ax + b‬‬ ‫) ‪x/ ( a + b‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪cx + d‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫=)‪x‬‬ ‫‪d‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫=‬ ‫) ‪x/ ( c + d‬‬ ‫‪c+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ lim ( b ) = lim ( d ) = 0‬ﻓﺈﻥ ‪lim f ( x ) = a‬‬ ‫‪c x → −∞ x x → −∞ x‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪ lim‬ﻓﺈﻥ‬ ‫‪b‬‬ ‫‪d‬‬ ‫ﻭﻜﺫﻟﻙ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f (x) = c‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻓﻲ ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ) ‪ lim ( ax + b‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪x → − d cx + d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪(− d‬‬ ‫‪ad‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ﺍﻟﺒﺴﻁ ‪ ax+b‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ )‪− c + b‬‬ ‫ﻋﻨﺩ ﺘﻌﻭﻴﺽ ‪ x‬ﺒﺎﻟﻌﺩﺩ‬ ‫ﻭﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ‪ cx+d‬ﻴﻨﻌﺩﻡ ﻤﻥ ﺍﺠل ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ − d‬ﻭﻤﻨﻪ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻜﺴﺭ ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ﻤﺎ ﻻﻨﻬﺎﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪c‬‬

‫*ﻤﻼﺤﻅﺔ‬ ‫‪d‬‬‫ﻨﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺘﻴﻥ)‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ − c‬ﻗﻴﻡ ﺃﻜﺒﺭ(‬ ‫ﻭ)‪ x‬ﻴﺅﻭل ﺇﻟﻰ ‪ − d‬ﺒﻘﻴﻡ ﺃﺼﻐﺭ(‬ ‫‪c‬‬ ‫• ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻗﺎﺒﻠﺘﻴﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ ، Df‬ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ ، Df‬ﻭﻤﻨﻪ ﻤﻥ‬ ‫ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Df‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫) ‪f '( x ) = ( ax + b ) ′( cx + d ) − ( cx + d )' ( ax + b‬‬ ‫‪( cx + d ) 2‬‬‫‪f '( x ) = a ( cx + d ) − c ( ax + b ) = ac/ x + ad − ca/ x − cb‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‪:‬‬‫‪( cx + d ) 2‬‬ ‫‪( cx + d ) 2‬‬‫ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f′(x‬ﻤﻥ ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺒﺴﻁ‬ ‫‪f‬‬ ‫('‬ ‫‪x‬‬ ‫=)‬ ‫‪ad −cb‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪(cx+d )2‬‬‫ﻷﻥ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Df‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪(cx+ d )2 〉 0 :‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨـﺔ‬‫‪a‬‬ ‫‪ax + b‬‬ ‫‪cx + d‬‬‫‪{ }x‬‬ ‫ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬‫ﺤﻴﺙ ‪ c≠0‬ﻭ ‪ ad-cb≠0‬ﻭﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ IR − − d‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪c‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ad − cb〉 0‬ﻓﺈﻥ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪Df‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ad − cb〈0‬ﻓﺈﻥ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ‪Df‬‬

‫∞‪x -‬‬ ‫‪−d‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ‬‫)‪f′(x‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ad −bc〉 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪c‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ ad − bc〈0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‬‫∞‪x -‬‬ ‫‪−d‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪c‬‬‫)‪f′(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪a‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪c‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪-∞ c‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻭﻱ ﻤﻨﺴﻭﺏ ﻟﻤﻌﻠﻡ ) ‪(O , I , J‬‬ ‫ﺃ(ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪ a‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆( ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x=a‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻌﻨﻲ‬ ‫∞‪ lim f ( x) = +‬ﺃﻭ ∞‪lim f ( x) = −‬‬ ‫‪x→a‬‬ ‫‪x→a‬‬

‫‪y‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪x‬‬‫‪1‬‬ ‫)‪(x=a‬‬‫→‪J→ I‬‬ ‫‪01‬‬‫ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻴﺤﺼﺭ ﻓﻲ ﺸﺭﻴﻁ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x=a‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻗﺭﻴﺏ ﻗﺩﺭ‬ ‫ﺍﻹﻤﻜﺎﻥ ﻤﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪a‬‬‫ﺏ(ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ‬ ‫‪ b‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﺜﺎﺒﺕ‬‫ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ )∆( ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y=b‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻌﻨﻲ‬‫‪ lim f ( x) = b‬ﺃﻭ ‪lim f ( x) = b‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪y‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪x‬‬‫‪1‬‬‫‪→J →I‬‬ ‫‪01‬‬ ‫)‪(y=b‬‬

‫ﻻﺤﻅ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻴﺤﺼﺭ ﻓﻲ ﺸﺭﻴﻁ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y=b‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x‬ﻜﺒﻴﺭ ﺠﺩﺍ‪،‬ﺃﻭ ‪x‬‬ ‫ﺼﻐﻴﺭ ﺠﺩﺍ ﻗﺩﺭ ﺍﻹﻤﻜﺎﻥ‬ ‫*ﻨﺘﺎﺌـﺞ‬ ‫‪ (1‬ﻤﻥ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﻭﺠﺩﻨﺎ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ax + b‬‬ ‫=‬ ‫‪a‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪lim ax + b = a‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪cx + d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪x → −∞ cx + d c‬‬‫ﻜﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫‪y=a‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪c‬‬ ‫ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬ ‫‪ax + b‬‬ ‫ﺃﻭ‬ ‫‪ (2‬ﻭﻜﺫﻟﻙ‬ ‫‪cx + d‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫∞‪= −‬‬ ‫∞‪lim ax + b = +‬‬‫‪x→ − d‬‬ ‫‪x → − d cx + d‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪c‬‬‫ﻜﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−‬‬ ‫‪d‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﻨﺎﻅﺭﻴﺔ ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬ ‫‪c‬‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫♦ﺃﻤﺜﻠـﺔ‬ ‫♦ﻤﺜـﺎل‪1‬‬ ‫‪f‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ}‪ IR-{2‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ‪، f ( x ) = 4 :‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫ﻭﻟﻴﻜﻥ)‪ (Cf‬ﻤﻨﺤﻨﺎﻫﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ‬ ‫) ‪(O , I , J‬‬ ‫‪lim ( 4 ) = 0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim ( 4 ) = 0 :‬ﻭ‬‫‪x → −∞ x − 2‬‬ ‫‪x → −∞ x − 2‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = 0‬ﻜﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ )‪(x-2‬‬ ‫∞‪x -‬‬ ‫∞‪2 +‬‬‫‪x-2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻨﺤﺴﺏ )‪ lim f(x‬ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﺒﻘﻴﻡ ﺃﻜﺒﺭ ﺃﻱ ‪x ⎯⎯〉→ 2‬‬ ‫⎧‬ ‫‪4‬‬ ‫‪→4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim f ( x ) = +∞ :‬ﻷﻥ‪:‬‬ ‫⎨‬ ‫‪x‬‬ ‫→‪−2‬‬ ‫〉‬ ‫⎩‬ ‫‪x→2‬‬

‫ﻨﺤﺴﺏ )‪ lim f(x‬ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ 2‬ﺒﻘﻴﻡ ﺃﺼﻐﺭ ﺃﻱ ‪x ⎯⎯〈→ 2‬‬ ‫⎧‬ ‫‪4‬‬ ‫‪→4‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪−‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim f ( x)=−∞ :‬ﻷﻥ‪:‬‬ ‫⎨‬ ‫‪x‬‬ ‫→‪−2‬‬ ‫〈‬ ‫⎩‬ ‫‪x→2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cf‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x = 2‬ﻜﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ‬ ‫ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫♦ﻤﺜـﺎل‪2‬‬ ‫‪3x−2‬‬ ‫‪g‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ}‪ IR-{-1‬ﺒﺎﻟﺩﺴﺘﻭﺭ ‪، g ( x) = x +1‬‬‫ﻭﻟﻴﻜﻥ)‪ (Cg‬ﻤﻨﺤﻨﺎﻫﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﻌﻠﻡ ﺍﻟﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭﺍﻟﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ) ‪(O , I , J‬‬‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ lim ( 3 x − 2 ) = lim ( 3 x/ ) = 3 :‬ﻭ ‪lim ( 3 x − 2 ) = lim ( 3 x/ ) = 3‬‬‫‪x→ +∞ x +1‬‬ ‫‪x → + ∞ x/‬‬ ‫‪x→−∞ x +1‬‬ ‫‪x → −∞ x/‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cg‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ y = 3‬ﻜﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﻤﻘﺎﻡ )‪(x+1‬‬ ‫∞‪x -‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫∞‪+‬‬‫‪x +1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫ﻨﺤﺴﺏ )‪ lim g(x‬ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ -1‬ﺒﻘﻴﻡ ﺃﻜﺒﺭ ﺃﻱ ‪x ⎯⎯〉→ −1‬‬ ‫‪⎩⎨⎧3xx+−1→2→0+−5‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪ l i m g ( x ) = − ∞ :‬ﻷﻥ‪:‬‬ ‫‪x ⎯ >⎯→ − 1‬‬ ‫ﻨﺤﺴﺏ )‪ lim g(x‬ﻟﻤﺎ ‪ x‬ﻴﺅﻭل ﻟﻠﻌﺩﺩ ‪ -1‬ﺒﻘﻴﻡ ﺃﺼﻐﺭ ﺃﻱ ‪x ⎯⎯〈→ −1‬‬ ‫‪⎧⎨⎩3xx+−1→2→0−−5‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ lim g ( x)=+∞ :‬ﻷﻥ‪:‬‬ ‫〈‬ ‫‪x → −1‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (Cg‬ﻴﻘﺒل ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺫﻭ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ x = −1‬ﻜﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﻭﺍﺯﻱ ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ‬ ‫ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬

‫ﺤﻠﻭل ﻟﻠﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭﺍﻟﻤﺸﻜﻼﺕ ﺤﻭل ﺍﻟﺩﻭﺍل‬‫‪x -2‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:1‬‬ ‫ﺇﻜﻤﺎل ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬‫) ‪f '( x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪-‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2 1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:2‬‬‫) ‪f '( x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪+‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪-1‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:3‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪x -2 1 3‬‬ ‫‪6‬‬‫) ‪f '( x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪-+‬‬‫‪f (x) 2‬‬ ‫‪14‬‬ ‫‪ (1‬ﺇﺸﺎﺭﺓ ) ‪f '(o‬‬ ‫ﻻﺤﻅ ﻤﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺃﻨﻬﺎ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ − 2,1‬ﺇﺫﻥ ‪[ ]( )f ' o 〈o‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪f (0‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ − 2,1‬ﻟﻜﻥ ‪ f‬ﺘﺄﺨﺫ ﻗﻴﻤﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪) 1,2‬ﺍﻟﻘﻴﻡ ﻜﻠﻬﺎ] [ ] [‬ ‫ﻤﻭﺠﻬﺔ( ﺇﺫﻥ ‪f (0)〉0‬‬ ‫‪( 2‬ﺇﺸﺎﺭﺓ) ‪f (x‬‬ ‫ﻤﻥ ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻨﻼﺤﻅ ﺃﻥ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻜﻠﻬﺎ ﻤﻭﺠﻬﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]− 2,6‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل] ‪ [− 2,6‬ﻓﺎﻥ ‪f (x)〉o‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 4‬‬ ‫ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪lim x→ f ( x)= −∞ :‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ x=-2‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ ‪lim x → f ( x ) = 2‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ y=2‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ‪lim x → f ( x ) = 3 :‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ y=3‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬

‫ﻜﺫﻟﻙ‪lim x → f ( x ) = +∞ :‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ x=0‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ )ﻤﻨﻁﺒﻕ ﻋﻠﻴﻪ(‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:5‬‬ ‫ﻨﻔﺱ ﻤﻼﺤﻅﺎﺕ ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ﺍﻟﺭﺍﺒﻊ ﻨﺠﺩ ‪:‬‬ ‫‪ y=1‬ﻭ ‪ y=2‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﻥ ﻤﻘﺎﺭﺒﺎﻥ ﻴﻭﺍﺯﻴﺎﻥ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﻭ ‪ x=3‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 6‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻨﺠﺩ }‪Df = IR-{1‬‬ ‫[ ∞‪D f = ]−∞ ,1[∪ ]1,+‬‬ ‫⎫ ‪lim x → f ( x ) = − 2‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫∞‪−‬‬ ‫⎪‬ ‫⎬‬ ‫‪lim‬‬ ‫→‪x‬‬ ‫‪f‬‬ ‫=)‪(x‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎭⎪‬ ‫∞‪+‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ y=-2‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫⎫ ∞‪f ( x ) = +‬‬ ‫ﻜﺫﻟﻙ‬ ‫‪〈1‬‬ ‫⎪‬ ‫⎬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪f‬‬ ‫∞‪( x ) = −‬‬ ‫⎪‬ ‫‪〉1‬‬ ‫⎭‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ x=1‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬‫∞‪x -‬‬ ‫‪1‬‬ ‫∞‪+‬‬‫‪f′(x) +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪-2‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪-2‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪: 7‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪Df = ℜ‬‬ ‫‪Df = ℜ‬‬ ‫‪Df = ℜ‬‬ ‫} ‪Df = ℜ − {1‬‬ ‫∗‪Df = ℜ‬‬ ‫} ‪Df = ℜ − {− 2‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:8‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ‬‫‪ f '(x ) = −6x + 4‬ﻭ ‪ƒ Df = ℜ‬‬‫‪ f '( x)=3x2‬ﻭ ‪ƒ Df =ℜ‬‬‫‪ f ' ( x) = −3x 2‬ﻭ ‪ƒ Df = ℜ‬‬‫‪ f '(x ) = x2 + x −1‬ﻭ ‪ƒ Df = ℜ‬‬‫‪ f ' ( x) = −3x 2 + 2‬ﻭ ‪ƒ Df =ℜ‬‬‫ƒ‬ ‫‪Df‬‬ ‫⎧⎨‪=R−‬‬ ‫‪1‬‬ ‫⎫‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f‬‬ ‫('‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪−1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫⎩‬ ‫‪2‬‬ ‫⎬‬ ‫)‪x −1‬‬ ‫⎭‬ ‫(‬ ‫‪2‬‬‫ﻭ} ‪(ƒ Df = ℜ − {− 2‬‬ ‫‪−5‬‬ ‫= ) ‪f '(x‬‬ ‫‪x + 2 )2‬‬‫ƒ‬ ‫‪Df‬‬ ‫‪= ℜ − {1‬‬ ‫ﻭ}‬ ‫‪f‬‬ ‫('‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪−1‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:9‬‬ ‫‪(1‬ﻤﺠﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪D‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪f‬‬ ‫=)‪(x‬‬ ‫‪2 x −1‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫} ‪Df = {x ∈ℜ : x ≠ 2‬‬ ‫} ‪ Df = {x ∈ℜ : x − 2 ≠ 0‬ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫[ ∞‪D = ]− ∞ , 2[ ∪ ]2 , +‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ } ‪ Df = ℜ −{ 2‬ﺃﻱ‬ ‫‪f‬‬

‫‪ (2‬ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬‫‪lim x → f ( x ) = lim 2 x = 2‬‬ ‫‪،‬‬ ‫‪lim x a‬‬ ‫‪f ( x ) = lim‬‬ ‫‪2x =2‬‬‫‪+ ∞ x → +∞ x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ y=2‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪(x-2‬‬ ‫∞‪x -‬‬ ‫∞‪2 +‬‬‫‪x-2‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2 x −1→ 3‬‬ ‫∞‪ lim x → f ( x ) = −‬ﻷﻥ‬‫) ‪f '( x‬‬ ‫‪〈2‬‬ ‫‪{x − 2→ 0 −‬‬ ‫ﻭ ∞‪ lim x → f ( x ) = −‬ﻷﻥ‬ ‫‪{2 x−1→3‬‬ ‫‪〉2‬‬ ‫‪x−2→0+‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ x=2‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫‪f‬‬ ‫('‬ ‫‪x‬‬ ‫=)‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪(3‬ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫‪−2)2‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ‪ Df‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ‪ Df‬ﻓﺈﻥ ‪f '(x)〈0‬‬ ‫‪(4‬ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫∞‪−∞ 2 +‬‬ ‫‪--‬‬‫‪f (x) 2‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪−∞ 2‬‬

‫‪ (5‬ﻨﻘﺎﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ) ‪ (Cf‬ﻤﻊ ﺤﺎﻤﻠﻲ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ‬ ‫ﻨﻘﺎﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ Cf‬ﻤﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل)‪( )(x′ox‬‬ ‫ﻨﻀﻊ ‪ f (x ) = 0‬ﺃﻱ ‪2 x = 0‬‬ ‫‪x−2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺃﻱ‬ ‫‪2x −1 = 0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(C‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‬ ‫∩‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫‪'ox‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫⎨⎧‬ ‫‪A‬‬ ‫(‬ ‫‪1‬‬ ‫‪,0‬‬ ‫)‬ ‫⎬⎫‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫⎩‬ ‫‪2‬‬ ‫⎭‬ ‫ﻨﻘﺎﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ Cf‬ﻤﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ )‪( )(y′oy‬‬ ‫‪(C‬‬ ‫‪f‬‬ ‫∩)‬ ‫(‬ ‫‪y‬‬ ‫‪'oy‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫⎧‬ ‫‪B‬‬ ‫‪(0,‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‬ ‫⎫‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪0‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ x = 0‬ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫ﻨﻀﻊ‬ ‫⎨⎩‬ ‫‪2‬‬ ‫⎭⎬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(6‬ﺇﻨﺸﺎﺀ) ‪(Cf‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(y=2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‪→J I‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫)‪(x=2‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪xa‬‬ ‫‪f‬‬ ‫=)‪(x‬‬ ‫‪−x‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x+2‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(x=-2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪→J →I‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪1 2 3 4 5 6 7 8x‬‬‫)‪(Cf‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪(y=-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-6‬‬

‫‪xa‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪3x−6‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪8‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫)‪(y=3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪→J →I‬‬‫‪-8‬‬ ‫‪-7‬‬ ‫‪-6‬‬ ‫‪-5‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪12345678 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪4-4‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪x a f ( x) = 2 − x+1‬‬ ‫‪y‬‬ ‫‪7‬‬ ‫‪6‬‬ ‫)‪(Cf‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪3‬‬ ‫)‪(y=2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫→‪→J I‬‬‫‪-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0‬‬ ‫‪12345678 x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪(x=-1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ ‪:10‬‬ ‫‪f (x‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‪) = 2 x :‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪(1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫} ‪Df = {x ∈ ℜ : x −1 ≠ 0‬‬ ‫} ‪Df = {x ∈ ℜ : x ≠ 1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ [∞‪Df =] −∞,1[ ∪]1,+‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺜﻭﺍﺒﺕ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﺒﺤﻴﺙ‪ :‬ﻤﻥ ﺍﺠل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Df‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪f (x )= a + b‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪f (x‬‬ ‫‪() = a‬‬ ‫‪x − 1 )+ b‬‬ ‫=‬ ‫‪ax − a +‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪x−1‬‬

‫‪⎧a = 2‬‬ ‫‪⎧a = 2‬‬ ‫‪⎨⎩b = 2‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻤﻁﺎﺒﻘﺔ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ ⎩⎨− a + b = 0‬ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫ﺃﻱ ‪a = b‬‬ ‫‪f (x‬‬ ‫‪)= 2 + 2‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‪:‬‬ ‫‪x −1‬‬ ‫‪(2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ [∞‪Df =] −∞,1[ ∪]1,+‬‬ ‫•ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪lim x → f ( x ) = lim 2 x = 2‬‬ ‫‪− ∞ x → −∞ x‬‬ ‫→ ‪lim x‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪x‬‬‫‪{2 x→ 2‬‬ ‫∞‪ lim x → f ( x ) = −‬ﻷﻥ‬ ‫‪x −1→ 0 −‬‬ ‫‪〈1‬‬‫‪{2 x → 2‬‬ ‫∞‪ lim x → f ( x ) = +‬ﻷﻥ‬ ‫‪x −1→ 0 +‬‬ ‫‪〉1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ (x-1‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬ ‫∞‪x -‬‬ ‫∞‪1 +‬‬‫‪x-1‬‬ ‫‪-+‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ y=2‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل‬ ‫ﻭ ‪ x=1‬ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‬ ‫•ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‪:‬‬‫= ) ‪(f ' ( x‬‬ ‫‪−2‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Df‬ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪x − 1 )2‬‬ ‫ﻤﻥ ﺍﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪ Df‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f '(x )〈0‬‬

‫∞‪x -‬‬ ‫•ﺠﺩﻭل ﺍﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ‬ ‫∞‪1 +‬‬‫)‪f′(x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫∞‪+‬‬‫)‪f(x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫∞‪-‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ w(1,2‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭ ﻟـ ) ‪(Cf‬‬ ‫‪f (x‬‬ ‫‪)= y‬‬ ‫ﻤﻊ‬ ‫‪⎧x‬‬ ‫=‬ ‫‪X‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫ﻨﻀﻊ‬ ‫⎨‬ ‫=‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫⎩‬ ‫‪y‬‬ ‫‪Y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‪2‬‬ ‫(‪2‬‬ ‫)‪X +1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫ﺇﺫﻥ )‪Y + 2 = f ( X + 1‬‬ ‫‪+ 1) −1‬‬ ‫‪(X‬‬ ‫‪Y= 2‬‬ ‫‪ Y + 2 = 2 ( X ) + 2 = 2 + 2‬ﻭﻤﻨﻪ‬ ‫‪X‬‬ ‫‪xX‬‬ ‫‪Xa‬‬ ‫‪a‬‬ ‫ﺩﺍﻟﺔ ﻓﺭﺩﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل‬ ‫ﻫﻲ‬ ‫‪X‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪X‬‬ ‫‪X‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ) ‪ w(1,2‬ﻤﺭﻜﺯ ﺘﻨﺎﻅﺭﻟـ ) ‪(Cf‬‬ ‫‪ (4‬ﻨﻘﺎﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ ‪ Cf‬ﻤﻊ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ) (‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f(0)=0‬ﺇﺫﻥ ‪ Cf‬ﻴﻘﻁﻊ ﺤﺎﻤﻠﻲ ﺍﻟﻤﺤﻭﺭﻴﻥ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ) (‬ ‫‪ (5‬ﺇﻨﺸﺎﺀ) ‪(Cf‬‬