دروس مادة الرياضيات للفصل الاول للشعب العلمية سنة ثالثة ثانوي

‫‪ x2 + x - 4 → - 4‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﻷﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫→‪>‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ (2‬ﺘﺒﻴﺎﻥ ﺃﻨﻪ ﻴﻤﻜﻥ ﻜﺘﺎﺒﺔ ‪ f x‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﻜل ‪( ):‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪= ax + b +‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪(ax‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b) (x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫=‬ ‫‪ax 2‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪x + bx‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪x +1‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫=‬ ‫‪ax2 +‬‬ ‫‪(a‬‬ ‫‪+ b) x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪a = 1‬‬ ‫‪a = 1‬‬ ‫‪b = 0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ a + b = 1 :‬ﺃﻱ ‪:‬‬ ‫‪c = -4‬‬ ‫‪b + c = -4‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫‪=x -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪ -3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ lim f ( x ) = -∞ :‬ﻭ ∞‪lim f ( x ) = +‬‬ ‫><‬ ‫‪x →−1‬‬ ‫‪x →−1‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ x = -1 :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ‪.‬‬ ‫‪lim -4 = 0‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪f (x) = x -‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪x→+∞ x + 1‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ y = x :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻟﻤﺎﺌل ﻋﻨﺩ ∞‪ +‬ﻭ ﻋﻨﺩ ∞‪. −‬‬ ‫‪ -4‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻭﻀﻊ ﺍﻟﻨﺴﺒﻲ ﻟـ ∆ ﻭ )‪( ): (C‬‬

f ( x) -y= -4 x +1 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ x −∞ -1 +∞ x+1 - + + - f (x)− y ( ). (C) ‫ﺇﺫﻥ ∆ ﻻ ﻴﻘﻁﻊ‬ ( ∆ ) ‫( ﻴﻘﻊ ﻓﻭﻕ‬C) : x ∈ ]-∞ ; -1[ ‫ﻟﻤﺎ‬ ( ∆ ) ‫( ﻴﻘﻊ ﺘﺤﺕ‬C) : x ∈ ]1 ; +∞[ ‫ﻟﻤﺎ‬ . 8‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬Df = ]-∞ ; +∞[( )lim f x = lim 2x + x2 + 1 = lim 2x+ x2  1 + 1 x→−∞ x→−∞ x→−∞  x2  = lim 2x + x2 1+ 1 x→−∞ x2 = lim 2x + x . 1+ 1 x→−∞ x2 = lim 2x - x 1+ 1 = lim x 2 - 1+ 1  = -∞ x→−∞ x2  x2  x→−∞ lim f ( x) = lim 2x + x2 + 1 = +∞x → +∞ x→+∞ :‫ ﺤﺴﺎﺏ‬-2lim f ( x ) - 3x = lim 2x + x2 + 1 - 3xx→+∞ x→+∞

‫‪= lim -x + x2 + 1‬‬ ‫‪)x2 + 1‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪( ) (-x + x2 + 1 -x -‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x→+∞ - x - x2 + 1‬‬ ‫)‪= lim x2 - (x2 + 1‬‬ ‫‪x→+∞ - x - x2 + 1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪−1 = 0‬‬ ‫‪x→+∞ − x - x2 + 1‬‬‫‪lim f ( x ) - x = lim 2x + x2 + 1 - x‬‬‫∞‪x → −‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪= lim x + x2 + 1‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫‪( ) ( )x + x2 + 1 x - x2 + 1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x→−∞ x - x2 + 1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪−1 = 0‬‬ ‫‪x→−∞ − x - x2 + 1‬‬ ‫‪ -3‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪ f ( x) - 3x‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ y = 3x :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل ﻋﻨﺩ ∞‪. +‬‬ ‫‪( )lim‬‬ ‫‪ f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪- x = 0 :‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪ y = x :‬ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﻤﻘﺎﺭﺏ ﻤﺎﺌل ﻋﻨﺩ ∞‪. −‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ a‬ﻭ ‪: b‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ -1 ≤ sin x ≤ 1 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪3 ≤ 4 + sin x ≤ 5 :‬‬ ‫‪ -2‬ﺘﺒﻴﺎﻥ ﺃﻥ ‪v( x ) ≤ f ( x ) ≤ u( x ) :‬‬

3 ≤ 4 + sin x ≤ 5 : ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ 3 ≤ 4 + sin x ≤ 5 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ x2 x2 x2 3 5 x2 ≤ f (x) ≤ x2 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬ : ‫ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬-3 lim 3 = lim 5 =0 : ‫ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‬x x2 x→+∞ x2 x → +∞ lim f ( x) = 0 : ‫ﻓﺈﻥ‬ x→+∞ lim 3 = lim 5 =0 : ‫ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ‬x x2 x→−∞ x2 x → −∞ lim f ( x) = 0 : ‫ﻓﺈﻥ‬ x→−∞ lim f ( x) = lim 4 + sin x = +∞ -4 x→0 x→0 x2 . 10‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‬ : ‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺎﺕ‬ lim f ( x) ; lim f ( x) x → −∞ x→+∞ f ( x) = - 1 : α=1 ‫ﺃﻱ‬ α - 1 = 0 ‫ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬x 3 1 ( ) ( )lim f 3 x→+∞ x = lim f x = - : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ x → +∞ α + 1= 0 ‫ ﺃﻱ‬α - 1 ≠ 0 ‫ﻭ‬ α2 - 1 = 0 : ‫ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ‬x . α = -1 : ‫ﻭﻤﻨﻪ‬f ( x) = -2x + 1 = 2 x - 1 -3 3 3

‫‪( )lim f‬‬‫‪x‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪-‬‬ ‫∞‪x → −‬‬ ‫‪3‬‬‫∞‪x → −‬‬‫‪( )lim f‬‬‫‪x‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫∞‪+‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪3‬‬‫∞‪x → +‬‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ }‪α ∈ - {-1 ; 1‬‬ ‫‪(α - 1) x = α - 1 = 1‬‬ ‫‪α2 - 1 x α2 - 1 α + 1‬‬‫‪( )lim f ( x) = lim‬‬‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫)‪(α - 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪α-1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪α2 - 1‬‬ ‫‪α+1‬‬ ‫‪α2 - 1‬‬‫‪( )lim f ( x) = lim‬‬ ‫=‬ ‫=‬‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬ ‫‪ -1‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫}‪ Df = - {1‬ﺃﻱ ‪Df = ]-∞ ; 1[ ∪ ]1 ; +∞[ :‬‬ ‫‪ -2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪: -1‬‬‫‪lim f ( x) = lim‬‬ ‫‪x3 + 1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1) (x2‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪1‬‬ ‫=‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪1‬‬‫‪x→−1‬‬ ‫‪x→−1‬‬ ‫‪x→−1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪( ) ( ). -1‬‬ ‫‪lim f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=f‬‬ ‫‪−1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪x→−1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ∞‪ : x ∈ 1 ; +‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻨﺎﻁﻘﺔ ‪] [.‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ : x ∈ -∞ ; 1‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺤﺩﻭﺩ ‪] [.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫)‪f (1‬‬ ‫=‬ ‫‪(1)2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪(1)2 + 1‬‬

‫‪( )lim f x = lim x2 = 1‬‬‫‪2‬‬ ‫>‬‫‪x + 1 2x→1‬‬ ‫>‬ ‫‪x→1‬‬‫‪( )lim f x = lim −1 + 1 = 0‬‬‫‪2‬‬ ‫<‬ ‫<‪x‬‬‫‪x→1‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ f‬ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ 1‬ﻷﻨﻬﺎ ﻻ ﺘﻘﺒل ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪.1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ‪ b‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪: 0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f (0) = 2(0)2 + 1 :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪f (0) = 1 :‬‬‫‪( )lim f x = lim ax + b = b‬‬‫‪2‬‬ ‫>‬‫‪x + 4 4x→0‬‬ ‫>‬ ‫‪x→0‬‬‫‪lim f ( x) = lim‬‬ ‫‪2x2 + 1 = 1‬‬‫<<‬‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫ﺤﺘﻰ ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﻴﻜﻭﻥ ‪:‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪b = 4‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪=1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( )f x = 0 :‬‬ ‫‪ (1‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ -∞ ; -3 :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f :‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ] ]‬ ‫∞‪lim f ( x) = -‬‬ ‫ﻭ‬ ‫ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪f ( −3) = 1 :‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f x = 0‬ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] [ ( ). -∞ ; -3‬‬ ‫‪ (2‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ : -3 ; -2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ] [‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f −3 = 1‬ﻭ ‪ f −2 = -3‬ﻭﻤﻨﻪ ﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ) ( ) (‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f x = 0‬ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] [ ( ). -3 ; -2‬‬ ‫‪ (3‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ : -2 ; 3‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ] [‬

‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ f −2 = -3 :‬ﻭ ‪ f 3 = 4‬ﻭﻤﻨﻪ ﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ) ( ) (‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f x = 0‬ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪] [ ( ). -2 ; 3‬‬ ‫ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ :‬ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f x = 0‬ﻋﻠﻰ ﻫﻲ ﺜﻼﺙ ﺤﻠﻭل‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬ ‫= ‪Df‬‬ ‫‪ (1‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫‪ (2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪: D f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫‪;x >1‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫‪;x <1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f (1) = 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f (x) = x + 1 ; x > 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫;‬ ‫‪x‬‬ ‫<‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪ 1 ; +‬ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺍﻟﺤﺩﻭﺩ[ ]‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ -∞ ; 1‬ﻷﻨﻬﺎ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺤﺩﻭﺩ ‪] [.‬‬ ‫‪lim f ( x) = lim (x - 1) = 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫<<‬ ‫‪x→1‬‬ ‫‪x→1‬‬‫‪lim f ( x) = lim x + 1 = 2‬‬‫>>‬‫‪x→1‬‬ ‫‪x→1‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ f‬ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ‪ 1‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ f‬ﻏﻴﺭ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪. D f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬ ‫ﺘﻌﻴﻴﻥ ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( )f x = 2‬‬

‫‪ (1‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ : -∞ ; 0‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ﺘﺄﺨﺫ] ]‬ ‫ﻗﻴﻤﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ -4 ; 4‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 2 ∈ -4 ; 4‬ﻓﺈﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ] ] ] ]‬ ‫‪ f x = 2‬ﺤل ﻭﺤﻴﺩ ﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ (2‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪ : 0 ; +‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻭ ﺘﺄﺨﺫ[ [‬‫ﻗﻴﻤﻬﺎ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ -2 ; 4‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ 2 ∈ -2 ; 4‬ﻓﺈﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f x = 2‬ﺤل] [ [ ] ) (‬ ‫ﻭﺤﻴﺩ ﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ‪.‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f x = 2‬ﺤﻠﻴﻥ ﻓﻲ ‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬ ‫ﺇﻨﺸﺎﺀ ﺒﻴﺎﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺂﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f ( x) 0‬ﺘﻘﺒل ﺤﻼ ﻭﺤﻴﺩﺍ ﻤﺤﺼﻭﺭ ﻓﻲ ‪@ >. 1,78 ; 1,79‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 18‬‬

‫; ‪0‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪2x - cosx = 0‬‬ ‫ﺇﺜﺒﺎﺕ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﺘﻘﺒل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﺤﻼ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪6 ‬‬‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻭ ﻤﻨﻪ ﻓﻬﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6 ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫>‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪π‬‬ ‫=‬ ‫‪2π‬‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 6 ‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪ f (0) = 2(0) - cos0 x‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪f (0) = -1 :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫‪<0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪‬‬‫‪π‬‬‫ﺤل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪6 ‬‬‫; ‪( )0‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻭﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪= 0‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 19‬‬ ‫‪ -1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﻋﻨﺩ ‪: 0‬‬‫)‪lim f ( x‬‬ ‫‪x sin x‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪cos‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1 - cosx‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪2sin2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2x sin x cos x‬‬ ‫‪x cos x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 = lim‬‬ ‫‪2‬‬‫‪= lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪2 sin 2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪cos x‬‬ ‫‪cos x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬‫‪= lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2 cos x‬‬ ‫‪2‬‬‫‪= lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=2‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪( ) ( ). 0‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪=f‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪ -2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪: D f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫=‬ ‫‪x sin x‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ‬ ‫‪1 - cosx‬‬‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻷﻨﻬﺎ ﺠﺩﺍﺀ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ‪x sin x :‬‬‫‪ x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻷﻨﻬﺎ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪1 - cosx :‬‬‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﺤﺎﺼل ﻗﺴﻤﺔ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﻓﻬﻲ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪.‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪Df‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪π‬‬ ‫;‬ ‫‪0‬‬ ‫∪‬ ‫‪‬‬ ‫‪0‬‬ ‫;‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 20‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﺒﺭﻫﺎﻥ ﻋﻠﻰ ﻭﺠﻭﺩ ‪: α‬‬‫ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻜﻤﺎﻴﻠﻲ ‪ g x = f x - x :‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ] ( ) ( )0 ; 1‬‬‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍل ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ 0 ; 1‬ﻷﻨﻬﺎ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ‪[ ] [ ]. 0 ; 1‬‬ ‫‪ x‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ )‪ g (0) = f (0‬ﻭ ‪g (1) = f (1) - 1‬‬

‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ‪ f x‬ﺘﻨﺘﻤﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 0 ; 1‬ﻓﺈﻥ ‪[ ]( ) ( )0 ≤ f x ≤ 1 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪ 0 ≤ f (0) ≤ 1 :‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪0 ≤ g (0) ≤ 1‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪. g (0) ≥ 0‬‬ ‫ﻭﻜﺫﺍﻟﻙ ‪ 0 ≤ f (1) ≤ 1‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪-1 ≤ f (1) - 1 ≤ 0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪ g (1) ≤ 0‬ﻭﻤﻨﻪ ‪g (0) . g(1) ≤ 0 :‬‬ ‫ﻭﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ‪ α‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ 0 ; 1‬ﺒﺤﻴﺙ] [‬ ‫‪g(α) = 0‬‬ ‫ﺃﻱ ‪ f (α) - α = 0‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪f (α) = α :‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻬﻨﺩﺴﻲ ﻟﻠﻨﺘﻴﺠﺔ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ α‬ﻫﻭ ﺤل ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f x = x‬ﻭﻤﻨﻪ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻊ ﻤﻊ) (‬ ‫ﺍﻟﻤﻨﺼﻑ ﺍﻷﻭل ‪ y = x :‬ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪. α‬‬ ‫‪ -3‬ﻟﻨﺩﺭﺱ ﺼﺤﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]. a ; b‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪. g ( x ) = f ( x ) - x :‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪ a ; b‬ﻷﻨﻬﺎ ﻤﺠﻤﻭﻉ ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻤﺴﺘﻤﺭﺘﺎﻥ ﻋﻠﻰ ‪[ ] [ ]a ; b‬‬ ‫‪ g(a) = f (a) - a x‬ﻭ ‪g(b) = f (b) - b‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ a ≤ f ( x ) ≤ b :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪a ≤ f (a ) ≤ b :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ 0 ≤ f (a ) - a ≤ b-a :‬ﻭﺒﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪f (a) - a ≥ 0 :‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪g (a) ≥ 0 :‬‬ ‫ﻭﻜﺫﻟﻙ ‪ a ≤ f (b) ≤ b :‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪g (b) ≤ 0 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪g(a) . g(b) ≤ 0 :‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻴﻭﺠﺩ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻋﺩﺩ ‪ α‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]a ; b‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪ f (α) - α = 0‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪f (α) = α‬‬

‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ C f‬ﻴﺘﻘﺎﻁﻊ ﻤﻊ ﺍﻟﻤﻨﺼﻑ ﺍﻷﻭل ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪( ). α‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ﺘﺒﻘﻰ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺍﻟﺴﺎﺒﻘﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 21‬‬ ‫‪ (1‬ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪x2 - 13x + 36 = 0 :‬‬ ‫‪ ∆ =25‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺤﻠﻴﻥ ‪:‬‬ ‫‪x2‬‬ ‫=‬ ‫‪13 +‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪9‬‬ ‫ﻭ‬ ‫‪x1‬‬ ‫=‬ ‫‪13 -‬‬ ‫‪5‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ (2‬ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪x6 - 13x3 + 36 = 0 :‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ x3 = z‬ﻨﺠﺩ ‪z2 - 13z + 36 = 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻴﻥ ‪ z1 = 4‬و ‪ z2 = 9‬ﻭﻤﻨﻪ ‪ x3 = 4 :‬ﻭ ‪x3 = 9‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ x = 3 4 :‬ﺃﻭ ‪x = 3 9‬‬ ‫‪ (3‬ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪x2n - 13xn + 36 = 0 :‬‬ ‫ﺒﻭﻀﻊ ‪ xn = y‬ﻨﺠﺩ ‪y2 - 13y + 36 = 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﺤﻠﻴﻥ ‪ y1 = 4 :‬ﻭ ‪y2 = 9‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ xn = 4 :‬ﺃﻭ ‪xn = 9‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ x = n 4 :‬ﺃﻭ ‪x = n 9‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 22‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺤﺩﻭﺩ ﻤﻥ ﺍﻟﺩﺭﺠﺔ ‪ n‬ﻭﺩﺭﺠﺘﻪ ﻓﺭﺩﻴﺔ‬‫‪( )f‬‬‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪an xn‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a xn‬‬ ‫‪+.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪.‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a1 x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪a0‬‬ ‫‪n-1‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ an ≠ 0‬ﻭ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻓﺭﺩﻱ ﻨﻔﺭﺽ ‪an > 0‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ‪.‬‬ ‫ﻭ) (‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪an xn‬‬ ‫‪lim f‬‬ ‫=‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫∞‪x → +‬‬ ‫‪( )lim f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪an xn‬‬ ‫∞‪= -‬‬ ‫∞‪x→−‬‬ ‫∞‪x→−‬‬

‫‪ .‬ﺃﻱ ﺃﻥ‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺤﺴﺏ ﻨﻅﺭﻴﺔ ﺍﻟﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﺘﻭﺴﻁﺔ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪ f x = 0‬ﺤل ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ﻓﻲ) (‬ ‫‪ f x‬ﻴﻨﻌﺩﻡ ﻤﺭﺓ ﻭﺍﺤﺩﺓ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل‪( ).‬‬

‫ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻗﻴﺔ‬ ‫ﺍﻟﻜﻔﺎﺀﺓ ﺍﻟﻤﺴﺘﻬﺩﻓﺔ‬ ‫‪ -1‬ﺘﻭﻅﻴﻑ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻟﺤل ﻤﺸﻜﻼﺕ‪.‬‬ ‫‪ - 2‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺩﺍﻟﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﻟﺘﻘﺭﻴﺏ ﺍﻟﺨﻁﻲ ﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪ -4‬ﺍﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﻟﺘﻌﻴﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺍﻻﻨﻌﻁﺎﻑ ﻭﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺯﺍﻭﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -5‬ﺤﺴﺎﺏ ﻤﺸﺘﻕ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻜﺒﺔ‪.‬‬‫‪ -6‬ﺤل ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪ y′ = f ( x ) :‬ﻭ ) ‪y′′ = f ( x‬‬‫ﺘﺼﻤﻴﻡ ﺍﻟﺩﺭﺱ‬ ‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬‫ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻋﺩﺩ‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻻﻨﻌﻁﺎﻑ‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ‬ ‫ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻭ ﺍﻻﺘﺼﺎل‬ ‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬

‫ﺃﻨﺸﻁﺔ‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 1‬‬‫‪ -1‬ﺃﻨﺸﺊ ﺒﺂﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ )‪ (C‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ \‬‫ﻭﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ) (‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪x2 + 1 :‬‬ ‫∆ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪( ). y = 2x :‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺩﺭﺱ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ . 0‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ؟‬‫‪ -3‬ﻨﺎﻗﺵ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻭﻀﻌﻴﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ )‪ (C‬ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺘﺄﻜﺩ ﻤﻥ) (‬ ‫ﺼﺤﺔ ﺍﻟﻨﺘﺎﺌﺞ ﺤﺴﺎﺒﻴﺎ ‪ .‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﺴﺘﻨﺘﺞ ؟‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ‬ ‫‪y‬‬‫‪1,5‬‬‫‪1‬‬‫‪0,5‬‬‫‪-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0‬‬ ‫‪0,5 1 1,5 2 2,5 x‬‬ ‫‪-0,5‬‬‫‪-1‬‬ ‫‪ -2‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪: 0‬‬ ‫ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪Df = \ :‬‬

‫‪f‬‬ ‫)‪(0 +h‬‬ ‫‪-f‬‬ ‫)‪(0‬‬ ‫‪2h‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪h2 + 1‬‬ ‫‪h‬‬‫‪h→0‬‬ ‫‪x→0‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪2h‬‬ ‫×‬ ‫‪1 = lim‬‬ ‫‪2 =2‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h2 + 1‬‬ ‫‪h h→0‬‬ ‫‪h2 + 1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ 0‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪( )f ′ 0 = 2‬‬‫ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪ :‬ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﻴﺸﻤل ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪ 0‬ﻭ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ ‪ 2‬ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ∆ ﻫﻭ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ) ( ) (‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪ (C‬ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪. 0‬‬ ‫‪ -3‬ﻭﻀﻌﻴﺔ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ )‪ (C‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ‪( ).‬‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ : -∞ ; 0‬ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ )‪ (C‬ﻴﻘﻊ ﻓﻭﻕ ∆[ ] ) (‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ∞‪ : 0 ; +‬ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ )‪ (C‬ﻴﻘﻊ ﺘﺤﺕ ∆[ ] ) (‬ ‫ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ O‬ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ )‪ (C‬ﻭ ∆ ﻴﺘﻘﺎﻁﻌﺎﻥ‪( ).‬‬ ‫‪ -‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺤﺴﺎﺒﻴﺎ ‪:‬‬‫= ‪f (x) - y‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫= ‪2x‬‬ ‫)‪2x - 2x ( x2 + 1‬‬ ‫‪x2 +‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫= ‪- 2x‬‬ ‫‪−2 x 3‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫∞‪−‬‬ ‫ﺠﺩﻭل ﺍﻹﺸﺎﺭﺓ ‪( )f x - 2x :‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪−2 x 3‬‬ ‫‪+‬‬ ‫∞‪0 +‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪x2 + 1‬‬ ‫‪-‬‬‫‪f ( x)-2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ (C) : x ! 0‬ﻴﻘﻊ ﺘﺤﺕ ∆) (‬

‫ﻟﻤﺎ ‪ (C) : x  0‬ﻴﻘﻊ ﻓﻭﻕ ∆) (‬ ‫ﻟﻤﺎ ‪ (C) x 0‬ﻴﻘﻁﻊ ∆ ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ 0‬ﻭﻫﻲ ﺍﻟﻤﺒﺩﺃ ‪( ). O‬‬ ‫ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬‫ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ∆ ﻴﺨﺘﺭﻕ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ ∆ ﻓﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻤﺎﺱ ‪ O‬ﻭ ﺘﺩﻋﻰ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ O‬ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻨﻌﻁﺎﻑ‪( ) ( ).‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 2‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ \ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( )f x = x2 + 4 :‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x0‬ﻭ ‪( ) ( )h‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪x0 + h - f‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ‪:‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻊ ‪ . h ≠ 0‬ﺜﻡ ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪:‬‬‫‪f‬‬ ‫‪( x0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪h‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪f‬‬ ‫) ‪( x0‬‬ ‫=‬ ‫‪2x0 + h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪( x0 + h)2 + 4 +‬‬ ‫‪x02 + 4‬‬ ‫‪ lim‬ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻤﺜل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‪( ) ( ).‬‬‫‪f‬‬ ‫‪x0‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪x0 + h - f‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ‪:‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪ (3‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ \ ﻭ ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬‫‪f ( x0 + h) - f ( x0 ) = ( x0 + h)2 + 4 - x02 + 4‬‬ ‫‪hh‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( x0+ h)2 + 4 -‬‬ ‫‪x02‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( x0+ h)2 + 4 +‬‬ ‫‪x02‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪= ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪( x0 + h)2 + 4 +‬‬ ‫‪x02 + 4‬‬ ‫‪‬‬

( )= ( x0 + h)2 + 4 - x02 + 4  ( x0 + h)2 + 4 +  h  x02 + 4  = x02 + 2x0h + h2 + 4 - x02 - 4  ( x0 + h)2 + 4 +  h  x02 + 4  = 2x0h + h2   ( x0 + h)2 + 4 +  h  x02 + 4 = h ( 2x0 + h)  ( x0 + h)2 + 4 +  h  x02 + 4  f ( x0 + h) - f ( x0 ) = 2x0h + h2 : ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ h ( x0 + h)2 + 4 + x02 + 4lim f ( x0 + h) - f ( x0 ) = lim : ‫ ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ‬-2 h→0h→0 h 2x0h + h2 ( x0 + h)2 + 4 + x02 + 4 = 2x0 x02 + 4 + x02 + 4 = 2x0 2 x02 + 4

‫‪lim‬‬ ‫‪f ( x0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪h‬‬ ‫‪-‬‬ ‫) ‪f ( x0‬‬ ‫=‬ ‫‪2x0‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪:‬‬ ‫‪x02 + 4‬‬‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻬﺎﻴﺔ ﺘﻤﺜل ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪. x0‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ \ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪f ′(x) = x‬‬ ‫‪x2 + 4‬‬ ‫ﺍﻟﻨﺸﺎﻁ ‪: 3‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ )‪ (C‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ C′‬ﻟﺩﺍﻟﺘﻬﺎ) (‬ ‫‪y‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬ﻋﻠﻰ \ ‪.‬‬‫‪(c') 2‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ )‪ f ′( x‬ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -2‬ﻋﻴﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪-2 -1 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺒﻴﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﻌﻼﻗﺔ‬ ‫‪-3‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫ﺇﺸﺎﺭﺓ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ‬ ‫ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ‬ ‫‪-2‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‪.‬‬ ‫‪-3‬‬‫‪(c) -4‬‬

‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪ -1‬ﺩﺭﺍﺴﺔ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪( ): f x′‬‬‫∞‪x -‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫∞‪1 +‬‬‫)‪f ′(x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪ -2‬ﺘﻌﻴﻴﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪: f‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ -∞ ; -1‬ﻭ ∞‪[ [ ] ]1 ; +‬‬ ‫ﻭﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]-1 ; 1‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﻻﺴﺘﻨﺘﺎﺝ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f ′‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺃﻭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﻋﻨﺩ ﻗﻴﻡ ﻤﻌﺯﻭﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪.I‬‬ ‫ﻭﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f ′‬ﺴﺎﻟﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺃﻭ ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﻋﻨﺩ ﻗﻴﻡ ﻤﻌﺯﻭﻟﺔ ﻤﻥ ﻤﺠﺎل ‪ J‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. J‬‬

‫‪ -1‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻋﺩﺩ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 1‬‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ . D f‬ﻨﻘﻭل ﻋﻠﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺃﻨﻬﺎ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ x0‬ﺇﺫﺍ ﻭﺍﻓﻕ ﺇﺫﺍ‬ ‫‪lim f ( x0 + h) - f ( x0 ) = A‬‬ ‫ﻜﺎﻥ ‪; A ∈ \ :‬‬ ‫‪h→0 h‬‬ ‫ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ A‬ﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﻭ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻪ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪( ). f x′‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:1‬‬ ‫‪ f : x 6‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫=‬ ‫‪2‬‬ ‫‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪D f = \* :‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(2+ h) -‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪2-2-h‬‬ ‫‪2‬‬ ‫)‪2 (2 + h‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪h‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪2+h‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬‫‪h→0‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪-h‬‬ ‫×‬ ‫‪1‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫)‪2 (2 + h‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫)‪2 (2 + h‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪( )f ′ 2‬‬ ‫=‬ ‫‪-‬‬ ‫‪1‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 2‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪4‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬ ‫ﺍﺩﺭﺱ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪x 6 x : f‬‬ ‫\ = ‪ f ( x) = x , x ≥ 0 . Df‬‬ ‫‪‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫)‪x‬‬ ‫=‬ ‫‪x‬‬ ‫‪,‬‬ ‫‪x‬‬ ‫≤‬ ‫‪0‬‬

‫‪• lim‬‬ ‫‪f (h) - f (0) = lim h - 0 = 1‬‬ ‫>‬ ‫‪h‬‬ ‫>‪h‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h→0‬‬‫‪lim f (h) - f (0) = lim -h = -1‬‬ ‫<‬ ‫‪h‬‬ ‫<‪h‬‬‫‪h→0‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ﻟﻴﺱ ﻟﻠﻨﺴﺒﺔ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﻭ ﻋﻠﻴﻪ ‪ f‬ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪. 0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻗﺒﻠﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻓﺈﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻴﻘﺒل ﻓﻲ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪( ( ))A x0 ; f x0‬‬ ‫ﻤﻤﺎﺴﺎ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻬﻪ ‪ . f ′ x‬ﻭﻴﻘﺒل ﻜﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪( ):‬‬ ‫) ‪y = f ( x0 ) × ( x - x0 ) + f ( x0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻌﺩﺩﻱ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻗﺒﻠﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﺘﺂﻟﻔﻴﺔ ‪:‬‬‫‪ x 6 f x x - x0 + f x0‬ﻫﻲ ﺘﻘﺭﻴﺏ ﺘﺂﻟﻔﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺒﺠﻭﺍﺭ ‪( ) ( ) ( ). x0‬‬ ‫ﺃﻱ ﺃﻥ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻫﻭ ﺃﺤﺴﻥ ﺘﻘﺭﻴﺏ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪. x0‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻔﺴﻴﺭ ﺍﻟﻔﺯﻴﺎﺌﻲ ‪:‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺍﻟﺤﺭﻜﺔ ‪ x 6 x t :‬ﻓﺈﻥ ‪ x′ t0 :‬ﻫﻭ ﺍﻟﺴﺭﻋﺔ) ( ) (‬ ‫ﺍﻟﻠﺤﻅﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ‪. to‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ x 6 v t‬ﻫﻭ ﻗﺎﻨﻭﻥ ﺤﺭﻜﺔ ﻓﺈﻥ ‪( ):‬‬ ‫‪ v′ t0‬ﻫﻭ ﺍﻟﺘﺴﺎﺭﻉ ﻓﻲ ﺍﻟﻠﺤﻅﺔ ‪( ). to‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 2‬‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪  x0 ; x0 + α‬ﺤﻴﺙ ‪ x0‬و ‪α‬‬‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻊ ‪ α > 0‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺃﻨﻬﺎ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﺇﺫﺍ ﻭﻓﻕ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( x0‬‬ ‫)‪+ h‬‬ ‫‪-f‬‬ ‫) ‪( x0‬‬ ‫=‬ ‫‪A1‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h>0‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ A1‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪: 3‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻷﻗل ‪ ،‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪ x0 - α ; x0 ‬ﺤﻴﺙ ‪ x0‬و ‪α‬‬‫ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻤﻊ ‪ α > 0‬ﻨﻘﻭل ﻋﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺃﻨﻬﺎ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻥ ‪ x0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﺇﺫﺍ ﻭﺍﻓﻕ‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪:‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪( x0‬‬ ‫‪+‬‬ ‫)‪h‬‬ ‫‪-‬‬ ‫‪f‬‬ ‫) ‪( x0‬‬ ‫‪= A2‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h<0‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ A 2‬ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ﻭﻴﺴﻤﻰ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 1‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x 6 x x : f‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻓﻲ ‪ 0‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻷﻨﻬﺎ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫[∞‪ [0 ; +‬ﻭ‬‫‪lim f (h) - f (0) = lim h h = lim h = 0‬‬‫‪h→0 h‬‬ ‫‪h→0 h‬‬ ‫‪h→0‬‬‫‪h>0 h>0 h>0‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 2‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x 6 4 - x : f‬ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻓﻲ ‪ 4‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻷﻥ ‪:‬‬‫‪lim f (h) - f (0) = lim‬‬ ‫‪-h = lim‬‬ ‫‪h‬‬‫‪h→0 h‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h h→0‬‬ ‫‪-h . -h‬‬‫‪h<0 h<0‬‬ ‫‪h<0‬‬ ‫∞‪= lim 1 = -‬‬ ‫‪− -hh→0‬‬ ‫‪h<0‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪: 3‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x 6 x : f‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻓﻲ ‪ 0‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻷﻨﻬﺎ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ \ ﻭ‬ ‫‪lim h - 0 = lim h = 1‬‬ ‫‪h→0 h‬‬ ‫‪h→0 h‬‬ ‫‪h>0 h>0‬‬ ‫ﻭﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻓﻲ ‪ 0‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻷﻥ ‪:‬‬

‫‪lim h - 0 = = lim -h = -1‬‬‫‪h→0 h‬‬ ‫‪h→0 h‬‬‫‪h<0 h<0‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪. 0‬‬ ‫ﻨﺘﻴﺠﺔ ‪:‬‬‫ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻓﻲ ‪ x0‬ﺇﺫﺍ ﻭﺍﻓﻕ ﺇﺫﺍ ﻗﺒﻠﺕ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻨﻔﺱ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻭ‬ ‫ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻓﻲ ‪. x0‬‬ ‫ﺍﻻﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﻭ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x0‬ﺘﻜﻭﻥ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ‬ ‫ﻋﻨﺩ ‪. x0‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫ﻋﻜﺱ ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻨﻅﺭﻴﺔ ﻏﻴﺭ ﺼﺤﻴﺢ ‪.‬‬‫ﻓﻤﺜﻼ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x 6 x‬ﻤﺘﺴﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩﻩ ﻭ ﻟﻜﻨﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻜﻤﺎ ﺴﺒﻕ‪.‬‬ ‫ﺤﺎﻻﺕ ﺨﺎﺼﺔ ‪:‬‬‫‪ lim‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل) ( ) (‬ ‫‪h→0‬‬‫‪f x0 + h - f x0‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪= +∞ :‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻘﺒل ﻤﻤﺎﺴﺎ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ x0‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺘﻴﺏ‬ ‫‪x0‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻗﺒﻠﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻓﻲ ‪ x0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻓﺈﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻴﻘﺒل‬ ‫ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻭ ﻫﻭ‬ ‫ﻤﻌﺭﻑ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪y - f ( x0 ) = A1 ( x - x0 ) : x ≥ x0‬‬‫‪x0‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ A1‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ‪.‬‬‫* ﺇﺫﺍ ﻗﺒﻠﺕ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻓﻲ ‪ x0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻓﺈﻥ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻴﻘﺒل‬‫ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻭ ﻫﻭ‬ ‫ﻤﻌﺭﻑ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫ﻤﻥ ﺃﺠل ‪y - f ( x0 ) = A1 ( x - x0 ) : x ≤ x0‬‬‫‪x0‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ A 2‬ﻫﻭ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ‪.‬‬ ‫* ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﺍﻥ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﻥ ‪ A1‬ﻭ ‪A 2‬‬ ‫ﻤﺨﺘﻠﻔﺎﻥ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ x0‬ﺘﺩﻋﻰ ﻨﻘﻁﺔ ﺯﺍﻭﻴﺔ‪x0 .‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ﻜل ﻋﺩﺩ ‪ x‬ﻤﻥ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪( )x 6 f ′ x :‬‬‫ﺘﺴﻤﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬‫ﻓﺈﺫﺍ ﻭﻀﻌﻨﺎ ‪( )y = f x :‬‬‫‪( )dy‬‬‫ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ‬‫‪f‬‬‫‪x‬‬ ‫ﻓﺈﻨﻨﺎ ﻨﺭﻤﺯ ﺇﻟﻰ‬‫‪dx‬‬‫‪dy‬‬‫‪dx‬‬ ‫)‪= f ′(x‬‬ ‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ‪:‬‬‫ﺃﻱ ﺃﻥ ‪dy = f ′( x ) dx :‬‬

‫‪ -‬ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺄﻟﻭﻓﺔ ‪:‬‬‫ﺸﺭﻁ ﻤﺠﺎل‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ‬ ‫‪0‬‬ ‫‪x → 0‬‬ ‫‪ k‬ﺜﺎﺒﺕ ; ‪x → k‬‬ ‫‪x → 1‬‬ ‫\‬ ‫‪x → nxn-1‬‬ ‫; ‪x → x‬‬ ‫\‬ ‫‪x → -n‬‬ ‫*` ∈ ‪x → xn , n‬‬ ‫*\‬ ‫‪x → 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫*` ∈ ‪, n‬‬ ‫‪\*+‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪x → x‬‬‫\‬ ‫‪x → cosx‬‬ ‫‪x → sinx‬‬ ‫\‬ ‫‪x → -sinx‬‬ ‫‪x → cosx‬‬‫‪cosx ≠ 0‬‬ ‫‪x → tanx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫→‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪cos2 x‬‬ ‫‪ x‬ﻋﻤﻠﻴﺎﺕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f‬ﻭ ‪ g‬ﺩﺍﻟﺘﺎﻥ ﻗﺎﺒﻠﺘﺎﻥ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ a ; b‬ﻭ ﻜﺎﻥ ‪ λ‬ﻋﺩﺩﺍ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎ ﻓﺈﻥ ‪] [:‬‬ ‫‪ (1‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ‪ f + g‬ﻭ ‪ f × g‬ﻭ ‪ λ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪] [a ; b‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪(λ f )′ = λ f ′ :‬‬‫‪( f + g)′ = f ′ + g′ ; ( f . g)′ = f ′. g + f .g′‬‬

‫‪f‬‬ ‫‪1‬‬‫‪ g‬ﺘﻘﺒﻼﻥ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪g‬ﻭ‬‫‪] [ ] [a ; b‬‬ ‫‪ (2‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ g‬ﻻ ﻴﻨﻌﺩﻡ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪ a ; b‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫ﺒﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪ 1 ′‬‬ ‫=‬ ‫‪-g′‬‬ ‫;‬ ‫‪ f ′‬‬ ‫=‬ ‫‪f′ .g-f‬‬ ‫‪. g′‬‬ ‫‪ g ‬‬ ‫‪g2‬‬ ‫‪ g ‬‬ ‫‪g2‬‬ ‫‪ -‬ﻤﺸﺘﻕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺭﻜﺒﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ u‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻭ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ u x0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ) (‬ ‫‪ fou‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻭﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫‪( fou)′ ( x0 ) = u′( x0 ) . f ′ u( x0 )‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫‪( )g x‬‬ ‫=‬ ‫‪sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ g′‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. g‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f ( x) = sin x‬‬ ‫ﻭ‬ ‫)‪u( x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪3‬‬‫)‪g( x‬‬ ‫=‬ ‫)‪u′( x‬‬ ‫‪.f′‬‬ ‫‪u( x)‬‬ ‫‪= 2 . cos‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2x‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3 ‬‬ ‫ﻨﺘﺎﺌﺞ ‪:‬‬ ‫‪ u (1‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪n ∈ `*-{1} , f ( x ) = u( x )n :‬‬

‫ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f ′‬ﺤﻴﺙ ‪[ ]f ′( x ) = n . u(x) n−1 .u′(x) :‬‬ ‫ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ u‬ﻭ ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪( )g x = xn :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪( ) ( )f x = x2 + 1 4 :‬‬‫ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f ′‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ \ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( ) ( ) ( )f ′ x = u 2x x2 + 1 3 :‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪( )f ′( x) = 8x x2 + 1 3 :‬‬‫‪ u (2‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﺃﻴﻀﺎ‪.‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪( ) ( )f x = u x :‬‬‫‪( ) ( )f ′ x = u′ x‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f ′‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪( )2 u x‬‬‫ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ u‬ﻭ‪ g‬ﺤﻴﺙ ‪( )g x = x :‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ x 6 x2 + 4 : f‬ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f ′‬‬‫‪( )f ′ x‬‬ ‫=‬ ‫‪2x‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x2 + 4‬‬ ‫= )‪f ′(x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺇﺫﻥ ‪x2 + 4 :‬‬‫‪ a (3‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺤﻴﺙ ‪. a ≠ 0‬‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪( )x 6 sin ax + b : f‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ) ( )f ′ x = a cos ax + b :‬‬‫ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ x 6 ax + b :‬ﻭ ‪x 6 sin x‬‬ ‫‪ a (4‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺤﻴﺙ ‪. a ≠ 0‬‬

‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪( )x 6 cos ax + b : f‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ) ( )f ′ x = -a sin ax + b :‬‬ ‫ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ x 6 ax + b :‬ﻭ ‪x 6 cos x‬‬ ‫ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ D f‬ﻭ ‪ f ′‬ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‪.‬‬‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f ′‬ﻤﻭﺠﺒﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ )ﻴﻤﻜﻥ ﺃﻥ ﺘﻜﻭﻥ ‪ f ′‬ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ﻤﻨﻌﺯﻟﺔ ﻤﻥ ‪ ( D f‬ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ D f‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. D f‬‬ ‫‪ x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻗﻴﻡ ﻤﻨﻌﺯﻟﺔ ﻤﻥ ‪ ( D f‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ D f‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪. Df‬‬ ‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f ′‬ﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ D f‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﺎﺒﺘﺔ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. D f‬‬ ‫ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﺤﺩﻴﺔ ﺍﻟﻤﺤﻠﻴﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﻤﺒﺭﻫﻨﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻭ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻭ ‪ f ′‬ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‪.‬‬‫ﺇﺫﺍ ﺍﻨﻌﺩﻤﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬ﻋﻨﺩ ﻗﻤﺔ ‪ C‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻤﻐﻴﺭﺓ ﺇﺸﺎﺭﺘﻬﺎ ﻓﺈﻨﻪ ﻴﻭﺠﺩ ﻤﺠﺎل ‪ I′‬ﻤﺤﺘﻭﻯ ﻓﻲ ‪I‬‬ ‫ﻴﺸﻤل ‪ C‬ﺘﻘﺒل ﻓﻴﻪ ‪ f‬ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ‪ . f C‬ﺘﺴﻤﻰ ‪ f C‬ﻗﻴﻤﺔ ﺤﺩﻴﺔ ﻤﺤﻠﻴﺔ ‪( ) ( ).‬‬ ‫ﻤﻼﺤﻅﺔ ‪:‬‬ ‫‪ x‬ﻴﻤﻜﻥ ﻭﺠﻭﺩ ﻋﺩﺓ ﻗﻴﻡ ﺤﺩﻴﺔ ﻤﺤﻠﻴﺔ ﻋﻠﻰ ‪. I‬‬‫‪ x‬ﺇﺫﺍ ﺍﻨﻌﺩﻤﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬ﻋﻨﺩ ﻗﻴﻤﺔ ‪ C‬ﻤﻥ ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺭﺴﻡ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻘﺒل ﻤﻤﺎﺴﺎ ﻤﻭﺍﺯﻴﺎ‬ ‫ﻟﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﻓﺎﺼﻠﺘﻬﺎ ‪. C‬‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻥ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪. I‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f ′‬ﺘﺩﻋﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪. f ′′‬‬

‫ﻭ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪ f ′′‬ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻓﺈﻥ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺘﺩﻋﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺜﺎﻟﺜﺔ ﺃﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﺭﺘﻴﺒﺔ ‪ .‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻭﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﺒﺎﻟﺭﻤﺯ ‪ f ′′′‬ﻭ ﻫﻜﺫﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﺭﺘﺒﺘﻬﺎ‬ ‫‪ n ، ... ، 6 ، 5 ، 4‬ﺤﻴﺙ ‪ n‬ﻋﺩﺩ ﻁﺒﻴﻌﻲ ‪ n ≥ 4 ،‬ﻭ ﺍﻟﺘﻲ ﻨﺭﻤﺯ ﻟﻬﺎ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ‬ ‫)‪. f (4) , f (5) , . . . , f (n‬‬ ‫ﺘﺩﻋﻰ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ )‪ f (1) , f (2) , . . . , f (n‬ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ ‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪f ( x) = x4 - 4x3 + 12x + 6‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻜل ﻤﻥ )‪. f ′, f ′′, f ′′′, f (4) , f (5‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭﺓ ﺤﺩﻭﺩ ﻓﻬﻲ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ \ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f ′( x) = 4x3 + 12x2 + 12‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f ′‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻓﻬﻲ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ \ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f ′′( x) = 12x2 - 24‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f ′′‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻓﻬﻲ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ \ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f ′′′( x) = 24x‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f ′′′‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻓﻬﻲ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ \ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f (4) ( x ) = 24‬‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ )‪ f (4‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻜﺜﻴﺭ ﺤﺩﻭﺩ ﻓﻬﻲ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ \ ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪f ((5) x ) = 0‬‬

‫ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻻﻨﻌﻁﺎﻑ ‪:‬‬ ‫ﺘﻌﺭﻴﻑ ‪:‬‬ ‫ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻨﻌﻁﺎﻑ ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﻴﺨﺘﺭﻕ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻓﻴﻬﺎ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻲ‪.‬‬ ‫ﻨﺘﻴﺠﺔ ‪:‬‬‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻤﺭﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻤﻔﺘﻭﺡ ﻴﺸﻤل ‪ x0‬ﻭ ﺇﺫﺍ ﺍﻨﻌﺩﻤﺕ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ‬ ‫ﺍﻟﺜﺎﻨﻴﺔ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪ x0‬ﻤﻐﻴﺭﺓ ﺇﺸﺎﺭﺘﻬﺎ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M0‬ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ x0‬ﻫﻲ ﻨﻘﻁﺔ ﺍﻨﻌﻁﺎﻑ‬ ‫ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩ ﻤﺘﻐﻴﺭﺍﺘﻬﺎ ‪n ∈ ` , n + 1‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ n‬ﻜل ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪:‬‬ ‫‪y(n) = f  x , u , y′ , . . . , yn-1 ‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ y‬ﻫﻭ ﺍﻟﻤﺠﻬﻭل ‪ y(n) , y(n-1) , . . . , y′′ , y′‬ﻫﻲ ﺼﻭﺭ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫‪. x 6 y :f‬‬ ‫ﻨﺴﻤﻲ ﺤﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ‪ n‬ﻤﺭﺓ ﻭﺘﺤﻘﻕ ‪:‬‬ ‫‪h(n) ( x ) = f  x , h( x ) , h( x ) , . . . , ( )h(n-1) x ‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪( )y′ = f x :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﻤﺄﻟﻭﻓﺔ‪ .‬ﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻫﻭ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺘﻘﺒل‬ ‫ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ‪ I‬ﻭ ﺘﺤﻘﻕ ‪ g′ x = f x :‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪( ) ( )I‬‬

‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪ y′ = 2x - 4‬ﻋﻠﻰ \ ‪.‬‬ ‫\∈‪k‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬ ‫ﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ \‬ ‫ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ g x = x2 - 4x + k :‬ﺤﻴﺙ) (‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪( )y′′ = f x :‬‬‫ﺤﻴﺙ ‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺄﻟﻭﻓﺔ‪ .‬ﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻫﻭ ﺇﻴﺠﺎﺩ ﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻤﺭﺘﻴﻥ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﻭ ﺘﺤﻘﻕ ‪:‬‬ ‫) ‪ g′′( x ) = f ( x‬ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ‪ x‬ﻤﻥ ‪. I‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪:‬‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪y′′ = x :‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫‪( )g x‬‬ ‫=‬ ‫‪x3‬‬ ‫\ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪+ kx + c :‬‬ ‫ﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻫﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬ ‫‪6‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ C ∈ \ :‬ﻭ \ ∈ ‪k‬‬ ‫‪ x‬ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪y′′ = -w2y :‬‬ ‫ﺤل ﻫﺫﻩ ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺸﻜل ‪y = a cos wx + b sin wx :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﺜﺎﺒﺘﺎﻥ‪.‬‬ ‫ﻤﺜﺎل ‪ :‬ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪y′′ + 25y = 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪ :‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪ y′′ = - 5 2 y :‬ﻭﻤﻨﻪ ﺤﻠﻬﺎ ﻫﻭ ‪( ):‬‬ ‫‪y = a cos 5x + b sin 5x‬‬

‫ﺘﻜﻨﻭﻟﻭﺠﻴﺎ ﺍﻹﻋﻼﻡ ﻭ ﺍﻻﺘﺼﺎل‬ ‫ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 1‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪f (x) x4  2x2 :‬‬‫ﺘﺤﻘﻕ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺁﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺍﻟﺘﻭﺍﻓﻕ ﺒﻴﻥ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﺓ ‪ f‬ﻭﺇﺸﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪f c‬‬ ‫ﺍﻟﺤل ‪:‬‬‫ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺯﺭ ‪:‬‬ ‫‪(1‬‬‫ﻭﻨﻜﺘﺏ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ‪y1‬‬‫ﻭﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪f c‬‬‫ﻓﻲ ‪ y2‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ‬‫ﻭﻨﺩﺨل ﺍﻟﻤﻌﻠﻭﻤﺎﺕ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (3‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ‬‫ﻓﻨﺤﺼل ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﻴﻥ‬ ‫ﻜﻤﺎ ﻴﻅﻬﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺸﺎﺸﺔ‬ ‫‪(4‬ﻴﻤﻜﻥ ﺘﺤﺭﻴﻙ ﻨﻘﻁﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ‬ ‫ﻟﻨﻼﺤﻅ ﺃﻨﻪ ﻜﻠﻤﺎ ﻜﺎﻨﺕ ‪f c(x) ; 0‬‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ‬ ‫ﻓﻤﺜﻼ ﻤﻥ ﺃﺠل ‪x 0.43‬‬‫‪ f c(x) 1.39‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ‪f c(x) ; 0 :‬‬

‫ﺍﻟﺘﻁﺒﻴﻕ ‪: 2‬‬‫ﺤﺴﺎﺏ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﺒﺎﺴﺘﻌﻤﺎل ﺍﻟﺒﺭﻤﺠﻴﺔ ‪scientific workplace 3.0‬‬ ‫‪ (1‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﻴﻘﻭﻨﺔ ﺍﻟﺘﻲ ﺘﺤﻤل‬ ‫ﺍﻟﺤﺭﻑ ‪ T‬ﻓﻨﺤﺼل ﻋﻠﻰ ﺍﻟﺤﺭﻑ ‪M‬‬ ‫ﻭ ﻫﺫﺍ ﻟﺘﺤﻭﻴل ﺍﻟﻜﺘﺎﺒﺔ ﻤﻥ ﺍﻟﻨﺹ‬ ‫ﺍﻷﺩﺒﻲ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﻨﺹ ﺍﻟﺭﻴﺎﻀﻲ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﻨﻜﺘﺏ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﻨﻨﻘﺭ ﻋﻠﻰ ﺍﻹﻴﻘﻭﻨﺔ ‪.‬‬ ‫ﺜﻡ ﻨﺨﺘﺎﺭ ﻤﻨﻬﺎ ‪.‬‬ ‫ﻓﺘﻅﻬﺭ ﻋﻠﺒﺔ ﺍﻟﺤﻭﺍﺭ ﺍﻟﺘﺎﻟﻴﺔ ﺍﻟﺘﻲ‬ ‫ﻨﻜﺘﺏ ﺒﺩﺍﺨﻠﻬﺎ ﺍﻟﻤﺘﻐﻴﺭ‪.‬‬ ‫‪ (4‬ﺘﻅﻬﺭ ﺍﻟﺒﺭﻤﺠﻴﺔ ﻋﺒﺎﺭﺓ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻜﻤﺎ ﻫﻭ ﻓﻲ ﺍﻟﺼﻭﺭﺓ ‪.‬‬

‫ﺘﻤـﺎﺭﻴﻥ ﻭ ﻤﺸﻜﻼﺕ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬‫ﻀﻊ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ \"ﺹ\" ﺃﻤﺎﻤﺎ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺼﺤﻴﺤﺔ ﻭ ﺍﻟﻌﻼﻤﺔ \"ﺥ\" ﺃﻤﺎﻤﺎ ﻜل ﺠﻤﻠﺔ ﺨﺎﻁﺌﺔ ﻤﻊ ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(1 + h‬‬ ‫‪-f‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪ -1‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪. 1‬‬‫‪ C f‬ﻟﺩﺍﻟﺔ ‪( )f‬‬ ‫ﺍﻟﺒﻴﺎﻥ‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪f (h) - f (0‬‬ ‫ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ‪= 0 :‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﻴﻘﺒل ﻤﻤﺎﺴﺎ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩ ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪x0‬‬ ‫)‪f ′(2‬‬ ‫=‬ ‫‪0‬‬ ‫ﻓﺈﻥ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫=‬ ‫‪4‬‬ ‫‪:‬‬ ‫ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫ﺇﺫﺍ‬ ‫‪-4‬‬ ‫‪x→2‬‬‫‪ -5‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻥ ‪ f ′ 2 = 0 :‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ﻓﻲ) (‬ ‫ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪.2‬‬‫‪ lim‬ﻏﻴﺭ ﻤﻭﺠﻭﺩ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪f‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(-1 + h‬‬ ‫‪-f‬‬ ‫)‪( -1‬‬ ‫∞‪= +‬‬ ‫‪ -6‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪. -1‬‬‫‪ -7‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻓﻬﻲ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.‬‬‫‪ -8‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﺴﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻫﺫﺍ ﺍﻟﻤﺠﺎل‪.‬‬ ‫‪f′ f‬‬ ‫‪ -9‬ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻫل ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g′‬‬ ‫‪f (n) ( x ) =  f ( x )n -10‬‬‫‪ -11‬ﺇﺫﺍ ﺍﻨﻌﺩﻤﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f ′′‬ﻋﻨﺩ ‪ x0‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ M x0 , f x‬ﺍﻨﻌﻁﺎﻑ ﻟـ)) ( (‬ ‫) ‪(Cf‬‬

‫‪ lim‬ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ) ( ) (‬‫‪f‬‬‫‪h -f‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪ -12‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ∞‪= -‬‬ ‫>‬‫‪h‬‬ ‫‪h→0‬‬‫‪ f‬ﻴﻘﺒل ﻨﺼﻑ ﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ‪ O‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل‬ ‫ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪.‬‬‫‪ lim‬ﻭ‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(2 + h‬‬ ‫‪-f‬‬ ‫)‪(2‬‬ ‫‪=3‬‬ ‫‪ -13‬ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ‬ ‫>‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬‫ﻴﻘﺒل ﻨﺼﻑ ﻤﻤﺎﺴﻴﻥ‪( ) ( ) ( ).‬‬ ‫‪Cf‬‬ ‫‪ lim f‬ﻓﺈﻥ‬ ‫‪2+h - f‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪= -1‬‬ ‫<‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h→0‬‬‫=‪y‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﻫﻭ‬ ‫= ‪y′‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -14‬ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ‬ ‫‪2x‬‬ ‫ﻋﻠﻰ [∞‪]0 ; +‬‬‫‪ -15‬ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪ y′′ = cosx :‬ﻫﻭ ‪ y = cosx‬ﻋﻠﻰ \‬ ‫‪ x 6‬ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ *\ ‪.‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -16‬ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x‬‬‫‪ -17‬ﻟﺩﺭﺍﺴﺔ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﺩﺍﻟﺔ ﻋﻨﺩ ﻋﺩﺩ ‪ x0‬ﻨﺤﺴﺏ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ‬ ‫ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪ f ′‬ﺜﻡ ﻨﺤﺴﺏ ‪( ). f ′ x0‬‬‫‪ -18‬ﻜل ﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻤﺠﺎل ‪ I‬ﻫﻲ ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬‫ﺃﺩﺭﺱ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪ x0‬ﻓﻲ ﻜل ﺤﺎﻟﺔ ﻤﻤﺎﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪f ( x) = x + 5 ; x0 = 1 (1‬‬ ‫‪f ( x) = 3x + 10 ; x0 = 2 (2‬‬ ‫‪f ( x) = cosx ; x0 = 0 (3‬‬ ‫‪f ( x) = sin x‬‬ ‫;‬ ‫‪x0‬‬ ‫=‬ ‫‪π‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫‪6‬‬

‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2 - 4x + 2‬‬ ‫;‬ ‫‪x0 = 2 (5‬‬ ‫‪x2 + x - 2‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x -2‬‬ ‫;‬ ‫‪x0 = 1 (6‬‬ ‫‪x +3‬‬‫)‪7‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪x2‬‬ ‫‪+ 9x - 2‬‬ ‫;‬ ‫‪x0 = 2 (7‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 3‬‬‫ﺘﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( ). f x = 9 - x2 :‬‬ ‫‪ (1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ‪.‬‬‫‪f‬‬‫‪( ).‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ‬ ‫ﺍﻟﻘﻭل‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ ﻴﻤﻜﻥ‬ ‫‪.‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪−3‬‬ ‫‪ (2‬ﺍﺤﺴﺏ ‪:‬‬ ‫<‬ ‫‪x→3‬‬‫ﻤﺎﺫﺍ ﻴﻤﻜﻥ ﺍﻟﻘﻭل ﺒﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﺇﻟﻰ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ C f‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪( ). f‬‬ ‫‪ (3‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ C f‬ﻫﻭ ﻨﺼﻑ ﺩﺍﺌﺭﺓ ‪( ).‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 4‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫‪x‬‬ ‫)‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫‪sin x‬‬ ‫‪;x ≠ 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f (0) = 0‬‬ ‫‪ (1‬ﺃﺩﺭﺱ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ O‬ﺜﻡ ﻋﻠﻰ \ ‪.‬‬ ‫‪ (2‬ﺃﺩﺭﺱ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ O‬ﺜﻡ ﻋﻠﻰ \ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 5‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎﻴﻠﻲ ‪:‬‬

‫‪( )‬‬ ‫)‪ f (x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪x4 +‬‬ ‫‪2x3 + x2‬‬ ‫‪x2 + x + 1‬‬ ‫)‪( x + 1‬‬ ‫‪; x ≠ -1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪( −1‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﺜﻡ ﻋﻨﺩ ‪. -1‬‬ ‫‪ -3‬ﺍﺩﺭﺱ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﺜﻡ ﻋﻨﺩ ‪. -1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 6‬‬ ‫ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬‫‪f‬‬ ‫)‪( x‬‬ ‫=‬ ‫‪x +3‬‬ ‫‪(2‬‬ ‫؛‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x2 - 4x+ 2‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫)‪( x- 1) (x+ 2‬‬ ‫‪x2+ x + 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪5‬‬ ‫‪‬‬‫‪f‬‬ ‫(‬ ‫=)‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪+4x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫؛‬ ‫‪f ( x)= (2x+1)2 .(x2 +3)2‬‬ ‫‪(3‬‬ ‫؛ ‪f ( x) = -4x2 + 5 x (6‬‬ ‫‪f ( x)= - x2 +3x- 5‬‬ ‫‪(5‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪ f ( x)= - x2 + 8x -15 (7‬؛ ‪f ( x)= - x+ 2 . x+ 5 (8‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 7‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻟﻠﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫؛ ‪f ( x) = ta3nx (2‬‬ ‫‪f ( x) = cos3 x (1‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪cos2x‬‬ ‫‪(4‬‬ ‫؛‬ ‫‪f ( x) = sin x (3‬‬ ‫‪1 - sin x‬‬ ‫‪2 - sinx‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪4 - cosx‬‬ ‫‪(6‬‬ ‫=)‪ f ( x‬؛‬ ‫‪sin x- cos2x (5‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 8‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻠﻰ \ ﻭ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺩﺍﻟﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻓﻲ ﺍﻟﺠﺩﻭل ﺍﻵﺘﻲ ‪:‬‬‫∞‪x −‬‬ ‫‪-1 0‬‬ ‫∞‪2 3 +‬‬‫)‪f ′( x‬‬ ‫∞‪+∞ +‬‬ ‫‪00‬‬ ‫‪2 -1‬‬ ‫ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﺘﺠﺎﻩ ﺘﻐﻴﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 9‬‬ ‫ﺇﻟﻴﻙ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴﻠﻴﻴﻥ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻴﻴﻥ ﺍﻵﺘﻴﻴﻥ ‪ C1‬و ‪ C2‬ﻋﻠﻰ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ] ( ) ( )-1 ; 1‬‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ‪ f1‬ﻭ ‪. f2‬‬ ‫‪yy‬‬ ‫‪22‬‬ ‫‪11‬‬ ‫‪-1 0‬‬ ‫‪1x‬‬ ‫‪-1 0‬‬ ‫‪1x‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫‪-1‬‬ ‫)‪(C2‬‬ ‫)‪(C1‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪-2‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎل ‪[ ]-1 ; 1‬‬ ‫ﻓﺈﻥ ‪f1′( x ) = f2 ( x ) :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 10‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪( )f x = 1 + x :‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ‪.‬‬‫‪ -2‬ﺍﺩﺭﺱ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ ‪ C f‬ﻋﻨﺩ ‪( ). O‬‬ ‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﺃﺤﺴﻥ ﺘﻘﺭﻴﺏ ﺘﺂﻟﻔﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪. 0‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﺤﺴﺏ ﻗﻴﻤﺔ ﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻜل ﻤﻥ ‪ 1, 00007‬ﻭ ‪0,9999‬‬

‫‪ -5‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ‪( ). C f‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 11‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪( )f x = xn , n ∈ ` :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﺩﻭﺍل ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ‪f (4) , f (3) , f ′′ , f ′‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 12‬‬‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ f x = cos ax + b :‬ﺤﻴﺙ ‪( ) ( )a ≠ 0 :‬‬‫‪cos‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x+‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫=‬ ‫‪- sin‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ a‬ﻭ‪ b‬ﻋﺩﺩﺍﻥ ﺤﻘﻴﻘﻴﺎﻥ ﻨﻌﻠﻡ ﺃﻥ ‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪‬‬‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻜل ﻤﻥ ) ‪ f ′( x ) , f ′′( x ) , f ′′′( x‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ﺠﻴﺏ ﺍﻟﺘﻤﺎﻡ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 13‬‬‫‪ y′′ +‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺤل ﺍﻟﺫﻱ‬ ‫‪16π2‬‬ ‫ﺤل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪y = 0 :‬‬ ‫‪25‬‬ ‫‪5‬‬ ‫ﻴﺄﺨﺫ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ‪ 1‬ﻋﻨﺩ ‪ 0‬ﻭ ﺩﺍﻟﺘﻪ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ﺘﻨﻌﺩﻡ ﻋﻨﺩ ‪. 4‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 14‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪( )f x = cos2 x :‬‬‫‪ -1‬ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ x‬ﻓﺈﻥ ‪( ) ( )f ′′ x +4 f x - 2 = 0‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺤﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪y′′ = -4y + 2 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 15‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( )f x = x4 - 6x3 +12x2 +24x - 24 :‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﺎﺕ ﺍﻟﻤﺘﺘﺎﺒﻌﺔ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪f ′, f ′′, f (3) , f (4) , f (5) : f‬‬ ‫ﻤﺎﺫﺍ ﺘﻼﺤﻅ ؟‬ ‫‪ -2‬ﺍﺩﺭﺱ ﺇﺸﺎﺭﺓ ‪ f ′′ x‬ﺜﻡ ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﻨﻘﻁ ﺍﻻﻨﻌﻁﺎﻑ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻲ )‪( )(C‬‬ ‫ﺍﻟﻤﻤﺜل ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬

‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 16‬‬ ‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪( )f x = x x :‬‬‫‪ -1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ ، f‬ﺜﻡ ﺃﻨﺸﺊ ﺒﺂﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ )‪. (C‬‬ ‫‪ -2‬ﻋﻴﻥ ﺤﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪2 y′ - 3 x = 0 :‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 17‬‬‫ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺤﻴﺙ ‪( )f x = ax4 +bx3 + cx2 + 4 :‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ c‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺍﻷﻋﺩﺍﺩ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ c‬ﺘﻜﻭﻥ ‪ f‬ﺤﻼ ﻟﻠﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ﺍﻟﺘﻔﺎﻀﻠﻴﺔ ‪:‬‬ ‫‪y′′ = 12x2 - 24x + 10‬‬‫‪ α‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ) (‬ ‫‪،‬‬ ‫)‪f (x‬‬ ‫=‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 18‬‬ ‫‪(1 + x)3‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺍﻟﺘﻌﺭﻴﻑ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬‫‪ -3‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺩﻟﺔ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ∆ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ℘ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ) ( ) (‬ ‫‪1‬‬ ‫ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ﺍﻟﻤﻌﺩﻭﻤﺔ ‪.‬‬‫‪(0, 999)3‬‬ ‫‪ -4‬ﺃﻨﺸﺊ ﻜل ﻤﻥ ∆ ﻭ ℘ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﺁﻟﺔ ﺒﻴﺎﻨﻴﺔ ‪( ) ( ).‬‬ ‫‪ -5‬ﻋﻴﻥ ﺃﺤﺴﻥ ﺘﻘﺭﻴﺏ ﺘﺂﻟﻑ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪. 0‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ -6‬ﺍﺤﺴﺏ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻘﺭﺒﺔ ﻟﻜل ﻤﻥ ‪ (1,001)3 :‬ﺜﻡ‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 19‬‬‫)‪f (x‬‬ ‫‪(x + 1)2‬‬ ‫‪ (I‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪x2 - 3x + 2‬‬‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ‪ D f‬ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺜﻡ ﺒﻴﻥ ﺃﻨﻪ ﻤﻥ ﺃﺠل ﻜل ﻋﺩﺩ ‪x‬‬

‫)‪f (x‬‬ ‫‪=a+‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪c‬‬ ‫ﻤﻥ ‪ D f‬ﻓﺈﻥ ‪:‬‬ ‫‪x -1‬‬ ‫‪x -2‬‬ ‫ﺤﻴﺙ ‪ a‬ﻭ ‪ b‬ﻭ ‪ c‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﺎ ‪.‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬‫‪ -3‬ﻋﻴﻥ ﺒﻭﺍﺴﻁﺔ ﻤﻌﺎﺩﻻﺘﻬﺎ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬ﺍﻟﻤﻤﺜل‬ ‫ﻟﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻭﻀﻌﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪ (C‬ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ‬ ‫ﺍﻷﻓﻘﻲ ) ∆ ( ‪.‬‬ ‫‪ -4‬ﻋﻴﻥ ﺘﻘﺭﻴﺏ ﺘﺂﻟﻔﻲ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻋﻨﺩ ‪. 0‬‬ ‫‪ -5‬ﺃﻨﺸﺊ )‪. (C‬‬‫‪( )g x‬‬ ‫=‬ ‫‪x +2 x‬‬ ‫‪+1‬‬ ‫‪ (II‬ﻨﻌﺭﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪:‬‬ ‫‪x2 - 3 x‬‬ ‫‪+2‬‬ ‫‪ -1‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. g‬‬ ‫‪ -2‬ﺍﻜﺘﺏ ‪ g x‬ﺩﻭﻥ ﺭﻤﺯ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ‪( ).‬‬‫‪ -3‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﻭ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻌﺩﺩ ‪. 0‬‬ ‫‪ -4‬ﺍﺩﺭﺱ ﺸﻔﻌﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. g‬‬ ‫‪ -5‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ γ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻨﻁﻼﻗﺎ ﻤﻥ )‪( )(C‬‬ ‫‪ -6‬ﻨﺎﻗﺵ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﻭﺠﻭﺩ ﻭﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬‫‪ (m -1) x2 - (3m +2) x + 2m -1 = 0‬ﺤﻴﺙ ‪ m‬ﻭﺴﻴﻁ ﺤﻘﻴﻘﻲ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 20‬‬ ‫‪( )f x‬‬ ‫=‬ ‫‪(x - 2)2‬‬ ‫‪ f‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪x2 - 1‬‬ ‫‪GG‬‬‫)‪ (C‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻓﻲ ﻤﻌﻠﻡ ﻤﺘﻌﺎﻤﺩ ﻭ ﻤﺘﺠﺎﻨﺱ ‪( )O ; i , j‬‬ ‫‪ -1‬ﺍﺩﺭﺱ ﺘﻐﻴﺭﺍﺕ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. f‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ‪.‬‬

‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﺇﺤﺩﺍﺜﻴﺔ ﻨﻘﻁﺔ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (C‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺏ ﺍﻷﻓﻘﻲ ∆) (‬ ‫‪ -‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪. (C‬‬‫‪ -‬ﻨﺎﻗﺵ ﺒﻴﺎﻨﻴﺎ ﺤﺴﺏ ﻗﻴﻡ ﺍﻟﻌﺩﺩ ﺍﻟﺤﻘﻴﻘﻲ ‪ m‬ﻋﺩﺩ ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪(m - 1) x2 + 4x - m - 4 = 0‬‬‫= ‪( ) ( )g x‬‬‫‪x -2 2‬‬ ‫‪ -2‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﺍﻟﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪x2 - 1 :‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ‪ g x‬ﺩﻭﻥ ﺭﻤﺯ ﺍﻟﻘﻴﻤﺔ ﺍﻟﻤﻁﻠﻘﺔ ‪( ).‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﻭ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻨﺩ ‪. 0‬‬‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ g x = f x‬ﻋﻠﻰ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﺎ ‪( ) ( ).‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺸﻔﻌﻴﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. g‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ C′‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪( ). g‬‬ ‫‪( )h x‬‬ ‫=‬ ‫‪(x - 2)2‬‬ ‫‪ -3‬ﻨﻌﺘﺒﺭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪x2 - 1‬‬ ‫‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ﺍﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪ h x :‬ﺒﺩﻻﻟﺔ ‪( ) ( ). f x‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺴﺘﻨﺘﺞ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪ γ‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪( ). h‬‬‫‪( )ϕ x‬‬ ‫=‬ ‫‪(sin x - 2)2‬‬ ‫‪ -4‬ﻨﻌﺭﻑ ﺩﺍﻟﺔ ‪ ϕ‬ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪:‬‬ ‫‪sin2 x - 1‬‬ ‫‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. ϕ‬‬ ‫‪ -‬ﺒﻴﻥ ﺃﻥ ‪ ϕ‬ﻫﻲ ﻤﺭﻜﺏ ﺩﺍﻟﺘﻴﻥ ﻴﻁﻠﺏ ﺘﻌﻴﻴﻨﻬﻤﺎ ‪.‬‬ ‫‪ -‬ﺍﺤﺴﺏ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. ϕ‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 21‬‬‫‪ f (1‬ﺩﺍﻟﺔ ﻋﺩﺩﻴﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﺒﺎﻟﻌﺒﺎﺭﺓ ‪( )f x = α + βx + γ :‬‬

‫ﺤﻴﺙ ‪ α , β , γ‬ﺃﻋﺩﺍﺩ ﺤﻘﻴﻘﻴﺔ ‪ Γ‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪( ).‬‬ ‫ﻋﻴﻥ ‪ α , β , γ‬ﺒﺤﻴﺙ ﺘﻜﻭﻥ ﺍﻟﻨﻘﻁﺘﺎﻥ ‪ O‬ﻭ ‪ A 1 ; -1‬ﻤﻥ ‪( ) ( )Γ‬‬ ‫ﻭ ﻴﻜﻭﻥ ﻤﻌﺎﻤل ﺘﻭﺠﻴﻪ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ‪ O‬ﻤﻥ ‪ Γ‬ﻤﺴﺎﻭﻴﺎ) (‬ ‫‪-3‬‬ ‫ﺇﻟﻰ ‪. 4‬‬‫‪ g ( x) = -2 + 4 - 3x , x < 1‬‬‫‪ g (2‬ﺩﺍﻟﺔ ﻤﻌﺭﻓﺔ ﻜﻤﺎ ﻴﻠﻲ ‪( ) :‬‬‫‪ g x = x -3+ x - 1 , x ≥ 1‬‬ ‫)‪ (C‬ﺘﻤﺜﻴﻠﻬﺎ ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ‪.‬‬ ‫ﺃ‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻤﺠﻤﻭﻋﺔ ﺘﻌﺭﻴﻑ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪. g‬‬ ‫ﺏ‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﺴﺘﻤﺭﺍﺭﻴﺔ ﻭ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ g‬ﻋﻨﺩ ‪. 1‬‬ ‫ﺠـ‪ -‬ﺍﺩﺭﺱ ﺍﻟﻔﺭﻭﻉ ﺍﻟﻼﻨﻬﺎﺌﻴﺔ ﻭ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎﺕ ﺍﻟﻤﻘﺎﺭﺒﺔ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ )‪. (C‬‬ ‫ﺩ‪ -‬ﻋﻴﻥ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (C‬ﻤﻊ ﺍﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻡ ∆ ﺍﻟﺫﻱ ﻤﻌﺎﺩﻟﺘﻪ ‪( ). y = x :‬‬ ‫ﻫـ‪ -‬ﺍﻜﺘﺏ ﻤﻌﺎﺩﻻﺕ ﺍﻟﻤﻤﺎﺴﺎﺕ ﻓﻲ ﻨﻘﻁ ﺘﻘﺎﻁﻊ )‪ (C‬ﻭ ∆ ‪( ).‬‬ ‫ﻭ‪ -‬ﺃﻨﺸﺊ ﺍﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‪. (C‬‬

‫ﺍﻟﺤـﻠــــــﻭل‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 1‬‬ ‫‪ (1‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬‫ﺍﻟﺘﻌﻠﻴل ‪ :‬ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻫﻲ ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 1‬ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻨﻬﺎ ﺘﺘﻨﺎﻫﻰ ﻨﺤﻭ ∞‪ +‬ﻓﺈﻥ ‪ f‬ﻏﻴﺭ‬ ‫ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪. 1‬‬ ‫‪ (2‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬‫ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ ﺇﺫﺍ ﻜﻨﺕ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ∞‪ +‬ﺃﻭ ∞‪ −‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻓﺎﻟﻤﻤﺎﺱ ﻫﻨﺎﻙ‬ ‫ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬ ‫‪ (3‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬‫ﻓﻤﺜﻼ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x 6 x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻨﺩﻩ ﻟﻜﻨﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪.0‬‬ ‫‪ (4‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬‫‪( )2‬‬‫ﻋﻨﺩ‬ ‫ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ‬ ‫ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ‬ ‫ﻭﻟﺩﺭﺍﺴﺔ‬ ‫‪2‬‬ ‫ﻋﻨﺩ‬ ‫ﻨﻬﺎﻴﺔ‬ ‫ﻤﺠﺭﺩ‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪=4‬‬ ‫‪x→2‬‬ ‫‪lim‬‬ ‫)‪f (2 + h) - f (2‬‬ ‫ﻨﺤﺴﺏ ‪:‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪ (5‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﻤﻴل ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻋﻨﺩ ﺍﻟﻨﻘﻁﺔ ﺫﺍﺕ ﺍﻟﻔﺎﺼﻠﺔ ‪ 2‬ﻴﺴﺎﻭﻱ ‪ 0‬ﻭ ﻤﻨﻪ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ‬ ‫ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﻔﻭﺍﺼل ‪.‬‬ ‫‪ (6‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫ﻷﻨﻪ ﺇﺫﺍ ﻜﺎﻨﺕ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻋﺩﺩ ﻓﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ‪.‬‬ ‫‪ (7‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬‫ﻓﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x 6 x‬ﻤﺴﺘﻤﺭﺓ ﻋﻠﻰ ∞‪ 0 ; +‬ﻟﻜﻨﻬﺎ ﻗﺎﺒﻠﺔ ﻟﻼﺸﺘﻘﺎﻕ[ [‬ ‫ﻓﻘﻁ ﻋﻠﻰ ∞‪] [. 0 ; +‬‬ ‫‪ (8‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬‫ﻓﺎﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x 6 x2‬ﺴﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ \ ﻟﻜﻨﻬﺎ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ \‬

‫ﻓﻬﻲ ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ‪ -∞ ; 0‬ﻭ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ∞‪[ [ ] ]0 ; +‬‬ ‫‪ (9‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬‫=‪h‬‬ ‫‪f ′h - g′h‬‬ ‫‪f‬‬ ‫ﻫﻲ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ h‬ﺤﻴﺙ ‪g2‬‬ ‫ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪g‬‬ ‫‪ (10‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬‫ﺍﻟﺭﻤﺯ )‪ f (n‬ﻫﻭ ﺭﻤﺯ ﻟﻠﻤﺸﺘﻕ ﻤﻥ ﺍﻟﺭﺘﺒﺔ ‪ n‬ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ‪ f n ، f‬ﻫﻭ ﺭﻤﺯ‬ ‫ﻟﻠﺩﺍﻟﺔ ﻤﺭﻓﻭﻋﺔ ﻟﻸﺱ ‪. n‬‬ ‫‪ (11‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬ ‫ﺒل ﻴﺠﺏ ﺃﻥ ﺘﻐﻴﺭ ‪ f ′′ x‬ﺇﺸﺎﺭﺘﻬﺎ ﻋﻨﺩ ‪( ). x0‬‬ ‫‪ (12‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‬‫ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﻨﻬﺎﻴﺔ ﺍﻟﻨﺴﺒﺔ ﻫﻲ ∞‪ −‬ﻓﺈﻥ ﻤﻴل ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ∞‪tanθ → -‬‬‫→ ‪ θ‬ﻭﻋﻠﻴﻪ ﻨﺼﻑ ﺍﻟﻤﻤﺎﺱ ﻴﻭﺍﺯﻱ ﺤﺎﻤل ﻤﺤﻭﺭ ﺍﻟﺘﺭﺍﺘﻴﺏ‪.‬‬ ‫‪-π‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪2‬‬ ‫‪ (13‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‬‫ﻷﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 2‬ﻤﻥ ﺍﻟﻴﻤﻴﻥ ﻭ ﻋﺩﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻫﻭ ‪ 3‬ﻭﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 2‬ﻤﻥ‬ ‫ﺍﻟﻴﺴﺎﺭ ﻭ ﻋﺩﺩﻫﺎ ﺍﻟﻤﺸﺘﻕ ﻫﻭ ‪. -1‬‬‫ﻭ ﺒﻤﺎ ﺃﻥ ﺍﻟﻌﺩﺩﻴﻥ ﺍﻟﻤﺸﺘﻘﻴﻥ ﻏﻴﺭ ﻤﺘﺴﺎﻭﻴﻥ ﻓﺈﻥ ﺍﻟﺘﻤﺜﻴل ﺍﻟﺒﻴﺎﻨﻲ ﻴﻘﺒل ﻨﺼﻔﻲ ﻤﻤﺎﺴﻴﻥ ‪.‬‬‫‪x 6 y′ = 1‬‬ ‫= ‪ x 6 y‬ﻫﻭ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪:‬‬ ‫‪ (14‬ﺼﺤﻴﺤﺔ‬ ‫‪2x‬‬ ‫ﻷﻥ ﻤﺸﺘﻘﺔ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪x‬‬ ‫ﻋﻠﻰ ]∞‪. ]0 ; +‬‬ ‫‪ (15‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬‫ﻷﻥ ‪ y′ = -sin x :‬ﻭﻤﻨﻪ ‪y′′ = -cosx :‬‬ ‫‪ (16‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ﻤﺘﻨﺎﻗﺼﺔ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ ﻜل ﻤﻥ ﺍﻟﻤﺠﺎﻟﻴﻥ ‪ -∞ ; 0‬ﻭ ∞‪] [ ] [0 ; +‬‬ ‫‪ (17‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬

‫‪lim‬‬ ‫)‪f ( x + h) - f ( x‬‬ ‫ﺒل ﻨﺤﺴﺏ ‪:‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪ (18‬ﺨﺎﻁﺌﺔ‬ ‫ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ x 6 2x : f‬ﻤﺘﺯﺍﻴﺩﺓ ﺘﻤﺎﻤﺎ ﻋﻠﻰ \ ﻷﻥ ‪( )f ′ x > 0 :‬‬ ‫ﻟﻜﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ ‪ f‬ﻏﻴﺭ ﻤﻭﺠﺒﺔ ﻋﻠﻰ \ ‪.‬‬ ‫ﺍﻟﺘﻤﺭﻴﻥ‪. 2‬‬ ‫ﺩﺭﺍﺴﺔ ﻗﺎﺒﻠﻴﺔ ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪: x0‬‬ ‫= )‪f (x‬‬ ‫‪x +5‬‬ ‫‪; x0 = 1‬‬ ‫‪ (1‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪ Df = [-5 ; +∞[ :‬؛ ‪f (1) = 6‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫‪(1 + h)- f‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫=‬ ‫‪lim‬‬ ‫‪1+ h +5 -‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪h‬‬‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪6+h -‬‬ ‫×‪6‬‬ ‫‪6+h +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪6+h +‬‬ ‫‪6‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪6 +h - 6‬‬ ‫‪h→0 h  6 + h + 6 ‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪1 =1=6‬‬ ‫‪h→0 6 + h + 6 2 6 12‬‬ ‫‪( )f ′ 1‬‬ ‫=‬ ‫‪6‬‬ ‫ﻭﻤﻨﻪ ‪ f‬ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ ‪ 1‬ﺤﻴﺙ ‪:‬‬ ‫‪12‬‬ ‫‪f ( x) = 3x + 10 ; x0 = 1‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺩﻴﻨﺎ ‪:‬‬ ‫ﻭ ﻤﻨﻪ ‪:‬‬ ‫‪f (2) = 4‬‬ ‫؛‬ ‫‪Df‬‬ ‫=‬ ‫‪ -10‬‬ ‫;‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪‬‬‫‪lim‬‬ ‫‪f‬‬ ‫)‪(2 + h‬‬ ‫‪-f‬‬ ‫)‪(h‬‬ ‫‪= lim‬‬ ‫‪3 (2 + h) +10 - 4‬‬ ‫‪h→0‬‬‫‪h→0‬‬ ‫‪h‬‬ ‫‪h‬‬

= lim 16 + 3h - 4 16 + 3h + 4 h→0 h× 16 + 3h + 4 = lim (16 + 3h) - 6 h→0 h  16 + 3h + 4 = lim 3 = 3 h→0 16 + 3h + 4 8 ( )f ′ 2 = 3 : ‫ ﺤﻴﺙ‬2 ‫ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‬f ‫ﻭﻋﻠﻴﻪ‬ 8 f ( x) = cosx ; x0 = 0 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬3 f (0) = 1 ‫ ؛‬Df = \ : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ f (h) - f (0) cos h - 1 1 - 2 sin2 h -1 h 2lim h = lim = lim h→0 hh→0 h→0 -2 sin2 h -sin2 h 2 2 = lim = lim h→0 h h→0 h  h  sin h  2  2 = lim -sin × lim h =0 h→0 h→0 2 f ( x) = sin x ; x0 = π : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬4 6 f  π  = sin π = 1 ‫ ؛‬Df = \ : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬  6  6 2

f  π +h  - f  π  sin  π +h  - 1  6   6  6  2lim = lim h h→0 hh→0 sin π .cos h +cos π sin h - 1 6 6 2 = lim h→0 h 1 cos h + 3 sin h - 1 2 2 2 = lim h→0 h 1 (cos h - 1) + 3 sin h 2 2 = lim h→0 h 1  -2 sin2 h  3 sin h 2  2  = lim + h→0 h 2h   sin2 h     2   = lim  -1 + 3 sin h   2 2 h  h→0 h  2  = 3 2 f (x) = x2 - 4x + 2 ; x0 = 2 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬5 x +x -2 : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ { }Df = x ∈ \ : x2 + x - 2 ≠ 0 -2 ، 1 : ‫ ﻫﻲ‬x2 + x - 2 = 0 ‫ﺤﻠﻭل ﺍﻟﻤﻌﺎﺩﻟﺔ‬

Df = \ - {-2 ; 1} : ‫ﺇﺫﻥ‬f (2) = (2)2 - 4 (2) + 2 = -2 = -1 (2)2 + 2 - 2 4 2 (2 + h)2 - 4 (2 + h) +2 + 1 2 = lim f (2 + h) - f (2) = lim (2 + h)2 - 4 (2 + h) -2 h→0 h h h→0 = lim  4+ 4h + h2 - 8 - 4h + 2 + 1  × 1 h→0  4+ 4h + h2 + 2+ h- 2 2  h   = lim  h2 h2 + 2 4 + 1  × 1 h→0  + 5h + 2  h   h2 + 4+ h2 + 5h + 4 1 3h2 + 5h 2 h2 + 5h +4 h 2h h2 + 5h + 4 = lim × = lim h→0 ( ) ( )h→0 3h2 + 5h 5 2h h2 + 5h + 4 8 ( )= lim = h→0 ( ). f ′ 2 = 5 : ‫ ﺤﻴﺙ‬2 ‫ ﺘﻘﺒل ﺍﻻﺸﺘﻘﺎﻕ ﻋﻨﺩ‬f ‫ﺇﺫﻥ ﺍﻟﺩﺍﻟﺔ‬ 8 f (x) = x -2 ; x =1 : ‫( ﻟﺩﻴﻨﺎ‬6 x +3 Df = { x ∈ \ / x + 3 ≠ 0 ‫ ﻭ‬x ≥ 0} : ‫ﻭ ﻤﻨﻪ‬ Df = [0 ; +∞[ ; f (1) = -1 4 f (1+ h) - f (1) 1+ h -2 + 1 1+ h+ 3 4 lim h = lim h h→0 h→0