دروس مادة الرياضيات للفصل الثالث سنة ثالثة متوسط

‫‪ MEF .2‬ﻣﺜﻠﺚ ﻣﺘﻘﺎﻳﺲ اﻷﺿﻼع‪.‬‬ ‫اﻟﺘﻌﻠﻴﻞ‪ :‬اﻷﺿﻼع ]‪ [EF ] ،[MF ] ، [ME‬هﻲ ﺻﻮر اﻷﺿﻼع ]‪[BC] ،[ AC]،[ AB‬‬ ‫ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل ‪ A‬إﻟﻰ ‪. M‬‬ ‫ﺑﻤﺎ أن اﻻﻧﺴﺤﺎب ﻳﺤﻔﻆ اﻟﻤﺴﺎﻓﺎت وﺑﻤﺎ أ ّن ‪ ، AB = AC = BC‬ﻓﺈ ّن‬ ‫‪. ME = MF = EF‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫ﻧﻌﻢ ‪ D‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ]'‪.[BA‬‬‫اﻟﺘﺒﺮﻳﺮ‪ A ' :‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ B‬إﻟﻰ ‪ C‬ﻳﻌﻨﻲ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪AA 'CB‬‬ ‫ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع‪.‬‬ ‫ﻧﻌﻠﻢ أن ﻗﻄﺮي ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع ﻣﺘﻨﺎﺻﻔﺎن‪ّ .‬إذن ‪ D‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ' ‪[ ]. BA‬‬ ‫‪.9‬‬ ‫‪ A ' .1‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ‪ . C‬إذن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎن )‪( AC‬‬‫و )' ‪ (CA‬ﻣﺘﻮازﻳﺎن‪ .‬وﺑﻤﺎ أﻧﻬﻤﺎ ﻳﺸﺘﺮآﺎن ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬ﻓﺈﻧﻬﻤﺎ ﻣﺘﻄﺎﺑﻘﺎن‪ .‬وﻣﻨﻪ اﻟﻨﻘﻄﺔ ' ‪ A‬ﺕﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ )‪. ( AC‬‬

‫‪ .2‬ﻓﻲ ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع ‪ ، ABCD‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪.(1) 2OC = AC‬‬ ‫' ‪ A‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ C‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ‪. C‬‬ ‫إذن ' ‪.(2) AC = CA‬‬ ‫ﻣﻦ )‪ (1‬و )‪ (2‬ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أ ّن ' ‪. 2OC = CA‬‬ ‫‪ .3‬ﻓﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ '‪ ، BDA‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ O‬ﻣﻨﺘﺼﻒ اﻟﻀﻠﻊ ‪[ ]. BD‬‬‫إذن ]‪ [ A 'O‬ﻣﺘﻮﺱﻂ‪ .‬ﻟﻜﻦ ‪ C‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ ]‪ [ A 'O‬و '‪ ، 2OC = CA‬إذن ‪ C‬ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ اﻟﻤﺜﻠﺚ‬ ‫'‪. BDA‬‬ ‫‪.10‬‬ ‫اﺡﺪاﺛﻴﺎ اﻟﻨﻘﻄﺔ ' ‪.1 ، 1 : C‬‬ ‫‪.11‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ B ' .2‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ B‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ‪ ، H‬ﻓﺈ ّن‬ ‫)' ‪ (BB‬و ) ‪ ( AH‬ﻣﺘﻮازﻳﺎن و ‪. BB ' = AH‬‬ ‫' ‪ C‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ c‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ‪ ، H‬ﻓﺈ ّن‬

‫)' ‪ (CC‬و ) ‪ ( AH‬ﻣﺘﻮازﻳﺎن و ‪. CC ' = AH‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أ ّن )' ‪ (BB‬و )' ‪ (CC‬ﻣﺘﻮازﻳﺎن و ' ‪. BB ' = CC‬‬ ‫إذن ‪ BB 'C 'C‬ﻣﺘﻮازي أﺿﻼع‪.‬‬‫ﻟﻜﻦ )‪ (BC‬و ) ‪ ( AH‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ )‪ (BC‬و )' ‪ (BB‬ﻣﺘﻌﺎﻣﺪان وﻣﻨﻪ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪BB 'C 'C‬‬ ‫ﻣﺴﺘﻄﻴﻞ‪.‬‬ ‫‪.1 .12‬‬ ‫‪ .2‬ﺻﻮرة اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪ ADE‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ‪ B‬هﻲ اﻟﻤﺜﻠﺚ ' ‪. BCE‬‬ ‫اﻟﺘﻌﻠﻴﻞ‪ B :‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ‪. B‬‬ ‫‪ ، C‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ D‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ‪. B‬‬ ‫' ‪ ، E‬ﺻﻮرة اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ E‬ﺑﺎﻻﻧﺴﺤﺎب اﻟﺬي ﻳﺤ ّﻮل اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬إﻟﻰ ‪. B‬‬ ‫‪ .3‬ﺑﻤﺎ أن اﻻﻧﺴﺤﺎب ﻳﺤﻔﻆ اﻟﻤﺴﺎﺡﺎت ﻓﺈن ﻣﺴﺎﺡﺘﻲ اﻟﻤﺜﻠﺜﻴﻦ ‪ADE‬‬ ‫و ' ‪ BCE‬ﻣﺘﺴﺎوﻳﺘﺎن‪.‬‬ ‫‪ .4‬ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABCD‬ﺕﺴﺎوي ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺡﺘﻲ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ABCE‬‬ ‫واﻟﻤﺜﻠﺚ ‪. ADE‬‬ ‫ﻣﺴﺎﺡﺔ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ ABE ' E‬ﺕﺴﺎوي ﻣﺠﻤﻮع ﻣﺴﺎﺡﺘﻲ اﻟﺮﺑﺎﻋﻲ ‪ABCE‬‬ ‫واﻟﻤﺜﻠﺚ ' ‪. BCE‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن ﻣﺴﺎﺡﺘﻲ اﻟﺮﺑﺎﻋﻴﻴﻦ ‪ ABCD‬و ‪ ABE ' E‬ﻣﺘﺴﺎوﻳﺘﺎن‪.‬‬

‫ﺍﻟﻬﺭﻡ ﻭ ﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‬ ‫• ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺍﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -‬ﻭﺼﻑ ﻫﺭﻡ ﻭﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﻬﺭﻡ ﻭﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺇﻨﺠﺎﺯ ﺘﺼﻤﻴﻡ ﻟﻠﻬﺭﻡ ﻭ ﻟﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺼﻨﻊ ﻫﺭﻡ ﻭﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ ﺃﺒﻌﺎﺩﻫﻤﺎ ﻤﻌﻠﻭﻤﺔ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺤﺠﻡ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻬﺭﻡ ﻭﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‪.‬‬ ‫ﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﺪرس‬ ‫• ﺍﻟﻬﺭﻡ‬ ‫• ﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‬ ‫• ﺤﺠﻡ ﺍﻟﻬﺭﻡ ﻭﺤﺠﻡ ﻤﺨﺭﻭﻁ ﺍﻟﺩﻭﺭﺍﻥ‬ ‫• ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫• ﺤﻠﻭل ﺘﻤﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬

‫• اﻟﻬﺮم ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‬ ‫اﻟﻬﺮم هﻮ ﻡﺠﺴﻢ ﺣﻴﺚ‪:‬‬ ‫‪ -‬أﺣﺪ أوﺝﻬﻪ هﻮ ﻡﻀﻠﻊ و یﺴﻤﻰ اﻟﻘﺎﻋﺪة؛‬ ‫‪ -‬اﻷوﺝﻪ اﻷﺧﺮى هﻲ ﻡﺜﻠﺜﺎت ﻟﻬﺎ رأس ﻡﺸﺘﺮك وهﻮ رأس اﻟﻬﺮم‪.‬‬ ‫ﺗﺴﻤﻰ هﺬﻩ اﻷوﺝﻪ اﻷوﺝﻪ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ‪.‬‬ ‫ﻡﻼﺣﻈﺎت‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻧﺴﻤﻲ اﻻرﺗﻔﺎع‪:‬‬ ‫‪ -‬اﻟﻀﻠﻊ ‪ SH‬اﻟﺬي ﻳﻌﺎﻡﺪ اﻟﻘﺎﻋﺪة‪[ ]،‬‬ ‫‪ -‬وأﻳﻀﺎ اﻟﻄﻮل ‪. SH‬‬‫‪ .2‬إذا آﺎﻧﺖ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻡﻀﻠﻌﺎ ﻡﻨﺘﻈﻤﺎ )ﻡﺜﻠﺚ ﻡﺘﻘﺎﻳﺲ اﻷﺽﻼع‪ ،‬ﻡﺮﺑﻊ‪ ،‬ﺧﻤﺎﺱﻲ ﻡﻨﺘﻈﻢ‪ ، (...‬ﻓﻴﺴﻤﻰ اﻟﻬﺮم‬ ‫هﺮﻡﺎ ﻡﻨﺘﻈﻤﺎ‪.‬‬ ‫ﻓﻲ هﺬﻩ اﻟﺤﺎﻟﺔ‪ ،‬ﺗﻜﻮن آﻞ اﻷوﺟﻪ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ ﻡﺘﺴﺎوﻳﺔ وآ ّﻞ ﻡﻨﻬﺎ هﻮ ﻡﺜﻠﺚ ﻡﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺜﻴﻞ وﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﻬﺮم‪:‬‬ ‫ﻳﺘﻜﻮن ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻟﻬﺮم ﻡﻦ ﻡﻀﻠﻊ ﻳﻤﺜﻞ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ و ﻡﻦ ﻡﺜﻠﺜﺎت ﺗﻤﺜﻞ أوﺟﻬﻪ اﻟﺠﺎﻧﺒﻴﺔ‪.‬‬

‫ﻡﺜﺎل‪ :‬إﻟﻴﻚ هﺮم ﻡﻨﺘﻈﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻡﺮﺑﻊ وأوﺟﻬﻪ ﻡﺜﻠﺜﺎت ﻡﺘﺴﺎوﻳﺔ اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ‪.‬‬

‫• ﻡﺨﺮوط اﻟﺪوران ‪:‬‬ ‫ﺗﻌﺮیﻒ‬‫ﻡﺨﺮوط اﻟﺪوران هﻮ اﻟﻤﺠﺴﻢ اﻟﻤ ّﻮﻟﺪ ﺏﺪوران ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺣﻮل أﺣﺪ ﺽﻠﻌﻴﻪ اﻟﻘﺎﺋﻤﻴﻦ‪.‬‬ ‫‪S SS‬‬‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪O‬‬ ‫‪A‬‬ ‫‪A‬‬ ‫ﻓﻲ اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﺮﺱﻮم أﻋﻼﻩ ﻟﺪﻳﻨﺎ‪:‬‬ ‫‪ SO -‬هﻮ ارﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط )اﻟﻄﻮل ‪ SO‬هﻮ أﻳﻀﺎ ارﺗﻔﺎع اﻟﻤﺨﺮوط(‪[ ].‬‬ ‫‪ OA -‬هﻮ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪة اﻟﻤﺨﺮوط‪.‬‬ ‫‪ [SA] -‬هﻮ ﻡﻮّﻟﺪ اﻟﻤﺨﺮوط‪.‬‬ ‫• ﺗﻤﺜﻴﻞ وﺗﺼﻤﻴﻢ اﻟﻬﺮم‪:‬‬‫یﺘﻜﻮن ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻡﺨﺮوط اﻟﺪوران ﻡﻦ ﻗﺮص یﻤﺜﻞ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ وﻡﻦ ﻗﻄﺎع ﻗﺮص یﻤﺜﻞ ﺱﻄﺤﻪ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ‪.‬‬ ‫ﻡﺜﺎل‪ :‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻡﺨﺮوط اﻟﺪوران اﻟﺬي ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻳﺴﺎوي ‪. r‬‬ ‫•‬

‫• ﺹﻨﻊ ﺗﺼﻤﻴﻢ ﻡﺨﺮوط دوران‬ ‫ﻡﺜﺎل‪:‬‬ ‫ﻓﻲ هﺬا اﻟﻤﺨﺮوط اﻟﻤﻘﺎﺑﻞ ﻟﺪﻳﻨﺎ‪A :‬‬ ‫‪ SA = 5 cm‬و ‪. OA = 3 cm‬‬ ‫أﻧﺸﺊ ﺗﺼﻤﻴﻤﺎ ﻟﻬﺬا اﻟﻤﺨﺮوط‬ ‫)ﻳﺆﺧﺬ ‪.( π = 3,14‬‬ ‫‪OS‬‬ ‫ﺣﻞ‪:‬‬ ‫ﻧﺮﺱﻢ ﺵﻜﻼ ﺑﺎﻟﺘﻘﺮﻳﺐ ﻳﻤﺜﻞ ﺗﺼﻤﻴﻤﺎ ﻟﻠﻤﺨﺮوط‪.‬‬ ‫ﻹﻧﺸﺎء اﻟﻘﻮس ‪ ، A1 A2‬ﻳﺠﺐ أن ﻧﺠﺪ اﻟﻘﻴﺲ ‪. α‬‬‫ﻓﻲ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ S‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ ، SA‬ﻃﻮل اﻟﻘﻮس ﻡﺘﻨﺎﺱﺐ ﻡﻊ ﻗﻴﺲ اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻌّﻴﻦ هﺬﻩ‬ ‫اﻟﻘﻮس‪.‬‬ ‫ﻟﺤﺴﺎب ‪ α‬ﻧﺒﺤﺚ ﻋﻦ ﻃﻮل اﻟﻘﻮس ‪. A1 A2‬‬ ‫‪ o‬ﺡﺴﺎب اﻟﻄﻮل ‪ L‬ﻟﻠﻘﻮس ‪: A1 A2‬‬ ‫‪ L‬ﻳﺴﺎوي ﻡﺤﻴﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة إذن ‪. L = 2 × 3,14 × 3 = 18,84‬‬ ‫‪ o‬ﺡﺴﺎب ‪: α‬‬ ‫ﻡﺤﻴﻂ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻡﺮآﺰهﺎ ‪ S‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ SA‬هﻮ ‪. 2 × 3,14 × 3 = 31,4‬‬

‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺟﺪول اﻟﺘﻨﺎﺱﺒﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪α 360‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﺮآﺰﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪرﺟﺎت‬‫‪18,84 31,4‬‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻘﻮس ﺑـ ‪cm‬‬‫= ‪.α‬‬ ‫‪360 ×18,84‬‬ ‫‪= 216‬‬ ‫وﻡﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪α × 31,4 = 360 ×18,84‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪31,4‬‬ ‫• إﻧﺸﺎء اﻟﺘﺼﻤﻴﻢ‪:‬‬ ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ‪ :‬ﻳﻤﻜﻦ ﺡﺴﺎب ﻡﺴﺎﺡﺔ اﻟﺴﻄﺢ اﻟﺠﺎﻧﺒﻲ ﻟﻠﻤﺨﺮوط اﻟﺬي هﻮ ﻗﻄﺎع ﺑﺎﻻﻋﺘﻤﺎد ﻋﻠﻰ اﻟﺨﺎﺹﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻴﺔ‪:‬‬‫ﻓﻲ اﻟﻘﺮص اﻟﺬي ﻡﺮآﺰﻩ ‪ S‬وﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻩ ‪ ، SA‬ﻡﺴﺎﺡﺔ ﻗﻄﺎع اﻟﻘﺮص ﻡﺘﻨﺎﺱﺒﺔ ﻡﻊ اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﺘﻲ ﺗﻌّﻴﻦ هﺬا‬ ‫اﻟﻘﻄﺎع‪.‬‬ ‫وﻓﻲ اﻟﻤﺜﺎل اﻟﺴﺎﺑﻖ‪:‬‬ ‫ﻡﺴﺎﺡﺔ اﻟﻘﺮص اﻟﺬي ﻡﺮآﺰﻩ ‪ S‬و ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮﻩ ‪ SA‬هﻮ ‪. 3,14 × 32 = 28,26‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺟﺪول اﻟﺘﻨﺎﺱﺒﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪216 360‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﺮآﺰﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪرﺟﺎت‬ ‫‪A 28,26‬‬ ‫ﻡﺴﺎﺡﺔ ﻗﻄﺎع اﻟﻘﺮص ﺑـ ‪cm2‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أ ّن ‪. A ×360 = 28,26 × 216‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪A‬‬ ‫=‬ ‫‪28,26 × 216‬‬ ‫وﻡﻨﻪ‪≈ 16 ,96 cm2 :‬‬ ‫‪360‬‬

‫• ﺣﺠﻢ اﻟﻬﺮم وﺣﺠﻢ ﻡﺨﺮوط اﻟﺪوران ‪:‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪة‬‫ﺣﺠﻢ اﻟﻬﺮم أو ﻡﺨﺮوط اﻟﺪوران یﺴﺎوي ﺙﻠﺚ ﺝﺪاء ﻡﺴﺎﺣﺔ ﻗﺎﻋﺪة وإرﺗﻔﺎع هﺬا اﻟﻤﺨﺮوط أو هﺬا اﻟﻤﺨﺮوط‪.‬‬‫إذا رﻡﺰﻧﺎ اﻟﻰ ﻡﺴﺎﺡﺔ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﺑـ ‪ A‬وإﻟﻰ اﻻرﺗﻔﺎع ﺑـ ‪ h‬وإﻟﻰ اﻟﺤﺠﻢ ﺑـ ‪ V‬ﻓﺈن ‪.‬‬ ‫ﻡﻼﺡﻈﺔ‪V = -A---×3---h- :‬‬‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ ﻡﺨﺮوط دوران ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ‪ r‬و ارﺗﻔﺎﻋﻪ ‪، h‬‬‫=‪V‬‬ ‫‪π×r2 ×h‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻓﺈن ‪.‬‬

‫• ﺗﻤﺎریﻦ و ﻡﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻳﻤﺜﻞ اﻟ ّﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻡﻨﻈﻮر ﻡﺘﺴﺎوي اﻟﻘﻴﺎس ﻟﻬﺮم‪:‬‬ ‫‪ .1‬ﻡﺎهﻮ رأس اﻟﻬﺮم؟‬ ‫‪ .2‬ﻡﺎ هﻲ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ؟‬ ‫‪ .3‬ﺱ ّﻢ وﺟﻬﺎ ﺟﺎﻧﺒﻴﺎ ﻡﺨﻔﻴﺎ ووﺟﻬﺎ ﺟﺎﻧﺒﻴﺎ ﻇﺎهﺮا‪.‬‬ ‫‪ .2‬أﻧﺸﺊ ﺗﺼﻤﻴﻤﺎ ﻟﻬﺮم ﻡﻨﺘﻈﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻡﺮﺑﻌﺔ ﻃﻮﻟﻬﺎ ‪ 3 cm‬و آﻞ أﺡﺮﻓﻪ‬ ‫ﻡﺘﺴﺎوﻳﺔ‪.‬‬ ‫‪ .3‬أﺗﻤﻢ اﻟﺸﻜﻞ اﻟﺘﺎﻟﻲ ﻟﻜﻲ ﻳﻤﺜﻞ ﻡﺨﺮوط اﻟﺪوران‪.‬‬‫‪ .4‬ﻓﻲ ﻡﺨﺮوط دوران‪ ،‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮ اﻟﻘﺎﻋﺪة ﻳﺴﺎوي ‪ 4 cm‬وﻃﻮل اﻟﻤﻮّﻟﺪ ﻳﺴﺎوي ‪. 8 cm‬‬ ‫‪ .1‬اﻧﺠﺰ ﺗﺼﻤﻴﻤﺎ ﻡﺸﻔﺮا ﻟﻬﺬا اﻟﻤﺨﺮوط‪.‬‬ ‫‪ .2‬اﺡﺴﺐ اﻟﻤﺪور إﻟﻰ اﻟﻤﻴﻠﻴﻤﺘﺮ ﻟﻤﺤﻴﻂ ﻗﺎﻋﺪة هﺬا اﻟﻤﺨﺮوط‪.‬‬ ‫‪ .3‬اﺡﺴﺐ اﻟﻤﺪور إﻟﻰ اﻟﺪرﺟﺔ ﻟﺰاوﻳﺔ هﺬا اﻟﻤﺨﺮوط‪.‬‬ ‫‪ .5‬أﺗﻤﻢ اﻟﺠﺪول اﻟﺘﺎﻟﻲ وﻳﻌﻄﻰ اﻟﻤﺪور إﻟﻰ ‪ mm‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ اﻷﻃﻮل‬ ‫واﻟﻤﺪور إﻟﻰ ‪ mm3‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ إﻟﻰ اﻟﺤﺠﻢ‪.‬‬

‫‪C 3 C 2‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫اﻟﻤﺨﺮوط‬ ‫‪1‬؟‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ) ‪( cm‬‬ ‫اﻻرﺗﻔﺎع ) ‪( cm‬‬ ‫؟‪6‬‬ ‫‪7‬‬ ‫اﻟﺤﺠﻢ ) ‪( cm3‬‬‫‪610 31,4‬‬ ‫؟‬ ‫‪.6‬‬‫‪ .1‬اﺡﺴﺐ ﺡﺠﻢ هﺮم ﻡﻨﺘﻈﻢ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ﻡﺮﺑﻌﺔ‪ ،‬ﻃﻮل ﺽﻠﻌﻬﺎ ‪ 4,2 cm‬و ارﺗﻔﺎع اﻟﻬﺮم ﻳﺴﺎوي ‪.7 cm‬‬ ‫‪ .2‬أﺡﺴﺐ ارﺗﻔﺎع هﺮم ﺡﺠﻤﻪ ‪ 50 cm3‬وﻡﺴﺎﺡﺔ ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ ‪. 25 cm2‬‬ ‫‪ .7‬ﻡﺎ هﻮ أآﺒﺮ ﻡﺠﺴﻢ ﻓﻲ اﻟﺤﺠﻢ ؟‬‫‪ .8‬ﺑﺪوران ﻡﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ ﺡﻮل أﺡﺪ ﺽﻠﻌﻴﻪ اﻟﻘﺎﺋﻤﻴﻦ ﻧﺤﺼﻞ ﻋﻠﻰ ﻡﺨﺮوﻃﻲ‬ ‫دوران‪.‬‬ ‫‪ .1‬ﻡﺎ هﻮ أآﺒﺮ ﻡﺨﺮوط ﻓﻲ اﻟﺤﺠﻢ؟‬‫‪.‬‬ ‫(‪πab‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−‬‬ ‫‪b‬‬ ‫)‬ ‫‪ .2‬ﺑﻴﻦ أن ﻓﺮق ﺡﺠﻤﻲ اﻟﻤﺨﺮوﻃﻴﻦ ﻳﺴﺎوي إﻟﻰ‪:‬‬ ‫‪3‬‬

‫• ﺣﻠﻮل اﻟﺘﻤﺎریﻦ و اﻟﻤﺸﻜﻼت ‪:‬‬ ‫رأس اﻟﻬﺮم هﻮ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪. A‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫ﻗﺎﻋﺪﺗﻪ هﻲ اﻟﺨﻤﺎﺱﻲ ‪. BCDEF‬‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪ -‬وﺟﻪ ﻡﺨﻔﻲ‪ :‬اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪. ABF‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪ -‬وﺟﻪ ﻇﺎهﺮ‪ :‬اﻟﻤﺜﻠﺚ ‪. ABC‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪(1 .4‬‬ ‫‪4cm‬‬‫‪8cm‬‬ ‫‪α‬‬ ‫‪8cm‬‬

‫‪ .2‬ﻡﺤﻴﻂ اﻟﻘﺎﻋﺪة هﻮ ‪ . 2 × 3,14 × 4 = 25,12‬إذن اﻟﻤﺪور إﻟﻰ اﻟﻤﻴﻠﻴﻤﺘﺮ ﻟﻬﺬا اﻟﻤﺤﻴﻂ هﻮ‬ ‫‪. 25,1cm‬‬ ‫‪ .3‬ﺡﺴﺎب زاوﻳﺔ اﻟﻤﺨﺮوط ‪: α‬‬ ‫ﻡﺤﻴﻂ اﻟﺪاﺋﺮة اﻟﺘﻲ ﻧﺼﻒ ﻗﻄﺮهﺎ ‪ 8 cm‬هﻮ ‪. 2 × 3,14 × 8 = 50,24‬‬ ‫‪α 360‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ﺟﺪول اﻟﺘﻨﺎﺱﺒﻴﺔ اﻟﺘﺎﻟﻲ‪:‬‬ ‫‪25,12 50,24‬‬ ‫اﻟﺰاوﻳﺔ اﻟﻤﺮآﺰﻳﺔ ﺑﺎﻟﺪرﺟﺎت‬ ‫ﻃﻮل اﻟﻘﻮس ﺑـ ‪cm‬‬‫‪.α‬‬ ‫=‬ ‫‪360 × 25,12‬‬ ‫‪= 180‬‬ ‫وﻡﻨﻪ‪:‬‬ ‫‪α × 50,24‬‬ ‫‪= 360 × 25,12‬‬ ‫ﻧﺴﺘﻨﺘﺞ أن‬ ‫‪50,24‬‬ ‫زاوﻳﺔ اﻟﻤﺨﺮوط هﻲ ‪. 180°‬‬ ‫‪.5‬‬ ‫‪C 3‬‬ ‫‪C2‬‬ ‫‪C1‬‬ ‫اﻟﻤﺨﺮوط‬ ‫‪ 9,9‬؟‬ ‫‪1‬‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻧﺼﻒ اﻟﻘﻄﺮ) ‪( cm‬‬ ‫اﻻرﺗﻔﺎع ) ‪( cm‬‬ ‫‪6 30‬‬ ‫‪7‬‬ ‫اﻟﺤﺠﻢ ) ‪( cm3‬‬ ‫‪610 31,4 263,760‬‬ ‫‪.6‬‬ ‫‪( 4,2 )2‬‬ ‫‪×7‬‬ ‫=‬ ‫‪41,16 cm3‬‬ ‫‪ .1‬اﻟﺤﺠﻢ هﻮ‪:‬‬ ‫‪.3‬‬ ‫‪.‬‬ ‫× ‪50‬‬ ‫‪3‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫‪cm‬‬ ‫هﻮ‪:‬‬ ‫اﻻرﺗﻔﺎع‬ ‫‪.2‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪.7‬‬ ‫ﺡﺠﻢ اﻷﺱﻄﻮاﻧﺔ‪3,14 ×( 4 )2 × 2 = 100,48 cm3 :‬‬ ‫‪3,14 ×( 4‬‬ ‫‪)2‬‬ ‫‪×7‬‬ ‫=‬ ‫‪117,22 cm3‬‬ ‫اﻟﻤﺨﺮوط‪:‬‬ ‫ﺡﺠﻢ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪( 6 )2 × 9‬‬ ‫‪= 108 cm3‬‬ ‫ﺡﺠﻢ اﻟﻬﺮم ‪:‬‬ ‫‪3‬‬ ‫أآﺒﺮ ﻡﺠﺴﻢ ﻓﻲ اﻟﺤﺠﻢ هﻮ اﻟﻤﺨﺮوط‪.‬‬ ‫‪.8‬‬ ‫‪π( a )2 b‬‬ ‫=‬ ‫‪πa × a × b‬‬ ‫=‬ ‫‪πab‬‬ ‫‪×a‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪1‬‬ ‫اﻟﻤﺨﺮوط‬ ‫ﺡﺠﻢ‬ ‫‪.1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪π( b )2 a‬‬ ‫=‬ ‫‪πb × b × a‬‬ ‫=‬ ‫‪πab‬‬ ‫×‬ ‫‪b‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﺡﺠﻢ اﻟﻤﺨﺮوط ‪1‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪3‬‬